Pagpapalaganap ng mga oscillation sa isang daluyan at mga alon. Aralin sa video na "Pagpapalaganap ng mga oscillation sa isang medium"

Mga alon

Ang mga pangunahing uri ng alon ay nababanat (tulad ng tunog at seismic waves), likidong surface wave, at electromagnetic waves (kabilang ang liwanag at radio wave). Tampok waves ay na sa panahon ng kanilang pagpapalaganap, ang paglipat ng enerhiya ay nangyayari nang walang paglipat ng bagay. Isaalang-alang muna natin ang pagpapalaganap ng mga alon sa isang nababanat na daluyan.

Pagpapalaganap ng alon sa isang nababanat na daluyan

Ang isang oscillating body na inilagay sa isang elastic medium ay dadalhin kasama nito at ilalagay sa oscillatory motion ang mga particle ng medium na katabi nito. Ang huli, sa turn, ay makakaapekto sa mga kalapit na particle. Malinaw na ang mga naka-entrain na particle ay mahuhuli sa yugto ng mga particle na sumasakop sa kanila, dahil ang paglipat ng mga oscillations mula sa punto patungo sa punto ay palaging nangyayari sa isang may hangganan na bilis.

Kaya, ang isang oscillating body na inilagay sa isang nababanat na daluyan ay isang pinagmumulan ng mga vibrations na kumakalat mula dito sa lahat ng direksyon.

Ang proseso ng pagpapalaganap ng mga vibrations sa isang medium ay tinatawag na wave. O kaya ang isang elastic wave ay ang proseso ng pagpapalaganap ng isang kaguluhan sa isang elastic medium .

May mga alon nakahalang (Ang mga oscillations ay nangyayari sa isang eroplano na patayo sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon). Kabilang dito ang mga electromagnetic wave. May mga alon pahaba , kapag ang direksyon ng oscillation ay tumutugma sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon. Halimbawa, ang pagpapalaganap ng tunog sa hangin. Ang compression at discharge ng mga particle ng medium ay nangyayari sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon.

Ang mga alon ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga hugis, maaari silang maging regular at hindi regular. Ang partikular na kahalagahan sa teorya ng alon ay ang harmonic wave, i.e. isang infinite wave kung saan nagbabago ang estado ng medium ayon sa batas ng sine o cosine.

Isaalang-alang natin nababanat na harmonic waves . Ang isang bilang ng mga parameter ay ginagamit upang ilarawan ang proseso ng alon. Isulat natin ang mga kahulugan ng ilan sa mga ito. Ang isang kaguluhan na nangyayari sa isang tiyak na punto sa medium sa isang tiyak na sandali sa oras ay kumakalat sa isang nababanat na daluyan sa isang tiyak na bilis. Ang pagpapalaganap mula sa pinagmulan ng mga oscillation, ang proseso ng alon ay sumasaklaw sa higit at higit pang mga bagong bahagi ng espasyo.

Ang geometric na lokasyon ng mga punto kung saan ang mga oscillation ay umaabot sa isang tiyak na punto ng oras ay tinatawag na wave front o wave front.

Ang harap ng alon ay naghihiwalay sa bahagi ng espasyo na kasangkot na sa proseso ng alon mula sa rehiyon kung saan ang mga oscillation ay hindi pa lumitaw.

Ang geometric na lokasyon ng mga puntos na nag-o-oscillating sa parehong yugto ay tinatawag na ibabaw ng alon.

Maaaring mayroong maraming mga ibabaw ng alon, ngunit mayroon lamang isang harap ng alon sa anumang oras.

Ang mga ibabaw ng alon ay maaaring maging anumang hugis. Sa pinakasimpleng mga kaso, mayroon silang hugis ng isang eroplano o globo. Alinsunod dito, ang alon sa kasong ito ay tinatawag patag o spherical . Sa isang eroplanong alon, ang mga ibabaw ng alon ay isang hanay ng mga eroplano na parallel sa isa't isa, sa isang spherical wave - isang hanay ng mga concentric sphere.

Hayaang magpalaganap ang isang plane harmonic wave nang may bilis sa kahabaan ng axis. Sa graphically, ang naturang alon ay inilalarawan bilang isang function (zeta) para sa isang nakapirming punto sa oras at kumakatawan sa pag-asa ng pag-aalis ng mga puntos na may iba't ibang kahulugan mula sa posisyon ng ekwilibriyo. – ito ang distansya mula sa pinagmumulan ng mga vibrations kung saan, halimbawa, matatagpuan ang isang particle. Ang figure ay nagbibigay ng isang agarang larawan ng pamamahagi ng mga kaguluhan sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon. Ang distansya kung saan ang isang alon ay dumadaloy sa isang oras na katumbas ng panahon ng oscillation ng mga particle ng medium ay tinatawag na haba ng daluyong .

,

nasaan ang bilis ng pagpapalaganap ng alon.

Bilis ng grupo

Ang isang mahigpit na monochromatic wave ay isang walang katapusang sequence ng "humps" at "valleys" sa oras at espasyo.

Ang bilis ng phase ng wave na ito o (2)

Imposibleng magpadala ng signal gamit ang naturang alon, dahil sa anumang punto sa alon ang lahat ng "humps" ay pareho. Dapat iba ang signal. Upang maging tanda (marka) sa alon. Ngunit pagkatapos ay hindi na magiging harmonic ang alon, at hindi ilalarawan ng equation (1). Ang isang signal (pulso) ay maaaring katawanin ayon sa Fourier's theorem bilang isang superposisyon ng mga harmonic wave na may mga frequency na nasa isang tiyak na pagitan. Dw . Superposisyon ng mga alon na kakaunti ang pagkakaiba sa bawat isa sa dalas,

Ang expression para sa isang pangkat ng mga alon ay maaaring isulat bilang mga sumusunod.

(3)

Icon w binibigyang-diin na ang mga dami na ito ay nakasalalay sa dalas.

Ang wave packet na ito ay maaaring isang kabuuan ng mga wave na may bahagyang magkaibang mga frequency. Kung saan ang mga yugto ng mga alon ay nag-tutugma, ang isang pagtaas sa amplitude ay sinusunod, at kung saan ang mga yugto ay kabaligtaran, ang isang pamamasa ng amplitude ay sinusunod (ang resulta ng pagkagambala). Ang larawang ito ay ipinapakita sa figure. Upang ang superposisyon ng mga alon ay maituturing na isang pangkat ng mga alon, kinakailangan na gumanap susunod na kondisyon Dw<< w 0 .

Sa isang non-dispersive medium, lahat ng plane waves na bumubuo ng wave packet ay kumakalat na may parehong phase velocity v . Ang pagpapakalat ay ang pag-asa ng bilis ng phase ng isang sinusoidal wave sa isang daluyan sa dalas. Isasaalang-alang namin ang hindi pangkaraniwang bagay ng pagpapakalat sa ibang pagkakataon sa seksyong "Wave Optics". Sa kawalan ng dispersion, ang bilis ng paggalaw ng wave packet ay tumutugma sa bilis ng phase v . Sa isang dispersive medium, ang bawat alon ay nagkakalat sa sarili nitong bilis. Samakatuwid, ang wave packet ay kumakalat sa paglipas ng panahon at ang lapad nito ay tumataas.

Kung ang dispersion ay maliit, kung gayon ang wave packet ay hindi masyadong mabilis na kumalat. Samakatuwid, ang isang tiyak na bilis ay maaaring maiugnay sa paggalaw ng buong pakete U .

Ang bilis kung saan gumagalaw ang gitna ng wave packet (ang puntong may pinakamataas na amplitude) ay tinatawag na group velocity.

Sa isang dispersive na kapaligiran v¹U . Kasabay ng paggalaw ng wave packet mismo, ang "humps" sa loob ng packet mismo ay gumagalaw. Ang "humps" ay gumagalaw sa kalawakan nang mabilis v , at ang pakete sa kabuuan nang may bilis U .

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang paggalaw ng isang wave packet gamit ang halimbawa ng isang superposisyon ng dalawang wave na may parehong amplitude at magkaibang mga frequency w (iba't ibang wavelength l ).

Isulat natin ang mga equation ng dalawang waves. Para sa pagiging simple, ipagpalagay natin ang mga unang yugto j 0 = 0.

Dito

Hayaan Dw<< w , ayon sa pagkakabanggit Dk<< k .

Pagsamahin natin ang mga panginginig ng boses at isagawa ang mga pagbabagong-anyo gamit ang trigonometric formula para sa kabuuan ng mga cosine:

Sa unang cosine ay papabayaan natin Dwt At Dkx , na mas maliit kaysa sa iba pang dami. Isaalang-alang natin iyon cos(–a) = cosa . Isusulat natin ito sa wakas.

(4)

Ang multiplier sa mga square bracket ay nagbabago sa oras at mas mabagal ang coordinate kaysa sa pangalawang multiplier. Dahil dito, ang expression (4) ay maaaring ituring bilang isang equation ng isang plane wave na may amplitude na inilarawan ng unang factor. Sa graphically, ang wave na inilarawan ng expression (4) ay ipinakita sa figure na ipinapakita sa itaas.

Ang resultang amplitude ay nakuha bilang isang resulta ng pagdaragdag ng mga alon, samakatuwid, ang maxima at minima ng amplitude ay masusunod.

Ang pinakamataas na amplitude ay matutukoy ng sumusunod na kondisyon.

(5)

m = 0, 1, 2…

xmax– coordinate ng maximum amplitude.

Kinukuha ng cosine ang pinakamataas na halaga ng modulo nito p .

Ang bawat isa sa maxima na ito ay maaaring ituring na sentro ng kaukulang grupo ng mga alon.

Resolving (5) medyo xmax kukunin natin.

Dahil ang bilis ng phase ay tinatawag na group velocity. Ang pinakamataas na amplitude ng wave packet ay gumagalaw sa bilis na ito. Sa limitasyon, ang expression para sa bilis ng pangkat ay magkakaroon ng sumusunod na anyo.

(6)

Ang expression na ito ay wasto para sa gitna ng isang pangkat ng isang arbitrary na bilang ng mga alon.

Dapat tandaan na kapag ang lahat ng mga tuntunin ng pagpapalawak ay tumpak na isinasaalang-alang (para sa isang arbitrary na bilang ng mga alon), ang expression para sa amplitude ay nakuha sa paraang sumusunod na ang wave packet ay kumakalat sa paglipas ng panahon.
Ang expression para sa bilis ng pangkat ay maaaring bigyan ng ibang anyo.

Samakatuwid, ang expression para sa bilis ng pangkat ay maaaring isulat bilang mga sumusunod.

(7)

ay isang implicit expression, dahil v , At k depende sa wavelength l .

Pagkatapos (8)

I-substitute natin ang (7) at makuha.

(9)

Ito ang tinatawag na Rayleigh formula. J. W. Rayleigh (1842 - 1919) English physicist, Nobel laureate noong 1904, para sa pagtuklas ng argon.

Mula sa formula na ito ay sumusunod na, depende sa tanda ng derivative, ang bilis ng pangkat ay maaaring mas malaki o mas mababa kaysa sa bilis ng phase.

Sa kawalan ng pagkakaiba

Ang pinakamataas na intensity ay nangyayari sa gitna ng wave group. Samakatuwid, ang bilis ng paglipat ng enerhiya ay katumbas ng bilis ng pangkat.

Ang konsepto ng group velocity ay naaangkop lamang sa ilalim ng kondisyon na mababa ang wave absorption sa medium. Sa makabuluhang pagpapahina ng alon, nawawalan ng kahulugan ang konsepto ng bilis ng grupo. Ang kasong ito ay sinusunod sa rehiyon ng maanomalyang pagpapakalat. Isasaalang-alang namin ito sa seksyong "Wave Optics".

Mga vibrations ng string

Sa isang tensioned string na naayos sa magkabilang dulo, kapag ang mga transverse vibrations ay nasasabik, ang mga standing wave ay naitatag, at ang mga node ay matatagpuan sa mga lugar kung saan ang string ay naayos. Samakatuwid, ang gayong mga vibrations lamang ang nasasabik sa string na may kapansin-pansing intensity, kalahati ng wavelength nito ay umaangkop sa isang integer na bilang ng beses sa haba ng string.

Ito ay nagpapahiwatig ng sumusunod na kondisyon.

O kaya

(n = 1, 2, 3, …),

l– haba ng string. Ang mga wavelength ay tumutugma sa mga sumusunod na frequency.

(n = 1, 2, 3, …).

Ang bilis ng phase ng alon ay tinutukoy ng puwersa ng pag-igting ng string at ang masa sa bawat haba ng yunit, i.e. linear density ng string.

F - puwersa ng pag-igting ng string, ρ" – linear density ng string material. Mga frequency νn ay tinatawag natural na mga frequency mga string. Ang mga natural na frequency ay multiple ng pangunahing frequency.

Ang dalas na ito ay tinatawag pangunahing dalas .

Ang mga harmonic vibrations na may ganitong mga frequency ay tinatawag na natural o normal na vibrations. Tinatawag din sila harmonika . Sa pangkalahatan, ang vibration ng isang string ay isang superposition ng iba't ibang harmonics.

Ang mga vibrations ng isang string ay kapansin-pansin na para sa kanila, ayon sa mga klasikal na konsepto, ang mga discrete na halaga ng isa sa mga dami na nagpapakilala sa mga vibrations (dalas) ay nakuha. Para sa klasikal na pisika, ang naturang discreteness ay isang pagbubukod. Para sa mga prosesong quantum, ang discreteness ay ang panuntunan sa halip na ang exception.

Nababanat na enerhiya ng alon

Hayaan sa isang punto ng daluyan sa direksyon x kumakalat ang isang alon ng eroplano.

(1)

Pumili tayo ng elementary volume sa kapaligiran ΔV upang sa loob ng volume na ito ang bilis ng pag-aalis ng mga particle ng daluyan at ang pagpapapangit ng daluyan ay pare-pareho.

Dami ΔV may kinetic energy.

(2)

(ρ·ΔV – ang masa ng volume na ito).

Ang volume na ito ay mayroon ding potensyal na enerhiya.

Tandaan natin para sa pang-unawa.

Kamag-anak na pag-aalis, α – koepisyent ng proporsyonalidad.

Modulus ni Young E = 1/α . Normal na boltahe T = F/S . Mula rito.

Sa kaso natin .

Sa aming kaso mayroon kami.

(3)

Tandaan din natin.

Tapos . Palitan natin sa (3).

(4)

Para sa kabuuang enerhiya na nakukuha natin.

Hatiin natin sa elementary volume ΔV at nakukuha namin ang volumetric energy density ng wave.

(5)

Nakukuha namin mula sa (1) at .

Ipalit natin ang (6) sa (5) at isaalang-alang iyon . Kukunin natin.

Mula sa (7) sumusunod na ang density ng volumetric na enerhiya sa bawat sandali ng oras sa iba't ibang mga punto sa espasyo ay iba. Sa isang punto sa espasyo, nagbabago ang W 0 ayon sa batas ng parisukat ng sine. At ang average na halaga ng dami na ito mula sa periodic function . Dahil dito, ang average na halaga ng density ng volumetric na enerhiya ay tinutukoy ng expression.

(8)

Ang expression (8) ay halos kapareho ng expression para sa kabuuang enerhiya ng isang oscillating body . Dahil dito, ang daluyan kung saan kumakalat ang alon ay may suplay ng enerhiya. Ang enerhiya na ito ay inililipat mula sa pinagmulan ng panginginig ng boses sa iba't ibang mga punto sa daluyan.

Ang dami ng enerhiya na inililipat ng isang alon sa pamamagitan ng isang tiyak na ibabaw sa bawat yunit ng oras ay tinatawag na energy flux.

Kung sa pamamagitan ng isang ibinigay na ibabaw sa oras dt inilipat ang enerhiya dW , pagkatapos ay ang daloy ng enerhiya F magiging pantay.

(9)

- sinusukat sa watts.

Upang makilala ang daloy ng enerhiya sa iba't ibang mga punto sa espasyo, ipinakilala ang isang dami ng vector, na tinatawag na density ng pagkilos ng enerhiya . Ito ay numerong katumbas ng daloy ng enerhiya sa pamamagitan ng isang unit area na matatagpuan sa isang naibigay na punto sa espasyo na patayo sa direksyon ng paglipat ng enerhiya. Ang direksyon ng energy flux density vector ay tumutugma sa direksyon ng paglipat ng enerhiya.

(10)

Ang katangiang ito ng enerhiya na inilipat ng isang alon ay ipinakilala ng Russian physicist na si N.A. Umovov (1846 – 1915) noong 1874.

Isaalang-alang natin ang daloy ng enerhiya ng alon.

Daloy ng Enerhiya ng Alon

Enerhiya ng alon

W 0 ay ang volumetric energy density.

Pagkatapos ay kukunin natin ito.

(11)

Dahil ang alon ay kumakalat sa isang tiyak na direksyon, maaari itong isulat.

(12)

Ito enerhiya flux vector o ang daloy ng enerhiya sa pamamagitan ng isang unit area na patayo sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon sa bawat yunit ng oras. Ang vector na ito ay tinatawag na Umov vector.

~ kasalanan 2 ωt.

Kung gayon ang average na halaga ng Umov vector ay magiging katumbas ng.

(13)

Tindi ng alon – time-average na halaga ng density ng flux ng enerhiya na inilipat ng alon .

Obvious naman.

(14)

Kanya-kanya.

(15)

Tunog

Ang tunog ay ang vibration ng isang nababanat na daluyan na nakikita ng tainga ng tao.

Ang pag-aaral ng tunog ay tinatawag acoustics .

Ang physiological perception ng tunog: malakas, tahimik, mataas, mababa, kaaya-aya, hindi kanais-nais - ay isang salamin ng mga pisikal na katangian nito. Ang isang maharmonya na panginginig ng boses ng isang tiyak na dalas ay itinuturing bilang isang musikal na tono.

Ang dalas ng isang tunog ay tumutugma sa pitch ng isang tono.

Nakikita ng tainga ang saklaw ng dalas mula 16 Hz hanggang 20,000 Hz. Sa mga frequency na mas mababa sa 16 Hz - infrasound, at sa mga frequency na higit sa 20 kHz - ultrasound.

Ilang sabay-sabay na vibrations ng tunog ay consonance. Ang kaaya-aya ay katinig, ang hindi kanais-nais ay ang disonance. Ang isang malaking bilang ng sabay-sabay na tunog ng mga vibrations na may iba't ibang mga frequency ay ingay.

Tulad ng alam na natin, ang intensity ng tunog ay nauunawaan bilang ang average na oras na halaga ng density ng flux ng enerhiya na dala ng sound wave. Upang maging sanhi ng isang tunog na sensasyon, ang alon ay dapat magkaroon ng isang tiyak na minimum na intensity, na tinatawag na threshold ng pandinig (curve 1 sa figure). Ang threshold ng pandinig ay medyo nag-iiba sa iba't ibang tao at lubos na nakadepende sa dalas ng tunog. Ang tainga ng tao ay pinaka-sensitibo sa mga frequency mula 1 kHz hanggang 4 kHz. Sa lugar na ito, ang threshold ng pandinig ay nasa average na 10 -12 W/m2. Sa ibang mga frequency, mas mataas ang threshold ng pandinig.

Sa mga intensity ng pagkakasunud-sunod ng 1 ÷ 10 W/m2, ang alon ay humihinto sa pag-iisip bilang tunog, na nagdudulot lamang ng pandamdam ng sakit at presyon sa tainga. Ang halaga ng intensity kung saan ito nangyayari ay tinatawag Sakit na kayang tiisin (curve 2 sa figure). Ang threshold ng sakit, tulad ng threshold ng pandinig, ay depende sa dalas.

Kaya, mayroong halos 13 mga order ng magnitude. Samakatuwid, ang tainga ng tao ay hindi sensitibo sa maliliit na pagbabago sa intensity ng tunog. Para maramdaman ang pagbabago sa volume, dapat magbago ang intensity ng sound wave ng hindi bababa sa 10 ÷ 20%. Samakatuwid, bilang isang katangian ng intensity, hindi ang sound intensity mismo ang pinili, ngunit ang susunod na halaga, na tinatawag na sound intensity level (o loudness level) at sinusukat sa bels. Sa karangalan ng American electrical engineer na si A.G. Bell (1847 - 1922), isa sa mga imbentor ng telepono.

I 0 = 10 -12 W/m2 – zero level (hearing threshold).

Yung. 1 B = 10 ako 0 .

Gumagamit din sila ng 10 beses na mas maliit na yunit - decibel (dB).

Gamit ang formula na ito, ang pagbaba sa intensity (pagpapapahina) ng isang alon sa isang tiyak na landas ay maaaring ipahayag sa decibel. Halimbawa, ang pagpapahina ng 20 dB ay nangangahulugan na ang intensity ng wave ay nababawasan ng isang factor ng 100.

Ang buong saklaw ng mga intensity kung saan ang alon ay nagdudulot ng tunog na pandamdam sa tainga ng tao (mula 10 -12 hanggang 10 W/m2) ay tumutugma sa mga halaga ng loudness mula 0 hanggang 130 dB.

Ang enerhiya na dala ng sound wave ay napakaliit. Halimbawa, upang magpainit ng isang basong tubig mula sa temperatura ng silid hanggang sa kumukulo na may sound wave na may antas ng volume na 70 dB (sa kasong ito, humigit-kumulang 2·10 -7 W ang maa-absorb ng tubig bawat segundo) aabutin ito ng humigit-kumulang sampung libong taon.

Ang mga ultratunog na alon ay maaaring gawin sa anyo ng mga direktang sinag, katulad ng mga sinag ng liwanag. Nakakita ng malawak na aplikasyon sa sonar ang mga nakadirekta na ultrasonic beam. Ang ideya ay iniharap ng Pranses na pisisista na si P. Langevin (1872 - 1946) noong Unang Digmaang Pandaigdig (noong 1916). Sa pamamagitan ng paraan, ang paraan ng ultrasonic na lokasyon ay nagpapahintulot sa paniki na mag-navigate nang maayos kapag lumilipad sa dilim.

Equation ng alon

Sa larangan ng mga proseso ng alon mayroong mga equation na tinatawag kumaway , na naglalarawan sa lahat ng posibleng mga alon, anuman ang kanilang partikular na uri. Ang kahulugan ng wave equation ay katulad ng basic equation ng dynamics, na naglalarawan sa lahat ng posibleng paggalaw ng isang materyal na punto. Ang equation ng anumang partikular na wave ay ang solusyon sa wave equation. Kunin natin. Para magawa ito, dalawang beses kaming nag-iba-iba patungkol sa t at para sa lahat ng mga coordinate ang plane wave equation .

(1)

Mula dito nakukuha natin.

(*)

Magdagdag tayo ng mga equation (2).

Papalitan namin x sa (3) mula sa equation (*). Kukunin natin.

Isaalang-alang natin iyon at makukuha natin ito.

, o . (4)

Ito ang wave equation. Sa equation na ito, ay ang bilis ng phase, – Nabla operator o Laplace operator.

Ang anumang function na nakakatugon sa equation (4) ay naglalarawan ng isang tiyak na wave, at ang square root ng value na inverse sa coefficient ng pangalawang derivative ng displacement versus time ay nagbibigay ng phase velocity ng wave.

Madaling i-verify na ang wave equation ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga equation ng plane at spherical waves, pati na rin ang anumang equation ng form.

Para sa isang plane wave na kumakalat sa direksyon, ang wave equation ay may anyo:

.

Ito ay isang one-dimensional na second-order na partial differential wave equation na may bisa para sa homogenous na isotropic media na may negligible attenuation.

Mga electromagnetic wave

Isinasaalang-alang ang mga equation ni Maxwell, isinulat namin ang mahalagang konklusyon na ang isang alternating electric field ay bumubuo ng magnetic field, na lumalabas din na alternating. Sa turn, ang isang alternating magnetic field ay bumubuo ng isang alternating electric field, atbp. Ang electromagnetic field ay may kakayahang umiiral nang nakapag-iisa - nang walang mga singil sa kuryente at mga alon. Ang pagbabago sa estado ng patlang na ito ay may katangian ng alon. Ang mga patlang ng ganitong uri ay tinatawag electromagnetic waves . Ang pagkakaroon ng mga electromagnetic wave ay sumusunod sa mga equation ni Maxwell.

Isaalang-alang natin ang isang homogenous na neutral () non-conducting () medium, halimbawa, para sa pagiging simple, vacuum. Para sa kapaligirang ito maaari kang sumulat:

, .

Kung ang anumang iba pang homogenous na neutral na non-conducting medium ay isinasaalang-alang, pagkatapos ito ay kinakailangan upang magdagdag at sa mga equation na nakasulat sa itaas.

Isulat natin ang mga differential equation ni Maxwell sa pangkalahatang anyo.

, , , .

Para sa medium na isinasaalang-alang, ang mga equation na ito ay may anyo:

, , ,

Isulat natin ang mga equation na ito tulad ng sumusunod:

, , , .

Ang anumang mga proseso ng wave ay dapat na inilarawan sa pamamagitan ng isang wave equation na nauugnay sa pangalawang derivatives na may paggalang sa oras at mga coordinate. Mula sa mga equation na nakasulat sa itaas, sa pamamagitan ng mga simpleng pagbabago, maaari mong makuha ang sumusunod na pares ng mga equation:

,

Ang mga ugnayang ito ay kumakatawan sa magkaparehong wave equation para sa mga field at .

Alalahanin natin na sa wave equation ( ) ang factor sa harap ng pangalawang derivative sa kanang bahagi ay ang reciprocal ng square ng phase velocity ng wave. Kaya naman, . Ito ay lumabas na sa isang vacuum ang bilis na ito para sa isang electromagnetic wave ay katumbas ng bilis ng liwanag.

Pagkatapos ay ang mga wave equation para sa mga patlang at maaaring isulat bilang

At .

Ang mga equation na ito ay nagpapahiwatig na ang mga electromagnetic field ay maaaring umiral sa anyo ng mga electromagnetic wave, ang bilis ng phase kung saan sa isang vacuum ay katumbas ng bilis ng liwanag.

Ang pagsusuri sa matematika ng mga equation ni Maxwell ay nagpapahintulot sa amin na gumuhit ng isang konklusyon tungkol sa istraktura ng isang electromagnetic wave na nagpapalaganap sa isang homogenous na neutral na non-conducting medium sa kawalan ng mga alon at libreng singil. Sa partikular, maaari tayong gumawa ng konklusyon tungkol sa istraktura ng vector ng alon. Ang isang electromagnetic wave ay mahigpit na transverse wave sa kahulugan na ang mga vectors na nagpapakilala dito at patayo sa wave speed vector , ibig sabihin. sa direksyon ng pagpapalaganap nito. Ang mga Vector , at , sa pagkakasunud-sunod ng pagkakasulat ng mga ito, ay nabuo kanang kamay na orthogonal triple ng mga vectors . Sa kalikasan, ang mga right-handed electromagnetic waves lamang ang umiiral, at walang mga left-handed waves. Ito ay isa sa mga pagpapakita ng mga batas ng kapwa paglikha ng mga alternating magnetic at electric field.

OK-9 Pagpapalaganap ng mga vibrations sa isang nababanat na daluyan

Iwagayway ang galaw- mga mekanikal na alon, ibig sabihin, mga alon na nagpapalaganap lamang sa bagay (dagat, tunog, mga alon sa isang string, mga alon ng lindol). Ang mga pinagmumulan ng mga alon ay mga vibrations ng vibrator.

Vibrator- oscillating katawan. Lumilikha ng mga vibrations sa isang nababanat na daluyan.

kaway ay tinatawag na vibrations na nagpapalaganap sa espasyo sa paglipas ng panahon.

ibabaw ng alon- geometric na locus ng mga punto sa daluyan ng oscillating sa parehong mga phase

L
uch- isang linya na ang tangent sa bawat punto ay tumutugma sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon.

Ang dahilan para sa paglitaw ng mga alon sa isang nababanat na daluyan

Kung ang isang vibrator ay nag-vibrate sa isang nababanat na daluyan, kung gayon ito ay kumikilos sa mga particle ng daluyan, na nagiging sanhi ng mga ito upang magsagawa ng sapilitang mga vibrations. Dahil sa mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga particle ng medium, ang mga vibrations ay ipinapadala mula sa isang particle patungo sa isa pa.

T
mga uri ng alon

Mga transverse wave

Mga alon kung saan ang mga panginginig ng boses ng mga particle ng medium ay nangyayari sa isang eroplano na patayo sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon. Nagaganap sa mga solido at sa ibabaw ng apuyan.

P
maternity waves

Nagaganap ang mga oscillation sa kahabaan ng pagpapalaganap ng alon. Maaaring mangyari sa mga gas, likido at solid.

Mga alon sa ibabaw

SA
mga alon na nagpapalaganap sa interface sa pagitan ng dalawang media. Mga alon sa hangganan sa pagitan ng tubig at hangin. Kung λ ay mas mababa kaysa sa lalim ng reservoir, pagkatapos ay ang bawat particle ng tubig sa ibabaw at malapit dito ay gumagalaw kasama ang isang ellipse, i.e. ay isang kumbinasyon ng mga vibrations sa longitudinal at transverse na direksyon. Sa ibaba, puro longitudinal na paggalaw ang sinusunod.

Mga alon ng eroplano

Mga alon kung saan ang mga ibabaw ng alon ay mga eroplanong patayo sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon.

SA spherical waves

Mga alon na ang mga ibabaw ng alon ay mga sphere. Ang mga sphere ng mga ibabaw ng alon ay concentric.

Mga katangian ng paggalaw ng alon

Haba ng daluyong

Ang pinakamaikling distansya sa pagitan ng dalawang karera na nag-o-oscillating sa parehong yugto ay tinatawag na wavelength. Nakasalalay lamang sa daluyan kung saan kumakalat ang alon, sa pantay na mga frequency ng vibrator.

Dalas

Dalas ν Ang paggalaw ng alon ay nakasalalay lamang sa dalas ng vibrator.

Bilis ng pagpapalaganap ng alon

Bilis v= λν . kasi
, Iyon
. Gayunpaman, ang bilis ng pagpapalaganap ng alon ay nakasalalay sa uri ng sangkap at estado nito; mula sa ν At λ , ay hindi nakadepende.

Sa isang perpektong gas
, Saan R- pare-pareho ang gas; M- molar mass; T- ganap na temperatura; γ - pare-pareho para sa isang naibigay na gas; ρ - density ng sangkap.

Transverse waves sa solids
, Saan N- modulus ng paggugupit; mga paayon na alon
, Saan Q- all-round compression module. Sa mga solidong pamalo
saan E- Modulus ni Young.

Sa mga solido, ang parehong transverse at longitudinal wave ay kumakalat sa magkakaibang bilis. Ito ang batayan para matukoy ang epicenter ng isang lindol.

Plane wave equation

Ang kanyang hitsura x=x 0 kasalanan ωt(t−l/v) = x 0 kasalanan( ωt−kl), Saan k= 2π /λ - numero ng alon; l- ang distansyang nilakbay ng alon mula sa vibrator hanggang sa puntong pinag-uusapan A.

Pagkaantala ng oras ng mga oscillations ng mga puntos sa medium:
.

Phase delay ng mga oscillations ng mga puntos sa medium:
.

Pagkakaiba ng phase sa pagitan ng dalawang oscillating point: ∆ φ =φ 2 −φ 1 = 2π (l 2 −l 1)/λ .

Enerhiya ng alon

Ang mga alon ay naglilipat ng enerhiya mula sa isang nanginginig na particle patungo sa isa pa. Ang mga particle ay gumaganap lamang ng mga oscillatory na paggalaw, ngunit hindi gumagalaw kasama ng alon: E=E k + E P,

saan E k ay ang kinetic energy ng isang oscillating particle; E n ay ang potensyal na enerhiya ng nababanat na pagpapapangit ng daluyan.

Sa ilang lawak V nababanat na daluyan kung saan kumakalat ang isang alon na may amplitude X 0 at cyclic frequency ω , mayroong isang average na enerhiya W, katumbas
, Saan m- masa ng inilalaan na dami ng daluyan.

Tindi ng alon

Ang isang pisikal na dami na katumbas ng enerhiya na inililipat ng isang alon sa bawat yunit ng oras sa pamamagitan ng isang yunit ng ibabaw na lugar na patayo sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon ay tinatawag na intensity ng alon:
. Ito ay kilala na W At j~.

lakas ng alon

Kung S ay ang transverse surface area kung saan ang enerhiya ay inililipat ng alon, at j- intensity ng alon, kung gayon ang lakas ng alon ay katumbas ng: p=jS.

OK-10 Mga sound wave

U Ang mga spring wave na nagiging sanhi ng isang tao na makaranas ng tunog ay tinatawag na sound wave.

16 –2∙10 4 Hz - naririnig na mga tunog;

mas mababa sa 16 Hz - infrasound;

higit sa 2∙10 4 Hz - mga ultrasound.

TUNGKOL SA
Ang isang paunang kinakailangan para sa paglitaw ng isang sound wave ay ang pagkakaroon ng isang nababanat na daluyan.

M
Ang mekanismo para sa pagbuo ng isang sound wave ay katulad ng henerasyon ng isang mekanikal na alon sa isang nababanat na daluyan. Ang vibrating sa isang nababanat na medium, ang vibrator ay nakakaapekto sa mga particle ng medium.

Ang tunog ay nilikha ng mga pangmatagalang pana-panahong pinagmumulan ng tunog. Halimbawa, musikal: string, tuning fork, pagsipol, pagkanta.

Ang ingay ay nalilikha ng pangmatagalan, ngunit hindi pana-panahong pinagmumulan ng tunog: ulan, dagat, maraming tao.

Bilis ng tunog

Depende sa medium at estado nito, tulad ng para sa anumang mekanikal na alon:

.

Sa t= 0°C tubig v = 1430 m/s, bakal v = 5000 m/s, hangin v = 331 m/s.

Mga tatanggap ng sound wave

1. Artipisyal: ginagawang elektrikal ng mikropono ang mga mekanikal na tunog na vibrations. Nailalarawan sa pamamagitan ng pagiging sensitibo σ :
,σ depende sa ν z.v. .

2. Natural: tainga.

Nakikita ng pagiging sensitibo nito ang tunog sa ∆ p= 10 −6 Pa.

Mas mababa ang dalas ν sound wave, mas mababa ang sensitivity σ tainga. Kung ν z.v. bumababa mula 1000 hanggang 100 Hz, pagkatapos σ ang tainga ay nabawasan ng 1000 beses.

Pambihirang pagpili: kinukuha ng konduktor ang mga tunog ng mga indibidwal na instrumento.

Mga pisikal na katangian ng tunog

Layunin

1. Ang sound pressure ay ang pressure na ginagawa ng sound wave sa isang balakid sa harap nito.

2. Ang sound spectrum ay ang agnas ng isang komplikadong sound wave sa mga component frequency nito.

3. Intensity sound wave:
, Saan S- ibabaw na lugar; W- enerhiya ng sound wave; t- oras;
.

Subjective

Dami, tulad ng pitch, ang tunog ay nauugnay sa sensasyong lumabas sa isip ng tao, gayundin sa tindi ng alon.

Ang tainga ng tao ay may kakayahang makakita ng mga tunog na may intensity mula 10 −12 (audibility threshold) hanggang 1 (Sakit na kayang tiisin).

G

Ang loudness ay hindi direktang proporsyonal sa intensity. Upang makakuha ng tunog ng 2 beses na mas malakas, kailangan mong taasan ang intensity ng 10 beses. Ang alon na may intensity na 10 −2 W/m 2 ay tumutunog ng 4 na beses na mas malakas kaysa sa wave na may intensity na 10 −4 W/m 2 . Dahil sa ugnayang ito sa pagitan ng layuning sensasyon ng loudness at sound intensity, isang logarithmic scale ang ginagamit.

Ang yunit ng iskala na ito ay ang bel (B) o decibel (dB), (1 dB = 0.1 B), na ipinangalan sa physicist na si Heinrich Behl. Ang antas ng lakas ng tunog ay ipinahayag sa bels:
, Saan ako 0 = 10 −12 threshold ng pandinig (average).

E
kung ako= 10 −2 , Iyon
.

Ang malalakas na tunog ay nakakapinsala sa ating katawan. Ang sanitary standard ay 30–40 dB. Ito ang lakas ng tunog ng isang mahinahon at tahimik na pag-uusap.

Sakit sa ingay: mataas na presyon ng dugo, nervous excitability, pagkawala ng pandinig, pagkapagod, mahinang pagtulog.

Intensity at dami ng tunog mula sa iba't ibang mapagkukunan: jet aircraft - 140 dB, 100 W/m2; rock music sa loob ng bahay - 120 dB, 1 W/m2; normal na pag-uusap (50 cm mula dito) - 65 dB, 3.2∙10 −6 W/m 2.

Pitch depende sa dalas ng oscillation: kaysa > ν , mas mataas ang tunog.

T
tunog timbre nagbibigay-daan sa iyo na makilala sa pagitan ng dalawang tunog ng parehong pitch at volume na ginawa ng magkaibang mga instrumento. Depende ito sa spectral na komposisyon.

Ultrasound

Naaangkop: echo sounder para sa pagtukoy ng lalim ng dagat, paghahanda ng mga emulsyon (tubig, langis), paghuhugas ng mga bahagi, tanning leather, pag-detect ng mga depekto sa mga produktong metal, sa gamot, atbp.

Namamahagi sa malalaking distansya sa mga solid at likido. Naglilipat ng enerhiya na mas malaki kaysa sa sound wave.

Hayaang ang oscillating body ay nasa isang medium kung saan ang lahat ng mga particle ay magkakaugnay. Ang mga particle ng daluyan na nakikipag-ugnay dito ay magsisimulang manginig, bilang isang resulta kung saan ang mga pana-panahong pagpapapangit (halimbawa, compression at pag-igting) ay nangyayari sa mga lugar ng daluyan na katabi ng katawan na ito. Sa panahon ng mga pagpapapangit, lumilitaw ang mga nababanat na puwersa sa daluyan, na may posibilidad na ibalik ang mga particle ng daluyan sa kanilang orihinal na estado ng balanse.

Kaya, ang mga pana-panahong pagpapapangit na lumilitaw sa ilang lugar sa isang nababanat na daluyan ay magpapalaganap sa isang tiyak na bilis, depende sa mga katangian ng daluyan. Sa kasong ito, ang mga particle ng daluyan ay hindi iginuhit ng alon sa paggalaw ng pagsasalin, ngunit nagsasagawa ng mga oscillatory na paggalaw sa paligid ng kanilang mga posisyon sa balanse; tanging ang elastic deformation ay inililipat mula sa isang bahagi ng medium patungo sa isa pa.

Ang proseso ng pagpapalaganap ng oscillatory motion sa isang medium ay tinatawag proseso ng alon o simple kumaway. Minsan ang alon na ito ay tinatawag na nababanat, dahil ito ay sanhi ng mga nababanat na katangian ng daluyan.

Depende sa direksyon ng mga oscillations ng particle na may kaugnayan sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon, ang mga longitudinal at transverse wave ay nakikilala.Interactive na pagpapakita ng transverse at longitudinal waves

Longitudinal wave – Ito ay isang alon kung saan ang mga particle ng daluyan ay nag-o-oscillate sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon.

Ang isang longitudinal wave ay maaaring maobserbahan sa isang mahabang malambot na spring na may malaking diameter. Sa pamamagitan ng pagpindot sa isa sa mga dulo ng tagsibol, mapapansin mo kung paano kumakalat ang sunud-sunod na mga condensation at rarefactions ng mga pagliko nito sa buong tagsibol, sunod-sunod na tumatakbo. Sa figure, ang mga tuldok ay nagpapakita ng posisyon ng spring coils sa pahinga, at pagkatapos ay ang mga posisyon ng spring coils sa sunud-sunod na agwat ng oras na katumbas ng isang-kapat ng panahon.

Pahalang na alon - Ito ay isang alon kung saan ang mga particle ng daluyan ay umiikot sa mga direksyon na patayo sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang proseso ng pagbuo ng mga transverse wave. Kunin natin bilang isang modelo ng isang tunay na kurdon ang isang kadena ng mga bola (materyal na punto) na konektado sa isa't isa sa pamamagitan ng nababanat na puwersa. Ang figure ay naglalarawan sa proseso ng pagpapalaganap ng isang transverse wave at ipinapakita ang mga posisyon ng mga bola sa sunud-sunod na mga agwat ng oras na katumbas ng isang-kapat ng panahon.

Sa unang sandali ng oras (t 0 = 0) ang lahat ng mga puntos ay nasa isang estado ng ekwilibriyo. Pagkatapos ay nagdudulot tayo ng kaguluhan sa pamamagitan ng paglihis ng punto 1 mula sa posisyon ng ekwilibriyo sa pamamagitan ng halagang A at ang unang punto ay magsisimulang mag-oscillate, ang ika-2 punto, na elastic na konektado sa 1st, ay pumapasok sa oscillatory motion pagkaraan ng ilang sandali, ang ika-3 kahit na mamaya, atbp. . Pagkatapos ng quarter ng oscillation period ( t 2 = T 4 ) ay kumakalat sa ika-4 na punto, ang 1st point ay magkakaroon ng oras upang lumihis mula sa posisyon ng balanse nito sa isang maximum na distansya na katumbas ng oscillation amplitude A. Pagkatapos ng kalahating yugto, ang 1st point, na gumagalaw pababa, ay babalik sa posisyon ng equilibrium, ang Ang ika-4 ay lumihis mula sa posisyon ng equilibrium sa isang distansya na katumbas ng amplitude ng mga oscillations A, ang alon ay lumaganap sa ika-7 punto, atbp.

Sa pagdating ng oras t 5 = T Ang 1st point, na nakumpleto ang isang kumpletong oscillation, ay dumadaan sa posisyon ng equilibrium, at ang oscillatory na paggalaw ay kumakalat sa ika-13 na punto. Ang lahat ng mga puntos mula sa ika-1 hanggang ika-13 ay matatagpuan upang bumuo sila ng isang kumpletong alon na binubuo ng mga depresyon At tagaytay

Pagpapakita ng pagpapalaganap ng shear wave

Ang uri ng alon ay depende sa uri ng pagpapapangit ng daluyan. Ang mga longitudinal wave ay sanhi ng compression-tension deformation, ang mga transverse wave ay sanhi ng shear deformation. Samakatuwid, sa mga gas at likido, kung saan ang mga nababanat na puwersa ay lumitaw lamang sa panahon ng compression, imposible ang pagpapalaganap ng mga transverse wave. Sa mga solido, ang mga nababanat na puwersa ay lumitaw kapwa sa panahon ng compression (tension) at paggugupit, samakatuwid, ang parehong mga longitudinal at transverse wave ay maaaring magpalaganap sa kanila.

Tulad ng ipinapakita ng mga figure, sa parehong transverse at longitudinal waves, ang bawat punto ng medium ay nag-oscillates sa paligid ng posisyon ng equilibrium nito at lumilipat mula dito ng hindi hihigit sa isang amplitude, at ang estado ng deformation ng medium ay inililipat mula sa isang punto ng medium hanggang isa pa. Ang isang mahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga nababanat na alon sa isang daluyan at anumang iba pang nakaayos na paggalaw ng mga particle nito ay ang pagpapalaganap ng mga alon ay hindi nauugnay sa paglipat ng bagay sa daluyan.

Ipinakita namin sa iyong pansin ang isang aralin sa video sa paksang "Pagpapalaganap ng mga panginginig ng boses sa isang nababanat na daluyan. Mga longitudinal at transverse waves." Sa araling ito ay pag-aaralan natin ang mga isyung may kinalaman sa pagpapalaganap ng vibrations sa isang elastic medium. Malalaman mo kung ano ang isang alon, kung paano ito lumilitaw, at kung paano ito nailalarawan. Pag-aralan natin ang mga katangian at pagkakaiba ng longitudinal at transverse waves.

Nagpapatuloy kami sa pag-aaral ng mga isyu na may kaugnayan sa mga alon. Pag-usapan natin kung ano ang isang alon, kung paano ito lumilitaw at kung paano ito nailalarawan. Lumalabas na, bilang karagdagan sa simpleng proseso ng oscillatory sa isang makitid na rehiyon ng espasyo, posible rin para sa mga oscillations na ito na magpalaganap sa isang daluyan; ito ay tiyak na ang pagpapalaganap na ito ay wave motion.

Magpatuloy tayo upang talakayin ang pamamahagi na ito. Upang talakayin ang posibilidad ng pagkakaroon ng mga oscillations sa isang daluyan, kailangan nating magpasya kung ano ang isang siksik na daluyan. Ang isang siksik na daluyan ay isang daluyan na binubuo ng isang malaking bilang ng mga particle na ang pakikipag-ugnayan ay napakalapit sa nababanat. Isipin natin ang sumusunod na eksperimento sa pag-iisip.

kanin. 1. Eksperimento sa pag-iisip

Maglagay tayo ng bola sa isang nababanat na daluyan. Ang bola ay liliit, bababa sa laki, at pagkatapos ay lalawak na parang tibok ng puso. Ano ang mapapansin sa kasong ito? Sa kasong ito, ang mga particle na katabi ng bola na ito ay uulitin ang paggalaw nito, i.e. lumalayo, lumalapit - sa gayo'y sila ay mag-iiba. Dahil ang mga particle na ito ay nakikipag-ugnayan sa iba pang mga particle na mas malayo sa bola, sila ay mag-oscillate din, ngunit may ilang pagkaantala. Nag-vibrate ang mga particle na lumalapit sa bolang ito. Ipapadala sila sa iba pang mga particle, mas malayo. Kaya, ang vibration ay kumakalat sa lahat ng direksyon. Pakitandaan na sa kasong ito ang estado ng vibration ay magpapalaganap. Tinatawag namin itong pagpapalaganap ng isang estado ng oscillation na isang alon. Masasabi na ang proseso ng pagpapalaganap ng mga vibrations sa isang nababanat na daluyan sa paglipas ng panahon ay tinatawag na mekanikal na alon.

Mangyaring tandaan: kapag pinag-uusapan natin ang proseso ng paglitaw ng naturang mga oscillations, dapat nating sabihin na posible lamang ang mga ito kung mayroong pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga particle. Sa madaling salita, ang isang alon ay maaari lamang umiral kapag mayroong isang panlabas na nakakagambalang puwersa at mga puwersa na lumalaban sa pagkilos ng puwersa ng kaguluhan. Sa kasong ito, ito ay mga nababanat na puwersa. Ang proseso ng pagpapalaganap sa kasong ito ay maiuugnay sa density at lakas ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga particle ng isang naibigay na medium.

Tandaan natin ang isa pang bagay. Ang alon ay hindi nagdadala ng bagay. Pagkatapos ng lahat, ang mga particle ay nag-o-oscillate malapit sa posisyon ng equilibrium. Ngunit sa parehong oras, ang alon ay naglilipat ng enerhiya. Ang katotohanang ito ay maaaring ilarawan ng mga alon ng tsunami. Ang bagay ay hindi dinadala ng alon, ngunit ang alon ay nagdadala ng gayong enerhiya na nagdudulot ito ng malalaking sakuna.

Pag-usapan natin ang mga uri ng alon. Mayroong dalawang uri - longitudinal at transverse waves. Anong nangyari mga paayon na alon? Ang mga alon na ito ay maaaring umiral sa lahat ng media. At ang halimbawa na may pumipintig na bola sa loob ng isang siksik na daluyan ay isang halimbawa lamang ng pagbuo ng isang longhitudinal wave. Ang ganitong alon ay isang pagpapalaganap sa espasyo sa paglipas ng panahon. Ito ang paghahalili ng compaction at discharge na kumakatawan longitudinal wave. Uulitin ko muli na ang gayong alon ay maaaring umiral sa lahat ng media - likido, solid, gas. Ang longitudinal wave ay isang alon na ang pagpapalaganap ay nagiging sanhi ng pag-oscillate ng mga particle ng daluyan sa direksyon ng pagpapalaganap ng alon.

kanin. 2. Paayon na alon

Kung tungkol sa transverse wave, kung gayon nakahalang alon maaaring umiral lamang sa mga solido at sa ibabaw ng mga likido. Ang transverse wave ay isang wave na ang pagpapalaganap ay nagiging sanhi ng mga particle ng medium na mag-oscillate patayo sa direksyon ng pagpapalaganap ng wave.

kanin. 3. Pahalang na alon

Ang bilis ng pagpapalaganap ng mga longitudinal at transverse wave ay iba, ngunit ito ang paksa ng mga sumusunod na aralin.

Listahan ng karagdagang literatura:

Pamilyar ka ba sa konsepto ng alon? // Quantum. - 1985. - No. 6. — P. 32-33. Physics: Mechanics. Ika-10 baitang: Teksbuk. para sa malalim na pag-aaral ng pisika / M.M. Balashov, A.I. Gomonova, A.B. Dolitsky at iba pa; Ed. G.Ya. Myakisheva. - M.: Bustard, 2002. Elementary physics textbook. Ed. G.S. Landsberg. T. 3. - M., 1974.