Denklemin çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın. Örnekler

İntegral hesabının uygulamalarını ele almaya devam edelim. Bu derste, belirli bir integral kullanarak bir düzlem şeklinin alanının hesaplanmasına ilişkin tipik ve en yaygın probleme bakacağız. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayan herkesin onu bulmasına izin verin. Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonları kullanarak bir yazlık arsaya yaklaşmanız ve belirli bir integral kullanarak alanını bulmanız gerekecektir.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:

1) Belirsiz integrali en azından orta düzeyde anlayın. Bu nedenle aptalların öncelikle O'nun dersini tanımaları gerekir.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilir ve belirli integrali hesaplayabilir. Belirli İntegral sayfasında belirli integrallerle sıcak dostane ilişkiler kurabilirsiniz. Çözüm örnekleri. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim yapmayı içerir, dolayısıyla bilginiz ve çizim becerileriniz de önemli bir konu olacaktır. En azından düz bir çizgi, parabol ve hiperbol oluşturabilmeniz gerekir.

Kavisli bir yamukla başlayalım. Kavisli bir yamuk, bazı fonksiyonların grafiğiyle sınırlanan düz bir şekildir. sen = F(X), eksen ÖKÜZ ve çizgiler X = A; X = B.

Eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir

Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Belirli İntegral dersinde. Çözüm örneklerine belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştik. Şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır. Yani, belirli bir integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Belirli integrali düşünün

İntegrand

düzlemde bir eğri tanımlar (istenirse çizilebilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.

örnek 1

, , , .

Bu tipik bir atama beyanıdır. Karar vermede en önemli nokta çizimin yapımıdır. Üstelik çizimin DOĞRU şekilde yapılması gerekiyor.

Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneriyorum: önce tüm düz çizgileri (varsa) ve ancak o zaman parabolleri, hiperbolleri ve diğer fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha iyidir. Noktasal yapı tekniği, Grafikler ve temel fonksiyonların özellikleri referans materyalinde bulunabilir. Orada dersimiz için de çok yararlı materyaller bulabilirsiniz - nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağı.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.

Çizimi yapalım (denklemin sen= 0 ekseni belirtir ÖKÜZ):

Kavisli yamuğu gölgelemeyeceğiz, burada hangi alandan bahsettiğimiz belli oluyor. Çözüm şu şekilde devam ediyor:

[-2; 1] fonksiyon grafiği sen = X Eksenin üstünde yer alan 2 + 2 ÖKÜZ, Bu yüzden:

Cevap: .

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler

,

Belirli İntegral dersine bakın. Çözüm örnekleri. Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - yaklaşık 9 tane olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın xy = 4, X = 2, X= 4 ve eksen ÖKÜZ.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Eksenin altına kavisli bir yamuk yerleştirilmişse ne yapmalı ÖKÜZ?

Örnek 3

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın sen = eski, X= 1 ve koordinat eksenleri.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Kavisli bir yamuk tamamen eksenin altına yerleştirilmişse ÖKÜZ ise alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bu durumda:

.

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını bulun sen = 2X – X 2 , sen = -X.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişme noktalarını bulalım sen = 2X – X 2 ve düz sen = -X. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırının A= 0, entegrasyonun üst sınırı B= 3. Çizgileri noktadan noktaya oluşturmak genellikle daha karlı ve daha hızlıdır ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” netleşir. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:

Noktasal inşa ederken entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla “otomatik olarak” belirlendiğini tekrarlayalım.

Ve şimdi çalışma formülü:

Eğer segmentteyse [ A; B] bazı sürekli fonksiyonlar F(X) bazı sürekli fonksiyonlardan büyük veya ona eşittir G(X), o zaman karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede bulunduğunu - eksenin üstünde mi yoksa altında mı olduğunu düşünmenize gerek yok, ancak önemli olan hangi grafiğin YÜKSEK (başka bir grafiğe göre) ve hangisinin ALTTA olduğudur.

Söz konusu örnekte, segment üzerinde parabolün düz çizginin üzerinde olduğu ve dolayısıyla 2'den itibaren olduğu açıktır. X – X 2 çıkarılmalıdır – X.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen rakam bir parabol ile sınırlıdır sen = 2X – X 2 üstte ve düz sen = -X altında.

2. segmentte X – X 2 ≥ -X. İlgili formüle göre:

Cevap: .

Aslında, alt yarı düzlemdeki eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bkz. örnek No. 3), formülün özel bir halidir

.

Çünkü eksen ÖKÜZ denklem tarafından verilen sen= 0 ve fonksiyonun grafiği G(X) eksenin altında bulunur ÖKÜZ, O

.

Ve şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını bulun

Belirli bir integral kullanarak alan hesaplamayı içeren problemleri çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru tamamlanmış, hesaplamalar doğru ama dikkatsizlikten dolayı... yanlış şeklin alanı bulunmuş.

Örnek 7

İlk önce bir çizim yapalım:

Alanı bulmamız gereken şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir (duruma dikkatlice bakın - şeklin ne kadar sınırlı olduğu!). Ancak pratikte insanlar dikkatsizlikten dolayı genellikle şeklin yeşil renkle gösterilen alanını bulmaları gerektiğine karar verirler!

Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır. Gerçekten mi:

1) [-1; 1] eksenin üstünde ÖKÜZ grafik düz bir şekilde yerleştirilmiştir sen = X+1;

2) Eksenin üzerindeki bir segmentte ÖKÜZ bir hiperbolün grafiği bulunur sen = (2/X).

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Örnek 8

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Denklemleri “okul” formunda sunalım

ve noktadan noktaya çizim yapın:

Çizimden üst sınırımızın “iyi” olduğu açıkça görülüyor: B = 1.

Peki alt sınır nedir? Bunun bir tam sayı olmadığı açık, ama nedir?

Belki, A=(-1/3)? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede? A=(-1/4). Grafiği yanlış oluşturursak ne olur?

Böyle durumlarda ek zaman harcamanız ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak netleştirmeniz gerekir.

Grafiklerin kesişim noktalarını bulalım

Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:

.

Buradan, A=(-1/3).

Diğer çözüm önemsizdir. Önemli olan, oyuncu değişikliği ve işaretlerde kafanızın karışmamasıdır. Buradaki hesaplamalar en basit değil. Segmentte

, ,

ilgili formüle göre:

Cevap:

Dersi bitirmek için iki zor göreve daha bakalım.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Çözüm: Bu şekli çizimde gösterelim.

Nokta nokta bir çizim oluşturmak için sinüzoidin görünümünü bilmeniz gerekir. Genel olarak, bazı sinüs değerlerinin yanı sıra tüm temel fonksiyonların grafiklerini bilmek faydalıdır. Trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosunda bulunabilirler. Bazı durumlarda (örneğin, bu durumda), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının temelde doğru bir şekilde görüntülenmesi gereken şematik bir çizim oluşturmak mümkündür.

Burada entegrasyonun sınırlarıyla ilgili bir sorun yok; bunlar doğrudan şu koşuldan kaynaklanıyor:

– “x” sıfırdan “pi”ye değişir. Bir karar daha verelim:

Bir segment üzerinde bir fonksiyonun grafiği sen= günah 3 X eksenin üstünde bulunur ÖKÜZ, Bu yüzden:

(1) Trigonometrik fonksiyonların integralleri dersinde sinüs ve kosinüslerin tek kuvvetlerde nasıl integrallendiğini görebilirsiniz. Bir sinüsü sıkıştırıyoruz.

(2) Formdaki ana trigonometrik özdeşliği kullanıyoruz

(3) Değişkeni değiştirelim T=çünkü X, o zaman: eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

.

.

Not: Teğet küpün integralinin nasıl alındığına dikkat edin; burada temel trigonometrik özdeşliğin bir sonucu kullanılmıştır.

.

Bir web sitesine matematiksel formüller nasıl eklenir?

Bir web sayfasına bir veya iki matematik formülü eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha tarafından otomatik olarak oluşturulan resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. . Bu evrensel yöntem, basitliğin yanı sıra sitenin arama motorlarındaki görünürlüğünün artırılmasına da yardımcı olacaktır. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki açıdan zaten modası geçmiş.

Sitenizde düzenli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanarak web tarayıcılarında matematiksel gösterimleri görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'i kullanmanızı öneririm.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, uzak bir sunucudan doğru zamanda (sunucu listesi) otomatik olarak yüklenecek bir MathJax komut dosyasını web sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz; (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza indirin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. Daha karmaşık ve zaman alıcı olan ikinci yöntem, sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandıracaktır ve ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenden dolayı geçici olarak kullanılamaz duruma gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlarına rağmen daha basit, hızlı olması ve teknik beceri gerektirmemesi nedeniyle ilk yöntemi tercih ettim. Örneğimi takip edin ve sadece 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.

MathJax kütüphane komut dosyasını, ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). Bu kadar. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal, sürekli olarak sınırsız sayıda uygulanan belirli bir kurala göre oluşturulur. Bu tür zamanların her birine yineleme adı verilir.

Bir Menger süngeri oluşturmanın yinelemeli algoritması oldukça basittir: Kenarı 1 olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit küpe bölünür. Bir merkezi küp ve yüzleri boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Sonuç, kalan 20 küçük küpten oluşan bir settir. Bu küplerin her biriyle aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işlemi sonsuza kadar sürdürerek Menger süngeri elde ediyoruz.

İntegralin uygulamalı problemlerin çözümüne uygulanması

Alan hesaplaması

Negatif olmayan sürekli bir f(x) fonksiyonunun belirli integrali sayısal olarak y = f(x) eğrisi, O x ekseni ve x = a ve x düz çizgileriyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanına eşittir. = b. Buna göre alan formülü şu şekilde yazılır:

Düzlem figürlerin alanlarının hesaplanmasına ilişkin bazı örneklere bakalım.

Görev No. 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 çizgileriyle sınırlanan alanı hesaplayın.

Çözüm. Alanı hesaplamamız gereken bir şekil oluşturalım.

y = x 2 + 1, dalları yukarıya doğru yönlendirilen ve parabolün O y eksenine göre bir birim yukarıya doğru kaydırıldığı bir paraboldür (Şekil 1).

Şekil 1. y = x 2 + 1 fonksiyonunun grafiği

Görev No. 2. y = x 2 – 1, y = 0 doğrularının sınırladığı alanı 0 ila 1 aralığında hesaplayın.

Çözüm. Bu fonksiyonun grafiği yukarıya doğru uzanan dallardan oluşan bir paraboldür ve parabol O y eksenine göre bir birim aşağı kaydırılmıştır (Şekil 2).

Şekil 2. y = x 2 – 1 fonksiyonunun grafiği

Görev No. 3. Bir çizim yapın ve çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın

y = 8 + 2x – x 2 ve y = 2x – 4.

Çözüm. Bu iki çizgiden ilki, x2'nin katsayısı negatif olduğundan dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür, ikinci çizgi ise her iki koordinat eksenini kesen düz bir çizgidir.

Bir parabol oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını buluruz: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – tepe noktasının apsisi; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ordinatı, N(1;9) tepe noktasıdır.

Şimdi denklem sistemini çözerek parabol ile doğrunun kesişme noktalarını bulalım:

Sol tarafları eşit olan bir denklemin sağ taraflarını eşitleme.

8 + 2x – x 2 = 2x – 4 veya x 2 – 12 = 0 elde ederiz, dolayısıyla .

Yani noktalar bir parabol ile düz bir çizginin kesişme noktalarıdır (Şekil 1).

Şekil 3 y = 8 + 2x – x 2 ve y = 2x – 4 fonksiyonlarının grafikleri

y = 2x – 4 şeklinde bir doğru çizelim. Koordinat eksenlerinde (0;-4), (2;0) noktalarından geçer.

Bir parabol oluşturmak için 0x ekseniyle kesişme noktalarını, yani 8 + 2x – x 2 = 0 veya x 2 – 2x – 8 = 0 denkleminin köklerini de kullanabilirsiniz. Vieta teoremini kullanarak bunu yapmak kolaydır. köklerini bulmak için: x 1 = 2, x 2 = 4.

Şekil 3, bu çizgilerle sınırlandırılmış bir şekli (M 1 N M 2 parabolik segmenti) göstermektedir.

Sorunun ikinci kısmı bu şeklin alanını bulmaktır. Alanı aşağıdaki formüle göre belirli bir integral kullanılarak bulunabilir: .

Bu koşula bağlı olarak integrali elde ederiz:

2 Dönen cismin hacminin hesaplanması

y = f(x) eğrisinin Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

O y ekseni etrafında dönerken formül şöyle görünür:

Görev No.4. x = 0 x = 3 düz çizgileri ve y = eğrisi ile sınırlanan kavisli bir yamuğun O x ekseni etrafında dönmesinden elde edilen cismin hacmini belirleyin.

Çözüm. Bir resim çizelim (Şekil 4).

Şekil 4. y = fonksiyonunun grafiği

Gerekli hacim

Görev No.5. y = x 2 eğrisi ve y = 0 ve y = 4 düz çizgileriyle sınırlanan eğri bir yamuğun O y ekseni etrafında dönmesinden elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm. Sahibiz:

Soruları gözden geçirin

İntegral hesabının uygulamalarını ele almaya devam edelim. Bu derste tipik ve en yaygın problemi analiz edeceğiz - belirli bir integral kullanarak bir düzlem şeklinin alanının nasıl hesaplanacağı. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayanlar, onu bulsunlar. Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonları kullanarak bir yazlık arsaya yaklaşmanız ve belirli bir integral kullanarak alanını bulmanız gerekecektir.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:

1) Belirsiz integrali en azından orta düzeyde anlayın. Bu nedenle, aptallar öncelikle Not dersine alışmalıdır.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilir ve belirli integrali hesaplayabilir. Belirli İntegral sayfasında belirli integrallerle sıcak dostane ilişkiler kurabilirsiniz. Çözüm örnekleri.

Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında bu kadar bilgi sahibi olmanıza gerek yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim yapmayı içerir, bu nedenle çizim oluşturma konusundaki bilgi ve becerileriniz çok daha acil bir soru olacaktır. Bu bağlamda, temel temel fonksiyonların grafiklerine ilişkin hafızanızı tazelemek ve en azından düz bir çizgi, parabol ve hiperbol oluşturabilmek faydalıdır. Bu, metodolojik materyal ve grafiklerin geometrik dönüşümleri üzerine bir makale yardımıyla yapılabilir (çoğu için gereklidir).

Aslında herkes belirli bir integral kullanarak alanı bulma işine okuldan beri aşinadır ve okul müfredatının çok ötesine geçmeyeceğiz. Bu makale hiç mevcut olmayabilir, ancak gerçek şu ki sorun, bir öğrencinin nefret ettiği bir okuldan muzdarip olduğu ve yüksek matematik dersinde şevkle ustalaştığı 100 vakadan 99'unda ortaya çıkıyor.

Bu çalıştayın materyalleri basit, ayrıntılı ve minimum teoriyle sunulmaktadır.

Kavisli bir yamukla başlayalım.

Eğri bir yamuk, bir eksenle, düz çizgilerle ve bu aralıkta işareti değişmeyen bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanmış düz bir şekildir. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil x ekseni:

Daha sonra eğrisel yamuğun alanı sayısal olarak belirli integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Belirli İntegral dersinde. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştim. Şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır.

Yani, belirli bir integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyenler çizim yapabilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.

örnek 1

Bu tipik bir atama beyanıdır. Karardaki ilk ve en önemli nokta çizimdir. Üstelik çizimin DOĞRU şekilde yapılması gerekiyor.

Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneriyorum: önce tüm düz çizgileri (varsa) ve ancak o zaman parabolleri, hiperbolleri ve diğer fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha iyidir. Fonksiyonların grafiklerini noktasal olarak oluşturmak daha kârlıdır; noktasal yapım tekniği, Grafikler ve temel fonksiyonların özellikleri referans materyalinde bulunabilir. Orada dersimiz için de çok yararlı materyaller bulabilirsiniz - nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağı.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):

Kavisli yamuğu gölgelemeyeceğim, burada hangi alandan bahsettiğimiz belli oluyor. Çözüm şu şekilde devam ediyor:

Segmentte fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

Cevap:

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler , Belirli İntegral dersine bakın. Çözüm örnekleri.

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - yaklaşık 9 tane olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Örnek 2

Çizgiler ve eksenlerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Eksenin altına kavisli bir yamuk yerleştirilmişse ne yapmalı?

Örnek 3

Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Kavisli yamuk eksenin altında bulunuyorsa (veya en azından daha yüksek değil verilen eksen), o zaman alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Bu durumda:

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı olduğu anlamına gelir.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir.

Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Çeşitli grafikler için noktasal oluşturma tekniği, Grafikler ve temel fonksiyonların özellikleri yardımında ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.

Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:

Noktasal inşa ederken entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla "otomatik olarak" belirlendiğini tekrar ediyorum.

Ve şimdi çalışma formülü: Bir segmentte bazı sürekli fonksiyonlar bazı sürekli fonksiyonlardan büyük veya ona eşitse, o zaman bu fonksiyonların grafikleri ve düz çizgilerle sınırlı olan şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede bulunduğunu - eksenin üstünde veya altında - düşünmenize gerek yok ve kabaca konuşursak, hangi grafiğin YÜKSEK (başka bir grafiğe göre) ve hangisinin ALTTA olduğu önemlidir.

Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:

Cevap:

Aslında, alt yarı düzlemdeki eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bakınız basit örnek No. 3), formülün özel bir halidir . Eksen denklemle belirtildiğinden ve fonksiyonun grafiği bulunduğundan daha yüksek değil eksenler, o zaman

Ve şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Şeklin çizgilerle sınırlanan alanını bulun.

Belirli bir integral kullanarak alan hesaplamayı içeren problemleri çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplamalar doğru ama dikkatsizlikten... Yanlış figürün alanı bulunmuş, işte bu mütevazi hizmetkarınız birkaç kez aynı şekilde yanlış yapmış. İşte gerçek hayattan bir örnek:

Örnek 7

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapalım:

...Eh, çizim berbat çıktı ama her şey okunaklı görünüyor.

Alanı bulmamız gereken şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir (duruma dikkatlice bakın - şeklin ne kadar sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle sıklıkla bir şeklin yeşil gölgeli alanını bulmanızı gerektiren bir "aksaklık" meydana gelir!

Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır. Gerçekten mi:

1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Başka bir anlamlı göreve geçelim.

Örnek 8

Çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın,
Denklemleri “okul” formunda sunalım ve nokta nokta çizim yapalım:

Çizimden üst limitimizin “iyi” olduğu açıkça görülüyor: .
Peki alt sınır nedir? Bunun bir tam sayı olmadığı açık, ama nedir? Belki ? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, pekala ortaya çıkabilir... Veya kök. Grafiği yanlış oluşturursak ne olur?

Böyle durumlarda ek zaman harcamanız ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak netleştirmeniz gerekir.

Düz bir çizgi ile parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:


,

Gerçekten mi, .

Diğer çözüm önemsizdir, asıl mesele ikameler ve işaretler konusunda kafanızın karışmamasıdır, buradaki hesaplamalar en basit değildir.

Segmentte karşılık gelen formüle göre:

Cevap:

Dersi bitirmek için iki zor göreve daha bakalım.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,

Çözüm: Bu şekli çizimde gösterelim.

Lanet olsun, programı imzalamayı unuttum ve üzgünüm, resmi yeniden yapmak istemedim. Çizim günü değil kısacası bugün o gün =)

Nokta nokta inşaat için sinüzoidin görünümünü bilmeniz gerekir (ve genel olarak tüm temel fonksiyonların grafiklerini bilmek faydalıdır) ve sinüsün bazı değerlerini de bulabilirsiniz. trigonometrik tablo. Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının temelde doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim oluşturmak mümkündür.

Burada integralin sınırlarıyla ilgili bir sorun yok; bunlar doğrudan "x"in sıfırdan "pi"ye değişmesi koşulundan kaynaklanıyor. Bir karar daha verelim:

Segmentte fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

Bu makalede integral hesaplamalarını kullanarak çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz. Böyle bir problemin formülasyonuyla ilk kez lisede, belirli integrallerin çalışmasını yeni tamamladığımızda ve edinilen bilgilerin geometrik yorumuna pratikte başlamanın zamanı geldiğinde karşılaşıyoruz.

Öyleyse, integralleri kullanarak bir şeklin alanını bulma problemini başarıyla çözmek için gerekenler:

• Yetkili çizimler yapabilme becerisi;
• İyi bilinen Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli bir integrali çözme becerisi;
• Daha kârlı bir çözüm seçeneğini “görme” yeteneği - ör. Bir durumda entegrasyonu gerçekleştirmenin nasıl daha uygun olacağını anladınız mı? X ekseni (OX) veya y ekseni (OY) boyunca mı?
• Peki, doğru hesaplamalar olmasaydı nerede olurduk?) Bu, diğer türdeki integrallerin nasıl çözüleceğini ve doğru sayısal hesaplamaları anlamayı da içerir.

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplama problemini çözmek için algoritma:

1. Bir çizim yapıyoruz. Bunu büyük ölçekte kareli bir kağıt üzerinde yapmanız tavsiye edilir. Her grafiğin üstüne bu fonksiyonun adını kurşun kalemle imzalıyoruz. Grafiklerin imzalanması yalnızca daha sonraki hesaplamaların kolaylığı için yapılır. İstenilen rakamın grafiğini aldıktan sonra çoğu durumda hangi entegrasyon sınırlarının kullanılacağı hemen anlaşılacaktır. Böylece sorunu grafiksel olarak çözüyoruz. Ancak limitlerin değerlerinin kesirli veya irrasyonel olması da mümkündür. Bu nedenle ek hesaplamalar yapabilir, ikinci adıma geçebilirsiniz.

2. İntegral sınırları açıkça belirtilmemişse grafiklerin birbirleriyle kesişme noktalarını buluruz ve grafiksel çözümümüzün analitik çözümle örtüşüp örtüşmediğine bakarız.

3. Daha sonra çizimi analiz etmeniz gerekiyor. Fonksiyon grafiklerinin nasıl düzenlendiğine bağlı olarak bir şeklin alanını bulma konusunda farklı yaklaşımlar vardır. İntegralleri kullanarak bir şeklin alanını bulmanın farklı örneklerine bakalım.

3.1. Sorunun en klasik ve en basit versiyonu, kavisli bir yamuğun alanını bulmanız gerektiği zamandır. Kavisli yamuk nedir? Bu, x ekseni (y = 0) ile sınırlanan düz bir şekil, x = a, x = b düz çizgileri ve a'dan b'ye kadar olan aralıkta sürekli olan herhangi bir eğridir. Üstelik bu rakam negatif değildir ve x ekseninin altında yer almaz. Bu durumda, eğrisel yamuğun alanı, Newton-Leibniz formülü kullanılarak hesaplanan belirli bir integrale sayısal olarak eşittir:

örnek 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Şekil hangi çizgilerle sınırlanmıştır? OX ekseninin üzerinde yer alan bir y = x2 - 3x + 3 parabolümüz var, negatif değil çünkü bu parabolün tüm noktaları pozitif değerlere sahiptir. Daha sonra, op-amp'in eksenine paralel uzanan ve sol ve sağdaki şeklin sınır çizgileri olan x = 1 ve x = 3 düz çizgileri verilmiştir. Evet, y = 0, aynı zamanda x eksenidir ve bu da şekli alttan sınırlar. Ortaya çıkan şekil, soldaki şekilde görülebileceği gibi gölgelidir. Bu durumda hemen sorunu çözmeye başlayabilirsiniz. Önümüzde basit bir kavisli yamuk örneği var ve bunu daha sonra Newton-Leibniz formülünü kullanarak çözüyoruz.

3.2. Önceki paragraf 3.1'de, kavisli bir yamuğun x ekseninin üzerinde yer aldığı durumu inceledik. Şimdi, fonksiyonun x ekseninin altında olması dışında problemin koşullarının aynı olduğu durumu düşünün. Standart Newton-Leibniz formülüne bir eksi eklenir. Aşağıda böyle bir sorunun nasıl çözüleceğini ele alacağız.

Örnek 2. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Bu örnekte, OX ekseninin altından kaynaklanan, x = -4, x = -1, y = 0 düz çizgilerinden kaynaklanan bir y = x2 + 6x + 2 parabolümüz var. Burada y = 0 istenen rakamı yukarıdan sınırlar. x = -4 ve x = -1 düz çizgileri, belirli integralin hesaplanacağı sınırlardır. Bir şeklin alanını bulma problemini çözme ilkesi neredeyse tamamen 1 numaralı örnekle örtüşmektedir. Tek fark, verilen fonksiyonun pozitif olmaması ve aynı zamanda [-4; -1] . Ne demek olumlu değil? Şekilden de görülebileceği gibi, verilen x'lerin içinde yer alan şekil yalnızca “negatif” koordinatlara sahiptir ve sorunu çözerken görmemiz ve hatırlamamız gereken şey budur. Şeklin alanını Newton-Leibniz formülünü kullanarak, yalnızca başında eksi işaretiyle arıyoruz.

Makale tamamlanmadı.