Çevrimiçi parametreli türev. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

x, y değişkenlerinin üçüncü bir t değişkeninin (parametre adı verilen) fonksiyonları olduğu bir düzlem üzerinde bir çizgi tanımlamayı düşünün:

Her bir değer için T belirli bir aralıktan itibaren belirli değerler karşılık gelir X Ve y, bir dolayısıyla düzlemin belirli bir M(x,y) noktası. Ne zaman T belirli bir aralıktaki tüm değerlerin üzerinden geçer, ardından nokta M (x, y) bir satırı tanımlar L. Denklemlere (2.2) parametrik çizgi denklemleri denir L.

Eğer x = φ(t) fonksiyonunun tersi t = Ф(x) varsa, o zaman bu ifadeyi y = g(t) denkleminde yerine koyarsak, y = g(Ф(x)) elde ederiz; bu, şunu belirtir: sen bir fonksiyonu olarak X. Bu durumda denklemlerin (2.2) fonksiyonu tanımladığını söylüyoruz. sen parametrik olarak.

Örnek 1.İzin vermek M(x,y)– yarıçaplı bir daire üzerinde rastgele bir nokta R ve orijine odaklanmıştır. İzin vermek T– eksen arasındaki açı Öküz ve yarıçap OM(bkz. Şekil 2.3). Daha sonra x, y aracılığıyla ifade edilir T:

Denklemler (2.3) bir çemberin parametrik denklemleridir. t parametresini denklemlerden (2.3) hariç tutalım. Bunu yapmak için her denklemin karesini alır ve eklersek şunu elde ederiz: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) veya x 2 + y 2 = R 2 – Kartezyen denklemde bir dairenin denklemi koordinat sistemi. İki fonksiyonu tanımlar: Bu fonksiyonların her biri parametrik denklemlerle (2.3) verilir, ancak birinci fonksiyon ve ikincisi için.

Örnek 2. Parametrik denklemler

yarı eksenli bir elips tanımlayın a, b(Şekil 2.4). Parametrenin denklemlerden hariç tutulması T elipsin kanonik denklemini elde ederiz:

Örnek 3. Bir sikloid, eğer bu daire düz bir çizgide kaymadan yuvarlanıyorsa, bir daire üzerinde yatan bir nokta ile tanımlanan bir çizgidir (Şekil 2.5). Sikloidin parametrik denklemlerini tanıtalım. Yuvarlanan dairenin yarıçapı şöyle olsun: A, nokta M Sikloidi tanımlayan hareketin başlangıcı koordinatların kökenine denk geliyordu.

Koordinatları belirleyelim X, y puan M daire bir açıyla döndükten sonra T
(Şekil 2.5), t = ÐMCB. Yay uzunluğu M.B. segmentin uzunluğuna eşit O.B.çember kaymadan yuvarlandığından dolayı

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – maliyet = a(1 – maliyet).

Böylece sikloidin parametrik denklemleri elde edilir:

Bir parametreyi değiştirirken T 0'dan 2π daire bir tur döner ve nokta M bir sikloidin bir yayını tanımlar. Denklemler (2.5) şunu verir: sen bir fonksiyonu olarak X. Her ne kadar fonksiyon x = a(t – sint) ters bir işlevi vardır, ancak temel işlevler cinsinden ifade edilmez, dolayısıyla işlev y = f(x) temel işlevlerle ifade edilmez.

Denklemler (2.2) ile parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini ele alalım. Belirli bir t değişim aralığında x = φ(t) fonksiyonu ters fonksiyona sahiptir t = F(x), Daha sonra y = g(Ф(x)). İzin vermek x = φ(t), y = g(t) türevleri var ve x"t≠0. Karmaşık fonksiyonların farklılaşması kuralına göre y"x=y"t×t"x. Ters fonksiyonun türevini alma kuralına dayanarak, bu nedenle:

Ortaya çıkan formül (2.6), parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulmayı sağlar.

Örnek 4. Fonksiyonun sen, bağlı olarak X, parametrik olarak belirtilir:

Çözüm. .
Örnek 5. Eğimi bulun k parametrenin değerine karşılık gelen M 0 noktasında sikloide teğettir.
Çözüm. Sikloid denklemlerinden: y" t = asint, x" t = a(1 – maliyet), Bu yüzden

Bir noktada teğet eğim M0 değerine eşit t 0 = π/4:

DİFERANSİYEL FONKSİYONU

Fonksiyonun bu noktada olmasına izin verin x 0 türevi vardır. A-tarikatı:
bu nedenle limitin özelliklerine göre (Bölüm 1.8), burada A– sonsuz küçük Δx → 0. Buradan

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Δx → 0 olduğundan, eşitlikteki ikinci terim (2.7), ile karşılaştırıldığında daha yüksek mertebeden sonsuz küçüktür. , bu nedenle Δy ve f " (x 0)×Δx eşdeğerdir, sonsuz küçüktür (f "(x 0) ≠ 0 için).

Böylece, Δy fonksiyonunun artışı, ilk f "(x 0)×Δx olan iki terimden oluşur. Ana bölüm Δy artışı, Δx'e göre doğrusal (f "(x 0)≠ 0 için).

Diferansiyel x 0 noktasındaki f(x) fonksiyonuna, fonksiyonun artışının ana kısmı denir ve şöyle gösterilir: ölmek veya df(x0). Buradan,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2,8)

Örnek 1. Bir fonksiyonun diferansiyelini bulun ölmek ve y = x 2 fonksiyonu için Δy fonksiyonunun artışı:
1) keyfi X ve Δ X; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Çözüm

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Eğer x 0 = 20, Δx = 0,1 ise Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Eşitliği (2.7) şu şekilde yazalım:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Δy artışı diferansiyelden farklıdır ölmekΔx'e kıyasla daha yüksek dereceden sonsuz küçük bir değere kadar, bu nedenle yaklaşık hesaplamalarda, Δx yeterince küçükse yaklaşık Δy ≈ dy eşitliği kullanılır.

Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0) olduğunu düşünürsek yaklaşık bir formül elde ederiz:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Örnek 2. Yaklaşık olarak hesaplayın.

Çözüm. Dikkate almak:

Formül (2.10)'u kullanarak şunu elde ederiz:

Yani ≈ 2,025.

Diferansiyelin geometrik anlamını ele alalım df(x 0)(Şekil 2.6).

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine M 0 (x0, f(x 0)) noktasında bir teğet çizelim, φ KM0 teğeti ile Ox ekseni arasındaki açı olsun, sonra f"( x 0) = tanφ ΔM0NP'den:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Ancak PN, x x 0'dan x 0 + Δx'e değiştikçe teğet ordinatın artışıdır.

Sonuç olarak, f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki diferansiyeli, teğetin ordinatındaki artışa eşittir.

Fonksiyonun diferansiyelini bulalım
y = x. (x)" = 1 olduğundan dx = 1×Δx = Δx olur. Bağımsız değişken x'in diferansiyelinin artışına eşit olduğunu varsayacağız, yani dx = Δx.

Eğer x keyfi bir sayı ise, o zaman (2.8) eşitliğinden df(x) = f "(x)dx elde ederiz, dolayısıyla .
Dolayısıyla, bir y = f(x) fonksiyonunun türevi, diferansiyelinin argümanın diferansiyeline oranına eşittir.

Bir fonksiyonun diferansiyelinin özelliklerini ele alalım.

Eğer u(x), v(x) türevlenebilir fonksiyonlar ise, aşağıdaki formüller geçerlidir:

Bu formülleri kanıtlamak için bir fonksiyonun toplamı, çarpımı ve bölümü için türev formülleri kullanılır. Örneğin formül (2.12)'yi kanıtlayalım:

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Karmaşık bir fonksiyonun diferansiyelini ele alalım: y = f(x), x = φ(t), yani. y = f(φ(t))

O halde dy = y" t dt, ancak y" t = y" x ×x" t, yani dy =y" x x" t dt. Düşünen,

x" t = dx olursa, dy = y" x dx =f "(x)dx elde ederiz.

Dolayısıyla, x =φ(t) olan karmaşık bir fonksiyonun diferansiyeli y = f(x) dy = f "(x)dx biçimine sahiptir; x'in bağımsız bir değişken olması durumunda olduğu gibi. Bu özellik denir diferansiyel formunun değişmezliği A.

Vurgu yapmayalım, bu paragrafta her şey de oldukça basit. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun genel formülünü yazabilirsiniz, ancak konuyu açıklığa kavuşturmak için hemen belirli bir örneği yazacağım. Parametrik formda fonksiyon iki denklemle verilir: . Çoğu zaman denklemler küme parantezleri altında değil, sırayla yazılır: , .

Değişkene parametre denir ve “eksi sonsuz”dan “artı sonsuz”a kadar değerler alabilir. Örneğin değeri düşünün ve onu her iki denklemde değiştirin: . Veya insani terimlerle: "eğer x dörde eşitse, o zaman y de bire eşittir." Koordinat düzleminde bir noktayı işaretleyebilirsiniz ve bu nokta parametrenin değerine karşılık gelecektir. Benzer şekilde “te” parametresinin herhangi bir değeri için bir nokta bulabilirsiniz. "Normal" bir fonksiyona gelince, Amerikan Kızılderilileri için parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tüm haklarına da saygı duyulur: bir grafik oluşturabilir, türevleri bulabilirsiniz vb. Bu arada, parametrik olarak belirlenmiş bir fonksiyonun grafiğini çizmeniz gerekiyorsa, sayfadaki geometrik programımı indirin Matematiksel formüller ve tablolar.

En basit durumlarda fonksiyonu açıkça temsil etmek mümkündür. Birinci denklemdeki parametreyi ifade edelim: – ve bunu ikinci denklemde yerine koyun: . Sonuç sıradan bir kübik fonksiyondur.

Daha “ağır” vakalarda bu hile işe yaramaz. Ancak bunun önemi yok çünkü parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın bir formülü var:

“Te değişkenine göre oyunun” türevini buluyoruz:

Harf için doğal olarak tüm türev kuralları ve türev tablosu geçerlidir, dolayısıyla, Türev bulma sürecinde herhangi bir yenilik yok. Tablodaki tüm "X"leri zihinsel olarak "Te" harfiyle değiştirin.

“x”in te değişkenine göre türevini buluyoruz:

Şimdi geriye kalan tek şey bulunan türevleri formülümüzde yerine koymaktır:

Hazır. Fonksiyonun kendisi gibi türev de parametreye bağlıdır.

Gösterime gelince, bunu formülde yazmak yerine, alt simge olmadan basitçe yazabilirsiniz, çünkü bu "X'e göre" "düzenli" bir türevdir. Ancak literatürde her zaman bir seçenek vardır, bu yüzden standarttan sapmayacağım.

Örnek 6

Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Böylece:

Parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın özel bir özelliği şudur: her adımda sonucu mümkün olduğunca basitleştirmek faydalıdır. Dolayısıyla ele alınan örnekte, bulduğumda kökün altındaki parantezleri açtım (gerçi bunu yapmamış olabilirim). Formüle ikame edildiğinde birçok şeyin iyi şekilde azaltılma ihtimali yüksektir. Tabii ki, beceriksiz cevaplara sahip örnekler var.

Örnek 7

Parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Makalede Türevlerle ilgili en basit tipik problemler Bir fonksiyonun ikinci türevini bulmamız gereken örneklere baktık. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci türevini de bulabilirsiniz ve bu, aşağıdaki formül kullanılarak bulunur: . İkinci türevi bulmak için önce birinci türevi bulmanız gerektiği oldukça açıktır.

Örnek 8

Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini bulun

İlk önce birinci türevi bulalım.
Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Bulunan türevleri formülde yerine koyar. Basitleştirme amacıyla trigonometrik formülü kullanıyoruz:

Parametrik bir fonksiyonun türevini bulma probleminde, çoğu zaman basitleştirme amacıyla şunun kullanılması gerektiğini fark ettim: trigonometrik formüller . Bunları hatırlayın veya el altında bulundurun ve her ara sonucu ve yanıtı basitleştirme fırsatını kaçırmayın. Ne için? Şimdi türevini almamız gerekiyor ve bu açıkça türevini bulmaktan daha iyi.

İkinci türevi bulalım.
Şu formülü kullanıyoruz: .

Formülümüze bakalım. Payda önceki adımda zaten bulunmuştur. Geriye “te” değişkenine göre birinci türevin türevi olan payı bulmak kalıyor:

Formülü kullanmaya devam ediyor:

Malzemeyi güçlendirmek için kendi başınıza çözmeniz için birkaç örnek daha sunuyorum.

Örnek 9

Örnek 10

Parametrik olarak belirtilen bir işlevi bulun ve bulun

Sana başarılar diliyorum!

Umarım bu ders faydalı olmuştur ve artık örtülü olarak belirtilen fonksiyonların türevlerini ve parametrik fonksiyonlardan kolayca bulabilirsiniz.

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 3: Çözüm:

Böylece:

Şu ana kadar bu doğruların noktalarının güncel koordinatlarını doğrudan birleştiren bir düzlem üzerindeki doğruların denklemlerini ele aldık. Bununla birlikte, bir çizgiyi tanımlamanın başka bir yöntemi sıklıkla kullanılır; burada mevcut koordinatlar üçüncü bir değişkenin fonksiyonları olarak kabul edilir.

Bir değişkenin iki fonksiyonu verilsin

t'nin aynı değerleri için kabul edilir. O zaman bu t değerlerinden herhangi biri belirli bir değere ve belirli bir y değerine ve dolayısıyla belirli bir noktaya karşılık gelir. T değişkeni, fonksiyonların tanımı alanındaki (73) tüm değerleri geçtiğinde, nokta düzlemdeki belirli bir C çizgisini tanımlar.Denklemlere (73) bu doğrunun parametrik denklemleri denir ve değişkene denir. bir parametre.

Fonksiyonun ters bir fonksiyonu olduğunu varsayalım ve bu fonksiyonu denklemlerin (73) ikincisinde yerine koyarak denklemi elde ederiz.

y'yi bir fonksiyon olarak ifade etmek

Bu fonksiyonun parametrik olarak denklemler (73) ile verildiğini kabul edelim. Bu denklemlerden denklem (74)'e geçişe parametre eliminasyonu adı verilir. Parametrik olarak tanımlanan işlevler göz önüne alındığında, parametrenin hariç tutulması hem gerekli değildir hem de pratik olarak her zaman mümkün değildir.

Çoğu durumda, parametrenin farklı değerleri göz önüne alındığında, daha sonra formüller (73) kullanılarak bağımsız değişkenin ve fonksiyonun karşılık gelen değerlerinin ve y fonksiyonunun hesaplanması çok daha uygundur.

Örneklere bakalım.

Örnek 1. Merkezi orijinde ve yarıçapı R olan bir daire üzerinde rastgele bir nokta olsun. Bu noktanın Kartezyen koordinatları x ve y, burada t ile gösterdiğimiz kutup yarıçapı ve kutup açısı aracılığıyla aşağıdaki gibi ifade edilir ( bkz. Bölüm I, § 3, paragraf 3):

Denklemlere (75) bir dairenin parametrik denklemleri denir. İçlerindeki parametre 0 ila 0 arasında değişen kutup açısıdır.

Denklemlerin (75) terimin karesi alınır ve eklenirse, o zaman özdeşlik sayesinde parametre elimine edilir ve iki temel fonksiyonu tanımlayan Kartezyen koordinat sistemindeki bir dairenin denklemi elde edilir:

Bu fonksiyonların her biri denklemler (75) ile parametrik olarak belirtilir, ancak bu fonksiyonların parametre aralıkları farklıdır. Bunlardan ilki için; Bu fonksiyonun grafiği üstteki yarım dairedir. İkinci fonksiyonun grafiği alt yarım dairedir.

Örnek 2. Aynı anda bir elips düşünün

ve merkezi orijinde ve yarıçapı a olan bir daire (Şekil 138).

Elipsin her M noktasına, M noktasıyla aynı apsise sahip olan ve Ox ekseninin aynı tarafında bulunan dairenin bir N noktasını ilişkilendiririz. N noktasının ve dolayısıyla M noktasının konumu tamamen noktanın kutup açısı t tarafından belirlenir.Bu durumda ortak apsisleri için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz: x = a. M noktasındaki koordinatı elipsin denkleminden buluyoruz:

İşaret, M noktasının koordinatı ile N noktasının koordinatının aynı işaretlere sahip olması gerektiği için seçilmiştir.

Böylece elips için aşağıdaki parametrik denklemler elde edilir:

Burada t parametresi 0 ila 0 arasında değişir.

Örnek 3. Merkezi a) noktasında ve yarıçapı a olan ve orijin noktasında x eksenine açıkça değen bir daire düşünün (Şekil 139). Bu çemberin x ekseni boyunca kaymadan yuvarlandığını varsayalım. Daha sonra, ilk anda koordinatların başlangıcına denk gelen dairenin M noktası, sikloid adı verilen bir çizgiyi tanımlar.

Sabit noktasını O konumundan M konumuna hareket ettirirken dairenin dönme açısı MSV'yi t parametresi olarak alarak sikloidin parametrik denklemlerini türetelim. Daha sonra M noktasının koordinatları ve y'si için aşağıdaki ifadeleri elde ederiz:

Çemberin eksen boyunca kaymadan yuvarlanması nedeniyle OB parçasının uzunluğu BM yayının uzunluğuna eşittir. BM yayının uzunluğu a yarıçapı ile t merkez açısının çarpımına eşit olduğundan, o zaman . Bu yüzden . Ama Bu nedenle,

Bu denklemler sikloidin parametrik denklemleridir. T parametresi 0'dan değiştiğinde daire bir tam dönüş yapacaktır. M noktası sikloidin bir yayını tanımlayacaktır.

Burada t parametresinin hariç tutulması hantal ifadelere yol açar ve pratik olarak pratik değildir.

Çizgilerin parametrik tanımı özellikle mekanikte sıklıkla kullanılır ve parametrenin rolü zaman tarafından oynanır.

Örnek 4. Yatayla a açısında başlangıç hızıyla bir toptan ateşlenen merminin yörüngesini belirleyelim. Maddi bir nokta olduğunu düşünerek hava direncini ve merminin boyutlarını ihmal ediyoruz.

Bir koordinat sistemi seçelim. Koordinatların başlangıç noktası olarak merminin namludan çıkış noktasını alalım. Ox eksenini yatay olarak, Oy eksenini ise dikey olarak yönlendirerek silah namlusu ile aynı düzleme yerleştirelim. Eğer yerçekimi kuvveti olmasaydı, mermi düz bir çizgide hareket ederek Ox ekseniyle bir açı yapacak ve t zamanında bu mesafeyi kat etmiş olacaktı. Merminin t zamanındaki koordinatları sırasıyla eşit olacaktır. ile: . Yerçekimi nedeniyle, merminin bu ana kadar dikey olarak belirli bir miktarda alçalması gerekir, bu nedenle gerçekte, t zamanında, merminin koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Bu denklemler sabit miktarlar içerir. T değiştiğinde mermi yörünge noktasındaki koordinatlar da değişecektir. Denklemler, parametrenin zaman olduğu mermi yörüngesinin parametrik denklemleridir.

İlk denklemden ifade etmek ve onu yerine koymak

ikinci denklemde mermi yörüngesinin denklemini şu şekilde elde ederiz: Bu bir parabol denklemidir.

Örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi.
Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Bu makalede, yüksek matematik testlerinde sıklıkla karşılaşılan iki tipik göreve daha bakacağız. Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olabilmek için en azından orta düzeyde türevler bulabilmelisiniz. Türevleri pratik olarak sıfırdan bulmayı iki temel derste öğrenebilirsiniz ve Karmaşık bir fonksiyonun türevi. Eğer farklılaştırma becerileriniz iyiyse, hadi gidelim.

Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi

Veya kısacası örtülü bir fonksiyonun türevi. Örtük işlev nedir? Öncelikle tek değişkenli bir fonksiyonun tanımını hatırlayalım:

Tek değişkenli fonksiyon bağımsız değişkenin her değerinin, fonksiyonun yalnızca bir değerine karşılık geldiği bir kuraldır.

Değişken denir bağımsız değişken veya argüman.
Değişken denir bağımlı değişken veya işlev .

Şu ana kadar tanımlanan fonksiyonlara baktık. açık biçim. Bu ne anlama geliyor? Belirli örnekler kullanarak bir bilgilendirme yapalım.

İşlevi düşünün

Solda yalnız bir "oyuncumuzun" olduğunu görüyoruz ve sağda - yalnızca "X'ler". Yani, fonksiyon açıkça bağımsız değişken aracılığıyla ifade edilir.

Başka bir fonksiyona bakalım:

Değişkenlerin karıştığı yer burasıdır. Dahası hiçbir şekilde imkansız“Y”yi yalnızca “X” aracılığıyla ifade edin. Bu yöntemler nelerdir? Terimleri işaret değiştirerek parçadan parçaya aktarmak, parantezlerin dışına taşımak, orantı kuralına göre çarpanları atmak vb. Eşitliği yeniden yazın ve “y”yi açıkça ifade etmeye çalışın: . Denklemi saatlerce çarpıtıp çevirebilirsiniz ama başaramazsınız.

Sizi tanıştırayım: – örnek örtülü işlev.

Matematiksel analiz sırasında örtülü fonksiyonun olduğu kanıtlandı. var(ancak her zaman değil), bir grafiği vardır (tıpkı “normal” bir fonksiyon gibi). Örtülü işlev tamamen aynıdır var birinci türev, ikinci türev vb. Dedikleri gibi, cinsel azınlıkların tüm haklarına saygı duyulmaktadır.

Ve bu derste örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. O kadar da zor değil! Tüm türev alma kuralları ve temel fonksiyonların türev tablosu yürürlükte kalır. Aradaki fark, şu anda inceleyeceğimiz tuhaf bir andadır.

Evet, size iyi haberi vereceğim - aşağıda tartışılan görevler, üç parçanın önünde taş olmadan oldukça katı ve net bir algoritmaya göre gerçekleştirilir.

örnek 1

1) İlk aşamada her iki parçaya da vuruşlar ekliyoruz:

2) Türevin doğrusallık kurallarını kullanıyoruz (dersin ilk iki kuralı) Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri):

3) Doğrudan farklılaşma.
Nasıl ayırt edileceği tamamen açıktır. Vuruşların altında “oyunların” olduğu yerde ne yapmalı?

- utanç verici derecede, bir fonksiyonun türevi türevine eşittir: .

Nasıl ayırt edilir
İşte elimizde karmaşık fonksiyon. Neden? Görünüşe göre sinüsün altında sadece bir "Y" harfi var. Ama gerçek şu ki, yalnızca bir "y" harfi var - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(Dersin başındaki tanıma bakınız). Dolayısıyla sinüs harici bir fonksiyondur ve dahili bir fonksiyondur. Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz :

Ürünü olağan kurala göre farklılaştırıyoruz :

Lütfen şunu unutmayın – aynı zamanda karmaşık bir fonksiyondur, herhangi bir “çın ve ıslıklı oyun” karmaşık bir işlevdir:

Çözümün kendisi şöyle görünmelidir:

Parantez varsa bunları genişletin:

4) Sol tarafta içinde asal sayı olan “Y” içeren terimleri topluyoruz. Diğer her şeyi sağ tarafa taşıyın:

5) Sol tarafta türevi parantezlerden çıkarıyoruz:

6) Ve orantı kuralına göre bu parantezleri sağ taraftaki paydaya bırakıyoruz:

Türevi bulunmuştur. Hazır.

Herhangi bir fonksiyonun örtülü olarak yeniden yazılabileceğini belirtmek ilginçtir. Örneğin, fonksiyon şu şekilde yeniden yazılabilir: . Ve az önce tartışılan algoritmayı kullanarak bunu ayırt edin. Aslında, "örtük işlev" ve "örtük işlev" ifadeleri bir anlamsal nüansta farklılık gösterir. “Örtülü olarak belirtilen işlev” ifadesi daha genel ve doğrudur, – bu işlev örtülü olarak belirtilmiştir, ancak burada “oyunu” ifade edebilir ve işlevi açıkça sunabilirsiniz. "Örtülü işlev" ifadesi, "y" ifade edilemediğinde "klasik" örtülü işlevi ifade eder.

İkinci çözüm

Dikkat!İkinci yönteme ancak güvenle nasıl bulacağınızı biliyorsanız alışabilirsiniz. kısmi türevler. Calculus'a yeni başlayanlar ve acemiler, lütfen okumayın ve bu noktayı atlamayın aksi takdirde kafanız tamamen karışacaktır.

İkinci yöntemi kullanarak örtülü fonksiyonun türevini bulalım.

Tüm terimleri sol tarafa taşıyoruz:

Ve iki değişkenli bir fonksiyonu düşünün:

Daha sonra türevimiz aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Kısmi türevleri bulalım:

Böylece:

İkinci çözüm, bir kontrol yapmanızı sağlar. Ancak ödevin son versiyonunu yazmaları tavsiye edilmez, çünkü kısmi türevler daha sonra öğrenilir ve "Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi" konusunu inceleyen bir öğrencinin henüz kısmi türevleri bilmemesi gerekir.

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçaya da kontur ekleyin:

Doğrusallık kurallarını kullanıyoruz:

Türevlerin bulunması:

Tüm parantezlerin açılması:

Tüm terimleri sol tarafa, geri kalanını sağ tarafa taşıyoruz:

Son cevap:

Örnek 3

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım.

Farklılaşma sonrasında kesirlerin ortaya çıkması alışılmadık bir durum değildir. Bu gibi durumlarda kesirlerden kurtulmanız gerekir. İki örneğe daha bakalım.

Örnek 4

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçayı da konturların altına alıyoruz ve doğrusallık kuralını kullanıyoruz:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak türev alma ve bölümlerin farklılaşma kuralı :

Parantezleri genişletiyoruz:

Artık kesirden kurtulmamız gerekiyor. Bu daha sonra yapılabilir, ancak hemen yapmak daha mantıklıdır. Kesrin paydası içerir. Çarpmak Açık . Ayrıntılı olarak şöyle görünecek:

Bazen farklılaşmadan sonra 2-3 fraksiyon ortaya çıkar. Örneğin başka bir kesirimiz olsaydı, işlemin tekrarlanması gerekirdi - çarpma her bölümün her dönemi Açık

Sol tarafta onu parantezlerin dışına çıkardık:

Son cevap:

Örnek 5

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Tek şey, kesirden kurtulmadan önce kesirin üç katlı yapısından kurtulmanız gerekecek. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Değişkene parametre denir ve “eksi sonsuz”dan “artı sonsuza” kadar değerler alabilir. Örneğin değeri düşünün ve onu her iki denklemde değiştirin: . Veya insani terimlerle: "eğer x dörde eşitse, o zaman y de bire eşittir." Koordinat düzleminde bir noktayı işaretleyebilirsiniz ve bu nokta parametrenin değerine karşılık gelecektir. Benzer şekilde “te” parametresinin herhangi bir değeri için bir nokta bulabilirsiniz. "Normal" bir fonksiyona gelince, Amerikan Kızılderilileri için parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tüm haklarına da saygı duyulur: bir grafik oluşturabilir, türevleri bulabilirsiniz vb. Bu arada, parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun grafiğini çizmeniz gerekiyorsa programımı kullanabilirsiniz.

En basit durumlarda fonksiyonu açıkça temsil etmek mümkündür. Birinci denklemdeki parametreyi ifade edelim: – ve bunu ikinci denklemde yerine koyun: . Sonuç sıradan bir kübik fonksiyondur.