Ayrıntılı olarak diferansiyel denklem hesaplayıcısının özel çözümü. Birinci mertebeden en basit diferansiyel denklemlerin çözümü

I. Adi diferansiyel denklemler

1.1. Temel kavramlar ve tanımlar

Diferansiyel denklem, bağımsız bir değişkeni ilişkilendiren bir denklemdir. x, istenilen fonksiyon y ve türevleri veya diferansiyelleri.

Sembolik olarak diferansiyel denklem aşağıdaki gibi yazılır:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

İstenen fonksiyon bir bağımsız değişkene bağlıysa, diferansiyel denklem sıradan olarak adlandırılır.

Diferansiyel denklemi çözerek bu denklemi bir özdeşliğe dönüştüren fonksiyona denir.

diferansiyel denklemin sırası bu denklemdeki en yüksek türevin mertebesidir

Örnekler

1. Birinci mertebeden diferansiyel denklemi düşünün

Bu denklemin çözümü y = 5 ln x fonksiyonudur. Nitekim ikame ederek y" denkleme, bir özdeşlik elde ederiz.

Ve bu, y = 5 ln x– fonksiyonunun bu diferansiyel denklemin çözümü olduğu anlamına gelir.

2. İkinci mertebeden diferansiyel denklemi düşünün y" - 5y" + 6y = 0. Fonksiyon bu denklemin çözümüdür.

Gerçekten, .

Bu ifadeleri denklemde yerine koyarsak: , - özdeşlik elde ederiz.

Bu da fonksiyonun bu diferansiyel denklemin çözümü olduğu anlamına gelir.

diferansiyel denklemlerin entegrasyonu diferansiyel denklemlere çözüm bulma sürecidir.

diferansiyel denklemin genel çözümü formun bir fonksiyonu denir , denklemin sırası kadar bağımsız keyfi sabit içerir.

Diferansiyel denklemin kısmi çözümü keyfi sabitlerin farklı sayısal değerleri için genel çözümden elde edilen çözüme denir. İsteğe bağlı sabitlerin değerleri, argüman ve işlevin belirli başlangıç ​​değerlerinde bulunur.

Bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünün grafiğine denir. integral eğrisi.

Örnekler

1. Birinci dereceden bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünü bulun

xdx + ydy = 0, Eğer y= 4'te x = 3.

Karar. Denklemin her iki tarafını da entegre edersek,

Yorum. Entegrasyonun bir sonucu olarak elde edilen keyfi bir sabit C, daha sonraki dönüşümler için uygun herhangi bir biçimde temsil edilebilir. Bu durumda, dairenin kanonik denklemi dikkate alındığında, formda keyfi bir sabit С temsil etmek uygundur.

diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

Başlangıç ​​koşullarını sağlayan bir denklemin özel çözümü y = 4'te x = 3, genel çözüme başlangıç ​​koşullarının yerine konmasıyla genelden bulunur: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Genel çözümde C=5 yerine koyarsak, x2+y2 = 5 2 .

Bu, verilen başlangıç ​​koşulları altında genel çözümden elde edilen diferansiyel denklemin özel bir çözümüdür.

2. Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun

Bu denklemin çözümü, C'nin keyfi bir sabit olduğu formun herhangi bir fonksiyonudur. Gerçekten de, denklemleri değiştirerek şunu elde ederiz: , .

Bu nedenle, bu diferansiyel denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır, çünkü C sabitinin farklı değerleri için eşitlik, denklemin farklı çözümlerini belirler.

Örneğin, doğrudan ikame yoluyla, işlevlerin doğrulandığı doğrulanabilir. denklemin çözümleridir.

Denklemin belirli bir çözümünü bulmanın gerekli olduğu bir problem y" = f(x, y) başlangıç ​​koşulunun sağlanması y(x0) = y0, Cauchy problemi olarak adlandırılır.

denklem çözümü y" = f(x, y), başlangıç ​​koşulunun sağlanması, y(x0) = y0, Cauchy probleminin çözümü olarak adlandırılır.

Cauchy probleminin çözümü basit bir geometrik anlama sahiptir. Nitekim bu tanımlara göre Cauchy problemini çözmek için y" = f(x, y) verilen y(x0) = y0, denklemin integral eğrisini bulmak anlamına gelir y" = f(x, y) belirli bir noktadan geçen M0 (x0,0).

II. Birinci mertebeden diferansiyel denklemler

2.1. Temel konseptler

Birinci dereceden bir diferansiyel denklem, formun bir denklemidir. F(x,y,y") = 0.

Birinci mertebeden diferansiyel denklem, birinci türevi içerir ve daha yüksek mertebeden türevleri içermez.

denklem y" = f(x, y) türevine göre çözülen birinci mertebeden denklem denir.

Birinci dereceden bir diferansiyel denklemin genel çözümü, bir keyfi sabit içeren formun bir fonksiyonudur.

Misal. Birinci dereceden bir diferansiyel denklem düşünün.

Bu denklemin çözümü fonksiyondur.

Gerçekten de, bu denklemde değeriyle yer değiştirirsek, şunu elde ederiz:

yani 3x=3x

Bu nedenle fonksiyon, herhangi bir C sabiti için denklemin genel bir çözümüdür.

Bu denklemin başlangıç ​​koşulunu sağlayan özel bir çözümünü bulunuz. y(1)=1 Başlangıç ​​koşullarının değiştirilmesi x=1, y=1 denklemin genel çözümüne, nereden elde ederiz C=0.

Böylece, elde edilen değeri bu denklemde yerine koyarak genel olandan özel bir çözüm elde ederiz. C=0özel bir karardır.

2.2. Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler

Ayrılabilir değişkenleri olan bir diferansiyel denklem, aşağıdaki formun bir denklemidir: y"=f(x)g(y) veya diferansiyeller yoluyla, nerede f(x) ve g(y) verilen fonksiyonlardır.

Bunlar için y, bunun için denklem y"=f(x)g(y) denkleme eşdeğerdir değişkenin olduğu y yalnızca sol tarafta bulunur ve x değişkeni yalnızca sağ tarafta bulunur. Denklemde diyorlar ki y"=f(x)g(y değişkenleri ayırmak.

Tip denklemi ayrılmış değişken denklemi denir.

Denklemin her iki parçasını da entegre ettikten sonra üzerinde x, alırız G(y) = F(x) + C denklemin genel çözümü, burada g(y) ve f(x) sırasıyla fonksiyonların bazı ters türevleridir ve f(x), C keyfi sabit.

Ayrılabilir değişkenlerle birinci dereceden bir diferansiyel denklemi çözmek için algoritma

örnek 1

denklemi çözün y" = xy

Karar. Bir fonksiyonun türevi y" ile değiştirin

değişkenleri ayırıyoruz

Eşitliğin her iki bölümünü de entegre edelim:

Örnek 2

2yy" = 1- 3x 2, Eğer y 0 = 3 de x0 = 1

Bu ayrılmış bir değişken denklemidir. Diferansiyellerde gösterelim. Bunu yapmak için, bu denklemi formda yeniden yazıyoruz. Buradan

Son eşitliğin her iki parçasını da entegre ederek buluruz.

Başlangıç ​​değerlerinin değiştirilmesi x 0 = 1, y 0 = 3 bulmak İle 9=1-1+C, yani C = 9.

Bu nedenle, istenen kısmi integral veya

Örnek 3

Bir noktadan geçen eğri için bir denklem yazın M(2;-3) ve eğimli bir teğeti olan

Karar. duruma göre

Bu ayrılabilir bir değişken denklemidir. Değişkenleri bölerek şunu elde ederiz:

Denklemin her iki parçasını da entegre ederek şunu elde ederiz:

Başlangıç ​​koşulları kullanılarak, x=2 ve y=-3 bulmak C:

Bu nedenle, istenen denklem forma sahiptir

2.3. Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemler

Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem, formun bir denklemidir. y" = f(x)y + g(x)

nerede f(x) ve g(x)- verilen bazı işlevler.

Eğer bir g(x)=0 daha sonra lineer diferansiyel denklem homojen olarak adlandırılır ve şu şekildedir: y" = f(x)y

Eğer o zaman denklem y" = f(x)y + g(x) heterojen denir.

Lineer homojen diferansiyel denklemin genel çözümü y" = f(x)y formül tarafından verilen: nerede İle keyfi bir sabittir.

özellikle, eğer C \u003d 0, o zaman çözüm y=0 Doğrusal homojen denklem şu şekildeyse y" = ky nerede k bir sabit ise, genel çözümü şu şekildedir: .

Lineer homojen olmayan bir diferansiyel denklemin genel çözümü y" = f(x)y + g(x) formül tarafından verilen ,

onlar. karşılık gelen lineer homojen denklemin genel çözümü ile bu denklemin özel çözümünün toplamına eşittir.

Formun doğrusal homojen olmayan bir denklemi için y" = kx + b,

nerede k ve b- bazı sayılar ve belirli bir çözüm sabit bir fonksiyon olacaktır. Bu nedenle, genel çözüm forma sahiptir.

Misal. denklemi çözün y" + 2y +3 = 0

Karar. Denklemi formda temsil ediyoruz y" = -2y - 3 nerede k=-2, b=-3 Genel çözüm formülle verilir.

Bu nedenle, burada C keyfi bir sabittir.

2.4. Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin Bernoulli yöntemi ile çözümü

Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemin Genel Çözümünü Bulma y" = f(x)y + g(x) ikame kullanarak ayrılmış değişkenlerle iki diferansiyel denklemi çözmeye indirger y=uv, nerede sen ve v- bilinmeyen işlevler x. Bu çözüm yöntemine Bernoulli yöntemi denir.

Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemi çözmek için algoritma

y" = f(x)y + g(x)

1. Bir değişiklik girin y=uv.

2. Bu eşitliği farklılaştırın y"=u"v + uv"

3. İkame y ve y" bu denklemde: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) veya u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Denklemin terimlerini şu şekilde gruplandırın: sen parantezlerden çıkarın:

5. Köşeli ayraçtan sıfıra eşitleyerek fonksiyonu bulun

Bu ayrılabilir bir denklemdir:

Değişkenleri bölün ve şunu elde edin:

Neresi . .

6. Alınan değeri değiştirin v denkleme (4. maddeden):

ve fonksiyonu bulun Bu ayrılabilir bir denklemdir:

7. Genel çözümü şu şekilde yazın: , yani .

örnek 1

Denklemin belirli bir çözümünü bulun y" = -2y +3 = 0 Eğer y=1 de x=0

Karar. Yerine koyma ile çözelim y=uv,.y"=u"v + uv"

değiştirme y ve y" bu denklemde, elde ederiz

Denklemin sol tarafında ikinci ve üçüncü terimleri gruplayarak ortak çarpanı çıkarıyoruz. sen parantez dışında

Parantez içindeki ifadeyi sıfıra eşitleriz ve ortaya çıkan denklemi çözdükten sonra işlevi buluruz. v = v(x)

Ayrılmış değişkenleri olan bir denklemimiz var. Bu denklemin her iki parçasını da entegre ediyoruz: Fonksiyonu bulun v:

Elde edilen değeri değiştirin v denkleme girersek:

Bu ayrılmış bir değişken denklemidir. Denklemin her iki bölümünü de entegre ediyoruz: fonksiyonu bulalım u = u(x,c) Genel bir çözüm bulalım: Başlangıç ​​koşullarını sağlayan denklemin özel bir çözümünü bulalım. y=1 de x=0:

III. Daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler

3.1. Temel kavramlar ve tanımlar

İkinci dereceden bir diferansiyel denklem, ikinci dereceden daha yüksek olmayan türevleri içeren bir denklemdir. Genel durumda, ikinci mertebeden diferansiyel denklem şu şekilde yazılır: F(x,y,y",y") = 0

İkinci dereceden bir diferansiyel denklemin genel çözümü, iki keyfi sabit içeren formun bir fonksiyonudur. C1 ve C2.

İkinci dereceden bir diferansiyel denklemin özel bir çözümü, bazı keyfi sabit değerleri için genel olandan elde edilen bir çözümdür. C1 ve C2.

3.2. İkinci mertebeden lineer homojen diferansiyel denklemler sabit oranlar.

Sabit katsayılı ikinci mertebeden lineer homojen diferansiyel denklem formun denklemi denir y" + py" + qy = 0, nerede p ve q sabit değerlerdir.

Sabit katsayılı ikinci dereceden homojen diferansiyel denklemleri çözmek için algoritma

1. Diferansiyel denklemi şu şekilde yazın: y" + py" + qy = 0.

2. Belirten karakteristik denklemini oluşturun y" vasıtasıyla r2, y" vasıtasıyla r, y 1: r2 + pr +q = 0

Diferansiyel denklemlerin çözümü. Çevrimiçi hizmetimiz sayesinde, her tür ve karmaşıklıktaki diferansiyel denklemleri çözebilirsiniz: homojen olmayan, homojen, doğrusal olmayan, doğrusal, birinci, ikinci mertebeden, ayrılabilir değişkenli veya değişkensiz, vb. Diferansiyel denklemlerin çözümünü ayrıntılı bir açıklama ile analitik bir biçimde elde edersiniz. Birçoğu ilgileniyor: diferansiyel denklemleri çevrimiçi olarak çözmek neden gerekli? Bu tür denklemler, bir diferansiyel denklemi hesaplamadan birçok problemi çözmenin imkansız olacağı matematik ve fizikte çok yaygındır. Ayrıca, diferansiyel denklemler ekonomi, tıp, biyoloji, kimya ve diğer bilimlerde yaygındır. Böyle bir denklemi çevrimiçi olarak çözmek, görevlerinizi büyük ölçüde kolaylaştırır, materyali daha iyi özümsemeyi ve kendinizi test etmeyi mümkün kılar. Diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenin faydaları. Modern bir matematiksel hizmet sitesi, herhangi bir karmaşıklıkta çevrimiçi olarak diferansiyel denklemleri çözmenize olanak tanır. Bildiğiniz gibi, çok sayıda diferansiyel denklem türü vardır ve her birinin kendi çözümleri vardır. Hizmetimizde, herhangi bir mertebeden ve türden diferansiyel denklemlerin çözümünü çevrimiçi olarak bulabilirsiniz. Bir çözüm elde etmek için, ilk verileri doldurmanızı ve "Çözüm" düğmesini tıklamanızı öneririz. Hizmetin işleyişindeki hatalar hariç tutulmuştur, bu nedenle doğru cevabı aldığınızdan %100 emin olabilirsiniz. Hizmetimizle diferansiyel denklemleri çözün. Diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözün. Varsayılan olarak, böyle bir denklemde y işlevi, x değişkeninin bir işlevidir. Ancak kendi değişken atamanızı da ayarlayabilirsiniz. Örneğin, bir diferansiyel denklemde y(t) belirtirseniz, hizmetimiz y'nin t değişkeninin bir fonksiyonu olduğunu otomatik olarak belirleyecektir. Tüm diferansiyel denklemin mertebesi, denklemde bulunan fonksiyonun türevinin maksimum mertebesine bağlı olacaktır. Böyle bir denklemi çözmek, istenen fonksiyonu bulmak demektir. Hizmetimiz, çevrimiçi olarak diferansiyel denklemleri çözmenize yardımcı olacaktır. Denklemi çözmek için fazla çaba harcamanıza gerek yok. Denkleminizin sol ve sağ kısımlarını gerekli alanlara girmeniz ve "Çözüm" butonuna tıklamanız yeterlidir. Bir fonksiyonun türevini girerken kesme işareti ile belirtmek gerekir. Birkaç saniye içinde, diferansiyel denklemin hazır, ayrıntılı bir çözümüne sahip olacaksınız. Hizmetimiz tamamen ücretsizdir. Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler. Bir diferansiyel denklemde sol tarafta y'ye bağlı bir ifade varsa ve sağ tarafta x'e bağlı bir ifade varsa, ayrılabilir değişkenlerle böyle bir diferansiyel denklem denir. Sol tarafta y'nin bir türevi olabilir, bu tür diferansiyel denklemlerin çözümü, denklemin sağ tarafının integrali ile ifade edilen y'nin bir fonksiyonu şeklinde olacaktır. Sol tarafta bir y fonksiyonunun diferansiyeli varsa, denklemin her iki kısmı da entegre edilir. Bir diferansiyel denklemdeki değişkenler ayrılmadığında, ayrılmış bir diferansiyel denklem elde etmek için bölünmeleri gerekecektir. Lineer diferansiyel denklem. Fonksiyon ve tüm türevleri birinci derecede ise, bir diferansiyel denklem lineer olarak adlandırılır. Denklemin genel formu: y'+a1(x)y=f(x). f(x) ve a1(x), x'in sürekli fonksiyonlarıdır. Bu tür diferansiyel denklemlerin çözümü, ayrılmış değişkenlerle iki diferansiyel denklemin entegrasyonuna indirgenir. Diferansiyel denklemin sırası. Diferansiyel denklem birinci, ikinci, n'inci dereceden olabilir. Bir diferansiyel denklemin sırası, içerdiği en yüksek türevin sırasını belirler. Hizmetimizde birinci, ikinci, üçüncü vb. çevrimiçi diferansiyel denklemleri çözebilirsiniz. sipariş. Denklemin çözümü, herhangi bir y=f(x) fonksiyonu olacaktır, denklemde hangisinin yerine bir özdeşlik elde edersiniz. Bir diferansiyel denklemin çözümünü bulma sürecine integrasyon denir. Cauchy sorunu. Diferansiyel denklemin kendisine ek olarak, y(x0)=y0 başlangıç ​​koşulu belirtilirse, buna Cauchy problemi denir. Denklemin çözümüne y0 ve x0 göstergeleri eklenir ve keyfi bir C sabitinin değeri belirlenir ve ardından bu C değeri için denklemin özel bir çözümü bulunur. Bu, Cauchy probleminin çözümüdür. Cauchy problemi, fizik ve mekanikte çok yaygın olan sınır koşulları ile ilgili bir problem olarak da adlandırılır. Ayrıca Cauchy problemini belirleme, yani denkleme olası tüm çözümlerden verilen başlangıç ​​koşullarını karşılayan belirli bir tane seçme fırsatınız da var.

Birinci mertebeden diferansiyel denklemler. Çözüm örnekleri.
Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler

Diferansiyel Denklemler (DE). Bu iki kelime genellikle sıradan bir insanı korkutur. Diferansiyel denklemler, birçok öğrenci için aşırı ve ustalaşması zor bir şey gibi görünüyor. Uuuuuu… diferansiyel denklemler, tüm bunlardan nasıl kurtulurum?!

Böyle bir görüş ve böyle bir tutum temelde yanlıştır, çünkü aslında DİFERANSİYEL DENKLEMLER BASİT VE HİÇ EĞLENCELİDİR. Diferansiyel denklemleri çözmeyi bilmek ve öğrenmek için neye ihtiyacınız var? Farklılıkları başarılı bir şekilde incelemek için, bütünleştirme ve farklılaştırma konusunda iyi olmalısınız. Konular ne kadar iyi çalışılırsa Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi ve belirsiz integral, diferansiyel denklemleri anlamak o kadar kolay olacaktır. Daha fazlasını söyleyeceğim, eğer az ya da çok iyi entegrasyon becerileriniz varsa, konu pratikte ustalaşmıştır! Çeşitli türlerde ne kadar çok integral çözebilirseniz o kadar iyidir. Niye ya? Çok entegre etmek gerekiyor. Ve ayırt et. Ayrıca şiddetle tavsiye ederim bulmayı öğrenin.

Vakaların %95'inde, test kağıtlarında 3 tip birinci mertebeden diferansiyel denklem vardır: ayrılabilir denklemler, bu derste ele alacağımız; homojen denklemler ve lineer homojen olmayan denklemler. Yeni başlayanlar için difüzörleri incelemek için bu sıradaki dersleri okumanızı tavsiye ederim ve ilk iki makaleyi okuduktan sonra, becerilerinizi ek bir atölyede pekiştirmekten zarar gelmez - homojene indirgeyen denklemler.

Daha da nadir türde diferansiyel denklemler vardır: toplam diferansiyellerde denklemler, Bernoulli denklemleri ve diğerleri. Son iki türden en önemlileri toplam diferansiyellerdeki denklemlerdir, çünkü bu DE'ye ek olarak yeni malzeme düşünüyorum - kısmi entegrasyon.

Sadece bir veya iki gününüz kaldıysa, o zamanlar ultra hızlı hazırlık için orada yıldırım kursu pdf formatında.

Yani, yer işaretleri belirlendi - hadi gidelim:

Önce olağan cebirsel denklemleri hatırlayalım. Değişkenler ve sayılar içerirler. En basit örnek: . Sıradan bir denklemi çözmek ne anlama gelir? Bu bulmak anlamına gelir sayı kümesi bu denklemi sağlayan Çocuk denkleminin tek bir kökü olduğunu görmek kolaydır: . Eğlenmek için bir kontrol yapalım, bulunan kökü denklemimize koyalım:

- doğru eşitlik elde edilir, yani çözüm doğru bulunur.

Difüzörler hemen hemen aynı şekilde düzenlenmiştir!

diferansiyel denklem birinci derece Genel olarak içerir:
1) bağımsız değişken;
2) bağımlı değişken (fonksiyon);
3) fonksiyonun birinci türevi: .

1. dereceden bazı denklemlerde "x" veya (ve) "y" olmayabilir, ancak bu zorunlu değildir - önemli yani DU'da oldu birinci türev ve sahip değil daha yüksek siparişlerin türevleri - vb.

Ne demek ? Bir diferansiyel denklemi çözmek, bulmak demektir. tüm fonksiyonların seti bu denklemi sağlayan Böyle bir işlev kümesi genellikle ( keyfi bir sabittir) biçimine sahiptir ve buna denir. diferansiyel denklemin genel çözümü.

örnek 1

Diferansiyel denklemi çöz

Tam mühimmat. nereden başlamalı karar?

Her şeyden önce, türevi biraz farklı bir biçimde yeniden yazmanız gerekir. Birçoğunuzun muhtemelen saçma ve gereksiz olduğunu düşündüğü hantal gösterimi hatırlıyoruz. Difüzörlerde hüküm süren odur!

İkinci adımda, mümkün olup olmadığını görelim bölünmüş değişkenler? Değişkenleri ayırmak ne anlama geliyor? Kabaca konuşma, sol tarafta ayrılmamız gerek sadece "oyunlar", a sağ tarafta düzenlemek sadece x'ler. Değişkenlerin ayrılması "okul" manipülasyonları yardımıyla gerçekleştirilir: parantezler, terimlerin bir işaret değişikliği ile bölümden bölüme aktarılması, orantı kuralına göre faktörlerin bölümden bölüme aktarılması vb.

Farklılıklar ve düşmanlıklarda tam çarpanlar ve aktif katılımcılar. Bu örnekte, değişkenler, orantı kuralına göre faktörleri ters çevirerek kolayca ayrılır:

Değişkenler ayrılır. Sol tarafta - sadece "Oyun", sağ tarafta - sadece "X".

Sıradaki aşama - diferansiyel denklem entegrasyonu. Çok basit, her iki parçaya da integraller asıyoruz:

Elbette integral alınmalıdır. Bu durumda, bunlar tablo halindedir:

Hatırladığımız gibi, herhangi bir ters türev için bir sabit atanır. Burada iki tane integral var ama sabiti bir kez yazmak yeterli (çünkü bir sabit + bir sabit hala başka bir sabite eşittir). Çoğu durumda, sağ tarafa yerleştirilir.

Kesin konuşmak gerekirse, integraller alındıktan sonra diferansiyel denklemin çözülmüş olduğu kabul edilir. Tek şey “y”mizin “x” ile ifade edilmemesi yani çözüm sunulmuş olmasıdır. örtük olarak biçim. Bir diferansiyel denklemin örtük çözümüne denir. diferansiyel denklemin genel integrali. Yani genel integraldir.

Bu formdaki bir cevap oldukça kabul edilebilir, ancak daha iyi bir seçenek var mı? almaya çalışalım ortak karar.

Rica ederim, ilk tekniği hatırla, çok yaygındır ve genellikle pratik görevlerde kullanılır: entegrasyondan sonra sağ tarafta bir logaritma görünüyorsa, çoğu durumda (ancak her zaman değil!) sabiti logaritmanın altına yazmanız da tavsiye edilir..

yani, YERİNE kayıtlar genellikle yazılır .

Bu neden gerekli? Ve "y"yi ifade etmeyi kolaylaştırmak için. Logaritma özelliğini kullanıyoruz . Bu durumda:

Artık logaritmalar ve modüller kaldırılabilir:

İşlev açıkça sunulur. Genel çözüm bu.

Cevap: ortak karar: .

Birçok diferansiyel denklemin yanıtlarını kontrol etmek oldukça kolaydır. Bizim durumumuzda, bu oldukça basit bir şekilde yapılır, bulunan çözümü alır ve farklılaştırırız:

Sonra türevi orijinal denklemde yerine koyarız:

- doğru eşitlik elde edilir, bu genel çözümün kontrol edilmesi gereken denklemi sağladığı anlamına gelir.

Sabit bir farklı değerler vererek, sonsuz sayıda elde edebilirsiniz. özel kararlar diferansiyel denklem. Herhangi bir işlevin , , vb. diferansiyel denklemi sağlar.

Bazen genel çözüm denir fonksiyon ailesi. Bu örnekte, genel çözüm doğrusal fonksiyonlar ailesi veya daha doğrusu doğrudan orantılılık ailesidir.

İlk örneğin ayrıntılı bir tartışmasından sonra, diferansiyel denklemler hakkında birkaç naif soruyu yanıtlamak uygun olur:

1)Bu örnekte değişkenleri ayırmayı başardık. Bunu yapmak her zaman mümkün mü? Hayır her zaman değil. Ve daha sıklıkla değişkenler ayrılamaz. örneğin, homojen birinci dereceden denklemlerönce değiştirilmelidir. Diğer denklem türlerinde, örneğin birinci dereceden doğrusal homojen olmayan bir denklemde, genel bir çözüm bulmak için çeşitli hileler ve yöntemler kullanmanız gerekir. Birinci derste ele aldığımız ayrılabilir değişken denklemler, diferansiyel denklemlerin en basit türüdür.

2) Bir diferansiyel denklemi entegre etmek her zaman mümkün müdür? Hayır her zaman değil. Entegre edilemeyen "fantezi" bir denklemi ortaya çıkarmak çok kolaydır, ayrıca alınamayan integraller vardır. Ancak bu tür DE'ler yaklaşık olarak özel yöntemler kullanılarak çözülebilir. D'Alembert ve Cauchy garanti ediyor... ...ugh, pusuda daha fazla.Şu an çok okuduğuma, neredeyse "öteki dünyadan" ekleyecektim.

3) Bu örnekte, genel bir integral şeklinde bir çözüm elde ettik. . Genel integralden genel bir çözüm bulmak, yani "y"yi açık bir biçimde ifade etmek her zaman mümkün müdür? Hayır her zaman değil. Örneğin: . Peki, burada "y" yi nasıl ifade edebilirim?! Bu gibi durumlarda cevap genel integral olarak yazılmalıdır. Ek olarak, bazen genel bir çözüm bulunabilir, ancak o kadar hantal ve beceriksizce yazılmıştır ki, cevabı genel bir integral şeklinde bırakmak daha iyidir.

4) ...belki şimdilik yeterli. İlk örnekte tanıştık bir diğer önemli nokta, ancak "aptalları" çığ gibi yeni bilgilerle örtmemek için bir sonraki derse kadar bırakacağım.

Acele etmeyelim. Başka bir basit uzaktan kumanda ve başka bir tipik çözüm:

Örnek 2

Başlangıç ​​koşulunu sağlayan diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun.

Karar: Bulunması gereken duruma göre özel çözüm Belirli bir başlangıç ​​koşulunu sağlayan DE. Bu tür sorgulamaya da denir. Cauchy sorunu.

İlk olarak, genel bir çözüm buluyoruz. Denklemde “x” değişkeni yok ama bu utanılacak bir şey olmamalı, asıl mesele birinci türevinin olması.

Türevi gerekli biçimde yeniden yazıyoruz:

Açıkçası, değişkenler ayrılabilir, erkekler sola, kızlar sağa:

Denklemi entegre ediyoruz:

Genel integral elde edilir. Burada vurgulu bir yıldızla bir sabit çizdim, gerçek şu ki çok yakında başka bir sabite dönüşecek.

Şimdi genel integrali genel bir çözüme dönüştürmeye çalışıyoruz ("y"yi açıkça ifade edin). Eski, güzel okulu hatırlıyoruz: . Bu durumda:

Göstergedeki sabit bir şekilde koşer görünmüyor, bu yüzden genellikle cennetten dünyaya indiriliyor. Ayrıntılı olarak, böyle olur. Derecelerin özelliğini kullanarak fonksiyonu aşağıdaki gibi yeniden yazarız:

Eğer bir sabitse, o zaman aynı zamanda bir miktar da sabitse, onu şu harfle yeniden adlandırın:

Bir sabitin "yıkımını" hatırlayın ikinci teknik, genellikle diferansiyel denklemlerin çözümü sırasında kullanılır.

Yani genel çözüm: Böyle güzel bir üstel fonksiyonlar ailesi.

Son aşamada, verilen başlangıç ​​koşulunu sağlayan özel bir çözüm bulmanız gerekir. Çok basit.

görev nedir? almak gerekiyor çok koşulu sağlamak için sabitin değeri.

Farklı şekillerde düzenleyebilirsiniz, ancak belki de en anlaşılır olanı böyle olacaktır. Genel çözümde, "x" yerine sıfır ve "y" yerine iki tane koyarız:



yani,

Standart tasarım versiyonu:

Şimdi sabitin bulunan değerini genel çözümde değiştirelim:
– ihtiyacımız olan özel çözüm bu.

Cevap: özel çözüm:

Bir kontrol yapalım. Belirli bir çözümün doğrulanması iki aşamadan oluşur:

İlk olarak, bulunan özel çözümün başlangıç ​​koşulunu gerçekten sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek gerekir. "x" yerine sıfırı koyarız ve ne olduğunu görürüz:
- evet, gerçekten de bir ikili elde edildi, bu da başlangıç ​​koşulunun karşılandığı anlamına geliyor.

İkinci aşama zaten tanıdık. Ortaya çıkan özel çözümü alıyoruz ve türevi buluyoruz:

Orijinal denklemde değiştirin:

- doğru eşitlik elde edilir.

Sonuç: özel çözüm doğru bulundu.

Daha anlamlı örneklere geçelim.

Örnek 3

Diferansiyel denklemi çöz

Karar: Türevi ihtiyacımız olan formda yeniden yazıyoruz:

Değişkenlerin ayrılıp ayrılamayacağını mı değerlendiriyorsunuz? Yapabilir. İkinci terimi bir işaret değişikliği ile sağ tarafa aktarıyoruz:

Ve çarpanları orantı kuralına göre çeviriyoruz:

Değişkenler ayrılmıştır, hadi her iki parçayı da entegre edelim:

Seni uyarmalıyım, yargı günü yaklaşıyor. Eğer iyi öğrenmediysen belirsiz integraller, birkaç örnek çözdü, sonra gidecek hiçbir yer yok - şimdi onlara hakim olmalısınız.

Sol tarafın integralini bulmak kolaydır, derste ele aldığımız standart teknikle uğraştığımız kotanjantın integrali ile trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu Geçen sene:

Sağ tarafta bir logaritmamız var ve ilk teknik tavsiyeme göre sabitin logaritmanın altına da yazılması gerekiyor.

Şimdi genel integrali basitleştirmeye çalışıyoruz. Sadece logaritmalara sahip olduğumuz için onlardan kurtulmak oldukça mümkün (ve gerekli). Aracılığıyla bilinen özellikler logaritmaları maksimum düzeyde "paketleyin". Çok detaylı yazacağım:

Ambalaj, barbarca yıpranacak şekilde tamamlandı:

"y"yi ifade etmek mümkün mü? Yapabilir. Her iki parça da kare olmalıdır.

Ama zorunda değilsin.

Üçüncü teknik ipucu: genel bir çözüm elde etmek için bir güce yükseltmeniz veya kök salmanız gerekiyorsa, o zaman Çoğu durumda bu eylemlerden kaçınmalı ve cevabı genel bir integral şeklinde bırakmalısınız. Gerçek şu ki, genel çözüm sadece korkunç görünecek - büyük kökler, işaretler ve diğer çöplerle.

Bu nedenle, cevabı genel bir integral olarak yazıyoruz. Formda, yani sağ tarafta, mümkünse sadece bir sabit bırakmak iyi bir form olarak kabul edilir. Bunu yapmak şart değil ama hocayı memnun etmekte her zaman fayda var ;-)

Cevap: genel integral:

! Not: herhangi bir denklemin genel integrali birden fazla şekilde yazılabilir. Bu nedenle, sonucunuz daha önce bilinen bir cevapla örtüşmediyse, bu denklemi yanlış çözdüğünüz anlamına gelmez.

Genel integral de oldukça kolay kontrol edilir, asıl şey bulabilmektir. örtük olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevi. Cevabı ayırt edelim:

Her iki terimi de şu şekilde çarparız:

Ve bölüyoruz:

Orijinal diferansiyel denklem tam olarak elde edildi, yani genel integral doğru bulundu.

Örnek 4

Diferansiyel denklemin başlangıç ​​koşulunu sağlayan özel bir çözümünü bulun. Bir kontrol yapın.

Bu kendin yap örneğidir.

Algoritmanın iki aşamadan oluştuğunu hatırlatırım:
1) genel bir çözüm bulmak;
2) gerekli özel çözümü bulmak.

Kontrol ayrıca iki adımda gerçekleştirilir (Örnek No. 2'deki örneğe bakın), ihtiyacınız olan:
1) bulunan özel çözümün başlangıç ​​koşulunu sağladığından emin olun;
2) belirli bir çözümün genellikle diferansiyel denklemi sağladığını kontrol edin.

Tam çözüm ve cevap ders sonunda.

Örnek 5

Bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünü bulun , başlangıç ​​koşulunu sağlayan . Bir kontrol yapın.

Karar:İlk önce genel bir çözüm bulalım.Bu denklem zaten hazır diferansiyelleri içeriyor ve bu da çözümün basitleştirilmiş olduğu anlamına geliyor. Değişkenleri ayırma:

Denklemi entegre ediyoruz:

Soldaki integral tablo halindedir, sağdaki integral alınır fonksiyonu diferansiyelin işareti altında toplama yöntemi:

Genel integral elde edildi, genel çözümü başarılı bir şekilde ifade etmek mümkün mü? Yapabilir. Her iki tarafa da logaritma asıyoruz. Pozitif oldukları için modulo işaretleri gereksizdir:

(Umarım herkes dönüşümü anlar, böyle şeyler zaten bilinmeli)

Yani genel çözüm:

Verilen başlangıç ​​koşuluna karşılık gelen özel bir çözüm bulalım.
Genel çözümde, "x" yerine sıfırı ve "y" yerine iki logaritmasını değiştiririz:

Daha tanıdık tasarım:

Sabitin bulunan değerini genel çözümde yerine koyarız.

Cevap:özel çözüm:

Kontrol Et: İlk olarak, başlangıç ​​koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin:
- herşey iyi.

Şimdi bulunan özel çözümün diferansiyel denklemi tam olarak karşılayıp karşılamadığını kontrol edelim. Türevini buluyoruz:

Orijinal denkleme bakalım: – diferansiyellerde sunulur. Kontrol etmenin iki yolu vardır. Bulunan türevden diferansiyeli şu şekilde ifade etmek mümkündür:

Bulunan özel çözümü ve ortaya çıkan diferansiyeli orijinal denklemde yerine koyarız. :

Temel logaritmik kimliği kullanıyoruz:

Doğru eşitlik elde edilir, bu da belirli çözümün doğru olarak bulunduğu anlamına gelir.

Kontrol etmenin ikinci yolu yansıtılmış ve daha tanıdık: denklemden türevi ifade edin, bunun için tüm parçaları şuna böleriz:

Ve dönüştürülmüş DE'de, elde edilen özel çözümü ve bulunan türevi yerine koyarız. Sadeleştirmeler sonucunda doğru eşitlik de elde edilmelidir.

Örnek 6

Diferansiyel denklemi çözün. Cevabı genel bir integral olarak ifade edin.

Bu, dersin sonunda kendi kendine çözme, tam çözüm ve cevap için bir örnektir.

Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemleri çözmede hangi zorluklar sizi bekliyor?

1) Değişkenlerin ayrılabileceği her zaman (özellikle bir çaydanlık için) açık değildir. Koşullu bir örnek düşünün: . Burada çarpanları parantezlerden çıkarmanız ve kökleri ayırmanız gerekir:. Nasıl devam edileceği açık.

2) Entegrasyonun kendisindeki zorluklar. İntegraller genellikle en basitinden değil, bulma becerilerinde kusurlar varsa ortaya çıkar. belirsiz integral, o zaman birçok difüzör ile zor olacaktır. Ek olarak, “diferansiyel denklem basit olduğu için, integrallerin daha karmaşık olmasına izin verin” mantığı, koleksiyon ve kılavuz derleyicileri arasında popülerdir.

3) Sabitli dönüşümler. Herkesin fark ettiği gibi, diferansiyel denklemlerdeki bir sabit oldukça özgürce ele alınabilir ve bazı dönüşümler yeni başlayanlar için her zaman net değildir. Başka bir varsayımsal örneğe bakalım: . İçinde, tüm terimleri 2 ile çarpmanız önerilir: . Ortaya çıkan sabit ayrıca şu şekilde gösterilebilen bir tür sabittir: . Evet ve sağ tarafta bir logaritma olduğundan, sabiti başka bir sabit olarak yeniden yazmanız önerilir: .

Sorun, çoğu zaman indekslerle uğraşmamaları ve aynı harfi kullanmalarıdır. Sonuç olarak, karar kaydı aşağıdaki formu alır:

Ne sapkınlığı? İşte hatalar! Kesinlikle, evet. Bununla birlikte, temel bir bakış açısından, hata yoktur, çünkü değişken bir sabitin dönüştürülmesinin bir sonucu olarak, yine de bir değişken sabiti elde edilir.

Veya başka bir örnek, denklemi çözme sürecinde genel bir integralin elde edildiğini varsayalım. Bu cevap çirkin görünüyor, bu nedenle her terimin işaretini değiştirmeniz önerilir: . Resmi olarak, yine bir hata var - sağda yazılmalıdır. Ancak gayri resmi olarak “eksi ce”nin hala sabit olduğu ima edilir ( bu da herhangi bir değeri alır!), yani "eksi" koymak mantıklı değil ve aynı harfi kullanabilirsiniz.

Dikkatsiz bir yaklaşımdan kaçınmaya çalışacağım ve onları dönüştürürken sabitler için hala farklı indeksler koyacağım.

Örnek 7

Diferansiyel denklemi çözün. Bir kontrol yapın.

Karar: Bu denklem değişkenlerin ayrılmasını kabul eder. Değişkenleri ayırma:

Entegre ediyoruz:

Buradaki sabitin logaritma altında tanımlanması gerekmez, çünkü ondan iyi bir şey çıkmaz.

Cevap: genel integral:

Kontrol edin: Cevabı ayırt edin (örtük işlev):

Kesirlerden kurtuluruz, bunun için her iki terimi de şu şekilde çarparız:

Orijinal diferansiyel denklem elde edildi, yani genel integral doğru bulundu.

Örnek 8

DE'nin belirli bir çözümünü bulun.
,

Bu kendin yap örneğidir. Tek ipucu, burada genel bir integral elde etmenizdir ve daha doğrusu, belirli bir çözüm bulmaya çalışmanız gerekir, ancak özel integral. Tam çözüm ve cevap ders sonunda.

Bu çevrimiçi hesap makinesi, çevrimiçi olarak diferansiyel denklemleri çözmenize olanak tanır. Bir kesme işareti ile "fonksiyonun türevini" belirten uygun alana denkleminizi girmeniz ve "denklemi çöz" düğmesine tıklamanız yeterlidir.Ve popüler WolframAlpha web sitesi temelinde uygulanan sistem ayrıntılı bir bilgi verecektir. diferansiyel denklem çözümü Tamamen ücretsiz. Ayrıca, verilen başlangıç ​​koşullarına karşılık gelen tüm olası çözümler kümesinden belirli bir çözüm seçmek için bir Cauchy problemi oluşturabilirsiniz. Cauchy problemi ayrı bir alana girilir.

diferansiyel denklem

Varsayılan olarak, denklemde fonksiyon y bir değişkenin fonksiyonudur x. Ancak, kendi değişken gösteriminizi ayarlayabilirsiniz, örneğin bir denklemde y(t) yazarsanız, hesap makinesi bunu otomatik olarak algılayacaktır. y bir değişkenin fonksiyonudur t. Hesap makinesi ile yapabilirsiniz diferansiyel denklemleri çöz herhangi bir karmaşıklık ve türde: homojen ve homojen olmayan, doğrusal veya doğrusal olmayan, birinci dereceden veya ikinci ve daha yüksek derecelerden, ayrılabilir veya ayrılamaz değişkenli denklemler, vb. Çözüm farkı denklem analitik bir biçimde verilir, ayrıntılı bir açıklaması vardır. Diferansiyel denklemler fizik ve matematikte çok yaygındır. Hesaplamaları olmadan birçok problemi (özellikle matematiksel fizikte) çözmek imkansızdır.

Diferansiyel denklemleri çözmedeki adımlardan biri, fonksiyonların entegrasyonudur. Diferansiyel denklemleri çözmek için standart yöntemler vardır. Denklemleri ayrılabilir değişkenler y ve x ile forma getirmek ve ayrılan fonksiyonları ayrı ayrı entegre etmek gerekir. Bunu yapmak için bazen belirli bir değişiklik yapmanız gerekir.

Adi diferansiyel denklem bağımsız bir değişkeni, bu değişkenin bilinmeyen bir fonksiyonunu ve çeşitli derecelerdeki türevlerini (veya diferansiyellerini) ilişkilendiren bir denklem olarak adlandırılır.

diferansiyel denklemin sırası içerdiği en yüksek türevin sırasıdır.

Adi denklemlere ek olarak kısmi diferansiyel denklemler de incelenir. Bunlar bağımsız değişkenleri, bu değişkenlerin bilinmeyen bir fonksiyonunu ve aynı değişkenlere göre kısmi türevlerini ilişkilendiren denklemlerdir. Ama biz sadece dikkate alacağız adi diferansiyel denklemler ve bu nedenle, kısalık için "sıradan" kelimesini çıkaracağız.

Diferansiyel denklem örnekleri:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Denklem (1) dördüncü mertebeden, denklem (2) üçüncü mertebeden, denklem (3) ve (4) ikinci mertebeden, denklem (5) birinci mertebedendir.

diferansiyel denklem n mertebenin açıkça bir fonksiyonu içermesi gerekmez, ilkinden tüm türevlerine kadar n mertebe ve bağımsız bir değişken. Açıkça bazı derecelerin türevlerini, bir fonksiyonu, bağımsız bir değişkeni içermeyebilir.

Örneğin, denklem (1)'de, üçüncü ve ikinci mertebeden hiçbir türevin yanı sıra fonksiyonlar açıkça yoktur; denklem (2)'de - ikinci dereceden türev ve fonksiyon; (4) denkleminde - bağımsız değişken; denklemde (5) - fonksiyonlar. Yalnızca denklem (3) tüm türevleri, işlevi ve bağımsız değişkeni açıkça içerir.

Diferansiyel denklemi çözerek herhangi bir işlev denir y = f(x), hangisinin denklemde yerini alırsa, bir kimliğe dönüşür.

Bir diferansiyel denklemin çözümünü bulma sürecine denir. entegrasyon.

örnek 1 Diferansiyel denklemin çözümünü bulun.

Karar. Bu denklemi formda yazıyoruz. Çözüm, fonksiyonu türevine göre bulmaktır. İntegral hesabından bilindiği gibi orijinal fonksiyon, örneğin ters türevidir.

işte bu verilen diferansiyel denklemin çözümü . içinde değişiyor C, farklı çözümler elde edeceğiz. Birinci mertebeden diferansiyel denklemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu öğrendik.

diferansiyel denklemin genel çözümü n nci sıra, bilinmeyen fonksiyona göre açıkça ifade edilen ve aşağıdakileri içeren çözümüdür. n bağımsız keyfi sabitler, yani

Örnek 1'deki diferansiyel denklemin çözümü geneldir.

Diferansiyel denklemin kısmi çözümü keyfi sabitlere belirli sayısal değerlerin atandığı çözümü denir.

Örnek 2 Diferansiyel denklemin genel çözümünü ve için özel bir çözüm bulun. .

Karar. Denklemin her iki parçasını, diferansiyel denklemin mertebesi eşit olacak kadar çok sayıda entegre ederiz.

,

.

Sonuç olarak, genel çözümü bulduk -

verilen üçüncü mertebeden diferansiyel denklem.

Şimdi belirtilen koşullar altında belirli bir çözüm bulalım. Bunu yapmak için, keyfi katsayılar yerine değerlerini değiştirir ve elde ederiz.

.

Diferansiyel denkleme ek olarak, formda başlangıç ​​koşulu verilirse, böyle bir problem denir. Cauchy sorunu . Değerler ve denklemin genel çözümüne ikame edilir ve keyfi bir sabitin değeri bulunur. C ve sonra bulunan değer için denklemin özel bir çözümü C. Cauchy probleminin çözümü budur.

Örnek 3Örnek 1'deki diferansiyel denklem için Cauchy problemini koşul altında çözün.

Karar. İlk koşuldaki değerleri genel çözümde değiştiriyoruz y = 3, x= 1.

Birinci mertebeden verilen diferansiyel denklem için Cauchy probleminin çözümünü yazıyoruz:

En basitleri bile olsa, diferansiyel denklemleri çözmek, karmaşık fonksiyonlar da dahil olmak üzere türev alma ve integral alma konusunda iyi beceriler gerektirir. Bu, aşağıdaki örnekte görülebilir.

Örnek 4 Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun.

Karar. Denklem öyle bir şekilde yazılmıştır ki her iki taraf da hemen entegre edilebilir.

.

Değişkeni değiştirerek (ikame) entegrasyon yöntemini uyguluyoruz. İzin ver o zaman.

Almak için gerekli dx ve şimdi - dikkat - bunu karmaşık bir işlevin farklılaşma kurallarına göre yapıyoruz, çünkü x ve karmaşık bir işlev vardır ("elma" - karekökü çıkarma veya aynı olan - "bir saniye" gücüne yükseltme ve "kıyma" - kökün altındaki ifadenin kendisi):

integralini buluruz:

Değişkene geri dönmek x, şunu elde ederiz:

.

Bu, birinci dereceden bu diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

Diferansiyel denklemleri çözmek için sadece yüksek matematiğin önceki bölümlerinden elde edilen beceriler değil, aynı zamanda ilköğretim, yani okul matematiğinden beceriler de gerekli olacaktır. Daha önce de belirtildiği gibi, herhangi bir mertebeden bir diferansiyel denklemde bağımsız bir değişken, yani bir değişken olmayabilir. x. Unutulmamış oranlar hakkında bilgi (ancak, herkesin hoşuna gider) okul tezgahından bu sorunun çözülmesine yardımcı olacaktır. Bu bir sonraki örnek.