Düz çizgiler formülü arasındaki açıyı bulun. İki düz çizgi arasındaki açı
A. İki düz çizgi verilse, bu düz çizgiler, Bölüm 1'de belirtildiği gibi, dar ya da geniş olabilen çeşitli pozitif ve negatif açılar oluşturur. Bu açılardan birini bildiğimiz için diğerini kolaylıkla bulabiliriz.
Bu arada tüm bu açılar için teğetin sayısal değeri aynı, fark sadece işarette olabilir
Doğru denklemleri. Sayılar birinci ve ikinci düz çizgilerin yön vektörlerinin izdüşümleridir.Bu vektörler arasındaki açı, düz çizgilerin oluşturduğu açılardan birine eşittir. Bu nedenle sorun vektörler arasındaki açının belirlenmesinde ortaya çıkıyor.
Basitlik açısından, iki düz çizgi arasındaki açının dar bir pozitif açı olduğu konusunda hemfikir olabiliriz (örneğin, Şekil 53'te olduğu gibi).
O zaman bu açının tanjantı her zaman pozitif olacaktır. Bu nedenle, formül (1)'in sağ tarafında bir eksi işareti varsa, o zaman onu atmalıyız, yani yalnızca mutlak değeri kaydetmeliyiz.
Örnek. Düz çizgiler arasındaki açıyı belirleyin
Formül (1)'e göre elimizde
İle. Açının hangi tarafının başlangıcı, hangisinin sonu olduğu belirtilirse, o zaman açının yönünü her zaman saat yönünün tersine sayarak formül (1)'den daha fazlasını çıkarabiliriz. Şekil 2'den kolayca görülebileceği gibi. Şekil 53'te, formül (1)'in sağ tarafında elde edilen işaret, ikinci düz çizginin birinciyle ne tür bir açı - dar veya geniş - oluştuğunu gösterecektir.
(Aslında Şekil 53'te birinci ve ikinci yön vektörleri arasındaki açının ya düz çizgiler arasında istenen açıya eşit olduğunu ya da bundan ±180° farklı olduğunu görüyoruz.)
D. Doğrular paralelse yön vektörleri de paraleldir.İki vektörün paralellik koşulunu uygulayarak şunu elde ederiz!
Bu iki doğrunun paralelliği için gerekli ve yeterli bir koşuldur.
Örnek. Doğrudan
paralel çünkü
e. Doğrular dik ise yön vektörleri de diktir. İki vektörün diklik koşulunu uygulayarak iki düz çizginin diklik koşulunu elde ederiz:
Örnek. Doğrudan
gerçeğinden dolayı diktirler
Paralellik ve diklik koşullarıyla bağlantılı olarak aşağıdaki iki problemi çözeceğiz.
F. Verilen çizgiye paralel bir noktadan geçen bir çizgi çizin
Çözüm bu şekilde gerçekleştirilir. İstenilen çizgi buna paralel olduğundan, yön vektörü olarak verilen çizgininkiyle aynı olanı alabiliriz, yani A ve B projeksiyonlarına sahip bir vektör. Ve sonra istenen çizginin denklemi şu şekilde yazılacaktır: form (§ 1)
Örnek. Doğruya paralel (1; 3) noktasından geçen bir çizginin denklemi
Sırada olacak!
G. Verilen çizgiye dik bir noktadan geçen bir çizgi çizin
Burada artık A çıkıntılı vektörü kılavuz vektör olarak almak uygun değildir, ancak vektörü ona dik olarak almak gerekir. Dolayısıyla bu vektörün izdüşümleri her iki vektörün diklik durumuna göre, yani şu koşula göre seçilmelidir:
Bu koşul sayısız yolla yerine getirilebilir, çünkü burada iki bilinmeyenli bir denklem var ama en kolay yol veya almaktır.Daha sonra istenilen doğrunun denklemi şeklinde yazılacaktır.
Örnek. Dik bir doğru üzerinde (-7; 2) noktasından geçen bir doğrunun denklemi
aşağıdakiler olacak (ikinci formüle göre)!
H. Çizgilerin formun denklemleri ile verilmesi durumunda
Talimatlar
Not
Trigonometrik fonksiyonun teğet periyodu 180 dereceye eşittir, yani düz çizgilerin eğim açıları mutlak değerde bu değeri aşamaz.
Yararlı tavsiye
Açısal katsayılar birbirine eşitse, bu çizgiler çakıştığı veya paralel olduğu için bu çizgiler arasındaki açı 0'dır.
Kesişen çizgiler arasındaki açının değerini belirlemek için, her iki çizgiyi (veya bunlardan birini) kesişene kadar paralel öteleme yöntemini kullanarak yeni bir konuma taşımak gerekir. Bundan sonra ortaya çıkan kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulmalısınız.
İhtiyacın olacak
- Cetvel, dik üçgen, kalem, iletki.
Talimatlar
O halde V = (a, b, c) vektörü ve A x + B y + C z = 0 düzlemi verilsin; burada A, B ve C normal N'nin koordinatlarıdır. Sonra açının kosinüsü V ve N vektörleri arasındaki α şuna eşittir: çünkü α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).
Açıyı derece veya radyan cinsinden hesaplamak için, elde edilen ifadeden kosinüs fonksiyonunun tersini hesaplamanız gerekir; arkkosinüs:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).
Örnek: bul köşe arasında vektör(5, -3, 8) ve uçak 2 x – 5 y + 3 z = 0 genel denklemiyle verilir. Çözüm: N = (2, -5, 3) düzleminin normal vektörünün koordinatlarını yazın. Bilinen tüm değerleri verilen formülde yerine koyun: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Konuyla ilgili video
Bir daire ile ortak noktası olan bir doğru, daireye teğettir. Teğetin diğer bir özelliği de temas noktasına çizilen yarıçapa her zaman dik olması yani teğet ve yarıçapın düz bir çizgi oluşturmasıdır. köşe. Bir AB ve AC çemberine bir A noktasından iki teğet çizilirse, bunlar her zaman birbirine eşittir. Teğetler arasındaki açının belirlenmesi ( köşe ABC) Pisagor teoremi kullanılarak yapılmıştır.
Talimatlar
Açıyı belirlemek için, OB ve OS dairesinin yarıçapını ve teğetin başlangıç noktasının dairenin merkezinden olan mesafesini - O bilmeniz gerekir. Yani, ABO ve ACO açıları eşittir, OB yarıçapı, örneğin, 10 cm ve AO dairesinin merkezine olan mesafe 15 cm'dir Pisagor teoremine uygun formülü kullanarak teğetin uzunluğunu belirleyin: AB = AO2 – OB2'nin karekökü veya 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
Kısa konuşacağım. İki düz çizgi arasındaki açı, yön vektörleri arasındaki açıya eşittir. Böylece, a = (x 1 ; y 1 ; z 1) ve b = (x 2 ; y 2 ; z 2) yön vektörlerinin koordinatlarını bulmayı başarırsanız, açıyı bulabilirsiniz. Daha doğrusu, formüle göre açının kosinüsü:
Belirli örnekleri kullanarak bu formülün nasıl çalıştığını görelim:
Görev. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpünde, E ve F noktaları işaretlenmiştir - sırasıyla A 1 B 1 ve B 1 C 1 kenarlarının orta noktaları. AE ve BF çizgileri arasındaki açıyı bulun.
Küpün kenarı belirtilmediği için AB = 1'i ayarlayalım. Standart bir koordinat sistemi sunuyoruz: başlangıç noktası A noktasındadır, x, y, z eksenleri sırasıyla AB, AD ve AA 1 boyunca yönlendirilir. Birim segment AB = 1'e eşittir. Şimdi doğrularımızın yön vektörlerinin koordinatlarını bulalım.
AE vektörünün koordinatlarını bulalım. Bunun için A = (0; 0; 0) ve E = (0.5; 0; 1) noktalarına ihtiyacımız var. E noktası A 1 B 1 segmentinin ortası olduğundan, koordinatları uçların koordinatlarının aritmetik ortalamasına eşittir. AE vektörünün orijininin koordinatların orijini ile çakıştığına dikkat edin, dolayısıyla AE = (0,5; 0; 1).
Şimdi BF vektörüne bakalım. Benzer şekilde B = (1; 0; 0) ve F = (1; 0.5; 1) noktalarını analiz ediyoruz çünkü F, B 1 C 1 segmentinin ortasıdır. Sahibiz:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).
Yani yön vektörleri hazır. Düz çizgiler arasındaki açının kosinüsü, yön vektörleri arasındaki açının kosinüsüdür, dolayısıyla elimizde:
Görev. Tüm kenarları 1'e eşit olan normal bir ABCA 1 B 1 C 1 üçgen prizmasında, D ve E noktaları işaretlenir - sırasıyla A 1 B 1 ve B 1 C 1 kenarlarının orta noktaları. AD ve BE çizgileri arasındaki açıyı bulun.
Standart bir koordinat sistemi sunalım: başlangıç noktası A noktasındadır, x ekseni AB boyunca, z - AA 1 boyunca yönlendirilir. Y eksenini OXY düzlemi ABC düzlemiyle çakışacak şekilde yönlendirelim. Birim segment AB = 1'e eşittir. Gerekli doğruların yön vektörlerinin koordinatlarını bulalım.
Öncelikle AD vektörünün koordinatlarını bulalım. Şu noktaları göz önünde bulundurun: A = (0; 0; 0) ve D = (0,5; 0; 1), çünkü D - A 1 B 1 segmentinin ortası. AD vektörünün başlangıcı koordinatların orijini ile çakıştığı için AD = (0,5; 0; 1) elde ederiz.
Şimdi BE vektörünün koordinatlarını bulalım. B = (1; 0; 0) noktasının hesaplanması kolaydır. E noktası - C 1 B 1 segmentinin ortası - biraz daha karmaşıktır. Sahibiz:
Açının kosinüsünü bulmak için kalır:
Görev. Normal bir altıgen prizmada ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , tüm kenarları 1'e eşit olan K ve L noktaları işaretlenmiştir - sırasıyla A 1 B 1 ve B 1 C 1 kenarlarının orta noktaları . AK ve BL çizgileri arasındaki açıyı bulun.
Bir prizma için standart bir koordinat sistemi tanıtalım: koordinatların kökenini alt tabanın merkezine yerleştiriyoruz, x ekseni FC boyunca yönlendiriliyor, y ekseni AB ve DE parçalarının orta noktalarından geçiyor ve z eksen dikey olarak yukarı doğru yönlendirilir. Birim segmenti yine AB = 1'e eşittir. İlgilendiğimiz noktaların koordinatlarını yazalım:
K ve L noktaları sırasıyla A 1 B 1 ve B 1 C 1 parçalarının orta noktalarıdır, dolayısıyla koordinatları aritmetik ortalama yoluyla bulunur. Noktaları bilerek AK ve BL yön vektörlerinin koordinatlarını buluruz:
Şimdi açının kosinüsünü bulalım:
Görev. Tüm kenarları 1'e eşit olan düzenli bir dörtgen piramit SABCD'de, sırasıyla SB ve SC kenarlarının orta noktaları olan E ve F noktaları işaretlenir. AE ve BF çizgileri arasındaki açıyı bulun.
Standart bir koordinat sistemi tanıtalım: başlangıç noktası A noktasındadır, x ve y eksenleri sırasıyla AB ve AD boyunca yönlendirilir ve z ekseni dikey olarak yukarıya doğru yönlendirilir. Birim segmenti AB = 1'e eşittir.
E ve F noktaları sırasıyla SB ve SC doğru parçalarının orta noktalarıdır, dolayısıyla bunların koordinatları uçların aritmetik ortalaması olarak bulunur. İlgilendiğimiz noktaların koordinatlarını yazalım:
bir = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Noktaları bilerek AE ve BF yön vektörlerinin koordinatlarını buluruz:
A noktası orijin olduğundan, AE vektörünün koordinatları E noktasının koordinatlarıyla çakışmaktadır. Açının kosinüsünü bulmak için kalır:
Tanım.İki doğruya y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 verilirse, bu çizgiler arasındaki dar açı şu şekilde tanımlanacaktır:
k 1 = k 2 ise iki doğru paraleldir. k 1 = -1/ k 2 ise iki doğru birbirine diktir.
Teorem. Ax + Bу + C = 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 çizgileri, A 1 = λA, B 1 = λB katsayıları orantılı olduğunda paraleldir. Ayrıca C 1 = λC ise çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.
Belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi
Belirli bir çizgiye dik
Tanım. M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen ve y = kx + b düz çizgisine dik olan düz bir çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir:
Noktadan çizgiye mesafe
Teorem. Bir M(x 0, y 0) noktası verilirse, Ax + Bу + C = 0 çizgisine olan uzaklık şu şekilde belirlenir:
.
Kanıt. M 1 (x 1, y 1) noktası, M noktasından belirli bir düz çizgiye bırakılan dikmenin tabanı olsun. Daha sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:
(1)
X 1 ve y 1 koordinatları denklem sistemini çözerek bulunabilir:
Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından belirli bir çizgiye dik olarak geçen bir çizginin denklemidir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
sonra çözersek şunu elde ederiz:
Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:
Teorem kanıtlandı.
Örnek. Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k1 = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Örnek. 3x – 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y – 3 = 0 doğrularının birbirine dik olduğunu gösterin.
Çözüm. Şunu buluruz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, dolayısıyla çizgiler diktir.
Örnek. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C köşesinden çizilen yüksekliğin denklemini bulun.
Çözüm. AB tarafının denklemini buluyoruz: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Gerekli yükseklik denklemi şu şekildedir: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b. k = . O halde y = . Çünkü yükseklik C noktasından geçerse koordinatları şu denklemi sağlar: 
buradan itibaren b = 17. Toplam: . 
Cevap: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Belirli bir noktadan belirli bir yönde geçen bir çizginin denklemi. Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemi. İki düz çizgi arasındaki açı. İki düz çizginin paralellik ve diklik durumu. İki çizginin kesişme noktasının belirlenmesi
1. Belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi A(X 1 , sen 1) eğim tarafından belirlenen belirli bir yönde k,
sen - sen 1 = k(X - X 1). (1)
Bu denklem bir noktadan geçen çizgilerden oluşan kalemi tanımlar A(X 1 , sen 1), buna ışın merkezi denir.
2. İki noktadan geçen doğrunun denklemi: A(X 1 , sen 1) ve B(X 2 , sen 2), şu şekilde yazılmıştır:
Verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin açısal katsayısı aşağıdaki formülle belirlenir:
3. Düz çizgiler arasındaki açı A Ve B ilk düz çizginin döndürülmesi gereken açıdır A bu çizgilerin kesişme noktası etrafında, ikinci çizgiye denk gelene kadar saat yönünün tersine B. Eğimli denklemlerle iki düz çizgi veriliyorsa
sen = k 1 X + B 1 ,
sen = k 2 X + B 2 , (4)
daha sonra aralarındaki açı formülle belirlenir
Kesrin payında birinci satırın eğiminin ikinci satırın eğiminden çıkarıldığı unutulmamalıdır.
Bir doğrunun denklemleri genel formda verilirse
A 1 X + B 1 sen + C 1 = 0,
A 2 X + B 2 sen + C 2 = 0, (6)
aralarındaki açı formülle belirlenir
4. İki çizginin paralelliği için koşullar:
a) Doğrular açısal katsayılı denklem (4) ile verilmişse, paralelliklerinin gerekli ve yeterli koşulu açısal katsayılarının eşitliğidir:
k 1 = k 2 . (8)
b) Doğruların genel form (6)'daki denklemlerle verildiği durumda, paralellikleri için gerekli ve yeterli koşul, denklemlerindeki karşılık gelen akım koordinatlarının katsayılarının orantılı olmasıdır;
5. İki düz çizginin diklik koşulları:
a) Doğruların açısal katsayılı denklem (4) ile verilmesi durumunda, bunların dikliği için gerekli ve yeterli koşul, açısal katsayılarının büyüklük olarak ters ve işaret olarak zıt olmasıdır;
Bu koşul şu şekilde de yazılabilir:
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Doğruların denklemleri genel formda (6) verilmişse, dikliklerinin (gerekli ve yeterli) koşulu eşitliği sağlamaktır.
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. İki doğrunun kesişme noktasının koordinatları denklem sistemi (6) çözülerek bulunur. Doğrular (6) ancak ve ancak şu durumlarda kesişir:
1. Verilen l doğrusuna biri paralel, diğeri dik olan M noktasından geçen doğruların denklemlerini yazınız.
Açı uzaydaki düz çizgiler arasında, verilere paralel rastgele bir noktadan çizilen iki düz çizginin oluşturduğu bitişik açılardan herhangi birine diyeceğiz.
Uzayda iki satır verilsin:
Açıkçası, düz çizgiler arasındaki φ açısı, bunların yön vektörleri ile φ arasındaki açı olarak alınabilir. O zamandan beri, vektörler arasındaki açının kosinüsü formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
İki düz çizginin paralellik ve diklik koşulları, yön vektörlerinin paralellik ve diklik koşullarına eşdeğerdir ve:
İki düz paralel ancak ve ancak karşılık gelen katsayıların orantılı olması durumunda, yani. ben 1 paralel ben 2 ancak ve ancak paralel ise 
.
İki düz dik ancak ve ancak karşılık gelen katsayıların çarpımlarının toplamı sıfıra eşitse: .
sen çizgi ile düzlem arasındaki gol
Düz olmasına izin ver D- θ düzlemine dik değil;
D′− bir çizginin izdüşümü Dθ düzlemine;
Düz çizgiler arasındaki en küçük açı D Ve D' arayacağız düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı.
Bunu φ=( olarak gösterelim. D,θ)
Eğer D⊥θ, o halde ( D,θ)=π/2
Hey→J→k→− dikdörtgen koordinat sistemi.
Düzlem denklemi:
θ: Balta+İle+Cz+D=0
Düz çizginin bir nokta ve yön vektörü ile tanımlandığını varsayıyoruz: D[M 0,P→]
Vektör N→(A,B,C)⊥θ
Sonra vektörler arasındaki açıyı bulmak kalır N→ ve P→ γ=( olarak gösterelim N→,P→).
γ açısı ise<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Açı γ>π/2 ise istenilen açı φ=γ−π/2 olur
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Daha sonra, düz çizgi ile düzlem arasındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ ap 1+kan şekeri 2+KP 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23
Soru 29. İkinci dereceden form kavramı. İkinci dereceden formların işaret kesinliği.
İkinci dereceden form j (x 1, x 2, …, x n) n gerçek değişkenler x 1, x 2, …, x n formun toplamı denir 
, (1)
Nerede bir ben – katsayı adı verilen bazı sayılar. Genelliği kaybetmeden şunu varsayabiliriz: bir ben = bir ji.
İkinci dereceden form denir geçerli, Eğer bir ben
Î GR. İkinci dereceden formun matrisi katsayılarından oluşan bir matris denir. İkinci dereceden form (1) tek simetrik matrise karşılık gelir 
Yani Bir T = Bir. Sonuç olarak, ikinci dereceden form (1), j matris formunda yazılabilir ( X) = x T Ah, Nerede x T = (X 1 X 2 … xn). (2)
Ve tersine, her simetrik matris (2), değişkenlerin gösterimine kadar benzersiz bir ikinci dereceden forma karşılık gelir.
İkinci dereceden formun sıralaması matrisinin rütbesi denir. İkinci dereceden form denir dejenere olmayan, matrisi tekil değilse A. (hatırlayın ki matris A determinantı sıfıra eşit değilse dejenere olmayan denir). Aksi takdirde ikinci dereceden form dejenere olur.
pozitif tanımlı(veya kesinlikle olumlu) eğer
J ( X) > 0 , herkes için X = (X 1 , X 2 , …, xn), hariç X = (0, 0, …, 0).
Matris A pozitif tanımlı ikinci dereceden form j ( X) aynı zamanda pozitif tanımlı olarak da adlandırılır. Bu nedenle, pozitif belirli bir ikinci dereceden form, benzersiz bir pozitif belirli matrise karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir.
İkinci dereceden form (1) denir olumsuz tanımlanmış(veya kesinlikle olumsuz) eğer
J ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, xn), hariç X = (0, 0, …, 0).
Yukarıdakine benzer şekilde, negatif belirli ikinci dereceden formdaki bir matrise negatif tanımlı da denir.
Sonuç olarak, pozitif (negatif) belirli ikinci dereceden form j ( X) minimum (maksimum) değere ulaşır j ( X*) = 0 X* = (0, 0, …, 0).
İkinci dereceden formların çoğunun işaret tanımlı olmadığını, yani ne pozitif ne de negatif olduklarını unutmayın. Bu tür ikinci dereceden formlar yalnızca koordinat sisteminin başlangıcında değil, diğer noktalarda da kaybolur.
Ne zaman N> 2, ikinci dereceden bir formun işaretini kontrol etmek için özel kriterler gereklidir. Şimdi onlara bakalım.
Büyük küçükler ikinci dereceden forma küçükler denir:
yani bunlar 1, 2, ... düzeyinde küçüklerdir. N matrisler A, sol üst köşede yer alır, sonuncusu matrisin determinantıyla çakışır A.
Pozitif Kesinlik Kriteri (Sylvester kriteri)
X) = x T Ah pozitif tanımlıysa, matrisin tüm majör minörlerinin olması gerekli ve yeterlidir A olumluydu, yani: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Negatif kesinlik kriteri İkinci dereceden form için j ( X) = x T Ah negatif belirliyse, ana küçüklerinin çift sıranın pozitif ve tek sıranın negatif olması gerekli ve yeterlidir, yani: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N