Hayattaki matematiksel kalıplar. Yaşayan doğanın matematiksel kalıpları

Etrafınıza dikkatlice bakarsanız matematiğin insan hayatındaki rolü açıkça ortaya çıkar. Bilgisayarlar, modern telefonlar ve diğer ekipmanlar her gün bize eşlik ediyor ve büyük bilimin yasaları ve hesaplamaları kullanılmadan bunların yaratılması imkansızdır. Ancak matematiğin toplumdaki rolü bu tür uygulamalarla sınırlı değildir. Aksi takdirde örneğin birçok sanatçı, okulda problem çözmeye ve teoremleri ispatlamaya ayrılan zamanın boşa gittiğini vicdan rahatlığıyla söyleyebilirdi. Ancak durum böyle değil. Matematiğin neden gerekli olduğunu anlamaya çalışalım.

Temel

Öncelikle matematiğin gerçekte ne olduğunu anlamaya değer. Eski Yunancadan tercüme edilen adı "bilim", "çalışma" anlamına gelir. Matematik, nesnelerin şekillerini sayma, ölçme ve açıklama işlemlerine dayanır. yapı, düzen ve ilişkilere ilişkin bilgilerin dayandığı bilgidir. Onlar bilimin özüdür. Gerçek nesnelerin özellikleri burada idealize edilmiş ve resmi bir dille yazılmıştır. Bu şekilde matematiksel nesnelere dönüştürülürler. İdealize edilmiş bazı özellikler aksiyomlara (kanıt gerektirmeyen ifadeler) dönüşür. Daha sonra bu diğer gerçek özelliklerden türetilir. Gerçek bir mevcut nesne bu şekilde oluşur.

İki bölüm

Matematik birbirini tamamlayan iki bölüme ayrılabilir. Teorik bilim, matematik içi yapıların derinlemesine analiziyle ilgilenir. Uygulamalı bilim, modellerini diğer disiplinlere sağlar. Fizik, kimya ve astronomi, mühendislik sistemleri, tahmin ve mantık sürekli olarak matematik aygıtlarını kullanır. Onun yardımıyla keşifler yapılır, modeller keşfedilir ve olaylar tahmin edilir. Bu anlamda matematiğin insan yaşamındaki önemi göz ardı edilemez.

Mesleki faaliyetin temeli

Temel matematik kanunları bilgisi ve bunları kullanma yeteneği olmadan, modern dünyada hemen hemen her mesleği öğrenmek çok zor hale geliyor. Sayılarla ve işlemlerle yalnızca finansörler ve muhasebeciler ilgilenmez. Böyle bir bilgi olmadan, bir gökbilimci yıldıza olan mesafeyi ve onu gözlemlemek için en iyi zamanı belirleyemeyecek ve bir moleküler biyolog da gen mutasyonuyla nasıl başa çıkılacağını anlayamayacaktır. Bir mühendis çalışan bir alarm veya video gözetim sistemi tasarlamayacaktır ve bir programcı işletim sistemine bir yaklaşım bulamayacaktır. Bunların ve diğer mesleklerin çoğu matematik olmadan var olamaz.

Beşeri bilimler

Ancak örneğin kendini resme veya edebiyata adamış bir kişinin hayatında matematiğin rolü o kadar belirgin değildir. Ancak yine de bilimlerin kraliçesinin izleri beşeri bilimlerde de mevcut.

Görünüşe göre şiir saf romantizm ve ilhamdır, analiz ve hesaplamaya yer yoktur. Ancak amfibrakların şiirsel boyutlarını hatırlamak yeterlidir) ve bunda matematiğin de parmağı olduğu anlaşılır. Sözlü veya müzikal ritim de bu bilimin bilgisi kullanılarak tanımlanır ve hesaplanır.

Bir yazar veya psikolog için bilginin güvenilirliği, münferit bir olay, genelleme vb. kavramlar genellikle önemlidir. Hepsi ya doğrudan matematikseldir ya da bilimlerin kraliçesi tarafından geliştirilen yasalara dayanarak inşa edilmiş ve onun sayesinde ve onun kurallarına göre var olmuştur.

Psikoloji, beşeri bilimler ile doğa bilimlerinin kesiştiği noktada doğmuştur. Tüm yönleri, hatta yalnızca görüntülerle çalışanlar bile gözleme, veri analizine, bunların genelleştirilmesine ve doğrulanmasına dayanır. Burada modelleme, tahmin ve istatistiksel yöntemler kullanılır.

Okuldan

Matematik sadece bir mesleğe hakim olma ve edinilen bilgiyi uygulama sürecinde değil hayatımızda mevcuttur. Öyle ya da böyle bilimin kraliçesini neredeyse her an kullanıyoruz. Bu nedenle matematik oldukça erken öğretilmeye başlanıyor. Basit ve karmaşık problemleri çözerek çocuk sadece toplamayı, çıkarmayı ve çarpmayı öğrenmez. Yavaş yavaş, temellerden başlayarak modern dünyanın yapısını kavrıyor. Ve teknik ilerlemeden veya bir mağazadaki değişikliği kontrol etme yeteneğinden bahsetmiyoruz. Matematik, düşünmenin belirli özelliklerini şekillendirir ve dünyaya karşı tutumumuzu etkiler.

En basiti, en zoru, en önemlisi

Muhtemelen herkes en az bir akşam ödev yaparken, umutsuzca "Matematiğin ne işe yaradığını anlamıyorum!" diye bağırmak istediklerini, nefret edilen karmaşık ve sıkıcı problemleri bir kenara bırakıp arkadaşlarıyla bahçeye koştuklarını hatırlayacaktır. Okulda ve hatta daha sonra üniversitede, ebeveynlerin ve öğretmenlerin "daha sonra işe yarayacağına" dair güvenceleri sinir bozucu saçmalık gibi görünüyor. Ancak haklı oldukları ortaya çıktı.

Size sebep-sonuç ilişkilerini bulmayı öğreten matematik ve ardından fizik, kötü şöhretli "bacakların nereden büyüdüğünü" arama alışkanlığını yerleştiriyor. Dikkat, konsantrasyon, irade - aynı zamanda çok nefret edilen sorunları çözme sürecinde de eğitim alırlar. Daha da ileri gidersek, gerçeklerden sonuçlar çıkarma, gelecekteki olayları tahmin etme ve aynısını yapma yeteneği matematiksel teorilerin incelenmesi sırasında ortaya konur. Modelleme, soyutlama, tümdengelim ve tümevarım hepsi bilimdir ve aynı zamanda beynin bilgiyle çalışma yollarıdır.

Ve yine psikoloji

Çocuğa yetişkinlerin her şeye kadir olmadıklarını ve her şeyi bilmediklerini gösteren şey genellikle matematiktir. Bu, anne veya babadan bir sorunu çözmeye yardım etmeleri istendiğinde omuz silkip bunu yapamayacaklarını beyan etmeleri durumunda olur. Ve çocuk cevabı kendisi aramaya, hata yapmaya ve tekrar bakmaya zorlanır. Aynı zamanda ebeveynlerin yardım etmeyi reddetmeleri de olur. “Kendin yapmalısın” diyorlar. Ve bunu doğru yapıyorlar. Saatlerce süren denemelerden sonra, çocuk sadece tamamlanmış ödevi değil, aynı zamanda bağımsız olarak çözüm bulma, hataları tespit etme ve düzeltme yeteneğini de kazanacaktır. Ve bu aynı zamanda matematiğin insan yaşamındaki rolünü de yatmaktadır.

Elbette bağımsızlık, karar verme yeteneği, onlardan sorumlu olma yeteneği ve hata korkusunun olmaması sadece cebir ve geometri derslerinde geliştirilmez. Ancak bu disiplinler süreçte önemli bir rol oynamaktadır. Matematik kararlılık ve etkinlik gibi nitelikleri geliştirir. Doğru, çoğu şey öğretmene bağlı. Materyalin yanlış sunumu, aşırı titizlik ve baskı, tam tersine, zorluk ve hata korkusunu (önce sınıfta, sonra hayatta), kişinin fikrini ifade etme konusundaki isteksizliğini ve pasifliğini aşılayabilir.

Günlük hayatta matematik

Yetişkinler üniversiteden veya kolejden mezun olduktan sonra her gün matematik problemlerini çözmeyi bırakmıyorlar. Tren nasıl yakalanır? Bir kilo et on kişilik akşam yemeği pişirebilir mi? Yemeğin içinde kaç kalori var? Bir ampul ne kadar dayanır? Bunlar ve diğer birçok soru doğrudan Bilim Kraliçesi ile ilgilidir ve onsuz çözülemez. Matematiğin neredeyse sürekli olarak hayatımızda görünmez bir şekilde mevcut olduğu ortaya çıktı. Ve çoğu zaman bunu fark etmiyoruz bile.

Matematik toplum ve birey yaşamında çok sayıda alanı etkilemektedir. Bazı meslekler onsuz düşünülemez, birçoğu yalnızca kendi bireysel alanlarının gelişmesi sayesinde ortaya çıktı. Modern teknik ilerleme, matematiksel aparatların karmaşıklığı ve gelişimi ile yakından ilgilidir. İnsanlar bilimin kraliçesini tanımasaydı bilgisayarlar, telefonlar, uçaklar ve uzay araçları asla ortaya çıkmazdı. Ancak matematiğin insan yaşamındaki rolü bununla bitmiyor. Bilim, çocuğun dünyaya hakim olmasına yardımcı olur, ona dünyayla daha etkili bir şekilde etkileşime girmeyi öğretir ve düşünme biçimini ve bireysel karakter özelliklerini şekillendirir. Ancak matematik tek başına bu tür görevlerin üstesinden gelemez. Yukarıda da belirttiğimiz gibi materyalin sunumu ve çocuğu dünyaya tanıtan kişinin kişilik özellikleri büyük rol oynamaktadır.

Sonuç olarak matematiğin genel gelişim kalıplarını kısaca karakterize etmeye çalışacağız.

1. Matematik herhangi bir tarihsel dönemin, herhangi bir halkın eseri değildir; birçok çağın ürünü, birçok neslin çalışmasının ürünüdür. İlk kavramları ve hükümleri ortaya çıktı

gördüğümüz gibi, eski zamanlarda ve zaten iki bin yıldan fazla bir süre önce uyumlu bir sisteme getirildiler. Matematiğin tüm dönüşümlerine rağmen, kavramları ve sonuçları, örneğin aritmetik kuralları veya Pisagor teoremi gibi bir çağdan diğerine geçerek korunur.

Yeni teoriler önceki başarıları bir araya getirerek bunları açıklığa kavuşturur, tamamlar ve genelleştirir.

Aynı zamanda, yukarıda verilen matematik tarihinin kısa özetinden de anlaşılacağı üzere, gelişimi yalnızca yeni teoremlerin basit bir birikimine indirgenemez, aynı zamanda önemli, niteliksel değişiklikleri de içerir. Buna göre, matematiğin gelişimi, aralarındaki geçişler, bu bilimin konusu veya yapısındaki bu tür temel değişikliklerle kesin olarak gösterilen bir dizi döneme bölünmüştür.

Matematik, gerçekliğin niceliksel ilişkilerinin tüm yeni alanlarını kendi alanına dahil eder. Aynı zamanda, matematiğin en önemli konusu, bu kelimelerin basit, en doğrudan anlamıyla mekansal formlar ve niceliksel ilişkiler olmuştur ve olmaya devam etmektedir ve yeni bağlantıların ve ilişkilerin matematiksel olarak anlaşılması, kaçınılmaz olarak, temel olarak ve bunlarla bağlantılı olarak ortaya çıkar. halihazırda kurulmuş niceliksel ve mekansal bilimsel kavramlar sistemi.

Son olarak, sonuçların matematiğin kendi içinde birikmesi zorunlu olarak hem yeni soyutlama düzeylerine, yeni genelleştirici kavramlara yükselişi, hem de temellerin ve başlangıç ​​kavramlarının analizinde derinleşmeyi gerektirir.

Tıpkı bir meşe ağacının muazzam büyümesiyle eski dallarını yeni katmanlarla kalınlaştırması, yeni dallar atması, yukarıya doğru uzanması ve kökleri aşağıya doğru derinleşmesi gibi, matematik de gelişiminde yeni malzemeleri önceden kurulmuş alanlarında biriktirir, yeni yönler oluşturur, yükselir. soyutlamanın yeni doruklarına çıkıyor ve temellerinin derinliklerine iniyor.

2. Matematiğin konusu, gerçekliğin gerçek biçimleri ve ilişkileridir, ancak Engels'in dediği gibi, bu biçimleri ve ilişkileri saf biçimleriyle incelemek için, bunları içeriklerinden tamamen ayırmak, bu ikincisini bir kenara bırakmak gerekir. kayıtsız bir şey. Ancak formlar ve ilişkiler içeriğin dışında var olamaz; matematiksel formlar ve ilişkiler kesinlikle içeriğe kayıtsız kalamaz. Dolayısıyla özü itibariyle böyle bir ayrıma ulaşma çabasında olan matematik, imkansızı başarma çabasındadır. Bu, matematiğin özündeki temel bir çelişkidir. Bilişin genel çelişkisinin matematiğe özgü bir tezahürüdür. Gerçekliğin her olgusunun, her yönünün, her anının düşünce yoluyla yansıması onu kabalaştırır, basitleştirir, onu doğanın genel bağlantısından koparır. Uzayın özelliklerini inceleyen insanlar onun Öklid geometrisine sahip olduğunu tespit ettiğinde, bu olağanüstü bir durumdu.

Önemli bir biliş eylemiydi ama aynı zamanda bir yanılsamayı da içeriyordu: Uzayın gerçek özellikleri [basitleştirilmiş, şematik bir şekilde, maddeden soyutlanmış olarak alınmıştı. Ancak bu olmadan geometri olmazdı ve yeni geometrik teoriler bu soyutlama temelinde (hem kendi iç araştırmalarından hem de matematiksel sonuçların diğer bilimlerden gelen yeni verilerle karşılaştırılmasından) doğup güçlendi.

Bu çelişkinin, gerçeğe giderek daha yakın olan biliş aşamalarında sürekli çözülmesi ve onarılması, biliş gelişiminin özünü oluşturur. Bu durumda belirleyici faktör elbette bilginin olumlu içeriği, içindeki mutlak hakikat unsurudur. Bilgi yükselen bir çizgi boyunca hareket eder ve zamanı işaretlemez, sadece hatayla karışır. Bilginin hareketi, onun yanlışlığının ve sınırlamalarının sürekli olarak aşılmasıdır.

Bu ana çelişki başkalarını da gerektirir. Bunu kesikli ve sürekli karşıtlıkları örneğinde gördük. (Doğada aralarında mutlak bir boşluk yoktur ve matematikteki ayrılıkları kaçınılmaz olarak gerçeği daha derinlemesine yansıtan ve aynı zamanda mevcut matematik teorisinin iç kusurlarının üstesinden gelen yeni kavramlar yaratma ihtiyacını doğurmuştur). Aynı şekilde sonlu ile sonsuzun, soyut ile somutun, biçim ile içeriğin çelişkileri de matematiğin temel çelişkisinin tezahürleri olarak karşımıza çıkar. Ancak bunun belirleyici tezahürü, somuttan soyutlanan, soyut kavramların çemberi içinde dönen matematiğin bu nedenle deney ve uygulamadan ayrılmasıdır ve aynı zamanda yalnızca bir bilimdir (yani bilişsel değere sahiptir). pratikte saf değil uygulamalı matematik olduğu ortaya çıktı. Bir bakıma Hegelci dille ifade edersek, saf matematik, saf matematik olarak kendisini sürekli "olumsuzlar"; bu olmadan bilimsel bir öneme sahip olamaz, gelişemez, kendi içinde kaçınılmaz olarak ortaya çıkan zorlukların üstesinden gelemez.

Resmi formlarında, matematiksel teoriler, belirli sonuçlara yönelik bazı şemalar olarak gerçek içeriğe karşıdır. Bu durumda matematik, doğa bilimlerinin niceliksel yasalarını formüle etmek için bir yöntem, teorilerini geliştirmek için bir aygıt, doğa bilimleri ve teknolojideki sorunları çözmenin bir aracı olarak hareket eder. Saf matematiğin şu andaki önemi öncelikle matematiksel yöntemde yatmaktadır. Ve nasıl her yöntem kendi başına değil, uygulandığı içerikle bağlantılı olarak yalnızca uygulamaları temelinde var olup gelişirse, matematik de uygulamalar olmadan var olamaz ve gelişemez. Burada yine karşıtların birliği ortaya çıkıyor: genel yöntem, onu çözmenin bir yolu olarak belirli bir soruna karşı çıkıyor, ancak kendisi belirli bir malzemenin genelleştirilmesinden ortaya çıkıyor ve var oluyor.

yalnızca belirli sorunların çözümünde gelişir ve gerekçesini bulur.

3. Sosyal uygulama matematiğin gelişiminde üç açıdan belirleyici bir rol oynar. Matematiğe yeni problemler getirir, onun şu ya da bu yönde gelişimini teşvik eder ve sonuçlarının doğruluğu için bir kriter sağlar.

Analizin ortaya çıkışında bu son derece açık bir şekilde görülmektedir. Birincisi, değişkenlerin bağımlılıklarını genel biçimde inceleme sorununu ortaya çıkaran mekaniğin ve teknolojinin gelişmesiydi. Diferansiyel ve integral hesabına yaklaşan Arşimet, statik problemler çerçevesinde kalırken, modern zamanlarda değişken ve fonksiyon kavramlarını doğuran ve analizin formülasyonunu zorlayan hareketin incelenmesiydi. Newton buna karşılık gelen bir matematiksel yöntem geliştirmeden mekaniği geliştiremezdi.

İkincisi, tüm bu sorunların formülasyonuna ve çözümüne yol açan şey tam olarak toplumsal üretimin ihtiyaçlarıydı. Ne eski ne de ortaçağ toplumunda bu teşvikler mevcut değildi. Son olarak, matematiksel analizin başlangıcında, sonuçlarının gerekçesini tam olarak uygulamalarda bulması çok karakteristiktir. Temel kavramlarının (değişken, fonksiyon, limit) daha sonra verilen katı tanımları olmadan gelişebilmesinin tek nedeni budur. Analizin doğruluğu mekanik, fizik ve teknolojideki uygulamalarla belirlendi.

Yukarıdakiler matematiğin gelişiminin tüm dönemleri için geçerlidir. 17. yüzyıldan beri. Gelişimi üzerindeki en doğrudan etki, mekanikle birlikte teorik fizik ve yeni teknolojinin sorunları tarafından gerçekleştirilir. Süreklilik mekaniği ve ardından alan teorisi (ısıl iletkenlik, elektrik, manyetizma, yerçekimi alanı) kısmi diferansiyel denklemler teorisinin gelişimine rehberlik eder. Geçen yüzyılın sonlarından itibaren genel olarak moleküler teorinin ve istatistiksel fiziğin gelişimi, olasılık teorisinin, özellikle de rastgele süreçler teorisinin gelişmesinde önemli bir teşvik görevi gördü. Görelilik teorisi, analitik yöntemleri ve genellemeleriyle Riemann geometrisinin gelişiminde belirleyici bir rol oynadı.

Şu anda, fonksiyonel analiz vb. gibi yeni matematik teorilerinin gelişimi, kuantum mekaniği ve elektrodinamik sorunları, bilgisayar teknolojisi sorunları, fizik ve teknolojinin istatistiksel sorunları vb. tarafından teşvik edilmektedir. Fizik ve teknoloji yalnızca Matematik problemlerine yönelik yeni zorluklar, onu yeni araştırma konularına doğru iter, aynı zamanda Riemann geometrisinde olduğu gibi başlangıçta büyük ölçüde kendi içinde gelişen matematik dallarının onlar için gerekli gelişimini de uyandırır. Kısacası, bilimin yoğun gelişimi için sadece yeni sorunların çözümüne yaklaşması değil, aynı zamanda onları çözme ihtiyacının da empoze edilmesi gerekir.

Toplumun kalkınma ihtiyaçları. Matematikte son zamanlarda pek çok teori ortaya çıkmıştır, ancak bunlardan yalnızca doğa bilimleri ve teknolojide uygulamalarını bulan veya bu tür uygulamalara sahip teorilerin önemli genellemelerinde rol oynayanlar geliştirilmiş ve bilime sıkı bir şekilde girmiştir. Aynı zamanda, örneğin önemli uygulamalar bulamayan bazı rafine geometrik teoriler (Desargue'ci olmayan, Arşimet olmayan geometriler) gibi diğer teoriler hareketsiz kalır.

Matematiksel sonuçların doğruluğu, nihai temelini genel tanımlarda ve aksiyomlarda değil, kanıtların biçimsel kesinliğinde değil, gerçek uygulamalarda, yani nihai olarak pratikte bulur.

Genel olarak matematiğin gelişimi, öncelikle konusunun mantığının, matematiğin kendi iç mantığına yansıyan etkileşiminin, üretimin etkisinin ve doğa bilimleriyle bağlantıların sonucu olarak anlaşılmalıdır. Bu farklılık, matematiğin temel içerik ve biçimlerindeki önemli değişiklikleri de içeren, karşıtlar arasındaki karmaşık mücadele yollarını takip etmektedir. İçerik açısından matematiğin gelişimi konusu tarafından belirlenir, ancak esas olarak ve nihai olarak üretimin ihtiyaçları tarafından teşvik edilir. Bu, matematiğin gelişiminin temel modelidir.

Elbette sadece temel kalıptan bahsettiğimizi ve genel anlamda matematik ile üretim arasındaki bağlantının karmaşık olduğunu unutmamalıyız. Yukarıda söylenenlerden, herhangi bir matematik teorisinin ortaya çıkışını doğrudan bir “üretim düzeni” ile meşrulaştırmaya çalışmanın saflık olacağı açıktır. Dahası, matematik, herhangi bir bilim gibi, göreceli bağımsızlığa, kendi iç mantığına sahiptir ve vurguladığımız gibi nesnel mantığı, yani konusunun düzenliliğini yansıtır.

4. Matematik her zaman yalnızca toplumsal üretimin değil, genel olarak tüm toplumsal koşulların en önemli etkisini yaşamıştır. Antik Yunan'ın yükseliş dönemindeki parlak ilerlemesi, Rönesans döneminde İtalya'da cebirin başarısı, İngiliz Devrimi'ni takip eden dönemde analizin gelişimi, Fransız Devrimi'ne komşu dönemde Fransa'da matematiğin başarısı - tüm bunlar, matematiğin ilerlemesinin toplumun genel teknik, kültürel, politik ilerlemesi ile ayrılmaz bağlantısını ikna edici bir şekilde göstermektedir.

Rusya'da matematiğin gelişiminde de bu açıkça görülmektedir. Lobaçevski, Ostrogradski ve Çebyşev'den gelen bağımsız bir Rus matematik okulunun oluşumu, bir bütün olarak Rus toplumunun ilerlemesinden ayrılamaz. Lobaçevski'nin zamanı Puşkin'in zamanıdır,

Glinka, Decembristlerin zamanı ve matematiğin gelişmesi genel yükselişin unsurlarından biriydi.

Büyük Ekim Sosyalist Devrimi'nden sonraki dönemde toplumsal gelişmenin etkisi daha da ikna edicidir; temel öneme sahip çalışmalar birbiri ardına birçok yönde inanılmaz bir hızla ortaya çıktı: küme teorisi, topoloji, sayı teorisi, olasılık teorisi, olasılık teorisi. diferansiyel denklemler, fonksiyonel analiz, cebir, geometri.

Son olarak matematik her zaman ideolojiden önemli ölçüde etkilenmiştir ve etkilenmeye devam etmektedir. Her bilimde olduğu gibi matematiğin nesnel içeriği matematikçiler ve filozoflar tarafından şu veya bu ideoloji çerçevesinde algılanır ve yorumlanır.

Kısacası, bilimin nesnel içeriği her zaman şu ya da bu ideolojik biçime uyar; her bilimde olduğu gibi matematikte de bu diyalektik karşıtların - nesnel içerik ve ideolojik biçimlerin - birliği ve mücadelesi onun gelişiminde önemli rol oynar.

Bilimin nesnel içeriğine tekabül eden materyalizm ile bu içeriğe aykırı olan ve anlayışı çarpıtan idealizm arasındaki mücadele, tüm matematik tarihi boyunca devam etmektedir. Bu mücadele, Pisagor, Sokrates ve Platon'un idealizminin, Thales, Demokritos ve Yunan matematiğini yaratan diğer filozofların materyalizmine karşı çıktığı antik Yunanistan'da açıkça görülmüştür. Köle sisteminin gelişmesiyle birlikte toplumun seçkinleri, alt sınıfın payına düşeni düşünerek üretime katılmaktan uzaklaştı ve bu, "saf" bilimin uygulamadan ayrılmasına yol açtı. Yalnızca tamamen teorik geometri, gerçek bir filozofun dikkatine değer olarak kabul edildi. Platon'un, bazı mekanik eğriler ve hatta konik kesitler üzerine yeni ortaya çıkan çalışmaların, "bizi ebedi ve maddi olmayan fikirlerle iletişime sokmadıkları" ve "kaba bir bilimin araçlarının kullanımına ihtiyaç duydukları" için geometrinin sınırlarının dışında kaldığını düşünmesi karakteristiktir. zanaat."

Matematikte materyalizmin idealizme karşı mücadelesinin çarpıcı bir örneği Kantçılığın idealist görüşlerine karşı materyalist matematik anlayışını ortaya koyan ve savunan Lobaçevski'nin faaliyetidir.

Rus matematik okulu genel olarak materyalist bir gelenekle karakterize edilir. Böylece Chebyshev, uygulamanın belirleyici önemini açıkça vurguladı ve Lyapunov, Rus matematik okulunun tarzını şu dikkat çekici sözlerle ifade etti: “Uygulama açısından özellikle önemli olan ve aynı zamanda özel çözümler sunan soruların ayrıntılı gelişimi. Yeni yöntemlerin icat edilmesini ve bilimin ilkelerine yükselmeyi gerektiren teorik zorluklar, ardından bulguların genelleştirilmesi ve böylece az çok genel bir teori yaratılması." Genellemeler ve soyutlamalar kendi başlarına değil, belirli materyallerle bağlantılıdır.

teoremler ve teoriler kendi başlarına değil, bilimin genel bağlantısı içinde, sonuçta uygulamaya yol açar - aslında önemli ve umut verici olduğu ortaya çıkan şey budur.

Bunlar aynı zamanda Gauss ve Riemann gibi büyük bilim adamlarının da tutkularıydı.

Ancak Avrupa'da kapitalizmin gelişmesiyle birlikte 16. - 19. yüzyıl başlarında yükselen burjuvazinin ileri ideolojisini yansıtan materyalist görüşlerin yerini idealist görüşler almaya başladı. Örneğin Cantor (1846-1918), sonsuz kümeler teorisini oluştururken, doğrudan Tanrı'ya atıfta bulunarak, sonsuz kümelerin ilahi akılda mutlak varlığa sahip olduğu ruhuyla konuşuyordu. 19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın başlarındaki en büyük Fransız matematikçi. Poincaré, matematiğin deneyim çeşitliliğini tanımlama kolaylığı için benimsenen geleneksel anlaşmaların bir şeması olduğunu öne süren idealist "gelenekselcilik" kavramını öne sürdü. Böylece, Poincaré'ye göre, Öklid geometrisinin aksiyomları koşullu anlaşmalardan başka bir şey değildir ve anlamları, gerçeklikle uygunlukları değil, uygunluk ve basitlik tarafından belirlenir. Bu nedenle Poincaré, örneğin fizikte Öklid geometrisi yerine ışığın doğrusal yayılımı yasasını terk etmeyi tercih edeceklerini söyledi. Bu bakış açısı, Öklid geometrisinin tüm "basitliğine" ve "uygunluğuna" rağmen, Lobaçevski ve Riemann'ın materyalist fikirleriyle tam bir uyum içinde olan görelilik teorisinin gelişmesiyle çürütüldü. uzayın geometrisi Öklid geometrisinden farklıdır.

Kümeler teorisinde ortaya çıkan zorluklar ve matematiğin temel kavramlarını analiz etme ihtiyacı nedeniyle 20. yüzyılın başlarında matematikçiler arasında popülerlik kazanmıştır. farklı akımlar ortaya çıktı. Matematiğin içeriğini anlamada birlik kayboldu; farklı matematikçiler, daha önce olduğu gibi, yalnızca bilimin genel temellerini farklı şekilde görmeye başlamakla kalmadı, aynı zamanda bireysel spesifik sonuçların ve kanıtların anlam ve önemini de farklı şekilde değerlendirmeye başladı. Kimisine anlamlı ve anlamlı gelen sonuçlar, kimisine göre anlamsız ve önemsiz ilan edildi. İdealist “mantıkçılık”, “sezgicilik”, “biçimcilik” vb. hareketler ortaya çıktı.

Lojistikçiler tüm matematiğin mantık kavramlarından çıkarılabileceğini iddia ederler. Sezgiciler matematiğin kaynağını sezgide görürler ve yalnızca sezgisel olarak algılanana anlam verirler. Bu nedenle özellikle Cantor'un sonsuz kümeler teorisinin önemini tamamen inkar ediyorlar. Dahası, sezgiciler bu tür ifadelerin bile basit anlamını inkar ediyorlar

Her cebirsel derece denkleminin kökleri olduğunu söyleyen bir teorem. Onlar için bu ifade, kökleri hesaplamak için bir yöntem belirlenene kadar boştur. Bu nedenle, matematiğin nesnel anlamının tamamen reddedilmesi, sezgicilerin matematiğin başarılarının önemli bir bölümünü "anlamdan yoksun" olarak gözden düşürmelerine yol açtı. Bunların en aşırısı, matematikçi sayısı kadar matematikçinin de olduğunu iddia edecek kadar ileri gitti.

Yüzyılımızın başındaki en büyük matematikçi D. Hilbert, matematiği bu tür saldırılardan kurtarmak için kendi yöntemiyle bir girişimde bulundu. Fikrinin özü, matematiksel teorileri, önceden belirlenmiş kurallara göre semboller üzerinde tamamen resmi işlemlere indirgemekti. Hesaplama şuydu: Tamamen resmi bir yaklaşımla tüm zorluklar ortadan kalkacaktı çünkü matematiğin konusu semboller ve anlamlarıyla hiçbir ilgisi olmayan onlarla çalışma kuralları olacaktı. Bu matematikte formalizmin ortamıdır. Sezgici Brouwer'e göre formalist için matematiğin hakikati kağıt üzerindedir, sezgici için ise matematikçinin kafasındadır.

Ancak matematik için her ikisinin de hatalı olduğunu ve aynı zamanda kağıt üzerinde yazılanların ve matematikçinin düşündüklerinin gerçeği yansıttığını ve matematiğin doğruluğunun nesnel gerçekliğe uygunluğunda yattığını görmek zor değildir. . Matematiği maddi gerçeklikten ayıran tüm bu eğilimlerin idealist olduğu ortaya çıkıyor.

Hilbert'in fikri kendi gelişmesiyle yenilgiye uğradı. Avusturyalı matematikçi Gödel, Hilbert'in umduğu gibi aritmetiğin bile tamamen formüle edilemeyeceğini kanıtladı. Gödel'in vardığı sonuç, matematiğin hiçbir alanının biçimsel analiz tarafından tüketilmesine izin vermeyen iç diyalektiğini açıkça ortaya çıkardı. Doğal bir sayı dizisinin en basit sonsuzluğunun bile tükenmez sonlu bir semboller şeması ve onlarla işlem yapma kuralları olduğu ortaya çıktı. Böylece Engels'in genel hatlarıyla şunları yazarken ne ifade ettiği matematiksel olarak kanıtlanmış oldu:

“Sonsuzluk bir çelişkidir... Bu çelişkinin yok olması, sonsuzluğun sonu olur.” Hilbert, matematiksel sonsuzluğu sonlu şemalar çerçevesine dahil etmeyi ve böylece tüm çelişkileri ve zorlukları ortadan kaldırmayı umuyordu. Bunun imkansız olduğu ortaya çıktı.

Ancak kapitalizm koşulları altında, gelenekçilik, sezgicilik, biçimcilik ve diğer benzer hareketler yalnızca korunmakla kalmıyor, aynı zamanda matematik üzerine idealist görüşlerin yeni çeşitleriyle de destekleniyor. Matematiğin temellerinin mantıksal analizine ilişkin teoriler, öznel idealizmin bazı yeni varyantlarında önemli ölçüde kullanılmaktadır. Öznel

idealizm artık matematiği, özellikle de matematiksel mantığı, fizikten daha az kullanmıyor ve bu nedenle matematiğin temellerini anlama sorunları özellikle akut hale geliyor.

Böylece, kapitalizm koşullarında matematiğin gelişmesindeki zorluklar, bu bilimin ideolojik krizine yol açtı; temelleri fizik krizine benzer ve bunun özü Lenin'in parlak eseri “Materyalizm ve Ampirio” da açıklığa kavuşturuldu. -Eleştiri.” Bu kriz kesinlikle kapitalist ülkelerde matematiğin gelişiminin tamamen geri kaldığı anlamına gelmez. Açıkça idealist konumlara sahip bir dizi bilim adamı, belirli matematik problemlerini çözmede ve yeni teoriler geliştirmede önemli, bazen olağanüstü başarılar elde ediyor. Matematiksel mantığın parlak gelişimine değinmek yeterlidir.

Kapitalist ülkelerde yaygın olan matematik görüşünün temel kusuru, idealizminde ve metafiziğinde yatmaktadır: Matematiğin gerçeklikten ayrılması ve gerçek gelişiminin ihmal edilmesi. Lojistik, sezgicilik, biçimcilik ve diğer benzer eğilimler matematiğin bir yönünü öne çıkarırlar - mantıkla bağlantı, sezgisel açıklık, biçimsel kesinlik vb. - makul olmayan bir şekilde abartırlar, anlamını mutlaklaştırırlar, onu gerçeklikten ayırırlar ve bu Tek özelliğin derin bir analizinin arkasında Matematiğin kendisi bir bütün olarak matematiğin gözden kaçırılmasına neden olur. Bireysel sonuçların tüm inceliği ve derinliğine rağmen, bu akımların hiçbiri tam da bu tek taraflılık nedeniyle matematiğin doğru anlaşılmasına yol açamaz. İdealizmin ve metafiziğin çeşitli akım ve tonlarının aksine, diyalektik materyalizm, matematiği, bir bütün olarak tüm bilimler gibi, bağlantılarının ve gelişiminin tüm zenginliği ve karmaşıklığıyla olduğu gibi kabul eder. Ve tam da diyalektik materyalizm, bilim ile gerçeklik arasındaki bağlantıların tüm zenginliğini ve tüm karmaşıklığını, deneyimin basit bir genelleştirilmesinden daha yüksek soyutlamalara ve onlardan uygulamaya doğru gelişiminin tüm karmaşıklığını anlamaya çalıştığı için, tam da sürekli olarak Bilime yaklaşımını nesnel içeriğine uygun olarak, yeni buluşlarıyla yönlendiriyor, tam da bu nedenle ve sonuçta yalnızca bu nedenle bilimin doğru anlaşılmasına yol açan tek gerçek bilimsel felsefe olarak ortaya çıkıyor. genel olarak ve özellikle matematik.

giriiş

Okulda bize sıklıkla matematiğin bilimlerin kraliçesi olduğu söylenir. Bir gün okul öğretmenlerimden birinin söylediği ve babamın tekrar etmekten hoşlandığı başka bir cümle duydum: "Doğa matematik yasalarını kullanmayacak kadar aptal değildir." (Kotelnikov F.M. Moskova Devlet Üniversitesi bölümünde eski matematik profesörü). Bana bu konuyu inceleme fikrini veren şey buydu.

Bu düşünceyi şu söz doğrulamaktadır: “Güzellik her zaman görecelidir… Sırf şekilleri bizim inşa ettiğimiz iskelelerin doğru şeklinden farklı diye okyanus kıyılarının gerçekten şekilsiz olduğunu varsaymamak gerekir; Dağların şekli, düzenli koniler veya piramitler olmadıkları gerekçesiyle düzensiz sayılamaz; Yıldızların arasındaki mesafelerin eşit olmaması onların beceriksiz bir el tarafından gökyüzüne dağıldığı anlamına gelmez. Bu düzensizlikler yalnızca hayal gücümüzde var, ancak gerçekte öyle değiller ve Dünya'daki, bitki ve hayvanlar alemindeki veya insanlar arasındaki yaşamın gerçek tezahürlerine hiçbir şekilde müdahale etmiyorlar." (Richard Bentley, 17. yüzyıl İngiliz bilim adamı)

Ancak matematik çalışırken yalnızca formül, teorem ve hesaplama bilgisine güveniriz. Matematik ise sayılarla çalışan bir tür soyut bilim olarak karşımıza çıkıyor. Ancak görünen o ki matematik güzel bir bilim.

Bu yüzden kendime şu hedefi koydum: Doğada var olan kalıpların yardımıyla matematiğin güzelliğini göstermek.

Hedefine ulaşmak için bir dizi göreve ayrıldı:

Doğanın kullandığı matematiksel kalıpların çeşitliliğini keşfedin.

Bu kalıpların bir tanımını verin.

Kendi deneyiminizi kullanarak bir kedinin vücut yapısındaki matematiksel ilişkileri bulmaya çalışın (ünlü bir filmde belirtildiği gibi: kediler üzerinde eğitim).

Çalışmada kullanılan yöntemler: konuyla ilgili literatürün analizi, bilimsel deney.

  1. 1. Doğadaki matematiksel kalıpları arayın.

Matematiksel desenler hem canlı hem de cansız doğada aranabilir.

Ayrıca hangi modellerin aranacağının belirlenmesi de gereklidir.

Altıncı sınıfta çok fazla kalıp işlenmediğinden lise ders kitaplarını incelemek zorunda kaldım. Ayrıca doğanın geometrik desenleri sıklıkla kullandığını da dikkate almam gerekiyordu. Bu nedenle cebir ders kitaplarının yanı sıra geometri ders kitaplarına da yönelmem gerekiyordu.

Doğada bulunan matematiksel modeller:

  1. Altın Oran. Fibonacci sayıları (Arşimet spirali). Diğer spiral türlerinin yanı sıra.
  2. Çeşitli simetri türleri: merkezi, eksenel, dönme. Canlı ve cansız doğada simetrinin yanı sıra.
  3. Açılar ve geometrik şekiller.
  4. Fraktallar. Fraktal terimi Latince kökenlidir. kırık (kırılma, kırılma), yani. düzensiz şekilli parçalar oluşturun.
  5. Aritmetik ve geometri ilerlemesi.

Belirlenen kalıplara daha ayrıntılı, ancak biraz farklı bir sırayla bakalım.

Gözünüze çarpan ilk şey varlığıdır simetri Yunancadan tercüme edilen bu kelime, "parçaların düzenlenmesinde orantılılık, orantılılık, tekdüzelik" anlamına gelir. Matematiksel olarak kesin bir simetri fikri nispeten yakın zamanda - 19. yüzyılda - oluşturuldu. En basit yorumda (G. Weil'e göre), simetrinin modern tanımı şuna benzer: Bir şekilde değiştirilebilen ve başladığımız şeyle sonuçlanan bir nesneye simetrik denir. .

Doğada en yaygın iki simetri türü “ayna” ve “kiriş” (“radyal”) simetrisidir. Ancak bu simetri türlerinin bir isme ek olarak başka isimleri de vardır. Yani ayna simetrisine aynı zamanda eksenel, iki taraflı, yaprak simetrisi de denir. Radyal simetriye radyal simetri de denir.

Eksenel simetri dünyamızda en sık görülür. Evler, çeşitli cihazlar, arabalar (dışarıdan), insanlar (!) hepsi simetrik veya neredeyse simetrik. İnsanlar simetriktir, çünkü tüm sağlıklı insanların iki eli vardır, her elin beş parmağı vardır; avuçlarınızı katlarsanız bu bir ayna görüntüsü gibi olacaktır.

Simetriyi kontrol etmek çok basittir. Bir ayna alıp yaklaşık olarak nesnenin ortasına yerleştirmeniz yeterlidir. Eğer cismin aynanın mat, yansıtıcı olmayan tarafı yansımayla eşleşiyorsa cisim simetriktir.

Radyal simetri .Dikey olarak büyüyen veya hareket eden her şey; Radyal simetriye bağlı olarak, dünya yüzeyine göre yukarı veya aşağı.

Birçok bitkinin yaprakları ve çiçekleri radyal simetriye sahiptir. (Şekil 1, ekler)

Bir bitkinin kökünü veya gövdesini oluşturan dokuların kesitlerinde radyal simetri açıkça görülür (kivi meyvesi, ağaç kesimi). Radyal simetri, hareketsiz ve bağlı formların (mercanlar, hidra, denizanası, deniz anemonları) karakteristiğidir. (Şekil 2, ekler)

Dönme simetrisi . Dönme ekseni boyunca bir mesafe boyunca ötelemenin eşlik ettiği belirli sayıda derecelik bir dönüş, sarmal simetriye (sarmal merdiven simetrisi) yol açar. Helisel simetriye bir örnek, birçok bitkinin gövdesindeki yaprakların düzenlenmesidir. Ayçiçeği başının ortasından dışarıya doğru uzanan, geometrik spiraller halinde düzenlenmiş sürgünleri vardır. (Şekil 3, ekler)

Simetri yalnızca canlı doğada bulunmaz. Cansız doğada Simetri örnekleri de var. Simetri, inorganik dünyanın çeşitli yapılarında ve olgularında kendini gösterir. Bir kristalin dış şeklinin simetrisi, onun iç simetrisinin bir sonucudur - atomların (moleküllerin) uzayındaki sıralı göreceli düzenlemesi.

Kar tanelerinin simetrisi çok güzel.

Ancak doğanın tam simetriye tolerans göstermediği söylenmelidir. Her zaman en azından küçük sapmalar vardır. Dolayısıyla kollarımız, bacaklarımız, gözlerimiz ve kulaklarımız birbirine çok benzese de tamamen birbirinin aynısı değildir.

Altın Oran.

Altın Oran şu anda 6. sınıfta öğretilmemektedir. Ancak altın oranın veya altın oranın, daha küçük bir parçanın daha büyük bir parçaya oranı olduğu, tüm parçayı daha büyük bir parçaya bölerken ve daha büyük bir parçayı daha küçük bir parçaya bölerken aynı sonucu verdiği bilinmektedir. Formül: A/B=B/C

Temel olarak oran 1/1.618'dir. Altın oran hayvanlar aleminde çok yaygındır.

Bir kişinin tamamen altın orandan "oluşulduğu" söylenebilir. Örneğin gözler arası (1.618) ve kaşlar arası (1) mesafe altın orandır. Göbek deliğinden ayağa kadar olan mesafe ve boy da altın oran olacaktır. Tüm vücudumuz altın oranlarla “dağılmıştır”. (Şekil 5, ekler)

Açılar ve geometrik şekiller Doğada da yaygındırlar. Göze çarpan açılar vardır; örneğin ayçiçeği tohumlarında, peteklerde, böcek kanatlarında, akçaağaç yapraklarında vb. açıkça görülebilirler. Bir su molekülünün açısı 104,7 0 C'dir. Ancak ince açılar da vardır. Örneğin ayçiçeği çiçeklenmesinde tohumlar merkeze göre 137,5 derecelik bir açıyla yerleştirilir.

Geometrik şekiller Onlar da canlı ve cansız doğadaki her şeyi görüyorlardı ama bunlara pek dikkat etmiyorlardı. Bildiğiniz gibi gökkuşağı, merkezi yer seviyesinin altında olan bir elipsin parçasıdır. Bitkilerin ve erik meyvelerinin yaprakları eliptik bir şekle sahiptir. Ancak muhtemelen daha karmaşık bir formül kullanılarak hesaplanabilirler. Örneğin, bu (Şekil 6, ekler):

Ladin, bazı kabuk türleri ve çeşitli kozalaklar koni şeklindedir. Bazı çiçek salkımları bir piramit, bir oktahedron veya aynı koniye benzer.

En ünlü doğal altıgen petektir (arı, yaban arısı, yaban arısı vb.). Diğer pek çok formun aksine, neredeyse ideal bir şekle sahiptirler ve yalnızca hücrelerin boyutunda farklılık gösterirler. Ancak dikkat ederseniz böceklerin bileşik gözlerinin de bu forma yakın olduğunu fark edeceksiniz.

Köknar kozalakları küçük silindirlere çok benzer.

Cansız doğada ideal geometrik şekiller bulmak neredeyse imkansızdır, ancak birçok dağ farklı tabanlara sahip piramitlere benzer ve kum şişi bir elipsi andırır.

Ve bunun gibi pek çok örnek var.

Altın oranı zaten anlattım. Şimdi dikkatimi şuna çevirmek istiyorum: Fibonacci sayıları ve diğer spiraller altın oranla yakından ilişkilidir.

Spiraller doğada çok yaygındır. Spiral olarak kıvrılmış kabuğun şekli Arşimed'in dikkatini çekmiştir (Şek. 2). Bunu inceledi ve spiral için bir denklem buldu. Bu denkleme göre çizilen spiral onun adıyla anılmaktadır. Adımındaki artış her zaman aynıdır. Şu anda Arşimet spirali teknolojide yaygın olarak kullanılmaktadır. (Şekil 7 ek)

Biyoloji dünyasında "altın" spiraller yaygındır. Yukarıda belirtildiği gibi hayvan boynuzları yalnızca bir uçtan büyür. Bu büyüme logaritmik bir spiral şeklinde gerçekleşir. "Hayattaki Eğri Çizgiler" kitabında T. Cook, koçların, keçilerin, antilopların ve diğer boynuzlu hayvanların boynuzlarında görülen farklı spiral türlerini araştırıyor.

Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve spiral dizilişi uzun zaman önce fark edilmişti. Ayçiçeği tohumları, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb.'nin dizilişinde spiral görüldü. Botanikçiler ve matematikçilerin ortak çalışması bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu. Bir daldaki yaprakların düzenlenmesinde - filotaksis, ayçiçeği çekirdeği, çam kozalakları, Fibonacci serisinin kendini gösterdiği ve bu nedenle altın oran yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı. Örümcek ağını spiral şeklinde örer. Kasırga spiral gibi dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü sarmal şeklinde dağılıyor.

Ve son olarak, bilgi taşıyıcıları - DNA molekülleri de bir spiral şeklinde bükülmüştür. Goethe spirale "yaşam eğrisi" adını verdi.

Çam kozalağının yüzeyindeki pulları, yaklaşık olarak dik açıyla kesişen iki spiral boyunca kesinlikle düzenli olarak düzenlenmiştir.

Ancak, seçilmiş bir spirale, Fibonacci sayılarına dönelim. Bunlar çok ilginç rakamlar. Sayı önceki ikisinin eklenmesiyle elde edilir. İşte 144'ün başlangıç ​​Fibonacci sayıları: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... Ve bazı görsel örneklere bakalım (slayt 14).

Fraktallarçok geçmeden açıldı. Fraktal geometri kavramı 20. yüzyılın 70'lerinde ortaya çıktı. Artık fraktallar aktif olarak hayatımıza girdi ve hatta fraktal grafikler gibi bir yön bile gelişiyor. (Şekil 8, ekler)

Fraktallar doğada oldukça sık görülür. Ancak bu fenomen bitkiler ve cansız doğa için daha tipiktir. Örneğin eğreltiotu yaprakları, şemsiye salkımları. Cansız doğada bunlar yıldırım çarpması, pencerelerdeki desenler, ağaç dallarına yapışan kar, kıyı şeridindeki unsurlar ve çok daha fazlasıdır.

Geometrik ilerleme.

Geometrik ilerleme en temel tanımıyla önceki sayının bir katsayı ile çarpılmasıdır.

Bu ilerleme tek hücreli organizmalarda mevcuttur. Mesela herhangi bir hücre ikiye bölünür, bu ikisi dörde bölünür vs. Yani bu katsayıları 2 olan geometrik bir ilerlemedir. Ve basit bir ifadeyle her bölünmede hücre sayısı 2 kat artar.

Bakteriler için de durum tamamen aynıdır. Bölünme, nüfusu ikiye katlama.

Böylece doğada var olan matematiksel kalıpları inceledim ve bunlarla ilgili örnekler verdim.

Şu anda doğadaki matematiksel yasaların aktif olarak incelendiğini ve hatta biyosimetri adı verilen bir bilimin bile var olduğunu belirtmekte fayda var. Çalışmada düşünülenden çok daha karmaşık kalıpları anlatıyor.

Bilimsel bir deney yürütmek.

Seçim gerekçesi:

Kedi çeşitli nedenlerden dolayı deney hayvanı olarak seçildi:

Evde bir kedim var;

Evimde dört tane var, bu nedenle elde edilen veriler bir hayvan üzerinde çalışırken elde edilen verilerden daha doğru olmalı.

Deney sırası:

Bir kedinin vücudunun ölçülmesi.

Elde edilen sonuçların kaydedilmesi;

Matematiksel kalıpları arayın.

Elde edilen sonuçlara dayalı sonuçlar.

Bir kedi üzerinde çalışılacak şeylerin listesi:

  • Simetri;
  • Altın Oran;
  • Spiraller;
  • Açılar;
  • Fraktallar;
  • Geometrik ilerleme.

Örnek olarak kediyi kullanan simetri çalışması, kedinin simetrik olduğunu gösterdi. Simetri türü – eksenel, yani. eksene göre simetriktir. Teorik materyalde incelendiği gibi, hareketli bir hayvan olan kedi için radyal, merkezi ve dönme simetrisi karakteristik değildir.

Altın oranı incelemek için kedinin vücudunun ölçülerini alıp fotoğrafını çektim. Kuyruklu ve kuyruksuz vücut ölçülerinin, kuyruksuz vücutların başa oranı gerçekten de altın oran değerine yaklaşmaktadır.

65/39=1,67

39/24=1,625

Bu durumda ölçüm hatasını ve yünün göreceli uzunluğunu dikkate almak gerekir. Ancak her durumda elde edilen sonuçlar 1,618 değerine yakın. (Şekil 9, ek).

Kedi inatla ölçülmesine izin vermedi, ben de onun fotoğrafını çekmeye çalıştım, bir altın oran ölçeği derledim ve bunu kedi fotoğraflarının üzerine yerleştirdim. Sonuçlardan bazıları çok ilginçti.

Örneğin:

  • oturan bir kedinin yerden başa ve baştan “koltuk altına” kadar olan yüksekliği;
  • “karpal” ve “dirsek eklemleri”;
  • oturan kedinin kafa yüksekliğine kadar yüksekliği;
  • namlu ağzının genişliği burun köprüsünün genişliğine göre;
  • namlu ağzı yüksekliğinden göz yüksekliğine;
  • burun genişliğinden burun deliği genişliğine;

Bir kedide yalnızca bir spiral buldum - bunlar pençeler. Benzer bir spirale kıvrım denir.

Bir kedinin vücudunda çeşitli geometrik şekiller bulabilirsiniz ama ben açıları arıyordum. Sadece kedinin kulakları ve pençeleri köşeliydi. Ancak pençeler, daha önce de tanımladığım gibi, spiral şeklindedir. Kulakların şekli daha çok piramit gibidir.

Kedinin vücudundaki fraktalların aranması, benzer bir şeye sahip olmadığı ve aynı küçük ayrıntılara bölündüğü için sonuç vermedi. Yine de fraktallar hayvanlardan, özellikle de memelilerden çok bitkilerin karakteristiğidir.

Ancak bu konu üzerinde düşündükten sonra kedinin vücudunda ama iç yapısında fraktalların olduğu sonucuna vardım. Memelilerin biyolojisini henüz incelemediğim için internete baktım ve aşağıdaki çizimleri buldum (Şekil 10, ekler):

Onlar sayesinde bir kedi dalının dolaşım ve solunum sistemlerinin fraktal kanununa göre olduğuna ikna oldum.

Geometrik ilerleme üreme sürecinin karakteristiğidir, ancak bedenin karakteristiği değildir. Bir kedi belirli sayıda yavru kedi doğurduğu için aritmetik ilerleme kediler için tipik değildir. Kedilerin üremesinde muhtemelen geometrik bir ilerleme bulunabilir, ancak büyük olasılıkla bazı karmaşık katsayılar olacaktır. Düşüncelerimi açıklayayım.

Bir kedi, 9 ay ile 2 yaş arasında yavru kedi doğurmaya başlar (bu tamamen kediye bağlıdır). Gebelik süresi 64 gündür. Kedi, yavru kedileri yaklaşık 3 ay emzirir, bu nedenle yılda ortalama 4 yavru doğurur. Yavru kedi sayısı 3'ten 7'ye kadardır. Gördüğünüz gibi belli desenler yakalanabiliyor ama bu geometrik bir ilerleme değil. Parametreler çok belirsiz.

Şu sonuçları aldım:

Bir kedinin gövdesi şunları içerir: eksenel simetri, altın oran, spiraller (pençeler), geometrik şekiller (piramidal kulaklar).

Görünümde herhangi bir fraktal veya geometrik ilerleme yoktur.

Kedinin iç yapısı daha çok biyoloji alanına girmektedir ancak akciğer ve dolaşım sisteminin (diğer hayvanlar gibi) yapısının da fraktalların mantığına uyduğunu belirtmek gerekir.

Çözüm

Çalışmamda konuyla ilgili literatürü inceledim ve temel teorik konuları inceledim. Spesifik bir örnek kullanarak, doğada her şeyin olmasa da pek çok şeyin matematik yasalarına uyduğunu kanıtladı.

Materyali inceledikten sonra, doğayı anlamak için sadece matematik bilmeniz gerektiğini değil, cebir, geometri ve bunların bölümlerini de incelemeniz gerektiğini fark ettim: stereometri, trigonometri vb.

Evcil bir kedi örneğini kullanarak matematik yasalarının uygulanmasını inceledim. Sonuç olarak kedinin vücudunun eksenel simetri, altın oran, spiraller, geometrik şekiller ve fraktallar (iç yapıda) içerdiğini buldum. Ancak aynı zamanda kedilerin üremesindeki belirli kalıplar açıkça görülse de geometrik bir ilerleme bulamadı.

Ve şimdi şu ifadeye katılıyorum: "Doğa, her şeyi matematik yasalarına tabi tutmayacak kadar aptal değil."

Bazen dünyamızın basit ve anlaşılır olduğu görülüyor. Aslında bu kadar mükemmel bir gezegeni yaratan Evrenin büyük gizemi de budur. Ya da belki ne yaptığını bilen biri tarafından yaratılmıştır? Zamanımızın en büyük beyinleri bu konu üzerinde çalışıyor.

Her seferinde sahip olduğumuz her şeyi Yüksek Zihin olmadan yaratmanın imkansız olduğu sonucuna varırlar. Dünya gezegenimiz ne kadar olağanüstü, karmaşık ve aynı zamanda basit ve kendiliğinden! Çevremizdeki dünya kuralları, şekilleri ve renkleriyle muhteşemdir.

Doğa yasaları

Devasa ve muhteşem gezegenimizde dikkat edebileceğiniz ilk şey, onu çevreleyen dünyanın her biçiminde bulunması ve aynı zamanda güzelliğin, idealliğin ve orantılılığın temel ilkesi olmasıdır. Bu, doğası gereği matematikten başka bir şey değildir.

"Simetri" kavramı uyum, doğruluk anlamına gelir. Bu, parçaları sistemleştiren ve onları tek bir bütüne dönüştüren çevredeki gerçekliğin bir özelliğidir. Antik Yunan'da bu yasanın işaretleri ilk kez fark edilmeye başlandı. Örneğin Platon, güzelliğin yalnızca simetri ve orantılılığın bir sonucu olarak ortaya çıktığına inanıyordu. Aslında nesnelere orantılı, doğru ve tam bakarsak o zaman iç durumumuz da güzel olur.

Canlı ve cansız doğadaki matematik yasaları

Herhangi bir yaratığa, örneğin en mükemmel insana bakalım. Her iki tarafta da aynı görünen bir gövde yapısı göreceğiz. Ayrıca böcekler, hayvanlar, deniz yaşamı, kuşlar gibi birçok örneği de sıralayabilirsiniz. Her türün kendine has rengi vardır.

Herhangi bir desen veya desen mevcutsa bunun orta çizginin etrafına yansıtıldığı bilinmektedir. Tüm organizmalar evrenin kuralları sayesinde yaratılmıştır. Bu tür matematiksel kalıplar cansız doğada da izlenebilmektedir.

Kasırga, gökkuşağı, bitkiler, kar taneleri gibi tüm olaylara dikkat ederseniz, bunlarda pek çok ortak nokta bulabilirsiniz. Bir ağacın nispeten yaprağı ikiye bölünmüştür ve her parça bir öncekinin yansıması olacaktır.

Örnek olarak dikey olarak yükselen ve huniye benzeyen bir kasırgayı ele alırsak, o zaman tamamen aynı iki yarıya da bölünebilir. Simetri olgusunu gece ve gündüzün, mevsimlerin değişiminde bulabilirsiniz. Çevreleyen dünyanın yasaları, kendi mükemmel sistemine sahip olan doğadaki matematiktir. Evrenin yaratılış kavramının tamamı buna dayanmaktadır.

Gökkuşağı

Doğal olayları sıklıkla düşünmüyoruz. Kar yağdı ya da yağmur yağdı, güneş çıktı ya da gök gürültüsü çaktı; değişen hava koşullarının olağan hali. Genellikle yağıştan sonra bulunabilen çok renkli yayı düşünün. Gökyüzündeki gökkuşağı, yalnızca insan gözüyle görülebilen tüm renklerden oluşan bir spektrumun eşlik ettiği muhteşem bir doğa olgusudur. Bu, güneş ışınlarının ayrılan buluttan geçmesi nedeniyle olur. Her yağmur damlası optik özelliklere sahip bir prizma görevi görür. Her damlanın küçük bir gökkuşağı olduğunu söyleyebiliriz.

Bir su bariyerinden geçen ışınlar orijinal rengini değiştirir. Her ışık akışının belirli bir uzunluğu ve gölgesi vardır. Gözlerimizin gökkuşağını bu kadar renkli algılamasının nedeni budur. Bu olgunun yalnızca insanlar tarafından görülebildiğine dair ilginç bir gerçeği de belirtelim. Çünkü bu sadece bir illüzyon.

Gökkuşağı türleri

  1. Güneşin oluşturduğu gökkuşağı en yaygın olanıdır. Tüm çeşitlerin en parlak olanıdır. Yedi ana renkten oluşur: kırmızı turuncu, sarı, yeşil, mavi, çivit mavisi, mor. Ancak detaylara baktığımızda gözümüzün görebileceğinden çok daha fazla renk tonu mevcut.
  2. Geceleri ayın yarattığı gökkuşağı oluşur. Her zaman görülebileceğine inanılıyor. Ancak uygulamanın gösterdiği gibi, bu fenomen esas olarak yalnızca yağmurlu bölgelerde veya büyük şelalelerin yakınında görülür. Ay gökkuşağının renkleri çok soluktur. Sadece özel ekipmanların yardımıyla incelenecekler. Ancak bununla bile gözümüz yalnızca beyaz bir şerit seçebiliyor.
  3. Sis sonucu ortaya çıkan gökkuşağı, geniş, parlak bir ışık kemeri gibidir. Bazen bu tür öncekiyle karıştırılır. Renk üstte turuncu, altta morun bir tonu olabilir. Sisin içinden geçen güneş ışınları güzel bir doğa olayı oluşturur.
  4. gökyüzünde son derece nadir görülür. Yatay şekliyle önceki türlere benzemez. Bu fenomen yalnızca sirüs bulutlarının üzerinde mümkündür. Genellikle 8-10 kilometre yükseklikte uzanırlar. Gökkuşağının tüm görkemiyle kendini göstereceği açının 58 dereceden fazla olması gerekir. Renkler genellikle güneş gökkuşağındakiyle aynı kalır.

Altın oran (1.618)

İdeal orantılılık çoğunlukla hayvanlar aleminde bulunabilir. Bire karşılık gelen PHI numarasının köküne eşit bir oran verilir. Bu oran gezegendeki tüm hayvanları birbirine bağlayan bir gerçektir. Antik çağların büyük beyinleri bu sayıyı ilahi oran olarak adlandırdılar. Buna altın oran da diyebiliriz.

Bu kural insan yapısının uyumuyla tamamen uyumludur. Mesela gözler ile kaşlar arasındaki mesafeyi belirlerseniz bu ilahi sabite eşit olacaktır.

Altın oran, tasarımcıların, sanatçıların, mimarların, güzel ve mükemmel şeylerin yaratıcılarının kanununa uymaya başladığı, matematiğin doğada ne kadar önemli olduğunun bir örneğidir. İlahi sabitin yardımıyla dengeli, uyumlu ve görünümü hoş olan yaratımlarını yaratırlar. Zihnimiz, eşitsiz parça oranının olduğu şeyleri, nesneleri, olayları güzel olarak değerlendirebilir. Beynimiz altın orana orantılılık diyor.

DNA sarmalı

Alman bilim adamı Hugo Weyl'in de haklı olarak belirttiği gibi simetrinin kökleri matematikten gelmektedir. Birçoğu geometrik şekillerin mükemmelliğine dikkat çekti ve onlara dikkat etti. Örneğin petek, doğanın yarattığı bir altıgenden başka bir şey değildir. Silindirik bir şekle sahip olan ladin kozalaklarına da dikkat edebilirsiniz. Spiraller çevredeki dünyada da sıklıkla bulunur: büyük ve küçük hayvanların boynuzları, yumuşakça kabukları, DNA molekülleri.

Altın oran prensibine göre oluşturulmuştur. Maddi bedenin diyagramı ile onun gerçek görüntüsü arasındaki bağlantıdır. Beyni ele alırsak, o, beden ile zihin arasında bir iletkenden başka bir şey değildir. Zekâ, yaşam ile onun tezahür biçimini birbirine bağlar ve biçimin içerdiği yaşamın kendini bilmesini sağlar. Bunun yardımıyla insanlığın kendisini çevreleyen gezegeni anlaması, onda kalıplar araması ve bunları daha sonra iç dünyanın incelenmesine uygulaması mümkündür.

Doğadaki bölünme

Hücre mitozu dört aşamadan oluşur:

  • Profaz. İçindeki çekirdek artar. Bir spiral şeklinde bükülmeye ve normal formlarına dönüşmeye başlayan kromozomlar ortaya çıkar. Hücre bölünmesi için bir alan oluşur. Fazın sonunda çekirdek ve kabuğu çözülür ve kromozomlar sitoplazmaya akar. Bu bölünmenin en uzun aşamasıdır.
  • Metafaz. Burada kromozomların spirallenmesi sona erer ve metafaz plakasını oluştururlar. Kromatitler bölünmeye hazırlık amacıyla birbirinin karşısında konumlandırılmıştır. Aralarında bağlantının kesilmesi için bir yer belirir - bir mil. Bu ikinci aşamayı tamamlıyor.

  • Anafaz. Kromatitler zıt yönlerde birbirinden ayrılır. Hücre artık bölünmeleri nedeniyle iki takım kromozoma sahiptir. Bu aşama çok kısadır.
  • Telofaz. Hücrenin her yarısında, içinde bir nükleolusun oluştuğu bir çekirdek oluşur. Sitoplazma aktif olarak ayrışır. Mil yavaş yavaş kaybolur.

Mitozun Anlamı

Eşsiz bölünme yöntemi nedeniyle, üreme sonrasında sonraki her hücre, annesiyle aynı gen bileşimine sahiptir. Her iki hücre de aynı kromozom bileşimini alır. Geometri gibi bir bilim olmadan bu gerçekleştirilemezdi. Mitozdaki ilerleme önemlidir çünkü bu, tüm hücrelerin çoğalmasını sağlayan prensiptir.

Mutasyonlar nereden geliyor?

Bu süreç, her hücreye sürekli olarak kromozom ve genetik materyal sağlanmasını sağlar. Mitoz nedeniyle vücut gelişir, çoğalır ve yenilenir. Bazı zehirlerin etkisiyle oluşan bir bozukluk durumunda kromozomlar yarıya ayrılmayabilir veya yapısal bozukluklar gösterebilir. Bu, başlangıç ​​aşamasındaki mutasyonların açık bir göstergesi olacaktır.

Özetliyor

Matematik ve doğanın ortak noktası nedir? Bu sorunun cevabını yazımızda bulacaksınız. Ve daha derine inerseniz, kişinin etrafımızdaki dünyayı inceleyerek kendini tanıdığını söylemelisiniz. Tüm canlıları doğuran Allah olmasaydı hiçbir şey olamazdı. Doğa, yasalarının katı dizilişiyle yalnızca uyum içindedir. Bütün bunlar sebepsiz yere mümkün mü?

Doğada matematiğin gerçekten temel olup olmadığı sorusuna başka hiç kimsenin olmadığı gibi cevap verebilen bilim adamı, filozof, matematikçi ve fizikçi Henri Poincaré'nin açıklamasını aktaralım. Bazı materyalistler bu mantıktan hoşlanmayabilirler ama bunu çürütebilmeleri de pek mümkün değildir. Poincaré, insan zihninin doğada keşfetmek istediği uyumun onun dışında var olamayacağını söylüyor. En azından birkaç bireyin zihninde var olan şey, tüm insanlığın erişimine açılabilir. Zihinsel aktiviteyi bir araya getiren bağlantıya dünyanın uyumu denir. Son zamanlarda böyle bir sürece yönelik çok büyük ilerlemeler kaydedildi, ancak bunlar çok küçük. Evreni ve bireyi birbirine bağlayan bu bağlantılar, bu süreçlere duyarlı her insan zihni için değerli olmalıdır.

Giriiş. 2

Bölüm 1. Canlı doğanın matematiksel yasaları. 3

Bölüm 2. Doğada şekil oluşumunun ilkeleri 5

Bölüm 3. Altın oran 8

Bölüm 4. Escher'in Geometrik Rapsodisi. 15

Bölüm 5. Aşkın sayı   18

Kullanılmış literatürün listesi. 20

Giriiş.

Matematikle yüzeysel bir tanışıklıkla, formüllerden, sayısal bağımlılıklardan ve mantıksal yollardan oluşan anlaşılmaz bir labirent gibi görünebilir. Matematik hazinelerinin gerçek değerini bilmeyen sıradan ziyaretçiler, matematikçinin gerçekliğin yaşayan çok renkliliğini görmesini sağlayan matematiksel soyutlamaların kuru şemasından korkuyor.

Matematiğin harika dünyasını kavrayan herkes, yalnızca onun hazinelerinin coşkulu bir düşünürü olarak kalmaz. Kendisi yeni matematiksel nesneler yaratmaya çalışıyor, yeni problemleri çözmenin yollarını ya da halihazırda çözülmüş problemlere yeni, daha gelişmiş çözümler arıyor. Pisagor teoreminin 300'den fazla kanıtı, düzinelerce klasik olmayan daire kareleri, bir açının üçe bölünmesi ve bir küpün ikiye katlanması zaten bulunmuş ve yayınlanmıştır.

Ancak huzursuz, sorgulayıcı bir düşünce yeni arayışlara yol açar. Aynı zamanda sonucun kendisinden daha çok, onu aramanın çekiciliği vardır. Bu doğaldır. Sonuçta, yeterince anlamlı olan her sorunu çözmenin yolu, her zaman mantık yasasıyla sağlamlaştırılan şaşırtıcı bir sonuçlar zinciridir.

Matematiksel yaratıcılık zihnin gerçek yaratıcılığıdır. İşte Sovyet matematikçi G.D. Suvorov şöyle yazmıştı: “Mantıksal olarak kusursuz bir şekilde yazılmış bir teorem, gerçekten herhangi bir şiirsel başlangıçtan yoksun görünüyor ve ateşli bir fantezinin meyvesi değil, ana mantığın kasvetli bir çocuğu gibi görünüyor. Ancak bilim adamı dışında hiç kimse bu teoremi gerçekte hangi fanteziler kasırgasının ve şiirsel uçuşların doğurduğunu bilmiyor. Sonuçta o, yakalanmadan önce kanatlı, egzotik bir kelebekti, mantıkla uyuşturulmuş ve kanıt iğneleriyle kağıda iliştirilmişti!" K.F. Gauss, A. Poincaré, J. Hadamard, A.N. Kolmogorov ve diğer seçkin matematikçilerin anılarında, çözülmemiş problemlere cevap ararken yaşadıkları büyük keyiften, gerçek estetik zevkten, onlar için yol olduklarından bahsetmeleri doğaldır. Bilinmeyene doğru. Çünkü onlar bu çözümlere ilk kez geliyorlardı ve matematik onlara öncülerin sevincinin tam ölçüsünü veriyordu.

Bazı problemlerde, cevaba giden birçok yol arasında, en beklenmedik, çoğu zaman dikkatlice "gizlenmiş" ve kural olarak en güzel ve en arzu edilen yol vardır. Onu bulmak ve üzerinde yürümek büyük bir mutluluk. Bu tür çözümlerin arayışı, halihazırda bilinen algoritmaların yeteneklerinin ötesine geçme yeteneği, gerçek bir estetik matematiksel yaratıcılıktır.
^

Bölüm 1. Canlı doğanın matematiksel yasaları.

Yaban hayatı çok sayıda simetrik organizma formu sergiler. Çoğu durumda organizmanın simetrik şekli renkli, simetrik renklerle tamamlanır.

4 mm'ye zar zor ulaşan küçük huş kurdu elbette yüksek matematik bilmiyor. Ancak, yavruları için bir beşik yaparak, bir ağaç yaprağının üzerine bir evrim "çiziyor" veya daha doğrusu oyuyor - yaprağın birçok eğrilik merkezini temsil eden bir eğri. Yaprağın en kenarı, bitin kestiği eğriye göre kıvrımlı olacaktır.


Petek hücresinin mimarisi karmaşık geometrik desenlere tabidir.


Etkileşen iki türün (biyosenoz) “yırtıcı-av” toplamındaki popülasyon sayısındaki dalgalanmaların teorik eğrileri ve faz eğrisi.

Vito Voltaire (1860-1940) seçkin bir İtalyan matematikçidir. Biyolojik popülasyonların dinamikleri üzerine bir teori oluşturdu,

burada diferansiyel denklem yöntemini uyguladı.

Biyolojik olayların çoğu matematiksel modeli gibi, birçok basitleştirici varsayıma dayanmaktadır.

İÇİNDE Atlarken, hayvanların kütle merkezi iyi bilinen bir şekli tanımlar - dalları aşağıya bakan kare bir parabol: y=ax 2, a>1, a

Birçok bitkinin yapraklarının hatları güzeldir. Büyük bir doğrulukla şekilleri kutupsal veya Kartezyen koordinat sistemindeki zarif denklemlerle tanımlanır.

^

Bölüm 2. Doğada şekil oluşumunun ilkeleri

Bir biçim alan her şey oluşmuş, büyümüş, uzayda yer edinmeye, kendini korumaya çabalamıştır. Bu arzu esas olarak iki seçenekte gerçekleştirilir: yukarıya doğru büyümek veya yeryüzüne yayılmak ve spiral şeklinde bükülmek.

Kabuk spiral şeklinde bükülür. Açtığınızda yılanın uzunluğundan biraz daha kısa bir uzunluk elde edersiniz. On santimetrelik küçük bir kabuğun 35 cm uzunluğunda bir spirali vardır Spiraller doğada çok yaygındır.

Spiral kıvrımlı kabuğun şekli Arşimet'in dikkatini çekti. Bunu inceledi ve spiral için bir denklem buldu. Bu denkleme göre çizilen spiral onun adıyla anılmaktadır. Adımındaki artış her zaman aynıdır. Şu anda Arşimet spirali teknolojide yaygın olarak kullanılmaktadır.

Goethe ayrıca doğanın sarmallığa olan eğilimini de vurguladı. Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve spiral dizilişi uzun zaman önce fark edilmişti. Ayçiçeği tohumları, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb.'nin dizilişinde spiral görüldü. Örümcek ağını spiral şeklinde örer. Kasırga spiral gibi dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü sarmal şeklinde dağılıyor. DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülmüştür. Goethe spirale "yaşam eğrisi" adını verdi.

Nautilus, Haliotis ve diğer yumuşakçaların kabukları logaritmik spiral şeklinde oluşur: p=ae B φ .

Bitkilerin genç sürgünlerindeki yapraklar uzaysal bir spiral şeklinde düzenlenmiştir. Ve onlara yukarıdan baktığımızda ikinci bir spiral bulacağız çünkü onlar da birbirlerinin güneş ışığı algısını engellemeyecek şekilde konumlandırılmışlar. Bireysel yapraklar arasındaki mesafeler Fibonacci serisi sayılarıyla karakterize edilir: 1,1,2,3,5,8,…,u n, u n +1,…, burada u n =u n -1 +u n -2.


Ayçiçeğinde tohumlar, iki logaritmik spiral ailesine yakın karakteristik yaylar halinde düzenlenir.

Doğa, bu eğrinin birçok dikkat çekici özelliği nedeniyle logaritmik spirali tercih etti. Örneğin benzerlik dönüşümü sırasında değişmez.

Sonuç olarak vücudun büyüme sürecinde vücudunun mimarisini yeniden inşa etmesine gerek yoktur.

Canlıların molekül altı düzeydeki asimetrisinin çarpıcı bir örneği, kalıtsal bilginin maddi taşıyıcılarının ikincil biçimidir - dev DNA molekülünün çift sarmalı. Ancak DNA zaten bir nükleozom etrafına sarılmış bir sarmaldır; çift sarmaldır. Yaşam, protein moleküllerinin inşa edildiği doğanın mimarının planlarını uygulayan, anlaşılması zor, şaşırtıcı derecede kesin bir süreçte ortaya çıkar.

Örümcek tuzağını karmaşık bir aşkın eğri biçiminde örer - logaritmik bir sarmal p=ae b φ

^

Bölüm 3. Altın oran

İnsan etrafındaki nesneleri şekillerine göre ayırt eder. Bir nesnenin şekline olan ilgi yaşamsal bir zorunluluktan kaynaklanabileceği gibi, şeklin güzelliğinden de kaynaklanabilir. Yapımı simetri ve altın oranın birleşimine dayanan form, en iyi görsel algıya, güzellik ve uyum duygusunun ortaya çıkmasına katkıda bulunur. Bütün her zaman parçalardan oluşur, farklı boyutlardaki parçalar birbirleriyle ve bütünle belli bir ilişki içindedir. Altın oran prensibi sanatta, bilimde, teknolojide ve doğada bütünün ve parçalarının yapısal ve işlevsel mükemmelliğinin en yüksek tezahürüdür.

Matematikte orantı (enlem. orantı) iki oranın eşitliğidir: a: b = c: d.

Bir AB düz çizgi parçası aşağıdaki şekillerde iki parçaya bölünebilir:


  • iki eşit parçaya – AB: AC = AB: BC;

  • herhangi bir açıdan iki eşit olmayan parçaya bölünür (bu tür parçalar oran oluşturmaz);

  • dolayısıyla AB: AC = AC: BC olduğunda.
İkincisi, bir segmentin aşırı ve ortalama orandaki altın bölümü veya bölümüdür.

^ Altın oran- bu, bir bölümün eşit olmayan parçalara orantılı bir bölünmesidir; burada tüm bölüm daha büyük parçayla ilgilidir, çünkü daha büyük parçanın kendisi daha küçük olanla ilgilidir; veya başka bir deyişle, daha büyük olan bütüne göre daha küçük olan kısım daha büyüktür

a: b = b: c veya c: b = b: a.

Altın oranın geometrik görüntüsü

P Altın orana pratik olarak aşina olmak, bir pergel ve cetvel kullanarak düz bir çizgi parçasını altın orana bölmekle başlar. Altın oranı kullanarak bir doğru parçasını bölmek. BC = 1/2 AB; CD = M.Ö.

B noktasından AB'nin yarısına eşit bir dik geri getirilir. Ortaya çıkan C noktası bir çizgi ile A noktasına bağlanır. Ortaya çıkan çizgide, D noktasıyla biten bir BC segmenti döşenir. AD segmenti AB düz çizgisine aktarılır. Ortaya çıkan E noktası AB parçasını altın oranda böler.

Altın oranın bölümleri sonsuz irrasyonel kesir ile ifade edilir AE = 0,618..., eğer AB bir olarak alınırsa, BE = 0,382... Pratik amaçlar için, genellikle 0,62 ve 0,38'lik yaklaşık değerler kullanılır. AB doğru parçası 100 parça olarak alınırsa parçanın büyük kısmı 62, küçük kısmı ise 38 parça olur.

Altın oranın özellikleri aşağıdaki denklemle açıklanmaktadır:

x 2 – x – 1 = 0.

Bu denklemin çözümü:

Altın oranın özellikleri, bu sayı etrafında romantik bir gizem ve neredeyse mistik bir tapınma havası yaratmıştır.
^ Altın oranın tarihi
Altın bölüm kavramının bilimsel kullanıma eski Yunan filozofu ve matematikçisi Pisagor (MÖ VI. Yüzyıl) tarafından tanıtıldığı genel olarak kabul edilmektedir. Pisagor'un altın bölünmeye ilişkin bilgisini Mısırlılardan ve Babillilerden ödünç aldığına dair bir varsayım var. Nitekim Tutankhamun'un mezarındaki Cheops piramidinin, tapınakların, kabartmaların, ev eşyalarının ve mücevherlerin oranları, Mısırlı ustaların bunları yaratırken altın bölümün oranlarını kullandıklarını gösteriyor. Fransız mimar Le Corbusier, Abydos'taki Firavun Seti I tapınağında bulunan rölyefte ve Firavun Ramses'i tasvir eden rölyefte, figürlerin oranlarının altın bölümün değerlerine karşılık geldiğini tespit etmiştir. Kendi adını taşıyan bir mezardaki ahşap bir tahta kabartmasında tasvir edilen mimar Khesira, elinde altın bölümün oranlarının kaydedildiği ölçü aletlerini tutmaktadır.

Yunanlılar yetenekli geometricilerdi. Hatta çocuklarına geometrik şekilleri kullanarak aritmetik öğretiyorlar. Pisagor karesi ve bu karenin köşegeni, dinamik dikdörtgenlerin inşasının temelini oluşturdu.

^ Dinamik dikdörtgenler

Platon (MÖ 427...347) da altın bölümü biliyordu. Onun diyalogu "Timaeus", Pisagor okulunun matematiksel ve estetik görüşlerine ve özellikle de altın bölüm konularına ayrılmıştır.

Antik Yunan tapınağı Parthenon'un cephesi altın oranlara sahiptir. Kazılarda antik dünyanın mimar ve heykeltıraşlarının kullandığı pusulalar keşfedildi. Pompei pusulası (Napoli'deki müze) aynı zamanda altın bölümün oranlarını da içerir.

Bize kadar ulaşan antik literatürde altın bölümden ilk kez Öklid'in Elementler kitabında bahsedilmiştir. “İlkeler”in 2. kitabında altın bölümün geometrik yapısı verilmektedir.Öklid'den sonra altın bölümün incelenmesi Hypsicles (M.Ö. 2. yüzyıl), Pappus (MS III. yüzyıl) ve diğerleri tarafından gerçekleştirilmiştir. Ortaçağ Avrupa'sında altın bölümle Öklid'in Elementler kitabının Arapça çevirileri sayesinde tanıştık. Navarre'dan (III. yüzyıl) çevirmen J. Campano, çeviri hakkında yorumlarda bulundu. Altın bölümün sırları kıskançlıkla korundu ve sıkı bir gizlilik içinde tutuldu. Sadece inisiyeler tarafından biliniyorlardı.

Rönesans döneminde, hem geometri hem de sanatta, özellikle de mimaride kullanılması nedeniyle, bilim adamları ve sanatçılar arasında altın bölünmeye olan ilgi arttı. Sanatçı ve bilim adamı Leonardo da Vinci, İtalyan sanatçıların çok fazla ampirik deneyime sahip olduğunu, ancak çok az olduğunu gördü. bilgi . Geometri üzerine bir kitap tasarladı ve yazmaya başladı, ancak o sırada keşiş Luca Pacioli'nin bir kitabı ortaya çıktı ve Leonardo bu fikrinden vazgeçti. Çağdaşlara ve bilim tarihçilerine göre Luca Pacioli, Fibonacci ile Galileo arasındaki dönemde İtalya'nın en büyük matematikçisi olan gerçek bir aydındı. Luca Pacioli, biri "Resimde Perspektif Üzerine" olmak üzere iki kitap yazan sanatçı Piero della Franceschi'nin öğrencisiydi. Tanımlayıcı geometrinin yaratıcısı olarak kabul edilir.

Luca Pacioli bilimin sanat için önemini çok iyi anlamıştı. 1496'da Moreau Dükü'nün daveti üzerine Milano'ya geldi ve burada matematik dersleri verdi. Leonardo da Vinci o dönemde Milano'da Moro sarayında da çalışıyordu. 1509'da Luca Pacioli'nin "İlahi Oran" adlı kitabı Venedik'te zekice hazırlanmış resimlerle yayınlandı, bu yüzden bunların Leonardo da Vinci tarafından yapıldığına inanılıyor. Kitap altın orana coşkulu bir ilahiydi. Altın oranın pek çok avantajı arasında keşiş Luca Pacioli, ilahi üçlemenin bir ifadesi olarak "ilahi özünü" belirtmeyi ihmal etmedi: Oğul Tanrı, baba Tanrı ve kutsal ruh Tanrı (küçük bölüm, oğul Tanrı'nın kişileşmesidir, daha büyük bölüm babanın tanrısıdır ve tüm bölüm - Kutsal Ruh'un Tanrısı).

Leonardo da Vinci, altın bölümün çalışmasına da büyük önem verdi. Düzenli beşgenlerden oluşan stereometrik bir gövdenin bölümlerini yaptı ve her seferinde altın bölümdeki en boy oranlarına sahip dikdörtgenler elde etti. Bu nedenle bu bölüme altın oran adını vermiştir. Bu yüzden hala en popüler olanı olmaya devam ediyor.

Aynı dönemde Avrupa'nın kuzeyinde, Almanya'da Albrecht Dürer de aynı sorunlar üzerinde çalışıyordu. Oranlar üzerine incelemenin ilk versiyonunun girişini çiziyor. Dürer yazıyor. “Bir şeyin nasıl yapılacağını bilen birinin, ihtiyacı olanlara öğretmesi lâzımdır. Bunu yapmak için yola çıktım.”

Dürer'in bir mektubuna bakılırsa İtalya'dayken Luca Pacioli ile tanışmış. Albrecht Dürer, insan vücudunun oranları teorisini ayrıntılı olarak geliştirir. Dürer, ilişkiler sisteminde altın kısma önemli bir yer ayırmıştır. Bir kişinin boyu altın oranlarda kemer çizgisine ve ayrıca indirilmiş ellerin orta parmak uçlarından, yüzün alt kısmından ağıza vb. çizilen bir çizgiye bölünür. Dürer'in orantısal pusulası iyi bilinmektedir.

16. yüzyılın büyük gökbilimcisi. Johannes Kepler altın oranı geometrinin hazinelerinden biri olarak adlandırdı. Altın oranın botanik açısından önemine (bitkilerin büyümesi ve yapısı) ilk dikkat çeken o olmuştur.

Sonraki yüzyıllarda altın oran kuralı akademik bir kanona dönüştü ve zamanla sanatta akademik rutine karşı mücadele başladığında, mücadelenin hararetinde "bebeği banyo suyuyla birlikte dışarı attılar." Altın oran 19. yüzyılın ortalarında yeniden “keşfedildi”. 1855 yılında Alman altın oran araştırmacısı Profesör Zeising, “Estetik Çalışmalar” adlı eserini yayımladı. Zeising'in başına gelen şey, bir fenomeni diğer fenomenlerle bağlantısı olmadan bu şekilde ele alan bir araştırmacının başına kaçınılmaz olarak gelmesi gereken şeydi. Altın oranın oranını mutlaklaştırdı ve bunun tüm doğa ve sanat olguları için evrensel olduğunu ilan etti. Zeising'in çok sayıda takipçisi vardı ama onun oranlar öğretisinin "matematiksel estetik" olduğunu ilan eden muhalifler de vardı.

^ İnsan figüründe altın oranlar
Zeising muazzam bir iş çıkardı. Yaklaşık iki bin insan vücudunu ölçtü ve altın oranın ortalama istatistik yasasını ifade ettiği sonucuna vardı. Vücudun göbek noktasına göre bölünmesi altın oranın en önemli göstergesidir. Erkek bedeninin oranları ortalama 13: 8 = 1,625 oranında dalgalanır ve kadın bedeninin oranlarına göre altın orana biraz daha yakındır, buna göre oranın ortalama değeri 8 oranıyla ifade edilir: 5 = 1,6. Yeni doğmuş bir bebekte bu oran 1:1, 13 yaşında 1,6, 21 yaşında ise erkeğinkine eşittir. Altın oranın oranları aynı zamanda vücudun diğer kısımlarına (omuzun uzunluğu, ön kol ve el, el ve parmaklar vb.) göre de ortaya çıkar.



^ İnsan vücudunun bazı kısımlarındaki altın oranlar
19. yüzyılın sonu - 20. yüzyılın başı. Altın oranın sanat ve mimari eserlerde kullanımına ilişkin pek çok tamamen biçimci teori ortaya çıktı. Tasarım ve teknik estetiğin gelişmesiyle birlikte altın oran kanunu otomobil, mobilya vb. tasarımına da yayıldı.

Yol kenarındaki otlar arasında olağanüstü bir bitki yetişir - hindiba. Şimdi ona daha yakından bakalım. Ana gövdeden bir sürgün oluşmuştur. İlk yaprak tam oradaydı.

Hindiba

Sürgün uzaya güçlü bir fırlatma yapar, durur, bir yaprak bırakır ama bu sefer ilkinden daha kısadır, yine uzaya fırlatır ama daha az kuvvetle daha da küçük boyutta bir yaprak bırakır ve tekrar fırlatılır. . İlk emisyon 100 birim alınırsa ikincisi 62 birime, üçüncüsü 38, dördüncüsü 24 vb. olur. Yaprakların uzunluğu da altın orana tabidir. Bitki büyürken ve alanı fethederken belirli oranları korudu. Büyüme dürtüleri altın oranla orantılı olarak giderek azaldı.



^ Canlı kertenkele

İlk bakışta kertenkele gözümüze hoş gelen oranlara sahiptir; kuyruğunun uzunluğu vücudun geri kalan kısmının uzunluğuyla ilişkilidir; 62 ila 38 arası.

Doğa simetrik parçalara ve altın oranlara bölme işlemi gerçekleştirmiştir. Parçalar bütünün yapısının tekrarını ortaya koyar.
^ Kuş Yumurtası

Bir şair, doğa bilimci ve sanatçı olan büyük Goethe (suluboyayla çizdi ve resim yaptı), organik cisimlerin biçimi, oluşumu ve dönüşümüne ilişkin birleşik bir doktrin yaratmayı hayal etti.

Pierre Curie bu yüzyılın başında simetriyle ilgili bir dizi derin fikir formüle etti. Çevrenin simetrisi dikkate alınmadan herhangi bir cismin simetrisinin dikkate alınamayacağını savundu.

"Altın" simetri yasaları, temel parçacıkların enerji geçişlerinde, bazı kimyasal bileşiklerin yapısında, gezegensel ve kozmik sistemlerde, canlı organizmaların gen yapılarında kendini gösterir. Bu modeller, yukarıda belirtildiği gibi, bireysel insan organlarının ve bir bütün olarak vücudun yapısında bulunur ve aynı zamanda beynin bioritimlerinde ve işleyişinde ve görsel algıda da kendini gösterir.

Altın oran, simetriyle bağlantısız olarak tek başına ele alınamaz. Büyük Rus kristalograf G.V. Wulf (1863...1925), altın oranın simetrinin tezahürlerinden biri olduğunu düşünüyordu.

^

Bölüm 4. Escher'in Geometrik Rapsodisi.




Hollandalı sanatçı Maur Cornelius Escher (1898-1971), matematiğin, fiziğin temel fikirlerini ve yasalarını ve etrafımızdaki üç boyutlu uzayda insanın gerçeklik nesnelerine ilişkin algısının psikolojik özelliklerini ortaya çıkaran bütün bir görsel imgeler dünyası yarattı.

Sınırsız alan, ayna görüntüleri, düzlem ve uzay arasındaki çelişkiler - tüm bu kavramlar, özel çekicilikle dolu unutulmaz görüntülerde somutlaşıyor. Kertenkeleler lisede çalışılan geometrik haritalamaları görsel olarak temsil etmektedir.

Atlılar paralel transferin, simetrinin ve tüm düzlemin karmaşık konfigürasyondaki figürlerle doldurulmasının mükemmel bir görsel temsilini sağlar.

"Küp ve sihirli kurdeleler." Belvedere kurdeleleri - sadece -

gerçekten büyülü: geometrik bir şaka ama bir bütün

üzerlerindeki “öne çıkanlar” bir sürprizler kompleksi olabilir,

Özellikler ve içbükeyliğin oluşturduğu işareti ve dışbükeyliği düşünün. insanın nesneleri algılaması

Üç boyutlu uzayda bakış açısını değiştirmek yeterlidir.

bantlar nasıl hemen bükülüyor
Maurits Cornelius Escher hem sanata hem de bilime ait eşsiz bir resim galerisi yarattı. Bunlar Einstein'ın görelilik teorisini, maddenin yapısını, geometrik dönüşümleri, topolojiyi, kristalografiyi ve fiziği göstermektedir. Bu, sanatçının bazı albümlerinin başlıkları ile kanıtlanmaktadır: “Sınırsız Uzay”, “Ayna Görüntüleri”, “Ters Çevirmeler”, “Çokyüzlüler”, “Görelilik”, “Düzlem ve uzay arasındaki çelişkiler”, “İmkansız Yapılar”.

Escher, "Kendimi çoğu zaman sanatçı arkadaşlarımdan çok matematikçilere daha yakın hissediyorum" diye yazmıştı. Aslında resimleri sıra dışıdır, derin felsefi anlamlarla doludur ve karmaşık matematiksel ilişkileri aktarır. Escher'in resimlerinin reprodüksiyonları bilimsel ve popüler bilim kitaplarında illüstrasyon olarak yaygın şekilde kullanılmaktadır.

^

Bölüm 5. Aşkın sayı  

 sayısının doğası matematiğin en büyük gizemlerinden biridir. Sezgi, bir dairenin uzunluğunun ve çapının eşit derecede anlaşılabilir büyüklükler olduğunu ileri sürdü.

Geçtiğimiz iki yüzyıl boyunca pek çok bilim adamı yüzlerce ondalık basamağın hesaplanmasıyla ilgilendi.

Ünlü İngiliz matematikçi ve filozof Bertrand Russell, "Seçkin Kişiliklerin Kabusları" kitabında şunları yazdı: "Pi'nin yüzü bir maskeyle gizlenmişti. Herkes kimsenin onu yıkıp hayatta kalamayacağını anlamıştı. Maskenin yarıklarından gözler delici, acımasız, soğuk ve gizemli görünüyordu.” Matematiksel bir kavramı tanımlamak çok acıklı olabilir ama genel olarak doğrudur. Aslında sayıların tarihi, matematiksel düşüncenin asırlardır süren muzaffer yürüyüşünün heyecan verici sayfaları, gerçeği keşfedenlerin yorulmak bilmez çalışmasıdır. Yol boyunca zaferler yaşandı, acı yenilgiler, dramatik çarpışmalar ve komik yanlış anlamalar yaşandı. Bilim insanları, en anlaşılmaz, gizemli ve popüler sayılardan birinin - Yunan harfiyle gösterilen sayının - aritmetik doğasını ortaya çıkarmak için devasa bir araştırma yaptı.

Sümer-Babil matematikçileri bir dairenin çevresini ve alanını =3 değerine karşılık gelen yaklaşımlarla hesapladılar, ayrıca daha doğru bir yaklaşım olan =3 1/8'i de biliyorlardı. Raine (Ahmes) papirüsünde bir dairenin alanının (8/9*2R) 2 =256/81R 2 olduğu belirtilmektedir.

Bunun anlamı ≈3.1605… .
Arşimet, bir dairenin çevresini ve alanını hesaplama problemini bilimsel bir temele oturtan ilk kişiydi. Yani, r =  > 48a 96 ≈3,1410>3 10/71

Bilim adamı üst sınırı hesapladı (3 1/7): 3 10/71≈3.14084...Ünlü matematikçi ve astronom Ulugbek'in bilim merkezinde çalışan Özbek matematikçi ve astronom el-Kashi, 2 sayısını hesapladı. 16 doğru ondalık basamak doğruluğu ile: 2=6,283 185 307 179 5866.

Bir daire içine yazılan düzgün çokgenlerin kenar sayısını iki katına çıkararak 800.355.168 kenarlı bir çokgen elde etti.

Hollandalı matematikçi Ludolf Van Zeijlen (1540-1610) 35 ondalık basamağı hesapladı ve bu değeri mezar anıtına kazınmak üzere miras bıraktı.

Polonyalı matematikçi A.A. Kohanski (1631-1700) tarafından yapılan dairenin en güzel dörtgenlerinden biri.

Tüm yapılar aynı pusula çözümü kullanılarak gerçekleştirilir ve hızlı bir şekilde sayının oldukça iyi bir şekilde tahmin edilmesine yol açar.

Johann Heinrich Lambert (1728-1777) – Alman matematikçi, fizikçi, gökbilimci ve filozof.  sayısını çözmek için kararlı bir adım attım. 1766'da

 sayısının irrasyonelliğini kanıtladı. Sayının sırrının ortaya çıkmasının sonucu Alman matematikçi Ferdinand Lindemann (1852-1939) tarafından özetlendi.

1882'de  sayısının aşkın olduğunu kanıtladı. Böylece bu problemin klasik formülasyonunda daireyi karelemenin imkansızlığı kanıtlanmış oldu.

Rastgele olaylar: Bir iğne atılarak gerçekleştirildi ve bilim adamlarının  sayısını oldukça yüksek bir doğrulukla hesaplamasına da yardımcı oldu.
Bu görev ilk kez Fransız doğa bilimci Georges Louis Leclerc Buffon (1707-1788) tarafından ortaya atılmış ve gerçekleştirilmiştir.

Aynı şekilde İsviçreli gökbilimci ve matematikçi Rudolf Wolf (1816-1896) da 5 bin iğne atışının sonucunda  = 3,1596 sonucunu bulmuştur.

Diğer bilim adamları şu sonuçları elde ettiler: 3204 atışla =3,1533; 3408 atışla =3,141593.

^

Kullanılmış literatürün listesi.

1. Genç Bir Matematikçinin Ansiklopedik Sözlüğü

2. Vasiliev N.B., Gutenmacher V.L. Düz çizgiler ve eğriler - M.: Nauka, 1976

3. Markushevich A.I. Harika kıvrımlar. – M., Nauka, 1978

4. Stroik D.Ya. Matematik tarihinin kısa bir özeti. – M., Nauka, 1984

5. Glazer G.I. Okulda matematik tarihi., M., Eğitim, 1982

6. Gardner M. Matematiksel mucizeler ve sırlar. M., Mir. 1978


  1. Kovalev F.V. Resimde altın oran. K.: Vyshcha Okulu, 1989.

  2. Kepler I. Altıgen kar taneleri hakkında. – M., 1982.

  3. Dürer A. Günlükler, mektuplar, incelemeler - L., M., 1957.

  4. Tsekov-Pencil Ts.İkinci altın oran hakkında. – Sofya, 1983.

  5. Stakhov A. Altın oranın kodları.