సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థలు. సిస్టమ్ మరియు fsr యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి

గాస్సియన్ పద్ధతి అనేక ప్రతికూలతలను కలిగి ఉంది: గాస్సియన్ పద్ధతిలో అవసరమైన అన్ని పరివర్తనలు నిర్వహించబడే వరకు వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉందో లేదో తెలుసుకోవడం అసాధ్యం; లెటర్ కోఎఫీషియంట్స్ ఉన్న సిస్టమ్‌లకు గాస్ పద్ధతి తగినది కాదు.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ఇతర పద్ధతులను పరిశీలిద్దాం. ఈ పద్ధతులు మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్ భావనను ఉపయోగిస్తాయి మరియు క్రామెర్ నియమం వర్తించే సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారానికి ఏదైనా స్థిరమైన సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారాన్ని తగ్గిస్తాయి.

ఉదాహరణ 1.తగ్గించబడిన సజాతీయ వ్యవస్థకు పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను మరియు అసమాన వ్యవస్థకు ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని ఉపయోగించి క్రింది సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

1. మాతృకను తయారు చేయడం ఎమరియు పొడిగించిన సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ (1)

2. సిస్టమ్‌ను అన్వేషించండి (1) ఐక్యత కోసం. దీన్ని చేయడానికి, మేము మాత్రికల ర్యాంక్‌లను కనుగొంటాము ఎమరియు https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). అది తేలితే , అప్పుడు సిస్టమ్ (1) అననుకూలమైనది. మనకు అది లభిస్తే , అప్పుడు ఈ వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు మేము దానిని పరిష్కరిస్తాము. (అనుకూలత అధ్యయనం క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతంపై ఆధారపడి ఉంటుంది).

a. మేము కనుగొంటాము rA.

కనుగొనేందుకు rA, మేము మాతృక యొక్క మొదటి, రెండవ, మొదలైన ఆర్డర్‌లలో సున్నా కాని మైనర్‌లను వరుసగా పరిశీలిస్తాము ఎమరియు వారి చుట్టూ ఉన్న మైనర్లు.

M1=1≠0 (మేము మాత్రిక యొక్క ఎగువ ఎడమ మూలలో నుండి 1 తీసుకుంటాము ఎ).

మేము సరిహద్దు M1ఈ మాతృక యొక్క రెండవ అడ్డు వరుస మరియు రెండవ నిలువు వరుస. . మేము సరిహద్దును కొనసాగిస్తాము M1రెండవ పంక్తి మరియు మూడవ నిలువు వరుస..gif" width="37" height="20 src=">. ఇప్పుడు మనం సున్నా కాని మైనర్ సరిహద్దు M2′రెండవ ఆర్డర్.

మాకు ఉన్నాయి: (మొదటి రెండు నిలువు వరుసలు ఒకటే కాబట్టి)

(రెండవ మరియు మూడవ పంక్తులు అనుపాతంలో ఉంటాయి కాబట్టి).

మనం చూస్తాం rA=2, a అనేది మాతృక యొక్క ఆధార మైనర్ ఎ.

బి. మేము కనుగొంటాము.

చాలా ప్రాథమిక మైనర్ M2′మాత్రికలు ఎఉచిత నిబంధనల నిలువు వరుస మరియు అన్ని అడ్డు వరుసలతో సరిహద్దు (మాకు చివరి వరుస మాత్రమే ఉంది).

. ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది M3′′మాతృక యొక్క ప్రాథమిక మైనర్‌గా మిగిలిపోయింది https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

ఎందుకంటే M2′- మాతృక యొక్క మైనర్ ఆధారంగా ఎవ్యవస్థలు (2) , అప్పుడు ఈ వ్యవస్థ వ్యవస్థకు సమానం (3) , సిస్టమ్ యొక్క మొదటి రెండు సమీకరణాలను కలిగి ఉంటుంది (2) (కోసం M2′మాతృక A యొక్క మొదటి రెండు వరుసలలో ఉంది).

(3)

ప్రాథమిక మైనర్ నుండి https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

ఈ వ్యవస్థలో రెండు ఉచిత తెలియనివి ఉన్నాయి ( x2 మరియు x4 ) అందుకే FSR వ్యవస్థలు (4) రెండు పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. వాటిని కనుగొనడానికి, మేము ఉచితంగా తెలియని వాటిని కేటాయిస్తాము (4) మొదట విలువలు x2=1 , x4=0 , ఆపై - x2=0 , x4=1 .

వద్ద x2=1 , x4=0 మాకు దొరికింది:

.

ఈ వ్యవస్థ ఇప్పటికే ఉంది ఒక్కటే విషయం పరిష్కారం (ఇది క్రామర్ నియమం లేదా ఏదైనా ఇతర పద్ధతిని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు). రెండవ సమీకరణం నుండి మొదటిదాన్ని తీసివేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

ఆమె పరిష్కారం ఉంటుంది x1= -1 , x3=0 . విలువలు ఇచ్చారు x2 మరియు x4 , మేము జోడించిన, మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి ప్రాథమిక పరిష్కారాన్ని పొందుతాము (2) : .

ఇప్పుడు మేము నమ్ముతున్నాము (4) x2=0 , x4=1 . మాకు దొరికింది:

.

మేము క్రామెర్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము:

.

మేము సిస్టమ్ యొక్క రెండవ ప్రాథమిక పరిష్కారాన్ని పొందుతాము (2) : .

పరిష్కారాలు β1 , β2 మరియు తయారు FSR వ్యవస్థలు (2) . అప్పుడు దాని సాధారణ పరిష్కారం ఉంటుంది

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

ఇక్కడ C1 , C2 - ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు.

4. ఒకటి కనుక్కోండి ప్రైవేట్ పరిష్కారం వైవిధ్య వ్యవస్థ(1) . పేరాలో వలె 3 , వ్యవస్థకు బదులుగా (1) సమానమైన వ్యవస్థను పరిశీలిద్దాం (5) , సిస్టమ్ యొక్క మొదటి రెండు సమీకరణాలను కలిగి ఉంటుంది (1) .

(5)

ఉచిత తెలియని వాటిని కుడి వైపుకు తరలిద్దాం x2మరియు x4.

(6)

తెలియనివి ఉచితంగా ఇద్దాం x2 మరియు x4 ఏకపక్ష విలువలు, ఉదాహరణకు, x2=2 , x4=1 మరియు వాటిని ఉంచండి (6) . వ్యవస్థను పొందుదాం

ఈ వ్యవస్థకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంది (దీనిని నిర్ణయించినందున M2′0) దాన్ని పరిష్కరించడం (క్రామెర్స్ సిద్ధాంతం లేదా గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి), మేము పొందుతాము x1=3 , x3=3 . ఉచిత తెలియని విలువలు ఇచ్చిన x2 మరియు x4 , మాకు దొరికింది అసమాన వ్యవస్థ యొక్క ప్రత్యేక పరిష్కారం(1)α1=(3,2,3,1).

5. ఇప్పుడు మిగిలి ఉన్నది దానిని వ్రాయడమే ఒక అసమాన వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం α(1) : ఇది మొత్తానికి సమానం ప్రైవేట్ పరిష్కారంఈ వ్యవస్థ మరియు దాని తగ్గిన సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

దీని అర్ధం: (7)

6. పరీక్ష.మీరు సిస్టమ్‌ను సరిగ్గా పరిష్కరించారో లేదో తనిఖీ చేయడానికి (1) , మాకు సాధారణ పరిష్కారం కావాలి (7) లో ప్రత్యామ్నాయం (1) . ప్రతి సమీకరణం గుర్తింపుగా మారితే ( C1 మరియు C2 నాశనం చేయాలి), అప్పుడు పరిష్కారం సరిగ్గా కనుగొనబడింది.

మేము ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము (7) ఉదాహరణకు, సిస్టమ్ యొక్క చివరి సమీకరణం మాత్రమే (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

మనకు లభిస్తుంది: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

ఎక్కడ –1=–1. మాకు గుర్తింపు వచ్చింది. మేము సిస్టమ్ యొక్క అన్ని ఇతర సమీకరణాలతో దీన్ని చేస్తాము (1) .

వ్యాఖ్య.తనిఖీ సాధారణంగా చాలా గజిబిజిగా ఉంటుంది. కింది "పాక్షిక తనిఖీ" సిఫార్సు చేయవచ్చు: సిస్టమ్ యొక్క సాధారణ పరిష్కారంలో (1) ఏకపక్ష స్థిరాంకాలకు కొన్ని విలువలను కేటాయించండి మరియు ఫలితంగా వచ్చే పాక్షిక పరిష్కారాన్ని విస్మరించిన సమీకరణాలలో (అనగా, ఆ సమీకరణాలలోకి మాత్రమే ప్రత్యామ్నాయం చేయండి) (1) , వీటిలో చేర్చబడలేదు (5) ) మీరు గుర్తింపులను పొందినట్లయితే, అప్పుడు మరింత అవకాశం, సిస్టమ్ పరిష్కారం (1) సరిగ్గా కనుగొనబడింది (కానీ అటువంటి చెక్ ఖచ్చితత్వం యొక్క పూర్తి హామీని అందించదు!). ఉదాహరణకు, లో ఉంటే (7) చాలు C2=- 1 , C1=1, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. సిస్టమ్ (1) యొక్క చివరి సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా, మనకు ఇవి ఉన్నాయి: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , అంటే –1=–1. మాకు గుర్తింపు వచ్చింది.

ఉదాహరణ 2.సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి (1) , ఉచితమైన వాటి పరంగా ప్రాథమిక తెలియని వాటిని వ్యక్తపరుస్తుంది.

పరిష్కారం.లో వలె ఉదాహరణ 1, మాత్రికలను కంపోజ్ చేయండి ఎమరియు ఈ మాత్రికలలో https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. ఇప్పుడు మనం సిస్టమ్ యొక్క ఆ సమీకరణాలను మాత్రమే వదిలివేస్తాము (1) , గుణకాలు ఈ ప్రాథమిక మైనర్‌లో చేర్చబడ్డాయి (అనగా, మనకు మొదటి రెండు సమీకరణాలు ఉన్నాయి) మరియు సిస్టమ్ (1)కి సమానమైన వాటితో కూడిన వ్యవస్థను పరిగణించండి.

ఈ సమీకరణాల యొక్క కుడి వైపుకు ఉచిత తెలియని వాటిని బదిలీ చేద్దాం.

వ్యవస్థ (9) మేము గాస్సియన్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కరిస్తాము, కుడి-భుజాలను ఉచిత నిబంధనలుగా పరిగణిస్తాము.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

ఎంపిక 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

ఎంపిక 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

ఎంపిక 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

ఎంపిక 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

వీలు ఎం 0 - సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ (4)కి పరిష్కారాల సమితి.

నిర్వచనం 6.12.వెక్టర్స్ తో 1 ,తో 2 , …, p తో, సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాలను అంటారు పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక సమితి(సంక్షిప్త FNR), అయితే

1) వెక్టర్స్ తో 1 ,తో 2 , …, p తోసరళంగా స్వతంత్రం (అనగా, వాటిలో ఏదీ ఇతరుల పరంగా వ్యక్తీకరించబడదు);

2) సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థకు ఏదైనా ఇతర పరిష్కారం పరిష్కారాల పరంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది తో 1 ,తో 2 , …, p తో.

ఉంటే గమనించండి తో 1 ,తో 2 , …, p తో- ఏదైనా f.n.r., ఆపై వ్యక్తీకరణ కె 1× తో 1 + కె 2× తో 2 + … + k p× p తోమీరు మొత్తం సెట్‌ను వివరించవచ్చు ఎంసిస్టమ్ (4)కి 0 పరిష్కారాలు, కాబట్టి దీనిని అంటారు సిస్టమ్ పరిష్కారం యొక్క సాధారణ వీక్షణ (4).

సిద్ధాంతం 6.6.సరళ సమీకరణాల యొక్క ఏదైనా అనిశ్చిత సజాతీయ వ్యవస్థ ప్రాథమిక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రాథమిక పరిష్కారాలను కనుగొనే మార్గం క్రింది విధంగా ఉంది:

సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థకు సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి;

బిల్డ్ ( n – ఆర్) ఈ వ్యవస్థ యొక్క పాక్షిక పరిష్కారాలు, అయితే ఉచిత తెలియని విలువలు తప్పనిసరిగా గుర్తింపు మాతృకను ఏర్పరుస్తాయి;

చేర్చబడిన పరిష్కారం యొక్క సాధారణ రూపాన్ని వ్రాయండి ఎం 0 .

ఉదాహరణ 6.5.కింది సిస్టమ్‌కు పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక సెట్‌ను కనుగొనండి:

పరిష్కారం. ఈ వ్యవస్థకు సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ ఈ వ్యవస్థలో ఐదు తెలియనివి ఉన్నాయి ( n= 5), వీటిలో రెండు ప్రధాన తెలియనివి ఉన్నాయి ( ఆర్= 2), మూడు ఉచిత తెలియనివి ఉన్నాయి ( n – ఆర్), అంటే, ప్రాథమిక పరిష్కార సమితి మూడు పరిష్కార వెక్టర్‌లను కలిగి ఉంటుంది. వాటిని నిర్మించుకుందాం. మన దగ్గర ఉంది x 1 మరియు x 3 - ప్రధాన తెలియనివి, x 2 , x 4 , x 5 - ఉచిత తెలియనివి

ఉచిత తెలియని విలువలు x 2 , x 4 , x 5 గుర్తింపు మాతృకను ఏర్పరుస్తుంది ఇమూడవ ఆర్డర్. ఆ వెక్టర్స్ వచ్చింది తో 1 ,తో 2 , తో 3 రూపం f.n.r. ఈ వ్యవస్థ యొక్క. అప్పుడు ఈ సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాల సమితి ఉంటుంది ఎం 0 = {కె 1× తో 1 + కె 2× తో 2 + కె 3× తో 3 , కె 1 , కె 2 , కె 3 ఓ ఆర్).

సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క నాన్‌జీరో సొల్యూషన్‌ల ఉనికికి సంబంధించిన పరిస్థితులను ఇప్పుడు తెలుసుకుందాం, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ప్రాథమిక పరిష్కారాల ఉనికికి సంబంధించిన పరిస్థితులు.

సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ సున్నా కాని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది, అంటే అది అనిశ్చితంగా ఉంటుంది

1) సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ తెలియని వారి సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటుంది;

2) సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థలో, సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వాటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది;

3) సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థలో సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వాటి సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటే మరియు ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నాకి సమానం (అంటే | ఎ| = 0).

ఉదాహరణ 6.6. ఏ పరామితి విలువ వద్ద aసరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ సున్నా కాని పరిష్కారాలు ఉన్నాయా?

పరిష్కారం. ఈ సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృకను కంపోజ్ చేద్దాం మరియు దాని నిర్ణాయకతను కనుగొనండి: = = 1×(–1) 1+1 × = – ఎ- 4. ఈ మాతృక యొక్క డిటర్మినేట్ సున్నాకి సమానం a = –4.

సమాధానం: –4.

7. అంకగణితం n-డైమెన్షనల్ వెక్టర్ స్పేస్

ప్రాథమిక భావనలు

మునుపటి విభాగాలలో, ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో అమర్చబడిన వాస్తవ సంఖ్యల సమితి భావనను మేము ఇప్పటికే ఎదుర్కొన్నాము. ఇది వరుస మాతృక (లేదా నిలువు మాతృక) మరియు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం nతెలియని. ఈ సమాచారాన్ని సంగ్రహించవచ్చు.

నిర్వచనం 7.1. n-డైమెన్షనల్ అంకగణిత వెక్టర్యొక్క ఆర్డర్ సెట్ అని పిలుస్తారు nవాస్తవ సంఖ్యలు.

అర్థం ఎ= (a 1 , a 2 , ..., a n), ఇక్కడ ఎ iఓ ఆర్, i = 1, 2, …, n- వెక్టర్ యొక్క సాధారణ వీక్షణ. సంఖ్య nఅని పిలిచారు పరిమాణంవెక్టర్స్, మరియు సంఖ్యలు a iఅతని అని పిలుస్తారు అక్షాంశాలు.

ఉదాహరణకి: ఎ= (1, –8, 7, 4, ) - ఐదు డైమెన్షనల్ వెక్టర్.

అంతా సిధం n-డైమెన్షనల్ వెక్టర్స్ సాధారణంగా సూచించబడతాయి Rn.

నిర్వచనం 7.2.రెండు వెక్టర్స్ ఎ= (a 1 , a 2 , ..., a n) మరియు బి= (బి 1, బి 2,…, బి n) అదే పరిమాణం సమానంఒకవేళ మరియు వాటి సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లు సమానంగా ఉంటే మాత్రమే, అంటే a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= బి n.

నిర్వచనం 7.3.మొత్తంరెండు n-డైమెన్షనల్ వెక్టర్స్ ఎ= (a 1 , a 2 , ..., a n) మరియు బి= (బి 1, బి 2,…, బి n) వెక్టర్ అంటారు a + బి= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a n+ బి n).

నిర్వచనం 7.4. పనివాస్తవ సంఖ్య కెవెక్టర్ కు ఎ= (a 1 , a 2 , ..., a n) వెక్టర్ అంటారు కె× ఎ = (కె×a 1, కె×a 2,…, కె×ఎ n)

నిర్వచనం 7.5.వెక్టర్ ఓ= (0, 0, …, 0) అంటారు సున్నా(లేదా శూన్య వెక్టర్).

వెక్టర్‌లను జోడించడం మరియు వాటిని వాస్తవ సంఖ్యతో గుణించడం వంటి చర్యలు (ఆపరేషన్‌లు) క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయని ధృవీకరించడం సులభం: " a, బి, సి Î Rn, " కె, ఎల్ఓ ఆర్:

1) a + బి = బి + a;

2) a + (బి+ సి) = (a + బి) + సి;

3) a + ఓ = a;

4) a+ (–a) = ఓ;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) కె×( ఎల్× a) = ఎల్×( కె× a) = (ఎల్× కె)× a;

7) (కె + ఎల్)× a = కె× a + ఎల్× a;

8) కె×( a + బి) = కె× a + కె× బి.

నిర్వచనం 7.6.ఒక గుత్తి Rnవెక్టర్‌లను జోడించడం మరియు దానిపై ఇచ్చిన వాస్తవ సంఖ్యతో వాటిని గుణించడం వంటి కార్యకలాపాలతో పిలుస్తారు అంకగణిత n-డైమెన్షనల్ వెక్టర్ స్పేస్.

లీనియర్ ఆల్జీబ్రా కోర్సులో సరళ బీజగణిత సమీకరణాల (SLAEs) వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం అనేది నిస్సందేహంగా అత్యంత ముఖ్యమైన అంశం. గణిత శాస్త్రంలోని అన్ని శాఖల నుండి భారీ సంఖ్యలో సమస్యలు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి వస్తాయి. ఈ అంశాలు ఈ కథనానికి కారణాన్ని వివరిస్తాయి. వ్యాసం యొక్క పదార్థం ఎంపిక చేయబడింది మరియు దాని సహాయంతో మీరు చేయగలిగిన విధంగా నిర్మించబడింది

• మీ సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి సరైన పద్ధతిని ఎంచుకోండి,
• ఎంచుకున్న పద్ధతి యొక్క సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేయండి,
• సాధారణ ఉదాహరణలు మరియు సమస్యలకు వివరణాత్మక పరిష్కారాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా మీ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి.

వ్యాసం పదార్థం యొక్క సంక్షిప్త వివరణ.

మొదట, మేము అవసరమైన అన్ని నిర్వచనాలు, భావనలను ఇస్తాము మరియు సంజ్ఞామానాలను పరిచయం చేస్తాము.

తరువాత, మేము సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించే పద్ధతులను పరిశీలిస్తాము, దీనిలో సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యకు సమానం మరియు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. మొదట, మేము క్రామెర్ యొక్క పద్ధతిపై దృష్టి పెడతాము, రెండవది, అటువంటి సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి మాతృక పద్ధతిని చూపుతాము మరియు మూడవదిగా, మేము గాస్ పద్ధతిని విశ్లేషిస్తాము (తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క వరుస తొలగింపు పద్ధతి). సిద్ధాంతాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మేము ఖచ్చితంగా అనేక SLAEలను వివిధ మార్గాల్లో పరిష్కరిస్తాము.

దీని తరువాత, మేము సాధారణ రూపం యొక్క సరళ బీజగణిత సమీకరణాల పరిష్కార వ్యవస్థలకు వెళ్తాము, దీనిలో సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యతో ఏకీభవించదు లేదా సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక ఏకవచనం. క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతాన్ని రూపొందిద్దాం, ఇది SLAEల అనుకూలతను స్థాపించడానికి అనుమతిస్తుంది. మాతృక యొక్క బేస్ మైనర్ భావనను ఉపయోగించి సిస్టమ్‌ల పరిష్కారాన్ని (అవి అనుకూలంగా ఉంటే) విశ్లేషిద్దాం. మేము గాస్ పద్ధతిని కూడా పరిశీలిస్తాము మరియు ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను వివరంగా వివరిస్తాము.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల యొక్క సజాతీయ మరియు అసమాన వ్యవస్థల యొక్క సాధారణ పరిష్కారం యొక్క నిర్మాణంపై మేము ఖచ్చితంగా నివసిస్తాము. పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క భావనను ఇద్దాం మరియు SLAE యొక్క సాధారణ పరిష్కారం పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క వెక్టర్‌లను ఉపయోగించి ఎలా వ్రాయబడిందో చూపిద్దాం. మంచి అవగాహన కోసం, కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ముగింపులో, మేము సరళమైన వాటికి తగ్గించగల సమీకరణాల వ్యవస్థలను, అలాగే SLAEలు ఉత్పన్నమయ్యే పరిష్కారంలో వివిధ సమస్యలను పరిశీలిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

నిర్వచనాలు, భావనలు, హోదాలు.

మేము ఫారమ్ యొక్క n తెలియని వేరియబుల్స్ (p nకి సమానం కావచ్చు)తో p లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిశీలిస్తాము

తెలియని వేరియబుల్స్, - గుణకాలు (కొన్ని వాస్తవ లేదా సంక్లిష్ట సంఖ్యలు), - ఉచిత నిబంధనలు (వాస్తవ లేదా సంక్లిష్ట సంఖ్యలు కూడా).

SLAE రికార్డింగ్ యొక్క ఈ రూపం అంటారు సమన్వయం.

IN మాతృక రూపంఈ సమీకరణాల వ్యవస్థను వ్రాయడం ఒక రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది,
ఎక్కడ - సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక, - తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క కాలమ్ మాతృక, - ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ మ్యాట్రిక్స్.

(n+1)వ కాలమ్‌గా మాతృక Aకి ఉచిత పదాల మాతృక కాలమ్‌ని జోడిస్తే, మనం పిలవబడేవి పొందుతాము పొడిగించిన మాతృకసరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు. సాధారణంగా, పొడిగించిన మాతృక T అక్షరంతో సూచించబడుతుంది మరియు ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ మిగిలిన నిలువు వరుసల నుండి నిలువు వరుస ద్వారా వేరు చేయబడుతుంది, అనగా,

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంసిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను గుర్తింపుగా మార్చే తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క విలువల సమితి అని పిలుస్తారు. తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క ఇచ్చిన విలువలకు మాతృక సమీకరణం కూడా ఒక గుర్తింపుగా మారుతుంది.

సమీకరణాల వ్యవస్థ కనీసం ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటే, దానిని అంటారు ఉమ్మడి.

సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేనట్లయితే, దానిని అంటారు కాని ఉమ్మడి.

SLAEకి ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంటే, దానిని అంటారు ఖచ్చితంగా; ఒకటి కంటే ఎక్కువ పరిష్కారాలు ఉంటే, అప్పుడు - అనిశ్చిత.

సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాల ఉచిత నిబంధనలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటే , అప్పుడు వ్యవస్థ అంటారు సజాతీయమైన, లేకపోతే - విజాతీయమైన.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల ప్రాథమిక వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం.

సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటే మరియు దాని ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నాకి సమానం కాకపోతే, అటువంటి SLAEలు అంటారు ప్రాథమిక. ఇటువంటి సమీకరణాల వ్యవస్థలు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటాయి మరియు సజాతీయ వ్యవస్థ విషయంలో, అన్ని తెలియని వేరియబుల్స్ సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి.

మేము ఉన్నత పాఠశాలలో అటువంటి SLAEలను చదవడం ప్రారంభించాము. వాటిని పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము ఒక సమీకరణాన్ని తీసుకున్నాము, ఒక తెలియని వేరియబుల్‌ను ఇతరుల పరంగా వ్యక్తీకరించాము మరియు దానిని మిగిలిన సమీకరణాలలోకి మార్చాము, తరువాత సమీకరణాన్ని తీసుకున్నాము, తదుపరి తెలియని వేరియబుల్‌ను వ్యక్తీకరించాము మరియు దానిని ఇతర సమీకరణాలలోకి మార్చాము. లేదా వారు అదనంగా పద్ధతిని ఉపయోగించారు, అంటే, వారు కొన్ని తెలియని వేరియబుల్స్ తొలగించడానికి రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సమీకరణాలను జోడించారు. మేము ఈ పద్ధతులపై వివరంగా నివసించము, ఎందుకంటే అవి తప్పనిసరిగా గాస్ పద్ధతి యొక్క సవరణలు.

సరళ సమీకరణాల ప్రాథమిక వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతులు క్రామెర్ పద్ధతి, మాతృక పద్ధతి మరియు గాస్ పద్ధతి. వాటిని క్రమబద్ధీకరిద్దాం.

క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం.

మనం సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాలని అనుకుందాం

దీనిలో సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది మరియు సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది, అంటే, .

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిగా ఉండనివ్వండి మరియు - భర్తీ ద్వారా A నుండి పొందిన మాత్రికల నిర్ణాయకాలు 1వ, 2వ, …, వఉచిత సభ్యుల కాలమ్‌కి వరుసగా నిలువు వరుస:

ఈ సంజ్ఞామానంతో, తెలియని వేరియబుల్స్ క్రామెర్ పద్ధతి యొక్క సూత్రాలను ఉపయోగించి లెక్కించబడతాయి . ఈ విధంగా క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం కనుగొనబడింది.

ఉదాహరణ.

క్రామెర్ పద్ధతి .

పరిష్కారం.

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది . దాని నిర్ణయాన్ని గణిద్దాం (అవసరమైతే, కథనాన్ని చూడండి):

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణాయకం నాన్ జీరో అయినందున, సిస్టమ్ క్రామెర్ పద్ధతి ద్వారా కనుగొనగలిగే ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంది.

అవసరమైన నిర్ణాయకాలను కంపోజ్ చేసి గణిద్దాం (మాతృక Aలోని మొదటి కాలమ్‌ని ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో భర్తీ చేయడం ద్వారా డిటర్‌మినెంట్‌ను పొందుతాము, రెండవ నిలువు వరుసను ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో భర్తీ చేయడం ద్వారా మరియు మాతృక A యొక్క మూడవ నిలువు వరుసను ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో భర్తీ చేయడం ద్వారా మేము డిటర్మినెంట్‌ను పొందుతాము) :

సూత్రాలను ఉపయోగించి తెలియని వేరియబుల్‌లను కనుగొనడం :

సమాధానం:

క్రామెర్ యొక్క పద్ధతి యొక్క ప్రధాన ప్రతికూలత (దీనిని ప్రతికూలత అని పిలవగలిగితే) సిస్టమ్‌లోని సమీకరణాల సంఖ్య మూడు కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు డిటర్మినేట్‌లను లెక్కించడంలో సంక్లిష్టత.

మాతృక పద్ధతిని (విలోమ మాతృకను ఉపయోగించి) ఉపయోగించి సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను మాతృక రూపంలో ఇవ్వనివ్వండి, ఇక్కడ మాతృక Aకి n ద్వారా n పరిమాణం ఉంటుంది మరియు దాని నిర్ణాయకం నాన్‌జీరో.

మాత్రిక A అనేది విలోమ మాతృక కాబట్టి, విలోమ మాతృక ఉంది. మేము సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా ఎడమచే గుణించినట్లయితే, మనకు తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క మాతృక-కాలమ్‌ను కనుగొనడానికి ఒక ఫార్ములా వస్తుంది. మాతృక పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థకు ఈ విధంగా మేము పరిష్కారాన్ని పొందాము.

ఉదాహరణ.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి మాతృక పద్ధతి.

పరిష్కారం.

మాతృక రూపంలో సమీకరణాల వ్యవస్థను తిరిగి వ్రాద్దాం:

ఎందుకంటే

అప్పుడు SLAEని మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు. విలోమ మాతృకను ఉపయోగించి, ఈ వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని ఇలా కనుగొనవచ్చు .

మాతృక A యొక్క మూలకాల బీజగణిత జోడింపుల నుండి మాతృకను ఉపయోగించి విలోమ మాతృకను నిర్మిస్తాము (అవసరమైతే, కథనాన్ని చూడండి):

విలోమ మాతృకను గుణించడం ద్వారా తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క మాతృకను లెక్కించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది ఉచిత సభ్యుల మాతృక కాలమ్‌కు (అవసరమైతే, కథనాన్ని చూడండి):

సమాధానం:

లేదా మరొక సంజ్ఞామానంలో x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

మాతృక పద్ధతిని ఉపయోగించి లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలకు పరిష్కారాలను కనుగొనడంలో ప్రధాన సమస్య విలోమ మాతృకను కనుగొనడంలో సంక్లిష్టత, ముఖ్యంగా మూడవ కంటే ఎక్కువ ఆర్డర్ యొక్క చదరపు మాత్రికల కోసం.

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం.

n తెలియని వేరియబుల్స్‌తో n లీనియర్ సమీకరణాల వ్యవస్థకు మనం పరిష్కారం కనుగొనవలసి ఉందని అనుకుందాం.
ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణాయకం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది.

గాస్ పద్ధతి యొక్క సారాంశంతెలియని వేరియబుల్స్‌ను వరుసగా తొలగించడాన్ని కలిగి ఉంటుంది: మొదటిది, x 1 అనేది సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాల నుండి మినహాయించబడుతుంది, రెండవది నుండి ప్రారంభించబడుతుంది, ఆపై x 2 అన్ని సమీకరణాల నుండి మినహాయించబడుతుంది, మూడవది నుండి మొదలవుతుంది, ఇంకా తెలియని వేరియబుల్ x n మాత్రమే మిగిలి ఉంటుంది. చివరి సమీకరణంలో. తెలియని వేరియబుల్స్‌ను వరుసగా తొలగించడానికి సిస్టమ్ సమీకరణాలను మార్చే ఈ ప్రక్రియ అంటారు ప్రత్యక్ష గాస్సియన్ పద్ధతి. గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క ఫార్వర్డ్ స్ట్రోక్‌ను పూర్తి చేసిన తర్వాత, చివరి సమీకరణం నుండి x n కనుగొనబడింది, చివరి సమీకరణం నుండి ఈ విలువను ఉపయోగించి, x n-1 లెక్కించబడుతుంది మరియు అందువలన, మొదటి సమీకరణం నుండి x 1 కనుగొనబడుతుంది. సిస్టమ్ యొక్క చివరి సమీకరణం నుండి మొదటిదానికి వెళ్లేటప్పుడు తెలియని వేరియబుల్స్‌ను లెక్కించే ప్రక్రియ అంటారు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క విలోమం.

తెలియని వేరియబుల్స్‌ని తొలగించే అల్గారిథమ్‌ను క్లుప్తంగా వివరిస్తాము.

సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం ద్వారా మేము దీన్ని ఎల్లప్పుడూ సాధించగలము కాబట్టి మేము దానిని ఊహించుకుంటాము. రెండవదానితో ప్రారంభించి సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాల నుండి తెలియని వేరియబుల్ x 1ని తొలగిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణానికి మేము మొదటిదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి , మూడవ సమీకరణానికి మేము మొదటిదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి , మరియు అందువలన, n వ సమీకరణానికి మేము మొదటిదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి . అటువంటి పరివర్తనల తర్వాత సమీకరణాల వ్యవస్థ రూపం తీసుకుంటుంది

ఎక్కడ మరియు .

సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణంలో ఇతర తెలియని వేరియబుల్స్ పరంగా x 1ని వ్యక్తీకరించి, ఫలిత వ్యక్తీకరణను అన్ని ఇతర సమీకరణాలలోకి మార్చినట్లయితే మనం అదే ఫలితానికి చేరుకుంటాము. అందువలన, వేరియబుల్ x 1 అన్ని సమీకరణాల నుండి మినహాయించబడుతుంది, రెండవది నుండి ప్రారంభమవుతుంది.

తరువాత, మేము ఇదే విధంగా కొనసాగుతాము, కానీ ఫలిత వ్యవస్థలో కొంత భాగం మాత్రమే, ఇది చిత్రంలో గుర్తించబడింది

దీన్ని చేయడానికి, సిస్టమ్ యొక్క మూడవ సమీకరణానికి మనం రెండవదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి, నాల్గవ సమీకరణానికి మనం రెండవదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి గుణించాలి, మరియు అందువలన, n వ సమీకరణానికి మేము రెండవదాన్ని జోడిస్తాము, గుణించి . అటువంటి పరివర్తనల తర్వాత సమీకరణాల వ్యవస్థ రూపం తీసుకుంటుంది

ఎక్కడ మరియు . అందువలన, వేరియబుల్ x 2 అన్ని సమీకరణాల నుండి మినహాయించబడుతుంది, ఇది మూడవది నుండి ప్రారంభమవుతుంది.

తరువాత, మేము తెలియని x 3ని తొలగించడానికి కొనసాగుతాము, అదే సమయంలో చిత్రంలో గుర్తించబడిన సిస్టమ్ భాగంతో మేము అదే విధంగా వ్యవహరిస్తాము.

కాబట్టి సిస్టమ్ రూపాన్ని తీసుకునే వరకు మేము గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క ప్రత్యక్ష పురోగతిని కొనసాగిస్తాము

ఈ క్షణం నుండి మేము గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క రివర్స్‌ను ప్రారంభిస్తాము: మేము చివరి సమీకరణం నుండి x n ను గణిస్తాము, x n యొక్క పొందిన విలువను ఉపయోగించి మనం చివరి సమీకరణం నుండి x n-1ని కనుగొంటాము మరియు మొదటి సమీకరణం నుండి x 1ని కనుగొంటాము .

ఉదాహరణ.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి గాస్ పద్ధతి.

పరిష్కారం.

సిస్టమ్ యొక్క రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాల నుండి తెలియని వేరియబుల్ x 1ని మినహాయిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాల యొక్క రెండు వైపులా మేము మొదటి సమీకరణం యొక్క సంబంధిత భాగాలను జోడిస్తాము, వరుసగా మరియు గుణించి:

ఇప్పుడు మేము మూడవ సమీకరణం నుండి x 2ని తొలగిస్తాము, దాని ఎడమ మరియు కుడి వైపులా రెండవ సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా గుణించి:

ఇది గాస్ పద్ధతి యొక్క ఫార్వర్డ్ స్ట్రోక్‌ను పూర్తి చేస్తుంది; మేము రివర్స్ స్ట్రోక్‌ను ప్రారంభిస్తాము.

ఫలిత సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క చివరి సమీకరణం నుండి మనం x 3ని కనుగొంటాము:

రెండవ సమీకరణం నుండి మనం పొందుతాము.

మొదటి సమీకరణం నుండి మనం మిగిలిన తెలియని వేరియబుల్‌ని కనుగొంటాము మరియు తద్వారా గాస్ పద్ధతి యొక్క రివర్స్‌ను పూర్తి చేస్తాము.

సమాధానం:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

సాధారణ రూపం యొక్క సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం.

సాధారణంగా, సిస్టమ్ p యొక్క సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ n సంఖ్యతో ఏకీభవించదు:

ఇటువంటి SLAEలు ఎటువంటి పరిష్కారాలను కలిగి ఉండకపోవచ్చు, ఒకే పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండవచ్చు లేదా అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉండవచ్చు. ఈ ప్రకటన సమీకరణాల వ్యవస్థలకు కూడా వర్తిస్తుంది, దీని ప్రధాన మాతృక చతురస్రం మరియు ఏకవచనం.

క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని కనుగొనే ముందు, దాని అనుకూలతను స్థాపించడం అవసరం. SLAE ఎప్పుడు అనుకూలంగా ఉంటుంది మరియు ఎప్పుడు అస్థిరంగా ఉంటుంది అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వబడుతుంది క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం:
n తెలియని (p nకి సమానం కావచ్చు) ఉన్న p సమీకరణాల వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉండాలంటే, సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌కు సమానంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది. , ర్యాంక్(A)=ర్యాంక్(T).

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క అనుకూలతను నిర్ణయించడానికి క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం యొక్క అనువర్తనాన్ని ఉదాహరణగా పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉందో లేదో తెలుసుకోండి పరిష్కారాలు.

పరిష్కారం.

. మైనర్‌లను సరిహద్దు చేసే పద్ధతిని ఉపయోగించుకుందాం. రెండవ క్రమంలో మైనర్ సున్నా నుండి భిన్నమైనది. దాని సరిహద్దులో ఉన్న థర్డ్-ఆర్డర్ మైనర్‌లను చూద్దాం:

మూడవ క్రమంలో సరిహద్దు మైనర్‌లందరూ సున్నాకి సమానం కాబట్టి, ప్రధాన మాతృక ర్యాంక్ రెండుకి సమానం.

క్రమంగా, పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ మైనర్ మూడవ క్రమానికి చెందినది కనుక ఇది మూడింటికి సమానం

సున్నా నుండి భిన్నమైనది.

ఈ విధంగా, రాంగ్(A), కాబట్టి, క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, సరళ సమీకరణాల యొక్క అసలు వ్యవస్థ అస్థిరంగా ఉందని మేము నిర్ధారించగలము.

సమాధానం:

వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేవు.

కాబట్టి, క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి సిస్టమ్ యొక్క అస్థిరతను స్థాపించడం నేర్చుకున్నాము.

కానీ దాని అనుకూలత స్థాపించబడినట్లయితే SLAEకి పరిష్కారాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?

దీన్ని చేయడానికి, మాతృక యొక్క బేసిస్ మైనర్ భావన మరియు మాతృక యొక్క ర్యాంక్ గురించి సిద్ధాంతం అవసరం.

సున్నాకి భిన్నమైన మాతృక A యొక్క అత్యధిక క్రమాన్ని మైనర్ అంటారు ప్రాథమిక.

బేసిస్ మైనర్ యొక్క నిర్వచనం నుండి దాని క్రమం మాతృక ర్యాంక్‌కు సమానం అని అనుసరిస్తుంది. నాన్-జీరో మ్యాట్రిక్స్ A కోసం అనేక బేసిస్ మైనర్‌లు ఉండవచ్చు; ఎల్లప్పుడూ ఒక బేసిస్ మైనర్ ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, మాతృకను పరిగణించండి .

ఈ మాతృక యొక్క మూడవ వరుసలోని మూలకాలు మొదటి మరియు రెండవ వరుసల సంబంధిత మూలకాల మొత్తం అయినందున, ఈ మాతృకలోని అన్ని మూడవ-క్రమం మైనర్‌లు సున్నాకి సమానం.

కింది సెకండ్-ఆర్డర్ మైనర్‌లు ప్రాథమికమైనవి, ఎందుకంటే అవి సున్నా కాదు

మైనర్లు ప్రాథమికమైనవి కావు, ఎందుకంటే అవి సున్నాకి సమానం.

మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్ సిద్ధాంతం.

n ద్వారా p ఆర్డర్ యొక్క మాతృక యొక్క ర్యాంక్ rకి సమానం అయితే, ఎంచుకున్న ఆధారం మైనర్‌ను ఏర్పరచని మాతృకలోని అన్ని అడ్డు వరుస (మరియు నిలువు వరుస) మూలకాలు సంబంధిత అడ్డు వరుస (మరియు నిలువు వరుస) మూలకాలు ఏర్పడే పరంగా సరళంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి. ఆధారం మైనర్.

మాతృక ర్యాంక్ సిద్ధాంతం మనకు ఏమి చెబుతుంది?

ఒకవేళ, క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం ప్రకారం, మేము సిస్టమ్ యొక్క అనుకూలతను ఏర్పరచినట్లయితే, అప్పుడు మేము సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృకలో ఏదైనా చిన్న ప్రాతిపదికను ఎంచుకుంటాము (దాని క్రమం r కి సమానం), మరియు సిస్టమ్ నుండి అన్ని సమీకరణాలను మినహాయించండి ఎంచుకున్న ప్రాతిపదికన మైనర్‌గా ఏర్పడదు. ఈ విధంగా పొందిన SLAE అసలైన దానికి సమానంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే విస్మరించిన సమీకరణాలు ఇప్పటికీ అనవసరంగా ఉంటాయి (మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, అవి మిగిలిన సమీకరణాల సరళ కలయిక).

ఫలితంగా, వ్యవస్థ యొక్క అనవసరమైన సమీకరణాలను విస్మరించిన తర్వాత, రెండు కేసులు సాధ్యమే.

ఫలిత వ్యవస్థలో r సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటే, అది ఖచ్చితంగా ఉంటుంది మరియు క్రామెర్ పద్ధతి, మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి లేదా గాస్ పద్ధతి ద్వారా మాత్రమే పరిష్కారం కనుగొనబడుతుంది.

ఉదాహరణ.

.

పరిష్కారం.

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ మైనర్ రెండవ శ్రేణికి చెందినది కనుక ఇది రెండింటికి సమానం సున్నా నుండి భిన్నమైనది. విస్తరించిన మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్ మూడవ ఆర్డర్ మైనర్ మాత్రమే సున్నా కాబట్టి, ఇది రెండుకి సమానం

మరియు పైన పరిగణించబడిన రెండవ-ఆర్డర్ మైనర్ సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది. క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం ఆధారంగా, మేము ర్యాంక్(A)=ర్యాంక్(T)=2 కాబట్టి, సరళ సమీకరణాల యొక్క అసలైన వ్యవస్థ యొక్క అనుకూలతను నొక్కి చెప్పవచ్చు.

మైనర్‌గా మనం తీసుకుంటాము . ఇది మొదటి మరియు రెండవ సమీకరణాల గుణకాల ద్వారా ఏర్పడుతుంది:


సిస్టమ్ యొక్క మూడవ సమీకరణం బేస్ మైనర్ ఏర్పడటంలో పాల్గొనదు, కాబట్టి మేము దానిని మాతృక ర్యాంక్‌పై సిద్ధాంతం ఆధారంగా సిస్టమ్ నుండి మినహాయించాము:


ఈ విధంగా మేము సరళ బీజగణిత సమీకరణాల ప్రాథమిక వ్యవస్థను పొందాము. క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి దాన్ని పరిష్కరిద్దాం:


సమాధానం:

x 1 = 1, x 2 = 2.

ఫలితంగా వచ్చే SLAEలోని r సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వేరియబుల్స్ n కంటే తక్కువగా ఉంటే, సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపున చిన్న ఆధారాన్ని ఏర్పరిచే నిబంధనలను వదిలివేస్తాము మరియు మిగిలిన నిబంధనలను కుడి వైపులా బదిలీ చేస్తాము వ్యతిరేక గుర్తుతో సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలు.

సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపున మిగిలి ఉన్న తెలియని వేరియబుల్స్ (వాటిలో r) అంటారు ప్రధాన.

కుడి వైపున ఉన్న తెలియని వేరియబుల్స్ (n - r ముక్కలు ఉన్నాయి) అంటారు ఉచిత.

ఇప్పుడు మేము ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్ ఏకపక్ష విలువలను తీసుకోవచ్చని మేము విశ్వసిస్తున్నాము, అయితే r ప్రధాన తెలియని వేరియబుల్స్ ప్రత్యేక మార్గంలో ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి. క్రామర్ పద్ధతి, మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి లేదా గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఫలిత SLAEని పరిష్కరించడం ద్వారా వాటి వ్యక్తీకరణను కనుగొనవచ్చు.

దానిని ఒక ఉదాహరణతో పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి .

పరిష్కారం.

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను కనుగొనండి మైనర్లను సరిహద్దు చేసే పద్ధతి ద్వారా. మొదటి ఆర్డర్‌లో 1 1 = 1ని సున్నా కాని మైనర్‌గా తీసుకుందాం. ఈ మైనర్ సరిహద్దులో ఉన్న రెండవ ఆర్డర్‌లో సున్నా కాని మైనర్ కోసం వెతకడం ప్రారంభిద్దాం:


ఈ విధంగా మేము రెండవ క్రమంలో సున్నా కాని మైనర్‌ని కనుగొన్నాము. మూడవ క్రమంలో సున్నా కాని సరిహద్దు మైనర్ కోసం శోధించడం ప్రారంభిద్దాం:


అందువలన, ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ మూడు. పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ కూడా మూడుకి సమానం, అంటే సిస్టమ్ స్థిరంగా ఉంటుంది.

మేము మూడవ క్రమంలో కనుగొనబడిన నాన్-జీరో మైనర్‌ను ప్రాతిపదికగా తీసుకుంటాము.

స్పష్టత కోసం, మేము మైనర్ ఆధారంగా ఉండే అంశాలను చూపుతాము:


మేము సిస్టమ్ సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపున చిన్న ప్రాతిపదికన ఉన్న నిబంధనలను వదిలివేస్తాము మరియు మిగిలిన వాటిని కుడి వైపులా వ్యతిరేక సంకేతాలతో బదిలీ చేస్తాము:


ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్ x 2 మరియు x 5 ఏకపక్ష విలువలను ఇద్దాం, అంటే మేము అంగీకరిస్తాము , ఏకపక్ష సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయి. ఈ సందర్భంలో, SLAE రూపం తీసుకుంటుంది


క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ బీజగణిత సమీకరణాల ఫలితంగా వచ్చే ప్రాథమిక వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం:


అందుకే, .

మీ సమాధానంలో, ఉచిత తెలియని వేరియబుల్‌లను సూచించడం మర్చిపోవద్దు.

సమాధానం:

ఏకపక్ష సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయి.

సంగ్రహించండి.

సాధారణ రేఖీయ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి, మేము మొదట క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి దాని అనుకూలతను నిర్ణయిస్తాము. ప్రధాన మాత్రిక యొక్క ర్యాంక్ పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌కు సమానంగా లేకుంటే, సిస్టమ్ అననుకూలంగా ఉందని మేము నిర్ధారించాము.

ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌కు సమానం అయితే, మేము బేసిస్ మైనర్‌ను ఎంచుకుంటాము మరియు ఎంచుకున్న ప్రాతిపదికన మైనర్ ఏర్పడటంలో పాల్గొనని సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలను విస్మరిస్తాము.

ప్రాతిపదిక మైనర్ యొక్క క్రమం తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటే, SLAE ఒక ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇది మనకు తెలిసిన ఏదైనా పద్ధతి ద్వారా కనుగొనబడుతుంది.

బేసిస్ మైనర్ యొక్క క్రమం తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటే, సిస్టమ్ సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపున మేము ప్రధాన తెలియని వేరియబుల్స్‌తో నిబంధనలను వదిలివేస్తాము, మిగిలిన నిబంధనలను కుడి వైపులా బదిలీ చేస్తాము మరియు ఏకపక్ష విలువలను ఇస్తాము. ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్. సరళ సమీకరణాల యొక్క ఫలిత వ్యవస్థ నుండి మేము క్రామెర్ పద్ధతి, మాతృక పద్ధతి లేదా గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రధాన తెలియని వేరియబుల్‌లను కనుగొంటాము.

సాధారణ రూపం యొక్క సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి గాస్ పద్ధతి.

గాస్ పద్ధతిని మొదట స్థిరత్వం కోసం పరీక్షించకుండానే ఏ రకమైన సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించవచ్చు. తెలియని వేరియబుల్స్ యొక్క సీక్వెన్షియల్ ఎలిమినేషన్ ప్రక్రియ SLAE యొక్క అనుకూలత మరియు అననుకూలత రెండింటి గురించి ఒక తీర్మానం చేయడం సాధ్యపడుతుంది మరియు ఒక పరిష్కారం ఉన్నట్లయితే, దానిని కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది.

గణన కోణం నుండి, గాస్సియన్ పద్ధతి ఉత్తమం.

సాధారణ సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి గాస్ పద్ధతి వ్యాసంలో దాని వివరణాత్మక వివరణ మరియు విశ్లేషించబడిన ఉదాహరణలను చూడండి.

పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క వెక్టర్లను ఉపయోగించి సజాతీయ మరియు అసమాన సరళ బీజగణిత వ్యవస్థలకు సాధారణ పరిష్కారాన్ని వ్రాయడం.

ఈ విభాగంలో మనం అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న సరళ బీజగణిత సమీకరణాల ఏకకాల సజాతీయ మరియు అసమాన వ్యవస్థల గురించి మాట్లాడుతాము.

మొదట సజాతీయ వ్యవస్థలతో వ్యవహరిస్తాము.

పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ n తెలియని వేరియబుల్స్‌తో p లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ ఈ వ్యవస్థ యొక్క (n - r) సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాల సమాహారం, ఇక్కడ r అనేది సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ఆధారమైన మైనర్ యొక్క క్రమం.

మేము X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) వంటి సజాతీయ SLAE యొక్క సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలను సూచిస్తే n పరిమాణం యొక్క స్తంభాల మాత్రికలు ద్వారా 1) , అప్పుడు ఈ సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం ఏకపక్ష స్థిరమైన గుణకాలు C 1, C 2, ..., C (n-r), అనగా పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క వెక్టర్స్ యొక్క సరళ కలయికగా సూచించబడుతుంది.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల (ఓరోస్లా) సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం అనే పదానికి అర్థం ఏమిటి?

అర్థం చాలా సులభం: ఫార్ములా అసలు SLAE యొక్క అన్ని పరిష్కారాలను నిర్దేశిస్తుంది, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మేము చేసే ఫార్ములాని ఉపయోగించి ఏకపక్ష స్థిరాంకాల C 1, C 2, ..., C (n-r) యొక్క ఏదైనా విలువలను తీసుకుంటుంది. అసలైన సజాతీయ SLAE యొక్క పరిష్కారాలలో ఒకదాన్ని పొందండి.

అందువల్ల, మేము పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను కనుగొంటే, అప్పుడు మేము ఈ సజాతీయ SLAE యొక్క అన్ని పరిష్కారాలను ఇలా నిర్వచించవచ్చు.

సజాతీయ SLAEకి పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను నిర్మించే ప్రక్రియను చూపుదాం.

మేము సరళ సమీకరణాల యొక్క అసలైన సిస్టమ్ యొక్క ఆధారమైన మైనర్‌ని ఎంచుకుంటాము, సిస్టమ్ నుండి అన్ని ఇతర సమీకరణాలను మినహాయించి మరియు ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్‌ని కలిగి ఉన్న అన్ని పదాలను వ్యతిరేక సంకేతాలతో సిస్టమ్ సమీకరణాల యొక్క కుడి వైపునకు బదిలీ చేస్తాము. ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్‌కు 1,0,0,...,0 విలువలను ఇద్దాం మరియు ఏ విధంగానైనా సరళ సమీకరణాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను పరిష్కరించడం ద్వారా ప్రధాన తెలియని వాటిని లెక్కించండి, ఉదాహరణకు, క్రామర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి. ఇది X (1)కి దారి తీస్తుంది - ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క మొదటి పరిష్కారం. మేము ఉచిత తెలియని వాటికి 0,1,0,0,…,0 విలువలను ఇచ్చి, ప్రధాన తెలియని వాటిని గణిస్తే, మనకు X (2) వస్తుంది. మరియు అందువలన న. మనం ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్‌కు 0.0,…,0.1 విలువలను కేటాయించి, ప్రధాన తెలియని వాటిని గణిస్తే, మేము X (n-r)ని పొందుతాము. ఈ విధంగా, సజాతీయ SLAEకి పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ నిర్మించబడుతుంది మరియు దాని సాధారణ పరిష్కారాన్ని రూపంలో వ్రాయవచ్చు.

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల యొక్క అసమాన వ్యవస్థల కోసం, సాధారణ పరిష్కారం రూపంలో సూచించబడుతుంది, ఇక్కడ సంబంధిత సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం మరియు అసలైన అసమానమైన SLAE యొక్క ప్రత్యేక పరిష్కారం, ఇది ఉచితంగా తెలియని వాటికి విలువలను అందించడం ద్వారా మేము పొందుతాము 0,0,...,0 మరియు ప్రధాన తెలియని వాటి విలువలను గణించడం.

ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ మరియు సరళ బీజగణిత సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి .

పరిష్కారం.

సరళ సమీకరణాల యొక్క సజాతీయ వ్యవస్థల యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ ఎల్లప్పుడూ పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌కు సమానంగా ఉంటుంది. మైనర్‌లను సరిహద్దు చేసే పద్ధతిని ఉపయోగించి ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను కనుగొనండి. మొదటి ఆర్డర్‌లో సున్నా కాని మైనర్‌గా, మేము సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృకలో 1 1 = 9 మూలకాన్ని తీసుకుంటాము. రెండవ ఆర్డర్‌లో సున్నా కాని మైనర్ సరిహద్దును కనుగొనండి:

సున్నాకి భిన్నమైన రెండవ ఆర్డర్‌లో మైనర్ కనుగొనబడింది. సున్నా కాని వాటి కోసం దాని సరిహద్దులో ఉన్న మూడవ-ఆర్డర్ మైనర్‌ల ద్వారా వెళ్దాం:

అన్ని మూడవ-ఆర్డర్ సరిహద్దు మైనర్‌లు సున్నాకి సమానం, కాబట్టి, ప్రధాన మరియు పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ రెండుకి సమానం. తీసుకుందాం. స్పష్టత కోసం, దానిని రూపొందించే సిస్టమ్ యొక్క అంశాలను గమనించండి:

అసలు SLAE యొక్క మూడవ సమీకరణం ఆధారం మైనర్ ఏర్పడటంలో పాల్గొనదు, కాబట్టి, దీనిని మినహాయించవచ్చు:

మేము సమీకరణాల యొక్క కుడి వైపున ప్రధాన తెలియని వాటిని కలిగి ఉన్న నిబంధనలను వదిలివేస్తాము మరియు ఉచిత తెలియని వాటితో ఉన్న నిబంధనలను కుడి వైపులకు బదిలీ చేస్తాము:

సరళ సమీకరణాల యొక్క అసలైన సజాతీయ వ్యవస్థకు పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను రూపొందిద్దాం. ఈ SLAE యొక్క ప్రాథమిక పరిష్కారాల వ్యవస్థ రెండు పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే అసలు SLAE నాలుగు తెలియని వేరియబుల్‌లను కలిగి ఉంటుంది మరియు దాని ప్రాతిపదికన మైనర్ యొక్క క్రమం రెండుకి సమానం. X (1)ని కనుగొనడానికి, మేము ఉచిత తెలియని వేరియబుల్స్‌కు x 2 = 1, x 4 = 0 విలువలను ఇస్తాము, ఆపై సమీకరణాల వ్యవస్థ నుండి ప్రధాన తెలియని వాటిని కనుగొంటాము
.

సేవ యొక్క ఉద్దేశ్యం. ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్ SLAEకి అల్పమైన మరియు ప్రాథమిక పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి రూపొందించబడింది. ఫలిత పరిష్కారం వర్డ్ ఫైల్‌లో సేవ్ చేయబడుతుంది (ఉదాహరణ పరిష్కారం చూడండి).

సూచనలు. మాతృక పరిమాణాన్ని ఎంచుకోండి:

సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థల లక్షణాలు

సిద్ధాంతం. ఈ సిస్టమ్ యొక్క డిటర్మినేంట్ సున్నాకి సమానం అయితే మాత్రమే m=n సందర్భంలో సిస్టమ్ నాన్‌ట్రివియల్ సొల్యూషన్‌ను కలిగి ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం. సిస్టమ్‌కు పరిష్కారాల యొక్క ఏదైనా సరళ కలయిక కూడా ఆ వ్యవస్థకు పరిష్కారం.
నిర్వచనం. సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల సమితిని అంటారు పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ, ఈ సెట్ సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటే మరియు సిస్టమ్‌కు ఏదైనా పరిష్కారం ఈ పరిష్కారాల సరళ కలయికగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం. సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ర్యాంక్ r అనేది తెలియని వాటి సంఖ్య n కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు (n-r) పరిష్కారాలతో కూడిన ప్రాథమిక పరిష్కారాల వ్యవస్థ ఉంది.

సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం

1. మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను కనుగొనడం.
2. మేము ప్రాథమిక మైనర్‌ని ఎంచుకుంటాము. మేము ఆధారపడిన (ప్రాథమిక) మరియు ఉచిత తెలియని వాటిని వేరు చేస్తాము.
3. గుణకాలు బేసిస్ మైనర్‌లో చేర్చబడని సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలను మేము దాటవేస్తాము, ఎందుకంటే అవి ఇతరుల యొక్క పరిణామాలు (మైనర్ ఆధారంగా సిద్ధాంతం ప్రకారం).
4. మేము ఉచిత తెలియని వాటిని కలిగి ఉన్న సమీకరణాల నిబంధనలను కుడి వైపుకు తరలిస్తాము. ఫలితంగా, మేము r తెలియని వాటితో r సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము, ఇచ్చిన దానికి సమానం, దీని నిర్ణయాధికారి నాన్జీరో.
5. మేము తెలియని వాటిని తొలగించడం ద్వారా ఫలిత వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము. ఉచితమైన వాటి ద్వారా డిపెండెంట్ వేరియబుల్స్‌ని వ్యక్తపరిచే సంబంధాలను మేము కనుగొంటాము.
6. మాతృక యొక్క ర్యాంక్ వేరియబుల్స్ సంఖ్యకు సమానంగా లేకపోతే, అప్పుడు మేము సిస్టమ్ యొక్క ప్రాథమిక పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము.
7. rang = n విషయంలో మనకు ఒక చిన్నవిషయమైన పరిష్కారం ఉంది.

ఉదాహరణ. వెక్టర్స్ సిస్టమ్ యొక్క ఆధారాన్ని కనుగొనండి (a 1, a 2,...,a m), ఆధారం ఆధారంగా వెక్టర్‌లను ర్యాంక్ చేయండి మరియు వ్యక్తపరచండి. ఒక 1 =(0,0,1,-1), మరియు 2 =(1,1,2,0), మరియు 3 =(1,1,1,1), మరియు 4 =(3,2,1 ,4), మరియు 5 =(2,1,0,3).
సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృకను వ్రాస్దాం:

ఒక సజాతీయ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు అల్పమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది
. నాన్‌ట్రివియల్ సొల్యూషన్ ఉనికిలో ఉండాలంటే, మాతృక యొక్క ర్యాంక్ అవసరం తెలియని వారి సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంది:

.

పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ సజాతీయ వ్యవస్థ
కాలమ్ వెక్టర్స్ రూపంలో పరిష్కారాల వ్యవస్థను కాల్ చేయండి
, ఇది కానానికల్ ప్రాతిపదికన అనుగుణంగా ఉంటుంది, అనగా. ఆధారం దీనిలో ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు
ప్రత్యామ్నాయంగా ఒకదానికి సమానంగా సెట్ చేయబడతాయి, మిగిలినవి సున్నాకి సెట్ చేయబడతాయి.

అప్పుడు సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

ఎక్కడ
- ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మొత్తం పరిష్కారం అనేది పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క సరళ కలయిక.

ఈ విధంగా, ఉచిత తెలియని వాటికి ఒకదాని విలువను అందజేసి, మిగతావన్నీ సున్నాకి సమానంగా ఉంచినట్లయితే సాధారణ పరిష్కారం నుండి ప్రాథమిక పరిష్కారాలను పొందవచ్చు.

ఉదాహరణ. వ్యవస్థకు పరిష్కారం వెతుకుదాం

అంగీకరిద్దాం, అప్పుడు మేము రూపంలో పరిష్కారాన్ని పొందుతాము:

ఇప్పుడు మనం పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను రూపొందిద్దాం:

.

సాధారణ పరిష్కారం ఇలా వ్రాయబడుతుంది:

సజాతీయ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాలు క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సజాతీయ వ్యవస్థకు పరిష్కారాల యొక్క ఏదైనా సరళ కలయిక మళ్లీ ఒక పరిష్కారం.

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం అనేక శతాబ్దాలుగా గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ఆసక్తిని కలిగి ఉంది. మొదటి ఫలితాలు 18వ శతాబ్దంలో పొందబడ్డాయి. 1750లో, G. క్రామెర్ (1704–1752) చతురస్రాకార మాత్రికల నిర్ణాయకాలపై తన రచనలను ప్రచురించాడు మరియు విలోమ మాతృకను కనుగొనడానికి ఒక అల్గారిథమ్‌ను ప్రతిపాదించాడు. 1809లో, గాస్ తొలగింపు పద్ధతిగా పిలువబడే ఒక కొత్త పరిష్కార పద్ధతిని వివరించాడు.

గాస్ పద్ధతి, లేదా తెలియని వాటిని క్రమం తప్పకుండా తొలగించే పద్ధతి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, సమీకరణాల వ్యవస్థ ఒక దశ (లేదా త్రిభుజాకార) రూపంలో సమానమైన వ్యవస్థకు తగ్గించబడుతుంది. ఇటువంటి వ్యవస్థలు ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో తెలియని అన్నింటిని వరుసగా కనుగొనడాన్ని సాధ్యం చేస్తాయి.

సిస్టమ్ (1)లో అని అనుకుందాం
(ఇది ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమే).

(1)

మొదటి సమీకరణాన్ని ఒక్కొక్కటిగా పిలవబడే వాటితో గుణించడం తగిన సంఖ్యలు

మరియు సిస్టమ్ యొక్క సంబంధిత సమీకరణాలతో గుణకారం యొక్క ఫలితాన్ని జోడించడం ద్వారా, మేము సమానమైన వ్యవస్థను పొందుతాము, దీనిలో మొదటిది మినహా అన్ని సమీకరణాలలో తెలియనిది ఉండదు. X 1

(2)

ఇప్పుడు మనం సిస్టమ్ (2) యొక్క రెండవ సమీకరణాన్ని తగిన సంఖ్యలతో గుణిద్దాం

,

మరియు దిగువ వాటిని జోడించడం, మేము వేరియబుల్ను తొలగిస్తాము అన్ని సమీకరణాల నుండి, మూడవది నుండి.

ఈ ప్రక్రియను కొనసాగించడం, తర్వాత
మేము పొందే దశ:

(3)

సంఖ్యలలో కనీసం ఒకటి ఉంటే
సున్నాకి సమానం కాదు, అప్పుడు సంబంధిత సమానత్వం విరుద్ధంగా ఉంటుంది మరియు సిస్టమ్ (1) అస్థిరంగా ఉంటుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, ఏదైనా జాయింట్ నంబర్ సిస్టమ్ కోసం
సున్నాకి సమానం. సంఖ్య వ్యవస్థ యొక్క మాతృక (1) యొక్క ర్యాంక్ కంటే ఎక్కువ కాదు.

సిస్టమ్ (1) నుండి (3)కి మారడాన్ని అంటారు నేరుగా ముందుకు గాస్ పద్ధతి, మరియు (3) నుండి తెలియని వాటిని కనుగొనడం – రివర్స్ లో .

వ్యాఖ్య : సమీకరణాలతో కాకుండా, సిస్టమ్ (1) యొక్క పొడిగించిన మాతృకతో పరివర్తనలను నిర్వహించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ. వ్యవస్థకు పరిష్కారం వెతుకుదాం

.

సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాద్దాం:

.

మొదటి దానిని వరుసగా (-2), (-3), (-2) ద్వారా గుణించిన 2,3,4 పంక్తులకు జోడిద్దాము:

.

2 మరియు 3 అడ్డు వరుసలను ఇచ్చిపుచ్చుకుందాం, ఫలితంగా వచ్చే మ్యాట్రిక్స్‌లో అడ్డు వరుస 2ని అడ్డు వరుస 4కి జోడించి, గుణించండి :

.

4 పంక్తి 3కి గుణించిన పంక్తికి జోడించండి
:

.

అది స్పష్టంగా ఉంది
, కాబట్టి, వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉంటుంది. సమీకరణాల ఫలిత వ్యవస్థ నుండి

మేము రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము:

,
,
,
.

ఉదాహరణ 2.సిస్టమ్‌కు పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి:

.

వ్యవస్థ అస్థిరంగా ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, ఎందుకంటే
, ఎ
.

గాస్ పద్ధతి యొక్క ప్రయోజనాలు :

క్రామెర్ పద్ధతి కంటే తక్కువ శ్రమశక్తి.

సిస్టమ్ యొక్క అనుకూలతను నిస్సందేహంగా ఏర్పాటు చేస్తుంది మరియు పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఏదైనా మాత్రికల ర్యాంక్‌ని నిర్ణయించడం సాధ్యం చేస్తుంది.