Inhomogeneous differential equation ng pangalawang order. Linear inhomogeneous second order differential equation na may pare-parehong coefficient

Sa lecture, pinag-aaralan ang mga LNDE - mga linear inhomogeneous differential equation. Ang istraktura ng pangkalahatang solusyon ay isinasaalang-alang, ang solusyon ng LPDE sa pamamagitan ng paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constants, ang solusyon ng LDDE na may pare-parehong mga coefficient at ang kanang bahagi ng isang espesyal na anyo. Ang mga isyung isinasaalang-alang ay ginagamit sa pag-aaral ng sapilitang mga oscillation sa physics, electrical engineering at electronics, at ang teorya ng awtomatikong kontrol.

1. Structure ng pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation ng 2nd order.

Isaalang-alang muna natin ang isang linear inhomogeneous equation ng arbitrary order:

Isinasaalang-alang ang notasyon, maaari naming isulat:

Sa kasong ito, ipagpalagay namin na ang mga coefficient at ang kanang bahagi ng equation na ito ay tuloy-tuloy sa isang tiyak na pagitan.

Teorama. Ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation sa isang tiyak na domain ay ang kabuuan ng alinman sa mga solusyon nito at ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang linear homogeneous differential equation.

Patunay. Hayaang maging solusyon ang Y sa isang hindi magkakatulad na equation.

Pagkatapos, kapag pinapalitan ang solusyon na ito sa orihinal na equation, nakukuha natin ang pagkakakilanlan:

Hayaan
- pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang linear homogenous equation
. Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay maaaring isulat bilang:

Sa partikular, para sa isang linear inhomogeneous differential equation ng 2nd order, ang istraktura ng pangkalahatang solusyon ay may anyo:

saan
ay ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa katumbas na homogenous equation, at
- anumang partikular na solusyon ng isang inhomogeneous equation.

Kaya, upang malutas ang isang linear inhomogeneous differential equation, ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa katumbas na homogenous equation at kahit papaano ay makahanap ng isang partikular na solusyon sa inhomogeneous equation. Kadalasan ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpili. Isasaalang-alang namin ang mga paraan para sa pagpili ng pribadong solusyon sa mga sumusunod na tanong.

2. Paraan ng pagkakaiba-iba

Sa pagsasagawa, ito ay maginhawa upang gamitin ang paraan ng iba't ibang mga arbitrary constants.

Upang gawin ito, maghanap muna ng pangkalahatang solusyon sa katumbas na homogenous na equation sa anyo:

Pagkatapos, paglalagay ng mga coefficient C i mga function mula sa X, hinahangad ang isang solusyon sa hindi magkakatulad na equation:

Ito ay maaaring patunayan na upang mahanap ang mga function C i (x) kailangan nating lutasin ang sistema ng mga equation:

Halimbawa. Lutasin ang equation

Paglutas ng isang linear homogenous equation

Ang solusyon sa inhomogeneous equation ay magkakaroon ng anyo:

Gumawa tayo ng isang sistema ng mga equation:

Lutasin natin ang sistemang ito:

Mula sa kaugnayan nahanap namin ang function Oh).

Ngayon nahanap namin B(x).

Pinapalitan namin ang nakuha na mga halaga sa formula para sa pangkalahatang solusyon ng hindi magkakatulad na equation:

Panghuling sagot:

Sa pangkalahatan, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant ay angkop para sa paghahanap ng mga solusyon sa anumang linear inhomogeneous equation. Pero kasi Ang paghahanap ng pangunahing sistema ng mga solusyon sa katumbas na homogenous na equation ay maaaring maging isang mahirap na gawain; ang pamamaraang ito ay pangunahing ginagamit para sa mga hindi magkakatulad na equation na may pare-parehong coefficient.

3. Mga equation na may kanang bahagi ng isang espesyal na anyo

Mukhang posible na isipin ang uri ng isang partikular na solusyon depende sa uri ng kanang bahagi ng inhomogeneous equation.

Ang mga sumusunod na kaso ay nakikilala:

I. Ang kanang bahagi ng linear inhomogeneous differential equation ay may anyo:

kung saan ay isang polynomial ng degree m.

Pagkatapos ang isang partikular na solusyon ay hinahangad sa form:

Dito Q(x) - isang polynomial ng parehong antas ng P(x) , ngunit may mga hindi tiyak na coefficient, at r– isang numerong nagpapakita kung gaano karaming beses ang numerong  ang ugat ng katangiang equation para sa katumbas na linear homogeneous differential equation.

Halimbawa. Lutasin ang equation
.

Lutasin natin ang katumbas na homogenous equation:

Ngayon hanapin natin ang isang partikular na solusyon sa orihinal na hindi magkakatulad na equation.

Ihambing natin ang kanang bahagi ng equation sa anyo ng kanang bahagi na tinalakay sa itaas.

Naghahanap kami ng isang partikular na solusyon sa form:
, Saan

Yung.

Ngayon, tukuyin natin ang hindi kilalang coefficient A At SA.

Ipalit natin ang partikular na solusyon sa pangkalahatang anyo sa orihinal na inhomogeneous differential equation.

Kabuuan, pribadong solusyon:

Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation ay:

II. Ang kanang bahagi ng linear inhomogeneous differential equation ay may anyo:

Dito R 1 (X) At R 2 (X)– polynomials ng degree m 1 at m 2 ayon sa pagkakabanggit.

Pagkatapos ang isang partikular na solusyon sa hindi magkakatulad na equation ay magkakaroon ng anyo:

nasaan ang numero r nagpapakita kung ilang beses ang isang numero
ay ang ugat ng katangian na equation para sa katumbas na homogenous na equation, at Q 1 (x) At Q 2 (x) – polynomials ng degree na hindi mas mataas kaysa m, Saan m- ang pinakamalaki sa mga degree m 1 At m 2 .

Talaan ng buod ng mga uri ng pribadong solusyon

para sa iba't ibang uri ng kanang bahagi

Tandaan na kung ang kanang bahagi ng equation ay isang kumbinasyon ng mga expression ng uri na isinasaalang-alang sa itaas, kung gayon ang solusyon ay matatagpuan bilang isang kumbinasyon ng mga solusyon sa mga auxiliary equation, na ang bawat isa ay may kanang bahagi na tumutugma sa expression na kasama sa kumbinasyon.

Yung. kung ang equation ay:
, kung gayon ang isang partikular na solusyon sa equation na ito ay magiging
saan sa 1 At sa 2 – mga partikular na solusyon ng mga auxiliary equation

At

Upang ilarawan, lutasin natin ang halimbawa sa itaas sa ibang paraan.

Halimbawa. Lutasin ang equation

Katawanin natin ang kanang bahagi ng differential equation bilang kabuuan ng dalawang function f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- kasalanan x).

Buuin at lutasin natin ang katangiang equation:

Nakukuha namin: I.e.

Kabuuan:

Yung. ang kinakailangang partikular na solusyon ay may anyo:

Pangkalahatang solusyon ng isang hindi homogenous na differential equation:

Tingnan natin ang mga halimbawa ng aplikasyon ng mga inilarawang pamamaraan.

Halimbawa 1.. Lutasin ang equation

Bumuo tayo ng isang katangian na equation para sa katumbas na linear homogeneous differential equation:

Ngayon hanapin natin ang isang partikular na solusyon sa hindi magkakatulad na equation sa anyo:

Gamitin natin ang paraan ng indefinite coefficients.

Ang pagpapalit sa orihinal na equation, nakukuha natin:

Ang isang partikular na solusyon ay may anyo:

Pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation:

Halimbawa. Lutasin ang equation

Katangiang equation:

Pangkalahatang solusyon ng homogenous equation:

Partikular na solusyon ng inhomogeneous equation:
.

Hinahanap namin ang mga derivatives at pinapalitan ang mga ito sa orihinal na inhomogeneous equation:

Kumuha kami ng isang pangkalahatang solusyon sa hindi magkakatulad na equation ng kaugalian:

Inhomogeneous second order differential equation na may pare-parehong coefficient

Istraktura ng pangkalahatang solusyon Ang isang linear inhomogeneous equation ng ganitong uri ay may anyo: saan p, q− pare-parehong mga numero (na maaaring maging totoo o kumplikado). Para sa bawat naturang equation maaari nating isulat ang katumbas homogenous na equation: Teorama: Ang pangkalahatang solusyon ng isang inhomogeneous equation ay ang kabuuan ng pangkalahatang solusyon y 0 (x) ng katumbas na homogenous equation at partikular na solusyon y 1 (x) inhomogeneous equation: Sa ibaba ay isasaalang-alang natin ang dalawang paraan upang malutas ang mga hindi magkakatulad na equation na kaugalian. Paraan ng pagkakaiba-iba ng mga constants Kung ang pangkalahatang solusyon y 0 ng nauugnay na homogenous equation ay kilala, pagkatapos ay ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation ay matatagpuan gamit ang pare-parehong paraan ng pagkakaiba-iba. Hayaang ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na second-order differential equation ay may anyo: Sa halip na permanente C 1 at C 2 isasaalang-alang natin ang mga pantulong na function C 1 (x) At C 2 (x). Hahanapin namin ang mga function na ito na ang solusyon nasiyahan ang inhomogeneous equation sa kanang bahagi f(x). Mga hindi kilalang function C 1 (x) At C 2 (x) ay tinutukoy mula sa isang sistema ng dalawang equation: Hindi tiyak na paraan ng koepisyent kanang bahagi f(x) ng isang inhomogeneous differential equation ay kadalasang polynomial, exponential o trigonometric function, o ilang kumbinasyon ng mga function na ito. Sa kasong ito, ito ay mas maginhawa upang maghanap para sa isang solusyon gamit paraan ng hindi tiyak na coefficients. Binibigyang-diin namin na ang pamamaraang ito ay gumagana lamang para sa isang limitadong klase ng mga function sa kanang bahagi, tulad ng Sa parehong mga kaso, ang pagpili ng isang partikular na solusyon ay dapat na tumutugma sa istraktura ng kanang bahagi ng inhomogeneous differential equation. Sa kaso 1, kung ang numero α sa exponential function ay tumutugma sa ugat ng katangian na equation, kung gayon ang partikular na solusyon ay maglalaman ng karagdagang kadahilanan x s, Saan s− root multiplicity α sa katangian equation. Sa kaso 2, kung ang numero α + βi coincides sa ugat ng katangian equation, pagkatapos ay ang expression para sa partikular na solusyon ay naglalaman ng isang karagdagang kadahilanan x. Ang mga hindi kilalang coefficient ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagpapalit ng nahanap na expression para sa isang partikular na solusyon sa orihinal na inhomogeneous differential equation. Prinsipyo ng superposisyon Kung ang kanang bahagi ng inhomogeneous equation ay halaga ilang mga function ng form kung gayon ang isang partikular na solusyon ng differential equation ay magiging kabuuan din ng mga bahagyang solusyon na binuo nang hiwalay para sa bawat termino sa kanang bahagi.

Halimbawa 1

Lutasin ang differential equation y"" + y= kasalanan(2 x). Solusyon. Una naming lutasin ang kaukulang homogenous equation y"" + y= 0. Sa kasong ito, ang mga ugat ng katangiang equation ay puro haka-haka: Dahil dito, ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay ibinibigay ng expression Bumalik tayo muli sa inhomogeneous equation. Hahanapin natin ang solusyon nito sa form gamit ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga constants. Mga pag-andar C 1 (x) At C 2 (x) ay matatagpuan mula sa sumusunod na sistema ng mga equation: Ipahayag natin ang derivative C 1 " (x) mula sa unang equation: Ang pagpapalit sa pangalawang equation, nakita natin ang derivative C 2 " (x): Sinusundan nito iyon Pagsasama ng mga expression para sa mga derivatives C 1 " (x) At C 2 " (x), nakukuha namin: saan A 1 , A 2 - mga pare-pareho ng pagsasama. Ngayon ay palitan natin ang mga nahanap na function C 1 (x) At C 2 (x) sa pormula para sa y 1 (x) at isulat ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation:

Halimbawa 2

Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa equation y"" + y" −6y = 36x. Solusyon. Gamitin natin ang paraan ng indefinite coefficients. Ang kanang bahagi ng ibinigay na equation ay isang linear function f(x)= palakol + b. Samakatuwid, hahanapin namin ang isang partikular na solusyon sa form Ang mga derivative ay pantay-pantay: Ang pagpapalit nito sa differential equation, nakukuha natin: Ang huling equation ay isang pagkakakilanlan, ibig sabihin, ito ay wasto para sa lahat x, samakatuwid ay tinutumbasan namin ang mga coefficient ng mga termino na may parehong mga degree x sa kaliwa at kanang bahagi: Mula sa nagresultang sistema nalaman namin: A = −6, B= −1. Bilang resulta, ang partikular na solusyon ay nakasulat sa form Ngayon hanapin natin ang pangkalahatang solusyon ng homogenous differential equation. Kalkulahin natin ang mga ugat ng pantulong na katangian na equation: Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous equation ay may anyo: Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng orihinal na inhomogeneous equation ay ipinahayag ng formula

Pangkalahatang integral ng DE.

Lutasin ang differential equation

Ngunit ang pinakanakakatawang bagay ay ang sagot ay alam na: , mas tiyak, kailangan din nating magdagdag ng pare-pareho: Ang pangkalahatang integral ay isang solusyon sa differential equation.

Paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants. Mga halimbawa ng solusyon

Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constant ay ginagamit upang malutas ang mga hindi magkakatulad na equation ng kaugalian. Ang araling ito ay inilaan para sa mga mag-aaral na higit pa o hindi gaanong bihasa sa paksa. Kung nagsisimula ka pa lamang na maging pamilyar sa remote control, i.e. Kung ikaw ay isang tsarera, inirerekumenda kong magsimula sa unang aralin: First order differential equation. Mga halimbawa ng solusyon. At kung tinatapos mo na, mangyaring itapon ang posibleng preconception na mahirap ang paraan. Dahil ito ay simple.

Sa anong mga kaso ginagamit ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants?

1) Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho ay maaaring gamitin upang malutas linear inhomogeneous DE ng 1st order. Dahil ang equation ay nasa unang pagkakasunud-sunod, kung gayon ang pare-pareho ay isa rin.

2) Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant ay ginagamit upang malutas ang ilan linear inhomogeneous second order equation. Dito nag-iiba ang dalawang constants.

Makatuwirang ipagpalagay na ang aralin ay bubuo ng dalawang talata... Kaya isinulat ko ang pangungusap na ito, at sa loob ng mga 10 minuto ay masakit kong iniisip kung ano pang matalinong crap ang maaari kong idagdag para sa isang maayos na paglipat sa mga praktikal na halimbawa. Ngunit sa ilang kadahilanan ay wala akong iniisip pagkatapos ng mga pista opisyal, bagaman tila wala akong inabuso. Samakatuwid, dumiretso tayo sa unang talata.

Paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho para sa isang first order linear inhomogeneous equation

Bago isaalang-alang ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho, ipinapayong maging pamilyar sa artikulo Mga linear differential equation ng unang order. Sa araling iyon ay nagpraktis kami unang solusyon hindi pare-pareho ang 1st order DE. Ang unang solusyon na ito, ipinaaalala ko sa iyo, ay tinatawag paraan ng pagpapalit o Paraan ng Bernoulli(hindi dapat malito sa Ang equation ni Bernoulli!!!)

Ngayon ay titingnan natin pangalawang solusyon– paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho. Magbibigay lamang ako ng tatlong halimbawa, at kukunin ko ang mga ito mula sa nabanggit na aralin. Bakit kakaunti? Dahil sa katunayan, ang solusyon sa pangalawang paraan ay magiging katulad ng solusyon sa unang paraan. Bilang karagdagan, ayon sa aking mga obserbasyon, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constant ay ginagamit nang mas madalas kaysa sa paraan ng pagpapalit.

Halimbawa 1

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation (Diffour mula sa Halimbawa Blg. 2 ng aralin Linear inhomogeneous differential equation ng 1st order)

Solusyon: Ang equation na ito ay linear inhomogeneous at may pamilyar na anyo:

Sa unang yugto, kinakailangan upang malutas ang isang mas simpleng equation: Iyon ay, hangal nating i-reset ang kanang bahagi sa zero - isulat ang zero sa halip. Tatawagin ko ang equation auxiliary equation.

Sa halimbawang ito, kailangan mong lutasin ang sumusunod na auxiliary equation:

Bago tayo separable equation, ang solusyon kung saan (umaasa ako) ay hindi na mahirap para sa iyo:

Kaya: – pangkalahatang solusyon ng auxiliary equation.

Sa pangalawang hakbang papalitan natin ilang pare-pareho Sa ngayon hindi kilalang function na nakasalalay sa "x":

Kaya ang pangalan ng pamamaraan - iba-iba namin ang pare-pareho. Bilang kahalili, ang pare-pareho ay maaaring ilang function na kailangan na nating hanapin.

SA orihinal sa inhomogeneous equation ginagawa namin ang kapalit:

Ipalit natin sa equation:

Control point - kanselahin ang dalawang termino sa kaliwang bahagi. Kung hindi ito nangyari, dapat mong hanapin ang error sa itaas.

Bilang resulta ng pagpapalit, nakuha ang isang equation na may mga separable variable. Pinaghiwalay namin ang mga variable at isinasama.

Napakalaking pagpapala, kinansela din ng mga exponent:

Nagdaragdag kami ng "normal" na pare-pareho sa nahanap na function:

Sa huling yugto, naaalala namin ang tungkol sa aming kapalit:

Kakahanap lang ng function!

Kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Sagot: karaniwang desisyon:

Kung ipi-print mo ang dalawang solusyon, madali mong mapapansin na sa parehong mga kaso nakita namin ang parehong mga integral. Ang pagkakaiba lamang ay nasa algorithm ng solusyon.

Ngayon para sa isang bagay na mas kumplikado, magkokomento din ako sa pangalawang halimbawa:

Halimbawa 2

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation (Diffour mula sa Halimbawa Blg. 8 ng aralin Linear inhomogeneous differential equation ng 1st order)

Solusyon: Dalhin natin ang equation sa anyo:

I-reset natin ang kanang bahagi at lutasin ang auxiliary equation:

Pinaghihiwalay namin ang mga variable at pinagsama ang: Ang pangkalahatang solusyon sa auxiliary equation:

Sa inhomogeneous equation ginagawa namin ang kapalit:

Ayon sa panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto:

Ipalit natin sa orihinal na inhomogeneous equation:

Kinansela ang dalawang termino sa kaliwang bahagi, na nangangahulugang nasa tamang landas tayo:

Pagsamahin natin ayon sa mga bahagi. Ang masarap na titik mula sa formula ng pagsasama ng mga bahagi ay kasangkot na sa solusyon, kaya ginagamit namin, halimbawa, ang mga titik na "a" at "be":

Sa kalaunan:

Ngayon tandaan natin ang kapalit:

Sagot: karaniwang desisyon:

Paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constants para sa isang linear na inhomogeneous na second order equation na may pare-parehong coefficient

Madalas kong narinig ang opinyon na ang paraan ng pag-iiba-iba ng mga arbitrary na constant para sa isang pangalawang-order na equation ay hindi isang madaling bagay. Ngunit ipinapalagay ko ang mga sumusunod: malamang, ang pamamaraan ay tila mahirap sa marami dahil hindi ito nangyayari nang madalas. Ngunit sa katotohanan ay walang partikular na mga paghihirap - ang kurso ng desisyon ay malinaw, transparent, at naiintindihan. At maganda.

Upang makabisado ang pamamaraan, ito ay kanais-nais na malutas ang hindi magkakatulad na pangalawang-order na mga equation sa pamamagitan ng pagpili ng isang partikular na solusyon batay sa anyo ng kanang bahagi. Ang pamamaraang ito ay tinalakay nang detalyado sa artikulo. Hindi magkakatulad na 2nd order DEs. Naaalala namin na ang isang second-order linear inhomogeneous equation na may pare-parehong coefficient ay may anyo:

Ang paraan ng pagpili, na tinalakay sa aralin sa itaas, ay gumagana lamang sa isang limitadong bilang ng mga kaso kapag ang kanang bahagi ay naglalaman ng mga polynomial, exponentials, sines, at cosine. Ngunit ano ang gagawin kapag nasa kanan, halimbawa, ay isang fraction, logarithm, tangent? Sa ganoong sitwasyon, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga constant ay dumating sa pagsagip.

Halimbawa 4

Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa isang second order differential equation

Solusyon: Mayroong isang maliit na bahagi sa kanang bahagi ng equation na ito, kaya maaari naming agad na sabihin na ang paraan ng pagpili ng isang partikular na solusyon ay hindi gumagana. Ginagamit namin ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants.

Walang mga palatandaan ng bagyo; ang simula ng solusyon ay ganap na karaniwan:

Hahanapin natin karaniwang desisyon nararapat homogenous mga equation:

Buuin at lutasin natin ang katangiang equation: – ang conjugate complex roots ay nakuha, kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Bigyang-pansin ang talaan ng pangkalahatang solusyon - kung mayroong mga panaklong, pagkatapos ay buksan ang mga ito.

Ngayon ginagawa namin ang halos parehong trick tulad ng para sa first-order equation: iba-iba namin ang mga constants, pinapalitan ang mga ito ng hindi kilalang mga function. Yan ay, pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous hahanapin natin ang mga equation sa anyo:

saan- Sa ngayon hindi kilalang mga function.

Mukhang isang tambakan ng basura sa bahay, ngunit ngayon ay aayusin natin ang lahat.

Ang mga hindi alam ay ang mga derivatives ng mga function. Ang aming layunin ay maghanap ng mga derivative, at ang mga nahanap na derivative ay dapat matugunan ang una at pangalawang equation ng system.

Saan nagmula ang mga "Griyego"? Dinadala sila ng tagak. Tinitingnan namin ang pangkalahatang solusyon na nakuha nang mas maaga at isulat:

Hanapin natin ang mga derivatives:

Ang mga kaliwang bahagi ay hinarap. Ano ang nasa kanan?

ay ang kanang bahagi ng orihinal na equation, sa kasong ito:

Tinutugunan ng artikulong ito ang isyu ng paglutas ng linear inhomogeneous second-order differential equation na may pare-parehong coefficient. Ang teorya ay tatalakayin kasama ng mga halimbawa ng mga ibinigay na problema. Upang matukoy ang mga hindi malinaw na termino, kinakailangang sumangguni sa paksa tungkol sa mga pangunahing kahulugan at konsepto ng teorya ng mga differential equation.

Isaalang-alang natin ang isang linear differential equation (LDE) ng pangalawang pagkakasunud-sunod na may pare-parehong coefficients ng anyong y "" + p · y " + q · y = f (x), kung saan ang p at q ay mga arbitrary na numero, at ang umiiral na function f (x) ay tuloy-tuloy sa integration interval x.

Magpatuloy tayo sa pagbabalangkas ng theorem para sa pangkalahatang solusyon ng LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pangkalahatang solution theorem para sa LDNU

Isang pangkalahatang solusyon, na matatagpuan sa pagitan ng x, ng isang inhomogeneous differential equation ng anyong y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) na may tuluy-tuloy na integration coefficients sa x interval f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) at isang tuluy-tuloy na function na f (x) ay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon y 0, na tumutugma sa LOD at ilang partikular na solusyon y ~, kung saan ang orihinal na inhomogeneous equation ay y = y 0 + y ~.

Ipinapakita nito na ang solusyon sa naturang pangalawang-order na equation ay may anyo na y = y 0 + y ~ . Ang algorithm para sa paghahanap ng y 0 ay tinalakay sa artikulo sa linear homogenous na second-order differential equation na may pare-parehong coefficient. Pagkatapos nito ay dapat tayong magpatuloy sa kahulugan ng y ~.

Ang pagpili ng isang partikular na solusyon sa LPDE ay depende sa uri ng magagamit na function f (x) na matatagpuan sa kanang bahagi ng equation. Upang gawin ito, kinakailangang isaalang-alang nang hiwalay ang mga solusyon ng linear inhomogeneous second-order differential equation na may pare-parehong coefficient.

Kapag ang f (x) ay itinuturing na isang polynomial ng nth degree f (x) = P n (x), sumusunod na ang isang partikular na solusyon ng LPDE ay matatagpuan gamit ang isang formula ng anyong y ~ = Q n (x ) x γ, kung saan ang Q n ( x) ay isang polynomial ng degree n, ang r ay ang bilang ng mga zero na ugat ng katangian na equation. Ang value y ~ ay isang partikular na solusyon y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , pagkatapos ay ang mga available na coefficient na tinutukoy ng polynomial
Q n (x), nakita namin ang paggamit ng paraan ng mga hindi tiyak na coefficient mula sa pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Halimbawa 1

Kalkulahin gamit ang teorem ni Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Solusyon

Sa madaling salita, kinakailangan na lumipat sa isang partikular na solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficients y "" - 2 y " = x 2 + 1, na kung saan ay masisiyahan ang ibinigay na mga kondisyon y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay ang kabuuan ng pangkalahatang solusyon, na tumutugma sa equation y 0 o isang partikular na solusyon sa inhomogeneous equation y ~, iyon ay, y = y 0 + y ~.

Una, hahanap tayo ng pangkalahatang solusyon para sa LNDU, at pagkatapos ay isang partikular na solusyon.

Lumipat tayo sa paghahanap ng y 0. Ang pagsusulat ng katangian na equation ay makakatulong sa iyong mahanap ang mga ugat. Nakukuha namin iyon

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Nalaman namin na ang mga ugat ay iba at totoo. Samakatuwid, isulat natin

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Hanapin natin y ~ . Makikita na ang kanang bahagi ng ibinigay na equation ay isang polynomial ng pangalawang degree, pagkatapos ay ang isa sa mga ugat ay katumbas ng zero. Mula dito nakuha namin na ang isang partikular na solusyon para sa y ~ ay magiging

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, kung saan ang mga halaga ng A, B, C ay tumatagal sa hindi natukoy na mga koepisyent.

Hanapin natin ang mga ito mula sa pagkakapantay-pantay ng anyong y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Pagkatapos makuha namin iyon:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Ang equating ng mga coefficient na may parehong exponents ng x, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga linear na expression - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Kapag nag-solve ng alinman sa mga pamamaraan, hahanapin natin ang mga coefficient at isulat ang: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 at y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Ang entry na ito ay tinatawag na pangkalahatang solusyon ng orihinal na linear inhomogeneous second-order differential equation na may pare-parehong coefficient.

Upang makahanap ng isang partikular na solusyon na nakakatugon sa mga kondisyon y (0) = 2, y "(0) = 1 4, kinakailangan upang matukoy ang mga halaga C 1 At C 2, batay sa pagkakapantay-pantay ng anyong y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Nakukuha namin iyon:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Nagtatrabaho kami sa nagresultang sistema ng mga equation ng form C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, kung saan C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Ang paglalapat ng teorama ni Cauchy, mayroon tayo nito

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Sagot: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Kapag ang function na f (x) ay kinakatawan bilang produkto ng isang polynomial na may degree n at isang exponent f (x) = P n (x) · e a x , pagkatapos ay makuha namin na ang isang partikular na solusyon ng pangalawang-order na LPDE ay magiging isang equation ng anyong y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, kung saan ang Q n (x) ay isang polynomial ng nth degree, at ang r ay ang bilang ng mga ugat ng katangiang equation na katumbas ng α.

Ang mga coefficient na kabilang sa Q n (x) ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Halimbawa 2

Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa isang differential equation ng anyong y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Solusyon

Ang pangkalahatang equation ay y = y 0 + y ~ . Ang ipinahiwatig na equation ay tumutugma sa LOD y "" - 2 y " = 0. Mula sa nakaraang halimbawa ay makikita na ang mga ugat nito ay pantay. k 1 = 0 at k 2 = 2 at y 0 = C 1 + C 2 e 2 x sa pamamagitan ng katangiang equation.

Makikita na ang kanang bahagi ng equation ay x 2 + 1 · e x . Mula dito ang LPDE ay matatagpuan sa pamamagitan ng y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, kung saan ang Q n (x) ay isang polynomial ng pangalawang degree, kung saan ang α = 1 at r = 0, dahil ang characteristic equation ay hindi may ugat na katumbas ng 1. Mula dito nakukuha natin iyon

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

Ang A, B, C ay mga hindi kilalang coefficient na makikita ng pagkakapantay-pantay y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Nakuha ko na

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Tinutumbas namin ang mga tagapagpahiwatig na may parehong mga coefficient at kumuha ng isang sistema ng mga linear na equation. Mula dito makikita natin ang A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Sagot: malinaw na ang y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 ay isang partikular na solusyon ng LNDDE, at y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - isang pangkalahatang solusyon para sa pangalawang-order na inhomogeneous dif equation.

Kapag ang function ay isinulat bilang f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, at A 1 At SA 1 ay mga numero, kung gayon ang isang bahagyang solusyon ng LPDE ay itinuturing na isang equation ng form na y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, kung saan ang A at B ay itinuturing na hindi natukoy na mga coefficient, at ang r ay ang bilang ng kumplikadong conjugate root na nauugnay sa katangian equation, katumbas ng ± i β . Sa kasong ito, ang paghahanap para sa mga coefficient ay isinasagawa gamit ang pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Halimbawa 3

Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa isang differential equation ng anyong y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Solusyon

Bago isulat ang katangiang equation, makikita natin ang y 0. Pagkatapos

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Mayroon kaming isang pares ng kumplikadong conjugate roots. Magbago tayo at makakuha ng:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Ang mga ugat ng characteristic equation ay itinuturing na conjugate pair ± 2 i, pagkatapos f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Ipinapakita nito na ang paghahanap para sa y ~ ay gagawin mula sa y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Unknowns Hahanapin natin ang mga coefficient A at B mula sa isang pagkakapantay-pantay ng anyo y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Ibahin natin:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Pagkatapos ay malinaw na

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Ito ay kinakailangan upang equate ang coefficients ng sines at cosines. Kumuha kami ng isang sistema ng form:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Kasunod nito na y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Sagot: ang pangkalahatang solusyon ng orihinal na pangalawang-order na LDDE na may pare-parehong coefficient ay isinasaalang-alang

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Kapag f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), pagkatapos ay y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Mayroon tayong r ay ang bilang ng mga kumplikadong pares ng conjugate ng mga ugat na nauugnay sa katangiang equation, katumbas ng α ± i β, kung saan ang P n (x), Q k (x), L m (x) at Nm(x) ay mga polynomial ng degree n, k, m, m, kung saan m = m a x (n, k). Paghahanap ng mga coefficient Lm(x) At Nm(x) ay ginawa batay sa pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Halimbawa 4

Hanapin ang pangkalahatang solusyon y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Solusyon

Ayon sa kondisyon ay malinaw na

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Pagkatapos m = m a x (n, k) = 1. Nahanap namin ang y 0 sa pamamagitan ng unang pagsulat ng isang katangian na equation ng form:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

Nalaman namin na ang mga ugat ay totoo at naiiba. Kaya y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Susunod, kailangang maghanap ng pangkalahatang solusyon batay sa hindi magkakatulad na equation y ~ ng form

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) kasalanan (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) kasalanan (5 x))

Alam na ang A, B, C ay mga coefficient, r = 0, dahil walang pares ng conjugate roots na nauugnay sa katangian na equation na may α ± i β = 3 ± 5 · i. Nakikita namin ang mga coefficient na ito mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) kasalanan (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) kasalanan (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Ang paghahanap ng derivative at mga katulad na termino ay nagbibigay

E 3 x ((15 A + 23 C) x kasalanan (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) kasalanan (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Pagkatapos equating ang coefficients, kumuha kami ng isang sistema ng form

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Mula sa lahat ay sinusundan iyon

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) kasalanan (5 x))

Sagot: Ngayon nakuha namin ang isang pangkalahatang solusyon sa ibinigay na linear equation:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algorithm para sa paglutas ng LDNU

Anumang iba pang uri ng function f (x) para sa solusyon ay nangangailangan ng pagsunod sa algorithm ng solusyon:

• paghahanap ng pangkalahatang solusyon sa katumbas na linear homogeneous equation, kung saan y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, kung saan y 1 At y 2 ay linearly independent na bahagyang solusyon ng LODE, C 1 At C 2 ay itinuturing na arbitrary constants;
• pag-aampon bilang pangkalahatang solusyon ng LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• pagtukoy ng mga derivatives ng isang function sa pamamagitan ng isang sistema ng anyong C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , at paghahanap ng mga function C 1 (x) at C 2 (x) sa pamamagitan ng pagsasama.

Halimbawa 5

Hanapin ang pangkalahatang solusyon para sa y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Solusyon

Nagpapatuloy kami sa pagsulat ng katangian na equation, na dati nang nakasulat y 0, y "" + 36 y = 0. Isulat at lutasin natin:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = kasalanan (6 x)

Mayroon kaming na ang pangkalahatang solusyon ng ibinigay na equation ay isusulat bilang y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Kinakailangang magpatuloy sa kahulugan ng mga derivative function C 1 (x) At C2(x) ayon sa isang sistema na may mga equation:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Kailangang gumawa ng desisyon tungkol sa C 1" (x) At C 2" (x) gamit ang anumang paraan. Pagkatapos ay sumulat kami:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Ang bawat isa sa mga equation ay dapat isama. Pagkatapos ay isulat namin ang mga nagresultang equation:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x kasalanan (6 x) + C 4

Ito ay sumusunod na ang pangkalahatang solusyon ay magkakaroon ng form:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 na kasalanan (6 x)

Sagot: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter