Kesirlerle ilgili tüm kurallar. Sıradan kesirlerde aritmetik işlemler için kurallar

Bu makale kesirlerle ilgili işlemleri incelemektedir. A ve B'nin sayılar, sayısal ifadeler veya değişkenli ifadeler olabildiği A B formundaki kesirlerin toplama, çıkarma, çarpma, bölme veya üs alma kuralları oluşturulacak ve gerekçelendirilecektir. Sonuç olarak, ayrıntılı açıklamaları olan çözüm örnekleri ele alınacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Genel sayısal kesirlerle işlem yapma kuralları

Genel kesirlerin doğal sayıları veya sayısal ifadeleri içeren bir payı ve paydası vardır. 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π gibi kesirleri dikkate alırsak, 2 0, 5 ln 3, o zaman pay ve paydanın yalnızca sayılara değil, aynı zamanda çeşitli türlerde ifadelere de sahip olabileceği açıktır.

Tanım 1

Sıradan kesirlerle işlemlerin gerçekleştirildiği kurallar vardır. Aynı zamanda genel kesirler için de uygundur:

• Paydaları benzer olan kesirleri çıkarırken yalnızca paylar eklenir ve payda aynı kalır, yani: a d ± c d = a ± c d, a, c ve d ≠ 0 değerleri bazı sayılar veya sayısal ifadelerdir.
• Farklı paydalara sahip bir kesir eklerken veya çıkarırken, onu ortak bir paydaya indirgemek ve ardından aynı üslerle elde edilen kesirleri eklemek veya çıkarmak gerekir. Kelimenin tam anlamıyla şöyle görünür: a b ± c d = a · p ± c · r s, burada a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 değerleri gerçek sayılardır, ve b · p = d · r = s. p = d ve r = b olduğunda a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Kesirleri çarparken işlem paylarla gerçekleştirilir, ardından paydalarla a b · c d = a · c b · d elde ederiz, burada a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 gerçek sayılar gibi davranır.
• Bir kesri bir kesire bölerken, birinciyi ikincinin tersiyle çarparız, yani pay ve paydayı değiştiririz: a b: c d = a b · d c.

Kuralların mantığı

Hesaplarken güvenmeniz gereken aşağıdaki matematiksel noktalar vardır:

• eğik çizgi bölme işareti anlamına gelir;
• bir sayıya bölme, onun karşılıklı değeriyle çarpma işlemi olarak kabul edilir;
• Gerçek sayılarla işlem özelliğinin uygulanması;
• Kesirlerin ve sayısal eşitsizliklerin temel özelliklerinin uygulanması.

Onların yardımıyla formda dönüşümler gerçekleştirebilirsiniz:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Örnekler

Önceki paragrafta kesirli işlemlerden bahsedilmişti. Bundan sonra kesirin basitleştirilmesi gerekiyor. Bu konu kesirlerin dönüştürülmesiyle ilgili paragrafta ayrıntılı olarak tartışıldı.

Öncelikle paydası aynı olan kesirlerde toplama ve çıkarma işlemine bir örnek verelim.

örnek 1

8 2, 7 ve 1 2, 7 kesirleri göz önüne alındığında, kurala göre payı eklemek ve paydayı yeniden yazmak gerekir.

Çözüm

Sonra 8 + 1 2, 7 formunun bir kesirini elde ederiz. Toplama işlemini yaptıktan sonra 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 formunun bir kesirini elde ederiz. Yani, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Cevap: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Başka bir çözüm daha var. Başlangıç ​​olarak sıradan kesir formuna geçiyoruz, ardından sadeleştirme yapıyoruz. Şuna benziyor:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Örnek 2

1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1'den 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 formunun bir kısmını çıkaralım.

Eşit paydalar verildiğine göre, aynı paydaya sahip bir kesir hesaplıyoruz demektir. Bunu anlıyoruz

1 - 2 3 günlük 2 3 günlük 2 5 + 1 - 2 3 3 günlük 2 3 günlük 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 günlük 2 3 günlük 2 5 + 1

Farklı paydalara sahip kesirlerin hesaplanmasına ilişkin örnekler vardır. Önemli bir nokta ortak bir paydaya indirgemektir. Bu olmadan kesirlerle daha fazla işlem yapamayız.

Süreç belli belirsiz de olsa ortak bir paydaya indirgemeyi anımsatıyor. Yani paydanın en küçük ortak böleni aranır ve ardından eksik olan faktörler kesirlere eklenir.

Eklenen kesirlerin ortak çarpanları yoksa çarpımları bir olabilir.

Örnek 3

2 3 5 + 1 ve 1 2 kesirlerini toplama örneğine bakalım.

Çözüm

Bu durumda ortak payda, paydaların çarpımıdır. O zaman 2 · 3 5 + 1'i elde ederiz. Daha sonra, ek faktörleri ayarlarken, ilk kesir için 2'ye, ikincisi için ise 3 5 + 1'e eşit oluruz. Çarpma işleminden sonra kesirler 4 2 · 3 5 + 1 formuna indirgenir. 1 2'nin genel indirgenmesi 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 olacaktır. Ortaya çıkan kesirli ifadeleri topluyoruz ve şunu elde ediyoruz:

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Cevap: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Genel kesirlerle uğraşırken genellikle en küçük ortak paydadan bahsetmeyiz. Payların çarpımını payda olarak almak kârsızdır. Öncelikle ürününden değer olarak daha düşük bir rakam olup olmadığını kontrol etmeniz gerekiyor.

Örnek 4

Çarpımları 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5'e eşit olan 1 6 · 2 1 5 ve 1 4 · 2 3 5 örneğini ele alalım. Daha sonra ortak payda olarak 12 · 2 3 5'i alıyoruz.

Genel kesirlerle çarpma örneklerine bakalım.

Örnek 5

Bunu yapmak için 2 + 1 6 ile 2 · 5 3 · 2 + 1'i çarpmanız gerekir.

Çözüm

Kurala uyarak payların çarpımını payda olarak yeniden yazıp yazmak gerekir. Bunu 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 olarak elde ederiz. Bir kesir çarpıldıktan sonra basitleştirmek için azaltmalar yapabilirsiniz. O halde 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Karşılıklı kesirle bölmeden çarpmaya geçiş kuralını kullanarak, verilen kesrin tersi olan bir kesir elde ederiz. Bunu yapmak için pay ve payda değiştirilir. Bir örneğe bakalım:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Daha sonra ortaya çıkan kesri çarpmalı ve basitleştirmelidirler. Gerekirse paydadaki irrasyonellikten kurtulun. Bunu anlıyoruz

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Cevap: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Bu paragraf, bir sayı veya sayısal ifadenin paydası 1'e eşit olan bir kesir olarak gösterilebildiği durumlarda geçerlidir; bu durumda bu kesirle yapılan işlem ayrı bir paragraf olarak kabul edilir. Örneğin, 1 6 · 7 4 - 1 · 3 ifadesi, 3'ün kökünün başka bir 3 1 ifadesi ile değiştirilebileceğini gösterir. O zaman bu giriş 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 formunun iki kesirini çarpmak gibi görünecektir.

Değişken İçeren Kesirler Üzerinde İşlem Yapmak

İlk makalede tartışılan kurallar, değişken içeren kesirlerle yapılan işlemlere uygulanabilir. Paydalar aynı olduğunda çıkarma kuralını düşünün.

A, C ve D'nin (D sıfıra eşit değildir) herhangi bir ifade olabileceğini ve AD ± C D = A ± C D eşitliğinin izin verilen değer aralığına eşdeğer olduğunu kanıtlamak gerekir.

Bir dizi ODZ değişkeninin alınması gereklidir. O zaman A, C, D karşılık gelen değerleri a 0, c 0 ve almalıdır. gün 0. A D ± C D formunun değiştirilmesi a 0 d 0 ± c 0 d 0 biçiminde bir farkla sonuçlanır; burada toplama kuralını kullanarak a 0 ± c 0 d 0 biçiminde bir formül elde ederiz. A ± C D ifadesini değiştirirsek, a 0 ± c 0 d 0 formunun aynı kesirini elde ederiz. Buradan ODZ'yi karşılayan seçilen değerin, A ± C D ve AD ± C D'nin eşit kabul edildiği sonucuna varıyoruz.

Değişkenlerin herhangi bir değeri için bu ifadeler eşit olacaktır, yani bunlara aynı derecede eşit denir. Bu, bu ifadenin AD ± C D = A ± C D biçiminde kanıtlanabilir bir eşitlik olarak kabul edildiği anlamına gelir.

Değişkenlerle kesirleri toplama ve çıkarma örnekleri

Paydalar aynı olduğunda payları eklemeniz veya çıkarmanız yeterlidir. Bu kesir basitleştirilebilir. Bazen aynı derecede eşit olan kesirlerle çalışmanız gerekir, ancak bazı dönüşümlerin yapılması gerektiğinden ilk bakışta bu farkedilemez. Örneğin, x 2 3 x 1 3 + 1 ve x 1 3 + 1 2 veya 1 2 sin 2 α ve sin a cos a. Çoğu zaman, aynı paydaları görebilmek için orijinal ifadenin basitleştirilmesi gerekir.

Örnek 6

Hesaplayın: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Çözüm

1. Hesaplamayı yapmak için paydası aynı olan kesirleri çıkarmanız gerekir. O zaman şunu elde ederiz: x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2. Bundan sonra parantezleri genişletebilir ve benzer terimler ekleyebilirsiniz. Şunu elde ederiz: x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Paydalar aynı olduğundan geriye kalan tek şey paydayı bırakarak payları eklemektir: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Ekleme tamamlandı. Fraksiyonu azaltmanın mümkün olduğu görülebilir. Payı, toplamın karesi formülü kullanılarak katlanabilir, sonra (l g x + 2) 2 elde ederiz. kısaltılmış çarpma formüllerinden. O zaman bunu anlıyoruz
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Farklı paydalarla x - 1 x - 1 + x x + 1 formunun kesirleri verilmiştir. Dönüşümün ardından ekleme işlemine geçebilirsiniz.

İki yönlü bir çözüm düşünelim.

İlk yöntem, ilk kesrin paydasının kareler kullanılarak çarpanlara ayrılması ve ardından azaltılmasıdır. Formun bir kısmını alıyoruz

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Yani x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Bu durumda paydadaki irrasyonellikten kurtulmak gerekir.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

İkinci yöntem ise ikinci kesrin pay ve paydasını x - 1 ifadesiyle çarpmaktır. Böylece mantıksızlıktan kurtulup aynı paydaya sahip kesirleri toplama işlemine geçiyoruz. Daha sonra

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Cevap: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

Son örnekte ortak bir paydaya indirgenmenin kaçınılmaz olduğunu gördük. Bunu yapmak için kesirleri basitleştirmeniz gerekir. Toplama veya çıkarma yaparken, her zaman ortak bir payda aramanız gerekir; bu, paydalara eklenen ek faktörlerle paydaların çarpımına benzer.

Örnek 7

Kesirlerin değerlerini hesaplayın: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​1 çünkü 2 x - x + 1 çünkü 2 x + 2 çünkü x x + x

Çözüm

1. Payda herhangi bir karmaşık hesaplama gerektirmez, dolayısıyla bunların çarpımını 3 x 7 + 2 · 2 biçiminde seçmeniz, ardından ek faktör olarak ilk kesir için x 7 + 2 · 2'yi ve ikinci kesir için 3'ü seçmeniz gerekir. Çarpma sırasında, x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 formunun bir kesirini elde ederiz. x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Paydaların bir çarpım şeklinde sunulduğu görülebilmektedir, bu da ilave dönüşümlere gerek olmadığı anlamına gelmektedir. Ortak paydanın x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 biçiminde bir çarpım olduğu kabul edilecektir. Dolayısıyla x 4 birinci kesire ek bir faktördür ve ln(x + 1) ikinciye. Sonra çıkarırız ve şunu elde ederiz:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2x-4)
3. Bu örnek kesir paydalarıyla çalışırken anlamlıdır. Kareler farkı ve toplamın karesi için formüllerin uygulanması gerekir, çünkü bunlar 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x +) formundaki bir ifadeye geçmeyi mümkün kılacaktır. 2. Kesirlerin ortak bir paydaya indirgendiği görülebilir. Bunu elde ederiz çünkü cos x - x · cos x + x 2 .

O zaman bunu anlıyoruz

1 çünkü 2 x - x + 1 çünkü 2 x + 2 çünkü x x + x = = 1 çünkü x - x çünkü x + x + 1 çünkü x + x 2 = = çünkü x + x çünkü x - x çünkü x + x 2 + çünkü x - x çünkü x - x çünkü x + x 2 = = çünkü x + x + çünkü x - x çünkü x - x çünkü x + x 2 = 2 çünkü x çünkü x - x çünkü x + x 2

Cevap:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 çünkü 2 x - x + 1 çünkü 2 x + 2 · çünkü x · x + x = 2 · çünkü x çünkü x - x · çünkü x + x 2 .

Kesirleri değişkenlerle çarpma örnekleri

Kesirlerle çarpılırken pay payla, payda ise paydayla çarpılır. Daha sonra azaltma özelliğini uygulayabilirsiniz.

Örnek 8

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 ve 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x kesirlerini çarpın.

Çözüm

Çarpma işleminin yapılması gerekiyor. Bunu anlıyoruz

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 günah (2 x - x)

Hesaplamaların kolaylığı için 3 sayısı ilk sıraya taşınır ve kesri x 2 oranında azaltabilirsiniz, ardından formun bir ifadesini elde ederiz.

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Cevap: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · günah (2 · x - x) .

Bölüm

Kesirlerin bölünmesi çarpma işlemine benzer, çünkü ilk kesir ikinci kesirle çarpılır. Örneğin x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 kesirini alıp 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x'e bölersek, o zaman şu şekilde yazılabilir:

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , ardından x + 2 · x x formundaki bir çarpımla değiştirin 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Üs alma

Üslü genel kesirlerle işlemleri dikkate almaya devam edelim. Doğal üssü olan bir kuvvet varsa, bu durumda eylem eşit kesirlerin çarpımı olarak kabul edilir. Ancak derecelerin özelliklerine dayalı genel bir yaklaşımın kullanılması tavsiye edilir. C'nin tamamen sıfıra eşit olmadığı herhangi bir A ve C ifadesi ve ODZ üzerindeki herhangi bir gerçek r, A C r formundaki bir ifade için A C r = A r C r eşitliği geçerlidir. Sonuç, bir güce yükseltilmiş bir kesirdir. Örneğin şunları düşünün:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Kesirlerle işlem yapma prosedürü

Kesirlerle ilgili işlemler belirli kurallara göre yapılır. Uygulamada, bir ifadenin birden fazla kesir veya kesirli ifade içerebileceğini fark ettik. O zaman tüm eylemleri kesin bir sırayla gerçekleştirmek gerekir: bir güce yükseltin, çarpın, bölün, ardından ekleyin ve çıkarın. Parantez varsa ilk işlem onlarda gerçekleştirilir.

Örnek 9

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x'i hesaplayın.

Çözüm

Paydamız aynı olduğundan 1 - x cos x ve 1 c o s x olur ama kurala göre çıkarma işlemi yapılamaz; önce parantez içindeki işlemler yapılır, sonra çarpma yapılır, sonra toplama yapılır. Sonra hesaplarken şunu elde ederiz

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

İfadeyi orijinal ifadeyle değiştirdiğimizde, 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x sonucunu elde ederiz. Kesirleri çarparken şunu elde ederiz: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Tüm değiştirmeleri yaptıktan sonra 1 - x cos x - x + 1 cos x · x elde ederiz. Şimdi farklı paydalara sahip kesirlerle çalışmanız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

x · 1 - x çünkü x · x - x + 1 çünkü x · x = x · 1 - x - 1 + x çünkü x · x = = x - x - x - 1 çünkü x · x = - x + 1 çünkü x x

Cevap: 1 - x çünkü x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 çünkü x · x .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Sıradan kesirlerle aritmetik işlemler

1. Ekleme.

Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.

Örnek. .

Farklı paydalara sahip kesirleri eklemek için, bunları en düşük ortak paydaya indirgemeniz ve ardından elde edilen payları toplayıp ortak paydayı toplamın altına yazmanız gerekir.

Örnek.

Kısaca şu şekilde yazılmıştır:

Karışık sayıları toplamak için tam sayıların toplamını ve kesirlerin toplamını ayrı ayrı bulmanız gerekir. Eylem şu şekilde yazılmıştır:

2. Çıkarma.

Paydaları benzer olan kesirleri çıkarmak için, çıkanın payını eksilenin payından çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir. Eylem şu şekilde yazılmıştır:

Paydaları farklı olan kesirleri çıkarmak için önce bunları en küçük ortak paydaya indirgemeniz, ardından eksilen payın payını eksinin payından çıkarmanız ve farklarının altındaki ortak paydayı imzalamanız gerekir. Eylem şu şekilde yazılmıştır:

Bir karışık sayıyı başka bir karışık sayıdan çıkarmanız gerekiyorsa, mümkünse bir kesiri bir kesirden ve bir bütünü bir bütünden çıkarın. Eylem şu şekilde yazılmıştır:

Çıkarılan kesir, eksilen kesirden büyükse, eksilen tam sayıdan bir birim alınır, uygun paylara bölünür ve eksilen kesire eklenir, ardından yukarıda anlatıldığı gibi işlem yapılır. . Eylem şu şekilde yazılmıştır:

Bir tam sayıdan kesir çıkarmanız gerektiğinde de aynı şeyi yapın.

Örnek. .

3. Kesirlerde toplama ve çıkarma işlemlerinin özelliklerinin genişletilmesi.Doğal sayılarda toplama ve çıkarmayla ilgili tüm kanunlar ve özellikler kesirli sayılar için de geçerlidir. Çoğu durumda bunların kullanılması hesaplama sürecini büyük ölçüde basitleştirir.

4. Çarpma.

Bir kesri bir kesirle çarpmak için payı payla, paydayı da paydayla çarpmanız ve ilk çarpımı pay, ikinci çarpımı da payda yapmanız gerekir.

Çarpma yaparken (mümkünse) azaltma yapmalısınız.

Örnek. .

Bir tam sayının paydası 1 olan bir kesir olduğunu hesaba katarsak, o zaman bir kesri bir tam sayıyla ve bir tam sayıyı bir kesirle çarpmak aynı kuralı takip edebilir.

Örnekler.

5. Karışık sayıların çarpımı.

Tam sayılı sayıları çarpmak için önce bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz, ardından kesirlerle çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.

Örnek. .

6. Bir kesri bir kesire bölmek.

Bir kesri kesire bölmek için, birinci kesrin payını ikincinin paydasıyla, birincinin paydasını ikincinin payıyla çarpmanız ve ilk çarpımı pay, ikinciyi yazmanız gerekir. payda olarak.

Örnek. .

Aynı kuralı kullanarak, tam sayıyı paydası 1 olan bir kesir olarak temsil ediyorsanız, bir kesri bir tam sayıya ve bir tam sayıyı bir kesre bölebilirsiniz.

Örnekler.

7. Karışık sayıların bölümü.

Tam sayılı kesirleri bölmek için önce bileşik kesirlere dönüştürülür, sonra kesirlerde bölme kuralına göre bölünürler.

Örnek. .

8. Bölmeyi çarpmayla değiştirmek.

Bir kesrin payını ve paydasını değiştirirseniz, verilen kesrin tersi olan yeni bir kesir elde edersiniz. Örneğin bir kesir içinkarşılıklı kesir olacaktır.

Açıkçası, karşılıklı olarak ters iki kesrin çarpımı 1'e eşittir.

1. Bir sayıdan kesir bulma.

Belirli bir sayının bir kısmını veya kesirini bulmanızı gerektiren birçok problem vardır. Bu tür problemler çarpma işlemiyle çözülür.

Görev. Hostesin 20 rublesi vardı;Bunları alışverişe harcadı. Satın almaların maliyeti ne kadar?

Burada bulmanız gerekiyornumara 20. Bunu şu şekilde yapabilirsiniz:

Cevap. Hostes 8 ruble harcadı.

Örnekler. 30'dan bulun. Çözüm. .

adresinden bulun. Çözüm. .

1. Kesirinin bilinen büyüklüğünden bir sayı bulma.

Bazen bir sayının bilinen bir kısmını ve bu kısmı ifade eden bir kesri kullanarak sayının tamamını belirlemek gerekir. Bu tür sorunlar bölünmeyle çözülür.

Görev. Sınıfta 12 Komsomol üyesi bulunmaktadır.sınıftaki tüm öğrencilerin bir kısmı. Sınıfta kaç öğrenci var?

Çözüm. .

Cevap. 20 öğrenci.

Örnek. Numarayı bulyani 34.

Çözüm. .

Cevap. Gerekli sayı.

1. İki sayının oranını bulma.

Sorunu düşünün: Bir işçi günde 40 parça üretti. Aylık plan 400 parça ise işçi aylık görevin hangi kısmını tamamlamıştır?

Çözüm. .

Cevap. İşçi tamamladıaylık planın bir parçası.

Bu durumda bir parça (40 parça), bütünün (400 parça) kesri olarak ifade edilir. Ayrıca günlük üretilen parça sayısının aylık plana oranının da bulunduğunu söylüyorlar.

1. Ondalık kesri ortak kesire dönüştürme.

Ondalık bir kesri ortak bir kesire dönüştürmek için onu paydayla birlikte yazın ve mümkünse kısaltın:

Örnekler.

1. Bir kesri ondalık sayıya dönüştürme.

Bir kesri ondalık sayıya dönüştürmenin birkaç yolu vardır.

İlk yol. Bir kesri ondalık sayıya dönüştürmek için payı paydaya bölmeniz gerekir.

Örnekler. .

İkinci yol. Bir kesri ondalık sayıya dönüştürmek için, kesrin payını ve paydasını, paydanın (mümkünse) sıfırlarla bir olacağı bir sayıyla çarpmanız gerekir.

Örnek.

1. Ondalık sayıları büyüklüklerine göre karşılaştırma. İki ondalık kesirden hangisinin daha büyük olduğunu bulmak için, bunların tüm parçalarını, onda birini, yüzde birini vb. karşılaştırmanız gerekir. Bütün kısımlar eşit olduğunda onda bir kısmı daha fazla olan kesir daha büyüktür; tamsayılar ve ondalık sayılar eşitse, yüzde biri daha fazla olan daha büyüktür, vb.

Örnek. Üç fraksiyondan 2.432; 2,41 ve 2,4098 en büyük ilkidir, çünkü en fazla yüzde birliklere sahiptir ve bütün ve ondalıklar tüm kesirlerde aynıdır.

Ondalık sayılarla işlemler

1. Ondalık sayıları 10, 100, 1000 vb. ile çarpma ve bölme.

Ondalık sayıyı 10, 100, 1000 vb. ile çarpmak için. virgülü sırasıyla bir, iki, üç vb.'ye taşımanız gerekir. sağa imza atın. Sayıda yeterli işaret yoksa sıfırlar atanır.

Örnek. 15,45 10 = 154,5; 32,3 · 100 = 3230.

Ondalık kesri 10, 100, 1000 vb.'ye bölmek için virgülünü sırasıyla bir, iki, üç vb.'ye taşımanız gerekir. sola imza at. Virgülün taşınması için yeterli karakter yoksa, sayıları soldaki karşılık gelen sayıda sıfırla tamamlanır.

Örnekler. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5: 100 = 0,035.

1. Ondalık sayıların eklenmesi ve çıkarılması.

Ondalık sayılar, doğal sayılarda olduğu gibi toplanır ve çıkarılır. Rakam rakamın altına, virgül ise virgülün altına yazılır.

Örnekler.

1. Ondalık sayıların çarpılması.

İki ondalık kesri çarpmak için, virgüllere dikkat etmeden, bunları tam sayı olarak çarpmak ve çarpımda, çarpan ve çarpanın birlikte olduğu kadar sağdaki virgülle ondalık basamakları ayırmak yeterlidir.

Örnek 1. 2,064 · 0,05.

2064 · 5 = 10320 tam sayılarını çarpıyoruz. İlk faktörde üç ondalık basamak vardı, ikincisinde iki basamak vardı. Ürünün beş ondalık basamağı olmalıdır. Bunları sağda ayırıyoruz ve 0,10320 elde ediyoruz. Sondaki sıfır atılabilir: 2,064 · 0,05 = 0,1032.

Örnek 2. 1,125 · 0,08; 1125 · 8 = 9000.

Ondalık basamak sayısı 3 + 2 = 5 olmalıdır. Soldaki 9000'e (009000) sıfır ekliyoruz ve sağdaki beş ondalık basamağı ayırıyoruz. 1,125 · 0,08 = 0,09000 = 0,09 elde ederiz.

1. Ondalık sayıları bölme.

Geriye kalan olmadan ondalık kesirleri bölmenin iki durumu dikkate alınır: 1) ondalık kesirin bir tam sayıya bölünmesi; 2) bir sayıyı (tamsayı veya kesir) ondalık kesre bölmek.

Ondalık sayının bir tam sayıya bölünmesi, tam sayıların bölünmesiyle aynı şekilde yapılır; elde edilen kalıntılar sırayla daha küçük ondalık kısımlara bölünür ve bölme, kalan sıfır olana kadar devam eder.

Örnekler.

Bir sayının (tamsayı veya kesir) ondalık kesirle bölünmesi her durumda tam sayıya bölünmeyle sonuçlanır. Bunu yapmak için böleni 10, 100, 1000 vb. artırın. kez ve bölümün değişmemesi için, temettü aynı sayıda artırılır ve ardından bir tam sayıya bölünür (ilk durumda olduğu gibi).

Örnek. 47,04: 0,0084 = 470400: 84 = 5600;

1. Sıradan ve ondalık kesirlerle ortak eylem örnekleri.

Öncelikle ondalık kesirlerle yapılan tüm işlemlere bir örnek verelim.

Örnek 1. Hesaplayın:

Burada bölümün değişmediği gerçeğini dikkate alarak, bölenin ve bölenin tam sayıya indirgenmesini kullanıyorlar. O zaman elimizde:

Sıradan ve ondalık kesirlerle ortak eylem örneklerini çözerken, bazı işlemler ondalık kesirlerde, bazıları ise sıradan işlemlerde gerçekleştirilebilir. Ortak bir kesrin her zaman son ondalık kesire dönüştürülemeyeceği akılda tutulmalıdır. Bu nedenle ondalık kesir olarak yazmak ancak böyle bir dönüşümün mümkün olduğu doğrulandığında yapılabilir.

Örnek 2. Hesaplayın:

Faiz

Yüzde kavramı.Bir sayının yüzdesi o sayının yüzde biri kadardır. Mesela “Ülkemizde yaşayanların yüzde 54'ü kadın” demek yerine “Ülkemizde yaşayanların yüzde 54'ü kadın” denilebilir. Yüzde kelimesi yerine % işaretini de yazıyorlar, örneğin %35, yüzde 35 anlamına geliyor.

Yüzde yüzüncü kısım olduğundan yüzdelik paydası 100 olan bir kesirdir. Bu nedenle kesir 0,49'dur veya, yüzde 49 olarak okunabilir ve payda olmadan %49 olarak yazılabilir. Genel olarak, belirli bir ondalık kesirde kaç yüzde biri olduğunu belirledikten sonra bunu yüzde olarak yazmak kolaydır. Bunu yapmak için kuralı kullanın: Ondalık kesiri yüzde olarak yazmak için, bu kesirdeki ondalık noktayı iki basamak sağa kaydırmanız gerekir.

Örnekler. 0,33 = %33; 1,25 = %125; 0,002 = %0,2; 21 = %2100.

Ve tam tersi: %7 = 0,07; %24,5 = 0,245; %0,1 = 0,001; %200 = 2.

1. Verilen bir sayının yüzdesini bulma

Görev. Plana göre bir traktör sürücüsü ekibinin 9 ton yakıt tüketmesi gerekiyor. Traktör sürücüleri yakıttan %20 tasarruf etme konusunda sosyal bir taahhütte bulundu. Yakıt tasarrufunu ton cinsinden belirleyin.

Bu problemde %20 yerine ona eşit olan 0,2 sayısını yazarsak bir sayının kesirini bulma problemiyle karşı karşıya kalırız. Ve bu tür problemler çarpma işlemiyle çözülür. Çözüm bu:

%20 = 0,2; 9 · 0,2 = 1,8 (m).

Hesaplamalar şu şekilde yazılabilir:

(M)

Belirli bir sayının yüzde birkaçını bulmak için, verilen sayıyı 100'e bölüp sonucu yüzde sayısıyla çarpmak yeterlidir.

Görev. 1963'te bir işçi ayda 90 ruble alıyordu ve 1964'te %30 daha fazlasını almaya başladı. 1964'te ne kadar kazandı?

Çözüm (ilk yöntem).

1) İşçi kaç ruble daha aldı?

(ovmak.)

90 + 27 = 117 (ovma).

İkinci yol.

1) İşçi 1964 yılında önceki kazancının yüzde kaçını almaya başladı?

100% + 30% = 130%.

2) 1964 yılında bir işçinin aylık maaşı ne kadardı?

(ovmak.)

2. Yüzdesinin belirli bir değerinden bir sayı bulma.

Görev. Kolektif çiftlikte, toplam ekim alanının %14'ü olan 280 hektarlık bir alana mısır ekildi. Kolektif çiftliğin ekili alanını belirleyin.

Bu problemde %14 yerine 0,14 yazarsak veya, daha sonra kesirinin bilinen değerinden bir sayı bulma görevini alıyoruz. Ve bu tür sorunlar bölünmeyle çözülür.

Çözüm. %14 = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (ha). Bu çözüm şu şekilde de formüle edilebilir:

(Ha)

Yüzde birkaçının belirli bir değerine göre bir sayı bulmak için, bu değeri yüzde sayısına bölüp sonucu 100 ile çarpmak yeterlidir.

Görev. Mart ayında tesis 125,4 oranında eritildi T metal, planı% 4,5 aştı. Plana göre tesisin Mart ayında kaç ton metal eritmesi gerekiyordu?

Çözüm.

1) Tesis Mart ayında planı yüzde kaç oranında gerçekleştirdi?

100% + 4,5% = 104,5%.

2) Tesis kaç ton metali eritmelidir?

(Ha)

1. İki sayı arasındaki yüzdelik ilişkiyi bulma.

Görev. 300 hektar araziyi sürmemiz gerekiyor. İlk gün 120 hektar alan sürüldü. İlk gün görevin yüzde kaçı tamamlandı?

Çözüm.

İlk yol. 300 hektar %100'dür, bu da %1'in 3 hektara karşılık geldiği anlamına gelir. 120 hektarın içinde %1'i oluşturan 3 hektarın kaç katının bulunduğunu belirleyerek, ilk gün arazinin yüzde kaç oranında sürülmüş olduğunu buluyoruz.

120: 3 = 40(%).

İkinci yol. İlk gün arazinin hangi bölümünün sürüldüğü belirlendikten sonra bu kesiri yüzde olarak ifade ediyoruz.

Hesaplamayı yazalım:

Bir sayının yüzdesini hesaplamak için a'dan b'ye bir ilişki bulmalısın a'dan b'ye ve bunu 100 ile çarpın.

Kesirli eylemler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Peki kesirlerin ne olduğunu, kesir türlerini, dönüşümleri hatırladık. Gelelim asıl meseleye.

Kesirlerle ne yapabilirsiniz? Evet, her şey sıradan sayılarla aynı. Ekle, çıkar, çarp, böl.

Tüm bu eylemlerle ondalık kesirlerle çalışmanın tam sayılarla çalışmaktan hiçbir farkı yoktur. Aslında onların iyi tarafı da bu, ondalık sayılar. Tek şey virgülü doğru koymanız gerektiğidir.

Karışık sayılar Daha önce de söylediğim gibi çoğu eylem için pek faydası yoktur. Hala sıradan kesirlere dönüştürülmeleri gerekiyor.

Ancak eylemler sıradan kesirler daha kurnaz olacaklar. Ve çok daha önemlisi! Hatırlatmama izin ver: harfler, sinüsler, bilinmeyenler vb. gibi kesirli ifadelere sahip tüm eylemler, sıradan kesirli eylemlerden farklı değildir.! Sıradan kesirlerle yapılan işlemler tüm cebirin temelini oluşturur. İşte bu nedenle burada tüm bu aritmetiği çok detaylı bir şekilde analiz edeceğiz.

Kesirlerde toplama ve çıkarma.

Herkes aynı paydalara sahip kesirleri toplayabilir (çıkarabilir) (gerçekten umuyorum!). Peki, tamamen unutkan olanlara şunu hatırlatayım: Toplama (çıkarma) işleminde payda değişmez. Sonucun payını vermek için paylar eklenir (çıkarılır). Tip:

Kısaca genel anlamda:

Paydalar farklıysa ne olur? Daha sonra, kesrin temel özelliğini kullanarak (işte yine kullanışlı oluyor!), paydaları aynı hale getiriyoruz! Örneğin:

Burada 2/5 kesirinden 4/10 kesirini yapmamız gerekiyordu. Paydaları aynı yapmak amacıyla. Her ihtimale karşı 2/5 ve 4/10'un eşit olduğunu belirteyim. aynı kesir! Sadece 2/5'i bizim için rahatsız edici, 4/10'u ise gerçekten sorun değil.

Bu arada, herhangi bir matematik problemini çözmenin özü budur. ne zaman biz rahatsız ifadeler yapıyoruz aynı şey, ancak çözmek için daha uygun.

Başka bir örnek:

Durum benzer. Burada 16'dan 48'i çıkarıyoruz. Basitçe 3'le çarpıyoruz. Her şey açık. Ama şöyle bir şeyle karşılaştık:

Nasıl olunur? Yediden dokuzunu çıkarmak çok zor! Ama biz akıllıyız, kuralları biliyoruz! Haydi dönüşelim Her paydaları aynı olacak şekilde kesir. Buna “ortak bir paydaya indirgemek” denir:

Vay! 63'ü nasıl bildim? Çok basit! 63, 7 ve 9'a aynı anda bölünebilen bir sayıdır. Böyle bir sayı her zaman paydaların çarpılmasıyla elde edilebilir. Örneğin bir sayıyı 7 ile çarparsak sonuç kesinlikle 7'ye bölünebilir!

Birkaç kesir eklemeniz (çıkarmanız) gerekiyorsa, bunu çiftler halinde adım adım yapmanıza gerek yoktur. Tüm kesirlerin ortak paydasını bulmanız ve her kesri aynı paydaya indirmeniz yeterlidir. Örneğin:

Peki ortak payda ne olacak? Elbette 2, 4, 8 ve 16'yı çarpabilirsiniz. 1024 elde ederiz. Kabus. 16 sayısının 2, 4 ve 8'e tam olarak bölünebileceğini tahmin etmek daha kolaydır. Dolayısıyla bu sayılardan 16'yı elde etmek kolaydır. Bu sayı ortak payda olacaktır. 1/2'yi 8/16'ya, 3/4'ü 12/16'ya çevirelim, vb.

Bu arada 1024'ü ortak payda olarak alırsanız her şey yoluna girecek, sonunda her şey azalacak. Ama hesaplar yüzünden herkes bu sonuca varamayacak...

Örneği kendiniz tamamlayın. Bir çeşit logaritma değil... 29/16 olmalı.

Yani kesirlerin eklenmesi (çıkarılması) açıktır, umarım? Elbette ek çarpanlarla kısaltılmış bir versiyonda çalışmak daha kolaydır. Ama bu zevk, alt sınıflarda dürüst çalışan ve hiçbir şeyi unutmayanlar için geçerlidir.

Ve şimdi aynı eylemleri yapacağız, ancak kesirlerle değil, kesirli ifadeler. Burada yeni tırmık keşfedilecek evet...

Bu nedenle iki kesirli ifade eklememiz gerekiyor:

Paydaları eşitlememiz gerekiyor. Ve sadece yardımla çarpma işlemi! Bir kesrin ana özelliğinin belirttiği şey budur. Bu nedenle paydanın ilk kesirindeki X'e bir ekleyemiyorum. (iyi olur!). Ama paydaları çarparsanız her şeyin birlikte büyüdüğünü görürsünüz! Yani kesrin doğrusunu yazıyoruz, üstte bir boşluk bırakıyoruz, sonra ekliyoruz ve unutmamak için paydaların çarpımını aşağıya yazıyoruz:

Ve elbette sağ taraftaki hiçbir şeyi çarpmıyoruz, parantezleri açmıyoruz! Şimdi sağ taraftaki ortak paydaya baktığımızda şunu anlıyoruz: İlk kesirdeki x(x+1) paydasını elde etmek için bu kesrin payını ve paydasını (x+1) ile çarpmanız gerekir. . Ve ikinci kesirde - x'e. Bu ne olsun:

Not! İşte parantez! Bu, birçok insanın bastığı tırmıktır. Elbette parantez değil, onların yokluğu. Çarpma işlemi yaptığımız için parantezler görünüyor Tümü pay ve Tümü payda! Ve onların bireysel parçaları değil...

Sağ taraftaki payda payların toplamını yazıyoruz, her şey sayısal kesirlerde olduğu gibi, ardından sağ taraftaki paydaki parantezleri açıyoruz yani. Her şeyi çoğaltıp benzerlerini veriyoruz. Paydalarda parantez açmaya veya herhangi bir şeyi çarpmaya gerek yok! Genel olarak, paydalarda (herhangi biri) ürün her zaman daha hoştur! Şunu elde ederiz:

Böylece cevabı aldık. Süreç uzun ve zor gibi görünse de pratiğe bağlıdır. Örnekleri çözdükten sonra alışın, her şey basitleşecek. Zamanında kesirlerde ustalaşanlar, tüm bu işlemleri otomatik olarak tek sol eliyle yaparlar!

Ve bir not daha. Birçoğu kesirlerle akıllıca uğraşır, ancak örneklere takılıp kalır. tüm sayılar. Şöyle: 2 + 1/2 + 3/4= ? İki parçayı nereye tutturmalı? Herhangi bir yere sabitlemenize gerek yok, ikiden bir kesir yapmanız gerekiyor. Kolay değil ama çok basit! 2=2/1. Bunun gibi. Herhangi bir tam sayı kesir olarak yazılabilir. Pay sayının kendisidir, payda birdir. 7, 7/1'dir, 3, 3/1'dir vb. Harfler için de durum aynı. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, vb. Daha sonra bu kesirlerle tüm kurallara göre çalışıyoruz.

Kesirlerde toplama ve çıkarma bilgileri tazelendi. Kesirlerin bir türden diğerine dönüştürülmesi tekrarlandı. Ayrıca kontrole de gidebilirsiniz. Biraz anlaşalım mı?)

Hesaplamak:

Cevaplar (karışıklık içinde):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Kesirlerde çarpma/bölme - bir sonraki derste. Kesirlerle yapılan tüm işlemler için de görevler vardır.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Artık kesirleri nasıl toplayıp çarpacağımızı öğrendiğimize göre daha karmaşık yapılara bakabiliriz. Örneğin, aynı problem kesirlerde toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini de içeriyorsa ne olur?

Öncelikle tüm kesirleri bileşik kesirlere çevirmeniz gerekiyor. Daha sonra gerekli eylemleri sıradan sayılarla aynı sırayla gerçekleştiriyoruz. Yani:

1. Önce üs alma işlemi yapılır; üs içeren tüm ifadelerden kurtulun;
2. Sonra - bölme ve çarpma;
3. Son adım toplama ve çıkarmadır.

Elbette ifadede parantez varsa işlem sırası değişir; önce parantez içindeki her şey sayılmalıdır. Ve uygunsuz kesirleri unutmayın: tüm kısmı yalnızca diğer tüm eylemler zaten tamamlandığında vurgulamanız gerekir.

İlk ifadedeki tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürelim ve ardından aşağıdaki adımları gerçekleştirelim:

Şimdi ikinci ifadenin değerini bulalım. Tamsayı kısmı olan kesirler yoktur, ancak parantez vardır, bu nedenle önce toplama, sonra bölme işlemi yaparız. 14 = 7 · 2 olduğuna dikkat edin. Daha sonra:

Son olarak üçüncü örneği ele alalım. Burada parantez ve derece var - bunları ayrı ayrı saymak daha iyidir. 9 = 3 3 olduğunu düşünürsek:

Son örneğe dikkat edin. Bir kesri bir kuvvete yükseltmek için, payı ayrı ayrı bu kuvvete ve paydayı ayrı ayrı yükseltmeniz gerekir.

Farklı karar verebilirsiniz. Derecenin tanımını hatırlarsak, sorun kesirlerin olağan çarpımına indirgenecektir:

Çok öykülü kesirler

Şimdiye kadar sadece pay ve paydanın sıradan sayılar olduğu "saf" kesirleri ele aldık. Bu, ilk derste verilen kesirli sayının tanımıyla oldukça tutarlıdır.

Peki pay veya paydaya daha karmaşık bir nesne koyarsanız ne olur? Örneğin başka bir sayısal kesir mi? Bu tür yapılar, özellikle uzun ifadelerle çalışırken oldukça sık ortaya çıkar. Burada bir çift örnek var:

Çok düzeyli kesirlerle çalışmanın tek bir kuralı vardır: Onlardan hemen kurtulmalısınız. Eğik çizginin standart bölme işlemi anlamına geldiğini hatırlarsanız, "ekstra" katları kaldırmak oldukça basittir. Bu nedenle herhangi bir kesir aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Bu gerçeği kullanarak ve prosedürü takip ederek herhangi bir çok katlı kesiri kolaylıkla sıradan bir kesire indirgeyebiliriz. Örneklere bir göz atın:

Görev. Çok öykülü kesirleri sıradan kesirlere dönüştürün:

Her durumda, bölme çizgisini bölme işaretiyle değiştirerek ana kesri yeniden yazıyoruz. Ayrıca herhangi bir tam sayının paydası 1 olan bir kesir olarak temsil edilebileceğini de unutmayın. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Şunu elde ederiz:

Son örnekte son çarpma işleminden önce kesirler iptal edilmiştir.

Çok düzeyli kesirlerle çalışmanın özellikleri

Çok seviyeli kesirlerde her zaman hatırlanması gereken bir incelik vardır, aksi takdirde tüm hesaplamalar doğru olsa bile yanlış cevap alabilirsiniz. Bir göz at:

1. Pay 7 sayısını, payda ise 12/5 kesirini içerir;
2. Pay 7/12 kesirini içerir ve payda ayrı bir 5 sayısını içerir.

Yani bir kayıt için tamamen farklı iki yorum elde ettik. Sayarsanız cevaplar da farklı olacaktır:

Kaydın her zaman net bir şekilde okunduğundan emin olmak için basit bir kural kullanın: Ana kesrin bölme çizgisi, iç içe geçmiş kesrin çizgisinden daha uzun olmalıdır. Tercihen birkaç kez.

Bu kurala uyarsanız yukarıdaki kesirler şu şekilde yazılmalıdır:

Evet, muhtemelen çirkindir ve çok fazla yer kaplar. Ama doğru sayacaksınız. Son olarak, çok katlı kesirlerin gerçekte ortaya çıktığı birkaç örnek:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

O halde ilk örnekle çalışalım. Tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürelim ve ardından toplama ve bölme işlemlerini gerçekleştirelim:

İkinci örnekte de aynısını yapalım. Tüm kesirleri bileşik kesre çevirelim ve gerekli işlemleri yapalım. Okuyucuyu sıkmamak için bazı bariz hesaplamaları atlayacağım. Sahibiz:

Temel kesirlerin pay ve paydası toplam içerdiğinden çok katlı kesir yazma kuralına otomatik olarak uyulur. Ayrıca son örnekte bölme işlemini gerçekleştirmek için 46/1'i bilinçli olarak kesir şeklinde bıraktık.

Ayrıca her iki örnekte de kesir çubuğunun aslında parantezlerin yerini aldığını da belirteceğim: her şeyden önce toplamı bulduk, sonra da bölümü bulduk.

Bazıları ikinci örnekte bileşik kesirlere geçişin açıkça gereksiz olduğunu söyleyecektir. Belki de bu doğrudur. Ancak bunu yaparak kendimizi hatalara karşı sigortalamış oluruz çünkü bir dahaki sefere örnek çok daha karmaşık olabilir. Hangisinin daha önemli olduğunu kendiniz seçin: hız veya güvenilirlik.

Ayrıntılı çözümlerle kullanışlı ve basit çevrimiçi kesir hesaplayıcı Belki:

• Kesirleri çevrimiçi toplama, çıkarma, çarpma ve bölme,
• Bir resimle hazır bir kesir çözümü elde edin ve rahatlıkla aktarın.

Kesirleri çözmenin sonucu burada olacak...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Kesir işareti "/" + - * :
_erase Temizle
Çevrimiçi kesir hesaplayıcımız hızlı girişe sahiptir. Örneğin kesirleri çözmek için şunu yazmanız yeterlidir: 1/2+2/7 hesap makinesine girin ve " tuşuna basın Kesirleri çöz". Hesap makinesi size yazacak kesirlerin ayrıntılı çözümü ve yayınlayacak kopyalanması kolay bir resim.

Hesap makinesinde yazmak için kullanılan işaretler

Çevrimiçi kesir hesaplayıcının özellikleri

Negatif kesirleri çözmeniz gerekiyorsa eksi'nin özelliklerini kullanmanız yeterlidir. Negatif kesirleri çarparken ve bölerken eksi ile eksi artı verir. Yani negatif kesirlerin çarpımı ve bölümü, aynı pozitif kesirlerin çarpımı ve bölümüne eşittir. Çarpma veya bölme sırasında bir kesir negatifse, o zaman eksiyi çıkarın ve cevaba ekleyin. Negatif kesirleri toplarken sonuç, aynı pozitif kesirleri topluyormuşsunuz gibi olacaktır. Bir negatif kesir eklerseniz, bu aynı pozitif kesirin çıkarılmasıyla aynı şeydir.
Negatif kesirleri çıkarırken sonuç, sanki yer değiştirmiş ve pozitif yapılmış gibi aynı olacaktır. Yani, eksi eksi bu durumda bir artı verir, ancak terimlerin yeniden düzenlenmesi toplamı değiştirmez. Biri negatif olan kesirlerde çıkarma işlemi yaparken aynı kuralları kullanırız.

Karışık kesirleri (tüm parçanın izole edildiği kesirler) çözmek için, parçanın tamamını kesire sığdırmanız yeterlidir. Bunu yapmak için tüm kısmı paydayla çarpın ve paya ekleyin.

Eğer 3 veya daha fazla kesri online olarak çözmeniz gerekiyorsa bunları tek tek çözmelisiniz. Öncelikle ilk 2 kesri sayın, ardından sonraki kesri elde ettiğiniz cevapla çözün ve bu şekilde devam edin. İşlemleri tek tek, 2 kesirli olarak gerçekleştirin ve sonunda doğru cevaba ulaşacaksınız.