Giải hệ phương trình đại số tuyến tính, phương pháp giải, ví dụ minh họa. Tìm nghiệm tổng quát của hệ và fsr

Dữ liệu ma trận

Tìm: 1) aA - bB,

Quyết định: 1) Chúng tôi tìm một cách tuần tự, sử dụng các quy tắc để nhân một ma trận với một số và cộng các ma trận ..

2. Tìm A * B nếu

Quyết định: Sử dụng quy tắc nhân ma trận

Trả lời:

3. Đối với một ma trận đã cho, hãy tìm M 31 nhỏ nhất và tính định thức.

Quyết định: M nhỏ nhất 31 là định thức của ma trận thu được từ A

sau khi xóa hàng 3 và cột 1. Tìm

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Hãy biến đổi ma trận A mà không thay đổi định thức của nó (hãy tạo các số không ở hàng 1)

Bây giờ chúng ta tính định thức của ma trận A bằng cách khai triển dọc theo hàng 1

Trả lời: M 31 = 0, detA = 0

Giải bằng phương pháp Gauss và phương pháp Cramer.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Quyết định: Hãy kiểm tra

Bạn có thể sử dụng phương pháp của Cramer

Giải hệ: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Chúng tôi áp dụng phương pháp Gauss.

Ta giảm ma trận mở rộng của hệ thống thành dạng tam giác.

Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng tôi hoán đổi các dòng:

Nhân hàng thứ 2 với (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) và thêm vào cái thứ 3:

Nhân hàng thứ nhất với (k = -2 / 2 = -1 ) và thêm vào cái thứ 2:

Bây giờ hệ thống ban đầu có thể được viết là:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Từ dòng thứ 2, chúng tôi thể hiện

Từ dòng đầu tiên, chúng tôi thể hiện

Giải pháp là như nhau.

Đáp số: (2; -5; 3)

Tìm giải pháp chung của hệ thống và FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Quyết định: Áp dụng phương pháp Gauss. Ta giảm ma trận mở rộng của hệ thống thành dạng tam giác.

Nhân hàng thứ nhất với (-11). Nhân hàng thứ 2 với (13). Hãy thêm dòng thứ 2 vào dòng thứ nhất:

Nhân hàng thứ 2 với (-5). Nhân hàng thứ 3 với (11). Hãy thêm dòng thứ 3 vào dòng thứ 2:

Nhân hàng thứ 3 với (-7). Nhân hàng thứ 4 với (5). Hãy thêm dòng thứ 4 vào dòng thứ 3:

Phương trình thứ hai là sự kết hợp tuyến tính của phần còn lại

Tìm hạng của ma trận.

Phần tử được chọn có bậc cao nhất (trong số tất cả các phần tử có thể có) và khác 0 (nó bằng tích của các phần tử trên đường chéo tương hỗ), do đó rang (A) = 2.

Vị thành niên này là cơ bản. Nó bao gồm các hệ số cho x 1, x 2 chưa biết, có nghĩa là x 1, x 2 chưa biết là phụ thuộc (cơ bản) và x 3, x 4, x 5 là miễn phí.

Hệ với các hệ số của ma trận này tương đương với hệ ban đầu và có dạng:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Bằng phương pháp loại bỏ ẩn số, chúng tôi nhận thấy quyết định chung:

x 2 = - 3/4 x 3 - x 4 - 2/3 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Chúng tôi tìm thấy hệ thống giải pháp cơ bản (FSR), bao gồm (n-r) giải pháp. Trong trường hợp của chúng ta, n = 5, r = 2, do đó, hệ nghiệm cơ bản bao gồm 3 nghiệm và các nghiệm này phải độc lập tuyến tính.

Để các hàng độc lập tuyến tính, cần và đủ rằng thứ hạng của ma trận bao gồm các phần tử của các hàng phải bằng số hàng, tức là 3.

Chỉ cần cung cấp cho các ẩn số tự do các giá trị x 3, x 4, x 5 từ các hàng của định thức bậc 3, khác 0 và tính x 1, x 2.

Định thức khác 0 đơn giản nhất là ma trận nhận dạng.

Nhưng ở đây thuận tiện hơn để lấy

Chúng tôi sử dụng giải pháp chung:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - LẦN THỨ 4

Tôi quyết định FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 THỨ TỰ

Quyết định của II FSR: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 THỨ TỰ

III Quyết định FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Cho: z 1 \ u003d -4 + 5i, z 2 \ u003d 2 - 4i. Tìm: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Quyết định: a) z 1 - 2z 2 = -4 + 5i + 2 (2-4i) = -4 + 5i + 4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4 + 5i) (2-4i) = -8 + 10i + 16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Đáp số: a) -3i b) 12 + 26i c) -1,4 - 0,3i

Một hệ thống đồng nhất luôn nhất quán và có một giải pháp tầm thường
. Để tồn tại một giải pháp quan trọng, điều cần thiết là hạng của ma trận nhỏ hơn số ẩn số:

.

Hệ thống quyết định cơ bản hệ thống đồng nhất
gọi hệ thức có dạng vectơ cột
, tương ứng với cơ sở kinh điển, tức là cơ sở trong đó các hằng số tùy ý
lần lượt được đặt bằng một, trong khi các phần còn lại được đặt bằng không.

Khi đó nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất có dạng:

ở đâu
là các hằng số tùy ý. Nói cách khác, nghiệm tổng quát là sự kết hợp tuyến tính của hệ thống các nghiệm cơ bản.

Do đó, các nghiệm cơ bản có thể nhận được từ nghiệm tổng quát nếu các ẩn số tự do được đặt xen kẽ với giá trị thống nhất, giả sử tất cả các ẩn số khác bằng không.

Ví dụ. Hãy cùng tìm giải pháp cho hệ thống

Chúng tôi chấp nhận, sau đó chúng tôi nhận được giải pháp ở dạng:

Bây giờ chúng ta hãy xây dựng một hệ thống giải pháp cơ bản:

.

Giải pháp chung có thể được viết là:

Các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có các tính chất sau:

Nói cách khác, bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của các nghiệm đối với một hệ thuần nhất lại là một nghiệm.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Giải hệ phương trình tuyến tính đã được các nhà toán học quan tâm trong vài thế kỷ. Những kết quả đầu tiên thu được vào thế kỷ XVIII. Năm 1750, G. Kramer (1704–1752) xuất bản công trình của mình về các định thức của ma trận vuông và đề xuất một thuật toán tìm ma trận nghịch đảo. Năm 1809, Gauss đã vạch ra một phương pháp giải mới được gọi là phương pháp khử.

Phương pháp Gauss, hay phương pháp loại bỏ liên tiếp các ẩn số, thực tế là, với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, hệ phương trình được rút gọn thành một hệ tương đương có dạng bậc (hoặc tam giác). Các hệ thống như vậy cho phép bạn luôn tìm thấy tất cả các ẩn số theo một thứ tự nhất định.

Giả sử rằng trong hệ thống (1)
(luôn luôn có thể).

(1)

Lần lượt nhân phương trình đầu tiên với cái gọi là những con số phù hợp

và cộng kết quả của phép nhân với các phương trình tương ứng của hệ, ta được một hệ tương đương, trong đó tất cả các phương trình, trừ phương trình thứ nhất, sẽ không có ẩn số X 1

(2)

Bây giờ chúng ta nhân phương trình thứ hai của hệ (2) với các số thích hợp, giả sử rằng

,

và thêm nó vào những cái thấp hơn, chúng tôi loại bỏ biến của tất cả các phương trình, bắt đầu bằng phương trình thứ ba.

Tiếp tục quá trình này, sau
các bước chúng tôi nhận được:

(3)

Nếu ít nhất một trong các số
không bằng 0, thì đẳng thức tương ứng là không nhất quán và hệ (1) là không nhất quán. Ngược lại, đối với bất kỳ hệ thống số chung nào
đều bằng không. Con số không là gì khác ngoài thứ hạng của ma trận hệ thống (1).

Quá trình chuyển đổi từ hệ thống (1) sang (3) được gọi là trong một đường thẳng Phương pháp Gaussian và tìm ẩn số từ (3) - ngược .

Nhận xét : Sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện các phép biến đổi không phải với chính phương trình mà với ma trận mở rộng của hệ (1).

Ví dụ. Hãy cùng tìm giải pháp cho hệ thống

.

Hãy viết ma trận tăng cường của hệ thống:

.

Hãy cộng vào các dòng 2,3,4 đầu tiên, nhân với (-2), (-3), (-2) tương ứng:

.

Hãy hoán đổi hàng 2 và 3, sau đó trong ma trận kết quả thêm hàng 2 vào hàng 4, nhân với :

.

Thêm vào dòng 4 dòng 3 nhân với
:

.

Hiển nhiên là
, do đó hệ thống tương thích. Từ hệ phương trình kết quả

chúng tôi tìm ra giải pháp bằng cách thay thế ngược lại:

,
,
,
.

Ví dụ 2 Tìm giải pháp hệ thống:

.

Rõ ràng là hệ thống không nhất quán, bởi vì
, một
.

Ưu điểm của phương pháp Gauss :

Ít tốn thời gian hơn phương pháp của Cramer.

Thiết lập rõ ràng tính tương thích của hệ thống và cho phép bạn tìm ra giải pháp.

Cung cấp khả năng xác định thứ hạng của bất kỳ ma trận nào.

Để cho được M 0 là tập nghiệm của hệ (4) thuần nhất của phương trình tuyến tính.

Định nghĩa 6.12. Vectơ với 1 ,với 2 , …, với p, là nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, được gọi là bộ giải pháp cơ bản(viết tắt FNR) nếu

1) vectơ với 1 ,với 2 , …, với pđộc lập tuyến tính (có nghĩa là, không cái nào trong số chúng có thể được thể hiện theo nghĩa của những cái khác);

2) bất kỳ nghiệm nào khác của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có thể được biểu diễn dưới dạng nghiệm với 1 ,với 2 , …, với p.

Lưu ý rằng nếu với 1 ,với 2 , …, với p là một số f.n.r., sau đó bằng biểu thức k 1 × với 1 + k 2 × với 2 + … + kp× với p có thể mô tả toàn bộ M 0 giải pháp cho hệ thống (4), vì vậy nó được gọi là cái nhìn chung về giải pháp hệ thống (4).

Định lý 6.6. Bất kỳ hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bất định đều có tập nghiệm cơ bản.

Cách để tìm ra bộ giải pháp cơ bản như sau:

Tìm nghiệm tổng quát của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất;

Xây dựng ( N – r) các nghiệm riêng của hệ thống này, trong khi các giá trị của ẩn số tự do phải tạo thành ma trận nhận dạng;

Viết ra dạng tổng quát của giải pháp có trong M 0 .

Ví dụ 6.5. Tìm tập nghiệm cơ bản của hệ sau:

Quyết định. Hãy cùng chúng tôi tìm ra giải pháp chung của hệ thống này.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Hệ thống này có năm ẩn số ( N= 5), trong đó có hai ẩn số chính ( r= 2), ba ẩn số miễn phí ( N – r), nghĩa là, tập nghiệm cơ bản chứa ba vectơ nghiệm. Hãy xây dựng chúng. Chúng ta có x 1 và x 3 - ẩn số chính, x 2 , x 4 , x 5 - ẩn số miễn phí

Giá trị của ẩn số miễn phí x 2 , x 4 , x 5 hình thành ma trận nhận dạng Eđơn hàng thứ ba. Có vectơ đó với 1 ,với 2 , với 3 mẫu f.n.r. hệ thống này. Khi đó tập nghiệm của hệ thuần nhất này sẽ là M 0 = {k 1 × với 1 + k 2 × với 2 + k 3 × với 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu điều kiện tồn tại nghiệm khác không của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, hay nói cách khác là điều kiện tồn tại của tập nghiệm cơ bản.

Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khác không, nghĩa là, nó là vô định nếu

1) hạng của ma trận chính của hệ thống nhỏ hơn số ẩn số;

2) trong một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, số phương trình ít hơn số ẩn số;

3) nếu trong một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, số phương trình bằng số ẩn số và định thức của ma trận chính bằng 0 (tức là | Một| = 0).

Ví dụ 6.6. Tại giá trị nào của tham số một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có các giải pháp khác không?

Quyết định. Hãy lập ma trận chính của hệ này và tìm định thức của nó: = = 1 × (–1) 1 + 1 × = - một- 4. Định thức của ma trận này bằng 0 khi một = –4.

Trả lời: –4.

7. Số học N-không gian vectơ chiều

Các khái niệm cơ bản

Trong các phần trước, chúng ta đã gặp khái niệm tập hợp các số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Đây là một ma trận hàng (hoặc ma trận cột) và một giải pháp cho một hệ phương trình tuyến tính với N không xác định. Thông tin này có thể được tóm tắt.

Định nghĩa 7.1. N-vector số học chiềuđược gọi là một tập hợp có thứ tự của N số thực.

Có nghĩa một= (a 1, a 2,…, a N), nơi một tôiО R, tôi = 1, 2, …, N là hình chiếu chung của vectơ. Con số N triệu tập kích thước vectơ và các số a tôiđã gọi cho anh ấy tọa độ.

Ví dụ: một= (1, –8, 7, 4,) là một vectơ năm chiều.

Tất cả các thiết lập N vectơ-chiều thường được ký hiệu là R n.

Định nghĩa 7.2. Hai vectơ một= (a 1, a 2,…, a N) và b= (b 1, b 2,…, b N) của cùng một thứ nguyên bình đẳng nếu và chỉ khi các tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau, tức là a 1 = b 1, a 2 = b 2,…, a N= b N.

Định nghĩa 7.3.Tổng hai N vectơ-chiều một= (a 1, a 2,…, a N) và b= (b 1, b 2,…, b N) được gọi là một vectơ một + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2,…, a N+ b N).

Định nghĩa 7.4. công việc số thực k mỗi vectơ một= (a 1, a 2,…, a N) được gọi là một vectơ k× một = (k× a 1, k× a 2,…, k× a N)

Định nghĩa 7.5. Véc tơ Về= (0, 0,…, 0) được gọi là số không(hoặc null-vector).

Dễ dàng kiểm tra rằng các hành động (phép toán) cộng vectơ và nhân chúng với một số thực có các thuộc tính sau: một, b, c Î R n, " k, lОR:

1) một + b = b + một;

2) một + (b+ c) = (một + b) + c;

3) một + Về = một;

4) một+ (–một) = Về;

5) 1 × một = một, 1 О R;

6) k×( l× một) = l×( k× một) = (l× k)× một;

7) (k + l)× một = k× một + l× một;

8) k×( một + b) = k× một + k× b.

Định nghĩa 7.6. Một loạt các R n với các phép toán cộng các vectơ và nhân chúng với một số thực đã cho trên nó được gọi là không gian vectơ n chiều số học.

Phương pháp Gaussian có một số nhược điểm: không thể biết liệu hệ thống có nhất quán hay không cho đến khi tất cả các phép biến đổi cần thiết trong phương pháp Gauss đã được thực hiện; phương pháp Gaussian không thích hợp cho các hệ thống có hệ số chữ cái.

Xem xét các phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến tính. Các phương pháp này sử dụng khái niệm hạng của ma trận và rút gọn nghiệm của bất kỳ hệ thống chung nào thành nghiệm của hệ áp dụng quy tắc Cramer.

ví dụ 1 Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính sau sử dụng hệ thức cơ bản là nghiệm của hệ thuần nhất rút gọn và nghiệm riêng của hệ không thuần nhất.

1. Chúng tôi tạo một ma trận Một và ma trận tăng cường của hệ thống (1)

2. Khám phá hệ thống (1) để tương thích. Để làm điều này, chúng tôi tìm thứ hạng của ma trận Một và https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). Nếu hóa ra là như vậy thì hệ thống (1) không tương thích. Nếu chúng ta hiểu được điều đó , thì hệ thống này nhất quán và chúng tôi sẽ giải quyết nó. (Nghiên cứu tính nhất quán dựa trên định lý Kronecker-Capelli).

một. Chúng ta tìm thấy rA.

Để tìm rA, chúng tôi sẽ xem xét liên tiếp các phần tử nhỏ hơn 0 của các đơn hàng thứ nhất, thứ hai, v.v. của ma trận Một và những trẻ vị thành niên xung quanh họ.

M1= 1 ≠ 0 (1 được lấy từ góc trên bên trái của ma trận NHƯNG).

Giáp ranh M1 hàng thứ hai và cột thứ hai của ma trận này. . Chúng tôi tiếp tục biên giới M1 dòng thứ hai và cột thứ ba..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. Bây giờ chúng ta viền phần nhỏ khác 0 М2 ′đơn hàng thứ hai.

Chúng ta có: (vì hai cột đầu tiên giống nhau)

(vì dòng thứ hai và dòng thứ ba tỉ lệ thuận).

Chúng ta thấy rằng rA = 2, và là phần nhỏ cơ bản của ma trận Một.

b. Chúng ta tìm thấy .

Đủ cơ bản cho trẻ vị thành niên М2 ′ ma trận Một biên giới với một cột gồm các thành viên tự do và tất cả các dòng (chúng tôi chỉ có dòng cuối cùng).

. Nó tiếp theo từ điều này mà М3 ′ ′ vẫn là phần nhỏ cơ bản của ma trận https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 height = 75 "height =" 75 "> (2)

Như М2 ′- cơ sở nhỏ của ma trận Một hệ thống (2) , thì hệ thống này tương đương với hệ thống (3) , bao gồm hai phương trình đầu tiên của hệ thống (2) (vì М2 ′ nằm trong hai hàng đầu tiên của ma trận A).

(3)

Vì phần nhỏ cơ bản là https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)

Trong hệ thống này, hai ẩn số miễn phí ( x2 và x4 ). Cho nên FSR hệ thống (4) bao gồm hai giải pháp. Để tìm chúng, chúng tôi chỉ định các ẩn số miễn phí cho (4) giá trị đầu tiên x2 = 1 , x4 = 0 , và sau đó - x2 = 0 , x4 = 1 .

Tại x2 = 1 , x4 = 0 chúng tôi nhận được:

.

Hệ thống này đã có điều duy nhất giải pháp (nó có thể được tìm thấy bằng quy tắc Cramer hoặc bằng bất kỳ phương pháp nào khác). Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

Quyết định của cô ấy sẽ là x1 = -1 , x3 = 0 . Đưa ra các giá trị x2 và x4 , mà chúng tôi đã đưa ra, chúng tôi có được giải pháp cơ bản đầu tiên của hệ thống (2) : .

Bây giờ chúng tôi đưa vào (4) x2 = 0 , x4 = 1 . Chúng tôi nhận được:

.

Chúng tôi giải quyết hệ thống này bằng cách sử dụng định lý Cramer:

.

Chúng tôi có được giải pháp cơ bản thứ hai của hệ thống (2) : .

Các giải pháp β1 , β2 và trang điểm FSR hệ thống (2) . Sau đó, giải pháp chung của nó sẽ là

γ= C1 β1 + С2β2 = С1 (-1, 1, 0, 0) + С2 (5, 0, 4, 1) = (- С1 + 5С2, С1, 4С2, С2)

Đây C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

4. Tìm một riêng quyết định hệ thống không đồng nhất(1) . Như trong đoạn văn 3 , thay vì hệ thống (1) xem xét hệ thống tương đương (5) , bao gồm hai phương trình đầu tiên của hệ thống (1) .

(5)

Chúng tôi chuyển các ẩn số miễn phí sang phía bên phải x2 và x4.

(6)

Hãy đưa ra những ẩn số miễn phí x2 và x4 giá trị tùy ý, ví dụ, x2 = 2 , x4 = 1 và cắm chúng vào (6) . Hãy lấy hệ thống

Hệ thống này có một giải pháp duy nhất (bởi vì yếu tố quyết định của nó М2′0). Giải nó (sử dụng định lý Cramer hoặc phương pháp Gauss), chúng ta thu được x1 = 3 , x3 = 3 . Đưa ra các giá trị của ẩn số miễn phí x2 và x4 , chúng tôi nhận được giải pháp cụ thể của một hệ thống không đồng nhất(1)α1 = (3,2,3,1).

5. Bây giờ nó vẫn còn để viết nghiệm tổng quát α của một hệ không đồng nhất(1) : nó bằng tổng quyết định riêng hệ thống này và giải pháp chung của hệ thống đồng nhất giảm của nó (2) :

α = α1 + γ = (3, 2, 3, 1) + (- С1 + 5С2, С1, 4С2, С2).

Nó có nghĩa là: (7)

6. Kiểm tra.Để kiểm tra xem bạn đã giải quyết đúng hệ thống chưa (1) , chúng tôi cần một giải pháp chung (7) thay thế trong (1) . Nếu mỗi phương trình trở thành một định danh ( C1 và C2 nên bị phá hủy), sau đó giải pháp được tìm thấy chính xác.

Chúng tôi sẽ thay thế (7) ví dụ, chỉ trong phương trình cuối cùng của hệ thống (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Ta được: (3 – С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) –9 (1 + С2) = - 1

(С1 – С1) + (5С2 + 4С2–9С2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

Trong đó -1 = -1. Chúng tôi có một danh tính. Chúng tôi làm điều này với tất cả các phương trình khác của hệ thống (1) .

Nhận xét. Việc xác minh thường khá rườm rà. Chúng tôi có thể đề xuất "xác minh từng phần" sau: trong giải pháp tổng thể của hệ thống (1) gán một số giá trị cho các hằng số tùy ý và chỉ thay thế nghiệm cụ thể thu được vào các phương trình bị loại bỏ (tức là vào các phương trình đó từ (1) không được bao gồm trong (5) ). Nếu bạn nhận được danh tính, thì nhiều khả năng, giải pháp của hệ thống (1) được tìm thấy chính xác (nhưng việc kiểm tra như vậy không đảm bảo đầy đủ về tính đúng đắn!). Ví dụ, nếu trong (7) đặt C2 =- 1 , C1 = 1, khi đó ta được: x1 = -3, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 0. Thay vào phương trình cuối cùng của hệ (1), ta có: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tức là –1 = –1. Chúng tôi có một danh tính.

Ví dụ 2 Tìm một nghiệm tổng quát cho một hệ phương trình tuyến tính (1) , thể hiện những ẩn số chính dưới dạng những ẩn số tự do.

Quyết định. Như trong ví dụ 1, soạn ma trận Một và https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> trong số các ma trận này. Bây giờ chúng ta chỉ để lại các phương trình của hệ thống (1) , các hệ số được bao gồm trong hệ số nhỏ cơ bản này (tức là chúng ta có hai phương trình đầu tiên) và xem xét hệ bao gồm chúng, tương đương với hệ (1).

Hãy để chúng tôi chuyển ẩn số tự do sang vế phải của các phương trình này.

hệ thống (9) chúng tôi giải quyết bằng phương pháp Gaussian, coi các phần bên phải là thành viên tự do.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "width =" 202 height = 106 "height =" 106 ">

Lựa chọn 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">

Lựa chọn 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">

Tùy chọn 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "width =" 179 height = 106 "height =" 106 ">

Tùy chọn 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">

Một hệ phương trình tuyến tính trong đó tất cả các số hạng tự do đều bằng 0 được gọi là đồng nhất :

Bất kỳ hệ thống đồng nhất nào cũng luôn nhất quán, vì nó luôn có số không (không đáng kể ) sự hòa tan. Câu hỏi đặt ra trong những điều kiện nào thì một hệ thống đồng nhất sẽ có một nghiệm không tầm thường.

Định lý 5.2.Một hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ khi hạng của ma trận cơ sở nhỏ hơn số ẩn số của nó.

Hậu quả. Một hệ thuần nhất vuông có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ khi định thức của ma trận chính của hệ không bằng không.

Ví dụ 5.6. Xác định các giá trị của tham số l mà hệ thống có các nghiệm không đáng kể và tìm các nghiệm sau:

Quyết định. Hệ thống này sẽ có một nghiệm không tầm thường khi định thức của ma trận chính bằng 0:

Do đó, hệ thống là không tầm thường khi l = 3 hoặc l = 2. Với l = 3, hạng của ma trận chính của hệ là 1. Sau đó, chỉ để lại một phương trình và giả sử rằng y=một và z=b, chúng tôi nhận được x = b-a, I E.

Với l = 2, hạng của ma trận chính của hệ là 2. Sau đó, chọn làm ma trận phụ cơ bản:

chúng tôi nhận được một hệ thống đơn giản hóa

Từ đây chúng tôi thấy rằng x = z/4, y = z/ 2. Giả định z=4một, chúng tôi nhận được

Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ thuần nhất có một thuộc tính tuyến tính : nếu X cột 1 và X 2 - nghiệm của hệ thuần nhất AX = 0, sau đó bất kỳ kết hợp tuyến tính nào của chúng một X 1 + b X 2 cũng sẽ là giải pháp của hệ thống này. Thật vậy, kể từ CÂY RÌU 1 = 0 và CÂY RÌU 2 = 0 , sau đó Một(một X 1 + b X 2) = a CÂY RÌU 1 + b CÂY RÌU 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Do tính chất này, nếu một hệ tuyến tính có nhiều hơn một nghiệm thì sẽ có vô số nghiệm này.

Các cột độc lập tuyến tính E 1 , E 2 , E k, là các nghiệm của một hệ thống đồng nhất, được gọi là hệ thống quyết định cơ bản Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu nghiệm tổng quát của hệ này có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các cột sau:

Nếu một hệ thống đồng nhất có N biến và thứ hạng của ma trận chính của hệ thống bằng r, sau đó k = n-r.

Ví dụ 5.7. Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính sau:

Quyết định. Tìm hạng của ma trận chính của hệ thống:

Do đó, tập nghiệm của hệ phương trình này tạo thành một không gian con tuyến tính có chiều n - r= 5 - 2 = 3. Chúng tôi chọn là nhóm phụ cơ bản

.

Sau đó, chỉ để lại các phương trình cơ bản (phần còn lại sẽ là một tổ hợp tuyến tính của các phương trình này) và các biến cơ bản (chúng ta chuyển phần còn lại, được gọi là các biến tự do sang bên phải), chúng ta sẽ có một hệ phương trình đơn giản:

Giả định x 3 = một, x 4 = b, x 5 = c, chúng ta tìm thấy

, .

Giả định một= 1, b = c= 0, chúng ta thu được nghiệm cơ bản đầu tiên; giả định b= 1, a = c= 0, chúng ta thu được nghiệm cơ bản thứ hai; giả định c= 1, a = b= 0, chúng ta thu được nghiệm cơ bản thứ ba. Kết quả là, hệ thống giải pháp cơ bản thông thường có dạng

Sử dụng hệ thức cơ bản, nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất có thể được viết dưới dạng

X = aE 1 + là 2 + cE 3. một

Chúng ta hãy lưu ý một số tính chất của nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất AX = B và mối quan hệ của chúng với hệ phương trình thuần nhất tương ứng AX = 0.

Giải pháp chung của một hệ thống không đồng nhấtbằng tổng nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng AX = 0 và một nghiệm riêng tùy ý của hệ không thuần nhất. Thật vậy, hãy Y 0 là một nghiệm cụ thể tùy ý của một hệ thống không đồng nhất, tức là AY 0 = B, và Y là giải pháp chung của một hệ thống không đồng nhất, tức là AY = B. Trừ đi một bằng nhau, chúng ta nhận được
Một(Y-Y 0) = 0, tức là Y-Y 0 là nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng CÂY RÌU= 0. Vì thế, Y-Y 0 = X, hoặc Y = Y 0 + X. Q.E.D.

Cho một hệ không thuần nhất có dạng AX = B 1 + B 2 . Khi đó nghiệm tổng quát của một hệ như vậy có thể được viết là X = X 1 + X 2 , nơi AX 1 = B 1 và AX 2 = B 2. Thuộc tính này thể hiện tính chất phổ quát của bất kỳ hệ thống tuyến tính nào nói chung (đại số, vi phân, hàm, v.v.). Trong vật lý, thuộc tính này được gọi là Nguyên lý chồng chất, trong kỹ thuật điện và vô tuyến - nguyên tắc lớp phủ. Ví dụ, trong lý thuyết về mạch điện tuyến tính, dòng điện trong bất kỳ mạch nào có thể nhận được dưới dạng tổng đại số của các dòng điện gây ra bởi mỗi nguồn năng lượng riêng biệt.