Uzunluğu bilen bir daireden çap nasıl hesaplanır. Bir dairenin çevresi nasıl bulunur ve ne olacak

Günlük yaşamda bir dikdörtgenden daha az olmayan bir daire bulunur. Ve birçok insan için bir dairenin çevresinin nasıl hesaplanacağı görevi zordur. Ve hepsi köşeleri olmadığı için. Onlarla her şey çok daha kolay olurdu.

Çember nedir ve nerede oluşur?

Bu düz şekil, merkez olan diğerinden aynı uzaklıkta bulunan bir dizi noktadır. Bu mesafeye yarıçap denir.

Günlük yaşamda, mühendisler ve tasarımcılar dışında, çevreyi hesaplamak çoğu zaman gerekli değildir. Örneğin dişliler, lombozlar ve tekerlekler kullanan mekanizmalar tasarlarlar. Mimarlar yuvarlak veya kemerli pencereleri olan evler yaratırlar.

Bunların ve diğer durumların her biri kendi kesinliğini gerektirir. Ayrıca, bir dairenin çevresini mutlak doğrulukla hesaplamak kesinlikle imkansızdır. Bu, formüldeki ana sayının sonsuzluğundan kaynaklanmaktadır. "Pi" hala belirleniyor. Ve çoğu zaman yuvarlatılmış değer kullanılır. Doğruluk derecesi en doğru cevabı verecek şekilde seçilir.

Miktarların ve formüllerin gösterimi

Şimdi bir dairenin çevresinin bir yarıçaptan nasıl hesaplanacağı sorusuna cevap vermek kolaydır, bunun için aşağıdaki formülü gerektirecektir:

Yarıçap ve çap birbiriyle ilişkili olduğundan, hesaplamalar için başka bir formül vardır. Yarıçap iki kat daha küçük olduğu için ifade biraz değişecektir. Ve çapı bilerek bir dairenin çevresinin nasıl hesaplanacağına ilişkin formül aşağıdaki gibi olacaktır:

l \u003d π * d.

Bir dairenin çevresini hesaplamanız gerekirse ne olur?

Bir dairenin daire içindeki tüm noktaları içerdiğini unutmayın. Yani çevresi uzunluğu ile çakışıyor. Çevreyi hesapladıktan sonra, dairenin çevresine eşit bir işaret koyun.

Bu arada, aynı atamalara sahipler. Bu yarıçap ve çap için geçerlidir ve Latin harfi P çevredir.

Görev örnekleri

Birinci görev

Koşul. Yarıçapı 5 cm olan çemberin çevresini bulunuz.

Karar. Burada bir dairenin çevresinin nasıl hesaplanacağını anlamak kolaydır. Sadece ilk formülü kullanmanız gerekiyor. Yarıçap bilindiği için tek yapmanız gereken değerleri takıp saymaktır. 2, 5 cm'lik bir yarıçapla çarpıldığında 10 verir. Onu π değeriyle çarpmak için kalır. 3.14 * 10 = 31,4 (cm).

Cevap: l = 31,4 cm.

ikinci görev

Koşul.Çevresi bilinen ve 1256 mm'ye eşit bir tekerlek var. Yarıçapını hesaplamanız gerekir.

Karar. Bu görevde, aynı formülü kullanmanız gerekecek. Ancak yalnızca bilinen uzunluğun 2 ve π'nin çarpımına bölünmesi gerekecektir. Ürünün şu sonucu vereceği ortaya çıktı: 6.28. Bölmeden sonra sayı kalır: 200. Bu istenen değerdir.

Cevap: r = 200 mm.

Üçüncü görev

Koşul. 56,52 cm olan çevresi biliniyorsa çapı hesaplayın.

Karar.Önceki probleme benzer şekilde, bilinen uzunluğu π değerine bölmeniz gerekir, bu da yüzlerceye yuvarlanır. Böyle bir işlem sonucunda 18 sayısı elde edilir, sonuç alınır.

Cevap: d = 18 cm.

Görev dört

Koşul. Saat ibreleri 3 ve 5 cm uzunluğundadır.Sonlarını tanımlayan dairelerin uzunluklarını hesaplamak gerekir.

Karar. Oklar dairelerin yarıçaplarıyla çakıştığı için ilk formül gereklidir. İki kez kullanılması gerekiyor.

İlk uzunluk için çarpım şu faktörlerden oluşacaktır: 2; 3.14 ve 3. Sonuç 18.84 cm sayısı olacaktır.

İkinci cevap için 2, π ve 5'i çarpmanız gerekiyor. Ürün bir sayı verecek: 31,4 cm.

Cevap: l 1 = 18,84 cm, l 2 = 31,4 cm.

Beşinci görev

Koşul. Bir sincap 2 m çapındaki bir tekerlekte koşuyor Tekerleğin bir tam dönüşünde ne kadar mesafe koşar?

Karar. Bu mesafe dairenin çevresine eşittir. Bu nedenle, uygun formülü kullanmanız gerekir. Yani, π değerini 2 m ile çarpın Hesaplamalar sonucu verir: 6.28 m.

Cevap: Sincap 6.28 m koşar.

1. Bulmak daha zor çap boyunca çevre O halde önce bu seçeneğe bir göz atalım.

Misal: Çapı 6 cm olan dairenin çevresini bulunuz. Bir dairenin çevresi için yukarıdaki formülü kullanıyoruz, ancak önce yarıçapı bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için 6 cm'nin çapını 2'ye böleriz ve dairenin yarıçapını 3 cm alırız.

Bundan sonra her şey son derece basit: Pi sayısını 2 ile ve elde edilen yarıçapı 3 cm ile çarpıyoruz.
2*3.14*3 cm=6.28*3 cm=18.84 cm.

2. Şimdi basit seçeneğe tekrar bakalım yarıçapı 5 cm olan dairenin çevresini bulun

Çözüm: 5 cm yarıçapı 2 ile çarpılır ve 3,14 ile çarpılır. Endişelenmeyin, çünkü faktörlerin yeniden düzenlenmesi sonucu etkilemez ve çevre formülü herhangi bir sırayla uygulanabilir.

5cm * 2 * 3.14 = 10 cm * 3.14 = 31,4 cm - bu, 5 cm'lik bir yarıçap için bulunan çevredir!

Çevrimiçi çevre hesaplayıcısı

Çevre hesaplayıcımız tüm bu hileli olmayan hesaplamaları anında yapacak ve çözümü yorumlarla birlikte bir satıra yazacaktır. 3, 5, 6, 8 veya 1 cm'lik bir yarıçap için çevreyi hesaplayacağız veya çap 4, 10, 15, 20 dm, hesaplayıcımız çevreyi bulmak için yarıçapın hangi değerinin umrunda değil.

Tüm hesaplamalar doğru olacak, matematikçiler tarafından test edilecektir. Sonuçlar, geometri veya matematikteki okul problemlerinin çözümünde ve ayrıca bu formül kullanılarak doğru hesaplamalar yapılması gerektiğinde inşaat veya binaların onarımı ve dekorasyonunda çalışma hesaplamalarında kullanılabilir.

Bir daire, bir daireyi çevreleyen eğri bir çizgidir. Geometride şekiller düzdür, bu nedenle tanım iki boyutlu bir görüntüyü ifade eder. Bu eğrinin tüm noktalarının dairenin merkezinden eşit uzaklıkta olduğu varsayılır.

Daire, bu geometrik şekille ilgili hesaplamaların yapıldığı bazı özelliklere sahiptir. Bunlar şunları içerir: çap, yarıçap, alan ve çevre. Bu özellikler birbiriyle ilişkilidir, yani bileşenlerden en az biri hakkında bilgi bunları hesaplamak için yeterlidir. Örneğin, formülü kullanarak bir geometrik şeklin yalnızca yarıçapını bilerek çevresini, çapını ve alanını bulabilirsiniz.

• Bir dairenin yarıçapı, merkezine bağlı dairenin içindeki bir segmenttir.
• Çap, noktalarını birleştiren ve merkezden geçen bir dairenin içindeki bir doğru parçasıdır. Aslında, çap iki yarıçaptır. Hesaplama formülü tam olarak şöyle görünür: D=2r.
• Çemberin başka bir bileşeni daha var - akor. Bu, bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren, ancak her zaman merkezden geçmeyen düz bir çizgidir. Bu yüzden içinden geçen kirişe çap da denir.

Çemberin çevresi nasıl bulunur? Şimdi öğrenelim.

Çevre: formül

Bu özelliği belirtmek için Latince p harfi seçilmiştir. Arşimet ayrıca bir dairenin çevresinin çapına oranının tüm daireler için aynı sayı olduğunu kanıtladı: bu, yaklaşık olarak 3.14159'a eşit olan π sayısıdır. π hesaplama formülü şöyle görünür: π = p/d. Bu formüle göre p'nin değeri πd'ye, yani çevresine eşittir: p= πd. d (çap) iki yarıçapa eşit olduğundan, aynı çevre formülü p=2πr olarak yazılabilir.Örnek olarak basit problemleri kullanarak formülün uygulamasını düşünün:

Görev 1

Çar Çanı'nın tabanında çap 6,6 metredir. Zilin tabanının çevresi kaç cm'dir?

1. Yani çemberi hesaplama formülü p= πd'dir.
2. Mevcut değeri şu formülde değiştiriyoruz: p \u003d 3.14 * 6.6 \u003d 20.724

Cevap: Zilin tabanının çevresi 20.7 metredir.

Görev 2

Dünya'nın yapay bir uydusu, gezegenden 320 km uzaklıkta döner. Dünyanın yarıçapı 6370 km'dir. Uydunun dairesel yörüngesinin uzunluğu nedir?

1. 1. Dünya uydusunun dairesel yörüngesinin yarıçapını hesaplayın: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Uydunun dairesel yörüngesinin uzunluğunu aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayın: P=2πr
3. 3.P=2*3.14*6690=42013.2

Cevap: Dünya uydusunun dairesel yörüngesinin uzunluğu 4203.2 km'dir.

Çevreyi ölçmek için yöntemler

Bir dairenin çevresinin hesaplanması pratikte sıklıkla kullanılmaz. Bunun nedeni π sayısının yaklaşık değeridir. Günlük yaşamda, bir dairenin uzunluğunu bulmak için özel bir cihaz kullanılır - bir eğri ölçer. Daire üzerinde rastgele bir referans noktası işaretlenir ve cihaz, tekrar bu noktaya ulaşana kadar kesinlikle çizgi boyunca ondan yönlendirilir.

Çemberin çevresi nasıl bulunur? Hesaplamalar için basit formülleri aklınızda tutmanız yeterlidir.

Talimat

Arşimet'in bu oranı önce matematiksel olarak hesapladığını hatırlayın. Çemberin içinde ve çevresinde düzenli 96-gon var. Yazılı çokgenin çevresi mümkün olan minimum çevre, sınırlandırılan şeklin çevresi maksimum boyut olarak alınmıştır. Arşimet'e göre çevrenin çapa oranı 3.1419'dur. Çok sonraları, bu sayı Çinli matematikçi Zu Chongzhi tarafından sekiz haneye "uzatıldı". Hesaplamaları 900 yıl boyunca en doğru olanı olarak kaldı. Yalnızca 18. yüzyılda yüz ondalık basamak sayıldı. Ve 1706'dan beri, William Jones sayesinde bu sonsuz ondalık kesir bir isim aldı. Bunu Yunanca perimeter (periphery) kelimelerinin ilk harfiyle belirlemiştir. Bugün bilgisayar Pi sayısının işaretlerini kolayca hesaplıyor: 3.141592653589793238462643 ...

Hesaplamalar için Pi'yi 3.14'e düşürün. Herhangi bir dairenin uzunluğunun çapa bölümünün şu sayıya eşit olduğu ortaya çıktı: L:d=3.14.

Bu ifadeden çapı bulmak için bir formül ifade edin. Bir dairenin çapını bulmak için çevreyi pi sayısına bölmeniz gerektiği ortaya çıktı. Şuna benziyor: d = L:3.14. Bu, bir dairenin çevresi bilindiğinde çapı bulmanın evrensel bir yoludur.

Yani çevre biliniyor, diyelim ki 15.7 cm, bu rakamı 3.14'e bölün. Çap 5 cm olacaktır, şöyle yazın: d \u003d 15.7: 3.14 \u003d 5 cm.

Çevreyi hesaplamak için özel tabloları kullanarak çevreden çapı bulun. Bu tablolar çeşitli referans kitaplarında yer almaktadır. Örneğin, V.M.'nin "Dört basamaklı matematik tablolarında" bulunurlar. Bradis.

faydalı tavsiye

Pi'nin ilk sekiz basamağını bir şiirle ezberleyin:
sadece denemek zorundasın
Ve her şeyi olduğu gibi hatırla:
Üç, on dört, on beş
Doksan iki ve altı.

Kaynaklar:

• "Pi" sayısı rekor doğrulukla hesaplanır
• çap ve çevre
• Çemberin çevresi nasıl bulunur?

Daire, tüm noktaları aynı olan ve dairenin merkezi olarak adlandırılan seçilen noktadan sıfır olmayan bir mesafede bulunan düz bir geometrik şekildir. Çemberin herhangi iki noktasını birleştiren ve merkezinden geçen doğruya denir. çap. Bir daire için genellikle çevre olarak adlandırılan iki boyutlu bir şeklin tüm sınırlarının toplam uzunluğu, daha sık olarak "çevre" olarak belirtilir. Bir dairenin çevresini bilerek çapını hesaplayabilirsiniz.

Talimat

Çapı bulmak için bir dairenin temel özelliklerinden birini kullanın, yani çevresinin uzunluğunun çapa oranı kesinlikle tüm daireler için aynıdır. Tabii ki, sabitlik matematikçiler tarafından fark edilmedi ve bu oran çoktan kendine geldi - bu Pi sayısıdır (π ilk Yunanca kelimedir " daire" ve "çevre"). Bunun sayısal değeri, çapı bire eşit olan bir dairenin çevresi tarafından belirlenir.

Çapını hesaplamak için bir dairenin bilinen çevresini pi sayısına bölün. Bu sayı "" olduğundan, sonlu bir değeri yoktur - bu bir kesirdir. Elde etmeniz gereken sonucun doğruluğuna göre pi yuvarlaklığı.

İlgili videolar

İpucu 4: Bir dairenin çevresinin çapın uzunluğuna oranı nasıl bulunur?

İnanılmaz Mülkiyet çevreler antik Yunan bilim adamı Arşimet tarafından bize açıldı. olduğu gerçeğinde yatmaktadır. davranış o uzunlukçapın uzunluğu herhangi biri için aynıdır çevreler. "Dairenin Ölçüsü Üzerine" adlı eserinde bunu hesaplamış ve "Pi" sayısı olarak belirlemiştir. Mantıksızdır, yani anlamı tam olarak ifade edilemez. Çünkü 3.14'e eşit olan değeri kullanılır. Basit hesaplamalar yaparak Arşimet'in ifadesini kendiniz doğrulayabilirsiniz.

İhtiyacın olacak

• - pusula;
• - hükümdar;
• - kalem;
• - iplik.

Talimat

Pusula ile kağıda isteğe bağlı çapta bir daire çizin. Bir cetvel ve kurşun kalem kullanarak, çizgide bulunan ikisini birleştiren merkezinden bir segment çizin. çevreler. Ortaya çıkan parçanın uzunluğunu ölçmek için bir cetvel kullanın. Diyelimki çevreler bu durumda, 7 santimetre.

İpliği alın ve uzunluk boyunca düzenleyin çevreler. Ortaya çıkan iplik uzunluğunu ölçün. 22 santimetreye eşit olsun. Bulmak davranış uzunluk çevrelerçapının uzunluğuna - 22 cm: 7 cm \u003d 3.1428 .... Ortaya çıkan sayıyı (3.14) yuvarlayın. Tanıdık sayı "Pi" çıktı.

Bu özelliği kanıtla çevreler bir bardak veya bardak kullanarak yapabilirsiniz. Çaplarını bir cetvelle ölçün. Çanağın üstünü bir iplikle sarın, elde edilen uzunluğu ölçün. Uzunluğu bölmek çevreler fincan çapının uzunluğu kadar, bu özellikten emin olarak "Pi" sayısını da alacaksınız. çevreler Arşimet tarafından keşfedilmiştir.

Bu özelliği kullanarak, herhangi birinin uzunluğunu hesaplayabilirsiniz. çevrelerçapının uzunluğu boyunca veya formüllere göre: C \u003d 2 * p * R veya C \u003d D * p, burada C - çevreler, D - çapının uzunluğu, R - yarıçapının uzunluğu Bulmak (çizgilerle sınırlanan düzlem çevreler) yarıçapı biliniyorsa S = π*R² formülünü, çapı biliniyorsa S = π*D²/4 formülünü kullanın.

Not

14 Mart'ın yirmi yıldan fazla bir süredir Pi Günü olduğunu biliyor muydunuz? Bu, şu anda birçok formülün, matematiksel ve fiziksel aksiyomun ilişkilendirildiği bu ilginç sayıya adanmış matematikçilerin resmi olmayan bir tatilidir. Bu tatil, bu günde (ABD tarih sisteminde 3.14) ünlü bilim adamı Einstein'ın doğduğunu fark eden Amerikalı Larry Shaw tarafından icat edildi.

Kaynaklar:

• Arşimet

Bazen bir dışbükey çokgen, tüm köşelerin köşeleri üzerinde olacak şekilde çizilebilir. Poligona göre böyle bir daire çevrelenmiş olarak adlandırılmalıdır. O merkez yazılı şeklin çevresi içinde olmak zorunda değildir, ancak açıklanan özelliklerin kullanılması çevreler, bu noktayı bulmak genellikle çok zor değildir.

İhtiyacın olacak

• Cetvel, kurşun kalem, iletki veya kare, pergel.

Talimat

Çevresini tarif etmek istediğiniz çokgen kağıt üzerinde çizilmişse, bulmak için merkez ve bir cetvel, kurşun kalem ve iletki veya kare için bir daire yeterlidir. Şeklin herhangi bir kenarının uzunluğunu ölçün, ortasını belirleyin ve çizimin bu yerine yardımcı bir nokta koyun. Bir kare veya bir iletki kullanarak, çokgenin içinde bu tarafa dik bir doğru parçası karşı kenarla kesişene kadar çizin.

Aynı işlemi çokgenin diğer herhangi bir tarafı ile yapın. Oluşturulan iki segmentin kesişimi istenen nokta olacaktır. Bu, açıklanan ana özelliğinden kaynaklanmaktadır. çevreler- o merkez herhangi bir kenarı olan dışbükey bir çokgende her zaman bunlara çizilen dik açıortayların kesişme noktasında bulunur.

Düzenli çokgenler için merkez ama yazılı çevrelerçok daha kolay olabilir. Örneğin, bu bir kare ise, iki köşegen çizin - kesişimleri merkez ohm yazılı çevreler. Herhangi bir çift sayıda kenarı olan bir çokgende, iki çift zıt köşeyi yardımcı köşelerle birleştirmek yeterlidir - merkez tarif çevreler kesiştikleri nokta ile örtüşmelidir. Bir dik üçgende, sorunu çözmek için şeklin en uzun kenarının ortasını belirlemeniz yeterlidir - hipotenüs.

Kural olarak, belirli bir çokgen için çevrelenmiş dairenin mümkün olup olmadığı koşullardan bilinmiyorsa, varsayılan nokta belirlendikten sonra merkez ve açıklanan yöntemlerden herhangi biriyle öğrenebilirsiniz. Bulunan nokta ile herhangi biri arasındaki mesafeyi pusulada bir kenara koyun, tahmini olarak ayarlayın. merkez çevreler ve bir daire çizin - her köşe bunun üzerinde olmalıdır çevreler. Durum böyle değilse, özelliklerden biri sağlanmaz ve verilen çokgenin etrafındaki bir daireyi tanımlar.

Çapın belirlenmesi sadece geometrik problemlerin çözümünde değil, aynı zamanda pratikte de yardımcı olabilir. Örneğin bir kavanozun boyun çapını bilmek, ona kapak seçmekte kesinlikle hata yapmayacaksınız. Aynı ifade daha büyük daireler için de geçerlidir.

Talimat

Bu nedenle, miktarların gösterimini girin. Kuyunun çapı d olsun, çevresi L olsun, n yaklaşık olarak 3.14'e eşit olan Pi sayısı olsun, R dairenin yarıçapı olsun. Çevresi (L) bilinmektedir. 628 santimetreye eşit olduğunu varsayalım.

Ardından, çapı (d) bulmak için çevre formülünü kullanın: L=2nR, burada R bilinmeyen bir değerdir, L=628 cm ve n=3.14. Şimdi bilinmeyen bir çarpan bulmak için kuralı kullanın: "Bir çarpan bulmak için, çarpımı bilinen bir çarpana bölmeniz gerekir." Çıkıyor: R \u003d L / 2p. Değerleri formülde yerine koyun: R=628/2x3.14. Çıkıyor: R=628/6,28, R=100 cm.

Çemberin yarıçapı (R=100 cm) bulunduktan sonra, aşağıdaki formülü kullanın: çemberin çapı (d), çemberin iki yarıçapına (2R) eşittir. Çıkıyor: d=2R.

Şimdi çapı bulmak için d \u003d 2R formülündeki değerleri değiştirin ve sonucu hesaplayın. Yarıçap (R) bilindiği için şu çıkıyor: d=2x100, d=200 cm.

Kaynaklar:

• dairenin çapı nasıl bulunur

Çevre ve çap birbiriyle ilişkili geometrik büyüklüklerdir. Bu, ilkinin herhangi bir ek veri olmadan ikincisine çevrilebileceği anlamına gelir. Birbirleriyle bağlantılı oldukları matematiksel sabit, π sayısıdır.

Talimat

Daire kağıt üzerinde bir görüntü olarak gösteriliyorsa ve çapını yaklaşık olarak belirlemek istiyorsanız, doğrudan ölçün. Merkezi çizimde gösteriliyorsa, içinden bir çizgi çizin. Merkez gösterilmiyorsa, bir pusula ile bulun. Bunu yapmak için 90 ve açıları olan bir kare kullanın. Çembere 90 derecelik bir açıyla her iki bacağı da dokunacak şekilde takın ve daire içine alın. Daha sonra elde edilen dik açıya karenin 45 derecelik bir açısını ekleyerek çizin. Çemberin merkezinden geçecek. Daha sonra, benzer şekilde, çember üzerinde başka bir yere ikinci bir dik açı ve açıortayı çizin. Merkezde kesişirler. Bu çapı ölçecektir.

Çapı ölçmek için, mümkün olan en ince sac malzemeden yapılmış bir cetvel veya bir terzi metresi kullanılması tercih edilir. Sadece kalın bir cetveliniz varsa, dairenin çapını bir pusula ile ölçün ve ardından çözümünü değiştirmeden grafik kağıdına aktarın.

Ayrıca problemin şartlarında sayısal verilerin yokluğunda ve sadece çizim ile bir eğrimetre kullanarak çevreyi ölçebilir ve ardından çapı hesaplayabilirsiniz. Eğri ölçeri kullanmak için, önce çarkı döndürerek işaretçiyi tam olarak sıfır bölmeye ayarlayın. Ardından daire üzerinde bir nokta işaretleyin ve tekerleğin üzerindeki vuruş bu noktayı gösterecek şekilde ölçeri tabakaya doğru bastırın. Tekerleği, vuruş tekrar bu noktanın üzerine gelene kadar daire çizgisi boyunca hareket ettirin. Açıklamaları okuyun. Kırık bir çizgi ile sınırlanacaklar. Bir daireye b tarafı olan normal bir n-gon çizilirse, böyle bir P şeklinin çevresi, b tarafının ürününe n: P \u003d b * n ile eşittir. b tarafı şu formülle belirlenebilir: b=2R*Sin (π/n), burada R, n-gon'un içine kaydedildiği dairenin yarıçapıdır.

Kenar sayısı arttıkça, yazılı çokgenin çevresi giderek L'ye yaklaşacaktır. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). L çevresi ile D çapı arasındaki ilişki sabittir. Yazılı çokgenin kenar sayısı olarak L / D \u003d n * Sin (π / n) oranı sonsuz olma eğilimindedir, "pi" olarak adlandırılan ve sonsuz bir ondalık kesir olarak ifade edilen sabit bir değer olan π sayısına yönelir. Bilgisayar teknolojisi kullanılmadan yapılan hesaplamalar için π=3.14 değeri alınır. Bir dairenin çevresi ve çapı şu formülle ilişkilidir: L= πD. Çapı hesaplamak için

Çevre ölçümü

1. Çevre. Bir daire, tüm noktaları dairenin merkezi olarak adlandırılan bir noktadan (O) eşit uzaklıkta olan kapalı düz eğri bir çizgidir (Şekil 27).

Daire bir pusula ile çizilir. Bunu yapmak için, pusulanın keskin ayağı merkeze yerleştirilir ve diğeri (kalemle) kurşun kalemin ucu tam bir daire çizene kadar ilkinin etrafında döndürülür. Merkezden daire üzerindeki herhangi bir noktaya olan mesafeye denir. yarıçap. Tanımdan, bir dairenin tüm yarıçaplarının birbirine eşit olduğu sonucu çıkar.

Dairenin herhangi iki noktasını birleştiren ve merkezinden geçen doğru parçasına (AB) denir. çap. Bir dairenin tüm çapları birbirine eşittir; çap iki yarıçapa eşittir.

Çemberin çevresi nasıl bulunur? Uygulamada, bazı durumlarda çevre doğrudan ölçümle bulunabilir. Bu, örneğin nispeten küçük nesnelerin (kova, cam vb.) çevresini ölçerken yapılabilir. Bunu yapmak için bir mezura, örgü veya kordon kullanabilirsiniz.

Matematikte, bir dairenin çevresini dolaylı olarak belirleme yöntemi kullanılır. Şimdi elde edeceğimiz hazır formüle göre hesaplamadan oluşur.

Birkaç büyük ve küçük yuvarlak nesne (madeni para, cam, kova, fıçı vb.) alır ve her birinin çevresini ve çapını ölçersek, her nesne için iki sayı elde ederiz (biri çevreyi ölçer, diğeri ise çevreyi ölçer). çapın uzunluğu). Doğal olarak, küçük nesneler için bu sayılar küçük olacak ve büyük nesneler için büyük olacaktır.

Bununla birlikte, bu durumların her birinde elde edilen iki sayının (çevre ve çap) oranını alırsak, dikkatli bir ölçümle hemen hemen aynı sayıyı bulacağız. Çevreyi harfle belirtin İle, harfin çapının uzunluğu D, o zaman ilişkileri şöyle görünecek CD. Gerçek ölçümlere her zaman kaçınılmaz yanlışlıklar eşlik eder. Ancak, belirtilen deneyi yaptıktan ve gerekli hesaplamaları yaptıktan sonra, ilişki için elde edeceğiz. CD yaklaşık olarak aşağıdaki sayılar: 3.13; 3.14; 3.15. Bu sayılar birbirinden çok az farklıdır.

Matematikte, teorik düşüncelerle, istenen oranın olduğu tespit edilmiştir. CD asla değişmez ve yaklaşık değeri on binde bir doğrulukla, sonsuz, periyodik olmayan bir kesre eşittir. 3,1416 . Bu, herhangi bir dairenin çapından aynı sayıda daha uzun olduğu anlamına gelir. Bu sayı genellikle Yunan harfiyle gösterilir. π (pi). Daha sonra çevrenin çapa oranı şu şekilde yazılır: CD = π . Bu sayıyı yalnızca yüzlerce ile sınırlayacağız, yani π = 3,14.

Bir dairenin çevresini belirlemek için bir formül yazalım.

Gibi CD= π , o zamanlar

C = πD

yani çevre sayının ürününe eşittir π çap için.

Görev 1.Çevreyi bulun ( İle) çapı ise yuvarlak bir odanın D= 5.5 m.

Yukarıdakileri dikkate alarak, bu sorunu çözmek için çapı 3,14 kat artırmalıyız:

5,5 3,14 = 17,27 (m).

Görev 2.Çevresi 125,6 cm olan bir tekerleğin yarıçapını bulun.

Bu sorun öncekinin tersidir. Tekerlek çapını bulun:

125.6: 3.14 = 40 (cm).

Şimdi tekerleğin yarıçapını bulalım:

40:2 = 20 (cm).

2. Bir dairenin alanı. Bir dairenin alanını belirlemek için, kağıda belirli bir yarıçapta bir daire çizebilir, şeffaf kareli kağıtla kaplayabilir ve ardından dairenin içindeki hücreleri sayabilir (Şek. 28).

Ancak bu yöntem birçok nedenden dolayı elverişsizdir. İlk olarak, dairenin konturu yakınında, boyutunu yargılamak zor olan bir dizi tamamlanmamış hücre elde edilir. İkincisi, büyük bir nesneyi bir kağıt yaprağıyla (yuvarlak çiçeklik, havuz, çeşme vb.) kapatamazsınız. Üçüncüsü, hücreleri saydıktan sonra, yine de benzer bir problemi çözmemize izin veren herhangi bir kural alamıyoruz. Bu nedenle, farklı yapalım. Daireyi bize tanıdık gelen bir şekille karşılaştıralım ve aşağıdaki gibi yapalım: kağıttan bir daire kesin, önce ikiye bölün, sonra her bir yarıyı tekrar yarıya, her çeyreği tekrar yarıya, vb. daireyi örneğin diş şeklinde 32 parçaya kesin (Şek. 29).

Daha sonra onları Şekil 30'daki gibi katlıyoruz yani önce 16 dişi testere şeklinde yerleştirip oluşan deliklere 15 dişi koyuyoruz ve son olarak yarıçap boyunca kalan son dişi ortadan ikiye kesip yapıştırıyoruz. bir kısım sola, diğeri - sağda. Sonra dikdörtgene benzeyen bir şekil elde edersiniz.

Bu şeklin uzunluğu (taban) yaklaşık olarak yarım dairenin uzunluğuna eşittir ve yüksekliği yaklaşık olarak yarıçapa eşittir. Daha sonra böyle bir şeklin alanı, yarım dairenin uzunluğunu ifade eden sayılarla yarıçapın uzunluğunu çarparak bulunabilir. Bir dairenin alanını harfle belirtirsek S, mektubun çevresi İle, yarıçap harfi r, sonra bir dairenin alanını belirlemek için bir formül yazabiliriz:

hangi böyle okur: Bir dairenin alanı, yarım dairenin uzunluğu ile yarıçapın çarpımına eşittir.

Görev. Yarıçapı 4 cm olan bir dairenin alanını bulun, önce çevresini, sonra yarım dairenin uzunluğunu bulun ve sonra bunu yarıçapla çarpın.

1) Çevre İle = π D= 3,14 8 = 25,12 (cm).

2) Yarım daire uzunluğu C / 2 \u003d 25.12: 2 \u003d 12.56 (cm).

3) Daire alanı S = C / 2 r\u003d 12.56 4 \u003d 50.24 (sq. cm).

§ 118. Silindirin yüzeyi ve hacmi.

Görev 1. Taban çapı 20,6 cm ve yüksekliği 30,5 cm olan bir silindirin toplam yüzey alanını bulun.

Silindirin şekli (Şek. 31): bir kova, bir bardak (yönlü değil), bir tencere ve diğer birçok parça.

Bir silindirin tam yüzeyi (dikdörtgen paralel borunun tam yüzeyi gibi) yan yüzeyden ve iki tabanın alanlarından oluşur (Şekil 32).

Ne hakkında konuştuğumuzu görselleştirmek için, kağıttan dikkatlice bir silindir modeli yapmanız gerekir. Bu modelden iki taban yani iki daire çıkarırsak ve yan yüzeyi uzunlamasına kesip açarsak, silindirin tam yüzeyinin nasıl hesaplanacağı çok açık olacaktır. Yan yüzey, tabanı dairenin çevresine eşit olan bir dikdörtgene açılacaktır. Bu nedenle, sorunun çözümü şöyle görünecektir:

1) Çevre: 20.6 3.14 = 64.684 (cm).

2) Yan yüzey alanı: 64.684 30.5= 1972.862(sq.cm).

3) Bir tabanın alanı: 32.342 10.3 \u003d 333.1226 (sq. cm).

4) Silindirin tam yüzeyi:

1972.862 + 333.1226 + 333.1226 = 2639.1072 (cm²) ≈ 2639 (cm²).

Görev 2. Taban çapı 60 cm ve yüksekliği 110 cm olan silindir şeklindeki demir bir fıçının hacmini bulun.

Bir silindirin hacmini hesaplamak için, dikdörtgen paralel borunun hacmini nasıl hesapladığımızı hatırlamanız gerekir (§ 61'i okumak yararlıdır).

Hacmin ölçü birimi santimetreküptür. İlk önce taban alanına kaç santimetreküp yerleştirilebileceğini bulmanız ve ardından bulunan sayıyı yükseklikle çarpmanız gerekir.

Taban alanına kaç santimetreküp sığabileceğini bulmak için silindirin taban alanını hesaplamanız gerekir. Taban daire olduğu için dairenin alanını bulmanız gerekir. Ardından, hacmi belirlemek için yükseklikle çarpın. Sorunun çözümü şuna benziyor:

1) Çevre: 60 3.14 = 188.4 (cm).

2) Bir dairenin alanı: 94.230 = 2826 (sq. cm).

3) Silindir hacmi: 2826 110 \u003d 310 860 (cc).

Cevap. Namlu hacmi 310.86 metreküptür. dm.

Bir silindirin hacmini harfle gösterirsek V, taban alanı S, silindir yüksekliği H, sonra bir silindirin hacmini belirlemek için bir formül yazabilirsiniz:

V = SH

hangi böyle okur: Silindirin hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

§ 119. Bir dairenin çevresini çapa göre hesaplama tabloları.

Çeşitli üretim problemlerini çözerken genellikle çevreyi hesaplamak gerekir. Kendisine gösterilen çaplara göre yuvarlak parçalar üreten bir işçi düşünün. Her seferinde çapı bilerek çevreyi hesaplamalıdır. Zaman kazanmak ve hatalara karşı kendini güvenceye almak için çapları ve ilgili çevreleri gösteren hazır tablolara yöneliyor.

İşte bu tabloların küçük bir kısmı ve nasıl kullanılacağını anlatıyor.

Dairenin çapının 5 m olduğunu bilelim Tabloda harfin altındaki dikey sütunda arıyoruz D 5 numara. Bu, çapın uzunluğudur. Bu sayının yanında ("Çevre" adlı sütunda sağda) 15.708 (m) sayısını göreceğiz. Tam olarak aynı şekilde, eğer bulursak D\u003d 10 cm, ardından çevre 31.416 cm'dir.

Aynı tablolar ters hesaplamalar yapmak için de kullanılabilir. Çevre biliniyorsa, ilgili çapı tabloda bulabilirsiniz. Çevresi yaklaşık 34,56 cm olsun, tablodan verilen sayıya en yakın sayıyı bulalım. Bu 34.558 (0.002 fark) olacaktır. Böyle bir çevreye karşılık gelen çap yaklaşık 11 cm'dir.

Burada bahsedilen tablolar çeşitli referans kitaplarında mevcuttur. Özellikle, V. M. Bradis'in "Dört basamaklı matematiksel tablolar" kitabında bulunabilirler. ve S. A. Ponomarev ve N. I. Syrnev'in aritmetik üzerine problem kitabında.