Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gaussian. phương pháp Gaussian

Carl Friedrich Gauss, nhà toán học vĩ đại nhất, đã lưỡng lự rất lâu khi lựa chọn giữa triết học và toán học. Có lẽ chính tư duy này đã cho phép ông tạo nên một “di sản” đáng chú ý trong khoa học thế giới. Đặc biệt, bằng cách tạo ra "Phương pháp Gauss" ...

Trong gần 4 năm, các bài viết trên trang này đề cập đến giáo dục học đường, chủ yếu từ quan điểm triết học, những nguyên tắc hiểu biết (sai lầm) đã được đưa vào tâm trí trẻ em. Đã đến lúc cần có thêm những chi tiết cụ thể, ví dụ và phương pháp... Tôi tin rằng đây chính xác là cách tiếp cận những điều quen thuộc, khó hiểu và quan trọng lĩnh vực của cuộc sống mang lại kết quả tốt hơn.

Con người chúng ta được thiết kế theo cách mà dù có nói bao nhiêu đi chăng nữa tư duy trừu tượng, Nhưng sự hiểu biết Luôn luôn xảy ra thông qua các ví dụ. Nếu không có ví dụ thì không thể nắm bắt được nguyên lý... Cũng như không thể lên đỉnh núi nếu không đi bộ hết con dốc từ chân.

Tương tự với trường học: bây giờ câu chuyện sống Sẽ chưa đủ nếu chúng ta tiếp tục coi nó như một nơi mà trẻ em được dạy để hiểu theo bản năng.

Ví dụ, dạy phương pháp Gaussian...

Phương pháp Gauss ở lớp 5

Tôi sẽ đặt chỗ ngay: phương pháp Gauss có ứng dụng rộng hơn nhiều, chẳng hạn như khi giải hệ phương trình tuyến tính. Những gì chúng ta sẽ nói đến diễn ra vào năm lớp 5. Cái này đã bắt đầu, đã hiểu điều đó thì sẽ dễ hiểu hơn nhiều về các “tùy chọn nâng cao” hơn. Trong bài viết này chúng ta đang nói về Phương pháp (phương pháp) của Gauss để tìm tổng của một chuỗi

Đây là một ví dụ mà con trai út của tôi, đang học lớp 5 tại một nhà thi đấu ở Moscow, mang từ trường về.

Trường trình diễn phương pháp Gauss

Cô giáo dạy toán sử dụng bảng tương tác (phương pháp dạy học hiện đại) cho các em xem bài thuyết trình về lịch sử “sáng tạo ra phương pháp” của bé Gauss.

Giáo viên ở trường đánh bé Karl (một phương pháp lỗi thời, ngày nay không còn được sử dụng trong trường học) vì cậu bé

thay vì cộng các số từ 1 đến 100 theo thứ tự, hãy tìm tổng của chúng nhận thấy các cặp số cách đều nhau tính từ các cạnh của một cấp số cộng sẽ có cùng một số. ví dụ: 100 và 1, 99 và 2. Sau khi đếm số cặp như vậy, cậu bé Gauss gần như giải được ngay bài toán mà giáo viên đưa ra. Vì lý do đó mà anh ta đã bị xử tử trước sự kinh ngạc của công chúng. Vì vậy mà người khác sẽ nản lòng khi suy nghĩ.

Gauss bé nhỏ đã làm gì? đã phát triển ý nghĩa số? Nhận thấy một số tính năng dãy số có bước không đổi (tiến trình số học). VÀ chính xác là thế này sau này đã biến ông thành một nhà khoa học vĩ đại, những người biết cách để ý, đang có cảm giác, bản năng hiểu biết.

Đây là lý do vì sao toán học có giá trị, phát triển khả năng nhìn thấy nói chung nói riêng - tư duy trừu tượng. Vì vậy, hầu hết các bậc cha mẹ và người sử dụng lao động theo bản năng coi toán học là một môn học quan trọng ...

“Vậy thì bạn cần học toán, vì nó giúp trí óc bạn có trật tự.
M.V.Lomonosov".

Tuy nhiên, những người đi theo những kẻ dùng gậy đánh đập những thiên tài tương lai đã biến Phương pháp này thành một thứ hoàn toàn ngược lại. Như người giám sát của tôi đã nói cách đây 35 năm: “Câu hỏi đã được học”. Hay như con trai út của tôi ngày hôm qua đã nói về phương pháp của Gauss: “Có lẽ không đáng để tạo nên một khoa học lớn từ phương pháp này phải không?”

Hậu quả của sự sáng tạo của các “nhà khoa học” thể hiện rõ ở trình độ toán học phổ thông hiện nay, trình độ giảng dạy và sự hiểu biết về “Nữ hoàng khoa học” của đa số.

Tuy nhiên, hãy tiếp tục...

Các phương pháp giải thích phương pháp Gauss ở lớp 5

Một giáo viên toán tại một phòng tập thể dục ở Moscow, giải thích phương pháp Gauss theo Vilenkin, đã khiến nhiệm vụ trở nên phức tạp.

Điều gì sẽ xảy ra nếu hiệu (bước) của một cấp số cộng không phải là một mà là một số khác? Ví dụ: 20.

Bài toán thầy đưa ra cho học sinh lớp 5:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Trước khi làm quen với phương pháp tập thể dục, chúng ta cùng tìm hiểu trên Internet: giáo viên phổ thông và gia sư môn toán thực hiện như thế nào?..

Phương pháp Gaussian: giải thích số 1

Một gia sư nổi tiếng trên kênh YOUTUBE của mình đưa ra lý do như sau:

“Hãy viết các số từ 1 đến 100 như sau:

đầu tiên là một dãy số từ 1 đến 50, và ngay bên dưới nó là một dãy số khác từ 50 đến 100, nhưng theo thứ tự ngược lại"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Xin lưu ý: tổng của mỗi cặp số ở hàng trên và dưới đều bằng nhau và bằng 101! Hãy đếm số cặp, nó là 50 và nhân tổng của một cặp với số cặp! Thì đấy: The câu trả lời đã sẵn sàng!"

“Nếu các em không hiểu, đừng buồn!”, giáo viên lặp lại ba lần trong khi giải thích. "Bạn sẽ học phương pháp này vào năm lớp 9!"

Phương pháp Gaussian: giải thích số 2

Một gia sư khác ít tên tuổi hơn (đánh giá qua số lượt xem) lại có cách tiếp cận khoa học hơn, đưa ra thuật toán giải 5 điểm phải hoàn thành tuần tự.

Đối với những người chưa quen, 5 là một trong những số Fibonacci theo truyền thống được coi là ma thuật. Ví dụ, phương pháp 5 bước luôn khoa học hơn phương pháp 6 bước. ...Và đây khó có thể là sự ngẫu nhiên, rất có thể Tác giả là người ngầm ủng hộ lý thuyết Fibonacci

Cho một cấp số cộng: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Thuật toán tìm tổng các số trong chuỗi bằng phương pháp Gauss:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Đồng thời, bạn cần nhớ cộng thêm một quy tắc : chúng ta phải thêm một vào thương số thu được: nếu không chúng ta sẽ nhận được kết quả nhỏ hơn một so với số cặp thực sự: 42 + 1 = 43.

Đây là tổng cần thiết của cấp số cộng từ 4 đến 256 với chênh lệch là 6!

Phương pháp Gauss: giải thích ở lớp 5 tại nhà thi đấu Moscow

Sau đây là cách giải bài toán tìm tổng của một chuỗi:

20+40+60+ ... +460+480+500

vào lớp 5 tại một nhà thi đấu ở Moscow, sách giáo khoa của Vilenkin (theo con trai tôi).

Sau khi trình bày, giáo viên dạy toán đưa ra một số ví dụ sử dụng phương pháp Gaussian và giao cho lớp nhiệm vụ tìm tổng các số trong một chuỗi với gia số là 20.

Điều này yêu cầu những điều sau đây:

Như bạn có thể thấy, đây là một kỹ thuật nhỏ gọn và hiệu quả hơn: số 3 cũng là một thành viên của dãy Fibonacci

Nhận xét của tôi về phiên bản trường học của phương pháp Gauss

Nhà toán học vĩ đại chắc chắn đã chọn triết học nếu ông đoán trước được “phương pháp” của mình sẽ được những người theo ông biến thành như thế nào giáo viên người Đức, người đã dùng gậy đánh Karl. Anh ta hẳn đã nhìn thấy tính biểu tượng, vòng xoáy biện chứng và sự ngu xuẩn bất diệt của những “giáo viên”, cố gắng đo lường sự hài hòa giữa tư duy toán học sống động với đại số của sự hiểu lầm ....

Nhân tiện: bạn có biết không. rằng hệ thống giáo dục của chúng ta bắt nguồn từ trường học Đức thế kỷ 18 và 19?

Nhưng Gauss đã chọn toán học.

Bản chất của phương pháp của ông là gì?

TRONG sự đơn giản hóa. TRONG quan sát và nắm bắt các mẫu số đơn giản. TRONG biến số học khô khan thành hoạt động thú vị và hấp dẫn , kích hoạt trong não mong muốn tiếp tục thay vì ngăn chặn hoạt động tinh thần tốn kém.

Có thể sử dụng một trong những “sửa đổi của phương pháp Gauss” đã cho để tính tổng các số của một cấp số cộng gần như không? ngay lập tức? Theo “thuật toán”, cậu bé Karl sẽ được đảm bảo tránh bị đánh đòn, phát triển ác cảm với toán học và ngăn chặn sự thôi thúc sáng tạo của mình ngay từ trong trứng nước.

Tại sao gia sư lại kiên trì khuyên học sinh lớp 5 “đừng sợ hiểu sai” phương pháp, thuyết phục các em rằng các em sẽ giải được những bài toán “như vậy” ngay từ lớp 9? Hành động mù chữ về mặt tâm lý. Đó là một động thái tốt cần lưu ý: "Thấy bạn đã học lớp 5 bạn có thể giải quyết những vấn đề mà bạn sẽ chỉ hoàn thành sau 4 năm! Bạn quả là một người bạn tuyệt vời!”

Để sử dụng phương pháp Gaussian, mức độ lớp 3 là đủ, khi trẻ bình thường đã biết cộng, nhân, chia các số có 2-3 chữ số. Vấn đề nảy sinh do những giáo viên trưởng thành “mất liên lạc” không thể giải thích những điều đơn giản nhất bằng ngôn ngữ bình thường của con người, chưa kể đến toán học... Họ không thể khiến mọi người quan tâm đến toán học và hoàn toàn làm nản lòng ngay cả những người “ có khả năng."

Hoặc, như con trai tôi nhận xét: “tạo ra một khoa học lớn từ nó.”

Phương pháp Gauss, lời giải thích của tôi

Có vẻ như vợ tôi và tôi đã giải thích “phương pháp” này cho con mình ngay cả trước khi đi học…

Đơn giản thay vì phức tạp hay trò chơi hỏi đáp

"Nhìn này, đây là các số từ 1 đến 100. Bạn thấy gì?"

Vấn đề không phải chính xác là những gì đứa trẻ nhìn thấy. Bí quyết là làm cho anh ta nhìn.

"Làm thế nào bạn có thể đặt chúng lại với nhau?" Con trai nhận ra rằng những câu hỏi như vậy không được hỏi “cứ như vậy” và bạn cần nhìn vào câu hỏi “bằng cách nào đó, khác với những gì anh ấy thường làm”

Sẽ không có vấn đề gì nếu đứa trẻ nhìn thấy giải pháp ngay lập tức, điều đó khó xảy ra. Điều quan trọng là anh ấy không còn ngại nhìn nữa, hay như tôi nói: “chuyển nhiệm vụ”. Đây là sự khởi đầu của hành trình tìm hiểu

“Cái nào dễ hơn: ví dụ như cộng 5 và 6 hay 5 và 95?” Câu hỏi hàng đầu... Nhưng bất kỳ khóa đào tạo nào cũng nhằm mục đích “hướng dẫn” một người đi đến “câu trả lời” - theo bất kỳ cách nào mà anh ta có thể chấp nhận được.

Ở giai đoạn này, có thể đã nảy sinh những phỏng đoán về cách "tiết kiệm" các phép tính.

Tất cả những gì chúng tôi làm chỉ là gợi ý: phương pháp đếm “trực diện, tuyến tính” không phải là phương pháp duy nhất khả thi. Nếu trẻ hiểu được điều này thì sau này trẻ sẽ nghĩ ra nhiều phương pháp như vậy hơn, bởi vì nó thú vị!!! Và bé chắc chắn sẽ tránh được việc “hiểu lầm” toán học và sẽ không cảm thấy chán ghét nó. Anh ấy đã giành chiến thắng!

Nếu như đứa trẻ được phát hiện việc cộng các cặp số có tổng đến một trăm là việc dễ dàng, thì "cấp số cộng chênh lệch 1"- một điều khá buồn tẻ và không thú vị đối với một đứa trẻ - đột nhiên đã tìm thấy cuộc sống cho anh ấy . Trật tự xuất hiện từ sự hỗn loạn và điều này luôn gây ra sự nhiệt tình: đó là cách chúng ta được tạo ra!

Một câu hỏi cần trả lời: tại sao, sau khi đứa trẻ đã nhận được cái nhìn sâu sắc, nó lại bị ép vào khuôn khổ của các thuật toán khô khan, những thuật toán này cũng vô dụng về mặt chức năng trong trường hợp này?!

Tại sao buộc phải viết lại ngu ngốc? số thứ tự trong một cuốn sổ: để ngay cả những người có năng lực cũng không có một cơ hội hiểu được? Tất nhiên là về mặt thống kê, nhưng giáo dục đại chúng hướng tới “thống kê”…

Số 0 đã đi đâu?

Chưa hết, việc cộng các số có tổng bằng 100 được tâm trí chấp nhận hơn nhiều so với các số có tổng bằng 101...

"Phương pháp trường Gauss" yêu cầu chính xác điều này: gấp một cách vô tâm các cặp số cách đều tâm của cấp số cộng, Bất chấp mọi thứ.

Nếu bạn nhìn thì sao?

Tuy nhiên, số 0 là phát minh vĩ đại nhất của nhân loại, nó đã hơn 2.000 năm tuổi. Và giáo viên toán tiếp tục phớt lờ anh ta.

Việc chuyển đổi một chuỗi số bắt đầu bằng 1 thành một chuỗi bắt đầu bằng 0 sẽ dễ dàng hơn nhiều. Tổng sẽ không thay đổi phải không? Bạn cần ngừng việc “nghĩ trong sách giáo khoa” và bắt đầu tìm kiếm… Và hãy xem rằng các cặp có tổng bằng 101 có thể được thay thế hoàn toàn bằng các cặp có tổng bằng 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Làm thế nào để bãi bỏ “quy tắc cộng 1”?

Thành thật mà nói, lần đầu tiên tôi nghe về quy định này từ gia sư YouTube đó...

Tôi vẫn phải làm gì khi cần xác định số lượng thành viên của một bộ truyện?

Tôi nhìn vào trình tự:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

và khi bạn hoàn toàn mệt mỏi, hãy chuyển sang hàng đơn giản hơn:

1, 2, 3, 4, 5

và tôi nghĩ: nếu bạn trừ một từ 5, bạn sẽ có 4, nhưng tôi hoàn toàn rõ ràng tôi hiểu rồi 5 con số! Vì vậy, bạn cần phải thêm một! Ý nghĩa số được phát triển ở trường tiểu học cho thấy: ngay cả khi có cả một Google gồm các thành viên của chuỗi (sức lũy thừa thứ 10 đến một trăm), mô hình sẽ vẫn giữ nguyên.

Quy tắc là cái quái gì thế?..

Để trong vài hoặc ba năm nữa, bạn có thể lấp đầy khoảng trống giữa trán và sau đầu và ngừng suy nghĩ? Làm thế nào để kiếm được bánh mì và bơ của bạn? Suy cho cùng, chúng ta đang tiến vào kỷ nguyên của nền kinh tế kỹ thuật số!

Thông tin thêm về phương pháp trường học của Gauss: “tại sao lại tạo ra khoa học từ thứ này?…”

Không phải vô cớ mà tôi đã đăng ảnh chụp màn hình từ sổ ghi chép của con trai tôi...

"Chuyện gì đã xảy ra trong lớp vậy?"

“Ồ, tôi đếm ngay, giơ tay nhưng cô không hỏi. Vì vậy, trong khi các bạn khác đang đếm, tôi bắt đầu làm bài tập bằng tiếng Nga để không lãng phí thời gian. Sau đó, khi các bạn khác viết xong (? ??), cô gọi tôi lên bảng, tôi nói đáp án.”

“Đúng rồi, hãy chỉ cho tôi cách bạn giải quyết nó,” giáo viên nói. Tôi đã cho nó xem. Cô nói: “Sai rồi, anh phải tính như em hướng dẫn nhé!”

"Thật tốt là cô ấy không cho điểm kém. Và cô ấy bắt tôi viết vào sổ tay của họ "quá trình giải quyết" theo cách riêng của họ. Tại sao lại tạo ra một vấn đề khoa học lớn từ việc này?.."

Tội ác chính của giáo viên dạy toán

Hầu như không sau đó sự cố đó Carl Gauss có cảm giác rất tôn trọng giáo viên dạy toán ở trường của mình. Nhưng nếu anh ta biết cách người theo thầy đó sẽ bóp méo bản chất của phương pháp... anh ta sẽ gầm lên phẫn nộ và, thông qua Tổ chức Sở hữu Trí tuệ Thế giới WIPO, đạt được lệnh cấm sử dụng tên hay của anh ta trong sách giáo khoa ở trường!..

Trong những gì sai lầm chính của phương pháp tiếp cận trường học? Hay như tôi đã nói, tội ác của giáo viên dạy toán ở trường đối với trẻ em?

Thuật toán hiểu lầm

Các nhà nghiên cứu phương pháp học ở trường học làm gì, đại đa số họ không biết suy nghĩ?

Họ tạo ra các phương pháp và thuật toán (xem). Cái này một phản ứng phòng thủ nhằm bảo vệ giáo viên khỏi những lời chỉ trích (“Mọi thứ được thực hiện theo…”) và bảo vệ trẻ khỏi sự hiểu biết. Và do đó - từ mong muốn chỉ trích giáo viên!(Đạo hàm thứ hai của “sự khôn ngoan” quan liêu, một cách tiếp cận vấn đề một cách khoa học). Một người không nắm bắt được ý nghĩa thà đổ lỗi cho sự hiểu lầm của chính mình còn hơn là sự ngu ngốc của hệ thống trường học.

Chuyện xảy ra như thế này: cha mẹ đổ lỗi cho con cái, và giáo viên… cũng làm như vậy với những đứa trẻ “không hiểu toán!”

Bạn có thông minh không?

Karl bé nhỏ đã làm gì?

Một cách tiếp cận hoàn toàn độc đáo đối với một nhiệm vụ mang tính công thức. Đây là bản chất của cách tiếp cận của Ngài. Cái này Điều chính cần được dạy ở trường là suy nghĩ không phải bằng sách giáo khoa mà bằng cái đầu của bạn. Tất nhiên, cũng có một thành phần công cụ có thể được sử dụng... để tìm kiếm phương pháp đếm đơn giản và hiệu quả hơn.

Phương pháp Gauss theo Vilenkin

Ở trường người ta dạy rằng phương pháp của Gauss là

Cái gì, nếu số phần tử của chuỗi là số lẻ, như trong bài toán được giao cho con trai tôi?..

"Bắt" là trong trường hợp này bạn nên tìm một số "phụ" trong dãy và thêm nó vào tổng của các cặp. Trong ví dụ của chúng tôi con số này là 260.

Làm thế nào để phát hiện? Sao chép tất cả các cặp số vào sổ tay!(Đây là lý do tại sao giáo viên bắt bọn trẻ làm công việc ngu ngốc này là cố dạy "sự sáng tạo" bằng phương pháp Gaussian... Và đây là lý do tại sao "phương pháp" như vậy thực tế không thể áp dụng được cho chuỗi dữ liệu lớn, VÀ đây là lý do tại sao nó như vậy không phải phương pháp Gaussian.)

Một chút sáng tạo trong giờ học...

Người con trai đã hành động khác hẳn.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

Không khó phải không?

Nhưng trong thực tế, nó thậm chí còn trở nên dễ dàng hơn, cho phép bạn dành 2-3 phút cho viễn thám bằng tiếng Nga, trong khi phần còn lại là "đếm". Ngoài ra, nó vẫn giữ nguyên số bước của phương pháp: 5, điều này không để phương pháp này bị chê là phản khoa học.

Rõ ràng cách tiếp cận này đơn giản hơn, nhanh hơn và phổ quát hơn, theo phong cách của Phương pháp. Nhưng… cô giáo không những không khen mà còn bắt tôi phải viết lại “đúng cách” (xem ảnh chụp màn hình). Tức là cô ấy đã cố gắng hết sức để kìm hãm động lực sáng tạo và khả năng hiểu toán học tận gốc rễ! Rõ ràng là để sau này cô ấy được thuê làm gia sư... Cô ấy đã tấn công nhầm người...

Mọi thứ mà tôi mô tả dài dòng và tẻ nhạt như vậy có thể được giải thích cho một đứa trẻ bình thường trong tối đa nửa giờ. Cùng với các ví dụ.

Và theo cách mà anh ấy sẽ không bao giờ quên nó.

Và nó sẽ là bước tới sự hiểu biết...không chỉ các nhà toán học.

Hãy thừa nhận đi: bạn đã thêm bao nhiêu lần trong đời bằng phương pháp Gaussian? Và tôi không bào giờ làm điều ấy!

Nhưng bản năng hiểu biết, phát triển (hoặc lụi tàn) trong quá trình nghiên cứu các phương pháp toán học ở trường... Ôi!.. Đây quả thực là một điều không thể thay thế được!

Đặc biệt trong thời đại số hóa toàn dân mà chúng ta đang âm thầm bước vào dưới sự lãnh đạo chặt chẽ của Đảng và Chính phủ.

Đôi lời bênh vực thầy cô...

Thật không công bằng và sai lầm khi đổ toàn bộ trách nhiệm về phong cách giảng dạy này cho giáo viên trong trường. Hệ thống đang có hiệu lực.

Một số giáo viên hiểu sự vô lý của những gì đang xảy ra, nhưng phải làm gì? Luật Giáo dục, Tiêu chuẩn giáo dục của Liên bang, phương pháp, giáo án... Mọi thứ phải được thực hiện “phù hợp và có cơ sở” và mọi thứ phải được ghi chép lại. Bước sang một bên - đứng xếp hàng để bị sa thải. Chúng ta đừng đạo đức giả: lương giáo viên ở Moscow rất cao... Nếu họ sa thải bạn thì đi đâu?..

Vì vậy trang web này không phải về giáo dục. Anh ấy về giáo dục cá nhân, cách duy nhất có thể để thoát khỏi đám đông thế hệ Z ...

Một trong những phương pháp phổ biến và hiệu quả để giải hệ đại số tuyến tính là phương pháp Gaussian , bao gồm việc loại bỏ tuần tự các ẩn số.

Hãy nhớ lại rằng hai hệ thống được gọi là tương đương (tương đương) nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau. Nói cách khác, các hệ thống là tương đương nếu mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và ngược lại. Hệ thống tương đương thu được khi các phép biến đổi cơ bản phương trình của hệ thống:

nhân cả hai vế của phương trình với một số khác 0;

thêm vào một số phương trình các phần tương ứng của một phương trình khác, nhân với một số khác 0;

sắp xếp lại hai phương trình.

Cho hệ phương trình

Quá trình giải hệ này bằng phương pháp Gaussian bao gồm hai giai đoạn. Ở giai đoạn đầu tiên (chuyển động trực tiếp), hệ thống, sử dụng các phép biến đổi cơ bản, được rút gọn thành từng bước , hoặc hình tam giác và ở giai đoạn thứ hai (ngược lại), có một tuần tự, bắt đầu từ số biến cuối cùng, xác định các ẩn số từ hệ thống bước kết quả.

Giả sử hệ số của hệ này
, nếu không thì trong hệ thống, hàng đầu tiên có thể được hoán đổi với bất kỳ hàng nào khác sao cho hệ số tại đã khác với số không.

Hãy biến đổi hệ thống bằng cách loại bỏ những điều chưa biết trong tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình đầu tiên. Để làm điều này, nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với và cộng từng số hạng với phương trình thứ hai của hệ. Sau đó nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với và thêm nó vào phương trình thứ ba của hệ thống. Tiếp tục quá trình này ta thu được hệ tương đương

Đây
– giá trị mới của các hệ số và số hạng tự do thu được sau bước đầu tiên.

Tương tự, xét yếu tố chính
, loại trừ ẩn số từ tất cả các phương trình của hệ thống, ngoại trừ phương trình thứ nhất và thứ hai. Hãy tiếp tục quá trình này càng lâu càng tốt và kết quả là chúng ta sẽ có được một hệ thống từng bước

,

Ở đâu ,
,…,- Các thành phần chính của hệ thống
.

Nếu, trong quá trình chuyển hệ về dạng từng bước, xuất hiện các phương trình, tức là các đẳng thức có dạng
, chúng bị loại bỏ vì chúng được thỏa mãn bởi bất kỳ bộ số nào
. Nếu tại
Nếu một phương trình có dạng xuất hiện mà không có nghiệm, điều này cho thấy sự không tương thích của hệ thống.

Trong hành trình ngược lại, ẩn số đầu tiên được biểu thị từ phương trình cuối cùng của hệ bước biến đổi thông qua tất cả những điều chưa biết khác
được gọi là miễn phí . Khi đó biểu thức biến từ phương trình cuối cùng của hệ được thay thế vào phương trình áp chót và biến được biểu thị từ nó
. Các biến được xác định tuần tự theo cách tương tự
. Biến
, được biểu diễn thông qua các biến tự do, được gọi là nền tảng (sự phụ thuộc). Kết quả là nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính.

Để tìm giải pháp riêng hệ thống, miễn phí chưa biết
trong lời giải tổng quát các giá trị tùy ý được gán và giá trị của các biến được tính toán
.

Về mặt kỹ thuật, sẽ thuận tiện hơn khi áp dụng các phép biến đổi cơ bản không phải bản thân các phương trình của hệ mà là ma trận mở rộng của hệ.

.

Phương pháp Gauss là một phương pháp phổ quát cho phép bạn giải không chỉ các hệ hình vuông mà còn cả các hệ hình chữ nhật trong đó số lượng ẩn số
không bằng số phương trình
.

Ưu điểm của phương pháp này còn là trong quá trình giải chúng ta đồng thời kiểm tra tính tương thích của hệ thống, vì đã cho ma trận mở rộng
dưới dạng từng bước, dễ dàng xác định được thứ hạng của ma trận và ma trận mở rộng
và áp dụng Định lý Kronecker-Capelli .

Ví dụ 2.1 Giải hệ bằng phương pháp Gauss

Giải pháp. Số phương trình
và số lượng ẩn số
.

Hãy tạo ma trận mở rộng của hệ thống bằng cách gán các hệ số ở bên phải ma trận cột thành viên miễn phí .

Hãy trình bày ma trận sang chế độ xem hình tam giác; Để làm điều này, chúng ta sẽ thu được “0” bên dưới các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Để có số "0" ở vị trí thứ hai của cột đầu tiên, hãy nhân hàng đầu tiên với (-1) rồi cộng nó vào hàng thứ hai.

Chúng ta viết phép biến đổi này dưới dạng số (-1) theo dòng đầu tiên và biểu thị nó bằng một mũi tên đi từ dòng đầu tiên đến dòng thứ hai.

Để có số "0" ở vị trí thứ ba của cột đầu tiên, hãy nhân hàng đầu tiên với (-3) rồi cộng với hàng thứ ba; Hãy thể hiện hành động này bằng cách sử dụng một mũi tên đi từ dòng đầu tiên đến dòng thứ ba.

.

Trong ma trận kết quả, được viết ở vị trí thứ hai trong chuỗi ma trận, chúng ta nhận được “0” ở cột thứ hai ở vị trí thứ ba. Để làm điều này, chúng tôi nhân dòng thứ hai với (-4) và thêm nó vào dòng thứ ba. Trong ma trận kết quả, nhân hàng thứ hai với (-1) và chia hàng thứ ba cho (-8). Tất cả các phần tử của ma trận này nằm bên dưới các phần tử đường chéo đều bằng 0.

Bởi vì , hệ thống được hợp tác và xác định.

Hệ phương trình tương ứng với ma trận cuối có dạng tam giác:

Từ phương trình (thứ ba) cuối cùng
. Thay vào phương trình thứ hai và nhận được
.

Hãy thay thế
Và
vào phương trình đầu tiên, chúng ta tìm thấy


.

Bản chất của phương pháp Gauss là biến đổi (1) thành một hệ có ma trận tam giác, từ đó các giá trị của tất cả các ẩn số sau đó thu được một cách tuần tự (ngược lại). Hãy xem xét một trong những sơ đồ tính toán. Mạch này được gọi là mạch phân chia đơn. Vì vậy chúng ta hãy nhìn vào sơ đồ này. Giả sử 11 ≠0 (phần tử đứng đầu) chia phương trình đầu tiên cho 11. Chúng tôi nhận được
(2)
Sử dụng phương trình (2), có thể dễ dàng loại bỏ ẩn số x 1 khỏi các phương trình còn lại của hệ (để làm điều này, chỉ cần trừ phương trình (2) khỏi mỗi phương trình, trước đó nhân với hệ số tương ứng cho x 1) là đủ , nghĩa là, ở bước đầu tiên chúng ta thu được
.
Nói cách khác, ở bước 1, mỗi phần tử của hàng tiếp theo, bắt đầu từ hàng thứ hai, bằng hiệu giữa phần tử ban đầu và tích của phép chiếu của nó lên cột đầu tiên và hàng đầu tiên (được chuyển đổi).
Theo đó, chỉ để lại phương trình đầu tiên, chúng ta thực hiện một phép biến đổi tương tự đối với các phương trình còn lại của hệ thu được ở bước đầu tiên: chúng ta chọn trong số chúng phương trình có phần tử dẫn đầu và với sự trợ giúp của nó, loại trừ x 2 khỏi phần tử còn lại phương trình (bước 2).
Sau n bước, thay vì (1), ta thu được hệ tương đương
(3)
Vì vậy, ở giai đoạn đầu tiên chúng ta thu được một hệ tam giác (3). Giai đoạn này được gọi là hành trình về phía trước.
Ở giai đoạn thứ hai (ngược lại), ta tìm tuần tự từ (3) các giá trị xn, xn -1, ..., x 1.
Hãy để chúng tôi biểu thị giải pháp kết quả là x 0 . Khi đó hiệu ε=b-A x 0 gọi là dư.
Nếu ε=0 thì nghiệm x 0 tìm được là đúng.

Việc tính toán sử dụng phương pháp Gaussian được thực hiện theo hai giai đoạn:

1. Giai đoạn đầu tiên được gọi là phương pháp chuyển tiếp. Ở giai đoạn đầu tiên, hệ thống ban đầu được chuyển đổi sang dạng tam giác.
2. Giai đoạn thứ hai được gọi là hành trình ngược. Ở giai đoạn thứ hai, một hệ tam giác tương đương với hệ ban đầu được giải.

Mục đích của phương pháp Gauss

Các loại phương pháp Gaussian

1. Phương pháp Gaussian cổ điển;
2. Những sửa đổi của phương pháp Gauss. Một trong những sửa đổi của phương pháp Gaussian là sơ đồ lựa chọn phần tử chính. Một đặc điểm của phương pháp Gauss với việc lựa chọn phần tử chính là việc sắp xếp lại các phương trình sao cho ở bước thứ k, phần tử dẫn đầu trở thành phần tử lớn nhất trong cột thứ k.
3. phương pháp Jordano-Gauss;

Ví dụ về giải pháp sử dụng phương pháp Gaussian
Hãy giải hệ phương trình:

Để dễ tính toán, hãy hoán đổi các dòng:

Hãy nhân dòng thứ 2 với (2). Thêm dòng thứ 3 vào dòng thứ 2

Nhân dòng thứ 2 với (-1). Thêm dòng thứ 2 vào dòng thứ 1

Từ dòng đầu tiên chúng ta biểu thị x 3:
Từ dòng thứ 2 chúng ta biểu diễn x 2:
Từ dòng thứ 3 chúng ta biểu thị x 1:

Một ví dụ về giải pháp sử dụng phương pháp Jordano-Gauss
Chúng ta hãy giải SLAE tương tự bằng phương pháp Jordano-Gauss.

Chúng ta sẽ lần lượt chọn phần tử phân giải RE, nằm trên đường chéo chính của ma trận.
Phần tử độ phân giải bằng (1).



NE = SE - (A*B)/RE
RE - phần tử phân giải (1), A và B - phần tử ma trận tạo thành hình chữ nhật với các phần tử STE và RE.
Hãy trình bày cách tính của từng phần tử dưới dạng bảng:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Thực hiện phương pháp Gaussian

Sử dụng phương pháp Gaussian

Ứng dụng phương pháp Gauss trong lý thuyết trò chơi

Ứng dụng phương pháp Gauss trong việc giải phương trình vi phân

Ứng dụng phương pháp Jordano-Gauss trong quy hoạch tuyến tính

Một trong những cách đơn giản nhất để giải hệ phương trình tuyến tính là kỹ thuật dựa trên việc tính các định thức ( Quy tắc Cramer). Ưu điểm của nó là cho phép bạn ghi lại lời giải ngay lập tức, nó đặc biệt thuận tiện trong trường hợp các hệ số của hệ thống không phải là số mà là một số tham số. Nhược điểm của nó là tính toán phức tạp trong trường hợp có số lượng lớn phương trình; hơn nữa, quy tắc Cramer không thể áp dụng trực tiếp cho các hệ trong đó số phương trình không trùng với số ẩn số. Trong những trường hợp như vậy, nó thường được sử dụng phương pháp Gaussian.

Hệ phương trình tuyến tính có cùng tập nghiệm được gọi là tương đương. Rõ ràng, tập nghiệm của một hệ tuyến tính sẽ không thay đổi nếu bất kỳ phương trình nào bị hoán đổi hoặc nếu một trong các phương trình được nhân với một số khác 0 hoặc nếu một phương trình được thêm vào một phương trình khác.

Phương pháp Gauss (phương pháp loại bỏ tuần tự các ẩn số) là với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, hệ thống được rút gọn thành một hệ thống tương đương thuộc loại bước. Đầu tiên, sử dụng phương trình 1, chúng ta loại bỏ x 1 trong tất cả các phương trình tiếp theo của hệ. Sau đó, sử dụng phương trình thứ 2, chúng ta loại bỏ x 2 từ phương trình thứ 3 và tất cả các phương trình tiếp theo. Quá trình này, được gọi là phương pháp Gaussian trực tiếp, tiếp tục cho đến khi chỉ còn một ẩn số ở vế trái của phương trình cuối cùng xn. Sau đó, nó được thực hiện nghịch đảo của phương pháp Gaussian- giải phương trình cuối cùng ta tìm được xn; sau đó, sử dụng giá trị này, từ phương trình áp chót, chúng ta tính được xn–1, v.v. Chúng tôi tìm thấy cái cuối cùng x 1 từ phương trình đầu tiên.

Thật thuận tiện khi thực hiện các phép biến đổi Gaussian bằng cách thực hiện các phép biến đổi không phải với chính các phương trình mà bằng ma trận các hệ số của chúng. Hãy xem xét ma trận:

gọi điện ma trận mở rộng của hệ thống, bởi vì, ngoài ma trận chính của hệ thống, nó còn có một cột các thuật ngữ tự do. Phương pháp Gaussian dựa trên việc quy đổi ma trận chính của hệ thành dạng tam giác (hoặc dạng hình thang trong trường hợp hệ không vuông) bằng cách sử dụng các phép biến đổi hàng cơ bản (!) của ma trận mở rộng của hệ.

Ví dụ 5.1. Giải hệ phương trình Gaussian:

Giải pháp. Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng hàng đầu tiên, sau đó chúng ta sẽ đặt lại các phần tử còn lại:

chúng ta nhận được số 0 ở hàng thứ 2, thứ 3 và thứ 4 của cột đầu tiên:

Bây giờ chúng ta cần tất cả các phần tử trong cột thứ hai bên dưới hàng thứ 2 bằng 0. Để làm điều này, bạn có thể nhân dòng thứ hai với –4/7 và cộng nó vào dòng thứ 3. Tuy nhiên, để không phải xử lý phân số, chúng ta hãy tạo đơn vị ở hàng thứ 2 của cột thứ hai và chỉ

Bây giờ, để có được ma trận tam giác, bạn cần đặt lại phần tử của hàng thứ tư của cột thứ 3; để làm điều này, bạn có thể nhân hàng thứ ba với 8/54 và thêm nó vào hàng thứ tư. Tuy nhiên, để không xử lý phân số, chúng ta sẽ hoán đổi hàng thứ 3 và thứ 4 cũng như cột thứ 3 và thứ 4 và chỉ sau đó chúng ta sẽ đặt lại phần tử đã chỉ định. Lưu ý khi sắp xếp lại các cột các biến tương ứng sẽ thay đổi vị trí và điều này phải được ghi nhớ; không thể thực hiện được các phép biến đổi cơ bản khác có cột (cộng và nhân với một số)!

Ma trận đơn giản hóa cuối cùng tương ứng với hệ phương trình tương đương với ma trận ban đầu:

Từ đây, sử dụng nghịch đảo của phương pháp Gaussian, chúng ta tìm được từ phương trình thứ tư x 3 = –1; từ thứ ba x 4 = –2, tính từ giây x 2 = 2 và từ phương trình đầu tiên x 1 = 1. Ở dạng ma trận, đáp án được viết là

Chúng tôi đã xem xét trường hợp khi hệ thống là xác định, tức là khi chỉ có một giải pháp. Hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu hệ thống không nhất quán hoặc không chắc chắn.

Ví dụ 5.2. Khám phá hệ thống bằng phương pháp Gaussian:

Giải pháp. Chúng tôi viết ra và biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống

Chúng tôi viết một hệ phương trình đơn giản:

Ở đây, trong phương trình cuối cùng, hóa ra 0=4, tức là mâu thuẫn. Do đó, hệ thống không có giải pháp, tức là. cô ấy không tương thích. à

Ví dụ 5.3. Khám phá và giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian:

Giải pháp. Chúng tôi viết và biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống:

Kết quả của các phép biến đổi là dòng cuối cùng chỉ chứa số 0. Điều này có nghĩa là số phương trình đã giảm đi một:

Như vậy, sau khi đơn giản hóa, còn lại hai phương trình và bốn ẩn số, tức là hai "phụ" không xác định. Hãy để chúng trở nên "thừa", hoặc, như người ta nói, biến miễn phí, sẽ x 3 và x 4 . Sau đó

Tin tưởng x 3 = 2Một Và x 4 = b, chúng tôi nhận được x 2 = 1–Một Và x 1 = 2b–Một; hoặc ở dạng ma trận

Một giải pháp được viết theo cách này được gọi là tổng quan, bởi vì, đưa ra các tham số Một Và b các giá trị khác nhau thì có thể mô tả được tất cả các nghiệm có thể có của hệ thống. Một

Tại đây bạn có thể giải hệ phương trình tuyến tính miễn phí Phương pháp Gauss trực tuyến kích thước lớn trong số phức với một giải pháp rất chi tiết. Máy tính của chúng tôi có thể giải trực tuyến cả hệ phương trình tuyến tính xác định và không xác định thông thường bằng phương pháp Gaussian, phương pháp này có vô số nghiệm. Trong trường hợp này, trong câu trả lời, bạn sẽ nhận được sự phụ thuộc của một số biến thông qua các biến khác, miễn phí. Bạn cũng có thể kiểm tra tính nhất quán của hệ phương trình trực tuyến bằng cách sử dụng giải pháp Gaussian.

Về phương pháp

Khi giải hệ phương trình tuyến tính trực tuyến bằng phương pháp Gaussian, các bước sau được thực hiện.

1. Chúng tôi viết ma trận mở rộng.
2. Trên thực tế, lời giải được chia thành các bước tiến và bước lùi của phương pháp Gaussian. Bước trực tiếp của phương pháp Gaussian là rút gọn ma trận thành dạng từng bước. Mặt trái của phương pháp Gaussian là rút gọn ma trận thành dạng từng bước đặc biệt. Nhưng trong thực tế, sẽ thuận tiện hơn nếu loại bỏ ngay những gì nằm ở cả bên trên và bên dưới phần tử được đề cập. Máy tính của chúng tôi sử dụng chính xác phương pháp này.
3. Điều quan trọng cần lưu ý là khi giải bằng phương pháp Gaussian, sự xuất hiện trong ma trận của ít nhất một hàng 0 có vế phải khác 0 (cột các số hạng tự do) cho thấy sự không nhất quán của hệ thống. Trong trường hợp này, nghiệm của hệ tuyến tính không tồn tại.

Để hiểu rõ nhất cách thuật toán Gaussian hoạt động trực tuyến, hãy nhập bất kỳ ví dụ nào, chọn “giải pháp rất chi tiết” và xem giải pháp trực tuyến.