Paglutas ng mga equation ng system gamit ang Gaussian method. Gaussian na pamamaraan

Si Carl Friedrich Gauss, ang pinakadakilang mathematician, ay nag-alinlangan nang mahabang panahon, na pumili sa pagitan ng pilosopiya at matematika. Marahil ay tiyak na ang pag-iisip na ito ang nagpahintulot sa kanya na gumawa ng isang kapansin-pansing "pamana" sa agham ng mundo. Sa partikular, sa pamamagitan ng paglikha ng "Gauss Method" ...

Sa loob ng halos 4 na taon, ang mga artikulo sa site na ito ay tumatalakay sa edukasyon sa paaralan, pangunahin mula sa pananaw ng pilosopiya, ang mga prinsipyo ng (maling)pagkakaunawaan na ipinakilala sa isipan ng mga bata. Darating ang oras para sa higit pang mga detalye, halimbawa at pamamaraan... Naniniwala ako na ito mismo ang diskarte sa pamilyar, nakakalito at mahalaga mga lugar ng buhay ay nagbibigay ng mas mahusay na mga resulta.

Tayong mga tao ay idinisenyo sa paraang kahit gaano pa natin pinag-uusapan abstract na pag-iisip, Ngunit pagkakaunawaan Laging nangyayari sa pamamagitan ng mga halimbawa. Kung walang mga halimbawa, kung gayon imposibleng maunawaan ang mga prinsipyo... Tulad ng imposibleng makarating sa tuktok ng bundok maliban sa paglalakad sa buong dalisdis mula sa paa.

Pareho sa paaralan: sa ngayon buhay na kwento Hindi sapat na likas nating patuloy na ituring ito bilang isang lugar kung saan tinuturuan ang mga bata na umunawa.

Halimbawa, ang pagtuturo ng Gaussian method...

Gauss method sa 5th grade school

Magpapareserba ako kaagad: ang pamamaraang Gauss ay may mas malawak na aplikasyon, halimbawa, kapag nagresolba sistema ng mga linear na equation. Ang pag-uusapan natin ay nagaganap sa ika-5 baitang. Ito nagsimula, nang nauunawaan kung alin, mas madaling maunawaan ang mas "mga advanced na pagpipilian". Sa artikulong ito ay pinag-uusapan natin Pamamaraan (paraan) ni Gauss para sa paghahanap ng kabuuan ng isang serye

Narito ang isang halimbawa na dinala ng aking bunsong anak na lalaki, na pumapasok sa ika-5 baitang sa isang gymnasium sa Moscow, mula sa paaralan.

Pagpapakita ng paaralan ng pamamaraang Gauss

Isang guro sa matematika na gumagamit ng isang interactive na whiteboard (modernong pamamaraan ng pagtuturo) ay nagpakita sa mga bata ng isang pagtatanghal ng kasaysayan ng "paglikha ng pamamaraan" ng maliit na Gauss.

Hinampas ng guro ng paaralan ang maliit na Karl (isang lumang paraan, hindi ginagamit sa mga paaralan ngayon) dahil siya

sa halip na sunud-sunod na magdagdag ng mga numero mula 1 hanggang 100, hanapin ang kanilang kabuuan napansin na ang mga pares ng mga numero na pantay na pagitan mula sa mga gilid ng isang arithmetic progression ay nagdaragdag ng hanggang sa parehong numero. halimbawa, 100 at 1, 99 at 2. Nang mabilang ang bilang ng mga naturang pares, halos agad na nalutas ng maliit na Gauss ang problemang iminungkahi ng guro. Kung saan siya ay pinatay sa harap ng isang nagulat na publiko. Upang ang iba ay panghinaan ng loob na mag-isip.

Ano ang ginawa ng maliit na Gauss? umunlad kahulugan ng numero? Napansin ilang tampok serye ng numero na may pare-parehong hakbang (pag-unlad ng arithmetic). AT eksakto ito kalaunan ay ginawa siyang isang mahusay na siyentipiko, yung marunong magpapansin, pagkakaroon ng pakiramdam, likas na pag-unawa.

Ito ang dahilan kung bakit mahalaga ang matematika, umuunlad kakayahang makakita pangkalahatan sa partikular - abstract na pag-iisip. Samakatuwid, karamihan sa mga magulang at employer likas na isaalang-alang ang matematika bilang isang mahalagang disiplina ...

"Kung gayon kailangan mong matuto ng matematika, dahil ito ay naglalagay ng iyong isip sa pagkakasunud-sunod.
M.V.Lomonosov".

Gayunpaman, ang mga tagasunod ng mga taong humagupit sa mga henyo sa hinaharap gamit ang mga pamalo ay ginawa ang Paraan sa isang bagay na kabaligtaran. Gaya ng sinabi ng aking superbisor 35 taon na ang nakalilipas: "Ang tanong ay natutunan na." O gaya ng sinabi ng aking bunsong anak kahapon tungkol sa pamamaraan ni Gauss: "Siguro hindi sulit na gumawa ng malaking agham mula rito, ha?"

Ang mga kahihinatnan ng pagkamalikhain ng "mga siyentipiko" ay makikita sa antas ng kasalukuyang matematika ng paaralan, ang antas ng pagtuturo nito at ang pag-unawa sa "Queen of Sciences" ng karamihan.

Gayunpaman, magpatuloy tayo...

Mga pamamaraan para sa pagpapaliwanag ng pamamaraang Gauss sa ika-5 baitang ng paaralan

Isang guro sa matematika sa isang gymnasium sa Moscow, na nagpapaliwanag ng pamamaraang Gauss ayon kay Vilenkin, na kumplikado sa gawain.

Paano kung ang pagkakaiba (hakbang) ng isang pag-unlad ng aritmetika ay hindi isa, ngunit isa pang numero? Halimbawa, 20.

Ang problemang ibinigay niya sa ikalimang baitang:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Bago maging pamilyar sa paraan ng gymnasium, tingnan natin ang Internet: paano ito ginagawa ng mga guro sa paaralan at mga tagapagturo ng matematika?..

Gaussian method: paliwanag Blg. 1

Isang kilalang tutor sa kanyang YOUTUBE channel ang nagbibigay ng sumusunod na pangangatwiran:

"Isulat natin ang mga numero mula 1 hanggang 100 tulad ng sumusunod:

una ay isang serye ng mga numero mula 1 hanggang 50, at mahigpit na nasa ibaba nito ang isa pang serye ng mga numero mula 50 hanggang 100, ngunit sa reverse order"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Pakitandaan: ang kabuuan ng bawat pares ng mga numero mula sa itaas at ibabang mga hilera ay pareho at katumbas ng 101! Bilangin natin ang bilang ng mga pares, ito ay 50 at i-multiply ang kabuuan ng isang pares sa bilang ng mga pares! Voila: Ang handa na ang sagot!"

“Kung hindi mo maintindihan, huwag kang magalit!” ulit ng guro nang tatlong beses habang nagpapaliwanag. "Kukunin mo ang pamamaraang ito sa ika-9 na baitang!"

Gaussian method: paliwanag Blg. 2

Ang isa pang tutor, na hindi gaanong kilala (paghusga sa bilang ng mga view), ay gumagamit ng isang mas siyentipikong diskarte, na nag-aalok ng isang algorithm ng solusyon na 5 puntos na dapat kumpletuhin nang sunud-sunod.

Para sa hindi pa nakakaalam, ang 5 ay isa sa mga numero ng Fibonacci na tradisyonal na itinuturing na mahiwagang. Ang isang 5 hakbang na paraan ay palaging mas siyentipiko kaysa sa isang 6 na hakbang na paraan, halimbawa. ...At hindi ito isang aksidente, malamang, ang May-akda ay isang nakatagong tagasuporta ng teoryang Fibonacci

Dahil sa pag-unlad ng arithmetic: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algorithm para sa paghahanap ng kabuuan ng mga numero sa isang serye gamit ang Gauss method:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Kasabay nito, kailangan mong tandaan kasama ang isang panuntunan : dapat tayong magdagdag ng isa sa resultang quotient: kung hindi, makakakuha tayo ng resulta na mas mababa ng isa kaysa sa totoong bilang ng mga pares: 42 + 1 = 43.

Ito ang kinakailangang kabuuan ng arithmetic progression mula 4 hanggang 256 na may pagkakaiba na 6!

Gauss method: paliwanag sa ika-5 baitang sa isang gymnasium sa Moscow

Narito kung paano lutasin ang problema sa paghahanap ng kabuuan ng isang serye:

20+40+60+ ... +460+480+500

sa ika-5 baitang ng isang gymnasium sa Moscow, ang aklat-aralin ni Vilenkin (ayon sa aking anak).

Pagkatapos ipakita ang presentasyon, nagpakita ang guro ng matematika ng ilang halimbawa gamit ang Gaussian method at binigyan ang klase ng gawain na hanapin ang kabuuan ng mga numero sa isang serye sa mga pagtaas ng 20.

Nangangailangan ito ng sumusunod:

Tulad ng nakikita mo, ito ay isang mas compact at epektibong pamamaraan: ang numero 3 ay miyembro din ng Fibonacci sequence

Ang aking mga komento sa bersyon ng paaralan ng pamamaraang Gauss

Ang mahusay na matematiko ay tiyak na pipili ng pilosopiya kung nakita niya kung ano ang kanyang "paraan" na gagawin ng kanyang mga tagasunod gurong Aleman, na hinampas ng mga pamalo si Karl. Nakita sana niya ang simbolismo, ang dialectical spiral at ang walang kamatayang katangahan ng "mga guro", sinusubukang sukatin ang pagkakatugma ng buhay na pag-iisip sa matematika sa algebra ng hindi pagkakaunawaan ....

By the way: alam mo ba. na ang ating sistema ng edukasyon ay nakaugat sa paaralang Aleman noong ika-18 at ika-19 na siglo?

Ngunit pinili ni Gauss ang matematika.

Ano ang kakanyahan ng kanyang pamamaraan?

SA pagpapasimple. SA pagmamasid at paghawak simpleng pattern ng mga numero. SA ginagawang dry school arithmetic kawili-wili at kapana-panabik na aktibidad , pag-activate sa utak ng pagnanais na magpatuloy, sa halip na hadlangan ang mataas na gastos na aktibidad sa pag-iisip.

Posible bang gumamit ng isa sa ibinigay na "mga pagbabago ng pamamaraan ni Gauss" upang kalkulahin ang kabuuan ng mga numero ng isang pag-unlad ng aritmetika halos kaagad? Ayon sa "algorithms", ang maliit na Karl ay garantisadong maiiwasan ang pananampal, bumuo ng pag-ayaw sa matematika at sugpuin ang kanyang mga malikhaing impulses sa simula.

Bakit patuloy na pinayuhan ng tutor ang mga nasa ikalimang baitang na "huwag matakot sa hindi pagkakaunawaan" ng pamamaraan, na kinukumbinsi sila na malulutas nila ang "mga" mga problema sa simula ng ika-9 na baitang? Sikolohikal na illiterate action. Ito ay isang magandang hakbang upang tandaan: "See? Ikaw nasa 5th grade ka na kaya mo lutasin ang mga problema na makukumpleto mo lamang sa loob ng 4 na taon! Ang galing mong tao!”

Upang magamit ang pamamaraang Gaussian, sapat na ang antas ng klase 3, kapag alam na ng mga normal na bata kung paano magdagdag, magparami at hatiin ang 2-3 digit na numero. Lumilitaw ang mga problema dahil sa kawalan ng kakayahan ng mga gurong nasa hustong gulang na "wala sa ugnayan" na ipaliwanag ang pinakasimpleng mga bagay sa normal na wika ng tao, hindi banggitin ang matematika... Hindi nila magawang makuha ang mga tao na interesado sa matematika at ganap na hinihikayat ang mga taong " kaya.”

O, tulad ng komento ng aking anak na lalaki: "paggawa ng isang malaking agham mula dito."

Gauss method, ang aking mga paliwanag

Ipinaliwanag namin ng aking asawa ang "paraan" na ito sa aming anak, tila, bago pa man mag-aral...

Ang pagiging simple sa halip na pagiging kumplikado o isang laro ng mga tanong at sagot

"Tingnan mo, narito ang mga numero mula 1 hanggang 100. Ano ang nakikita mo?"

Ang punto ay hindi kung ano ang eksaktong nakikita ng bata. Ang daya ay para tingnan siya.

"Paano mo sila pagsasamahin?" Napagtanto ng anak na lalaki na ang mga ganoong tanong ay hindi itinatanong "ganun lang" at kailangan mong tingnan ang tanong na "sa anumang paraan naiiba, naiiba kaysa sa karaniwan niyang ginagawa"

Hindi mahalaga kung ang bata ay nakikita kaagad ang solusyon, ito ay malabong. Mahalaga na siya tumigil sa takot na tumingin, o gaya ng sinasabi ko: "inilipat ang gawain". Ito ang simula ng paglalakbay tungo sa pagkakaunawaan

"Alin ang mas madali: pagdaragdag, halimbawa, 5 at 6 o 5 at 95?" Isang nangungunang tanong... Ngunit ang anumang pagsasanay ay bumaba sa "paggabay" sa isang tao sa "sagot" - sa anumang paraan na katanggap-tanggap sa kanya.

Sa yugtong ito, maaaring lumitaw na ang mga hula tungkol sa kung paano "i-save" sa mga kalkulasyon.

Ang ginawa lang namin ay pahiwatig: ang "frontal, linear" na paraan ng pagbibilang ay hindi lamang ang posibleng isa. Kung naiintindihan ito ng isang bata, pagkatapos ay makakabuo siya ng maraming iba pang mga pamamaraan, kasi interesting!!! At tiyak na maiiwasan niya ang "hindi pagkakaunawaan" sa matematika at hindi siya masusuklam dito. Nakuha niya ang panalo!

Kung natuklasan ng bata na ang pagdaragdag ng mga pares ng mga numero na nagdaragdag ng hanggang isang daan ay isang piraso ng cake, kung gayon "pag-unlad ng arithmetic na may pagkakaiba 1"- isang medyo malungkot at hindi kawili-wiling bagay para sa isang bata - bigla nakahanap ng buhay para sa kanya . Ang kaayusan ay lumitaw mula sa kaguluhan, at ito ay palaging nagiging sanhi ng sigasig: ganyan tayo ginawa!

Isang tanong na sasagutin: bakit, pagkatapos ng pananaw na natanggap ng isang bata, dapat na muli siyang pilitin sa balangkas ng mga tuyong algorithm, na walang silbi rin sa kasong ito?!

Bakit pilitin ang hangal na muling pagsusulat? pagkakasunud-sunod ng mga numero sa isang kuwaderno: upang kahit na ang may kakayahan ay hindi magkaroon ng isang solong pagkakataon ng pag-unawa? Sa istatistika, siyempre, ngunit ang edukasyong masa ay nakatuon sa "mga istatistika"...

Saan napunta ang zero?

Gayunpaman, ang pagdaragdag ng mga numero na nagdaragdag ng hanggang 100 ay mas katanggap-tanggap sa isip kaysa sa mga nagdaragdag ng hanggang 101...

Ang "Gauss School Method" ay nangangailangan ng eksaktong ito: walang isip na tiklop mga pares ng mga numero na katumbas ng distansya mula sa gitna ng pag-unlad, Sa kabila ng lahat.

Paano kung tumingin ka?

Gayunpaman, ang zero ang pinakadakilang imbensyon ng sangkatauhan, na higit sa 2,000 taong gulang. At patuloy siyang binabalewala ng mga guro sa matematika.

Mas madaling baguhin ang isang serye ng mga numero na nagsisimula sa 1 sa isang serye na nagsisimula sa 0. Hindi magbabago ang kabuuan, hindi ba? Kailangan mong ihinto ang "pag-iisip sa mga aklat-aralin" at magsimulang maghanap... At tingnan na ang mga pares na may kabuuan na 101 ay maaaring ganap na mapalitan ng mga pares na may kabuuan na 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Paano i-abolish ang "plus 1 rule"?

Sa totoo lang, una kong narinig ang tungkol sa ganoong panuntunan mula sa tutor sa YouTube na iyon...

Ano pa ang gagawin ko kapag kailangan kong tukuyin ang bilang ng mga miyembro ng isang serye?

Tinitingnan ko ang pagkakasunud-sunod:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

at kapag ikaw ay ganap na pagod, pagkatapos ay lumipat sa isang mas simpleng hanay:

1, 2, 3, 4, 5

at naiisip ko: kung ibawas mo ang isa sa 5, makakakuha ka ng 4, ngunit malinaw na malinaw ako nakita ko 5 numero! Samakatuwid, kailangan mong magdagdag ng isa! Iminumungkahi ng number sense na binuo sa elementarya: kahit na mayroong isang buong Google ng mga miyembro ng serye (10 hanggang ika-100 na kapangyarihan), mananatiling pareho ang pattern.

Ano ang impiyerno ang mga patakaran?..

Upang sa loob ng isang pares o tatlong taon maaari mong punan ang lahat ng espasyo sa pagitan ng iyong noo at likod ng iyong ulo at tumigil sa pag-iisip? Paano kumita ng iyong tinapay at mantikilya? Pagkatapos ng lahat, kami ay gumagalaw sa kahit na mga ranggo sa panahon ng digital na ekonomiya!

Higit pa tungkol sa pamamaraan ng paaralan ni Gauss: "bakit ito gagawing agham?.."

It was not for nothing na nag-post ako ng screenshot mula sa notebook ng anak ko...

"Anong nangyari sa klase?"

"Buweno, nagbilang ako kaagad, tinaas ang aking kamay, ngunit hindi siya nagtanong. Kaya't habang ang iba ay nagbibilang, nagsimula akong gumawa ng araling-bahay sa wikang Ruso upang hindi mag-aksaya ng oras. Pagkatapos, kapag ang iba ay natapos nang magsulat (? ??), tinawag niya ako sa board. Sinabi ko ang sagot."

"Tama, ipakita mo sa akin kung paano mo ito nalutas," sabi ng guro. pinakita ko. Sinabi niya: "Mali, kailangan mong bilangin ang ipinakita ko!"

"Mabuti at hindi siya nagbigay ng masamang marka. At pinasulat niya ako sa kanilang kuwaderno "ang kurso ng solusyon" sa kanilang sariling paraan. Bakit gumawa ng isang malaking agham mula dito?.."

Ang pangunahing krimen ng isang guro sa matematika

Halos hindi matapos ang pangyayaring iyon Si Carl Gauss ay nakaranas ng mataas na pakiramdam ng paggalang sa kanyang guro sa matematika sa paaralan. Pero kung alam niya kung paano mga tagasunod ng gurong iyon ay papangitin ang pinakadiwa ng pamamaraan... siya ay umuungal sa galit at, sa pamamagitan ng World Intellectual Property Organization WIPO, makakamit ang pagbabawal sa paggamit ng kanyang magandang pangalan sa mga aklat-aralin sa paaralan!..

Sa ano ang pangunahing pagkakamali ng diskarte sa paaralan? O, gaya ng sinabi ko, isang krimen ng mga guro sa matematika ng paaralan laban sa mga bata?

Algorithm ng hindi pagkakaunawaan

Ano ang ginagawa ng mga metodologo ng paaralan, ang karamihan sa kanila ay hindi alam kung paano mag-isip?

Lumilikha sila ng mga pamamaraan at algorithm (tingnan). Ito isang nagtatanggol na reaksyon na nagpoprotekta sa mga guro mula sa pamumuna (“Lahat ay ginagawa ayon sa...”) at mga bata mula sa pag-unawa. At sa gayon - mula sa pagnanais na punahin ang mga guro!(Ang pangalawang derivative ng burukratikong "karunungan", isang siyentipikong diskarte sa problema). Ang isang taong hindi nakakaunawa sa kahulugan ay mas pipiliin niyang sisihin ang sarili niyang hindi pagkakaunawaan, kaysa sa katangahan ng sistema ng paaralan.

Ganito ang nangyayari: sinisisi ng mga magulang ang kanilang mga anak, at ang mga guro... ginagawa rin ito para sa mga batang "hindi nakakaintindi ng matematika!"

Matalino ka ba?

Ano ang ginawa ng maliit na Karl?

Isang ganap na hindi kinaugalian na diskarte sa isang formulaic na gawain. Ito ang esensya ng Kanyang diskarte. Ito ang pangunahing bagay na dapat ituro sa paaralan ay mag-isip hindi sa mga aklat-aralin, ngunit sa iyong ulo. Syempre, meron ding instrumental component na pwedeng gamitin... in search of mas simple at mas mahusay na paraan ng pagbibilang.

Gauss method ayon kay Vilenkin

Sa paaralan itinuturo nila na ang pamamaraan ni Gauss ay

Ano, kung ang bilang ng mga elemento ng serye ay kakaiba, as in yung problemang na-assign sa anak ko?..

Ang "catch" ay iyon sa kasong ito dapat kang makahanap ng "dagdag" na numero sa serye at idagdag ito sa kabuuan ng mga pares. Sa aming halimbawa ang numerong ito ay 260.

Paano matukoy? Kinokopya ang lahat ng pares ng mga numero sa isang notebook!(Ito ang dahilan kung bakit ginawa ng guro ang mga bata na gawin ang hangal na trabahong ito ng pagsubok na magturo ng "pagkamalikhain" gamit ang Gaussian method... At ito ang dahilan kung bakit ang ganitong "paraan" ay halos hindi naaangkop sa malalaking serye ng data, AT ito ang dahilan kung bakit ito hindi ang pamamaraang Gaussian.)

Isang maliit na pagkamalikhain sa gawain ng paaralan...

Iba ang kinikilos ng anak.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

Hindi mahirap, tama?

Ngunit sa pagsasagawa ito ay ginagawang mas madali, na nagpapahintulot sa iyo na mag-ukit ng 2-3 minuto para sa remote sensing sa Russian, habang ang iba ay "nagbibilang". Bilang karagdagan, pinapanatili nito ang bilang ng mga hakbang ng pamamaraan: 5, na hindi pinapayagan ang diskarte na punahin dahil sa pagiging hindi makaagham.

Malinaw na ang diskarte na ito ay mas simple, mas mabilis at mas unibersal, sa estilo ng Paraan. Ngunit... hindi lamang hindi pinuri ng guro, ngunit pinilit din akong isulat muli ito "sa tamang paraan" (tingnan ang screenshot). Iyon ay, gumawa siya ng isang desperadong pagtatangka na pigilan ang malikhaing salpok at ang kakayahang maunawaan ang matematika sa ugat! Kumbaga, para ma-hire siya bilang tutor mamaya... Maling tao ang inatake niya...

Lahat ng inilarawan ko nang napakahaba at nakakapagod ay maipaliwanag sa isang normal na bata sa loob ng maximum na kalahating oras. Kasama ng mga halimbawa.

At sa paraang hindi niya ito makakalimutan.

At ito ay magiging hakbang tungo sa pagkakaunawaan...hindi lang mga mathematician.

Aminin mo: ilang beses ka nang nagdagdag sa iyong buhay gamit ang Gaussian method? At hindi ko kailanman ginawa!

Pero instinct ng pag-unawa, na nabubuo (o pinapatay) sa proseso ng pag-aaral ng mga pamamaraan ng matematika sa paaralan... Oh!.. Ito ay tunay na hindi mapapalitang bagay!

Lalo na sa panahon ng unibersal na digitalization, na tahimik nating pinasok sa ilalim ng mahigpit na pamumuno ng Partido at Gobyerno.

Ilang salita bilang pagtatanggol sa mga guro...

Hindi patas at mali na ilagay ang lahat ng responsibilidad para sa istilong ito ng pagtuturo sa mga guro ng paaralan lamang. Ang sistema ay may bisa.

Ang ilan naiintindihan ng mga guro ang kahangalan ng nangyayari, ngunit ano ang gagawin? Ang Batas sa Edukasyon, Mga Pamantayan sa Pang-edukasyon ng Estado ng Pederal, mga pamamaraan, mga plano sa aralin... Ang lahat ay dapat gawin "alinsunod at batay sa" at lahat ay dapat na dokumentado. Tumabi - pumila para tanggalin. Huwag tayong maging mapagkunwari: ang mga suweldo ng mga guro sa Moscow ay napakaganda... Kung sinibak ka nila, saan pupunta?..

Samakatuwid ang site na ito hindi tungkol sa edukasyon. Siya ay tungkol sa indibidwal na edukasyon, ang tanging posibleng paraan para makaalis sa karamihan henerasyon Z ...

Isa sa mga unibersal at epektibong pamamaraan para sa paglutas ng mga linear algebraic system ay Gaussian na pamamaraan , na binubuo sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam.

Alalahanin na ang dalawang sistema ay tinatawag katumbas (katumbas) kung ang mga hanay ng kanilang mga solusyon ay magkakasabay. Sa madaling salita, ang mga sistema ay katumbas kung ang bawat solusyon ng isa sa mga ito ay solusyon ng isa at kabaliktaran. Nakukuha ang mga katumbas na sistema kapag mga pagbabagong elementarya equation ng system:

pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa isang numero maliban sa zero;

pagdaragdag sa ilang equation ng mga kaukulang bahagi ng isa pang equation, na pinarami ng numero maliban sa zero;

muling pagsasaayos ng dalawang equation.

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga equation

Ang proseso ng paglutas ng sistemang ito gamit ang Gaussian method ay binubuo ng dalawang yugto. Sa unang yugto (direktang paggalaw), ang sistema, gamit ang elementarya na pagbabago, ay nabawasan sa hakbang-hakbang , o tatsulok form, at sa pangalawang yugto (reverse) mayroong isang sequential, simula sa huling variable na numero, pagpapasiya ng mga hindi alam mula sa nagresultang sistema ng hakbang.

Ipagpalagay natin na ang coefficient ng system na ito
, kung hindi sa system ang unang hilera ay maaaring ipagpalit sa anumang iba pang hilera upang ang koepisyent sa ay iba sa zero.

Ibahin natin ang sistema sa pamamagitan ng pag-aalis ng hindi alam sa lahat ng equation maliban sa una. Upang gawin ito, i-multiply ang magkabilang panig ng unang equation sa pamamagitan ng at magdagdag ng termino sa pamamagitan ng termino sa pangalawang equation ng system. Pagkatapos ay i-multiply ang magkabilang panig ng unang equation sa pamamagitan ng at idagdag ito sa ikatlong equation ng system. Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, nakukuha namin ang katumbas na sistema

Dito
– mga bagong halaga ng mga coefficient at libreng termino na nakuha pagkatapos ng unang hakbang.

Katulad nito, isinasaalang-alang ang pangunahing elemento
, ibukod ang hindi alam mula sa lahat ng equation ng system, maliban sa una at pangalawa. Ipagpatuloy natin ang prosesong ito hangga't maaari, at bilang resulta ay makakakuha tayo ng stepwise system

,

saan ,
,…,- mga pangunahing elemento ng system
.

Kung, sa proseso ng pagbabawas ng system sa isang sunud-sunod na anyo, lilitaw ang mga equation, ibig sabihin, mga pagkakapantay-pantay ng form
, itinatapon ang mga ito dahil nasiyahan sila sa anumang hanay ng mga numero
. Kung sa
Kung ang isang equation ng form ay lilitaw na walang mga solusyon, ito ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakatugma ng system.

Sa panahon ng reverse stroke, ang unang hindi alam ay ipinahayag mula sa huling equation ng transformed step system sa pamamagitan ng lahat ng iba pang hindi alam
na tinatawag na libre . Pagkatapos ay ang variable na expression mula sa huling equation ng system ay pinapalitan sa penultimate equation at ang variable ay ipinahayag mula dito
. Ang mga variable ay tinutukoy nang sunud-sunod sa katulad na paraan
. Mga variable
, na ipinahayag sa pamamagitan ng mga libreng variable, ay tinatawag basic (nakadepende). Ang resulta ay isang pangkalahatang solusyon sa sistema ng mga linear na equation.

Hanapin pribadong solusyon mga sistema, walang alam
sa pangkalahatang solusyon ang mga arbitrary na halaga ay itinalaga at ang mga halaga ng mga variable ay kinakalkula
.

Ito ay teknikal na mas maginhawa upang sumailalim sa elementarya na pagbabago hindi ang mga equation ng system mismo, ngunit ang pinalawak na matrix ng system

.

Ang pamamaraang Gauss ay isang unibersal na pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas hindi lamang parisukat, kundi pati na rin ang mga hugis-parihaba na sistema kung saan ang bilang ng mga hindi alam
hindi katumbas ng bilang ng mga equation
.

Ang bentahe ng pamamaraang ito ay din na sa proseso ng paglutas ay sabay-sabay nating sinusuri ang system para sa pagiging tugma, dahil, sa pagbibigay ng pinahabang matrix
sa stepwise form, madaling matukoy ang mga ranggo ng matrix at pinalawig na matrix
at mag-apply Kronecker-Capelli theorem .

Halimbawa 2.1 Lutasin ang system gamit ang Gauss method

Solusyon. Bilang ng mga equation
at ang bilang ng mga hindi alam
.

Gumawa tayo ng pinahabang matrix ng system sa pamamagitan ng pagtatalaga ng mga coefficient sa kanan ng matrix column ng libreng miyembro .

Ipakita natin ang matrix sa isang tatsulok na view; Upang gawin ito, makakakuha tayo ng "0" sa ibaba ng mga elemento na matatagpuan sa pangunahing dayagonal gamit ang mga pagbabagong elementarya.

Upang makuha ang "0" sa pangalawang posisyon ng unang column, i-multiply ang unang row sa (-1) at idagdag ito sa pangalawang row.

Isinulat namin ang pagbabagong ito bilang numero (-1) laban sa unang linya at tinutukoy ito ng isang arrow mula sa unang linya hanggang sa pangalawang linya.

Upang makuha ang "0" sa ikatlong posisyon ng unang hanay, i-multiply ang unang hilera sa (-3) at idagdag sa ikatlong hilera; Ipakita natin ang pagkilos na ito gamit ang isang arrow mula sa unang linya hanggang sa pangatlo.

.

Sa nagresultang matrix, na nakasulat sa pangalawa sa kadena ng mga matrice, nakukuha namin ang "0" sa pangalawang haligi sa ikatlong posisyon. Upang gawin ito, pinarami namin ang pangalawang linya sa pamamagitan ng (-4) at idinagdag ito sa pangatlo. Sa resultang matrix, i-multiply ang pangalawang hilera sa (-1), at hatiin ang pangatlo sa (-8). Ang lahat ng mga elemento ng matrix na ito na nasa ibaba ng mga elemento ng dayagonal ay mga zero.

kasi , ang sistema ay nagtutulungan at tinukoy.

Ang sistema ng mga equation na tumutugma sa huling matrix ay may isang tatsulok na anyo:

Mula sa huling (ikatlong) equation
. Palitan sa pangalawang equation at makuha
.

Palitan natin
At
sa unang equation, nakita namin


.

Ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss ay ang pagbabagong-anyo (1) sa isang sistema na may isang tatsulok na matrix, kung saan ang mga halaga ng lahat ng hindi alam ay pagkatapos ay nakuha nang sunud-sunod (sa kabaligtaran). Isaalang-alang natin ang isa sa mga computational scheme. Ang circuit na ito ay tinatawag na single division circuit. Kaya tingnan natin ang diagram na ito. Hayaang hatiin ng 11 ≠0 (nangungunang elemento) ang unang equation ng 11. Nakukuha namin
(2)
Gamit ang equation (2), madaling alisin ang mga hindi alam na x 1 mula sa natitirang mga equation ng system (upang gawin ito, sapat na upang ibawas ang equation (2) mula sa bawat equation, na dati ay pinarami ng kaukulang coefficient para sa x 1) , ibig sabihin, sa unang hakbang na nakukuha natin
.
Sa madaling salita, sa hakbang 1, ang bawat elemento ng kasunod na mga row, simula sa pangalawa, ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng orihinal na elemento at ang produkto ng "projection" nito sa unang column at ang unang (transformed) na row.
Kasunod nito, iniwan ang unang equation, nagsasagawa kami ng katulad na pagbabago sa natitirang mga equation ng system na nakuha sa unang hakbang: pipiliin namin mula sa kanila ang equation na may nangungunang elemento at, sa tulong nito, ibukod ang x 2 mula sa natitirang mga equation (hakbang 2).
Pagkatapos ng n hakbang, sa halip na (1), makakakuha tayo ng katumbas na sistema
(3)
Kaya, sa unang yugto ay nakakakuha tayo ng isang triangular na sistema (3). Ang yugtong ito ay tinatawag na forward stroke.
Sa pangalawang yugto (baligtad), nakita namin ang sunud-sunod mula sa (3) ang mga halaga x n, x n -1, ..., x 1.
Tukuyin natin ang nagresultang solusyon bilang x 0 . Pagkatapos ang pagkakaiba ε=b-A x 0 tinatawag na residual.
Kung ε=0, kung gayon ang nahanap na solusyon x 0 ay tama.

Ang mga kalkulasyon gamit ang Gaussian method ay isinasagawa sa dalawang yugto:

1. Ang unang yugto ay tinatawag na pasulong na pamamaraan. Sa unang yugto, ang orihinal na sistema ay na-convert sa isang tatsulok na anyo.
2. Ang ikalawang yugto ay tinatawag na reverse stroke. Sa ikalawang yugto, isang tatsulok na sistema na katumbas ng orihinal ay malulutas.

Layunin ng pamamaraang Gauss

Mga uri ng pamamaraang Gaussian

1. Klasikong pamamaraan ng Gaussian;
2. Mga pagbabago sa pamamaraang Gauss. Ang isa sa mga pagbabago ng pamamaraang Gaussian ay isang pamamaraan na may pagpili ng pangunahing elemento. Ang isang tampok ng pamamaraang Gauss na may pagpili ng pangunahing elemento ay tulad ng muling pagsasaayos ng mga equation upang sa ika-kth na hakbang ang nangungunang elemento ay lumabas na ang pinakamalaking elemento sa kth na hanay.
3. Paraan ng Jordano-Gauss;

Halimbawa ng solusyon gamit ang Gaussian method
Lutasin natin ang sistema:

Para sa kadalian ng pagkalkula, palitan natin ang mga linya:

I-multiply natin ang 2nd line sa (2). Idagdag ang 3rd line sa 2nd

I-multiply ang 2nd line sa (-1). Idagdag ang 2nd line sa 1st

Mula sa unang linya ipinapahayag namin ang x 3:
Mula sa ika-2 linya ipinapahayag namin ang x 2:
Mula sa ika-3 linya ipinapahayag namin ang x 1:

Isang halimbawa ng solusyon gamit ang pamamaraang Jordano-Gauss
Lutasin natin ang parehong SLAE gamit ang pamamaraang Jordano-Gauss.

Sunud-sunod naming pipiliin ang elemento ng paglutas ng RE, na nasa pangunahing dayagonal ng matrix.
Ang elemento ng resolution ay katumbas ng (1).



NE = SE - (A*B)/RE
RE - elemento ng paglutas (1), A at B - mga elemento ng matrix na bumubuo ng isang parihaba na may mga elementong STE at RE.
Ipakita natin ang pagkalkula ng bawat elemento sa anyo ng isang talahanayan:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Pagpapatupad ng pamamaraang Gaussian

Gamit ang Gaussian Method

Application ng Gauss method sa game theory

Application ng Gauss method sa paglutas ng differential equation

Application ng Jordano-Gauss method sa linear programming

Ang isa sa mga pinakasimpleng paraan upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation ay isang pamamaraan batay sa pagkalkula ng mga determinant ( Ang panuntunan ni Cramer). Ang kalamangan nito ay pinapayagan ka nitong agad na i-record ang solusyon, lalo na itong maginhawa sa mga kaso kung saan ang mga coefficient ng system ay hindi mga numero, ngunit ilang mga parameter. Ang kawalan nito ay ang pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon sa kaso ng isang malaking bilang ng mga equation; bukod dito, ang panuntunan ng Cramer ay hindi direktang naaangkop sa mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nag-tutugma sa bilang ng mga hindi alam. Sa ganitong mga kaso, ito ay karaniwang ginagamit Gaussian na pamamaraan.

Ang mga sistema ng mga linear na equation na may parehong hanay ng mga solusyon ay tinatawag katumbas. Malinaw, ang hanay ng mga solusyon ng isang linear na sistema ay hindi magbabago kung ang anumang mga equation ay pinalitan, o kung ang isa sa mga equation ay pinarami ng ilang di-zero na numero, o kung ang isang equation ay idinagdag sa isa pa.

Pamamaraan ng Gauss (paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam) ay na sa tulong ng elementarya pagbabagong-anyo ang sistema ay nabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang uri ng hakbang. Una, gamit ang 1st equation, inaalis namin x 1 ng lahat ng kasunod na equation ng system. Pagkatapos, gamit ang 2nd equation, inaalis namin x 2 mula sa ika-3 at lahat ng kasunod na equation. Ang prosesong ito, tinatawag direktang pamamaraan ng Gaussian, ay nagpapatuloy hanggang sa mayroon na lamang isang hindi kilalang natitira sa kaliwang bahagi ng huling equation x n. Pagkatapos nito ay tapos na kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian– paglutas ng huling equation, nakita namin x n; pagkatapos nito, gamit ang halagang ito, mula sa penultimate equation ay kinakalkula namin x n–1, atbp. Natagpuan namin ang huli x 1 mula sa unang equation.

Maginhawang magsagawa ng mga pagbabagong Gaussian sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga pagbabagong hindi sa mga equation mismo, ngunit sa mga matrice ng kanilang mga coefficient. Isaalang-alang ang matrix:

tinawag pinahabang matrix ng system, dahil, bilang karagdagan sa pangunahing matrix ng system, kabilang dito ang isang hanay ng mga libreng termino. Ang pamamaraang Gaussian ay batay sa pagbabawas ng pangunahing matrix ng system sa isang triangular na anyo (o trapezoidal form sa kaso ng mga non-square system) gamit ang elementary row transformations (!) ng extended matrix ng system.

Halimbawa 5.1. Lutasin ang system gamit ang Gaussian method:

Solusyon. Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang unang hilera, pagkatapos nito ay i-reset natin ang natitirang mga elemento:

nakakakuha tayo ng mga zero sa 2nd, 3rd at 4th row ng unang column:

Ngayon kailangan namin ang lahat ng mga elemento sa ikalawang hanay sa ibaba ng 2nd row upang maging katumbas ng zero. Upang gawin ito, maaari mong i-multiply ang pangalawang linya sa -4/7 at idagdag ito sa ika-3 linya. Gayunpaman, upang hindi makitungo sa mga fraction, gumawa tayo ng isang yunit sa ika-2 hilera ng pangalawang hanay at lamang

Ngayon, upang makakuha ng isang tatsulok na matrix, kailangan mong i-reset ang elemento ng ikaapat na hilera ng ika-3 haligi; upang gawin ito, maaari mong i-multiply ang ikatlong hilera sa 8/54 at idagdag ito sa ikaapat. Gayunpaman, upang hindi makitungo sa mga fraction, ipapalit namin ang ika-3 at ika-4 na hanay at ang ika-3 at ika-4 na hanay at pagkatapos lamang nito ay ire-reset namin ang tinukoy na elemento. Tandaan na kapag muling inaayos ang mga column, ang mga kaukulang variable ay nagbabago ng mga lugar at ito ay dapat tandaan; ang iba pang elementarya na pagbabagong-anyo na may mga column (pagdaragdag at pagpaparami sa isang numero) ay hindi maisagawa!

Ang huling pinasimple na matrix ay tumutugma sa isang sistema ng mga equation na katumbas ng orihinal:

Mula dito, gamit ang kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian, makikita natin mula sa ikaapat na equation x 3 = –1; mula sa ikatlo x 4 = –2, mula sa pangalawa x 2 = 2 at mula sa unang equation x 1 = 1. Sa anyong matrix, ang sagot ay isinusulat bilang

Isinaalang-alang namin ang kaso kapag ang sistema ay tiyak, i.e. kapag iisa lang ang solusyon. Tingnan natin kung ano ang mangyayari kung ang sistema ay hindi naaayon o hindi sigurado.

Halimbawa 5.2. I-explore ang system gamit ang Gaussian method:

Solusyon. Sinusulat namin at binabago ang pinahabang matrix ng system

Sumulat kami ng isang pinasimple na sistema ng mga equation:

Dito, sa huling equation ay lumabas na 0=4, i.e. kontradiksyon. Dahil dito, ang sistema ay walang solusyon, i.e. siya hindi magkatugma. à

Halimbawa 5.3. I-explore at lutasin ang system gamit ang Gaussian method:

Solusyon. Sinusulat namin at binabago ang pinahabang matrix ng system:

Bilang resulta ng mga pagbabago, ang huling linya ay naglalaman lamang ng mga zero. Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga equation ay nabawasan ng isa:

Kaya, pagkatapos ng mga pagpapasimple, may dalawang equation na natitira, at apat na hindi alam, i.e. dalawang hindi kilalang "dagdag". Hayaan silang maging "labis", o, gaya ng sinasabi nila, mga libreng variable, kalooban x 3 at x 4 . Pagkatapos

Naniniwala x 3 = 2a At x 4 = b, nakukuha namin x 2 = 1–a At x 1 = 2b–a; o sa anyo ng matrix

Ang isang solusyon na nakasulat sa ganitong paraan ay tinatawag pangkalahatan, dahil, nagbibigay ng mga parameter a At b iba't ibang mga halaga, ang lahat ng posibleng solusyon ng system ay maaaring inilarawan. a

Dito maaari mong lutasin ang isang sistema ng mga linear equation nang libre Gauss na pamamaraan online malalaking sukat sa mga kumplikadong numero na may napakadetalyadong solusyon. Ang aming calculator ay maaaring malutas online pareho ang karaniwang tiyak at hindi tiyak na mga sistema ng mga linear equation gamit ang Gaussian method, na may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Sa kasong ito, sa sagot ay makakatanggap ka ng pagtitiwala ng ilang mga variable sa pamamagitan ng iba, libre. Maaari mo ring suriin ang sistema ng mga equation para sa pagkakapare-pareho online gamit ang solusyong Gaussian.

Tungkol sa pamamaraan

Kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation online gamit ang Gaussian method, ang mga sumusunod na hakbang ay isinasagawa.

1. Sinusulat namin ang pinalawig na matrix.
2. Sa katunayan, ang solusyon ay nahahati sa pasulong at paatras na mga hakbang ng pamamaraang Gaussian. Ang direktang hakbang ng pamamaraang Gaussian ay ang pagbabawas ng isang matrix sa isang sunud-sunod na anyo. Ang kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian ay ang pagbabawas ng isang matrix sa isang espesyal na stepwise na anyo. Ngunit sa pagsasagawa, mas maginhawang agad na i-zero out kung ano ang matatagpuan sa itaas at ibaba ng elementong pinag-uusapan. Eksaktong ginagamit ng aming calculator ang diskarteng ito.
3. Mahalagang tandaan na kapag nag-solve gamit ang Gaussian method, ang presensya sa matrix ng hindi bababa sa isang zero row na may NON-zero na kanang bahagi (column ng mga libreng termino) ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakapare-pareho ng system. Sa kasong ito, walang solusyon sa linear system.

Upang lubos na maunawaan kung paano gumagana ang Gaussian algorithm online, maglagay ng anumang halimbawa, piliin ang "napakadetalyadong solusyon" at tingnan ang solusyon nito online.