Cách tìm khoảng tăng dần. Khoảng thời gian tăng và giảm
Rất Thông tin quan trọng về hành vi của hàm cung cấp các khoảng tăng và giảm. Việc tìm ra chúng là một phần của quá trình kiểm tra hàm số và vẽ đồ thị. Ngoài ra, các điểm cực trị tại đó có sự thay đổi từ tăng sang giảm hoặc từ giảm sang tăng được cho trước. Đặc biệt chú ý khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong một khoảng nhất định.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa cần thiết, xây dựng tiêu chí đủ cho sự tăng giảm của hàm số trên một khoảng và điều kiện đủ cho sự tồn tại của cực trị, đồng thời áp dụng toàn bộ lý thuyết này để giải các ví dụ và bài toán.
Điều hướng trang.
Hàm tăng giảm trên một khoảng.
Định nghĩa hàm tăng.
Hàm số y=f(x) tăng trên khoảng X nếu với bất kỳ và 
sự bất bình đẳng tồn tại. Nói cách khác, giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm.
Định nghĩa hàm giảm.
Hàm số y=f(x) giảm trên khoảng X nếu với bất kỳ và bất bình đẳng giữ 
. Nói cách khác, giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm.
LƯU Ý: nếu hàm số được xác định và liên tục tại các điểm cuối của khoảng tăng hoặc giảm (a;b), tức là tại x=a và x=b, thì các điểm này được bao gồm trong khoảng tăng hoặc giảm. Điều này không mâu thuẫn với các định nghĩa về hàm tăng và hàm giảm trên khoảng X.
Ví dụ, từ các thuộc tính của chính các hàm cơ bản chúng ta biết rằng y=sinx được xác định và liên tục cho tất cả các giá trị thực của đối số. Do đó, từ sự tăng của hàm sin trên khoảng, chúng ta có thể khẳng định rằng nó tăng trên khoảng.
Điểm cực trị, cực trị của hàm số.
Điểm đó được gọi là điểm tối đa hàm y=f(x) nếu bất đẳng thức đúng với mọi x trong vùng lân cận của nó. Giá trị của hàm số tại điểm cực đại được gọi là cực đại của hàm và biểu thị .
Điểm đó được gọi là điểm tối thiểu hàm y=f(x) nếu bất đẳng thức đúng với mọi x trong vùng lân cận của nó. Giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu được gọi là hàm tối thiểu và biểu thị .
Lân cận của một điểm được hiểu là khoảng 
, ở đây là một số dương đủ nhỏ.
Điểm tối thiểu và tối đa được gọi là điểm cực trị, và các giá trị hàm tương ứng với các điểm cực trị được gọi là cực trị của hàm.
Đừng nhầm lẫn cực trị của hàm với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm.
Trong bức tranh đầu tiên giá trị cao nhất hàm trên đoạn đạt được tại điểm tối đa và bằng mức tối đa của hàm và trong hình thứ hai - giá trị tối đa của hàm đạt được tại điểm x=b, không phải là điểm tối đa.
Đủ điều kiện để tăng và giảm hàm số.
Dựa vào các điều kiện (dấu hiệu) đủ để tăng giảm của hàm số, tìm ra các khoảng tăng giảm của hàm số.
Dưới đây là công thức biểu thị dấu của hàm số tăng và giảm trên một khoảng:
- nếu đạo hàm của hàm y=f(x) dương với bất kỳ x nào từ khoảng X, thì hàm số tăng thêm X;
- nếu đạo hàm của hàm y=f(x) âm với bất kỳ x nào từ khoảng X, thì hàm số sẽ giảm trên X.
Vì vậy, để xác định các khoảng tăng giảm của một hàm số cần:
Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm khoảng của các hàm tăng và giảm để giải thích thuật toán.
Ví dụ.
Tìm khoảng của hàm tăng và hàm giảm.
Giải pháp.
Bước đầu tiên là tìm miền định nghĩa của hàm. Trong ví dụ của chúng ta, biểu thức ở mẫu số không được bằng 0, do đó, .
Hãy chuyển sang tìm đạo hàm của hàm số: 
Để xác định các khoảng tăng giảm của một hàm số dựa trên tiêu chí đủ, ta giải các bất đẳng thức trên miền định nghĩa. Hãy sử dụng cách tổng quát hóa của phương pháp khoảng. Căn thực duy nhất của tử số là x = 2, và mẫu số tiến tới 0 tại x=0. Những điểm này chia miền định nghĩa thành các khoảng trong đó đạo hàm của hàm giữ nguyên dấu. Hãy đánh dấu những điểm này trên tia số. Chúng ta thường biểu thị bằng dấu cộng và dấu trừ các khoảng mà đạo hàm dương hoặc âm. Các mũi tên bên dưới biểu thị sơ đồ mức tăng hoặc giảm của hàm trên khoảng tương ứng. 
Như vậy, 
Và 
.
Tại điểm Hàm x=2 được xác định và liên tục, do đó, nó cần được thêm vào cả khoảng tăng và khoảng giảm. Tại điểm x=0 hàm số không được xác định nên chúng ta không đưa điểm này vào các khoảng được yêu cầu.
Chúng tôi trình bày đồ thị của hàm để so sánh kết quả thu được với nó.
Trả lời:
Hàm tăng khi 
, giảm trong khoảng (0;2] .
Điều kiện đủ để đạt cực trị của hàm số.
Tất nhiên, để tìm cực đại và cực tiểu của một hàm, bạn có thể sử dụng bất kỳ dấu nào trong ba dấu cực trị nếu hàm đó thỏa mãn các điều kiện của chúng. Phổ biến nhất và thuận tiện nhất là cái đầu tiên trong số đó.
Điều kiện đủ đầu tiên của cực trị.
Giả sử hàm y=f(x) khả vi trong lân cận của điểm và liên tục tại chính điểm đó.
Nói cách khác:
Thuật toán tìm điểm cực trị dựa vào dấu cực trị đầu tiên của hàm số.
- Chúng tôi tìm thấy miền định nghĩa của hàm.
- Chúng ta tìm đạo hàm của hàm số trên miền định nghĩa.
- Ta xác định các số 0 của tử số, các số 0 của mẫu số của đạo hàm và các điểm thuộc miền định nghĩa không tồn tại đạo hàm (tất cả các điểm liệt kê được gọi là điểm cực trị có thể, đi qua các điểm này thì đạo hàm chỉ có thể đổi dấu).
- Các điểm này chia miền định nghĩa của hàm số thành các khoảng trong đó đạo hàm giữ nguyên dấu. Chúng ta xác định dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng (ví dụ: bằng cách tính giá trị đạo hàm của hàm số tại bất kỳ điểm nào trong một khoảng cụ thể).
- Chúng tôi chọn các điểm tại đó hàm số liên tục và đi qua đó, đạo hàm thay đổi dấu - đây là các điểm cực trị.
Nhiều từ quá, chúng ta cùng xem một vài ví dụ tìm điểm cực trị và cực trị của hàm số sử dụng điều kiện đủ thứ nhất để tìm cực trị của hàm số.
Ví dụ.
Tìm cực trị của hàm số.
Giải pháp.
Miền xác định của hàm số là toàn bộ tập hợp số thực ngoại trừ x=2.
Tìm đạo hàm: 
Các số 0 của tử số là các điểm x=-1 và x=5, mẫu số tiến về 0 tại x=2. Đánh dấu các điểm này trên trục số 
Chúng ta xác định dấu của đạo hàm tại mỗi khoảng; để làm điều này, chúng ta tính giá trị của đạo hàm tại bất kỳ điểm nào của mỗi khoảng, ví dụ: tại các điểm x=-2, x=0, x=3 và x=6.
Do đó, trên khoảng này đạo hàm là dương (trong hình chúng ta đặt dấu cộng trên khoảng này). Tương tự như vậy 
Do đó, chúng ta đặt một điểm trừ phía trên khoảng thứ hai, một điểm trừ phía trên khoảng thứ ba và một điểm cộng phía trên khoảng thứ tư.
Vẫn còn phải chọn các điểm tại đó hàm số liên tục và đạo hàm của nó thay đổi dấu. Đây là những điểm cực trị.
Tại điểm x=-1 là hàm số liên tục và đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ, do đó, theo dấu cực trị thứ nhất x=-1 là điểm cực đại, cực đại của hàm số tương ứng với nó 
.
Tại điểm x=5 hàm số liên tục và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên x=-1 là điểm cực tiểu, cực tiểu của hàm số tương ứng với nó 
.
Minh họa đồ họa.
Trả lời:
XIN LƯU Ý: tiêu chí đủ đầu tiên cho một cực trị không yêu cầu khả vi của hàm số tại chính điểm đó.
Ví dụ.
Tìm điểm cực trị và cực trị của hàm số 
.
Giải pháp.
Miền xác định của hàm số là toàn bộ tập hợp số thực. Bản thân hàm này có thể được viết là: 
Hãy tìm đạo hàm của hàm số: 
Tại điểm x=0 đạo hàm không tồn tại, vì các giá trị của giới hạn một phía không trùng nhau khi đối số có xu hướng về 0: 
Đồng thời, hàm số ban đầu liên tục tại điểm x=0 (xem phần nghiên cứu hàm số liên tục): 
Hãy tìm giá trị của đối số tại đó đạo hàm tiến về 0: 
Hãy đánh dấu tất cả các điểm thu được trên trục số và xác định dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng. Để làm điều này, chúng tôi tính toán các giá trị đạo hàm tại các điểm tùy ý của mỗi khoảng, ví dụ: tại x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.
Đó là, 
Vì vậy, theo dấu đầu tiên của cực trị, điểm cực tiểu là 
, số điểm tối đa là 
.
Chúng tôi tính toán cực tiểu tương ứng của hàm 
Ta tính cực đại tương ứng của hàm số 
Minh họa đồ họa.
Trả lời:
.
Dấu hiệu thứ hai của cực trị của hàm số.
Như bạn có thể thấy, dấu hiệu cực trị này của hàm đòi hỏi sự tồn tại của đạo hàm ít nhất là bậc hai tại điểm.
Cho hệ tọa độ hình chữ nhật được xác định trên một mặt phẳng nhất định. Đồ thị của hàm số nào đó, (miền xác định X) là tập hợp các điểm của mặt phẳng này có tọa độ, trong đó .
Để xây dựng đồ thị, bạn cần vẽ trên mặt phẳng một tập hợp các điểm có tọa độ (x;y) có liên hệ với nhau bằng quan hệ.
Thông thường, đồ thị của hàm số là một loại đường cong.
Cách đơn giản nhất để vẽ đồ thị là vẽ theo điểm.
Một bảng được biên dịch trong đó giá trị của đối số nằm trong một ô và giá trị của hàm từ đối số này nằm trong ô đối diện. Sau đó, các điểm kết quả được đánh dấu trên mặt phẳng và một đường cong được vẽ qua chúng.
Một ví dụ về xây dựng đồ thị hàm số bằng điểm:
Hãy xây dựng một bảng.
Bây giờ hãy xây dựng một biểu đồ.
Nhưng theo cách này, không phải lúc nào cũng có thể xây dựng được một biểu đồ đủ chính xác - để có được độ chính xác, bạn cần phải lấy rất nhiều điểm. Vì vậy họ sử dụng Các phương pháp khác nhau nghiên cứu chức năng.
Đề án nghiên cứu đầy đủ về chức năng này đã được làm quen với giáo dục đại học. cơ sở giáo dục. Một trong những mục đích của việc nghiên cứu hàm số là tìm các khoảng tăng (giảm) của hàm số.
Một hàm được gọi là tăng (giảm) trên một khoảng nhất định nếu, với mọi x 2 và x 1 từ khoảng này, sao cho x 2 >x 1.
Ví dụ: một hàm có đồ thị được hiển thị trong hình dưới đây, trên các khoảng 
tăng và giảm trong khoảng (-5;3). Tức là trong các khoảng Lịch trình đang ngày càng khó khăn. Và trong khoảng (-5;3) “xuống dốc”.
Một điểm khác trong việc nghiên cứu hàm số là nghiên cứu hàm số theo tính tuần hoàn.
Một hàm số được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số T sao cho 
.
Số T được gọi là chu kỳ của hàm số. Ví dụ: hàm số tuần hoàn, ở đây chu kỳ là 2P, do đó
Ví dụ về đồ thị của hàm tuần hoàn:
Chu kỳ của hàm số thứ nhất là 3 và hàm số thứ hai là 4.
Một hàm được gọi ngay cả khi Ví dụ hàm chẵn y=x2.
Một hàm được gọi là lẻ nếu Ví dụ về hàm lẻ y=x 3 .
Đồ thị của hàm chẵn đối xứng qua trục op-amp (đối xứng trục).
Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ (đối xứng tâm).
Ví dụ về đồ thị của hàm chẵn (trái) và hàm lẻ (phải).
Phát sinh. Nếu đạo hàm của một hàm số dương tại một điểm bất kỳ trong khoảng thì hàm số đó tăng; nếu nó âm thì nó giảm.
Để tìm các khoảng tăng giảm của một hàm số, bạn cần tìm miền định nghĩa, đạo hàm của nó, giải các bất phương trình dạng F’(x) > 0 và F’(x)
Giải pháp.
3. Giải các bất đẳng thức y’ > 0 và y’ 0;
(4 - x)/x³
Giải pháp.
1. Hãy tìm miền định nghĩa của hàm số. Rõ ràng, biểu thức ở mẫu số phải luôn khác 0. Do đó, 0 bị loại khỏi miền định nghĩa: hàm được xác định cho x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).
2. Tính đạo hàm của hàm số:
y'(x) = ((3 x 2 + 2 x - 4)' x 2 – (3 x 2 + 2 x - 4) (x 2)')/x^4 = ((6 x + 2) x 2 – (3 x 2 + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³.
3. Giải các bất đẳng thức y’ > 0 và y’ 0;
(4 - x)/x³
4. Bên trái bất đẳng thức có một số thực x = 4 và quay về tại x = 0. Do đó, giá trị x = 4 thuộc cả khoảng và khoảng giảm dần, không tính điểm 0.
Vì vậy, hàm cần tìm tăng trên khoảng x ∈ (-∞; 0) ∪ .
4. Vế trái của bất đẳng thức có một số thực x = 4 và quay về tại x = 0. Do đó, giá trị x = 4 vừa thuộc khoảng vừa thuộc khoảng giảm, không tính điểm 0.
Vì vậy, hàm cần tìm tăng trên khoảng x ∈ (-∞; 0) ∪ .
Nguồn:
- cách tìm khoảng giảm dần trên một hàm
Hàm biểu thị sự phụ thuộc chặt chẽ của một số vào một số khác hoặc giá trị của hàm (y) vào một đối số (x). Mỗi quá trình (không chỉ trong toán học) có thể được mô tả bằng chức năng riêng của nó, sẽ có đặc trưng: khoảng giảm và tăng, điểm cực tiểu và cực đại, v.v.
Bạn sẽ cần
- - giấy;
- - cái bút.
Hướng dẫn
Ví dụ 2.
Tìm các khoảng giảm f(x)=sinx +x.
Đạo hàm của hàm số này sẽ bằng: f’(x)=cosx+1.
Giải bất đẳng thức cosx+1
Khoảng thời gian sự đơn điệu một hàm có thể được gọi là một khoảng trong đó hàm chỉ tăng hoặc chỉ giảm. Một số hành động cụ thể sẽ giúp tìm ra các phạm vi như vậy cho một hàm, thường được yêu cầu trong các bài toán đại số loại này.
Hướng dẫn
Bước đầu tiên để giải bài toán xác định các khoảng trong đó một hàm tăng hoặc giảm đơn điệu là tính hàm này. Để thực hiện việc này, hãy tìm hiểu tất cả các giá trị đối số (giá trị dọc theo trục x) mà bạn có thể tìm thấy giá trị của hàm. Đánh dấu các điểm quan sát thấy sự gián đoạn. Tìm đạo hàm của hàm số. Khi bạn đã xác định được biểu thức đại diện cho đạo hàm, hãy đặt nó bằng 0. Sau đó, bạn sẽ tìm thấy gốc của kết quả . Không phải về diện tích cho phép.
Các điểm mà tại đó hàm số hoặc đạo hàm của nó bằng 0 biểu thị ranh giới của các khoảng sự đơn điệu. Các phạm vi này cũng như các điểm phân cách chúng phải được nhập tuần tự vào bảng. Tìm dấu của đạo hàm của hàm số trong các khoảng thu được. Để làm điều này, hãy thay thế bất kỳ đối số nào từ khoảng vào biểu thức tương ứng với đạo hàm. Nếu kết quả là dương thì hàm số trong phạm vi này sẽ tăng; nếu không thì hàm số sẽ giảm. Kết quả được nhập vào bảng.
Trong dòng biểu thị đạo hàm của hàm f'(x), các giá trị tương ứng của các đối số được viết: “+” - nếu đạo hàm dương, “-” - âm hoặc “0” - bằng 0. Ở dòng tiếp theo, hãy lưu ý đến sự đơn điệu của chính biểu thức ban đầu. Mũi tên lên tương ứng với mức tăng và mũi tên xuống tương ứng với mức giảm. Kiểm tra các chức năng. Đây là những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0. Điểm cực trị có thể là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu. Nếu phần trước của hàm tăng và phần hiện tại giảm thì đây là điểm tối đa. Trong trường hợp hàm số đã giảm trước một điểm nhất định và bây giờ nó đang tăng thì đây là điểm tối thiểu. Nhập các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị vào bảng.
Nguồn:
- định nghĩa của sự đơn điệu là gì
Hành vi của một hàm có sự phụ thuộc phức tạp vào một đối số được nghiên cứu bằng cách sử dụng đạo hàm. Theo bản chất của sự thay đổi đạo hàm, bạn có thể tìm thấy các điểm quan trọng và các vùng tăng hoặc giảm của hàm số.
Cực trị của hàm
Định nghĩa 2
Một điểm $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm $f(x)$ nếu có một lân cận của điểm này sao cho với mọi $x$ trong lân cận này thì bất đẳng thức $f(x)\le f(x_0) $ giữ.
Định nghĩa 3
Một điểm $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm $f(x)$ nếu có một lân cận của điểm này sao cho với mọi $x$ trong lân cận này thì bất đẳng thức $f(x)\ge f(x_0) $ giữ.
Khái niệm cực trị của hàm số có liên quan chặt chẽ với khái niệm điểm cực trị của hàm số. Hãy để chúng tôi giới thiệu định nghĩa của nó.
Định nghĩa 4
$x_0$ được gọi Điểm cốt lõi hàm $f(x)$ nếu:
1) $x_0$ - điểm bên trong của miền định nghĩa;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ hoặc không tồn tại.
Đối với khái niệm cực trị, chúng ta có thể xây dựng các định lý về điều kiện đủ và cần cho sự tồn tại của nó.
Định lý 2
Điều kiện đủ để đạt cực trị
Giả sử điểm $x_0$ là tới hạn đối với hàm $y=f(x)$ và nằm trong khoảng $(a,b)$. Cho đạo hàm $f"(x)$ tồn tại trên mỗi khoảng $\left(a,x_0\right)\ và\ (x_0,b)$ và bảo toàn dấu hiệu vĩnh viễn. Sau đó:
1) Nếu trên khoảng $(a,x_0)$ đạo hàm là $f"\left(x\right)>0$, và trên khoảng $(x_0,b)$ đạo hàm là $f"\left( x\phải)
2) Nếu trên khoảng $(a,x_0)$ đạo hàm $f"\left(x\right)0$, thì điểm $x_0$ là điểm tối thiểu của hàm này.
3) Nếu cả hai trên khoảng $(a,x_0)$ và trên khoảng $(x_0,b)$ thì đạo hàm $f"\left(x\right) >0$ hoặc đạo hàm $f"\left(x \Phải)
Định lý này được minh họa trong Hình 1.
Hình 1. Điều kiện đủ để tồn tại cực trị
Ví dụ về các thái cực (Hình 2).
Hình 2. Ví dụ về điểm cực trị
Quy tắc nghiên cứu hàm cực trị
2) Tìm đạo hàm $f"(x)$;
7) Rút ra kết luận về sự xuất hiện cực đại và cực tiểu trên mỗi khoảng, sử dụng Định lý 2.
Chức năng tăng và giảm
Đầu tiên chúng ta hãy giới thiệu các định nghĩa về hàm tăng và hàm giảm.
Định nghĩa 5
Hàm $y=f(x)$ được xác định trên khoảng $X$ được cho là tăng nếu với bất kỳ điểm nào $x_1,x_2\in X$ tại $x_1
Định nghĩa 6
Hàm $y=f(x)$ được xác định trên khoảng $X$ được cho là giảm nếu với bất kỳ điểm $x_1,x_2\in X$ nào cho $x_1f(x_2)$.
Nghiên cứu hàm tăng và giảm
Bạn có thể nghiên cứu các hàm tăng và giảm bằng cách sử dụng đạo hàm.
Để kiểm tra hàm số theo các khoảng tăng và giảm, bạn phải làm như sau:
1) Tìm miền định nghĩa của hàm $f(x)$;
2) Tìm đạo hàm $f"(x)$;
3) Tìm các điểm mà tại đó đẳng thức $f"\left(x\right)=0$ giữ;
4) Tìm các điểm tại đó $f"(x)$ không tồn tại;
5) Đánh dấu trên đường tọa độ tất cả các điểm tìm được và miền xác định của hàm số này;
6) Xác định dấu của đạo hàm $f"(x)$ trên mỗi khoảng kết quả;
7) Rút ra kết luận: trong các khoảng thời gian mà $f"\left(x\right)0$ thì hàm số tăng lên.
Ví dụ về bài toán nghiên cứu hàm tăng, hàm giảm và sự có mặt của điểm cực trị
ví dụ 1
Kiểm tra hàm tăng và giảm cũng như sự hiện diện của các điểm tối đa và tối thiểu: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Vì 6 điểm đầu tiên giống nhau nên hãy thực hiện chúng trước.
1) Miền định nghĩa - tất cả các số thực;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ tồn tại ở tất cả các điểm của miền định nghĩa;
5) Đường tọa độ:
Hình 3.
6) Xác định dấu của đạo hàm $f"(x)$ trên mỗi khoảng:
\ \ .
- Điểm cực trị của hàm một biến. Điều kiện đủ để đạt cực trị
Giả sử hàm f(x), được xác định và liên tục trong khoảng, không đơn điệu trong khoảng đó. Có các phần [ , ] của khoảng mà hàm trong đó đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất điểm nội bộ, I E. giữa và.
Hàm số f(x) được gọi là có cực đại (hoặc cực tiểu) tại một điểm nếu điểm này có thể được bao quanh bởi một lân cận (x 0 - ,x 0 +) chứa trong khoảng mà hàm số được cho là bất đẳng thức giữ cho tất cả các điểm của nó.
f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x 0))
Nói cách khác, điểm x 0 mang lại cho hàm f(x) mức tối đa (tối thiểu) nếu giá trị f(x 0) hóa ra là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong số các giá trị được hàm chấp nhận trong một số trường hợp. (ít nhất là nhỏ) vùng lân cận của điểm này. Lưu ý rằng chính định nghĩa về mức tối đa (tối thiểu) giả định rằng hàm số được chỉ định ở cả hai phía của điểm x 0.
Nếu có một lân cận trong đó (tại x=x 0) thì bất đẳng thức nghiêm ngặt
f(x)
thì người ta nói rằng hàm số có giá trị cực đại (cực tiểu) của chính nó tại điểm x 0, nếu không thì nó có giá trị không đúng.
Nếu một hàm có cực đại tại các điểm x 0 và x 1, thì khi áp dụng định lý Weierstrass thứ hai cho khoảng, chúng ta thấy rằng hàm đạt giá trị nhỏ nhất trong khoảng này tại một số điểm x 2 giữa x 0 và x 1 và có a tối thiểu ở đó. Tương tự như vậy, giữa hai mức tối thiểu chắc chắn sẽ có mức tối đa. Trong trường hợp đơn giản nhất (và trong thực tế là quan trọng nhất), khi một hàm thường chỉ có số cực đại và cực tiểu hữu hạn, chúng chỉ đơn giản thay thế nhau.
Lưu ý rằng để biểu thị mức tối đa hoặc tối thiểu, cũng có một thuật ngữ hợp nhất chúng - cực trị.
Các khái niệm cực đại (max f(x)) và cực tiểu (min f(x)) là các thuộc tính cục bộ của hàm số và diễn ra tại một điểm x 0 nhất định. Các khái niệm về giá trị lớn nhất (sup f(x)) và nhỏ nhất (inf f(x)) đề cập đến một phân đoạn hữu hạn và là thuộc tính tổng thể của một hàm trên một phân đoạn.
Từ Hình 1, rõ ràng rằng tại các điểm x 1 và x 3 có các cực đại cục bộ và tại các điểm x 2 và x 4 có các cực tiểu cục bộ. Tuy nhiên, hàm số đạt giá trị tối thiểu tại điểm x=a và giá trị tối đa tại điểm x=b.
Chúng ta đặt ra bài toán tìm tất cả các giá trị của đối số cho hàm số cực trị. Khi giải thì đạo hàm sẽ đóng vai trò chính.
Trước tiên chúng ta giả sử rằng hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn trong khoảng (a,b). Nếu tại điểm x 0 hàm số có cực trị thì áp dụng định lý Fermat cho khoảng (x 0 - , x 0 +), đã được thảo luận ở trên, chúng ta kết luận rằng f (x) = 0 bao gồm Điều kiện cần thiết cực độ. Điểm cực trị chỉ nên được tìm kiếm ở những điểm mà đạo hàm bằng 0.
Tuy nhiên, người ta không nên nghĩ rằng mọi điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 đều cho hàm số một cực trị: điều kiện cần vừa nêu là không đủ