Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler

Örnekler:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Üstel Denklemler Nasıl Çözülür?

Herhangi bir üstel denklemi çözerken, onu \(a^(f(x))=a^(g(x))\) biçimine getirmeye çalışırız ve ardından üslerin eşitliğine geçiş yaparız, yani:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Örneğin:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Önemli! Aynı mantıktan böyle bir geçiş için iki gereklilik ortaya çıkar:
- sayı sol ve sağ aynı olmalıdır;
- soldaki ve sağdaki dereceler “saf” olmalıdır yani çarpma, bölme vs. olmamalıdır.


Örneğin:


Denklemi \(a^(f(x))=a^(g(x))\) biçimine indirgemek için kullanılırlar.

Örnek . Üstel denklemi çözün \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3))))^(2x)\)
Çözüm:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

\(27 = 3^3\) olduğunu biliyoruz. Bunu dikkate alarak denklemi dönüştürüyoruz.

\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Kökünün \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) özelliğinden şunu elde ederiz: \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Daha sonra, derece \((a^b)^c=a^(bc)\ özelliğini kullanarak \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ elde ederiz. (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Ayrıca \(a^b·a^c=a^(b+c)\) olduğunu da biliyoruz. Bunu sol tarafa uyguladığımızda şunu elde ederiz: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).

\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Şimdi şunu unutmayın: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Bu formül ters yönde de kullanılabilir: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Sonra \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)

\((a^b)^c=a^(bc)\) özelliğini sağ tarafa uygulayarak şunu elde ederiz: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)

Ve artık tabanlarımız eşit ve hiçbir engelleyici katsayı vs. yok. Böylece geçiş yapabiliriz.

Örnek . Üstel denklemi çözün \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)
Çözüm:

\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)

Yine \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) kuvvet özelliğini ters yönde kullanırız.

\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\)

Şimdi şunu hatırlayın: \(4=2^2\).

\((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\)

Derecelerin özelliklerini kullanarak şunları dönüştürürüz:
\((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\)
\((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\)

\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)

Denkleme dikkatlice bakıyoruz ve \(t=2^x\) değişiminin kendisini önerdiğini görüyoruz.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)

Ancak \(t\) değerlerini bulduk ve \(x\)'e ihtiyacımız var. Ters değiştirme yaparak X'lere dönüyoruz.

\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)

İkinci denklemi negatif kuvvet özelliğini kullanarak dönüştürelim...

\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)

...ve cevaba kadar karar veriyoruz.

\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Cevap : \(-1; 1\).

Soru hala devam ediyor: Hangi yöntemin ne zaman kullanılacağı nasıl anlaşılır? Bu deneyimle birlikte gelir. Bunu geliştirene kadar, karmaşık sorunları çözmek için genel öneriyi kullanın - "ne yapacağınızı bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın." Yani, denklemi prensipte nasıl dönüştürebileceğinizi arayın ve bunu yapmaya çalışın - ya ne olursa? Önemli olan yalnızca matematiksel temelli dönüşümler yapmaktır.

Çözümü olmayan üstel denklemler

Öğrencilerin sıklıkla kafasını karıştıran iki duruma daha bakalım:
- pozitif bir sayının üssü sıfıra eşittir, örneğin, \(2^x=0\);
- pozitif bir sayı, negatif bir sayının üssüne eşittir; örneğin, \(2^x=-4\).

Kaba kuvvetle çözmeye çalışalım. Eğer x pozitif bir sayıysa, x büyüdükçe \(2^x\)'in tüm kuvveti yalnızca artacaktır:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Ayrıca tarafından. Negatif X'ler kaldı. \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\ özelliğini hatırlayarak şunu kontrol ederiz:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

Her adımda sayı küçülse de hiçbir zaman sıfıra ulaşmayacak. Yani negatif derece bizi kurtarmadı. Mantıklı bir sonuca varıyoruz:

Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı, pozitif bir sayı olarak kalacaktır.

Dolayısıyla yukarıdaki her iki denklemin de çözümü yoktur.

Farklı tabanlara sahip üstel denklemler

Uygulamada bazen birbirine indirgenemeyen farklı tabanlara sahip, aynı zamanda aynı üslere sahip üstel denklemlerle karşılaşmaktayız. Şuna benzerler: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), burada \(a\) ve \(b\) pozitif sayılardır.

Örneğin:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

Bu tür denklemler, denklemin herhangi bir tarafına (genellikle sağ tarafa, yani \(b^(f(x))\'e bölünür) bölünerek kolayca çözülebilir. Pozitif bir sayı olduğu için bu şekilde bölebilirsiniz. herhangi bir kuvvete göre pozitiftir (yani sıfıra bölmeyiz) Şunu elde ederiz:

\(\frac(a^(f(x))(b^(f(x))))\) \(=1\)

Örnek . Üstel denklemi çözün \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Çözüm:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)

Burada beşi üçe veya tam tersini (en azından kullanmadan) üçe çeviremeyeceğiz. Bu, \(a^(f(x))=a^(g(x))\) biçimine gelemeyeceğimiz anlamına gelir. Ancak göstergeler aynı.
Denklemi sağ tarafa yani \(3^(x+7)\)'ye bölelim (bunu yapabiliriz çünkü üçün hiçbir derecede sıfır olmayacağını biliyoruz).

\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)

Şimdi \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) özelliğini hatırlayın ve onu soldan ters yönde kullanın. Sağda sadece kesri azaltıyoruz.

\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)

Görünüşe göre işler daha iyiye gitmedi. Ancak kuvvetin bir özelliğini daha unutmayın: \(a^0=1\), diğer bir deyişle: "herhangi bir sayının sıfır üssü \(1\)'e eşittir." Bunun tersi de doğrudur: "bir, herhangi bir sayının sıfır üssü olarak temsil edilebilir." Sağdaki tabanı soldakiyle aynı yaparak bundan faydalanalım.

\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)

İşte! Üslerden kurtulalım.

Cevap yazıyoruz.

Cevap : \(-7\).


Bazen üslü sayıların "aynılığı" açık değildir ancak üslü sayıların özelliklerinin ustaca kullanılması bu sorunu çözer.

Örnek . Üstel denklemi çözün \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Çözüm:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)

Denklem çok üzücü görünüyor... Tabanlar aynı sayıya indirgenemediği gibi (yedi hiçbir şekilde \(\frac(1)(3)\)'a eşit olmayacaktır) aynı zamanda üsler de farklıdır. .. Ancak sol üslü ikiliyi kullanalım.

\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)

\((a^b)^c=a^(b·c)\) özelliğini hatırlayarak soldan dönüşüm yaparız:
\(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).

\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)

Şimdi, negatif derece \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) özelliğini hatırlayarak, sağdan dönüşüm yaparız: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)

\(49^(x-2)=3^(x-2)\)

Şükürler olsun! Göstergeler aynı!
Zaten aşina olduğumuz şemaya göre hareket ederek cevaptan önce çözüyoruz.

Cevap : \(2\).

Matematik problemlerinin çoğunu öyle ya da böyle çözmek, sayısal, cebirsel ya da fonksiyonel ifadelerin dönüştürülmesini içerir. Yukarıdakiler özellikle karar için geçerlidir. Birleşik Devlet Sınavının matematikteki versiyonlarında, bu tür problemler özellikle C3 görevini içerir. C3 görevlerini çözmeyi öğrenmek, yalnızca Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek amacıyla değil, aynı zamanda bu becerinin lisede bir matematik dersi çalışırken yararlı olacağı için de önemlidir.

C3 görevlerini tamamlarken çeşitli denklem ve eşitsizlik türlerini çözmeniz gerekir. Bunlar arasında rasyonel, irrasyonel, üstel, logaritmik, trigonometrik, modüller (mutlak değerler) içeren ve birleştirilmiş olanlar bulunmaktadır. Bu makale, üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin ana türlerinin yanı sıra bunları çözmek için çeşitli yöntemleri tartışmaktadır. Matematikte Birleşik Devlet Sınavından C3 problemlerini çözme yöntemlerine ayrılmış makalelerin “” bölümünde diğer denklem ve eşitsizlik türlerinin çözümü hakkında bilgi edinin.

Spesifik analize başlamadan önce üstel denklemler ve eşitsizlikler Bir matematik öğretmeni olarak ihtiyaç duyacağımız bazı teorik materyalleri tazelemenizi öneririm.

Üstel fonksiyon

Üstel fonksiyon nedir?

Formun işlevi sen = bir x, Nerede A> 0 ve A≠ 1 denir üstel fonksiyon.

Temel üstel fonksiyonun özellikleri sen = bir x:

Üstel Fonksiyonun Grafiği

Üstel fonksiyonun grafiği üs:

Üstel fonksiyonların grafikleri (üslü sayılar)

Üstel denklemleri çözme

Gösterge niteliğinde bilinmeyen değişkenin yalnızca bazı kuvvetlerin üslerinde bulunduğu denklemlere denir.

Çözümler için üstel denklemler aşağıdaki basit teoremi bilmeniz ve kullanabilmeniz gerekir:

Teorem 1.Üstel denklem A F(X) = A G(X) (Nerede A > 0, A≠ 1) denkleme eşdeğerdir F(X) = G(X).

Ayrıca temel formülleri ve dereceli işlemleri de hatırlamakta fayda var:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Örnek 1. Denklemi çözün:

Çözüm: Yukarıdaki formülleri ve ikameleri kullanıyoruz:

Denklem şu hale gelir:

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin diskriminantı pozitiftir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Bu, bu denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir. Onları buluyoruz:

Ters ikameye devam edersek şunu elde ederiz:

İkinci denklemin kökleri yoktur, çünkü üstel fonksiyon tüm tanım alanı boyunca kesinlikle pozitiftir. İkincisini çözelim:

Teorem 1'de söylenenleri dikkate alarak eşdeğer denkleme geçiyoruz: X= 3. Bu görevin cevabı olacak.

Cevap: X = 3.

Örnek 2. Denklemi çözün:

Çözüm: Denklemin izin verilen değerlerin aralığı üzerinde herhangi bir kısıtlaması yoktur, çünkü radikal ifade herhangi bir değer için anlamlıdır X(üstel fonksiyon sen = 9 4 -X pozitif ve sıfıra eşit değil).

Denklemi çarpma ve kuvvetler bölümü kurallarını kullanarak eşdeğer dönüşümlerle çözüyoruz:

Son geçiş Teorem 1'e uygun olarak gerçekleştirildi.

Cevap:X= 6.

Örnek 3. Denklemi çözün:

Çözüm: Orijinal denklemin her iki tarafı da 0,2'ye bölünebilir X. Bu ifade herhangi bir değer için sıfırdan büyük olduğundan bu geçiş eşdeğer olacaktır. X(üstel fonksiyon, tanım alanında kesinlikle pozitiftir). O halde denklem şu şekli alır:

Cevap: X = 0.

Örnek 4. Denklemi çözün:

Çözüm: Makalenin başında verilen kuvvetlerin bölme ve çarpma kurallarını kullanarak eşdeğer dönüşümler yoluyla denklemi temel bir denklemle basitleştiriyoruz:

Denklemin her iki tarafının da 4'e bölünmesi Xönceki örnekte olduğu gibi eşdeğer bir dönüşümdür çünkü bu ifade hiçbir değer için sıfıra eşit değildir X.

Cevap: X = 0.

Örnek 5. Denklemi çözün:

Çözüm: işlev sen = 3X Denklemin sol tarafında duran , artıyor. İşlev sen = —X Denklemin sağ tarafındaki -2/3 azalıyor. Bu, eğer bu fonksiyonların grafikleri kesişiyorsa en fazla bir noktada olduğu anlamına gelir. Bu durumda grafiklerin bir noktada kesiştiğini tahmin etmek kolaydır. X= -1. Başka kök olmayacak.

Cevap: X = -1.

Örnek 6. Denklemi çözün:

Çözüm:Üstel fonksiyonun herhangi bir değer için kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu her yerde akılda tutarak denklemi eşdeğer dönüşümler yoluyla basitleştiririz. X ve makalenin başında verilen güçlerin çarpımını ve bölümünü hesaplamak için kuralları kullanmak:

Cevap: X = 2.

Üstel eşitsizlikleri çözme

Gösterge niteliğinde bilinmeyen değişkenin yalnızca bazı kuvvetlerin üslerinde yer aldığı eşitsizliklere denir.

Çözümler için üstel eşitsizlikler Aşağıdaki teoremin bilinmesi gereklidir:

Teorem 2. Eğer A> 1 ise eşitsizlik A F(X) > A G(X) aynı anlama gelen bir eşitsizliğe eşdeğerdir: F(X) > G(X). 0 ise< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) zıt anlamı olan bir eşitsizliğe eşdeğerdir: F(X) < G(X).

Örnek 7. Eşitsizliği çözün:

Çözüm: Orijinal eşitsizliği şu şekilde sunalım:

Bu eşitsizliğin her iki tarafını da 3 2'ye bölelim X, bu durumda (fonksiyonun pozitifliği nedeniyle) sen= 3 2X) eşitsizlik işareti değişmeyecek:

Değiştirmeyi kullanalım:

O zaman eşitsizlik şu şekli alacaktır:

Dolayısıyla eşitsizliğin çözümü aralıktır:

Ters ikameye geçtiğimizde şunu elde ederiz:

Üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle sol eşitsizlik otomatik olarak karşılanır. Logaritmanın iyi bilinen özelliğini kullanarak eşdeğer eşitsizliğe geçiyoruz:

Derecenin tabanı birden büyük bir sayı olduğundan eşdeğer (Teorem 2'ye göre) aşağıdaki eşitsizliğe geçiştir:

Yani sonunda elde ettik cevap:

Örnek 8. Eşitsizliği çözün:

Çözüm:Çarpma ve kuvvetler ayrılığının özelliklerini kullanarak eşitsizliği şu şekilde yeniden yazıyoruz:

Yeni bir değişken tanıtalım:

Bu ikame dikkate alındığında eşitsizlik şu şekli alır:

Kesrin payını ve paydasını 7 ile çarparak aşağıdaki eşdeğer eşitsizliği elde ederiz:

Yani değişkenin aşağıdaki değerleri eşitsizliği karşılar T:

Daha sonra ters ikameye geçerek şunu elde ederiz:

Buradaki derecenin tabanı birden büyük olduğundan eşitsizliğe geçiş eşdeğer olacaktır (Teorem 2'ye göre):

Sonunda elde ettik cevap:

Örnek 9. Eşitsizliği çözün:

Çözüm:

Eşitsizliğin her iki tarafını da şu ifadeyle bölüyoruz:

Her zaman sıfırdan büyüktür (üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle), dolayısıyla eşitsizlik işaretini değiştirmeye gerek yoktur. Şunu elde ederiz:

t aralıkta bulunur:

Ters ikameye geçtiğimizde orijinal eşitsizliğin iki duruma bölündüğünü görüyoruz:

Üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle birinci eşitsizliğin çözümü yoktur. İkincisini çözelim:

Örnek 10. Eşitsizliği çözün:

Çözüm:

Parabol dalları sen = 2X+2-X 2 aşağıya doğru yönlendirilir, bu nedenle tepe noktasında ulaştığı değerle yukarıdan sınırlıdır:

Parabol dalları sen = X 2 -2X Göstergedeki +2 yukarıya doğru yönlendirilir, yani tepe noktasında ulaştığı değerle aşağıdan sınırlanır:

Aynı zamanda fonksiyonun alttan sınırlı olduğu da ortaya çıkıyor sen = 3 X 2 -2X+2 denklemin sağ tarafındadır. Üssündeki parabol ile aynı noktada en küçük değerine ulaşır ve bu değer 3 1 = 3'tür. Yani orijinal eşitsizlik ancak soldaki fonksiyon ile sağdaki fonksiyonun aynı değeri alması durumunda doğru olabilir. 3'e eşit (bu fonksiyonların değer aralıklarının kesişimi yalnızca bu sayıdır). Bu koşul tek bir noktada sağlanır X = 1.

Cevap: X= 1.

Karar vermeyi öğrenmek için üstel denklemler ve eşitsizlikler, bunları çözmek için sürekli eğitim almak gerekir. Çeşitli öğretim yardımcıları, ilköğretim matematik problem kitapları, rekabet problemleri koleksiyonları, okuldaki matematik dersleri ve profesyonel bir öğretmenle verilen bireysel dersler bu zor görevde size yardımcı olabilir. Sınava hazırlıklarınızda başarılar ve mükemmel sonuçlar diliyorum.


Sergey Valerievich

Not; Değerli konuklar! Lütfen yorumlara denklemlerinizi çözmek için istekler yazmayın. Maalesef bunun için kesinlikle zamanım yok. Bu tür mesajlar silinecektir. Lütfen makaleyi okuyun. Belki de içinde görevinizi kendi başınıza çözmenize izin vermeyen soruların yanıtlarını bulacaksınız.

Üstel fonksiyon a'ya eşit n sayıların çarpımının bir genellemesidir:
sen (n) = a n = a·a·a···a,
x reel sayılar kümesine:
sen (x) = ax.
Burada a sabit bir gerçek sayıdır ve buna denir üstel fonksiyonun temeli.
Tabanı a olan üstel fonksiyona da denir a tabanına ait üs.

Genelleme şu şekilde yapılır.
Doğal x için = 1, 2, 3,... üstel fonksiyon x faktörlerinin çarpımıdır:
.
Ayrıca, sayıları çarpma kurallarından kaynaklanan (1.5-8) () özelliklerine sahiptir. Tam sayıların sıfır ve negatif değerleri için üstel fonksiyon, formüller (1.9-10) kullanılarak belirlenir. Kesirli değerler için x = m/n rasyonel sayılar, (1.11) formülü ile belirlenir. real için üstel fonksiyon dizinin limiti olarak tanımlanır:
,
x'e yakınsayan rastgele bir rasyonel sayılar dizisi: .
Bu tanımla, üstel fonksiyon tümü için tanımlanır ve doğal x için olduğu gibi (1,5-8) özelliklerini karşılar.

Üstel bir fonksiyonun tanımının ve özelliklerinin kanıtının titiz bir matematiksel formülasyonu “Üstel bir fonksiyonun özelliklerinin tanımı ve kanıtı” sayfasında verilmiştir.

Üstel Fonksiyonun Özellikleri

Üstel fonksiyon y = a x, gerçek sayılar () kümesinde aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(1.1) tanımlanmış ve sürekli, herkes için, herkes için;
(1.2) bir ≠ için 1 birçok anlamı vardır;
(1.3) kesinlikle artar, kesinlikle azalır,
sabittir;
(1.4) ;
;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Diğer faydalı formüller.
.
Farklı bir üstel tabana sahip üstel bir fonksiyona dönüştürme formülü:

b = e olduğunda üstel fonksiyonun ifadesini üstel yoluyla elde ederiz:

Özel değerler

, , , , .

Şekilde üstel fonksiyonun grafikleri gösterilmektedir
sen (x) = ax
dört değer için derece üsleri: bir = 2 , bir = 8 , bir = 1/2 ve bir = 1/8 . > için görüldüğü gibi 1 üstel fonksiyon monoton olarak artar. A derecesinin tabanı ne kadar büyük olursa, büyüme o kadar güçlü olur. Şu tarihte: 0 < a < 1 üstel fonksiyon monoton olarak azalır. a üssü ne kadar küçük olursa, azalma o kadar güçlü olur.

Artan azalan

için üstel fonksiyon kesinlikle monotondur ve bu nedenle ekstremum değeri yoktur. Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır.

y = a x , a > 1 y = balta, 0 < a < 1
İhtisas - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Değer aralığı 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Monoton monoton olarak artar monoton olarak azalır
Sıfırlar, y = 0 HAYIR HAYIR
Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = 0 y= 1 y= 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Ters fonksiyon

Tabanı a olan bir üstel fonksiyonun tersi, a tabanının logaritmasıdır.

Eğer öyleyse
.
Eğer öyleyse
.

Üstel bir fonksiyonun türevi

Üstel bir fonksiyonun türevini almak için tabanı e sayısına indirilmeli, türev tablosunu ve karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamalıdır.

Bunu yapmak için logaritmanın özelliğini kullanmanız gerekir.
ve türevler tablosundaki formül:
.

Üstel bir fonksiyon verilsin:
.
Onu e üssüne getiriyoruz:

Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uygulayalım. Bunu yapmak için değişkeni tanıtın

Daha sonra

Elimizdeki türev tablosundan (x değişkenini z ile değiştirin):
.
Bir sabit olduğundan z'nin x'e göre türevi eşittir
.
Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre:
.

Üstel bir fonksiyonun türevi

.
N'inci dereceden türev:
.
Formüllerin türetilmesi > > >

Üstel bir fonksiyonun türevini almaya bir örnek

Bir fonksiyonun türevini bulun
y= 3 5x

Çözüm

Üstel fonksiyonun tabanını e sayısı üzerinden ifade edelim.
3 = e ln 3
Daha sonra
.
Bir değişken girin
.
Daha sonra

Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.
Çünkü 5ln 3 bir sabit ise z'nin x'e göre türevi şuna eşittir:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre elimizde:
.

Cevap

İntegral

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

Karmaşık sayı fonksiyonunu düşünün z:
F (z) = az
burada z = x + iy; Ben 2 = - 1 .
Karmaşık sabit a'yı r modülü ve φ argümanı cinsinden ifade edelim:
a = r e ben φ
Daha sonra


.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. Genel olarak
φ = φ 0 + 2 πn,
burada n bir tam sayıdır. Bu nedenle f fonksiyonu (z) da belli değil. Başlıca önemi sıklıkla dikkate alınır
.

Seri genişletme


.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

  • Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

  • Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
  • Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
  • Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
  • Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

  • Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
  • Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Final sınavına hazırlık aşamasında lise öğrencilerinin “Üstel Denklemler” konusundaki bilgilerini geliştirmeleri gerekmektedir. Geçmiş yılların deneyimi, bu tür görevlerin okul çocukları için bazı zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Bu nedenle lise öğrencilerinin, hazırlık düzeyleri ne olursa olsun, teoriye iyice hakim olmaları, formülleri hatırlamaları ve bu tür denklemleri çözme ilkesini anlamaları gerekir. Bu tür problemlerle baş etmeyi öğrenen mezunlar, matematikte Birleşik Devlet Sınavını geçerken yüksek puanlara güvenebilirler.

Shkolkovo ile sınav testine hazır olun!

Pek çok öğrenci, kapsadıkları materyalleri incelerken denklemleri çözmek için gereken formülleri bulma sorunuyla karşı karşıya kalıyor. Bir okul ders kitabı her zaman elinizin altında değildir ve internette bir konu hakkında gerekli bilgilerin seçilmesi uzun zaman alır.

Shkolkovo eğitim portalı öğrencileri bilgi tabanımızı kullanmaya davet ediyor. Final sınavına hazırlanmak için tamamen yeni bir yöntem uyguluyoruz. Web sitemizde çalışarak bilgi eksikliklerini tespit edebilecek ve en çok zorluğa neden olan görevlere dikkat edebileceksiniz.

Shkolkovo öğretmenleri, Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek için gerekli tüm materyali en basit ve en erişilebilir biçimde topladı, sistemleştirdi ve sundu.

Temel tanımlar ve formüller “Teorik Arka Plan” bölümünde sunulmaktadır.

Materyali daha iyi anlamak için ödevleri tamamlayarak pratik yapmanızı öneririz. Hesaplama algoritmasını anlamak için bu sayfada sunulan çözümlerle birlikte üstel denklem örneklerini dikkatlice inceleyin. Bundan sonra “Dizinler” bölümündeki görevleri gerçekleştirmeye devam edin. En kolay görevlerle başlayabilir veya doğrudan birkaç bilinmeyenli karmaşık üstel denklemleri çözmeye geçebilirsiniz. Web sitemizdeki egzersiz veritabanı sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.

Sizi zora sokan göstergeli örnekleri “Favoriler”e ekleyebilirsiniz. Bu şekilde onları hızlı bir şekilde bulabilir ve çözümü öğretmeninizle tartışabilirsiniz.

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek için her gün Shkolkovo portalında çalışın!