Geometrik bir ilerlemenin toplamı nasıl hesaplanır. Aritmetik ve geometrik ilerlemeler

Her doğal sayı ise n gerçek bir sayı eşleştir bir , sonra verildiğini söylüyorlar sayı dizisi :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , bir , . . . .

Yani, sayısal bir dizi, doğal bir argümanın bir fonksiyonudur.

Sayı a 1 isminde dizinin ilk üyesi , sayı a 2 — dizinin ikinci üyesi , sayı a 3 — üçüncü vb. Sayı bir isminde dizinin n. üyesi ve doğal sayı n — onun numarası .

İki komşu üyeden bir ve bir +1 üye dizileri bir +1 isminde sonraki (karşı bir ), a bir — öncesi (karşı bir +1 ).

Bir dizi belirtmek için herhangi bir sayıya sahip bir dizi üyesi bulmanızı sağlayan bir yöntem belirtmelisiniz.

Genellikle dizi ile verilir n'inci terim formülleri , yani bir dizi üyesini numarasına göre belirlemenizi sağlayan bir formül.

Örneğin,

pozitif tek sayıların dizisi formülle verilebilir

bir= 2n- 1,

ve dönüşüm sırası 1 ve -1 - formül

b n = (-1)n +1 . ◄

Sıra belirlenebilir tekrarlayan formül, diğer bir deyişle, dizinin herhangi bir üyesini, bazılarından başlayarak önceki (bir veya daha fazla) üyeye kadar ifade eden bir formül.

Örneğin,

Eğer a 1 = 1 , a bir +1 = bir + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Eğer bir 1= 1, 2 = 1, bir +2 = bir + bir +1 , daha sonra sayısal dizinin ilk yedi üyesi aşağıdaki gibi ayarlanır:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

diziler olabilir son ve sonsuz .

Sıra denir nihai eğer sınırlı sayıda üyesi varsa. Sıra denir sonsuz sonsuz sayıda üyesi varsa.

Örneğin,

iki basamaklı doğal sayılar dizisi:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

nihai.

Asal sayı dizisi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

Sıra denir artan , üyelerinin her biri, ikinciden başlayarak bir öncekinden daha büyükse.

Sıra denir azalan , üyelerinin her biri, ikinciden başlayarak bir öncekinden daha azsa.

Örneğin,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . artan bir dizidir;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . azalan bir dizidir. ◄

Elemanları artan sayıda azalmayan veya tersine artmayan bir diziye denir. monoton dizi .

Özellikle monotonik diziler artan diziler ve azalan dizilerdir.

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme her üyesi ikinciden başlayarak aynı sayının eklendiği bir öncekine eşit olan bir dizi çağrılır.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , bir, . . .

herhangi bir doğal sayı için aritmetik bir ilerlemedir n koşul karşılandı:

bir +1 = bir + d,

nerede d - bir numara.

Böylece, belirli bir aritmetik ilerlemenin sonraki ve önceki üyeleri arasındaki fark her zaman sabittir:

2 - a 1 = 3 - a 2 = . . . = bir +1 - bir = d.

Sayı d isminde aritmetik ilerleme farkı.

Aritmetik bir ilerleme ayarlamak için ilk terimini ve farkını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer a 1 = 3, d = 4 , daha sonra dizinin ilk beş terimi aşağıdaki gibi bulunur:

1 =3,

2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + d= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

İlk terim ile aritmetik bir ilerleme için a 1 ve fark d o n

bir = 1 + (n- 1)d.

Örneğin,

aritmetik bir ilerlemenin otuzuncu terimini bulun

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, d = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

bir n-1 = 1 + (n- 2)d,

bir= 1 + (n- 1)d,

bir +1 = a 1 + nd,

o zaman açıkçası

aritmetik dizinin her bir üyesi, ikinciden başlayarak, önceki ve sonraki üyelerin aritmetik ortalamasına eşittir.

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan biri diğer ikisinin aritmetik ortalamasına eşitse, bazı aritmetik dizilerin ardışık üyeleridir.

Örneğin,

bir = 2n- 7 , aritmetik bir ilerlemedir.

Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

bir = 2n- 7,

bir n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

bir n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Buradan,

◄

Bunu not et n Bir aritmetik ilerlemenin -inci üyesi yalnızca a 1 , aynı zamanda herhangi bir önceki bir k

bir = bir k + (n- k)d.

Örneğin,

için a 5 yazılabilir

5 = 1 + 4d,

5 = 2 + 3d,

5 = 3 + 2d,

5 = 4 + d. ◄

bir = bir n-k + kd,

bir = bir + k - kd,

o zaman açıkçası

bir aritmetik dizinin herhangi bir üyesi, ikincisinden başlayarak, bu aritmetik diziden eşit aralıktaki üyelerinin toplamının yarısına eşittir.

Ayrıca, herhangi bir aritmetik ilerleme için eşitlik doğrudur:

bir m + bir n = bir k + bir l,

m + n = k + l.

Örneğin,

aritmetik ilerlemede

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, gibi

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Sn= 1 + 2 + 3 + . . .+ bir,

ilk n aritmetik bir dizinin üyeleri, uç terimlerin toplamının terim sayısıyla yarısının çarpımına eşittir:

Bundan özellikle şu sonuç çıkar ki, eğer terimleri toplamak gerekirse

bir k, bir k +1 , . . . , bir,

o zaman önceki formül yapısını korur:

Örneğin,

aritmetik ilerlemede 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Aritmetik bir ilerleme verilirse, o zaman miktarlar a 1 , bir, d, n veS n iki formülle bağlantılı:

Bu nedenle, bu niceliklerden üçünün değerleri verilirse, diğer iki niceliğin karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

Aritmetik bir ilerleme monoton bir dizidir. burada:

• Eğer d > 0 , o zaman artıyor;
• Eğer d < 0 , sonra azalıyor;
• Eğer d = 0 , o zaman dizi durağan olacaktır.

Geometrik ilerleme

geometrik ilerleme her terimi ikinciden başlayarak bir öncekine eşit olan ve aynı sayı ile çarpılan bir dizi çağrılır.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , bn, . . .

herhangi bir doğal sayı için ise geometrik bir ilerlemedir n koşul karşılandı:

bn +1 = bn · q,

nerede q ≠ 0 - bir numara.

Böylece, bu geometrik ilerlemenin bir sonraki teriminin bir öncekine oranı sabit bir sayıdır:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = bn +1 / bn = q.

Sayı q isminde geometrik ilerlemenin paydası.

Geometrik bir ilerleme ayarlamak için ilk terimini ve paydasını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer b 1 = 1, q = -3 , daha sonra dizinin ilk beş terimi aşağıdaki gibi bulunur:

b1 = 1,

b2 = b1 · q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ve payda q o n -th terimi şu formülle bulunabilir:

bn = b 1 · qn -1 .

Örneğin,

geometrik bir ilerlemenin yedinci terimini bulun 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b1 · qn -2 ,

bn = b1 · qn -1 ,

bn +1 = b 1 · qn,

o zaman açıkçası

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

ikinciden başlayarak geometrik ilerlemenin her bir üyesi, önceki ve sonraki üyelerin geometrik ortalamasına (orantılı) eşittir.

Bunun tersi de doğru olduğundan, aşağıdaki iddia geçerlidir:

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan birinin karesi diğer ikisinin çarpımına eşitse, yani sayılardan biri diğer ikisinin geometrik ortalamasıysa, bazı geometrik dizilerin ardışık üyeleridir.

Örneğin,

formül tarafından verilen dizinin olduğunu kanıtlayalım. bn= -3 2 n , geometrik bir ilerlemedir. Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

bn= -3 2 n,

bn -1 = -3 2 n -1 ,

bn +1 = -3 2 n +1 .

Buradan,

bn 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

hangi gerekli iddiayı kanıtlıyor. ◄

Bunu not et n Geometrik bir ilerlemenin üçüncü terimi, yalnızca b 1 , aynı zamanda önceki herhangi bir terim bk , bunun için formülü kullanmanın yeterli olduğu

bn = bk · qn - k.

Örneğin,

için b 5 yazılabilir

5 = b1 · q 4 ,

5 = b2 · 3,

5 = b3 · q2,

5 = b4 · q. ◄

bn = bk · qn - k,

bn = bn - k · q k,

o zaman açıkçası

bn 2 = bn - k· bn + k

ikinciden başlayarak bir geometrik dizilimin herhangi bir üyesinin karesi, ondan eşit uzaklıkta olan bu dizinin üyelerinin çarpımına eşittir.

Ek olarak, herhangi bir geometrik ilerleme için eşitlik doğrudur:

ben· bn= bk· ben,

m+ n= k+ ben.

Örneğin,

katlanarak

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , gibi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Sn= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + bn

ilk n paydası olan bir geometrik ilerlemenin üyeleri q ≠ 0 formülle hesaplanır:

Ve ne zaman q = 1 - formüle göre

Sn= not 1

Terimleri toplamamız gerekirse

bk, bk +1 , . . . , bn,

sonra formül kullanılır:

Örneğin,

katlanarak 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Geometrik bir ilerleme verilirse, o zaman miktarlar b 1 , bn, q, n ve Sn iki formülle bağlantılı:

Bu nedenle, bu niceliklerden herhangi üçünün değerleri verilirse, diğer iki niceliğin karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

İlk terim ile geometrik bir ilerleme için b 1 ve payda q aşağıdakiler gerçekleşir monotonluk özellikleri :

• Aşağıdaki koşullardan biri karşılandığında ilerleme artar:

b 1 > 0 ve q> 1;

b 1 < 0 ve 0 < q< 1;

• Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme azalır:

b 1 > 0 ve 0 < q< 1;

b 1 < 0 ve q> 1.

Eğer bir q< 0 , o zaman geometrik ilerleme işaret dönüşümlüdür: tek sayılı terimleri ilk terimiyle aynı işarete sahiptir ve çift sayılı terimler zıt işarete sahiptir. Değişken bir geometrik ilerlemenin monoton olmadığı açıktır.

İlk ürün n geometrik bir ilerlemenin terimleri aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

P n= b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n / 2 .

Örneğin,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz azalan geometrik ilerleme

Sonsuz azalan geometrik ilerleme payda modülü 'den küçük olan sonsuz geometrik ilerleme olarak adlandırılır. 1 , yani

|q| < 1 .

Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin azalan bir dizi olmayabileceğini unutmayın. Bu duruma uyuyor

1 < q< 0 .

Böyle bir payda ile dizi işaret dönüşümlüdür. Örneğin,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı ilk toplamının olduğu sayıyı adlandırın n sayısında sınırsız bir artış ile ilerleme açısından n . Bu sayı her zaman sonludur ve formülle ifade edilir.

Örneğin,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler arasındaki ilişki

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler yakından ilişkilidir. Sadece iki örneği ele alalım.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , o zamanlar

bir 1 , bir 2 , bir 3 , . . . bd .

Örneğin,

1, 3, 5, . . . - farkla aritmetik ilerleme 2 ve

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . paydası olan geometrik bir ilerlemedir 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . paydası olan geometrik bir ilerlemedir q , o zamanlar

bir b 1 günlüğe kaydet, bir b 2 günlüğe kaydet, bir b 3 günlüğe kaydet, . . . - farkla aritmetik ilerleme bir günlüğe kaydetq .

Örneğin,

2, 12, 72, . . . paydası olan geometrik bir ilerlemedir 6 ve

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - farkla aritmetik ilerleme lg 6 . ◄

Geometrik ilerleme, tanımamız gereken yeni bir tür sayı dizisidir. Başarılı bir tanıdık için en azından bilmek ve anlamaktan zarar gelmez. O zaman geometrik ilerleme ile ilgili bir sorun olmayacak.)

Geometrik ilerleme nedir? Geometrik ilerleme kavramı.

Tura her zamanki gibi ilkokulla başlıyoruz. Bitmemiş bir sayı dizisi yazıyorum:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Bir desen yakalayıp bir sonraki sayının hangisi olacağını söyleyebilir misiniz? Biber açıktır, 100000, 1000000 vb. sayılar daha da ileri gidecektir. Çok fazla zihinsel stres olmadan bile, her şey açık, değil mi?)

TAMAM. Başka bir örnek. Aşağıdaki sırayı yazıyorum:

1, 2, 4, 8, 16, …

16 numara ve isimden sonra hangi numaraların geleceğini söyleyebilir misiniz? sekizinci sıra üyesi? 128 sayısının olacağını anladıysan, o zaman çok iyi. Yani, savaşın yarısı anlamakta anlam ve anahtar noktaları geometrik ilerleme zaten yapıldı. Daha da büyüyebilirsin.)

Ve şimdi tekrar duyumlardan titiz matematiğe dönüyoruz.

Geometrik ilerlemenin önemli anları.

Anahtar an #1

Geometrik ilerleme sayı dizisi.İlerleme olduğu gibi. Zor bir şey yok. Sadece bu sırayı ayarladım farklı. Dolayısıyla, elbette, başka bir adı var, evet ...

2 numaralı kilit an

İkinci kilit nokta ile soru daha zor olacaktır. Biraz geriye gidelim ve bir aritmetik ilerlemenin temel özelliğini hatırlayalım. İşte burada: her üye bir öncekinden farklıdır aynı miktarda.

Geometrik bir ilerleme için benzer bir anahtar özelliği formüle etmek mümkün müdür? Biraz düşünün... Verilen örneklere bir bakın. tahmin ettin mi? Evet! Geometrik bir ilerlemede (herhangi bir!) üyelerinden her biri bir öncekinden farklıdır. aynı sayıda. Her zaman!

İlk örnekte bu sayı on'dur. Dizinin hangi terimini alırsanız alın, öncekinden büyüktür. on kere.

İkinci örnekte, bu ikidir: her üye bir öncekinden daha büyüktür. iki defa.

Geometrik ilerlemenin aritmetik olandan farklı olduğu bu kilit noktadadır. Aritmetik bir ilerlemede, her bir sonraki terim elde edilir eklemeönceki terimle aynı değerdedir. Ve burada - çarpma işlemiönceki dönem aynı miktarda. Fark bu.)

Anahtar an #3

Bu kilit nokta, aritmetik bir ilerleme için olanla tamamen aynıdır. Yani: geometrik ilerlemenin her bir üyesi kendi yerindedir. Her şey aritmetik ilerlemedekiyle tamamen aynı ve bence yorumlar gereksiz. Birinci terim var, yüz birinci terim var, vb. En az iki üyeyi yeniden düzenleyelim - desen (ve onunla birlikte geometrik ilerleme) kaybolacaktır. Geriye kalan, hiçbir mantığı olmayan bir sayı dizisidir.

Bu kadar. Geometrik ilerlemenin bütün noktası budur.

Şartlar ve tanımlamalar.

Ve şimdi, geometrik ilerlemenin anlamını ve kilit noktalarını ele aldıktan sonra, teoriye geçebiliriz. Aksi takdirde, anlamını anlamadan bir teori nedir, değil mi?

Geometrik ilerleme nedir?

Genel terimlerle geometrik bir ilerleme nasıl yazılır? Sorun yok! İlerlemenin her üyesi de birer mektup olarak yazılır. Yalnızca aritmetik ilerleme için, harf genellikle kullanılır "a", geometrik için - harf "b". Üye numarası, her zamanki gibi, belirtilir sağ alt dizin. İlerlemenin üyeleri, virgül veya noktalı virgülle ayrılmış olarak basitçe listelenir.

Bunun gibi:

b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Kısaca, böyle bir ilerleme şu şekilde yazılır: (bn) .

Veya bunun gibi, sonlu ilerlemeler için:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b6 .

b 1 , b 2 , ..., b 29 , b 30 .

Veya kısaca:

(bn), n=30 .

Aslında, tüm atamalar budur. Her şey aynı, sadece harf farklı evet.) Ve şimdi doğrudan tanıma geçiyoruz.

Geometrik ilerlemenin tanımı.

Geometrik ilerleme, ilk terimi sıfır olmayan ve sonraki her terim, önceki terimin aynı sıfır olmayan sayı ile çarpımına eşit olan sayısal bir dizidir.

Bütün tanım bu. Sözcüklerin ve ifadelerin çoğu açık ve size tanıdık geliyor. Tabii ki, "parmaklarda" ve genel olarak geometrik bir ilerlemenin anlamını anlamadığınız sürece. Ancak özellikle dikkat çekmek istediğim birkaç yeni ifade de var.

İlk olarak, kelimeler: "ilk dönemi sıfırdan farklı".

Birinci dönem üzerindeki bu kısıtlama tesadüfen getirilmemiştir. Sizce ilk dönem olursa ne olur? b 1 sıfır çıkıyor? Her terim bir öncekinden büyükse ikinci terim ne olur? aynı sayıda mı?Üç kez diyelim mi? Bakalım... İlk terimi (yani 0) 3 ile çarpın ve... sıfır elde edin! Ve üçüncü üye? Sıfır da! Ve dördüncü terim de sıfırdır! Vb…

Sadece bir torba simit bir dizi sıfır alırız:

0, 0, 0, 0, …

Tabii ki, böyle bir dizinin yaşam hakkı vardır, ancak pratik bir çıkarı yoktur. Her şey çok açık. Üyelerinden herhangi biri sıfırdır. Herhangi bir sayıda üyenin toplamı da sıfırdır ... Bununla ne gibi ilginç şeyler yapabilirsiniz? Hiç bir şey…

Aşağıdaki anahtar kelimeler: "aynı sıfır olmayan sayı ile çarpılır".

Aynı numaranın kendi özel adı da vardır - geometrik ilerlemenin paydası. Çıkmaya başlayalım.)

Geometrik ilerlemenin paydası.

Her şey basit.

Geometrik ilerlemenin paydası, sıfır olmayan bir sayıdır (veya değerdir). kaç seferilerlemenin her üyesi öncekinden daha fazla.

Yine aritmetik diziye benzeterek, bu tanımda dikkat edilmesi gereken anahtar kelime kelimedir. "daha fazla". Bu, geometrik bir ilerlemenin her bir teriminin elde edildiği anlamına gelir. çarpma işlemi bu çok paydaya önceki üye.

Açıklarım.

Hesaplamak için diyelim ikinci alınacak üye ilküye ve çarpmak paydaya. Hesaplama için onuncu alınacak üye dokuzuncuüye ve çarpmak paydaya.

Geometrik ilerlemenin paydası herhangi bir şey olabilir. Kesinlikle kimse! Tamsayı, kesirli, pozitif, negatif, mantıksız - herkes. Sıfır hariç. Tanımdaki "sıfır olmayan" kelimesinin bize anlattığı şey budur. Bu kelimeye neden burada ihtiyaç duyuluyor - daha sonra bunun hakkında daha fazla bilgi.

Geometrik ilerlemenin paydası genellikle bir harfle gösterilir q.

Bu nasıl bulunur q? Sorun yok! İlerlemenin herhangi bir dönemini almalıyız ve önceki terime göre böl. bölüm kesir. Bu nedenle adı - "ilerlemenin paydası". Payda, genellikle bir kesirde bulunur, evet ...) Mantıksal olarak değer qçağrılmalı özel geometrik ilerleme, benzer fark aritmetik bir ilerleme için. Ama aramayı kabul etti payda. Ve tekerleği de yeniden icat etmeyeceğiz.)

Örneğin değerini tanımlayalım. q bu geometrik ilerleme için:

2, 6, 18, 54, …

Her şey temeldir. alıyoruz hiç Sıra numarası. Ne istiyorsak onu alıyoruz. İlki hariç. Örneğin, 18. Ve böl önceki numara. Yani 6'da.

Alırız:

q = 18/6 = 3

Bu kadar. Bu doğru cevap. Belirli bir geometrik ilerleme için payda üçtür.

paydayı bulalım q başka bir geometrik ilerleme için. Örneğin, bunun gibi:

1, -2, 4, -8, 16, …

Hepsi aynı. Üyelerin sahip oldukları işaretler ne olursa olsun, biz yine de hiç sıra numarası (örneğin, 16) ve böl önceki numara(yani -8).

Alırız:

d = 16/(-8) = -2

Ve bu kadar.) Bu sefer ilerlemenin paydası negatif çıktı. Eksi iki. Olur.)

Bu ilerlemeyi ele alalım:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Ve yine, dizideki sayıların türünden bağımsız olarak (tamsayılar, hatta kesirli, hatta negatif, hatta irrasyonel), herhangi bir sayıyı (örneğin, 1/9) alır ve önceki sayıya (1/3) böleriz. Elbette kesirli işlem kurallarına göre.

Alırız:

Hepsi bu kadar.) Burada paydanın kesirli olduğu ortaya çıktı: q = 1/3.

Ama senin gibi bir "ilerleme"?

3, 3, 3, 3, 3, …

Açıkçası burada q = 1 . Resmi olarak, bu aynı zamanda geometrik bir ilerlemedir, sadece aynı üyeler.) Ancak bu tür ilerlemeler, çalışma ve pratik uygulama için ilginç değildir. Tıpkı katı sıfırlarla ilerlemeler gibi. Bu nedenle, onları dikkate almayacağız.

Gördüğünüz gibi, ilerlemenin paydası herhangi bir şey olabilir - tamsayı, kesirli, pozitif, negatif - herhangi bir şey! Sadece sıfır olamaz. Neden olduğunu tahmin etmedin mi?

Pekala, belirli bir örneğe bakalım, payda olarak alırsak ne olur? q sıfır.) Örneğin, b 1 = 2 , a q = 0 . O zaman ikinci dönem ne olacak?

İnanıyoruz:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

Ve üçüncü üye?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Geometrik ilerlemelerin türleri ve davranışları.

Her şey az çok açıktı: ilerlemedeki fark varsa d olumlu, ilerleme artıyor. Fark negatifse, ilerleme azalır. Sadece iki seçenek var. Üçüncüsü yok.)

Ancak geometrik bir ilerlemenin davranışıyla her şey çok daha ilginç ve çeşitli olacak!)

Üyeler burada davrandığı anda: artar ve azalır ve süresiz olarak sıfıra yaklaşırlar ve hatta işaretleri değiştirirler, dönüşümlü olarak "artı" veya "eksi" ye koşarlar! Ve tüm bu çeşitlilik içinde kişi iyi anlayabilmeli, evet ...

Anladık mı?) En basit durumla başlayalım.

Payda pozitiftir ( q >0)

Pozitif bir payda ile, ilk olarak, bir geometrik dizilimin üyeleri artı sonsuzluk(yani süresiz olarak artar) ve içine girebilir eksi sonsuzluk(yani süresiz olarak azaltın). Bu tür ilerleme davranışlarına zaten alıştık.

Örneğin:

(bn): 1, 2, 4, 8, 16, …

Burada her şey basit. Progresyonun her bir üyesi öncekinden daha fazla. Ve her üye alır çarpma işlemiönceki üye pozitif+2 numara (yani q = 2 ). Böyle bir ilerlemenin davranışı açıktır: ilerlemenin tüm üyeleri, uzaya giderek süresiz olarak büyür. artı sonsuzluk...

Şimdi işte ilerleme:

(bn): -1, -2, -4, -8, -16, …

Burada da ilerlemenin her bir terimi elde edilir. çarpma işlemiönceki üye pozitif sayı +2. Ancak böyle bir ilerlemenin davranışı zaten doğrudan zıttır: ilerlemenin her bir üyesi elde edilir. öncekinden daha az, ve tüm terimleri süresiz olarak azalır, eksi sonsuza gider.

Şimdi bir düşünelim: Bu iki ilerlemenin ortak noktası ne? Bu doğru, payda! Burada ve orada q = +2 . Pozitif sayı. Deuce. Ve burada davranış Bu iki ilerleme temelde farklıdır! Neden olduğunu tahmin etmedin mi? Evet! her şey hakkında ilk üye! Dedikleri gibi, müziği sipariş eden odur.) Kendiniz görün.

İlk durumda, ilerlemenin ilk dönemi pozitif(+1) ve bu nedenle, ile çarpılarak elde edilen tüm sonraki terimler pozitif payda q = +2 , Ayrıca olacak pozitif.

Ama ikinci durumda, ilk terim olumsuz(-1). Bu nedenle, ile çarpılarak elde edilen ilerlemenin sonraki tüm üyeleri pozitif q = +2 , ayrıca alınacak olumsuz."Eksi"den "artı"ya her zaman "eksi" verir, evet.)

Gördüğünüz gibi, aritmetik bir ilerlemeden farklı olarak, bir geometrik ilerleme, yalnızca bağlı olarak değil, tamamen farklı şekillerde davranabilir. paydadanq, ama aynı zamanda bağlı olarak ilk üyeden, Evet.)

Unutmayın: bir geometrik ilerlemenin davranışı, ilk üyesi tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. b 1 ve paydaq .

Ve şimdi daha az tanıdık ama çok daha ilginç vakaların analizine başlıyoruz!

Örneğin, aşağıdaki sırayı alın:

(bn): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Bu dizi aynı zamanda geometrik bir ilerlemedir! Bu ilerlemenin her üyesi de elde edilir çarpma işlemiönceki terim, aynı sayıda. sadece sayı kesirli: q = +1/2 . Veya +0,5 . Ve (önemli!) sayı, daha küçük olan:q = 1/2<1.

Bu geometrik ilerleme hakkında ilginç olan nedir? Üyeleri nereye gidiyor? Bir göz atalım:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Burada ilginç olan nedir? İlk olarak, ilerlemenin üyelerindeki azalma hemen dikkat çekicidir: üyelerinin her biri daha küçükönceki tam olarak 2 kez. Veya geometrik bir ilerlemenin tanımına göre, her terim daha fazlaöncesi 1/2 kez, çünkü ilerleme paydası q = 1/2 . Ve birden küçük pozitif bir sayı ile çarpıldığında sonuç genellikle azalır, evet ...

Ne daha fazla Bu ilerlemenin davranışında görülebilir mi? Üyeleri kaybolur mu? sınırsız, eksi sonsuzluğa mı gidiyor? Değil! Özel bir şekilde kaybolurlar. İlk başta oldukça hızlı bir şekilde azalırlar ve sonra giderek daha yavaş bir şekilde azalırlar. Ve kaldığın süre boyunca pozitif. Çok çok küçük de olsa. Ve ne için çabalıyorlar? Tahmin etmedin mi? Evet! Sıfıra eğilimliler!) Ve dikkat edin, ilerlememizin üyeleri asla ulaşma! Bir tek ona sonsuz yakın. Bu çok önemli.)

Benzer bir durum böyle bir ilerlemede olacaktır:

(bn): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Burada b 1 = -1 , a q = 1/2 . Her şey aynı, ancak şimdi üyeler diğer taraftan, aşağıdan sıfıra yaklaşacaklar. Her zaman kalmak olumsuz.)

Üyeleri olan böyle bir geometrik ilerleme sonsuza kadar sıfıra yaklaşıyor.(olumlu ya da olumsuz tarafta fark etmez), matematikte özel bir adı vardır - sonsuz azalan geometrik ilerleme. Bu ilerleme o kadar ilginç ve sıra dışıdır ki, ayrı ders .)

Yani, mümkün olan her şeyi düşündük pozitif paydalar hem büyük hem de daha küçük olanlardır. Yukarıda belirttiğimiz nedenlerle birin kendisini payda olarak kabul etmiyoruz (üçlü dizili örneği hatırlayın...)

Özetlemek:

pozitifve birden fazla (q>1), ardından ilerlemenin üyeleri:

a) süresiz olarak artırın (eğerb 1 >0);

b) süresiz olarak azaltmak (eğerb 1 <0).

Geometrik ilerlemenin paydası ise pozitif ve birden az (0< q<1), то члены прогрессии:

a) sıfıra sonsuz yakın üstünde(Eğerb 1 >0);

b) sıfıra sonsuz yakın aşağıdan(Eğerb 1 <0).

Şimdi davayı düşünmek kaldı negatif payda.

Payda negatiftir ( q <0)

Bir örnek için uzağa gitmeyeceğiz. Neden, aslında, tüylü büyükanne?!) Örneğin, ilerlemenin ilk üyesi olsun b 1 = 1 ve paydayı alın q = -2.

Aşağıdaki sırayı elde ederiz:

(bn): 1, -2, 4, -8, 16, …

Ve benzeri.) İlerlemenin her terimi elde edilir. çarpma işlemiönceki üye negatif bir sayı-2. Bu durumda tek sıradaki tüm üyeler (birinci, üçüncü, beşinci vb.) pozitif, ve hatta yerlerde (ikinci, dördüncü vb.) - olumsuz.İşaretler kesinlikle iç içedir. Artı-eksi-artı-eksi ... Böyle bir geometrik ilerlemeye - artan işaret dönüşümlü.

Üyeleri nereye gidiyor? Ve hiçbir yerde.) Evet, mutlak değerde (yani modulo) ilerlememizin koşulları süresiz olarak artar (dolayısıyla "artan" adı). Ancak aynı zamanda, ilerlemenin her bir üyesi dönüşümlü olarak onu sıcağa, sonra soğuğa atar. Artı veya eksi. İlerlememiz dalgalanıyor... Üstelik, dalgalanmaların aralığı her adımda hızla büyüyor, evet.) Bu nedenle, ilerleme üyelerinin bir yere gitme özlemleri. özellikle burada hayır. Ne artı sonsuza, ne eksi sonsuza, ne de sıfıra - hiçbir yerde.

Şimdi sıfır ile eksi bir arasında bir kesirli payda düşünün.

Örneğin, olsun b 1 = 1 , a q = -1/2.

Sonra ilerlemeyi elde ederiz:

(bn): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Ve yine bir işaret değişimimiz var! Ancak, önceki örnekten farklı olarak, burada zaten terimlerin sıfıra yaklaşması için açık bir eğilim vardır.) Ancak bu sefer terimlerimiz sıfıra tam olarak yukarıdan veya aşağıdan değil, tekrardan yaklaşıyor. tereddüt. Alternatif olarak ya pozitif ya da negatif değerler alınır. Ama aynı zamanda onlar modüller aziz sıfıra daha da yaklaşıyorlar.)

Bu geometrik ilerleme denir sonsuz azalan alternatif işaret.

Bu iki örnek neden ilginç? Ve her iki durumda da gerçekleştiği gerçeği alternatif karakterler! Böyle bir çip, yalnızca negatif paydalı ilerlemeler için tipiktir, evet.) Bu nedenle, bazı görevlerde alternatif üyelerle geometrik bir ilerleme görürseniz, paydasının %100 negatif olduğunu zaten kesin olarak bileceksiniz ve yanılmayacaksınız. işaretinde.)

Bu arada, negatif bir payda durumunda, ilk terimin işareti, ilerlemenin davranışını hiç etkilemez. Sıralamanın ilk üyesinin işareti ne olursa olsun, her halükarda, üyelerin değişiminin işareti gözlemlenecektir. Bütün soru sadece hangi yerlerde(çift veya tek) belirli işaretlere sahip üyeler olacaktır.

Unutma:

Geometrik ilerlemenin paydası ise olumsuz , o zaman ilerleme şartlarının işaretleri her zaman alternatif.

Aynı zamanda, üyelerin kendileri:

a) süresiz olarak artırmakmodül, Eğerq<-1;

b) -1 ise sonsuza kadar sıfıra yaklaşın< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Bu kadar. Tüm tipik durumlar analiz edilir.)

Çeşitli geometrik ilerleme örneklerini ayrıştırma sürecinde, periyodik olarak şu kelimeleri kullandım: "sıfıra eğilimli", "artı sonsuzluğa eğilimlidir", eksi sonsuzluğa eğilimli... Sorun değil.) Bu konuşma dönüşleri (ve belirli örnekler) yalnızca ilk tanışmadır. davranışçeşitli sayı dizileri. Geometrik ilerlemeye bir örnek.

Neden ilerleme davranışını bilmemiz gerekiyor? Nereye gittiği ne fark eder? Sıfıra, artı sonsuza, eksi sonsuza... Bu bizi ne umursar ki?

Mesele şu ki, zaten üniversitede, yüksek matematik dersinde, çeşitli sayısal dizilerle çalışma yeteneğine ihtiyacınız olacak (sadece ilerlemelerle değil, herhangi biriyle!) Ve şu veya bu dizinin nasıl davrandığını tam olarak hayal etme yeteneğine ihtiyacınız olacak. - artıp artmadığı, azalıp azalmadığı, belirli bir sayıya yönelip yönelmediği (ve mutlaka sıfır olması gerekmemektedir) veya hatta hiçbir şeye eğilim göstermemesi... Bu derste bu konuya bütün bir bölüm ayrılmıştır. matematiksel analiz - limit teorisi. Biraz daha spesifik olarak, konsept sayı dizisinin sınırı.Çok ilginç bir konu! Üniversiteye gitmek ve bunu çözmek mantıklı.)

Bu bölümden bazı örnekler (sınırlı diziler) ve özellikle, sonsuz azalan geometrik ilerleme okulda öğrenmeye başlar. Alışmak.)

Ayrıca, gelecekte dizilerin davranışlarını iyi bir şekilde inceleme yeteneği, büyük ölçüde işe yarayacak ve şu anda çok yararlı olacaktır. fonksiyon araştırması. En çeşitli. Ancak fonksiyonlarla yetkin bir şekilde çalışma yeteneği (türevleri hesaplamak, onları tam olarak keşfetmek, grafiklerini oluşturmak) zaten matematiksel seviyenizi önemli ölçüde artırıyor! Şüphe? Gerek yok. Sözlerimi de unutmayın.)

Hayattaki geometrik bir ilerlemeye bakalım mı?

Çevremizdeki yaşamda, çok, çok sık üstel ilerlemeyle karşılaşırız. Hiç bilmeden.)

Örneğin, her yerde büyük miktarlarda etrafımızı saran ve mikroskop olmadan göremediğimiz çeşitli mikroorganizmalar, geometrik dizilimde tam olarak çoğalırlar.

Diyelim ki bir bakteri ikiye bölünerek çoğalıyor ve 2 bakteride yavru veriyor. Sırayla, her biri çoğalarak, aynı zamanda 4 bakteri ortak bir yavru vererek yarıya bölünür. Bir sonraki nesil 8 bakteri verecek, ardından 16 bakteri, 32, 64 vb. Birbirini izleyen her nesilde bakteri sayısı ikiye katlanır. Tipik bir geometrik ilerleme örneği.)

Ayrıca, bazı böcekler - yaprak bitleri, sinekler - katlanarak çoğalır. Ve bazen tavşanlar da bu arada.)

Günlük yaşama daha yakın olan bir başka geometrik ilerleme örneği, sözde bileşik faiz. Böyle ilginç bir fenomen genellikle banka mevduatlarında bulunur ve buna denir. faiz kapitalizasyonu. Ne olduğunu?

Siz kendiniz hala elbette gençsiniz. Okulda okuyorsun, bankalara başvurmuyorsun. Ama anne baban yetişkin ve bağımsız insanlar. İşe giderler, günlük ekmeği için para kazanırlar ve paranın bir kısmını bankaya yatırıp biriktirirler.)

Diyelim ki babanız Türkiye'de bir aile tatili için belirli bir miktar para biriktirmek istiyor ve üç yıllık bir süre için bankaya yılda %10 oranında 50.000 ruble koymak istiyor. yıllık faiz kapitalizasyonu ile. Ayrıca, tüm bu süre boyunca mevduat ile hiçbir şey yapılamaz. Depozitoyu yenileyemez veya hesaptan para çekemezsiniz. Bu üç yılda ne kadar kâr edecek?

Öncelikle, yılda %10'un ne olduğunu bulmanız gerekiyor. Demek oluyor bir yıl içindeİlk yatırılan tutara banka tarafından %10 eklenecektir. Neyden? Tabii ki, ilk depozito tutarı.

Bir yıldaki hesap tutarını hesaplayın. İlk mevduat tutarı 50.000 ruble (yani %100) ise, o zaman bir yılda hesaba ne kadar faiz gelecek? Bu doğru, %110! 50.000 ruble'den.

Bu yüzden 50.000 ruble'nin% 110'unu düşünüyoruz:

50.000 1.1 \u003d 55.000 ruble.

Değerin %110'unu bulmanın, bu değeri 1,1 ile çarpmak anlamına geldiğini anlamışsınızdır umarım? Bunun neden böyle olduğunu anlamıyorsanız, beşinci ve altıncı sınıfları hatırlayın. Yani - yüzdelerin kesirler ve kısımlarla ilişkisi.)

Böylece, ilk yıl için artış 5000 ruble olacak.

İki yıl sonra hesapta ne kadar para olacak? 60.000 ruble mi? Ne yazık ki (ya da daha doğrusu, neyse ki), o kadar basit değil. Faiz kapitalizasyonunun tüm hilesi, her yeni faiz tahakkukunda, bu aynı faizin zaten dikkate alınacak olmasıdır. yeni miktardan! olandan çoktan hesapta Şu anda. Ve önceki dönem için tahakkuk eden faiz, mevduatın ilk tutarına eklenir ve böylece yeni faiz hesaplamasına kendileri katılırlar! Yani, toplam hesabın tam bir parçası olurlar. veya genel başkent. Bu nedenle adı - faiz kapitalizasyonu.

Ekonomide var. Ve matematikte bu yüzdelere denir bileşik faiz. Veya yüzde yüzde.) Onların hilesi, sıralı hesaplamada yüzdelerin her seferinde hesaplanmasıdır. yeni değerden. Orijinalinden değil...

Bu nedenle, toplamı hesaplamak için iki yıl, hesapta olacak tutarın %110'unu hesaplamamız gerekiyor bir yıl içinde. Yani, zaten 55.000 ruble.

55.000 rublenin% 110'unu düşünüyoruz:

55000 1.1 \u003d 60500 ruble.

Bu, ikinci yıl için yüzde artışının zaten 5.500 ruble ve iki yıl için - 10.500 ruble olacağı anlamına geliyor.

Şimdi, üç yıl içinde hesaptaki miktarın 60.500 ruble'nin% 110'u olacağını tahmin edebilirsiniz. Bu yine %110 öncekinden (geçen yıl) tutarlar.

Burada dikkate alıyoruz:

60500 1.1 \u003d 66550 ruble.

Ve şimdi parasal tutarlarımızı yıllara göre sırayla oluşturuyoruz:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

Nasıl? Neden geometrik bir ilerleme değil? İlk Üye b 1 = 50000 , ve payda q = 1,1 . Her terim bir öncekinden kesinlikle 1,1 kat daha büyüktür. Her şey tanıma tam olarak uygundur.)

Ve baban 50.000 rublesi üç yıl boyunca banka hesabındayken kaç ek yüzde ikramiye "bırakacak"?

İnanıyoruz:

66550 - 50000 = 16550 ruble

Tabii ki kötü. Ancak bu, katkının başlangıçtaki miktarı küçükse geçerlidir. Ya daha fazlası varsa? Diyelim ki 50 değil, 200 bin ruble mi? O zaman üç yıllık artış zaten 66.200 ruble olacak (eğer sayarsanız). Hangisi zaten çok iyi.) Ya katkı daha da büyükse? İşte bu...

Sonuç: İlk katkı ne kadar yüksek olursa, faiz kapitalizasyonu o kadar karlı olur. Bu nedenle bankalar tarafından uzun vadeli faizli mevduat sağlanmaktadır. Diyelim ki beş yıl.

Ayrıca, grip, kızamık ve hatta daha korkunç hastalıklar (2000'lerin başındaki aynı SARS veya Orta Çağ'daki veba) gibi her türlü kötü hastalık katlanarak yayılmayı sever. Bu nedenle, salgınların ölçeği, evet ...) Ve hepsi, geometrik bir ilerleme olduğu için tam pozitif payda (q>1) - çok hızlı büyüyen bir şey! Bakterilerin üremesini hatırlayın: bir bakteriden iki, iki - dört, dört - sekiz vb. elde edilir ... Herhangi bir enfeksiyonun yayılmasıyla, her şey aynıdır.)

Geometrik ilerlemedeki en basit problemler.

Her zamanki gibi basit bir problemle başlayalım. Tamamen anlamını anlamak için.

1. Geometrik ilerlemenin ikinci teriminin 6 ve paydanın -0.5 olduğu bilinmektedir. Birinci, üçüncü ve dördüncü terimleri bulun.

yani verildik sonsuz geometrik ilerleme, iyi bilinen ikinci üye bu ilerleme:

b2 = 6

Ayrıca, biz de biliyoruz ilerleme paydası:

q = -0.5

Ve bulman gerek Ilk üçüncüsü ve dördüncü Bu ilerlemenin üyeleri.

Burada oyunculuk yapıyoruz. Sıralamayı problemin durumuna göre yazıyoruz. Doğrudan genel anlamda, ikinci üyenin altı olduğu durumlarda:

b1,6,b 3 , b 4 , …

Şimdi aramaya başlayalım. Her zamanki gibi en basitinden başlıyoruz. Örneğin, üçüncü terimi hesaplayabilirsiniz. b3? Yapabilir! Üçüncü terimin (doğrudan geometrik ilerleme anlamında) zaten biliyoruz. (b 3) bir saniyeden fazla (b 2 ) içinde "q" bir Zamanlar!

Bu yüzden şunu yazıyoruz:

b3 =b 2 · q

Bu ifadede altı yerine b2 ve bunun yerine -0.5 q ve düşünüyoruz. Ve eksi de elbette göz ardı edilmez ...

b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3

Bunun gibi. Üçüncü terim negatif çıktı. Merak etme: paydamız q- olumsuz. Ve artı eksi ile çarpılırsa, elbette eksi olacaktır.)

Şimdi ilerlemenin bir sonraki, dördüncü terimini ele alıyoruz:

b4 =b 3 · q

b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5

Dördüncü terim yine bir artı ile. Beşinci terim yine eksi, altıncı terim artı vb. İşaretler - alternatif!

Böylece üçüncü ve dördüncü üyeler bulundu. Sonuç aşağıdaki sıradır:

b1; 6; -3; 1.5; …

Şimdi ilk terimi bulmak için kalır b1 iyi bilinen ikinci göre. Bunu yapmak için diğer yöne, sola doğru adım atıyoruz. Bu, bu durumda, ilerlemenin ikinci terimini payda ile çarpmamız gerekmediği anlamına gelir, ancak Paylaş.

Bölüyoruz ve alıyoruz:

Hepsi bu.) Sorunun cevabı şu şekilde olacaktır:

-12; 6; -3; 1,5; …

Gördüğünüz gibi, çözüm prensibi 'deki ile aynıdır. Biliyoruz hiçüye ve payda geometrik ilerleme - başka bir terim bulabiliriz. Ne istersek onu buluruz.) Tek fark, toplama/çıkarma işleminin yerine çarpma/bölme yapılmasıdır.

Unutmayın: bir geometrik dizilimin en az bir üyesini ve paydasını biliyorsak, o zaman bu dizinin başka bir üyesini her zaman bulabiliriz.

Geleneğe göre aşağıdaki görev, OGE'nin gerçek versiyonundandır:

2.

…; 150; X; 6; 1.2; …

Nasıl? Bu sefer ilk terim yok, payda yok q, sadece bir sayı dizisi verilir ... Zaten tanıdık bir şey, değil mi? Evet! Benzer bir problem aritmetik ilerlemede zaten ele alındı!

Burada korkmuyoruz. Hepsi aynı. Başınızı çevirin ve geometrik ilerlemenin temel anlamını hatırlayın. Dizimize dikkatlice bakarız ve üç ana öğenin (birinci üye, payda, üye numarası) geometrik ilerlemesinin hangi parametrelerinin içinde gizlendiğini buluruz.

Üye numaraları? Üye numarası yok, evet... Ama dört tane var. ardışık sayılar. Bu kelimenin ne anlama geldiğini bu aşamada açıklamaya gerek görmüyorum.) İki tane var mı? komşu bilinen numaralar? Orada! Bunlar 6 ve 1.2'dir. Böylece bulabiliriz ilerleme paydası. Yani 1,2 sayısını alıyoruz ve bölüyoruz önceki numaraya. Altı için.

Alırız:

Alırız:

x= 150 0,2 = 30

Cevap: x = 30 .

Gördüğünüz gibi, her şey oldukça basit. Ana zorluk sadece hesaplamalarda yatmaktadır. Özellikle negatif ve kesirli paydalar söz konusu olduğunda zordur. O halde sorunu olanlar aritmetiği tekrar etsin! Kesirlerle nasıl çalışılır, negatif sayılarla nasıl çalışılır vs... Aksi takdirde burada acımasızca yavaşlarsınız.

Şimdi sorunu biraz değiştirelim. Şimdi ilginç olacak! İçindeki son sayı 1.2'yi çıkaralım. Şimdi bu sorunu çözelim:

3. Bir geometrik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılır:

…; 150; X; 6; …

x harfi ile gösterilen ilerleme terimini bulun.

Her şey aynı, sadece iki komşu ünlü artık ilerlemenin üyelerimiz yok. Ana sorun bu. Çünkü büyüklük q iki komşu terim aracılığıyla, zaten kolayca belirleyebiliriz yapamayız. Zorlukla karşılaşma şansımız var mı? Kesinlikle!

Bilinmeyen terimi yazalım" x"Doğrudan geometrik bir ilerleme anlamında! Genel anlamda.

Evet evet! Doğrudan bilinmeyen bir payda ile!

Bir yandan x için aşağıdaki oranı yazabiliriz:

x= 150q

Öte yandan, aynı X'i baştan sona boyamak için her hakkımız var. sonrakiüye, altı aracılığıyla! Altıyı paydaya bölün.

Bunun gibi:

x = 6/ q

Açıkçası, şimdi bu oranların her ikisini de eşitleyebiliriz. ifade ettiğimiz için aynısı değer (x), ancak iki Farklı yollar.

Denklemi elde ederiz:

Her şeyi çarpma q, sadeleştirme, azaltma, denklemi elde ederiz:

q 2 \u003d 1/25

Çözüyoruz ve alıyoruz:

q = ±1/5 = ±0.2

Hata! Payda çifttir! +0.2 ve -0.2. Ve hangisini seçmeli? Çıkmaz sokak?

Sakinlik! evet sorun gerçekten var iki çözüm! Bunda yanlış bir şey yok. Olur.) Örneğin, her zamanki çözerek iki kök elde ettiğinizde şaşırmıyorsunuz? Burada da aynı hikaye var.)

İçin q = +0.2 alacağız:

X \u003d 150 0.2 \u003d 30

Ve için q = -0,2 irade:

X = 150 (-0.2) = -30

Çift cevap alıyoruz: x = 30; x = -30.

Bu ilginç gerçek ne anlama geliyor? Ve ne var iki ilerleme, sorunun koşulunu sağlayan!

Bunlar gibi:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Her ikisi de uygundur.) Sizce cevapların çatallanmasının nedeni nedir? Sadece ilerlemenin (1,2) belirli bir üyesinin elenmesi nedeniyle, altıdan sonra geliyor. Ve geometrik ilerlemenin yalnızca önceki (n-1)-inci ve sonraki (n+1)-inci üyelerini bilerek, artık aralarında duran n'inci üye hakkında kesin olarak hiçbir şey söyleyemeyiz. İki seçenek var - artı ve eksi.

Ama önemli değil. Kural olarak, geometrik ilerleme görevlerinde, kesin bir cevap veren ek bilgiler vardır. Sözleri söyleyelim: "işaret dönüşümlü ilerleme" veya "pozitif bir payda ile ilerleme" ve saire... Son cevabı verirken hangi artı veya eksi işaretinin seçilmesi gerektiğine dair bir ipucu olması gereken bu kelimelerdir. Böyle bir bilgi yoksa, o zaman - evet, görevin iki çözüm.)

Ve şimdi kendi başımıza karar veriyoruz.

4. 20 sayısının bir geometrik diziye üye olup olmayacağını belirleyin:

4 ; 6; 9; …

5. Değişken bir geometrik ilerleme verilir:

…; 5; x ; 45; …

Harf ile gösterilen ilerleme terimini bulun x .

6. Geometrik ilerlemenin dördüncü pozitif terimini bulun:

625; -250; 100; …

7. Geometrik ilerlemenin ikinci terimi -360 ve beşinci terimi 23.04'tür. Bu ilerlemenin ilk terimini bulun.

Cevaplar (kargaşa içinde): -15; 900; Numara; 2.56.

Her şey yolunda gittiyse tebrikler!

Bir şey uymuyor mu? Bir yerde çifte cevap var mı? Görev şartlarını dikkatlice okuduk!

Son bulmaca çalışmıyor mu? Orada karmaşık bir şey yok.) Doğrudan geometrik bir ilerlemenin anlamına göre çalışıyoruz. Peki, bir resim çizebilirsin. Yardımcı olur.)

Gördüğünüz gibi, her şey temel. İlerleme kısa ise. Ya uzunsa? Yoksa istenilen üye sayısı çok mu fazla? Aritmetik bir ilerlemeye benzeterek, bir şekilde bulmayı kolaylaştıran uygun bir formül elde etmek istiyorum. hiç herhangi bir geometrik ilerlemenin üyesi onun numarasına göre.Çok, çok kez çarpmadan q. Ve böyle bir formül var!) Ayrıntılar - bir sonraki derste.

Bir dizi düşünelim.

7 28 112 448 1792...

Öğelerinden herhangi birinin değerinin bir öncekinden tam olarak dört kat daha büyük olduğu kesinlikle açıktır. Yani bu dizi bir ilerlemedir.

Geometrik ilerleme, temel özelliği, bir sonraki sayının bir öncekinden belirli bir sayı ile çarpılarak elde edilmesi olan sonsuz bir sayı dizisidir. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilir.

a z +1 =a z q, burada z, seçilen öğenin sayısıdır.

Buna göre, z ∈ N.

Okulda geometrik bir ilerlemenin çalışıldığı dönem 9. sınıftır. Örnekler kavramı anlamanıza yardımcı olacaktır:

0.25 0.125 0.0625...

Bu formüle dayanarak, ilerlemenin paydası aşağıdaki gibi bulunabilir:

Ne q ne de b z sıfır olamaz. Ayrıca, ilerlemenin öğelerinin her biri sıfıra eşit olmamalıdır.

Buna göre dizideki bir sonraki sayıyı bulmak için sonuncuyu q ile çarpmanız gerekir.

Bu ilerlemeyi belirtmek için ilk öğesini ve paydasını belirtmelisiniz. Bundan sonra, sonraki terimlerden herhangi birini ve bunların toplamını bulmak mümkündür.

çeşitleri

q ve 1'e bağlı olarak, bu ilerleme birkaç türe ayrılır:

• Hem 1 hem de q birden büyükse, böyle bir dizi her bir sonraki elemanla artan geometrik bir dizidir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =3, q=2 - her iki parametre birden büyüktür.

Daha sonra sayısal dizi şöyle yazılabilir:

3 6 12 24 48 ...

• Eğer |q| birden az, yani onunla çarpma, bölmeye eşdeğerdir, o zaman benzer koşullara sahip bir ilerleme, azalan bir geometrik ilerlemedir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birden büyüktür, q küçüktür.

Daha sonra sayısal dizi aşağıdaki gibi yazılabilir:

6 2 2/3 ... - herhangi bir eleman, onu takip eden elemandan 3 kat daha büyüktür.

• İşaret değişkeni. eğer q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Örnek: a 1 = -3 , q = -2 - her iki parametre de sıfırdan küçüktür.

O zaman dizi şöyle yazılabilir:

3, 6, -12, 24,...

formüller

Geometrik ilerlemelerin uygun kullanımı için birçok formül vardır:

• z. üyenin formülü. Önceki sayıları hesaplamadan belirli bir sayının altındaki elemanı hesaplamanızı sağlar.

Misal:q = 3, a 1 = 4. İlerlemenin dördüncü öğesinin hesaplanması gerekir.

Karar:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• sayısı olan ilk elemanların toplamı z. kadar bir dizinin tüm öğelerinin toplamını hesaplamanıza izin verir.bir zdahil.

(1-q) paydada ise (1 - q)≠ 0, dolayısıyla q 1'e eşit değildir.

Not: q=1 ise, ilerleme sonsuz tekrar eden bir sayı dizisi olacaktır.

Geometrik bir ilerlemenin toplamı, örnekler:a 1 = 2, q= -2. S 5'i hesaplayın.

Karar:S 5 = 22 - formülle hesaplama.

• Tutar ise |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Misal:a 1 = 2 , q= 0,5. Miktarı bulun.

Karar:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Bazı özellikler:

• karakteristik özellik. Aşağıdaki koşul ise herhangi biri için gerçekleştirilenz, o zaman verilen sayı serisi geometrik bir ilerlemedir:

bir z 2 = bir z -1 · az+1

• Ayrıca, geometrik ilerlemenin herhangi bir sayısının karesi, verilen bir dizideki diğer iki sayının kareleri, eğer bu elemandan eşit uzaklıktalarsa toplanarak bulunur.

bir z 2 = bir z - t 2 + bir z + t 2 , neredetbu sayılar arasındaki mesafedir.

• Elementlerq'da farklılıkbir Zamanlar.
• İlerleme öğelerinin logaritmaları da bir ilerleme oluşturur, ancak zaten aritmetiktir, yani her biri bir öncekinden belirli bir sayıda daha büyüktür.

Bazı klasik problemlere örnekler

Geometrik ilerlemenin ne olduğunu daha iyi anlamak için 9. sınıf için çözümlü örnekler yardımcı olabilir.

• Koşullar:a 1 = 3, a 3 = 48. Bulq.

Çözüm: sonraki her öğe, öncekinden daha büyüktür.q bir Zamanlar.Bazı unsurları payda kullanarak diğerleri aracılığıyla ifade etmek gerekir.

Buradan,a 3 = q 2 · a 1

değiştirirkenq= 4

• Koşullar:a 2 = 6, a 3 = 12. S 6'yı hesaplayın.

Karar:Bunu yapmak için, ilk eleman olan q'yu bulmak ve onu formülde yerine koymak yeterlidir.

a 3 = q· a 2 , buradan,q= 2

2 = q 1 ,Bu yüzden 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. İlerlemenin dördüncü öğesini bulun.

Çözüm: Bunu yapmak için dördüncü öğeyi birinci ve payda aracılığıyla ifade etmek yeterlidir.

a 4 = q3· 1 = -80

Uygulama örneği:

• Bankanın müşterisi, her yıl müşterinin anapara tutarına% 6'sını ekleyeceği şartlar altında 10.000 ruble tutarında depozito yaptı. 4 yıl sonra hesapta ne kadar para olacak?

Çözüm: İlk miktar 10 bin ruble. Yani yatırımdan bir yıl sonra hesap 10.000 + 10.000'e eşit bir tutara sahip olacak. · 0,06 = 10000 1,06

Buna göre, bir yıl sonra hesaptaki tutar aşağıdaki gibi ifade edilecektir:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Yani, her yıl miktar 1,06 kat artmaktadır. Bu, 4 yıl sonra hesaptaki fon miktarını bulmak için, birinci elementin 10 bin, paydanın ise 1,06'ya eşit olduğu ilerlemenin dördüncü elementini bulmak yeterlidir.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Toplamı hesaplamak için görev örnekleri:

Çeşitli problemlerde geometrik bir ilerleme kullanılır. Toplamı bulmak için bir örnek aşağıdaki gibi verilebilir:

a 1 = 4, q= 2, hesaplaS5.

Çözüm: hesaplama için gerekli tüm veriler biliniyor, sadece bunları formüle koymanız gerekiyor.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. İlk altı elemanın toplamını hesaplayın.

Karar:

Geom. ilerleme, sonraki her öğe bir öncekinden q kat daha büyüktür, yani toplamı hesaplamak için öğeyi bilmeniz gerekira 1 ve paydaq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Benzer şekilde, bulmamız gerekiyora 1 , bilereka 2 veq.

a 1 · q = a 2

1 =2

S 6 = 728.

Geometrik ilerleme, aritmetik ile birlikte, 9. sınıf okul cebir dersinde işlenen önemli bir sayı dizisidir. Bu makalede, geometrik bir ilerlemenin paydasını ve değerinin özelliklerini nasıl etkilediğini ele alacağız.

Geometrik ilerlemenin tanımı

Başlangıç ​​olarak, bu sayı serisinin tanımını veriyoruz. Geometrik ilerleme, ilk elemanının payda adı verilen sabit bir sayı ile art arda çarpılmasıyla oluşturulan bir dizi rasyonel sayıdır.

Örneğin, 3, 6, 12, 24, ... dizisindeki sayılar geometrik bir ilerlemedir, çünkü 3'ü (ilk eleman) 2 ile çarparsak 6 elde ederiz. 6 ile 2'yi çarparsak, şunu elde ederiz. 12, vb.

Söz konusu dizinin üyeleri genellikle ai simgesiyle gösterilir, burada i dizideki öğenin sayısını gösteren bir tam sayıdır.

Bir ilerlemenin yukarıdaki tanımı matematik dilinde şu şekilde yazılabilir: an = bn-1 * a1, burada b paydadır. Bu formülü kontrol etmek kolaydır: n = 1 ise, o zaman b1-1 = 1 ve a1 = a1 elde ederiz. Eğer n = 2 ise, o zaman an = b * a1 ve yine söz konusu sayı dizisinin tanımına geliyoruz. n'nin büyük değerleri için benzer akıl yürütmeye devam edilebilir.

Geometrik ilerlemenin paydası

B sayısı, tüm sayı serisinin hangi karaktere sahip olacağını tamamen belirler. Payda b pozitif, negatif veya birden büyük veya birden küçük olabilir. Yukarıdaki seçeneklerin tümü farklı dizilere yol açar:

• b > 1. Artan bir rasyonel sayılar dizisi vardır. Örneğin, 1, 2, 4, 8, ... a1 elemanı negatif ise, tüm dizi sadece modulo artar, ancak sayıların işaretini dikkate alarak azalır.
• b = 1. Sıradan bir özdeş rasyonel sayı dizisi olduğundan, genellikle böyle bir duruma ilerleme denmez. Örneğin, -4, -4, -4.

toplam formülü

Söz konusu ilerleme türünün paydasını kullanarak belirli problemlerin değerlendirilmesine geçmeden önce, ilk n öğesinin toplamı için önemli bir formül verilmelidir. Formül: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

İlerlemenin üyelerinin özyinelemeli bir dizisini göz önünde bulundurursanız, bu ifadeyi kendiniz alabilirsiniz. Ayrıca, yukarıdaki formülde, rastgele sayıda terimin toplamını bulmak için yalnızca ilk öğeyi ve paydayı bilmenin yeterli olduğunu unutmayın.

Sonsuz azalan dizi

Yukarıda ne olduğuna dair bir açıklama vardı. Şimdi Sn formülünü bilerek bu sayı serisine uygulayalım. Modülü 1'i aşmayan herhangi bir sayı, büyük kuvvetlere yükseltildiğinde sıfır olma eğiliminde olduğundan, yani -1 ise b∞ => 0

Paydanın değerinden bağımsız olarak (1 - b) farkı her zaman pozitif olacağından, sonsuz azalan bir geometrik ilerleme S∞ toplamının işareti, ilk elemanının a1 işaretiyle benzersiz bir şekilde belirlenir.

Şimdi, edinilen bilginin belirli sayılara nasıl uygulanacağını göstereceğimiz birkaç problemi ele alacağız.

Görev numarası 1. İlerlemenin bilinmeyen unsurlarının hesaplanması ve toplam

Geometrik bir ilerleme verildiğinde, ilerlemenin paydası 2'dir ve ilk öğesi 3'tür. 7. ve 10. terimleri ne olacak ve yedi başlangıç ​​öğesinin toplamı nedir?

Sorunun durumu oldukça basittir ve yukarıdaki formüllerin doğrudan kullanımını içerir. Bu nedenle, n numaralı elemanı hesaplamak için an = bn-1 * a1 ifadesini kullanırız. 7. eleman için: a7 = b6 * a1, bilinen verileri değiştirerek şunu elde ederiz: a7 = 26 * 3 = 192. Aynısını 10. üye için yapıyoruz: a10 = 29 * 3 = 1536.

Toplam için iyi bilinen formülü kullanıyoruz ve bu değeri dizinin ilk 7 elemanı için belirliyoruz. Elimizde: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Görev numarası 2. İlerlemenin keyfi unsurlarının toplamını belirleme

-2 üstel ilerleme bn-1 * 4'ün paydası olsun, burada n bir tam sayıdır. Dahil olmak üzere bu dizinin 5. ila 10. elemanı arasındaki toplamı belirlemek gerekir.

Ortaya konan problem, bilinen formüller kullanılarak doğrudan çözülemez. 2 farklı şekilde çözülebilir. Bütünlük adına, her ikisini de sunuyoruz.

Yöntem 1. Fikri basittir: İlk terimlerin karşılık gelen iki toplamını hesaplamanız ve ardından diğerini birinden çıkarmanız gerekir. Daha küçük toplamı hesaplayın: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Şimdi büyük toplamı hesaplıyoruz: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Son ifadede, sorunun durumuna göre hesaplanması gereken toplama 5'inci zaten dahil olduğundan, sadece 4 terimin toplandığına dikkat edin. Son olarak farkı alıyoruz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Yöntem 2. Sayıları yerine koymadan ve saymadan önce, söz konusu serinin m ve n terimlerinin toplamı için bir formül elde edebilirsiniz. Yöntem 1'dekiyle tamamen aynı şekilde hareket ederiz, sadece ilk önce toplamın sembolik temsili ile çalışırız. Şunlara sahibiz: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Bilinen sayıları sonuç ifadesinde değiştirebilir ve nihai sonucu hesaplayabilirsiniz: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Görev numarası 3. Payda nedir?

a1 = 2 olsun, sonsuz toplamı 3 olmak üzere geometrik ilerlemenin paydasını bulunuz ve bunun azalan bir sayı dizisi olduğu bilinmektedir.

Problemin durumuna göre, onu çözmek için hangi formülün kullanılması gerektiğini tahmin etmek zor değildir. Elbette, sonsuz azalan bir ilerlemenin toplamı için. Elimizde: S∞ = a1 / (1 - b). Paydayı ifade ettiğimiz yerden: b = 1 - a1 / S∞. Bilinen değerleri değiştirmek ve gerekli sayıyı almak için kalır: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 veya -0.333 (3). Bu tür bir dizi için b modülünün 1'in ötesine geçmemesi gerektiğini hatırlarsak, bu sonucu niteliksel olarak kontrol edebiliriz. Gördüğünüz gibi, |-1 / 3|

Görev numarası 4. Bir dizi numarayı geri yükleme

Bir sayı dizisinin 2 elemanı verilsin, örneğin, 5.si 30'a ve 10'uncusu 60'a eşittir. Geometrik bir ilerlemenin özelliklerini karşıladığını bilerek, tüm diziyi bu verilerden geri yüklemek gerekir.

Problemi çözmek için, önce bilinen her üye için karşılık gelen ifadeyi yazmalısınız. Şunlara sahibiz: a5 = b4 * a1 ve a10 = b9 * a1. Şimdi ikinci ifadeyi birinciye böldük, şunu elde ederiz: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Buradan, problemin koşulundan bilinen üyelerin oranının beşinci derece kökünü alarak paydayı buluyoruz, b = 1.148698. Elde edilen sayıyı bilinen bir eleman için ifadelerden birinin yerine koyarız, şunu elde ederiz: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Böylece, bn ilerlemesinin paydasının ve bn-1 * 17.2304966 = an geometrik ilerlemesinin ne olduğunu bulduk, burada b = 1.148698.

Geometrik ilerlemeler nerede kullanılır?

Bu sayısal serinin pratikte uygulaması olmasaydı, çalışması tamamen teorik bir ilgiye indirgenirdi. Ama böyle bir uygulama var.

En ünlü 3 örnek aşağıda listelenmiştir:

• Çevik Aşil'in yavaş kaplumbağayı yakalayamadığı Zeno'nun paradoksu, sonsuz azalan bir sayı dizisi kavramı kullanılarak çözülür.
• Satranç tahtasının her hücresine 1 tane 1. hücreye, 2 - 2. hücreye, 3 - 3. hücreye vb. olacak şekilde buğday taneleri yerleştirilirse, tüm hücreleri doldurmak için 1844674407370951615 tane gerekli olacaktır. pano!
• "Hanoi Kulesi" oyununda, diskleri bir çubuktan diğerine yeniden düzenlemek için 2n - 1 işlemlerini gerçekleştirmek gerekir, yani sayıları kullanılan n disk sayısından katlanarak büyür.

Şimdi sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamı sorununu ele alalım. Belirli bir sonsuz ilerlemenin kısmi toplamına, ilk terimlerinin toplamı diyelim. Kısmi toplamı simgesiyle belirtin

Her sonsuz ilerleme için

kısmi toplamlarının (ayrıca sonsuz) bir dizisini oluşturabilir

Sınırsız artışa sahip bir dizinin limiti olsun

Bu durumda, S sayısı, yani ilerlemenin kısmi toplamlarının sınırı, sonsuz bir ilerlemenin toplamı olarak adlandırılır. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin her zaman bir toplamı olduğunu kanıtlayacağız ve bu toplam için bir formül türeteceğiz (sonsuz bir ilerlemenin toplamının olmadığını da gösterebiliriz).

Kısmi toplam için ifadeyi, (91.1) formülüne göre ilerleme üyelerinin toplamı olarak yazarız ve kısmi toplamın sınırını şu noktada ele alırız:

89. maddenin teoreminden azalan bir ilerleme için; bu nedenle, fark limit teoremini uygulayarak buluruz

(kural burada da kullanılır: sabit faktör sınırın işaretinden çıkarılır). Varlığı kanıtlandı ve aynı zamanda sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı için formül elde edildi:

Eşitlik (92.1) şu şekilde de yazılabilir:

Burada, sonsuz bir terimler kümesinin toplamına iyi tanımlanmış bir sonlu değerin atanması paradoksal görünebilir.

Bu durumu açıklamak için net bir örnek verilebilir. Bir kenarı bire eşit olan bir kare düşünün (Şek. 72). Bu kareyi yatay bir çizgi ile iki eşit parçaya bölüyoruz ve üst kısmı alt kısma uyguluyoruz, böylece kenarları 2 ve . Bundan sonra, bu dikdörtgenin sağ yarısını tekrar yatay bir çizgi ile ikiye böldük ve üst kısmı alt kısma tutturuyoruz (Şekil 72'de gösterildiği gibi). Bu işleme devam ederek, alanı 1'e eşit olan orijinal kareyi sürekli olarak eşit büyüklükteki rakamlara dönüştürüyoruz (daha ince basamaklı bir merdiven şeklini alarak).

Bu sürecin sonsuz bir devamı ile, karenin tüm alanı sonsuz sayıda terime ayrışır - tabanları 1 ve yükseklikleri olan dikdörtgenlerin alanları.Dikdörtgenlerin alanları sadece sonsuz bir azalan ilerleme oluşturur, toplamı

yani, beklendiği gibi karenin alanına eşittir.

Misal. Aşağıdaki sonsuz ilerlemelerin toplamlarını bulun:

Çözüm, a) Bu ilerlemeyi not ediyoruz. Bu nedenle, (92.2) formülü ile buluyoruz

b) Burada aynı formüle (92.2) sahip olduğumuz anlamına gelir.

c) Bu ilerlemenin bu nedenle, bu ilerlemenin toplamı olmadığını buluyoruz.

Bölüm 5'te, periyodik bir ondalık kesrin sıradan bir kesre dönüştürülmesine sonsuz azalan bir ilerlemenin terimlerinin toplamı için formülün uygulanması gösterildi.

Egzersizler

1. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı 3/5 ve ilk dört teriminin toplamı 13/27'dir. İlerlemenin ilk terimini ve paydasını bulun.

2. İkinci terimin birinci terimden 35 kat küçük ve üçüncü terimin dördüncü terimden 560 büyük olduğu, değişen bir geometrik dizi oluşturan dört sayı bulun.

3. Sıralamayı göster

sonsuz azalan bir geometrik ilerleme oluşturur, ardından dizi

herhangi bir form için sonsuz azalan bir geometrik ilerleme. Bu iddia geçerli mi

Geometrik ilerleme terimlerinin çarpımı için bir formül türetiniz.