Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

Quyết định làm điều đó với một máy tính. Chúng tôi viết ra các ma trận mở rộng và chính:

Đường chấm phân cách ma trận chính A. Chúng ta viết các hệ chưa biết ở trên, ghi nhớ sự hoán vị có thể có của các số hạng trong phương trình của hệ. Xác định hạng của ma trận mở rộng, ta đồng thời tìm hạng của ma trận chính. Trong ma trận B, cột đầu tiên và cột thứ hai tỷ lệ với nhau. Trong số hai cột tỷ lệ, chỉ một cột có thể rơi vào cột nhỏ cơ bản, vì vậy, hãy di chuyển, ví dụ: cột đầu tiên vượt ra ngoài đường đứt nét với dấu ngược lại. Đối với hệ thống, điều này có nghĩa là chuyển các số hạng từ x 1 sang vế phải của phương trình.

Ta đưa ma trận về dạng tam giác. Chúng tôi sẽ chỉ làm việc với các hàng, vì nhân một hàng của ma trận với một số khác 0 và thêm nó vào một hàng khác cho hệ thống có nghĩa là nhân phương trình với cùng một số và thêm nó vào một phương trình khác, điều này không thay đổi nghiệm của hệ thống. Làm việc với hàng đầu tiên: nhân hàng đầu tiên của ma trận với (-3) và lần lượt cộng vào hàng thứ hai và thứ ba. Sau đó, chúng tôi nhân hàng đầu tiên với (-2) và cộng nó với hàng thứ tư.

Các dòng thứ hai và thứ ba là tỷ lệ thuận, do đó, một trong số chúng, ví dụ như dòng thứ hai, có thể bị gạch bỏ. Điều này tương đương với việc xóa phương trình thứ hai của hệ thống, vì nó là hệ quả của phương trình thứ ba.

Bây giờ chúng ta làm việc với dòng thứ hai: nhân nó với (-1) và cộng nó với dòng thứ ba.

Phần tử gạch ngang có bậc cao nhất (trong số tất cả các phần tử nhỏ có thể có) và khác 0 (nó bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính), và phần phụ này thuộc cả ma trận chính và ma trận mở rộng, do đó rangA = rangB = 3.
Diễn viên phụ là cơ bản. Nó bao gồm các hệ số cho x 2, x 3, x 4 chưa biết, có nghĩa là x 2, x 3, x 4 chưa biết là phụ thuộc và x 1, x 5 là miễn phí.
Chúng ta biến đổi ma trận, chỉ để lại phần nhỏ cơ bản ở bên trái (tương ứng với điểm 4 của thuật toán giải trên).

Hệ với các hệ số của ma trận này tương đương với hệ ban đầu và có dạng

Bằng phương pháp loại bỏ ẩn số ta tìm được:
, ,

Chúng tôi nhận được các quan hệ biểu thị các biến phụ thuộc x 2, x 3, x 4 thông qua x 1 và x 5 tự do, tức là chúng tôi đã tìm thấy một giải pháp chung:

Đưa ra các giá trị tùy ý cho các ẩn số tự do, chúng ta thu được bất kỳ số nghiệm cụ thể nào. Hãy cùng tìm hai giải pháp cụ thể:
1) Đặt x 1 = x 5 = 0 thì x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) Đặt x 1 = 1, x 5 = -1, thì x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Do đó, chúng tôi tìm thấy hai giải pháp: (0,1, -3,3,0) - một giải pháp, (1,4, -7,7, -1) - một giải pháp khác.

Ví dụ 2. Điều tra khả năng tương thích, tìm một giải pháp chung và một giải pháp cụ thể của hệ thống

Quyết định. Hãy sắp xếp lại phương trình thứ nhất và thứ hai để có một đơn vị trong phương trình thứ nhất và viết ma trận B.

Chúng tôi nhận được các số không trong cột thứ tư, hoạt động trên hàng đầu tiên:

Bây giờ lấy các số không trong cột thứ ba bằng cách sử dụng hàng thứ hai:

Hàng thứ ba và thứ tư tương ứng với nhau, vì vậy một trong số chúng có thể bị gạch bỏ mà không làm thay đổi thứ hạng:
Nhân hàng thứ ba với (-2) và thêm vào hàng thứ tư:

Chúng ta thấy rằng hạng của ma trận chính và ma trận mở rộng là 4, và hạng trùng với số ẩn số, do đó, hệ có một nghiệm duy nhất:
;
x 4 \ u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \ u003d 11.

Ví dụ 3. Kiểm tra tính tương thích của hệ thống và tìm giải pháp nếu nó tồn tại.

Quyết định. Chúng tôi soạn ma trận mở rộng của hệ thống.

Sắp xếp lại hai phương trình đầu tiên sao cho có 1 ở góc trên bên trái:
Nhân hàng đầu tiên với (-1), chúng tôi thêm nó vào hàng thứ ba:

Nhân dòng thứ hai với (-2) và thêm vào dòng thứ ba:

Hệ thống không nhất quán, vì ma trận chính nhận được một hàng gồm các số không, hàng này sẽ bị gạch bỏ khi tìm thấy thứ hạng, và hàng cuối cùng vẫn nằm trong ma trận mở rộng, tức là r B> r A.

Bài tập. Hãy khảo sát hệ phương trình này xem có tương thích không và giải nó bằng phép tính ma trận.
Quyết định

Ví dụ. Chứng minh tính tương thích của một hệ phương trình tuyến tính và giải nó theo hai cách: 1) bằng phương pháp Gauss; 2) Phương pháp của Cramer. (điền câu trả lời ở dạng: x1, x2, x3)
Giải pháp: doc: doc: xls
Trả lời: 2,-1,3.

Ví dụ. Một hệ phương trình tuyến tính được đưa ra. Chứng minh tính tương thích của nó. Tìm một giải pháp chung của hệ thống và một giải pháp cụ thể.
Quyết định
Trả lời: x 3 \ u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \ u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Bài tập. Tìm các giải pháp chung và riêng cho từng hệ thống.
Quyết định. Chúng tôi nghiên cứu hệ thống này bằng cách sử dụng định lý Kronecker-Capelli.
Chúng tôi viết ra các ma trận mở rộng và chính:

Bài tập. Giải hệ phương trình.
Trả lời: x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Đưa ra các giá trị tùy ý cho các ẩn số tự do, chúng ta thu được bất kỳ số nghiệm cụ thể nào. Hệ thống là không chắc chắn

Như xuất hiện từ Định lý Cramer, khi giải hệ phương trình tuyến tính, ba trường hợp có thể xảy ra:

Trường hợp thứ nhất: hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất

(hệ thống nhất quán và xác định)

Trường hợp thứ hai: hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm

(hệ thống nhất quán và không xác định)

** ,

những thứ kia. hệ số của ẩn số và số hạng tự do là tỷ lệ thuận.

Trường hợp thứ ba: hệ phương trình tuyến tính không có nghiệm

(hệ thống không nhất quán)

Vì vậy, hệ thống m phương trình tuyến tính với N các biến được gọi là không tương thích nếu nó không có giải pháp, và chung nếu nó có ít nhất một giải pháp. Hệ phương trình liên hợp chỉ có một nghiệm được gọi là chắc chắn và nhiều hơn một không chắc chắn.

Ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer

Hãy để hệ thống

.

Dựa trên định lý Cramer

………….
,

ở đâu
-

định danh hệ thống. Các định thức còn lại thu được bằng cách thay thế cột có hệ số của biến tương ứng (chưa biết) bằng các phần tử tự do:

Ví dụ 2

.

Do đó, hệ thống là xác định. Để tìm giải pháp của nó, chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định

Theo công thức của Cramer, chúng tôi tìm thấy:

Vì vậy, (1; 0; -1) là nghiệm duy nhất của hệ.

Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, phương pháp giải Cramer.

Nếu không có biến nào trong hệ phương trình tuyến tính trong một hoặc nhiều phương trình thì trong định thức các phần tử tương ứng với chúng bằng không! Đây là ví dụ tiếp theo.

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer:

.

Quyết định. Chúng tôi tìm thấy yếu tố quyết định của hệ thống:

Xem xét kỹ hệ phương trình và định thức của hệ và lặp lại câu trả lời cho câu hỏi trong trường hợp nào một hoặc nhiều phần tử của định thức bằng không. Vì vậy, định thức không bằng không, do đó, hệ thống là xác định. Để tìm lời giải của nó, chúng tôi tính toán các định thức cho các ẩn số

Theo công thức của Cramer, chúng tôi tìm thấy:

Vậy, nghiệm của hệ là (2; -1; 1).

6. Hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát. Phương pháp Gauss.

Như chúng ta nhớ, quy tắc Cramer và phương pháp ma trận không phù hợp trong trường hợp hệ thống có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Phương pháp Gauss – công cụ mạnh mẽ và linh hoạt nhất để tìm lời giải cho bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào, cái mà trong mọi trường hợp dẫn chúng tôi đến câu trả lời! Thuật toán của phương pháp trong cả ba trường hợp đều hoạt động theo cùng một cách. Nếu phương pháp Cramer và ma trận yêu cầu kiến ​​thức về các định thức, thì việc áp dụng phương pháp Gauss chỉ yêu cầu kiến ​​thức về các phép toán số học, điều này làm cho nó có thể tiếp cận được ngay cả với học sinh tiểu học.

Đầu tiên, chúng ta hệ thống hóa kiến ​​thức về hệ phương trình tuyến tính một chút. Một hệ phương trình tuyến tính có thể:

1) Có một giải pháp duy nhất.
2) Có vô số giải pháp.
3) Không có giải pháp (được không tương thích).

Phương pháp Gauss là công cụ mạnh mẽ và linh hoạt nhất để tìm ra giải pháp không tí nào hệ phương trình tuyến tính. Như chúng ta nhớ Quy tắc Cramer và phương pháp ma trận không phù hợp trong trường hợp hệ thống có vô số giải pháp hoặc không nhất quán. Một phương pháp loại bỏ liên tiếp các ẩn số dù sao dẫn chúng tôi đến câu trả lời! Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét lại phương pháp Gauss cho trường hợp số 1 (giải pháp duy nhất cho hệ thống), bài viết dành riêng cho các tình huống của điểm số 2-3. Tôi lưu ý rằng bản thân thuật toán phương pháp hoạt động theo cùng một cách trong cả ba trường hợp.

Hãy quay lại hệ thống đơn giản nhất từ ​​bài học Làm thế nào để giải quyết một hệ thống phương trình tuyến tính?
và giải nó bằng phương pháp Gaussian.

Bước đầu tiên là viết hệ thống ma trận mở rộng:
. Các hệ số được ghi theo nguyên tắc nào thì tôi nghĩ mọi người đều có thể thấy được. Đường thẳng đứng bên trong ma trận không mang bất kỳ ý nghĩa toán học nào - nó chỉ là một đường gạch ngang để dễ thiết kế.

Thẩm quyền giải quyết:Tôi khuyên bạn nên nhớ điều kiệnđại số tuyến tính. Ma trận hệ thống là một ma trận chỉ bao gồm các hệ số cho ẩn số, trong ví dụ này, ma trận của hệ thống:. Ma trận hệ thống mở rộng là cùng một ma trận của hệ thống cộng với một cột các số hạng tự do, trong trường hợp này:. Bất kỳ ma trận nào cũng có thể được gọi đơn giản là ma trận cho ngắn gọn.

Sau khi ma trận mở rộng của hệ thống được viết xong, cần thực hiện một số hành động với nó, các thao tác này còn được gọi là biến đổi cơ bản.

Có các phép biến đổi cơ bản sau:

1) Dây ma trận có thể được sắp xếp lại nơi. Ví dụ: trong ma trận đang được xem xét, bạn có thể sắp xếp lại hàng đầu tiên và hàng thứ hai một cách an toàn:

2) Nếu có (hoặc xuất hiện) các hàng tỷ lệ (như một trường hợp đặc biệt - giống hệt nhau) trong ma trận, thì nó theo sau xóa bỏ từ ma trận, tất cả các hàng này ngoại trừ một. Ví dụ, hãy xem xét ma trận . Trong ma trận này, ba hàng cuối cùng là tỷ lệ, vì vậy chỉ cần để lại một trong số chúng là đủ: .

3) Nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi, thì nó cũng theo sau xóa bỏ. Tất nhiên, tôi sẽ không vẽ, vạch 0 là vạch mà ở đó chỉ số không.

4) Hàng của ma trận có thể là nhân (chia) cho bất kỳ số nào khác không. Ví dụ, hãy xem xét ma trận. Ở đây, bạn nên chia dòng đầu tiên cho -3 và nhân dòng thứ hai với 2: . Hành động này rất hữu ích, vì nó đơn giản hóa các phép biến đổi tiếp theo của ma trận.

5) Việc chuyển đổi này gây ra nhiều khó khăn nhất, nhưng trên thực tế cũng không có gì phức tạp. Đối với hàng của ma trận, bạn có thể thêm một chuỗi nhân với một số, khác 0. Hãy xem xét ma trận của chúng ta từ một ví dụ thực tế:. Đầu tiên, tôi sẽ mô tả sự biến đổi rất chi tiết. Nhân hàng đầu tiên với -2: , và đến dòng thứ hai, chúng tôi thêm dòng đầu tiên nhân với -2: . Bây giờ dòng đầu tiên có thể được chia "back" cho -2 :. Như bạn có thể thấy, dòng được THÊM LI – không thay đổi. Luôn luôn dòng được thay đổi, THÀNH MÀ ĐƯỢC THÊM UT.

Trong thực tế, tất nhiên, họ không vẽ chi tiết như vậy, nhưng viết ngắn hơn:

Một lần nữa: đến dòng thứ hai đã thêm hàng đầu tiên nhân với -2. Dòng thường được nhân bằng miệng hoặc trên bản nháp, trong khi quá trình tính toán tinh thần là một cái gì đó như sau:

“Tôi viết lại ma trận và viết lại hàng đầu tiên: »

Đầu tiên cột đầu tiên. Dưới đây tôi cần lấy số không. Do đó, tôi nhân đơn vị ở trên với -2 :, và thêm đầu tiên vào dòng thứ hai: 2 + (-2) = 0. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: »

“Bây giờ là cột thứ hai. Trên -1 lần -2 :. Tôi thêm đầu tiên vào dòng thứ hai: 1 + 2 = 3. Tôi ghi kết quả vào dòng thứ hai: »

“Và cột thứ ba. Trên -5 lần -2 :. Tôi thêm dòng đầu tiên vào dòng thứ hai: -7 + 10 = 3. Tôi ghi kết quả vào dòng thứ hai: »

Hãy suy nghĩ kỹ về ví dụ này và hiểu thuật toán tính toán tuần tự, nếu bạn hiểu điều này, thì phương pháp Gauss thực tế là "trong túi của bạn". Nhưng, tất nhiên, chúng tôi vẫn đang nghiên cứu sự chuyển đổi này.

Các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình

! CHÚ Ý: được coi là thao tác không thể sử dụng, nếu bạn được cung cấp một nhiệm vụ trong đó các ma trận được đưa ra "bởi chính chúng". Ví dụ: với "cổ điển" ma trận trong mọi trường hợp, bạn nên sắp xếp lại thứ gì đó bên trong ma trận!

Hãy quay trở lại hệ thống của chúng tôi. Cô ấy thực tế đã bị vỡ thành nhiều mảnh.

Hãy để chúng tôi viết ma trận tăng cường của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, giảm nó thành bước xem:

(1) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -2. Và một lần nữa: tại sao chúng ta lại nhân hàng đầu tiên với -2? Để có số 0 ở dưới cùng, nghĩa là loại bỏ một biến ở dòng thứ hai.

(2) Chia hàng thứ hai cho 3.

Mục đích của các phép biến hình cơ bản – chuyển đổi ma trận sang dạng bước: . Trong thiết kế của nhiệm vụ, họ trực tiếp vẽ ra “cái thang” bằng bút chì đơn giản, và cũng khoanh tròn những con số nằm trên “bậc thang”. Bản thân thuật ngữ "góc nhìn từng bước" không hoàn toàn mang tính lý thuyết; trong các tài liệu khoa học và giáo dục, nó thường được gọi là hình thang xem hoặc xem hình tam giác.

Theo kết quả của các phép biến đổi cơ bản, chúng ta đã thu được tương đương hệ phương trình ban đầu:

Bây giờ hệ thống cần được "gỡ xoắn" theo hướng ngược lại - từ dưới lên, quá trình này được gọi là đảo ngược phương pháp Gauss.

Trong phương trình dưới, chúng ta đã có kết quả:.

Hãy xem xét phương trình đầu tiên của hệ thống và thay thế giá trị đã biết của “y” vào nó:

Chúng ta hãy xem xét tình huống phổ biến nhất, khi phương pháp Gaussian được yêu cầu để giải một hệ ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số.

ví dụ 1

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss:

Hãy viết ma trận tăng cường của hệ thống:

Bây giờ tôi sẽ ngay lập tức rút ra kết quả mà chúng ta sẽ đi đến trong quá trình giải quyết:

Và tôi nhắc lại, mục tiêu của chúng ta là đưa ma trận về dạng bậc thang bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Bắt đầu hành động từ đâu?

Đầu tiên, hãy nhìn vào số trên cùng bên trái:

Hầu như luôn luôn ở đây đơn vị. Nói chung, -1 (và đôi khi các số khác) cũng sẽ phù hợp, nhưng bằng cách nào đó, theo truyền thống, một đơn vị thường được đặt ở đó. Làm thế nào để tổ chức một đơn vị? Chúng ta nhìn vào cột đầu tiên - chúng ta có một đơn vị đã hoàn thành! Chuyển đổi một: hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba:

Bây giờ dòng đầu tiên sẽ không thay đổi cho đến khi kết thúc giải pháp. Bây giờ tốt.

Đơn vị ở trên cùng bên trái được tổ chức. Bây giờ bạn cần lấy số không ở những nơi sau:

Zeros có được chỉ với sự trợ giúp của một phép biến đổi "khó". Đầu tiên, chúng ta xử lý dòng thứ hai (2, -1, 3, 13). Cần phải làm gì để số 0 ở vị trí đầu tiên? Nhu cầu đến dòng thứ hai, thêm dòng đầu tiên nhân với -2. Nhẩm hoặc trên nháp, chúng tôi nhân dòng đầu tiên với -2: (-2, -4, 2, -18). Và chúng tôi liên tục thực hiện bổ sung (một lần nữa trong tâm trí hoặc trên bản nháp), đến dòng thứ hai, chúng tôi thêm dòng đầu tiên, đã được nhân với -2:

Kết quả được viết ở dòng thứ hai:

Tương tự, chúng ta xử lý với dòng thứ ba (3, 2, -5, -1). Để có số 0 ở vị trí đầu tiên, bạn cần đến dòng thứ ba, thêm dòng đầu tiên nhân với -3. Nhẩm hoặc trên giấy nháp, chúng tôi nhân dòng đầu tiên với -3: (-3, -6, 3, -27). Và đến dòng thứ ba, chúng tôi thêm dòng đầu tiên nhân với -3:

Kết quả được viết ở dòng thứ ba:

Trong thực tế, những hành động này thường được thực hiện bằng lời nói và được viết ra trong một bước:

Không cần phải đếm mọi thứ cùng một lúc. Thứ tự tính toán và "chèn" kết quả phù hợp và thường như thế này: trước tiên, chúng tôi viết lại dòng đầu tiên và lặng lẽ tự động - HÃY ĐỒNG Ý và CHÚ Ý:


Và tôi đã xem xét quá trình tinh thần của bản thân các phép tính ở trên.

Trong ví dụ này, điều này rất dễ thực hiện, chúng ta chia dòng thứ hai cho -5 (vì tất cả các số đều chia hết cho 5 mà không có dư). Đồng thời, ta chia dòng thứ ba cho -2, vì số càng nhỏ thì cách giải càng đơn giản:

Ở giai đoạn cuối cùng của các phép biến đổi cơ bản, phải có thêm một số không nữa ở đây:

Đối với điều này đến dòng thứ ba, chúng tôi thêm dòng thứ hai, nhân với -2:


Cố gắng tự phân tích cú pháp này - nhân dòng thứ hai với -2 và thực hiện phép cộng.

Hành động cuối cùng được thực hiện là kiểu tóc của kết quả, chia dòng thứ ba cho 3.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, một hệ phương trình tuyến tính ban đầu tương đương đã thu được:

Ngầu.

Giờ đây, phương pháp đảo ngược của phương pháp Gaussian bắt đầu có hiệu quả. Các phương trình "giải phóng" từ dưới lên.

Trong phương trình thứ ba, chúng ta đã có kết quả:

Hãy xem xét phương trình thứ hai:. Ý nghĩa của "z" đã được biết đến, do đó:

Và cuối cùng, phương trình đầu tiên:. "Y" và "Z" được biết đến, vấn đề nhỏ:

Trả lời:

Như đã nhiều lần lưu ý, đối với bất kỳ hệ phương trình nào, việc kiểm tra nghiệm tìm được là có thể và cần thiết, may mắn là cách này không khó và nhanh.

Ví dụ 2

Đây là một ví dụ để bạn tự giải, làm bài mẫu và đáp án ở cuối bài.

Cần lưu ý rằng quá trình hành động có thể không trùng với quá trình hành động của tôi, và đây là một tính năng của phương pháp Gauss. Nhưng các câu trả lời phải giống nhau!

Ví dụ 3

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Chúng tôi viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa nó về dạng bước:

Chúng ta nhìn vào "bước" phía trên bên trái. Ở đó chúng ta nên có một đơn vị. Vấn đề là không có cái nào trong cột đầu tiên cả, vì vậy không có gì có thể được giải quyết bằng cách sắp xếp lại các hàng. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng một phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo một số cách. Tôi đã làm điều này:
(1) Đến dòng đầu tiên, chúng tôi thêm dòng thứ hai, nhân với -1. Tức là chúng ta nhân dòng thứ hai với -1 và thực hiện phép cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.

Bây giờ ở trên cùng bên trái "trừ một", hoàn toàn phù hợp với chúng tôi. Ai muốn nhận +1 có thể thực hiện thêm một cử chỉ: nhân dòng đầu tiên với -1 (thay đổi dấu hiệu của nó).

(2) Hàng đầu tiên nhân với 5 được cộng vào hàng thứ 2. Hàng đầu tiên nhân với 3 được cộng vào hàng thứ ba.

(3) Dòng đầu tiên được nhân với -1, về nguyên tắc, điều này là để làm đẹp. Dấu hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển sang vị trí thứ hai, do đó, ở bước thứ hai, chúng ta đã có đơn vị mong muốn.

(4) Dòng thứ hai nhân với 2 được thêm vào dòng thứ ba.

(5) Hàng thứ ba đã chia hết cho 3.

Một dấu hiệu xấu cho biết lỗi tính toán (ít thường xuyên là lỗi đánh máy hơn) là điểm mấu chốt "xấu". Đó là, nếu chúng ta có một cái gì đó như bên dưới, và theo đó, , thì với một mức độ xác suất cao, có thể lập luận rằng một lỗi đã được thực hiện trong quá trình biến đổi cơ bản.

Chúng tôi tính phí chuyển động ngược lại, trong việc thiết kế các ví dụ, bản thân hệ thống thường không được viết lại, và các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi nhắc nhở bạn, động tác ngược lại hoạt động từ dưới lên. Vâng, đây là một món quà:

Trả lời: .

Ví dụ 4

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập, nó có phần phức tạp hơn. Không sao nếu ai đó bối rối. Bài giải đầy đủ và mẫu thiết kế ở cuối bài. Giải pháp của bạn có thể khác với giải pháp của tôi.

Trong phần cuối cùng, chúng ta xem xét một số tính năng của thuật toán Gauss.
Đặc điểm đầu tiên là đôi khi một số biến bị thiếu trong các phương trình của hệ thống, ví dụ:

Làm thế nào để viết một cách chính xác ma trận tăng cường của hệ thống? Tôi đã nói về khoảnh khắc này trong bài học. Quy tắc của Cramer. Phương pháp ma trận. Trong ma trận mở rộng của hệ thống, chúng tôi đặt các số không thay cho các biến còn thiếu:

Nhân tiện, đây là một ví dụ khá dễ dàng, vì đã có một số 0 trong cột đầu tiên và có ít phép biến đổi cơ bản hơn để thực hiện.

Tính năng thứ hai là điều này. Trong tất cả các ví dụ được xem xét, chúng tôi đã đặt –1 hoặc +1 trên “các bước”. Có thể có những con số khác? Trong một số trường hợp, họ có thể. Xem xét hệ thống: .

Ở đây, ở phía trên bên trái "bước" chúng ta có một deuce. Nhưng chúng ta nhận thấy thực tế là tất cả các số trong cột đầu tiên đều chia hết cho 2 mà không có dư - và một số khác là hai và sáu. Và deuce ở trên cùng bên trái sẽ phù hợp với chúng tôi! Ở bước đầu tiên, bạn cần thực hiện các phép biến đổi sau: thêm dòng thứ nhất nhân với -1 vào dòng thứ hai; đến dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với -3. Như vậy, chúng ta sẽ nhận được các số không mong muốn trong cột đầu tiên.

Hoặc một ví dụ giả định khác: . Ở đây, bộ ba ở “bậc thang” thứ hai cũng phù hợp với chúng ta, vì 12 (vị trí mà chúng ta cần lấy số 0) chia hết cho 3 mà không có dư. Cần thực hiện phép biến đổi sau: đến dòng thứ ba, thêm dòng thứ hai, nhân với -4, kết quả là chúng ta sẽ nhận được số 0.

Phương pháp Gauss là phổ biến, nhưng có một điểm đặc biệt. Bạn có thể tự tin học cách giải các hệ thống bằng các phương pháp khác (phương pháp Cramer, phương pháp ma trận) ngay từ lần đầu tiên - có một thuật toán rất cứng nhắc. Nhưng để cảm thấy tự tin với phương pháp Gauss, bạn nên “điền tay vào” và giải được ít nhất 5-10 hệ. Do đó, lúc đầu có thể có sự nhầm lẫn, sai sót trong tính toán và không có gì bất thường hay bi hài trong việc này.

Thời tiết mùa thu mưa bên ngoài cửa sổ .... Vì vậy, đối với mọi người, một ví dụ phức tạp hơn cho một giải pháp độc lập:

Ví dụ 5

Giải hệ bốn phương trình tuyến tính với bốn ẩn số bằng phương pháp Gauss.

Một nhiệm vụ như vậy trong thực tế không phải là quá hiếm. Tôi nghĩ rằng ngay cả một ấm trà đã nghiên cứu chi tiết trang này cũng hiểu được thuật toán giải một hệ thống như vậy một cách trực quan. Về cơ bản giống nhau - chỉ cần nhiều hành động hơn.

Các trường hợp hệ thống không có nghiệm (không nhất quán) hoặc có vô số nghiệm được xem xét trong bài. Hệ thống và hệ thống không tương thích với một giải pháp chung. Ở đó bạn có thể sửa chữa thuật toán được xem xét của phương pháp Gauss.

Chúc bạn may mắn!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2: Quyết định: Hãy viết ma trận tăng cường của hệ thống và với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, chúng ta sẽ đưa nó về dạng bậc.


Các phép biến đổi cơ bản đã thực hiện:
(1) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với -1. Chú ý!Ở đây, nó có thể hấp dẫn để trừ dòng đầu tiên khỏi dòng thứ ba, tôi thực sự không khuyên bạn nên trừ đi - nguy cơ sai sót tăng lên rất nhiều. Chúng tôi chỉ gấp!
(2) Dấu của dòng thứ hai đã được thay đổi (nhân với -1). Dòng thứ hai và thứ ba đã được hoán đổi. Ghi chú rằng trên "các bước", chúng tôi không chỉ hài lòng với một, mà còn với -1, điều này thậm chí còn thuận tiện hơn.
(3) Đến dòng thứ ba, thêm dòng thứ hai, nhân với 5.
(4) Dấu của dòng thứ hai đã được thay đổi (nhân với -1). Dòng thứ ba được chia cho 14.

Di chuyển ngược lại:

Trả lời: .

Ví dụ 4: Quyết định: Hãy viết ma trận tăng cường của hệ thống và với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, chúng ta đưa nó về dạng bước:

Các chuyển đổi đã thực hiện:
(1) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên. Do đó, đơn vị mong muốn được tổ chức ở "bước" phía trên bên trái.
(2) Hàng đầu tiên nhân với 7 được cộng vào hàng thứ 2. Hàng đầu tiên nhân với 6 được cộng vào hàng thứ ba.

Với "bước" thứ hai, mọi thứ còn tệ hơn, "ứng cử viên" cho nó là số 17 và 23, và chúng ta cần một hoặc -1. Các phép biến đổi (3) và (4) sẽ nhằm đạt được đơn vị mong muốn

(3) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba, nhân với -1.
(4) Dòng thứ ba, nhân với -3, được thêm vào dòng thứ hai.
Điều cần thiết ở bước thứ hai là nhận được .
(5) Đến dòng thứ ba thêm vào dòng thứ hai, nhân với 6.

Trong các bài học Phương pháp Gauss và Hệ thống / hệ thống không tương thích với một giải pháp chung chúng tôi coi hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất, ở đâu thành viên miễn phí(thường ở bên phải) ít nhất một của các phương trình khác 0.
Và bây giờ, sau khi khởi động tốt với xếp hạng ma trận, chúng tôi sẽ tiếp tục đánh bóng kỹ thuật biến đổi cơ bản trên hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Theo những đoạn đầu tiên, tài liệu có vẻ nhàm chán và bình thường, nhưng ấn tượng này là lừa dối. Ngoài ra để các kỹ thuật phát triển hơn nữa, sẽ có rất nhiều thông tin mới, vì vậy hãy cố gắng đừng bỏ qua các ví dụ trong bài viết này.

Phương pháp Gauss, còn được gọi là phương pháp loại bỏ liên tiếp các ẩn số, bao gồm các điều sau đây. Sử dụng các phép biến đổi cơ bản, hệ phương trình tuyến tính được đưa về dạng sao cho ma trận các hệ số của nó trở thành hình thang (giống như hình tam giác hoặc bậc thang) hoặc gần với hình thang (quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss, sau đó - chỉ là một chuyển động trực tiếp). Một ví dụ về một hệ thống như vậy và giải pháp của nó được hiển thị trong hình trên.

Trong một hệ thống như vậy, phương trình cuối cùng chỉ chứa một biến và giá trị của nó có thể được tìm thấy duy nhất. Sau đó, giá trị của biến này được thay thế vào phương trình trước đó ( Đảo ngược Gaussian , sau đó - chỉ là một chuyển động ngược lại), từ đó biến trước đó được tìm thấy, v.v.

Trong một hệ thống hình thang (tam giác), như chúng ta thấy, phương trình thứ ba không còn chứa các biến y và x và phương trình thứ hai - biến x .

Sau khi ma trận của hệ có dạng hình thang, việc phân loại câu hỏi về tính tương thích của hệ, xác định số nghiệm và tự tìm lời giải không còn khó khăn nữa.

Ưu điểm của phương pháp:

1. Khi giải các hệ phương trình tuyến tính có nhiều hơn ba phương trình và ẩn số, phương pháp Gauss không rườm rà như phương pháp Cramer, vì khi giải phương pháp Gauss cần ít phép tính hơn;
2. sử dụng phương pháp Gauss, bạn có thể giải các hệ phương trình tuyến tính không xác định, nghĩa là có một nghiệm chung (và chúng ta sẽ phân tích chúng trong bài học này), và sử dụng phương pháp Cramer, bạn chỉ có thể nói rằng hệ là bất định;
3. bạn có thể giải các hệ phương trình tuyến tính trong đó số ẩn số không bằng số phương trình (chúng ta cũng sẽ phân tích chúng trong bài học này);
4. phương pháp dựa trên phương pháp tiểu học (trường học) - phương pháp thay thế ẩn số và phương pháp cộng các phương trình, mà chúng tôi đã đề cập trong bài viết tương ứng.

Để mọi người thấm nhuần tính đơn giản khi giải hệ phương trình tuyến tính hình thang (tam giác, bậc), chúng tôi trình bày lời giải của một hệ như vậy bằng cách sử dụng hành trình ngược. Một giải pháp nhanh chóng cho hệ thống này đã được hiển thị trong hình ở đầu bài học.

ví dụ 1 Giải một hệ phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng chuyển động ngược lại:

Quyết định. Trong hệ hình thang này, biến zđược tìm thấy duy nhất từ ​​phương trình thứ ba. Chúng tôi thay thế giá trị của nó vào phương trình thứ hai và nhận được giá trị của biến y:

Bây giờ chúng ta biết giá trị của hai biến - z và y. Chúng tôi thay thế chúng vào phương trình đầu tiên và nhận được giá trị của biến x:

Từ các bước trước, chúng ta viết ra nghiệm của hệ phương trình:

Để có được một hệ phương trình tuyến tính hình thang mà chúng ta đã giải rất đơn giản, yêu cầu áp dụng một phương trình chuyển trực tiếp kết hợp với các phép biến đổi cơ bản của hệ phương trình tuyến tính. Nó cũng không khó lắm.

Các phép biến đổi cơ bản của một hệ phương trình tuyến tính

Lặp lại phương pháp trường đại số cộng các phương trình của hệ, chúng tôi phát hiện ra rằng một phương trình khác của hệ có thể được thêm vào một trong các phương trình của hệ, và mỗi phương trình có thể nhân với một số. Kết quả là ta thu được một hệ phương trình tuyến tính tương đương với hệ phương trình đã cho. Trong đó, một phương trình đã chỉ chứa một biến, thay giá trị của nó vào các phương trình khác, chúng ta đi đến một giải pháp. Phép cộng như vậy là một trong những kiểu biến đổi cơ bản của hệ. Khi sử dụng phương pháp Gauss, chúng ta có thể sử dụng một số kiểu biến đổi.

Hình ảnh động trên cho thấy hệ phương trình dần dần biến thành hình thang. Đó là, cái mà bạn đã thấy ở hoạt ảnh đầu tiên và đảm bảo rằng bạn có thể dễ dàng tìm thấy giá trị của tất cả các ẩn số từ nó. Làm thế nào để thực hiện một chuyển đổi như vậy và tất nhiên, các ví dụ, sẽ được thảo luận thêm.

Khi giải hệ phương trình tuyến tính với bất kỳ phương trình và ẩn số nào trong hệ phương trình và trong ma trận khai triển của hệ có thể:

1. trao đổi dòng (điều này đã được đề cập ở phần đầu của bài viết này);
2. nếu do kết quả của các phép biến đổi khác xuất hiện các đường bằng hoặc tỷ lệ, chúng có thể bị xóa, ngoại trừ một;
3. xóa các hàng "null", trong đó tất cả các hệ số đều bằng 0;
4. nhân hoặc chia bất kỳ chuỗi nào với một số;
5. thêm vào bất kỳ dòng nào một dòng khác nhân với một số.

Theo kết quả của các phép biến đổi, chúng ta thu được một hệ phương trình tuyến tính tương đương với hệ phương trình đã cho.

Thuật toán và các ví dụ giải theo phương pháp Gauss một hệ phương trình tuyến tính với ma trận vuông của hệ

Trước hết chúng ta hãy xem xét nghiệm của hệ phương trình tuyến tính trong đó số ẩn số bằng số phương trình. Ma trận của một hệ thống như vậy là hình vuông, tức là số hàng trong nó bằng số cột.

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp trường học, chúng tôi nhân số hạng của một trong các phương trình với một số nào đó, sao cho hệ số của biến thứ nhất trong hai phương trình là số đối nhau. Khi thêm các phương trình, biến này bị loại bỏ. Phương pháp Gauss hoạt động theo cách tương tự.

Để đơn giản hóa sự xuất hiện của giải pháp soạn ma trận tăng cường của hệ thống:

Trong ma trận này, hệ số của các ẩn số nằm ở bên trái trước thanh dọc, và các phần tử tự do nằm ở bên phải sau thanh dọc.

Để thuận tiện cho việc chia các hệ số của các biến (để có được phép chia cho một) hoán đổi hàng đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận hệ thống. Ta thu được một hệ tương đương với hệ đã cho, vì trong hệ phương trình tuyến tính người ta có thể sắp xếp lại các phương trình:

Với phương trình đầu tiên mới loại bỏ biến x từ phương trình thứ hai và tất cả các phương trình tiếp theo. Để thực hiện việc này, hãy thêm hàng đầu tiên được nhân với (trong trường hợp của chúng tôi là) vào hàng thứ hai của ma trận và hàng đầu tiên được nhân với (trong trường hợp của chúng tôi là) vào hàng thứ ba.

Điều này là có thể bởi vì

Nếu có nhiều hơn ba phương trình trong hệ của chúng ta, thì dòng đầu tiên phải được thêm vào tất cả các phương trình tiếp theo, nhân với tỷ lệ của các hệ số tương ứng, lấy dấu trừ.

Kết quả là, chúng tôi thu được một ma trận tương đương với hệ đã cho của một hệ phương trình mới, trong đó tất cả các phương trình, bắt đầu từ hệ phương trình thứ hai không chứa một biến x :

Để đơn giản hóa hàng thứ hai của hệ kết quả, chúng ta nhân nó với và một lần nữa nhận được ma trận của hệ phương trình tương đương với hệ này:

Bây giờ, giữ nguyên phương trình đầu tiên của hệ thống kết quả, sử dụng phương trình thứ hai, chúng tôi loại bỏ biến y từ tất cả các phương trình tiếp theo. Để thực hiện việc này, hãy thêm hàng thứ hai được nhân với (trong trường hợp của chúng ta là bằng) vào hàng thứ ba của ma trận hệ thống.

Nếu có nhiều hơn ba phương trình trong hệ của chúng ta, thì dòng thứ hai phải được cộng vào tất cả các phương trình tiếp theo, nhân với tỷ lệ của các hệ số tương ứng, lấy dấu trừ.

Kết quả là ta lại thu được ma trận của hệ tương đương với hệ phương trình tuyến tính đã cho:

Ta đã thu được một hệ phương trình tuyến tính hình thang tương đương với hệ thức đã cho:

Nếu số lượng phương trình và biến số lớn hơn trong ví dụ của chúng ta, thì quá trình loại bỏ tuần tự các biến số sẽ tiếp tục cho đến khi ma trận hệ thống trở thành hình thang, như trong ví dụ minh họa của chúng ta.

Chúng tôi sẽ tìm ra giải pháp "từ cuối" - ngược lại. Đối với điều này từ phương trình cuối cùng, chúng tôi xác định z:
.
Thay giá trị này vào phương trình trước đó, tìm thấy y:

Từ phương trình đầu tiên tìm thấy x:

Trả lời: nghiệm của hệ phương trình này - .

: trong trường hợp này, câu trả lời tương tự sẽ được đưa ra nếu hệ thống có một giải pháp duy nhất. Nếu hệ có vô số nghiệm, thì đáp án cũng vậy, và đây là chủ đề của phần thứ năm của bài học này.

Tự giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, rồi xem lời giải

Trước mắt chúng ta một lần nữa là một ví dụ về một hệ phương trình tuyến tính nhất quán và xác định, trong đó số phương trình bằng số ẩn số. Sự khác biệt so với ví dụ demo của chúng tôi từ thuật toán là đã có bốn phương trình và bốn ẩn số.

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss:

Bây giờ bạn cần sử dụng phương trình thứ hai để loại trừ biến khỏi các phương trình tiếp theo. Hãy làm một số công việc chuẩn bị. Để thuận tiện hơn với tỷ lệ hệ số, bạn cần lấy một đơn vị ở cột thứ hai của hàng thứ hai. Để làm điều này, hãy trừ hàng thứ ba khỏi hàng thứ hai và nhân hàng thứ hai kết quả với -1.

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện loại bỏ thực tế của biến khỏi phương trình thứ ba và thứ tư. Để thực hiện việc này, hãy thêm dòng thứ hai, nhân với, vào dòng thứ ba và dòng thứ hai, nhân với, vào dòng thứ tư.

Bây giờ, sử dụng phương trình thứ ba, chúng ta loại bỏ biến khỏi phương trình thứ tư. Để làm điều này, đến dòng thứ tư, thêm số thứ ba, nhân với. Chúng ta nhận được một ma trận khai triển của một hình thang.

Ta thu được một hệ phương trình tương đương với hệ đã cho:

Do đó, hệ thống kết quả và hệ thống đã cho là nhất quán và xác định. Chúng tôi tìm ra giải pháp cuối cùng "từ cuối." Từ phương trình thứ tư, chúng ta có thể biểu diễn trực tiếp giá trị của biến "x thứ tư":

Chúng tôi thay thế giá trị này vào phương trình thứ ba của hệ thống và nhận được

,

,

Cuối cùng, thay thế giá trị

Trong phương trình đầu tiên cho

,

nơi chúng tôi tìm thấy "x đầu tiên":

Trả lời: Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất. .

Bạn cũng có thể kiểm tra lời giải của hệ thống trên một máy tính giải theo phương pháp của Cramer: trong trường hợp này, câu trả lời tương tự sẽ được đưa ra nếu hệ thống có một nghiệm duy nhất.

Giải theo phương pháp Gauss cho các bài toán ứng dụng trên ví dụ bài toán cho hợp kim

Hệ thống phương trình tuyến tính được sử dụng để mô hình hóa các đối tượng thực của thế giới vật chất. Hãy giải quyết một trong những vấn đề này - đối với hợp kim. Nhiệm vụ tương tự - nhiệm vụ cho hỗn hợp, chi phí hoặc trọng lượng riêng của từng hàng hóa trong một nhóm hàng hóa và tương tự.

Ví dụ 5 Ba miếng hợp kim có tổng khối lượng là 150 kg. Hợp kim đầu tiên chứa 60% đồng, hợp kim thứ hai - 30%, hợp kim thứ ba - 10%. Đồng thời, trong hợp kim thứ hai và thứ ba lấy nhau, đồng ít hơn hợp kim thứ nhất 28,4 kg và ở hợp kim thứ ba, đồng ít hơn hợp kim thứ hai 6,2 kg. Tìm khối lượng của mỗi mảnh hợp kim.

Quyết định. Chúng tôi soạn một hệ phương trình tuyến tính:

Nhân phương trình thứ hai và thứ ba với 10, ta được một hệ phương trình tuyến tính tương đương:

Chúng tôi soạn ma trận mở rộng của hệ thống:

Chú ý, di chuyển trực tiếp. Bằng cách cộng (trong trường hợp của chúng tôi là trừ) một hàng, nhân với một số (chúng tôi áp dụng nó hai lần), các phép biến đổi sau xảy ra với ma trận mở rộng của hệ thống:

Cuộc chạy thẳng đã kết thúc. Chúng tôi có một ma trận mở rộng của một hình thang.

Hãy sử dụng ngược lại. Chúng tôi tìm thấy một giải pháp từ cuối. Chúng ta thấy rằng .

Từ phương trình thứ hai, chúng ta tìm thấy

Từ phương trình thứ ba -

Bạn cũng có thể kiểm tra lời giải của hệ thống trên một máy tính giải theo phương pháp của Cramer: trong trường hợp này, câu trả lời tương tự sẽ được đưa ra nếu hệ thống có một nghiệm duy nhất.

Tính đơn giản của phương pháp Gauss được chứng minh bằng việc nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauss chỉ mất 15 phút để phát minh ra nó. Ngoài phương pháp mang tên ông, từ công trình của Gauss, câu châm ngôn "Chúng ta không nên nhầm lẫn những gì có vẻ khó tin và phi tự nhiên đối với chúng ta với những gì hoàn toàn không thể" là một loại chỉ dẫn ngắn gọn để thực hiện các khám phá.

Trong nhiều bài toán áp dụng, có thể không có hạn chế thứ ba, tức là phương trình thứ ba, khi đó cần giải hệ hai phương trình với ba ẩn số bằng phương pháp Gauss, hoặc ngược lại, có ít ẩn số hơn phương trình. Bây giờ chúng ta bắt đầu giải các hệ phương trình như vậy.

Sử dụng phương pháp Gauss, bạn có thể xác định xem bất kỳ hệ thống nào là nhất quán hay không nhất quán N phương trình tuyến tính với N biến.

Phương pháp Gauss và hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm

Ví dụ tiếp theo là một hệ phương trình tuyến tính nhất quán nhưng không xác định, tức là nó có vô số nghiệm.

Sau khi thực hiện các phép biến đổi trong ma trận mở rộng của hệ thống (hoán vị các hàng, nhân và chia các hàng với một số nhất định, thêm hàng này vào hàng khác), các hàng có dạng

Nếu trong tất cả các phương trình có dạng

Các phần tử tự do bằng 0, điều này có nghĩa là hệ thống là vô hạn, nghĩa là nó có vô số nghiệm và các phương trình thuộc loại này là "thừa" và bị loại khỏi hệ thống.

Ví dụ 6

Quyết định. Chúng ta hãy soạn ma trận mở rộng của hệ thống. Sau đó, sử dụng phương trình đầu tiên, chúng ta loại bỏ biến khỏi các phương trình tiếp theo. Để thực hiện việc này, đối với các dòng thứ hai, thứ ba và thứ tư, hãy thêm dòng đầu tiên, nhân lần lượt với:

Bây giờ chúng ta hãy thêm hàng thứ hai vào hàng thứ ba và thứ tư.

Kết quả là, chúng tôi đến hệ thống

Hai phương trình cuối cùng đã trở thành phương trình có dạng. Các phương trình này thỏa mãn mọi giá trị của ẩn số và có thể bị loại bỏ.

Để thỏa mãn phương trình thứ hai, chúng ta có thể chọn các giá trị tùy ý cho và, sau đó giá trị cho sẽ được xác định một cách rõ ràng: . Từ phương trình đầu tiên, giá trị cho cũng được tìm thấy duy nhất: .

Cả hệ thống đã cho và hệ thống cuối cùng đều tương thích nhưng không xác định, và các công thức

cho tùy ý và cung cấp cho chúng tôi tất cả các giải pháp của hệ thống đã cho.

Phương pháp Gauss và hệ phương trình tuyến tính không có nghiệm

Ví dụ sau đây là một hệ phương trình tuyến tính không nhất quán, tức là nó không có nghiệm. Câu trả lời cho những vấn đề này được hình thành như sau: hệ thống không có giải pháp.

Như đã đề cập liên quan đến ví dụ đầu tiên, sau khi thực hiện các phép biến đổi trong ma trận mở rộng của hệ thống, các dòng có dạng

tương ứng với một phương trình có dạng

Nếu trong số chúng có ít nhất một phương trình có số hạng tự do khác 0 (tức là), thì hệ phương trình này không nhất quán, nghĩa là nó không có nghiệm và điều này hoàn thành nghiệm của nó.

Ví dụ 7 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss:

Quyết định. Chúng tôi soạn ma trận mở rộng của hệ thống. Sử dụng phương trình đầu tiên, chúng tôi loại trừ biến khỏi các phương trình tiếp theo. Để thực hiện việc này, hãy cộng số đầu tiên được nhân với hàng thứ hai, số nhân đầu tiên với hàng thứ ba và số nhân đầu tiên với hàng thứ tư.

Bây giờ bạn cần sử dụng phương trình thứ hai để loại trừ biến khỏi các phương trình tiếp theo. Để có được tỷ lệ nguyên của các hệ số, chúng ta hoán đổi hàng thứ hai và thứ ba của ma trận mở rộng của hệ thống.

Để loại trừ khỏi phương trình thứ ba và thứ tư, hãy thêm hàng thứ hai, nhân với, vào hàng thứ ba và hàng thứ hai, nhân với, vào hàng thứ tư.

Bây giờ, sử dụng phương trình thứ ba, chúng ta loại bỏ biến khỏi phương trình thứ tư. Để làm điều này, đến dòng thứ tư, thêm số thứ ba, nhân với.

Do đó, hệ thống đã cho tương đương với hệ thống sau:

Hệ kết quả là không nhất quán, vì phương trình cuối cùng của nó không thể được thỏa mãn bởi bất kỳ giá trị nào của ẩn số. Do đó, hệ thống này không có giải pháp.

Trong bài học này, chúng ta sẽ xem xét các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính. Trong quá trình toán học cao hơn, hệ thống phương trình tuyến tính được yêu cầu phải được giải cả dưới dạng các nhiệm vụ riêng biệt, ví dụ, "Giải hệ thống bằng cách sử dụng công thức của Cramer" và trong quá trình giải các bài toán khác. Người ta phải giải quyết các hệ phương trình tuyến tính trong hầu hết các nhánh của toán học cao hơn.

Đầu tiên, một lý thuyết nhỏ. Từ toán học "tuyến tính" có nghĩa là gì trong trường hợp này? Điều này có nghĩa là trong các phương trình của hệ tất cả các các biến được bao gồm ở mức độ đầu tiên: không có những thứ ưa thích như vv, từ đó chỉ những người tham gia Olympic toán học mới được vui mừng.

Trong toán học cao hơn, không chỉ các chữ cái quen thuộc từ thời thơ ấu được sử dụng để chỉ định các biến.
Một tùy chọn khá phổ biến là các biến có chỉ số:.
Hoặc các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái Latinh, nhỏ và lớn:
Không quá hiếm để tìm thấy các chữ cái Hy Lạp: - được nhiều người biết đến là "alpha, beta, gamma". Và cũng là một tập hợp với các chỉ số, chẳng hạn, với chữ cái "mu":

Việc sử dụng một hoặc một bộ chữ cái khác phụ thuộc vào nhánh của toán học cao hơn, trong đó chúng ta phải đối mặt với một hệ phương trình tuyến tính. Vì vậy, ví dụ, trong các hệ phương trình tuyến tính gặp phải khi giải tích phân, phương trình vi phân, theo truyền thống thường sử dụng ký hiệu

Nhưng cho dù các biến được chỉ định như thế nào thì các nguyên tắc, phương pháp và phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính cũng không thay đổi so với điều này. Vì vậy, nếu bạn gặp một cái gì đó khủng khiếp như, đừng vội đóng sách lại vì sợ hãi, thay vào đó bạn có thể vẽ mặt trời, thay vào đó - một con chim, và thay vào đó - một khuôn mặt (của một giáo viên). Và, kỳ lạ thay, một hệ phương trình tuyến tính với các ký hiệu này cũng có thể được giải.

Có điều tôi linh cảm bài viết sẽ khá dài nên mục lục nhỏ. Vì vậy, "cuộc phỏng vấn" tuần tự sẽ như sau:

- Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thay thế (“phương pháp trường học”);
- Giải hệ bằng phương pháp cộng (trừ) từng số hạng các phương trình của hệ.;
- Giải pháp của hệ thống theo công thức của Cramer;
- Lời giải của hệ thống sử dụng ma trận nghịch đảo;
- Giải hệ thống theo phương pháp Gauss.

Mọi người đều quen thuộc với các hệ thống phương trình tuyến tính từ khóa học toán học ở trường. Trên thực tế, chúng tôi bắt đầu với sự lặp lại.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thay thế

Phương pháp này cũng có thể được gọi là "phương pháp trường học" hoặc phương pháp loại bỏ ẩn số. Nói một cách hình tượng, nó cũng có thể được gọi là "phương pháp Gauss nửa thành phẩm."

ví dụ 1

Ở đây chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn số. Lưu ý rằng các số hạng tự do (số 5 và 7) nằm ở phía bên trái của phương trình. Nói chung, không quan trọng chúng ở đâu, bên trái hay bên phải, chỉ là trong các bài toán cao hơn, chúng thường được đặt theo cách đó. Và một bản ghi như vậy sẽ không gây nhầm lẫn, nếu cần, hệ thống luôn có thể được ghi "như bình thường":. Đừng quên rằng khi chuyển một thuật ngữ từ bộ phận này sang bộ phận khác, bạn cần thay đổi dấu hiệu của nó.

Nó có nghĩa là gì để giải quyết một hệ thống phương trình tuyến tính? Giải một hệ phương trình có nghĩa là tìm tập hợp các nghiệm của nó. Giải pháp của hệ thống là một tập hợp các giá trị của tất cả các biến có trong nó, biến MỌI phương trình của hệ thống thành một đẳng thức thực sự. Ngoài ra, hệ thống có thể được không tương thích (không có giải pháp)Đừng ngại, đây là định nghĩa chung =) Chúng ta sẽ chỉ có một giá trị của "x" và một giá trị của "y", thỏa mãn mỗi phương trình với-we.

Có một phương pháp đồ họa để giải hệ thống, bạn có thể tham khảo trong bài học. Các bài toán đơn giản nhất với một đường thẳng. Ở đó tôi đã nói về cảm giác hình học hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số. Nhưng bây giờ trong sân là kỷ nguyên của đại số, và các con số, các hành động-hành động.

Chúng tôi quyết định: từ phương trình đầu tiên chúng ta biểu thị:
Chúng tôi thay thế biểu thức kết quả vào phương trình thứ hai:

Chúng tôi mở dấu ngoặc, đưa ra các điều khoản tương tự và tìm giá trị:

Tiếp theo, chúng tôi nhớ lại những gì họ đã nhảy từ:
Chúng tôi đã biết giá trị, vẫn phải tìm:

Trả lời:

Sau khi BẤT KỲ hệ phương trình nào đã được giải theo BẤT KỲ cách nào, tôi thực sự khuyên bạn nên kiểm tra (bằng miệng, trên giấy nháp hoặc máy tính). May mắn thay, điều này được thực hiện nhanh chóng và dễ dàng.

1) Thay câu trả lời tìm được vào phương trình đầu tiên:

- đẳng thức đúng thu được.

2) Chúng tôi thay thế câu trả lời tìm được trong phương trình thứ hai:

- đẳng thức đúng thu được.

Hay nói một cách đơn giản hơn, "mọi thứ đều đến với nhau"

Phương pháp giải được xem xét không phải là duy nhất; từ phương trình đầu tiên, người ta có thể biểu diễn, nhưng không phải.
Bạn có thể ngược lại - diễn đạt điều gì đó từ phương trình thứ hai và thay thế nó vào phương trình đầu tiên. Nhân tiện, lưu ý rằng bất lợi nhất trong bốn cách là diễn đạt từ phương trình thứ hai:

Phân số thu được, nhưng tại sao nó là? Có một giải pháp hợp lý hơn.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, phân số vẫn không thể thiếu. Về vấn đề này, tôi thu hút sự chú ý của bạn đến CÁCH tôi viết biểu thức. Không phải như thế này: và không có nghĩa là như thế này: .

Nếu trong toán học cao hơn, bạn đang xử lý các số phân số, thì hãy cố gắng thực hiện tất cả các phép tính trong các phân số không chính xác thông thường.

Chính xác, không hoặc!

Dấu phẩy chỉ có thể được sử dụng thỉnh thoảng, đặc biệt nếu - đây là câu trả lời cuối cùng cho một số vấn đề và không cần thực hiện thêm hành động nào với số này.

Nhiều độc giả có lẽ đã nghĩ “tại sao lại giải thích cặn kẽ như vậy, đối với một lớp chỉnh lý, và mọi thứ đều rõ ràng”. Không có gì thuộc về loại này, nó có vẻ là một ví dụ trường học đơn giản như vậy, nhưng có bao nhiêu kết luận RẤT quan trọng! Đây là một số khác:

Bất kỳ nhiệm vụ nào cũng nên cố gắng hoàn thành một cách hợp lý nhất.. Nếu chỉ vì nó tiết kiệm thời gian và dây thần kinh, và cũng làm giảm khả năng mắc lỗi.

Nếu trong một nhiệm vụ ở môn toán cao hơn, bạn bắt gặp một hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số, thì bạn luôn có thể sử dụng phương pháp thay thế (trừ khi nó được chỉ ra rằng hệ thống cần được giải bằng một phương pháp khác) ".
Hơn nữa, trong một số trường hợp, phương pháp thay thế được khuyến khích sử dụng với số lượng biến lớn hơn.

Ví dụ 2

Giải hệ phương trình tuyến tính có ba ẩn số

Một hệ phương trình tương tự thường nảy sinh khi sử dụng phương pháp gọi là hệ số bất định, khi chúng ta tìm tích phân của một hàm phân số hữu tỉ. Hệ thống được đề cập đã được tôi lấy từ đó.

Khi tìm tích phân - mục tiêu Nhanh tìm giá trị của các hệ số và không phức tạp với các công thức của Cramer, phương pháp ma trận nghịch đảo, v.v. Vì vậy, trong trường hợp này, phương pháp thay thế là phù hợp.

Khi đưa ra bất kỳ hệ phương trình nào, trước hết chúng ta muốn tìm ra, nhưng liệu có thể đơn giản hóa bằng cách nào đó NGAY LẬP TỨC không? Phân tích các phương trình của hệ, chúng ta nhận thấy rằng phương trình thứ hai của hệ có thể chia hết cho 2, ta làm như sau:

Thẩm quyền giải quyết: một ký hiệu toán học có nghĩa là "từ cái này theo sau cái này", nó thường được sử dụng trong quá trình giải quyết vấn đề.

Bây giờ chúng ta phân tích các phương trình, chúng ta cần biểu diễn một số biến thông qua phần còn lại. Chọn phương trình nào? Bạn có thể đã đoán rằng cách dễ nhất cho mục đích này là lấy phương trình đầu tiên của hệ thống:

Ở đây, không quan trọng biến nào được thể hiện, người ta cũng có thể biểu thị hoặc.

Tiếp theo, chúng tôi thay thế biểu thức cho vào phương trình thứ hai và thứ ba của hệ thống:

Mở dấu ngoặc và thêm các thuật ngữ tương tự:

Chúng tôi chia phương trình thứ ba cho 2:

Từ phương trình thứ hai, chúng ta biểu diễn và thay thế vào phương trình thứ ba:

Hầu hết mọi thứ đã sẵn sàng, từ phương trình thứ ba, chúng tôi tìm thấy:
Từ phương trình thứ hai:
Từ phương trình đầu tiên:

Kiểm tra: Thay thế các giá trị tìm được của các biến ở phía bên trái của mỗi phương trình của hệ thống:

1)
2)
3)

Các vế phải tương ứng của phương trình thu được, do đó nghiệm được tìm đúng.

Ví dụ 3

Giải hệ phương trình tuyến tính với 4 ẩn số

Đây là một ví dụ để bạn tự giải (đáp án ở cuối bài).

Lời giải của hệ thống bằng cách cộng (trừ) từng số hạng các phương trình của hệ thống

Trong quá trình giải hệ phương trình tuyến tính, người ta nên cố gắng không sử dụng “phương pháp trường học”, mà là phương pháp cộng (trừ) từng số hạng của các phương trình của hệ. Tại sao? Điều này giúp tiết kiệm thời gian và đơn giản hóa việc tính toán, tuy nhiên, bây giờ nó sẽ trở nên rõ ràng hơn.

Ví dụ 4

Giải hệ phương trình tuyến tính:

Tôi lấy hệ thống tương tự như ví dụ đầu tiên.
Phân tích hệ phương trình, ta nhận thấy rằng các hệ số của biến số đồng dạng về giá trị tuyệt đối và ngược dấu (–1 và 1). Trong trường hợp này, các phương trình có thể được thêm vào từng số hạng:

Các hành động được khoanh đỏ được thực hiện NHIỆT TÌNH.
Như bạn có thể thấy, do kết quả của phép cộng số hạng, chúng tôi đã mất biến. Điều này, trên thực tế, là bản chất của phương pháp là loại bỏ một trong các biến.

§một. Hệ phương trình tuyến tính.

xem hệ thống

được gọi là một hệ thống m phương trình tuyến tính với N không xác định.

Đây
- không xác định, - hệ số cho ẩn số,
- thành viên miễn phí của các phương trình.

Nếu tất cả các số hạng tự do của phương trình đều bằng 0, hệ thống được gọi là đồng nhất.Quyết định hệ thống được gọi là một tập hợp các số
, khi thay chúng vào hệ thay vì ẩn số, tất cả các phương trình đều biến thành đồng nhất. Hệ thống được gọi là chung nếu nó có ít nhất một giải pháp. Một hệ thống liên kết với một giải pháp duy nhất được gọi là chắc chắn. Hai hệ thống được gọi là tương đương nếu các tập nghiệm của chúng giống nhau.

Hệ thống (1) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận bằng cách sử dụng phương trình

(2)

.

§2. Tính tương thích của hệ phương trình tuyến tính.

Ta gọi ma trận mở rộng của hệ thống (1) là ma trận

Kronecker - Định lý Capelli. Hệ thống (1) nhất quán nếu và chỉ khi hạng của ma trận hệ thống bằng hạng của ma trận mở rộng:

.

§3. Giải pháp hệ thốngN phương trình tuyến tính vớiN không xác định.

Xem xét một hệ thống không đồng nhất N phương trình tuyến tính với N không xác định:

(3)

Định lý Cramer.Nếu yếu tố quyết định chính của hệ thống (3)
, thì hệ thống có một nghiệm duy nhất được xác định theo công thức:

những thứ kia.
,

ở đâu - định thức thu được từ định thức sự thay thế cột thứ đến cột thành viên tự do.

Nếu một
, và ít nhất một trong số ≠ 0 thì hệ không có nghiệm.

Nếu một
, thì hệ thống có vô số giải pháp.

Hệ thống (3) có thể được giải quyết bằng cách sử dụng ký hiệu ma trận của nó (2). Nếu hạng của ma trận NHƯNG bằng N, I E.
, sau đó là ma trận NHƯNG có một nghịch đảo
. Nhân phương trình ma trận
thành ma trận
ở bên trái, chúng tôi nhận được:

.

Đẳng thức cuối cùng thể hiện một cách giải hệ phương trình tuyến tính bằng ma trận nghịch đảo.

Ví dụ. Giải hệ phương trình bằng ma trận nghịch đảo.

Quyết định. Ma trận
không thoái hóa, bởi vì
, do đó có một ma trận nghịch đảo. Hãy tính ma trận nghịch đảo:
.

,

Bài tập. Giải hệ thống bằng phương pháp Cramer.

§4. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tùy ý.

Cho một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất có dạng (1).

Hãy giả sử rằng hệ thống nhất quán, tức là điều kiện của định lý Kronecker-Capelli được đáp ứng:
. Nếu hạng của ma trận
(đến số ẩn số) thì hệ có nghiệm duy nhất. Nếu một
, thì hệ thống có vô số giải pháp. Hãy giải thích.

Cho hạng của ma trận r(Một)= r< N. Trong chừng mực
, thì tồn tại một số thứ tự khác không r. Hãy gọi nó là trẻ vị thành niên cơ bản. Các ẩn số mà hệ số của chúng tạo thành số nhỏ cơ bản được gọi là các biến cơ bản. Các ẩn số còn lại được gọi là biến tự do. Chúng tôi sắp xếp lại các phương trình và đánh số lại các biến để biến phụ này nằm ở góc trên bên trái của ma trận hệ thống:

.

Ngày thứ nhất r các hàng là độc lập tuyến tính, phần còn lại được thể hiện thông qua chúng. Do đó, các dòng (phương trình) này có thể bị loại bỏ. Chúng tôi nhận được:

Hãy cung cấp cho các biến tự do các giá trị số tùy ý:. Chúng tôi chỉ để lại các biến cơ bản ở phía bên trái và di chuyển các biến tự do sang phía bên phải.

Có một hệ thống r phương trình tuyến tính với r chưa biết, định thức của ai khác 0. Nó có một nghiệm duy nhất.

Hệ này được gọi là nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính (1). Mặt khác: biểu thức của các biến cơ bản dưới dạng các biến tự do được gọi là giải pháp chung các hệ thống. Từ nó, bạn có thể nhận được một số vô hạn quyết định riêng tư, đưa ra các giá trị tùy ý cho các biến tự do. Một giải pháp cụ thể thu được từ một giải pháp tổng quát ở các giá trị 0 của các biến tự do được gọi là giải pháp cơ bản. Số lượng các giải pháp cơ bản khác nhau không vượt quá
. Một giải pháp cơ bản với các thành phần không âm được gọi là then chốt giải pháp hệ thống.

Ví dụ.

,r=2.

Biến
- nền tảng,
- miễn phí.

Hãy cộng các phương trình; bày tỏ
bởi vì
:

- quyết định chung.

- giải pháp riêng
.

- giải pháp cơ bản, cơ bản.

§5. Phương pháp Gauss.

Phương pháp Gauss là một phương pháp phổ biến để nghiên cứu và giải các hệ phương trình tuyến tính tùy ý. Nó bao gồm việc đưa hệ thống về dạng đường chéo (hoặc hình tam giác) bằng cách loại bỏ tuần tự các ẩn số bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản không vi phạm tính tương đương của hệ thống. Một biến được coi là bị loại trừ nếu nó chỉ được chứa trong một phương trình của hệ thống với hệ số 1.

Các phép biến đổi cơ bản hệ thống là:

Nhân một phương trình với một số khác 0;

Thêm một phương trình nhân với một số bất kỳ với một phương trình khác;

Sắp xếp lại các phương trình;

Bỏ phương trình 0 = 0.

Các phép biến đổi cơ bản không thể được thực hiện trên các phương trình, mà trên các ma trận mở rộng của các hệ tương đương.

Ví dụ.

Quyết định. Chúng tôi viết ma trận mở rộng của hệ thống:

.

Thực hiện các phép biến đổi cơ bản, chúng ta đưa phía bên trái của ma trận về dạng đơn vị: chúng ta sẽ tạo ra các đơn vị trên đường chéo chính và các số không bên ngoài nó.

Nhận xét. Nếu, khi thực hiện các phép biến đổi cơ bản, một phương trình có dạng 0 = đến(ở đâu đến0), thì hệ thống không nhất quán.

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp loại bỏ ẩn số liên tiếp có thể được chính thức hóa dưới dạng những cái bàn.

Cột bên trái của bảng chứa thông tin về các biến bị loại trừ (cơ bản). Các cột còn lại chứa hệ số của ẩn số và số hạng tự do của phương trình.

Ma trận mở rộng của hệ thống được ghi vào bảng nguồn. Tiếp theo, tiến hành thực hiện các phép biến đổi Jordan:

1. Chọn một biến , mà sẽ trở thành cơ sở. Cột tương ứng được gọi là cột khóa. Chọn một phương trình trong đó biến này sẽ vẫn còn, bị loại khỏi các phương trình khác. Hàng tương ứng của bảng được gọi là hàng khóa. Hệ số Dấu, đứng ở giao điểm của hàng khóa và cột khóa, được gọi là khóa.

2. Các phần tử của chuỗi khóa được chia cho phần tử khóa.

3. Cột khóa được điền bằng các số không.

4. Các phần tử còn lại được tính theo quy tắc hình chữ nhật. Chúng tạo nên một hình chữ nhật, tại các đỉnh đối diện của chúng có một phần tử chính và một phần tử được tính toán lại; từ tích của các phần tử trên đường chéo của hình chữ nhật với phần tử chính, tích của các phần tử của một đường chéo khác được trừ đi, hiệu số kết quả được chia cho phần tử chính.

Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm cơ bản của hệ phương trình:

Quyết định.

Giải pháp chung của hệ thống:

Giải pháp cơ bản:
.

Phép biến đổi thay thế một lần cho phép người ta đi từ cơ sở này sang cơ sở khác của hệ thống: thay vì một trong các biến chính, một trong các biến tự do được đưa vào cơ sở. Để làm điều này, một phần tử quan trọng được chọn trong cột biến tự do và các phép biến đổi được thực hiện theo thuật toán trên.

§6. Tìm giải pháp hỗ trợ

Nghiệm quy chiếu của hệ phương trình tuyến tính là nghiệm cơ bản không chứa thành phần âm.

Các giải pháp hỗ trợ của hệ thống được tìm thấy bằng phương pháp Gauss trong các điều kiện sau.

1. Trong hệ thống ban đầu, tất cả các điều khoản miễn phí phải không âm:
.

2. Yếu tố chính được chọn trong số các hệ số dương.

3. Nếu biến được đưa vào cơ sở có một số hệ số dương, thì chuỗi khóa là chuỗi trong đó tỷ số của số hạng tự do với hệ số dương là nhỏ nhất.

Nhận xét 1. Nếu, trong quá trình loại bỏ các ẩn số, một phương trình xuất hiện trong đó tất cả các hệ số đều không dương và số hạng tự do
, thì hệ thống không có giải pháp không tiêu cực.

Ghi chú 2. Nếu không có một phần tử dương nào trong các cột hệ số của các biến tự do, thì việc chuyển đổi sang một giải pháp tham chiếu khác là không thể.

Ví dụ.