İntegral devrede. Belirli bir integral kullanarak bir devrim cismin hacmi nasıl hesaplanır

Tanım 3. Dönel cisim, düz bir şeklin, şekille kesişmeyen ve onunla aynı düzlemde yer alan bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cisimdir.

Dönme ekseni, şeklin simetri ekseni ise şekille kesişebilir.

Teorem 2.
, eksen
ve düz bölümler
Ve

bir eksen etrafında döner
. Daha sonra ortaya çıkan dönme gövdesinin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir.

(2)

Kanıt. Böyle bir gövde için apsisli kesit yarıçaplı bir dairedir
, Araç
ve formül (1) gerekli sonucu verir.

Şekil iki sürekli fonksiyonun grafikleriyle sınırlıysa
Ve
ve çizgi bölümleri
Ve
, Ve
Ve
sonra x ekseni etrafında döndürüldüğünde hacmi

Örnek 3. Bir daireyle sınırlanan bir dairenin döndürülmesiyle elde edilen torusun hacmini hesaplayın

apsis ekseni etrafında.

R karar. Belirtilen daire aşağıda fonksiyonun grafiği ile sınırlandırılmıştır.
ve yukarıdan –
. Bu fonksiyonların karelerinin farkı:

Gerekli hacim

(İntegral grafiği üst yarım dairedir, dolayısıyla yukarıda yazılan integral yarım dairenin alanıdır).

Örnek 4. Tabanlı parabolik segment
ve yükseklik , tabanın etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmini hesaplayın (Cavalieri'nin "limon").

R karar. Parabolünü şekilde gösterildiği gibi yerleştireceğiz. Daha sonra denklemi
, Ve
. Parametrenin değerini bulalım :
. Yani gerekli hacim:

Teorem 3. Negatif olmayan sürekli bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanmış eğrisel bir yamuk olsun
, eksen
ve düz bölümler
Ve
, Ve
, bir eksen etrafında döner
. Daha sonra ortaya çıkan dönme gövdesinin hacmi formülle bulunabilir.

(3)

Kanıt fikri. Segmenti ayırdık
noktalar

parçalara ayırın ve düz çizgiler çizin
. Yamuğun tamamı, yaklaşık olarak tabanı olan dikdörtgenler olarak kabul edilebilecek şeritlere ayrılacaktır.
ve yükseklik
.

Ortaya çıkan silindiri, böyle bir dikdörtgeni kendi ekseni boyunca döndürerek kesip açıyoruz. Boyutlarla “neredeyse” paralel yüzlü bir elde ediyoruz:
,
Ve
. hacmi
. Yani, bir devrim cismin hacmi için yaklaşık eşitliğe sahip olacağız.

Tam eşitliği elde etmek için limite gidilmelidir.
. Yukarıda yazılan toplam, fonksiyonun integral toplamıdır.
bu nedenle limitte formül (3)'ten integrali elde ederiz. Teorem kanıtlandı.

Not 1. Teorem 2 ve 3'teki koşul
ihmal edilebilir: formül (2) genellikle işarete duyarsızdır
ve formül (3)'te yeterlidir
ile ikame edilmiş
.

Örnek 5. Parabolik segment (taban
, yükseklik ) yükseklik etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmini bulun.

Çözüm. Parabolünü şekildeki gibi yerleştirelim. Ve dönme ekseni şekille kesişse de, bu eksen simetri eksenidir. Bu nedenle segmentin yalnızca sağ yarısını dikkate almamız gerekiyor. Parabol denklemi
, Ve
, Araç
. Hacim için elimizde:

Not 2. Eğrisel bir yamuğun eğrisel sınırı parametrik denklemlerle verilirse
,
,
Ve
,
daha sonra değiştirme işlemiyle (2) ve (3) formüllerini kullanabilirsiniz. Açık
Ve
Açık
değiştiğinde T itibaren
önce .

Örnek 6. Şekil sikloidin ilk yayı ile sınırlıdır
,
,
ve x ekseni. Bu şeklin aşağıdakiler etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun: 1) eksen
; 2) eksenler
.

Çözüm. 1) Genel formül
Bizim durumumuzda:

2) Genel formül
Figürümüz için:

Öğrencileri tüm hesaplamaları kendileri yapmaya davet ediyoruz.

Not 3. Sürekli bir çizgiyle sınırlanan kavisli bir sektör olsun
ve ışınlar
,

, kutupsal bir eksen etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmi formül kullanılarak hesaplanabilir.

Örnek 7. Bir kardioid ile sınırlandırılmış bir figürün parçası
, çemberin dışında uzanmak
, kutupsal bir eksen etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmini bulun.

Çözüm. Her iki çizgi ve dolayısıyla sınırladıkları şekil kutup eksenine göre simetriktir. Bu nedenle sadece ilgili kısmı dikkate almak gerekir.
. Eğriler kesişiyor
Ve

en
. Ayrıca rakam iki sektörün farkı olarak kabul edilebilir ve dolayısıyla hacim iki integralin farkı olarak hesaplanabilir. Sahibiz:

Görevler Bağımsız bir karar için.

1. Tabanı
, yükseklik , tabanın etrafında döner. Dönel cismin hacmini bulun.

2. Tabanı eşit olan bir devrim paraboloidinin hacmini bulun. ve yüksekliği .

3. Bir asteroit tarafından sınırlanan şekil
,
apsis ekseni etrafında döner. Ortaya çıkan cismin hacmini bulun.

4. Çizgilerle sınırlanmış şekil
Ve
x ekseni etrafında döner. Dönel cismin hacmini bulun.

Konu: “Belirli bir integral kullanarak dönel cisimlerin hacimlerini hesaplamak”

Ders türü: birleştirildi.

Dersin amacı:İntegralleri kullanarak dönel cisimlerin hacimlerini hesaplamayı öğrenin.

Görevler:

çeşitli geometrik şekillerden eğrisel yamukları tanımlama yeteneğini pekiştirmek ve eğrisel yamukların alanlarını hesaplama becerisini geliştirmek;

üç boyutlu figür kavramını tanımak;

devrim cisimlerinin hacimlerini hesaplamayı öğrenin;

Mantıksal düşüncenin gelişimini, yetkin matematiksel konuşmayı, çizimleri oluştururken doğruluğu teşvik etmek;

konuya olan ilgiyi geliştirmek, matematiksel kavram ve görsellerle çalışmak, nihai sonuca ulaşmada iradeyi, bağımsızlığı ve azmi geliştirmek.

Dersler sırasında

I. Organizasyon anı.

Gruptan selamlar. Ders hedeflerini öğrencilere iletin.

Bugünkü dersimize bir benzetmeyle başlamak istiyorum. “Bir zamanlar her şeyi bilen bilge bir adam yaşarmış. Bir adam bilgenin her şeyi bilmediğini kanıtlamak istedi. Avucunda bir kelebeği tutarak sordu: "Söyle bana adaçayı, ellerimde hangi kelebek var: ölü mü, diri mi?" Ve şöyle düşünüyor: “Yaşayan derse onu öldürürüm, ölü derse onu serbest bırakırım.” Bilge düşündükten sonra cevap verdi: "Her şey senin elinde."

Bu nedenle, bugün verimli çalışalım, yeni bir bilgi birikimi edinelim ve edinilen beceri ve yetenekleri gelecekteki yaşamda ve pratik faaliyetlerde uygulayalım. "Her şey sizin elinizde."

II. Daha önce çalışılan materyalin tekrarı.

Daha önce çalışılan materyalin ana noktalarını hatırlayalım. Bunu yapmak için "Fazla kelimeyi ortadan kaldırın" görevini tamamlayalım.

(Öğrenciler ekstra bir kelime söylerler.)

Sağ "Diferansiyel". Kalan kelimeleri ortak bir kelimeyle adlandırmaya çalışın. (Integral hesabı.)

İntegral hesabıyla ilgili ana aşamaları ve kavramları hatırlayalım.

Egzersiz yapmak. Boşlukları kurtarın. (Öğrenci dışarı çıkar ve gerekli kelimeleri keçeli kalemle yazar.)

Defterlerde çalışın.

Newton-Leibniz formülü İngiliz fizikçi Isaac Newton (1643-1727) ve Alman filozof Gottfried Leibniz (1646-1716) tarafından türetilmiştir. Ve bu şaşırtıcı değil çünkü matematik doğanın kendisinin konuştuğu dildir.

Bu formülün pratik sorunları çözmek için nasıl kullanıldığını düşünelim.

Örnek 1: Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Çözüm: Koordinat düzleminde fonksiyonların grafiklerini oluşturalım . Şeklin bulunması gereken alanını seçelim.

III. Yeni materyal öğrenme.

Ekrana dikkat edin. İlk resimde ne gösteriliyor? (Şekilde düz bir şekil gösterilmektedir.)

İkinci resimde ne gösteriliyor? Bu rakam düz mü? (Şekilde üç boyutlu bir şekil gösterilmektedir.)

Uzayda, yeryüzünde ve günlük yaşamda sadece düz figürlerle değil, üç boyutlu figürlerle de karşılaşıyoruz, peki bu tür cisimlerin hacimlerini nasıl hesaplayabiliriz? Örneğin: bir gezegenin, kuyruklu yıldızın, göktaşının vb. hacmi.

İnsanlar hem ev inşa ederken hem de bir kaptan diğerine su dökerken hacmi düşünüyorlar. Hacimleri hesaplamak için kural ve tekniklerin ortaya çıkması gerekiyordu; bunların ne kadar doğru ve haklı olduğu başka bir konu.

1612 yılı, ünlü gökbilimci Johannes Kepler'in yaşadığı Avusturya'nın Linz kenti sakinleri için özellikle üzüm konusunda oldukça verimli geçti. İnsanlar şarap fıçılarını hazırlıyorlardı ve hacimlerini pratik olarak nasıl belirleyeceklerini bilmek istiyorlardı.

Böylece Kepler'in ele alınan çalışmaları, 17. yüzyılın son çeyreğinde doruğa ulaşan bütün bir araştırma akışının başlangıcını işaret ediyordu. I. Newton ve G.V.'nin eserlerinde tasarım. Diferansiyel ve integral hesabının Leibniz'i. O andan itibaren değişkenlerin matematiği, matematiksel bilgi sisteminde öncü bir yer edindi.

Bugün sen ve ben bu tür pratik faaliyetlerle meşgul olacağız, bu nedenle,

Dersimizin konusu: “Belirli bir integral kullanarak dönen cisimlerin hacimlerinin hesaplanması.”

Aşağıdaki görevi tamamlayarak devrim grubunun tanımını öğreneceksiniz.

"Labirent".

Egzersiz yapmak. Kafa karıştırıcı durumdan bir çıkış yolu bulun ve tanımını yazın.

IVHacimlerin hesaplanması.

Belirli bir integral kullanarak belirli bir cismin, özellikle de dönen bir cismin hacmini hesaplayabilirsiniz.

Bir devrim gövdesi, kavisli bir yamuğun tabanı etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir gövdedir (Şekil 1, 2)

Bir devrim cismin hacmi formüllerden biri kullanılarak hesaplanır:

1. OX ekseni etrafında.

2. , eğer kavisli bir yamuğun dönüşü op-amp'in ekseni etrafında.

Öğrenciler temel formülleri bir deftere yazarlar.

Öğretmen tahtadaki örneklerin çözümlerini açıklar.

1. Çizgilerle sınırlanmış eğrisel bir yamuğun ordinat ekseni etrafında döndürülerek elde edilen cismin hacmini bulun: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Çözüm.

Cevap: 1163 cm3.

2. Parabolik bir yamuğun x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun y = , x = 4, y = 0.

Çözüm.

V. Matematik simülatörü.

2. Belirli bir fonksiyonun tüm antiderivatiflerinin kümesine denir

A) belirsiz bir integral,

B) fonksiyon,

B) farklılaşma.

7. Çizgilerle sınırlanmış eğrisel bir yamuğun apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun:

D/Z. Yeni malzemenin konsolidasyonu

Taç yaprağının x ekseni etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayın y = x2, y2 = x.

Fonksiyonun grafiklerini oluşturalım. y = x2, y2 = x. y2 = x grafiğini y = formuna dönüştürelim.

Elimizde V = V1 – V2 var. Her fonksiyonun hacmini hesaplayalım:

Çözüm:

Belirli integral, pratik problemlerin çözümüne yeri doldurulamaz bir katkı sağlayan matematik çalışması için kesin bir temeldir.

“İntegral” konusu matematik ile fizik, biyoloji, ekonomi ve teknoloji arasındaki bağlantıyı açıkça göstermektedir.

Modern bilimin gelişimi integral kullanılmadan düşünülemez. Bu bakımdan ortaöğretim uzmanlık eğitimi çerçevesinde çalışmaya başlamak gerekir!

VI. Derecelendirme.(Yorumlu olarak.)

Büyük Ömer Hayyam - matematikçi, şair, filozof. Bizi kendi kaderimizin efendisi olmaya teşvik ediyor. Eserinden bir alıntıyı dinleyelim:

Bu hayat bir an diyorsun.
Onu takdir edin, ondan ilham alın.
Harcadıkça geçecek.
Unutmayın: o sizin eseriniz.

Alanı bulma probleminde olduğu gibi, kendinize güvenen çizim becerilerine ihtiyacınız var - bu neredeyse en önemli şeydir (çünkü integrallerin kendileri genellikle kolay olacaktır). Öğretim materyalleri ve grafiklerin geometrik dönüşümleri yardımıyla yetkin ve hızlı grafik tekniklerinde ustalaşabilirsiniz. Ama aslında çizimlerin öneminden sınıfta defalarca bahsetmiştim.

Genel olarak integral hesabında pek çok ilginç uygulama vardır; belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını, dönen bir cismin hacmini, yay uzunluğunu, dönme yüzey alanını ve daha fazlasını hesaplayabilirsiniz. Daha. Bu yüzden eğlenceli olacak, lütfen iyimser kalın!

Koordinat düzleminde düz bir şekil hayal edin. Tanıtıldı mı? ... Acaba kim neyi sundu... =))) Biz zaten alanını bulduk. Ancak ek olarak, bu şekil iki şekilde de döndürülebilir ve döndürülebilir:

– apsis ekseni etrafında;
– ordinat ekseni etrafında.

Bu makale her iki durumu da inceleyecektir. İkinci döndürme yöntemi özellikle ilgi çekicidir; en fazla zorluğa neden olur, ancak aslında çözüm, x ekseni etrafında daha yaygın olan döndürme yöntemiyle hemen hemen aynıdır. Bonus olarak geri döneceğim bir şeklin alanını bulma problemi ve size alanı ikinci şekilde - eksen boyunca nasıl bulacağınızı anlatacağım. Materyal konuya çok iyi uyduğu için bu pek de bir bonus değil.

En popüler rotasyon türüyle başlayalım.

bir eksen etrafında düz şekil

örnek 1

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Alanı bulma probleminde olduğu gibi, çözüm düz bir şekil çizmekle başlar. Yani düzlemde çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir ve denklemin ekseni belirlediğini unutmayın. Bir çizimin daha verimli ve hızlı bir şekilde nasıl tamamlanacağını sayfalarda bulabilirsiniz. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri Ve Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır. Bu bir Çin hatırlatmasıdır ve bu noktada daha fazla üzerinde durmayacağım.

Buradaki çizim oldukça basit:

İstenilen düz şekil mavi renkle gölgelendirilmiş, eksen etrafında dönen şekildir.Döndürme sonucunda eksene göre simetrik olan hafif oval bir uçan daire elde edilir. Aslında vücudun matematiksel bir adı var ama referans kitabında herhangi bir şeyi açıklığa kavuşturamayacak kadar tembelim, o yüzden devam ediyoruz.

Bir devrim cismin hacmi nasıl hesaplanır?

Bir devrim cismin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Formülde sayının integralden önce gelmesi gerekir. Böylece oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılıdır.

Tamamlanan çizimden “a” ve “be” entegrasyon sınırlarının nasıl belirleneceğini tahmin etmenin kolay olduğunu düşünüyorum.

İşlev... nedir bu işlev? Çizime bakalım. Düzlem şekli üstteki parabolün grafiğiyle sınırlanmıştır. Formülde ima edilen fonksiyon budur.

Pratik görevlerde bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki integralin karesi alınır: , dolayısıyla integral her zaman negatif değildir ki bu çok mantıklı.

Bu formülü kullanarak bir dönme cismin hacmini hesaplayalım:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl önemli olan dikkatli olmaktır.

Cevap:

Cevabınızda boyutu - kübik birimleri belirtmelisiniz. Yani dönme gövdemizde yaklaşık 3,35 "küp" vardır. Neden kübik birimler? Çünkü en evrensel formülasyon. Santimetreküp olabilir, metreküp olabilir, kilometreküp olabilir vb. Hayal gücünüzün uçan daireye kaç tane yeşil adam koyabileceği budur.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Pratikte de sıklıkla karşılaşılan iki karmaşık sorunu daha ele alalım.

Örnek 3

, ve çizgileriyle sınırlanan şeklin apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Denklemin ekseni tanımladığını unutmadan, çizimde , , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil çizelim:

İstenilen şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir. Kendi ekseni etrafında döndüğünde dört köşeli gerçeküstü bir çörek haline geliyor.

Dönen cismin hacmini şu şekilde hesaplayalım: cisimlerin hacimleri arasındaki fark.

Öncelikle kırmızı daire içine alınmış şekle bakalım. Bir eksen etrafında döndüğünde kesik koni elde edilir. Bu kesik koninin hacmini ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli düşünün. Bu şekli eksen etrafında döndürürseniz, sadece biraz daha küçük olan kesik bir koni elde edersiniz. Hacmini ile gösterelim.

Ve açıkçası, hacimlerdeki fark tam olarak "çörekimizin" hacmidir.

Dönel bir cismin hacmini bulmak için standart formülü kullanırız:

1) Kırmızıyla daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

2) Yeşil daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

3) İstenilen devir gövdesinin hacmi:

Cevap:

Bu durumda çözümün kesik koninin hacmini hesaplamak için okul formülü kullanılarak kontrol edilebilmesi ilginçtir.

Kararın kendisi genellikle daha kısa yazılır, şöyle bir şey:

Şimdi biraz dinlenelim ve size geometrik illüzyonlardan bahsedelim.

İnsanlar genellikle ciltlerle ilgili yanılsamalar yaşarlar, bu da Perelman'ın (başka biri) kitapta fark ettiği bir şeydir. Eğlenceli geometri. Çözülmüş problemdeki düz şekle bakın - alan olarak küçük görünüyor ve devrimin gövdesinin hacmi 50 kübik birimin biraz üzerinde, bu da çok büyük görünüyor. Bu arada, ortalama bir insan tüm hayatı boyunca bir odanın 18 metrekaresine eşdeğer sıvı içer, bu da tam tersine çok küçük bir hacim gibi görünüyor.

Genel olarak SSCB'deki eğitim sistemi gerçekten en iyisiydi. Perelman'ın 1950'de yayınlanan aynı kitabı, mizahçının dediği gibi, çok iyi gelişiyor, düşünerek size orijinal, standart dışı çözümler aramayı öğretiyor. Geçenlerde bazı bölümleri büyük bir ilgiyle yeniden okudum, tavsiye ederim, hümanistlerin bile okuyabileceği bir kitap. Hayır, boş zaman teklif ettiğim için gülümsemenize gerek yok, iletişimde bilgi ve geniş ufuklar harika bir şey.

Lirik bir incelemeden sonra, yaratıcı bir görevi çözmek tam olarak uygundur:

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan bir cismin hacmini hesaplayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Lütfen tüm durumların bantta gerçekleştiğini, yani entegrasyon için hazır limitlerin verildiğini unutmayın. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini doğru çizin, size bununla ilgili ders materyalini hatırlatayım grafiklerin geometrik dönüşümleri: eğer argüman ikiye bölünürse: , grafikler eksen boyunca iki kez uzatılır. En az 3-4 puan bulmanız tavsiye edilir trigonometrik tablolara göreÇizimi daha doğru tamamlamak için. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Bu arada, görev çok rasyonel değil, rasyonel olarak çözülebilir.

Dönmeyle oluşan bir cismin hacminin hesaplanması
bir eksen etrafında düz şekil

İkinci paragraf birincisinden daha da ilginç olacak. Ordinat ekseni etrafında dönen bir cismin hacmini hesaplama görevi de test çalışmalarında oldukça yaygın bir konu. Yol boyunca dikkate alınacak bir şeklin alanını bulma problemi ikinci yöntem eksen boyunca entegrasyondur, bu sadece becerilerinizi geliştirmenize olanak sağlamakla kalmayacak, aynı zamanda size en karlı çözüm yolunu bulmayı da öğretecektir. Bunda pratik bir hayat anlamı da var! Matematik öğretim yöntemleri öğretmenimin gülümseyerek hatırladığı gibi, birçok mezun ona şu sözlerle teşekkür etti: "Konunuzun bize çok faydası oldu, artık etkili yöneticileriz ve personeli en iyi şekilde yönetiyoruz." Bu fırsatı değerlendirerek, özellikle edinilen bilgiyi amacına uygun olarak kullandığım için ona da büyük şükranlarımı sunuyorum =).

Herkese tavsiye ederim, hatta tam mankenler bile. Ayrıca, ikinci paragrafta öğrenilenler çift katlı integrallerin hesaplanmasında paha biçilmez yardım sağlayacaktır..

Örnek 5

, , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil verildiğinde.

1) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun.
2) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun.

Dikkat! Sadece ikinci noktayı okumak isteseniz bile, önce mutlaka ilkini oku!

Çözüm: Görev iki bölümden oluşmaktadır. Kareyle başlayalım.

1) Bir çizim yapalım:

Fonksiyonun parabolün üst dalını, fonksiyonun da parabolün alt dalını belirttiğini görmek kolaydır. Önümüzde "kendi tarafında duran" önemsiz bir parabol var.

Alanı bulunacak olan istenilen şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir.

Bir şeklin alanı nasıl bulunur? Sınıfta tartışılan “olağan” şekilde bulunabilir. Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır. Ayrıca şeklin alanı alanların toplamı olarak bulunur:
- segmentte ;
- segmentte.

Bu yüzden:

Bu durumda olağan çözüm neden kötü? Öncelikle iki integralimiz var. İkincisi, integraller köklerdir ve integrallerdeki kökler bir hediye değildir ve ayrıca integralin sınırlarını değiştirirken kafanız karışabilir. Aslında integraller elbette öldürücü değil ama pratikte her şey çok daha üzücü olabilir, ben sadece problem için "daha iyi" fonksiyonları seçtim.

Daha rasyonel bir çözüm var: Ters fonksiyonlara geçmek ve eksen boyunca integral almaktan ibarettir.

Ters fonksiyonlara nasıl ulaşılır? Kabaca söylemek gerekirse “x”i “y”ye kadar ifade etmeniz gerekiyor. İlk önce parabole bakalım:

Bu kadar yeter ama aynı fonksiyonun alt daldan da türetilebildiğinden emin olalım:

Düz bir çizgiyle daha kolaydır:

Şimdi eksene bakın: lütfen açıklarken başınızı periyodik olarak 90 derece sağa doğru eğin (bu bir şaka değil!). İhtiyacımız olan rakam kırmızı noktalı çizgiyle gösterilen segmentin üzerinde yer alıyor. Bu durumda, segmentte düz bir çizgi parabolün üzerinde bulunur; bu, şeklin alanının zaten bildiğiniz formül kullanılarak bulunması gerektiği anlamına gelir: . Formülde neler değişti? Sadece bir mektup ve daha fazlası değil.

! Not: Eksen boyunca entegrasyonun sınırları belirlenmeli kesinlikle aşağıdan yukarıya!

Alanı bulmak:

Bu nedenle segmentte:

Lütfen entegrasyonu nasıl yaptığımı not edin, bu en rasyonel yoldur ve görevin bir sonraki paragrafında bunun nedeni açıklanacaktır.

Entegrasyonun doğruluğundan şüphe duyan okuyucular için türevleri bulacağım:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilir, bu da entegrasyonun doğru yapıldığı anlamına gelir.

Cevap:

2) Bu şeklin eksen etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayalım.

Çizimi biraz farklı bir tasarımla yeniden çizeceğim:

Yani mavi renkle gölgelenen şekil eksen etrafında dönmektedir. Sonuç, kendi ekseni etrafında dönen bir "havada uçan kelebek"tir.

Dönen cismin hacmini bulmak için eksen boyunca integral alacağız. Öncelikle ters fonksiyonlara gitmemiz gerekiyor. Bu zaten önceki paragrafta ayrıntılı olarak yapılmış ve açıklanmıştır.

Şimdi başımızı tekrar sağa eğip figürümüzü inceliyoruz. Açıkçası, dönen bir cismin hacmi, hacimler arasındaki fark olarak bulunmalıdır.

Kırmızı daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürerek kesik bir koni elde ederiz. Bu hacmi ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürüyoruz ve elde edilen dönme gövdesinin hacmiyle belirtiyoruz.

Kelebeğimizin hacmi hacim farkına eşittir.

Dönel bir cismin hacmini bulmak için formülü kullanırız:

Önceki paragraftaki formülden farkı nedir? Sadece mektupta.

Ancak yakın zamanda bahsettiğim entegrasyonun avantajını bulmak çok daha kolay , önce integrali 4'üncü kuvvete yükseltmek yerine.

Cevap:

Ancak hasta bir kelebek değil.

Lütfen aynı düz şeklin eksen etrafında döndürülmesi durumunda, doğal olarak farklı bir hacme sahip, tamamen farklı bir dönme gövdesi elde edeceğinizi unutmayın.

Örnek 6

Çizgilerle ve bir eksenle sınırlanmış düz bir şekil verilmiştir.

1) Ters fonksiyonlara gidin ve bu doğruların sınırladığı bir düzlem şeklinin alanını değişken üzerinden integral alarak bulun.
2) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. İlgilenenler ayrıca bir şeklin alanını “olağan” şekilde bulabilir, böylece 1) noktasını kontrol edebilirler. Ancak tekrar ediyorum, düz bir şekli eksen etrafında döndürürseniz, farklı bir hacme sahip tamamen farklı bir dönme gövdesi elde edersiniz, bu arada, doğru cevap (ayrıca sorunları çözmeyi sevenler için).

Görevin önerilen iki noktasının tam çözümü dersin sonundadır.

Evet, dönme gövdelerini ve entegrasyonun sınırlarını anlamak için başınızı sağa eğmeyi unutmayın!

Belirli bir integral kullanarak bir devrim cismin hacmi nasıl hesaplanır?

Ayrıca belirli bir integral kullanarak düzlemsel bir şeklin alanını bulma konunun en önemli uygulaması bir devrim cismin hacminin hesaplanması. Materyal basittir, ancak okuyucunun hazırlıklı olması gerekir: çözebilmeniz gerekir. belirsiz integraller orta karmaşıklık ve Newton-Leibniz formülünü uygulayın kesin integral . Alanı bulma probleminde olduğu gibi, kendinize güvenen çizim becerilerine ihtiyacınız var - bu neredeyse en önemli şeydir (çünkü integrallerin kendileri genellikle kolay olacaktır). Metodolojik materyalin yardımıyla yetkin ve hızlı grafik oluşturma tekniklerinde ustalaşabilirsiniz. . Ama aslında çizimlerin öneminden sınıfta defalarca bahsetmiştim. .

Genel olarak integral hesabında pek çok ilginç uygulama vardır; belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını, dönen bir cismin hacmini, bir yayın uzunluğunu, bir dairenin yüzey alanını hesaplayabilirsiniz. bir vücut ve çok daha fazlası. Bu yüzden eğlenceli olacak, lütfen iyimser kalın!

– x ekseni etrafında; – ordinat ekseni etrafında.

En popüler rotasyon türüyle başlayalım.

örnek 1

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Alanı bulma probleminde olduğu gibi, çözüm düz bir şekil çizmekle başlar. Yani bir düzlemde çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir ve denklemin ekseni tanımladığını unutmayın. Bir çizimin daha verimli ve hızlı bir şekilde nasıl tamamlanacağını sayfalarda bulabilirsiniz. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri Ve Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır . Bu bir Çin hatırlatmasıdır ve bu noktada daha fazla üzerinde durmayacağım.

Buradaki çizim oldukça basit:

İstenilen düz şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir; eksen etrafında dönen şekildir. Döndürmenin bir sonucu olarak sonuç, eksene göre simetrik olan hafif oval bir uçan dairedir. Aslında vücudun matematiksel bir adı var ama ben referans kitabına bakamayacak kadar tembelim, o yüzden devam ediyoruz.

Bir devrim cismin hacmi nasıl hesaplanır?

Dönen bir cismin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Formülde sayının integralden önce gelmesi gerekir. Böylece oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılıdır.

Tamamlanan çizimden “a” ve “be” entegrasyon sınırlarının nasıl belirleneceğini tahmin etmenin kolay olduğunu düşünüyorum.

İşlev... nedir bu işlev? Çizime bakalım. Düz şekil üstteki parabol grafiğiyle sınırlanmıştır. Formülde ima edilen fonksiyon budur.

Pratik görevlerde bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki fonksiyonun karesi alınır: dolayısıyla bir devrim cismin hacmi her zaman negatif değildir ki bu çok mantıklı.

Bu formülü kullanarak bir dönme cismin hacmini hesaplayalım:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl önemli olan dikkatli olmaktır.

Cevap:

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulun,

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Pratikte de sıklıkla karşılaşılan iki karmaşık sorunu daha ele alalım.

Örnek 3

Çizgilerle sınırlanan şeklin apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayın ve

Çözüm: Denklemin ekseni tanımladığını unutmadan, çizimde ,,, çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil çizelim: