Lens fiziği için formüller. §dört. İnce Yakınsak Lens Formülü

Türetilmiş formülleri düşünün:

(3.8)

Formülleri (3.7 ve 3.8) karşılaştıralım, merceğin optik özelliklerini (odak uzunlukları) ve nesnelerin konumunu ve görüntülerini karakterize eden mesafeleri birbirine bağlayan aşağıdaki ifadeyi yazabileceğimiz açıktır:

, (3,9)

burada F, merceğin odak uzaklığıdır; D, merceğin optik gücüdür; d, nesneden merceğin merkezine olan mesafedir; f, merceğin merkezinden görüntüye olan mesafedir. Lens odak uzunluğunun tersi

optik güç denir.

Bu formüle formül denir ince mercek. Sadece işaret kuralı ile geçerlidir: Mesafeler, ışık huzmesi yönünde sayılırsa pozitif, bu mesafeler huzmeye karşı sayılırsa negatif olarak kabul edilir.

Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun.

Görüntünün yüksekliğinin cismin yüksekliğine oranına merceğin doğrusal büyütmesi denir.

Benzer VAO ve OAB üçgenlerini düşünürsek (Şekil 3.3), lens tarafından verilen doğrusal artış aşağıdaki gibi bulunabilir:

, (3.10)

nerede АВ - görüntü yüksekliği; AB cismin yüksekliğidir.

Yüksek kaliteli görüntü elde etmek için lensler ve aynalar kullanılır. Lens ve ayna sistemleri ile çalışırken sistemin merkezde olması önemlidir, yani. bu sistemi oluşturan tüm cisimlerin optik merkezleri, sistemin ana optik ekseni olan tek bir düz çizgi üzerinde yer alır. Bir görüntü oluştururken, sistem sıralama ilkesini kullanır: ilk mercekte (aynada) bir görüntü oluşturulur, daha sonra bu görüntü sonraki merceğin (ayna) konusu olur ve görüntü yeniden oluşturulur, vb.

Odak uzaklığına ek olarak, merceklerin ve aynaların optik özelliği optik güçtür, bu değer odak uzunluğunun tersidir:

(3,11)

Bir optik sistemin optik gücü her zaman verilen optik güçlerin cebirsel toplamına eşittir. optik sistem lensler ve aynalar. Saçılma sisteminin optik gücünün negatif bir değer olduğunu hatırlamak önemlidir.

(3.12)

Optik güç, D=m -1 = 1 diyoptri diyoptri cinsinden ölçülür, yani bir diyoptri, odak uzaklığı 1 m olan bir merceğin optik gücüne eşittir.

Yan eksenleri kullanarak görüntü çizimi örnekleri.

Işık noktası S ana optik eksende bulunduğundan, görüntüyü oluşturmak için kullanılan üç ışının tümü çakışır ve ana optik eksen boyunca ilerler ve görüntüyü oluşturmak için en az iki ışın gerekir. İkinci ışının yönü, aşağıdaki gibi gerçekleştirilen ek bir yapı kullanılarak belirlenir: 1) bir odak düzlemi oluşturun, 2) S noktasından gelen herhangi bir ışını seçin;

Optik sistemlerin sapmaları

Optik sistemlerin sapmaları ve bunların azaltılması veya ortadan kaldırılması için yöntemler açıklanmıştır.

sapmalar - yaygın isim Lens ve ayna kullanırken oluşan görüntü hataları için. Yalnızca monokromatik olmayan ışıkta görünen sapmalara (Latince "sapma" - sapmadan) kromatik denir. Diğer tüm sapma türleri tek renklidir, çünkü tezahürleri gerçek ışığın karmaşık spektral bileşimi ile ilişkili değildir.

Sapma kaynakları. Görüntü kavramının tanımı, bir cismin bir noktasından çıkan tüm ışınların görüntü düzleminde aynı noktada birleşmesi ve cismin tüm noktalarının aynı düzlemde aynı büyütme ile gösterilmesi gerekliliğini içerir.

Paraksiyal ışınlar için, bozulma olmadan görüntüleme koşulları büyük bir doğrulukla karşılanır, ancak mutlak olarak değil. Bu nedenle, sapmaların ilk kaynağı, küresel yüzeylerle sınırlanan merceklerin geniş ışınları, eksenel yaklaşımda kabul edildiği gibi kırmamasıdır. merceğin eksenlerinin farklı olması vb. Bu tür sapmalara geometrik denir.

a) Küresel sapma - merceğin aşırı (çevresel) bölümlerinin eksen üzerindeki bir noktadan gelen ışınları merkez bölümünden daha güçlü bir şekilde sapması nedeniyle monokromatik sapma. Sonuç olarak, ekrandaki bir noktanın görüntüsü şu şekilde elde edilir: parlak nokta, pilav. 3.5

Bu tür sapmalar, içbükey ve dışbükey lens sistemleri kullanılarak ortadan kaldırılır.

b) Astigmatizma - bir noktanın görüntüsünün, görüntü düzleminin belirli konumlarında bir segmente dönüşen eliptik bir nokta şeklinde olması gerçeğinden oluşan monokromatik sapma.

Eğik ışınların astigmatizması, bir noktadan çıkan bir ışın demeti optik sisteme düştüğünde ve optik ekseni ile belirli bir açı yaptığında ortaya çıkar. Şek. 3.6a, nokta kaynağı ikincil optik eksende bulunur. Bu durumda, I ve P düzlemlerinde birbirine dik yerleştirilmiş düz doğru parçaları şeklinde iki görüntü ortaya çıkar.Kaynak görüntüsü ancak I ve P düzlemleri arasında bulanık bir nokta şeklinde elde edilebilir.

Optik sistemin asimetrisinden kaynaklanan astigmatizma. Bu tür astigmatizma, sistemin tasarımı nedeniyle optik sistemin ışık huzmesine göre simetrisi bozulduğunda ortaya çıkar. Bu sapma ile lensler, farklı yönlere yönlendirilmiş konturların ve çizgilerin farklı keskinliğe sahip olduğu bir görüntü oluşturur. BT

silindirik merceklerde gözlenen, Şek. 3.6

Pirinç. 3.6. Astigmatizma: eğik ışınlar (a); şartlandırılmış

silindirik mercek (b)

Silindirik bir mercek, nokta nesnenin doğrusal bir görüntüsünü oluşturur.

Gözde lens ve kornea sistemlerinin eğriliğinde bir asimetri olduğunda astigmatizma oluşur. Astigmatı düzeltmek için farklı yönlerde farklı eğriliğe sahip gözlükler kullanılır.

talimatlar.

c) Bozulma (bozulma). Nesne tarafından gönderilen ışınlar optik eksenle büyük bir açı yaptığında, başka bir tür sapma algılanır - bozulma. Bu durumda nesne ile görüntü arasındaki geometrik benzerlik bozulur. Bunun nedeni, gerçekte merceğin verdiği doğrusal büyütmenin ışınların geliş açısına bağlı olmasıdır. Sonuç olarak, kare ızgaranın görüntüsü ya bir iğne yastığı ya da bir fıçı şeklini alır, Şek. 3.7

Pirinç. 3.7 Bozulma: a) iğne yastığı, b) namlu

Bozulmayla mücadele etmek için, ters bozulmaya sahip bir lens sistemi seçilir.

İkinci sapma kaynağı, ışığın dağılımı ile ilgilidir. Kırılma indisi frekansa bağlı olduğundan, sistemin odak uzaklığı ve diğer özellikleri de frekansa bağlıdır. Bu nedenle, nesnenin bir noktasından yayılan farklı frekanslardaki radyasyona karşılık gelen ışınlar, her bir frekansa karşılık gelen ışınlar nesnenin ideal bir görüntüsünü sağladığında bile görüntü düzleminde bir noktada birleşmez. Bu tür sapmalara kromatik, yani. kromatik sapma, bir noktadan yayılan beyaz bir ışık demetinin görüntüsünü gökkuşağı çemberi şeklinde vermesi gerçeğinde yatmaktadır, mor ışınların merceğe kırmızı olanlardan daha yakın yerleştirilmesi, şek. 3.8

Pirinç. 3.8. Renk sapmaları

Optikteki bu sapmayı düzeltmek için farklı dağılımlara sahip camlardan yapılmış lensler kullanılır: akromatlar,

δ ≈ F h ; ϕ 1 ≈ Sağ .

Elde edilen ifadeler formül (3.1)'de değiştirilirse ve azaltılırsa

Dikkat ! F segmentinin uzunluğu, bizim tarafımızdan keyfi olarak seçilen h yüksekliğine bağlı değildir, bu nedenle, gelen ışından gelen tüm ışınlar, merceğin odağı olarak adlandırılan aynı S 1 noktasında kesişecektir. Aynı mesafeye F denir mercek odak uzaklığı, ve fiziksel miktar P lensin optik gücü. SI sisteminde diyoptri ile ölçülür ve diyoptri ile gösterilir. Tanım olarak 1 diyoptri, odak uzaklığı 1 m olan bir merceğin optik gücüdür.

Örnek 3.1. Odak uzaklığı F = 16 cm olan bir merceğin optik gücünü hesaplayın.

Çözüm. Lensin odak uzaklığını metre cinsinden ifade edelim: 16 cm = 0.16 m Tanım olarak, optik güç P = 1 / (0.16 m) = 6.25 diyoptri.

Cevap: P = 6.25 diyoptri.

Ana optik eksene paralel bir ışın demeti sağdan bir plano-dışbükey merceğin dışbükey yüzeyine yönlendirilirse, mercekte iki kez kırılan hepsinin kesişeceği gösterilebilir (nasıl olduğunu düşünün). ana optik eksende, lensten aynı mesafede F aralıklı olan S2 noktasında. Yani, lensin iki odak noktası vardır. Bu bağlamda, yakınsak bir mercekten geçen paralel ışık ışınlarının toplandığı bir odak, arka ve diğer odak - ön olarak adlandırmayı kabul ettik. Uzaklaşan mercekler için, arka odak (merceğin üzerine gelen paralel ışınların sürekliliğinin kesiştiği) kaynak tarafında ve ön odak karşı taraftadır.

§dört. İnce Yakınsak Lens Formülü

Bikonveks yakınsak bir mercek düşünün. Merceğin kırılma yüzeylerinin eğrilik merkezlerinden geçen doğrudan OX'e lens denir. ana optik eksen(bu tanımı bir plano-dışbükey mercek için §3'teki tanımla karşılaştırın). Bu eksende bir nokta ışık kaynağının S 1 olduğunu varsayalım. S 1 noktasından iki çizin

Pirinç. 4.1

2010-2011 eğitim öğretim yılı yıl., No. 5, 8 hücre. Fizik. İnce lensler.

kaynak S1 . muhtemelen

Söz konusu ışının merceğin ana optik ekseni ile oluşturduğu açıların küçük olduğunu varsayalım. O zamanlar

Sapma açısının δ üçgenin dışında olduğunu görmek kolaydır.

Göz önünde bulundurulan ışının geçtiği M noktasının yakınında bulunan merceğin bir parçası, ince bir kama olarak kabul edilebilir. Daha önce ince bir kama için sapma açısının sabit bir değer olduğunu ve gelme açısına bağlı olmadığını göstermiştik. Bu, S 1 kaynağının ana işlem boyunca kaydırılması anlamına gelir.

ekseni ve onu sonsuza kadar kaldırarak, mercekten geçtikten sonra ışının odağından geçmesini ve sapma açısının olmasını sağlayacağız.

İnce bir yakınsak mercek formülünü elde ettik. Eksenel yaklaşımda elde edildiğini unutmayın (küçük açılar için ϕ 1 ;ϕ 2 ;δ ).

Bu formülün türetilmesindeki liderlik, dikkat çekici Fransız doğa bilimci Rene Descartes'a atfedilir.

Genellikle nesneler veya ışık kaynakları merceğin solunda gösterilir. Sorun 4.1. F 1 ve F 2 odak uzunluklarına sahip iki yakınsak mercekten oluşan bir merceğin odak uzaklığını F bulun. Lensler

birbirinize yakınsınız ve ana optik eksenleri çakışıyor.

© 2011, MIPT'de FZFTSH. Derleyen: Slobodyanin Valery Pavlovich

© 2011, MIPT'de FZFTSH. Derleyen: Slobodyanin Valery Pavlovich

2010-2011 eğitim öğretim yılı yıl., No. 5, 8 hücre. Fizik. İnce lensler.

burada F, merceğin odak uzaklığıdır. Yine de, incelenen ışının merceğin ana optik ekseni ile yaptığı açıların küçük olduğunu varsayıyoruz. O zamanlar

Formül (5.1)'de açılar için (5.2) ve (5.3) ifadelerini değiştiriyoruz. Ortak faktör h ile indirgemeden sonra şunu elde ederiz:

Sözde ince ıraksak mercek için formül elde ettik. a ,b ,F uzaklıkları olarak aritmetik değerleri alınır.

§6. İnce bir mercek tarafından verilen görüntülerin yapısı

Optik diyagramlarda, lensler genellikle uçlarında ok bulunan bir segment olarak gösterilir. Yakınsak mercekler için oklar dışa doğru yönlendirilirken, uzaklaşan mercekler için segmentin merkezine doğru yönlendirilir.

Yakınsak bir merceğin oluşturduğu görüntülerin yapım sırasını düşünün (Şekil 6.1). Objektifin soluna odak uzunluğundan daha büyük bir mesafeye dikey bir ok (nesne) AB yerleştirelim. B noktasından bir ışının (1) ana optik eksene paralel olarak merceğe geçmesine izin verin. Kırıldıktan sonra, bu ışın arka odaktan sağa ve aşağı geçecektir. İkinci ışının ön odaktan geçmesine izin verin. Mercekte kırıldı, sağdaki para-

lelno ana optik eksen. Her iki ışının kesiştiği bir B1 noktası vardır.B1 B noktasının görüntüsüdür. B'den çıkan ve mercekten geçen herhangi bir başka ışın da B1 noktasına ulaşmalıdır. A noktasının görüntüsünü benzer şekilde oluşturalım. biz böyle

© 2011, MIPT'de FZFTSH. Derleyen: Slobodyanin Valery Pavlovich

2010-2011 eğitim öğretim yılı yıl., No. 5, 8 hücre. Fizik. İnce lensler.

önce bir resim inşa etti

ince bir merceğin özellikleri:

ince bir lenste meta AB. Şek. 6.1 şunları gösterir:

1) ok resmi

geçerli (ok görüntüsünün yerine düz bir ekran yerleştirilirse, görüntüsü üzerinde görülebilir);

2) görüntü ters çevrilir (oka göre). Hem AB okunun kendisi hem de izo-

A 1 B 1

oküler kafa-

nuh optik eksen. Yeterince iki not edelim

– lens düz bir çizgiyi düz bir çizgiye dönüştürür;

– eğer düz nesne ana optik eksene dik ise, görüntüsü bu eksene dik olacaktır. Genel olarak,

ana optik boyunca bulunan genişletilmiş nesnelerin açıları

ekseni ve görüntülerinin açıları farklıdır. Bu, Şek. 6.2. Mercek, ABCD karesini bir yamuk A 1 B 1 C 1 D 1'e "döndürdü".

Aynı ortam ince bir merceğin (genellikle hava) sağında ve solunda bulunuyorsa, bir görüntü oluşturmak için verilen nokta Başka bir "harika" ışın yararlı olabilir - merceğin merkezinden geçen ışın. Şek. 6.1 kiriş (3) olarak işaretlenmiştir. Objektiften geçerken yönünü değiştirmez ve ilk ikisi gibi

© 2011, MIPT'de FZFTSH. Derleyen: Slobodyanin Valery Pavlovich

Işık huzmelerini kontrol etmek, yani ışınların yönünü değiştirmek için kullanırlar. özel cihazlarörneğin büyüteç, mikroskop. Bu cihazların ana kısmı lenstir.

Mercekler, her iki tarafı küresel yüzeylerle sınırlanmış saydam cisimlerdir.

İki tür mercek vardır - dışbükey ve içbükey.

Kenarları ortasından çok daha ince olan bir mercek dışbükey(Şek. 151, a).

Pirinç. 151. Lens türleri:
a - dışbükey; b - içbükey

Kenarları ortasından daha kalın olan bir mercek içbükey(Şek. 151, b).

Merceği çevreleyen küresel yüzeylerin C 1 ve C 2 (Şekil 152) merkezlerinden geçen AB düz çizgisine denir. Optik eksen.

Pirinç. 152. Merceğin optik ekseni

Merceğin optik eksenine paralel bir ışın demetini bir dışbükey merceğe yönlendirerek, mercekte kırılmadan sonra bu ışınların optik ekseni bir noktada kesiştiğini göreceğiz (Şekil 153). Bu nokta denir mercek odak. Her merceğin, merceğin her iki tarafında bir tane olmak üzere iki odağı vardır.

Pirinç. 153. Yakınsak mercek:
a - ışınların odaktan geçişi; b - diyagramlardaki görüntüsü

Bir merceğin odak noktasına olan uzaklığına denir. mercek odak uzaklığı ve F harfi ile işaretlenmiştir.

Bir dışbükey merceğe paralel ışın demeti yönlendirilirse, mercekte kırılmadan sonra bir noktada toplanırlar - F (bkz. Şekil 153). Bu nedenle, dışbükey bir mercek kaynaktan gelen ışınları toplar. Bu nedenle dışbükey mercek denir toplama.

Işınlar bir içbükey mercekten geçtiğinde farklı bir resim gözlemlenir.

Optik eksene paralel bir ışın demetini içbükey bir merceğe bırakalım. Mercekten gelen ışınların ıraksak bir ışında çıkacağını fark edeceğiz (Şek. 154). Böyle farklı bir ışın demeti göze girerse, gözlemciye ışınların F noktasından çıktığı görülecektir. Bu nokta, ışığın merceğe düştüğü taraftaki optik eksende bulunur ve denir. hayali odak içbükey lens. Böyle bir lens denir saçılma.

Pirinç. 154. Uzaklaşan mercek:
a - ışınların odaktan geçişi; b - diyagramlardaki görüntüsü

Daha fazla dışbükey yüzeye sahip mercekler, ışınları daha az eğriliğe sahip merceklere göre daha fazla kırar (Şekil 155).

Pirinç. 155. Farklı eğrilikteki mercekler tarafından ışınların kırılması

İki mercekten birinin odak uzaklığı daha kısaysa, bu daha büyük bir artış sağlar (Şek. 156). Böyle bir merceğin optik gücü daha fazladır.

Pirinç. 156. Mercek büyütme

Lensler, lensin optik gücü adı verilen bir değerle karakterize edilir.. Optik güç D harfi ile gösterilir.

Bir merceğin optik gücü, odak uzunluğunun tersidir..

Lensin optik gücü formülle hesaplanır.

Optik gücün birimi diyoptridir (dptr).

1 diyoptri, odak uzaklığı 1 m olan bir merceğin optik gücüdür.

Lensin odak uzaklığı 1 m'den az ise, optik güç 1 diyoptriden büyük olacaktır. Lensin odak uzaklığının 1 m'den büyük olması durumunda optik gücü 1 diyoptriden azdır. Örneğin,

F = 0,2 m ise, D = 1 / 0,2 m = 5 diyoptri,
F = 2 m ise, D = 1/2 m = 0,5 diyoptri.

Uzaklaşan bir merceğin hayali bir odağı olduğundan, odak uzunluğunu negatif bir değer olarak kabul etmeye karar verdik. O zaman ıraksak merceğin optik gücü negatif olacaktır.

Yakınsak merceğin optik gücünün pozitif bir değer olarak kabul edilmesi kararlaştırıldı.

sorular

1. içinde ne var dış görünüş lensler, hangisinin daha kısa odak uzaklığına sahip olduğunu bulabilir misin?
2. Farklı odak uzunluklarına sahip iki mercekten hangisi daha fazla büyütme sağlar?
3. Bir merceğin optik gücüne ne denir?
4. Optik gücün birimine ne denir?
5. Birim olarak hangi merceğin optik gücü alınır?
6. Optik gücü biri +2,5, diğeri -2,5 diyoptri olan lenslerin birbirinden farkı nedir?

Egzersiz 48

1. Şekil 155'te gösterilen lenslerin optik güçlerini karşılaştırın.
2. Lensin optik gücü -1.6 diyoptridir. Bu lensin odak uzaklığı nedir? Bununla gerçek bir görüntü elde etmek mümkün mü?