አጭር፡- ባለአራት እኩልታዎች እና ከፍተኛ ቅደም ተከተል እኩልታዎች። በጥንቷ ባቢሎን ከነበረው የኳድራቲክ እኩልታዎች እና ኳድራቲክ እኩልታዎች ታሪክ

Kopyevskaya የገጠር ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት

ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት 10 መንገዶች

ኃላፊ: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

የሂሳብ መምህር

መንደር ኮፔቮ ፣ 2007

1. የኳድራቲክ እኩልታዎች እድገት ታሪክ

1.1 ኳድራቲክ እኩልታዎች በጥንቷ ባቢሎን

1.2 ዲዮፋንተስ እንዴት ባለአራት እኩልታዎችን እንዳቀናበረ እና እንደፈታ

1.3 ኳድራቲክ እኩልታዎች በህንድ

1.4 ኳድራቲክ እኩልታዎች በአል-ኮሬዝሚ

1.5 ኳድራቲክ እኩልታዎች በአውሮፓ XIII - XVII ክፍለ ዘመናት

1.6 ስለ ቪዬታ ቲዎሬም

2. ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎች

መደምደሚያ

ስነ-ጽሁፍ

1. የኳድራቲክ እኩልታዎች እድገት ታሪክ

1.1 ኳድራቲክ እኩልታዎች በጥንቷ ባቢሎን

ዘመናዊውን የአልጀብራ አጻጻፍ በመጠቀም፣ በኪዩኒፎርም ጽሑፎቻቸው ውስጥ፣ ያልተሟሉ፣ ለምሳሌ፣ የተሟላ ባለአራት እኩልታዎች አሉ ማለት እንችላለን።

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

በባቢሎን የአልጀብራ ከፍተኛ የእድገት ደረጃ ቢኖረውም የኩኒፎርም ጽሑፎች የአሉታዊ ቁጥር ጽንሰ-ሀሳብ እና ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ ዘዴዎች የላቸውም።

1.2 ዲዮፋንተስ እንዴት ባለአራት እኩልታዎችን እንዳቀናበረ እና እንደፈታ።

የዲዮፋንተስ አርቲሜቲክ የአልጀብራን ስልታዊ አቀራረብ አልያዘም ነገር ግን ስልታዊ ተከታታይ ችግሮችን ይዟል፣ ከማብራሪያ ጋር ተያይዞ እና የተለያየ ዲግሪ ያላቸው እኩልታዎችን በመገንባት ይፈታል።

ዲያፎንተስ እኩልታዎችን በሚያቀናብርበት ጊዜ መፍትሄውን ለማቃለል ያልታወቁትን በብቃት ይመርጣል።

እዚህ, ለምሳሌ, የእሱ ተግባራት አንዱ ነው.

ችግር 11.ድምራቸው 20 እና ምርታቸው 96 መሆኑን በማወቅ ሁለት ቁጥሮችን ያግኙ።

ዳዮፓንተስ ምክንያቶች እንደሚከተለው ናቸው-ከችግሩ ሁኔታዎች ውስጥ የሚፈለጉት ቁጥሮች እኩል አይደሉም, ምክንያቱም እኩል ከሆኑ, ምርታቸው ከ 96 ጋር እኩል አይሆንም, ግን ወደ 100. ስለዚህም ከመካከላቸው አንዱ የበለጠ ይሆናል. የእነሱ ድምር ግማሽ, ማለትም. 10 + x, ሌላኛው ያነሰ ነው, ማለትም. 10 ዎቹ. በመካከላቸው ያለው ልዩነት 2x .

ስለዚህ እኩልታው፡-

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

ከዚህ x = 2. ከሚያስፈልጉት ቁጥሮች አንዱ እኩል ነው 12 , ሌላ 8 . መፍትሄ x = -2የግሪክ ሂሳብ አወንታዊ ቁጥሮችን ብቻ ስለሚያውቅ ዲዮፋንተስ የለምና።

ይህንን ችግር ለመፍታት ከሚያስፈልጉት ቁጥሮች ውስጥ አንዱን እንደ የማይታወቅ በመምረጥ ከፈታን ፣ ከዚያ ወደ እኩልታው መፍትሄ እንመጣለን ።

y (20 - y) = 96፣

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ግልጽ ነው አስፈላጊ ቁጥሮች ግማሽ-ልዩነት እንደ የማይታወቅ በመምረጥ, Diophantus መፍትሔውን ቀላል ያደርገዋል; ያልተሟላ የኳድራቲክ እኩልታ (1) ለመፍታት ችግሩን ለመቀነስ ይቆጣጠራል.

1.3 ኳድራቲክ እኩልታዎች በህንድ

በአራት እኩልታዎች ላይ ያሉ ችግሮች በህንድ የሂሳብ ሊቅ እና የሥነ ፈለክ ተመራማሪ አርያብሃታ በ 499 በተዘጋጀው “Aryabhattiam” የስነ ፈለክ ጥናት ውስጥ ቀድሞውኑ ይገኛሉ። ሌላው የሕንድ ሳይንቲስት ብራህማጉፕታ (7ኛው ክፍለ ዘመን) ወደ አንድ ቀኖናዊ ቅርጽ የተቀነሰውን አራት ማዕዘናዊ እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ ህግን ገልጿል።

አሀ 2 + ለ x = c፣ a > 0. (1)

በቀመር (1) ውስጥ፣ ቅንጅቶቹ፣ በስተቀር ሀ, እንዲሁም አሉታዊ ሊሆን ይችላል. የብራህማጉፕታ አገዛዝ ከኛ ጋር አንድ ነው።

በጥንቷ ሕንድ አስቸጋሪ ችግሮችን ለመፍታት ህዝባዊ ውድድሮች የተለመዱ ነበሩ. ከህንድ ጥንታዊ መጽሐፍት አንዱ ስለ እንደዚህ ዓይነት ውድድሮች እንዲህ ይላል:- “ፀሐይ ከዋክብትን በድምቀት እንደምትወጣ፣ እንዲሁ አንድ የተማረ ሰው በሕዝብ ስብሰባዎች ላይ የሌላውን ክብር ያጎናጽፋል፣ የአልጀብራ ችግሮችንም ይፈታል” ይላል። ብዙውን ጊዜ ችግሮች በግጥም መልክ ይቀርቡ ነበር.

ይህ በ 12 ኛው ክፍለ ዘመን ታዋቂው የህንድ የሂሳብ ሊቅ ችግሮች አንዱ ነው. ብሃስካርስ።

ችግር 13.

"የዝንጀሮዎች መንጋ፥ በወይኑም ዛፍ አጠገብ አሥራ ሁለት...

ባለሥልጣናቱ ምግብ ከበሉ በኋላ ተዝናኑ። መዝለል ጀመሩ፣ ተንጠልጥለው...

አደባባይ ላይ አሉ ክፍል ስምንት ስንት ዝንጀሮዎች ነበሩ?

በጽዳት ውስጥ እየተዝናናሁ ነበር. በዚህ ጥቅል ውስጥ ንገረኝ?

የብሃስካራ መፍትሔ የሚያመለክተው የኳድራቲክ እኩልታዎች ሥሮች ሁለት ዋጋ ያላቸው መሆናቸውን እንደሚያውቅ ነው (ምስል 3)።

ከችግር 13 ጋር የሚዛመደው ቀመር፡-

( x /8) 2 + 12 = x

ብሃስካራ በሽፋን እንዲህ ሲል ጽፏል።

x 2 - 64x = -768

እና የዚህን እኩልታ በግራ በኩል ወደ ካሬ ለማጠናቀቅ, በሁለቱም በኩል ይጨምራል 32 2 ከዚያም ማግኘት:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024፣

(x - 32) 2 = 256፣

x - 32 = ± 16፣

x 1 = 16፣ x 2 = 48።

1.4 ኳድራቲክ እኩልታዎች በአል - Khorezmi

በአል-ኮሬዝሚ የአልጀብራ ጽሑፍ ውስጥ የመስመር እና የኳድራቲክ እኩልታዎች ምደባ ተሰጥቷል። ደራሲው 6 አይነት እኩልታዎችን ይቆጥራል፣ እንደሚከተለው ይገልፃል።

1) "ካሬዎች ከሥሮች ጋር እኩል ናቸው," ማለትም. መጥረቢያ 2 + c = ለ X.

2) "ካሬዎች ከቁጥሮች ጋር እኩል ናቸው", ማለትም. መጥረቢያ 2 = ሐ.

3) "ሥሮቹ ከቁጥሩ ጋር እኩል ናቸው," ማለትም. አህ = s.

4) "ካሬዎች እና ቁጥሮች ከሥሮች ጋር እኩል ናቸው," ማለትም. መጥረቢያ 2 + c = ለ X.

5) "ካሬዎች እና ስሮች ከቁጥሮች ጋር እኩል ናቸው", ማለትም. አሀ 2 + bx = ሰ.

6) "ሥሮች እና ቁጥሮች ከካሬዎች ጋር እኩል ናቸው," ማለትም. bx + c = መጥረቢያ 2 .

ለአል-ኮሬዝሚ አሉታዊ ቁጥሮችን ከመጠቀም ለቆጠበ የእያንዳንዳቸው እኩልታዎች ቃላቶች ተጨምረዋል እንጂ የሚቀነሱ አይደሉም። በዚህ ሁኔታ, አወንታዊ መፍትሄዎች የሌላቸው እኩልታዎች በግልጽ አይወሰዱም. ደራሲው የአል-ጀብር እና የአል-ሙቃባላ ቴክኒኮችን በመጠቀም እነዚህን እኩልታዎች ለመፍታት ዘዴዎችን አስቀምጧል። የእሱ ውሳኔዎች ከኛ ጋር ሙሉ በሙሉ የሚስማሙ አይደሉም። እሱ ብቻ የንግግር ዘይቤ መሆኑን መጥቀስ ሳይሆን ፣ ለምሳሌ ፣ የመጀመሪያው ዓይነት ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ሲፈታ ልብ ሊባል ይገባል።

አል-Khorezmi, ከ 17 ኛው ክፍለ ዘመን በፊት እንደ ሁሉም የሂሳብ ሊቃውንት, ዜሮ መፍትሄን ከግምት ውስጥ አያስገባም, ምናልባትም በተወሰኑ ተግባራዊ ችግሮች ውስጥ ምንም ለውጥ አያመጣም. የተሟላ ባለአራት እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ አል-ኮሬዝሚ ልዩ የቁጥር ምሳሌዎችን እና ከዚያም የጂኦሜትሪክ ማረጋገጫዎችን በመጠቀም እነሱን ለመፍታት ደንቦቹን ያወጣል።

ችግር 14."ካሬው እና ቁጥር 21 ከ 10 ሥሮች ጋር እኩል ናቸው. ሥሩን ፈልግ" (የቀመር x 2 + 21 = 10x ሥርን በማመልከት)።

የጸሐፊው መፍትሔ የሚከተለውን ይመስላል፡ የሥሩን ቁጥር በግማሽ ይካፈሉ፡ 5 ያገኛሉ፡ 5 ያባዛሉ፡ ከምርቱ 21 ይቀንሱ፡ የቀረው 4፡ ሥሩን ከ 4 ይውሰዱ፡ 2 ያገኛሉ፡ 2 ከ 5 ይቀንሱ። , 3 ያገኙታል, ይህ የሚፈለገው ሥር ይሆናል. ወይም 2 ወደ 5 ጨምር, ይህም 7 ይሰጣል, ይህ ደግሞ ሥር ነው.

የኳድራቲክ እኩልታዎችን ስልታዊ በሆነ መንገድ የሚያስቀምጥ እና የመፍትሄ ቀመሮችን የሚሰጥ የአል-ኮሬዝሚ መጽሐፍ ወደ እኛ የመጣ የመጀመሪያው መጽሐፍ ነው።

1.5 ኳድራቲክ እኩልታዎች በአውሮፓ XIII - XVII ቢቢ

በአውሮፓ ውስጥ በአል-ክዋሪዝሚ መስመር ላይ አራት ማዕዘናዊ እኩልታዎችን ለመፍታት ቀመሮች ለመጀመሪያ ጊዜ የተቀመጡት በአባከስ መጽሃፍ ሲሆን በ1202 በጣሊያን የሂሳብ ሊቅ ሊዮናርዶ ፊቦናቺ ተፃፈ። ከእስልምና አገሮችም ሆነ ከጥንቷ ግሪክ የሒሳብን ተፅእኖ የሚያንፀባርቅ ይህ ትልቅ ሥራ የሚለየው በአቀራረብ ሙሉነት እና ግልጽነት ነው። ደራሲው ራሱን ችሎ ችግሮችን ለመፍታት አንዳንድ አዳዲስ የአልጀብራ ምሳሌዎችን አዘጋጅቷል እና በአውሮፓ ውስጥ አሉታዊ ቁጥሮችን ለማስተዋወቅ የመጀመሪያው ነው። የእሱ መጽሃፍ በጣሊያን ብቻ ሳይሆን በጀርመን, በፈረንሳይ እና በሌሎች የአውሮፓ ሀገራት የአልጀብራ እውቀት እንዲስፋፋ አስተዋጽኦ አድርጓል. ከአባከስ መጽሃፍ ብዙ ችግሮች በ 16 ኛው - 17 ኛው ክፍለ ዘመን በሁሉም የአውሮፓ የመማሪያ መጽሃፎች ውስጥ ጥቅም ላይ ውለዋል. እና በከፊል XVIII.

ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት አጠቃላይ ህግ ወደ አንድ ቀኖናዊ ቅፅ ቀንሷል፡

x 2 + bx = ሐ፣

ለሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የቁጥር ምልክቶች ጥምረት ለ , ጋርበ 1544 በ M. Stiefel የተቀረጸው በአውሮፓ ውስጥ ብቻ ነው።

የኳድራቲክ እኩልታዎችን በጥቅሉ ለመፍታት የቀመርው አመጣጥ ከቪዬት ይገኛል፣ ነገር ግን ቪዬቴ አወንታዊ ሥሮችን ብቻ ያውቃል። ጣሊያናዊ የሂሳብ ሊቃውንት ታርታግሊያ, ካርዳኖ, ቦምቤሊ በ 16 ኛው ክፍለ ዘመን ከመጀመሪያዎቹ መካከል ነበሩ. ከአዎንታዊ በተጨማሪ, አሉታዊ ሥሮችም ግምት ውስጥ ይገባሉ. በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን ብቻ. ለጊራርድ ፣ ዴካርት ፣ ኒውተን እና ሌሎች የሳይንስ ሊቃውንት ሥራ ምስጋና ይግባውና ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴ ዘመናዊ ቅርፅ አለው።

1.6 ስለ ቪዬታ ቲዎሬም

በ quadratic equation እና ሥሮቹ መካከል ያለውን ግንኙነት የሚገልጽ ጽንሰ ሐሳብ፣ በቪዬታ ስም የተሰየመው፣ ለመጀመሪያ ጊዜ በ1591 በርሱ የተቀመረው እንደሚከተለው ነው፡- “ከሆነ ለ + ዲ፣ ተባዝቶ ሀ - ሀ 2 ፣ እኩል ነው። BD፣ ያ ሀእኩል ነው። ውስጥእና እኩል ዲ ».

ቪዬታን ለመረዳት, ያንን ማስታወስ አለብን ሀልክ እንደ ማንኛውም አናባቢ ፊደል ያልታወቀ ማለት ነው (የእኛ X), አናባቢዎች ውስጥ፣ ዲ- ለማይታወቅ ውህዶች። በዘመናዊው አልጀብራ ቋንቋ፣ ከላይ ያለው የቪዬታ አጻጻፍ ማለት፡ ካለ ማለት ነው።

(a + ለ ) x - x 2 = ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ። ,

x 2 - (a + ለ ) x + ሀ ለ = 0,

x 1 = a, x 2 = ለ .

ምልክቶችን በመጠቀም ከተፃፉ አጠቃላይ ቀመሮች ጋር በስሮች እና እኩልታዎች መካከል ያለውን ግንኙነት በመግለጽ Viète እኩልታዎችን በመፍታት ዘዴዎች ውስጥ ተመሳሳይነት አቋቋመ። ይሁን እንጂ የቬትና ተምሳሌትነት አሁንም ከዘመናዊው ቅርጽ በጣም የራቀ ነው. እሱ አሉታዊ ቁጥሮችን አላወቀም, እና ስለዚህ, እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ, ሁሉም ሥሮች አወንታዊ የሆኑትን ጉዳዮች ብቻ ግምት ውስጥ ያስገባ ነበር.

2. ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎች

ኳድራቲክ እኩልታዎች ግርማ ሞገስ ያለው የአልጀብራ ሕንፃ ያረፈበት መሠረት ነው። ኳድራቲክ እኩልታዎች ትሪግኖሜትሪክ ፣ ገላጭ ፣ ሎጋሪዝም ፣ ምክንያታዊ ያልሆነ እና ከዘመን ተሻጋሪ እኩልታዎችን እና እኩልነትን ለመፍታት በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ። ከትምህርት ቤት (8ኛ ክፍል) እስከ ምረቃ ድረስ ባለአራት እኩልታዎችን እንዴት እንደሚፈታ ሁላችንም እናውቃለን።

የታታርስታን ሪፐብሊክ የትምህርት እና የሳይንስ ሚኒስቴር

የማዘጋጃ ቤት የበጀት ትምህርት ተቋም

"የኡሳድ ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት

የታታርስታን ሪፐብሊክ የቪሶኮጎርስኪ ማዘጋጃ ቤት ወረዳ"

የምርምር ሥራ;

" ታሪክ ብቅ ማለትካሬ እኩልታዎች»

የተጠናቀቀው በ: Andreeva Ekaterina,

8B ክፍል ተማሪ

ሳይንሳዊ አማካሪ;

Pozharskaya Tatyana Leonidovna,

የሂሳብ መምህር

መግቢያ

አሁን ባለው ላይ ብቻ መወሰን የሚፈልግ ማነው?

ያለፈውን ሳያውቅ ፣

እሱ ፈጽሞ አይረዳውም.

ጂ.ቪ. ሊብኒዝ

እኩልታዎች በትምህርት ቤት የሒሳብ ኮርስ ውስጥ ግንባር ቀደም ቦታን ይይዛሉ፣ ነገር ግን የትኛውም የእኩልታ ዓይነቶች እንደ ኳድራቲክ እኩልታዎች ሰፊ አተገባበር አላገኙም።

በጥንቷ ባቢሎን በ2ኛው ሺህ ዓመት ዓክልበ. ሰዎች የሁለተኛ ዲግሪ ወይም የኳድራቲክ እኩልታዎችን መፍታት ችለዋል። ወደ ኳድራቲክ እኩልታዎች የሚያመሩ ችግሮች በብዙ ጥንታዊ የሒሳብ ጽሑፎች እና ጽሑፎች ላይ ተብራርተዋል። እና በአሁኑ ጊዜ፣ በአልጀብራ፣ በጂኦሜትሪ እና በፊዚክስ ውስጥ ያሉ ብዙ ችግሮች ኳድራቲክ እኩልታዎችን በመጠቀምም ተፈተዋል። እነሱን በመፍታት ሰዎች ለተለያዩ የሳይንስ እና ቴክኖሎጂ ጥያቄዎች መልስ ያገኛሉ።

ዒላማይህ ጥናት የኳድራቲክ እኩልታዎችን አመጣጥ ታሪክ ለማጥናት ነው.

ይህንን ግብ ለማሳካት የሚከተሉትን ተግባራት መፍታት አስፈላጊ ነው.

በርዕሱ ላይ ሳይንሳዊ ጽሑፎችን አጥኑ.
የኳድራቲክ እኩልታዎች መከሰት ታሪክን ይከታተሉ።

የጥናት ዓላማ፡-ኳድራቲክ እኩልታዎች.

የጥናት ርዕሰ ጉዳይ፡-የ quadratic equations ብቅ ታሪክ.

የርዕሱ አግባብነት :

ሰዎች ከጥንት ጀምሮ ኳድራቲክ እኩልታዎችን ሲፈቱ ኖረዋል። የኳድራቲክ እኩልታዎችን ታሪክ ማወቅ ፈልጌ ነበር።
ስለ ኳድራቲክ እኩልታዎች ታሪክ በትምህርት ቤት የመማሪያ መጽሐፍት ውስጥ ምንም መረጃ የለም።

የምርምር ዘዴዎች፡-

ከትምህርታዊ እና ታዋቂ የሳይንስ ሥነ-ጽሑፍ ጋር መሥራት።
ምልከታ፣ ንጽጽር፣ ትንተና።

የሥራው ሳይንሳዊ ጠቀሜታ በእኔ አስተያየት ይህ ቁሳቁስ ለሂሳብ ፍላጎት ላላቸው የትምህርት ቤት ልጆች እና ከመደበኛ ትምህርት ውጭ ለሆኑ አስተማሪዎች ትኩረት ሊሰጥ ስለሚችል ነው ።

በጥንቷ ባቢሎን ውስጥ ኳድራቲክ እኩልታዎች።

በጥንቷ ባቢሎን ውስጥ የመጀመርያው ብቻ ሳይሆን የሁለተኛ ዲግሪ እኩልታዎችን መፍታት ያስፈለገበት ምክንያት የመሬት አካባቢዎችን ከመፈለግ እና ወታደራዊ ተፈጥሮ ካለው የመሬት ቁፋሮ ሥራ ጋር የተያያዙ ችግሮችን መፍታት አስፈላጊ ነበር. የስነ ፈለክ እና የሂሳብ እድገቶች እራሱ.

x 2 - x = 14.5

ከዚህ ጊዜ ጀምሮ ከሸክላ ጽላቶች በአንዱ የተወሰደ ምሳሌ.

"የሁለት ካሬዎች ድምር ስፋት 1000 ነው. የአንደኛው ካሬ ጎን የሌላኛው ካሬ ጎን በ 10 ይቀንሳል. የካሬዎቹ ጎኖች ምንድ ናቸው?"

ይህ ወደ ኳድራቲክ እኩልታ በአዎንታዊ ስር ለመፍታት መፍትሄቸው ወደ ሚቀንስ እኩልታዎች ይመራል።

እንደ እውነቱ ከሆነ፣ በኪዩኒፎርም ጽሑፍ ውስጥ ያለው መፍትሔ ልክ እንደ ሁሉም የምስራቃዊ ችግሮች፣ የኳድራቲክ እኩልታውን ለመፍታት ለሚያስፈልጉት የሂሳብ ደረጃዎች ቀላል ዝርዝር የተገደበ ነው።

"ካሬ 10; ይህ 100 ይሰጣል; ከ 1000 100 ቀንስ; ይህ 900" ይሰጣልወዘተ

ዲዮፋንተስ እንዴት አራት ማዕዘን እኩልታዎችን እንዳቀናበረ እና እንደፈታ

ዲዮፋንተስ በሳይንስ ታሪክ ውስጥ በጣም አስቸጋሪ ከሆኑት ምስጢሮች አንዱን ያቀርባል. እሱ ከጥንታዊ የግሪክ የሂሳብ ሊቃውንት አንዱ ነበር፣ የአሌክሳንደሪያው ዲዮፋንተስ፣ ስራዎቹ ለአልጀብራ እና ለቁጥር ፅንሰ-ሀሳብ ትልቅ ጠቀሜታ ያላቸው ናቸው። ዲዮፋንተስ የተወለደበት ዓመትም ሆነ የሞተበት ቀን እስካሁን አልተገለጸም። ዲዮፋንተስ ሊኖር የሚችልበት ጊዜ ግማሽ ሺህ ዓመት ነው! በ 3 ኛው ክፍለ ዘመን ከክርስቶስ ልደት በኋላ እንደኖረ ይታመናል. ነገር ግን የዲዮፋንተስ የመኖሪያ ቦታ በደንብ ይታወቃል - ይህ ታዋቂው አሌክሳንድሪያ ነው, የሄለናዊው ዓለም ሳይንሳዊ አስተሳሰብ ማዕከል.

ከዲዮፋንተስ ሥራዎች ውስጥ በጣም አስፈላጊው አርቲሜቲክ ነው ፣ ከእነዚህም ውስጥ 13 መጻሕፍት እስከ ዛሬ በሕይወት የቆዩት 6 መጻሕፍት ብቻ ናቸው።

ዲያፎንተስ እኩልታዎችን በሚያቀናብርበት ጊዜ መፍትሄውን ለማቃለል ያልታወቁትን በብቃት ይመርጣል።

እዚህ, ለምሳሌ, የእሱ ተግባራት አንዱ ነው.

ተግባር፡- ድምራቸው 20 እና ምርታቸው 96 መሆኑን በማወቅ ሁለት ቁጥሮችን ያግኙ።

ስለዚህ እኩልታው፡-

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

y (20 - y) = 96፣

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ኳድራቲክ እኩልታዎች ከዲዮፋንተስ የሂሳብ ስሌት፡-

12x 2 +x = 1
630x 2 +73x=6።

በጥንት ጊዜ እንኳን ህንድ በሥነ ፈለክ ፣ በሰዋስው እና በሌሎች ሳይንሶች መስክ በእውቀት ታዋቂ ነበረች።

የህንድ ሳይንቲስቶች በመስክ ላይ ከፍተኛ ስኬት አግኝተዋል የሂሳብ ሊቃውንት. እነሱ ከግሪኮች የበለጠ በሄዱበት እድገት ውስጥ የሂሳብ እና አልጀብራ መስራቾች ነበሩ።

በ quadratic equations ላይ ችግሮች ቀድሞውኑ በ 499 ውስጥ በተጠናቀረ “Aryabhattiam” የስነ ፈለክ ጥናት ውስጥ ይገኛሉ። ህንዳዊ የሂሳብ ሊቅ እና የስነ ፈለክ ተመራማሪ አርያባሃታ። ሌላው የህንድ ሳይንቲስት ብራህማጉፕታ (VII ክፍለ ዘመን) ወደ አንድ ቀኖናዊ ቅፅ የተቀነሱትን አራት ማዕዘናት እኩልታዎች ለመፍታት አጠቃላይ ህግን ዘርዝረዋል፡ ax 2 + bx = c፣ a> 0።

የብራህማጉፕታ አገዛዝ ከኛ ጋር አንድ ነው።
በጥንቷ ህንድ ህዝባዊ ውድድር የተለመደ ነበር።
አስቸጋሪ ችግሮችን ለመፍታት. ከጥንታዊ የህንድ መጽሐፍት አንዱ ስለ እንደዚህ ዓይነት ውድድሮች እንዲህ ይላል- "ፀሀይ ከዋክብትን በደመቀ ሁኔታ እንደምትወጣ ሁሉ የተማረ ሰውም በሕዝብ ስብሰባዎች ላይ የሌላውን ክብር በመግለጥ የአልጀብራ ችግሮችን በመቅረፍ እና በመፍታት ላይ ያተኩራል።"

ብዙውን ጊዜ ችግሮች በግጥም መልክ ይቀርቡ ነበር.
ይህ በ 12 ኛው ክፍለ ዘመን ታዋቂው የህንድ የሂሳብ ሊቅ ችግሮች አንዱ ነው. ባስካርስ፡-

« የዝንጀሮ መንጋ፣

ልቤን ረክቼ በልቼ ተዝናናሁ።

ከነሱ ውስጥ ክፍል ስምንት አራት ማዕዘን አላቸው.

በጽዳት ውስጥ እየተዝናናሁ ነበር.

አሥራ ሁለትም በወይኑ...

መዝለል ጀመሩ፣ ተንጠልጥለው...

ስንት ዝንጀሮዎች ነበሩ?

በዚህ ጥቅል ውስጥ ንገረኝ?

የብሃስካራ መፍትሄ የሚያመለክተው የኳድራቲክ እኩልታዎች ሥሮች ሁለት ዋጋ ያላቸው መሆናቸውን እንደሚያውቅ ነው።

ከችግሩ ጋር የሚዛመደው እኩልታ

ብሃስካራ በ x 2 - 64x = -768 ይጽፋል እና የዚህን እኩልታ በግራ በኩል ወደ ካሬ ለማጠናቀቅ 32 2 በሁለቱም በኩል ይጨምሩ እና ከዚያ ያገኛሉ፡-

x 2 -64x+32 2 = -768+1024፣

x 1 =16፣ x 2 =48።

ኳድራቲክ እኩልታዎች በቻይና (1ኛ ሺህ ዓመት ዓክልበ.)

ወደ እኛ የመጡት የመጀመሪያዎቹ የቻይንኛ የጽሑፍ ሐውልቶች በሻንግ ዘመን (XVIII-XII ክፍለ ዘመን ዓክልበ.) ናቸው። እና ቀድሞውኑ በ 14 ኛው ክፍለ ዘመን የበለፀጉ አጥንቶች ላይ። ዓ.ዓ BC፣ በሄናን የተገኘ፣ የቁጥሮች ስያሜዎች ተጠብቀዋል። ነገር ግን ትክክለኛው የሳይንስ እድገት የተጀመረው ከ12ኛው ክፍለ ዘመን በኋላ ነው። ዓ.ዓ ሠ. ቻይና በዝሁ ዘላኖች ተገዛች። በነዚህ አመታት ውስጥ የቻይና ሒሳብ እና አስትሮኖሚ ብቅ ብለው አስደናቂ ከፍታ ላይ ደርሰዋል። የመጀመሪያዎቹ ትክክለኛ የቀን መቁጠሪያዎች እና የሂሳብ መማሪያዎች ታዩ። እንደ አለመታደል ሆኖ፣ በንጉሠ ነገሥት ኪን ሺ ሁአንግ (ሺ ሁአንግዲ) የተደረገው “የመጻሕፍት ማጥፋት” የመጀመሪያዎቹ መጻሕፍት እንዲደርሱን አልፈቀደም ነገር ግን ለቀጣይ ሥራዎች መሠረት ሆነው ሳይሆን አይቀርም።

“ሒሳብ በዘጠኙ መጽሐፍት” በጥንታዊ ቻይና ውስጥ ካሉ በርካታ ክላሲኮች የተገኘ የመጀመሪያው የሂሳብ ሥራ ነው፣ በጥንቷ ቻይና በጥንቷ ሃን ሥርወ መንግሥት (206 ዓክልበ - 7 ዓ.ም.) የጥንቷ ቻይና አስደናቂ ሐውልት ነው። ይህ ድርሰት ኳድራቲክ እኩልታዎችን ጨምሮ የተለያዩ እና የበለጸገ የሂሳብ ቁሳቁሶችን ይዟል።

የቻይንኛ ፈተና፡- "ከ 10 ሴንቲ ሜትር ጎን ያለው የውኃ ማጠራቀሚያ አለ. በመሃል ላይ ከውኃው በላይ በ 1 ሴንቲ ሜትር የሚወጣ ሸምበቆ አለ. ሸምበቆውን ወደ ባሕሩ ዳርቻ ከጎትቱት ብቻ ይነካዋል። ጥያቄው የውሃው ጥልቀት ምን ያህል ነው እና የሸምበቆቹ ርዝመት ምን ያህል ነው?

(x+1) 2 = x 2 +5 2፣

x 2 +2x+1= x 2 +25፣

መልስ፡ 12chi; ምሽት 13 ሰዓት

ኳድራቲክ እኩልታዎች በአል-ክዋሪዝሚ

"ቀላል እና ውስብስብ የሂሳብ ጥያቄዎችን የያዘ በአልጀብራ እና አልሙካባላ ስሌት ላይ አጭር መጽሃፍ አዘጋጅቻለሁ ምክንያቱም ይህ ለሰዎች አስፈላጊ ነው." አል-ኮሬዝሚ መሐመድ ቤን ሙሳ።

አል-ኮሬዝሚ (ኡዝቤኪስታን) በይበልጥ የሚታወቀው “የማጠናቀቂያ እና የተቃውሞ መፅሃፍ” (“አል-ኪታብ አል-ሙክታሳር ፊ ሂሳብ አል-ጃብር ዋ-ል-ሙካባላ”) ከሚለው ስም ሲሆን “አልጀብራ” የሚለው ቃል በተገኘበት ስም ነው። የተገኘ። ይህ ጽሑፍ ወደ እኛ የመጣ የመጀመሪያው መጽሐፍ ነው ፣ እሱም የኳድራቲክ እኩልታዎችን ስልታዊ በሆነ መንገድ ያስቀምጣል እና ለመፍትሄዎቻቸው ቀመሮችን ይሰጣል።

በንድፈ ሃሳቡ ክፍል አል-ኮሬዝሚ የ 1 ኛ እና 2 ኛ ዲግሪ እኩልታዎችን ምደባ ሰጥቷል እና ስድስቱን ዓይነቶችን ይለያል ።

1) "ካሬዎች ከሥሮች ጋር እኩል ናቸው," ማለትም ax 2 = bx. (ለምሳሌ:)

2) "ካሬዎች ከቁጥሮች ጋር እኩል ናቸው" ማለትም ax 2 = s. (ምሳሌ:)

3) "ሥሮቹ ከቁጥሩ ጋር እኩል ናቸው," ማለትም ax = c. (ለምሳሌ:)

4) "ካሬዎች እና ቁጥሮች ከሥሮች ጋር እኩል ናቸው," ማለትም ax 2 + c = bx. (ለምሳሌ:)

5) "ካሬዎች እና ስሮች ከቁጥሩ ጋር እኩል ናቸው," ማለትም ax 2 + bx = c.

6) "ሥሮች እና ቁጥሮች ከካሬዎች ጋር እኩል ናቸው," ማለትም bx + c == ax 2. (ለምሳሌ:)

ለአል-ክዋሪዝሚ አሉታዊ ቁጥሮችን ከመጠቀም ለቆጠበ፣ የእያንዳንዳቸው እኩልታዎች ቃላቶች ተጨምረዋል እንጂ የሚቀነሱ አይደሉም። በዚህ ሁኔታ, አወንታዊ መፍትሄዎች የሌላቸው እኩልታዎች በግልጽ አይወሰዱም. ደራሲው አል-ጀብር እና አል-ሙከባል የተባሉትን ቴክኒኮች በመጠቀም እነዚህን እኩልታዎች ለመፍታት ዘዴዎችን አስቀምጧል። በእርግጥ የእሱ ውሳኔ ከኛ ጋር የሚስማማ አይደለም። እሱ ብቻ የአጻጻፍ ዘይቤ መሆኑን መጥቀስ አይደለም ፣ ለምሳሌ ፣ የመጀመሪያው ዓይነት ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ሲፈታ ፣ አል-ኮሬዝሚ ፣ ልክ እንደ ሁሉም የሂሳብ ሊቃውንት እስከ 17 ኛው ክፍለ ዘመን ድረስ ፣ የዜሮ መፍትሄን ከግምት ውስጥ አያስገባም ፣ ምናልባት በተለየ ተግባራዊ ተግባር ውስጥ ምንም ለውጥ አያመጣም. የተሟላ ባለአራት እኩልታዎችን ሲፈታ፣አል-ክዋሪዝሚ ልዩ የቁጥር ምሳሌዎችን እና ከዚያም የጂኦሜትሪክ ማረጋገጫዎቻቸውን በመጠቀም እነሱን ለመፍታት ህጎቹን ያስቀምጣል።

አንድ ምሳሌ እንስጥ።

"ካሬው እና ቁጥር 21 ከ 10 ሥሮች ጋር እኩል ናቸው. ሥሩን ፈልግ"(የቀመር x 2 + 21 = 10x ሥርን በማመልከት)።

የጸሐፊው መፍትሔም ይህን ይመስላል፡- “የሥሩን ቁጥር በግማሽ ይከፋፍሉት፣ 5 ያገኛሉ፣ 5 በራሱ ይባዛሉ፣ ከምርቱ 21 ይቀንስ፣ የቀረው 4 ነው። ሥሩን ከ4 ይውሰዱ፣ 2 ያገኛሉ። 5, 3 ያገኛሉ, ይህ የሚፈለገው ሥር ይሆናል. ወይም 2 ለ 5 ጨምረው 7 ይሰጣል ይህ ደግሞ ሥር ነው።

የአል-ክዋሪዝሚ ታዋቂ እኩልታ፡- "አንድ ካሬ እና አስር ሥሮች 39 እኩል ናቸው." x 2 + 10x= 39 (IX ክፍለ ዘመን)። በድርሰቱ ውስጥ እንዲህ ሲል ጽፏል: - “ደንቡ ይህ ነው-የሥሮቹን ቁጥር በእጥፍ ፣ በዚህ ችግር ውስጥ አምስት ያገኛሉ። ወደ ሠላሳ ዘጠኝ ጨምረው ስልሳ አራት ይሆናል። የዚህን ሥር ውሰድ, ስምንት ይሆናል, እና ከዚህ ውስጥ ግማሹን ሥሮች ቀንስ, ማለትም. አምስት፣ ሦስቱን ይተዋል፤ ይህ ትፈልጉት የነበረው የአደባባዩ ሥር ይሆናል።

በ 12 ኛው-17 ኛው ክፍለ ዘመን በአውሮፓ ውስጥ አራት እኩልታዎች.

በአውሮፓ ውስጥ የአል-ክዋሪዝሚ ሞዴልን በመከተል ባለአራት እኩልታዎችን ለመፍታት ቅጾች ለመጀመሪያ ጊዜ በ 1202 በተፃፈው “የአባከስ መጽሐፍ” ውስጥ ተቀምጠዋል። ጣሊያናዊው የሂሳብ ሊቅ ሊዮናርድ ፊቦናቺ። ደራሲው ራሱን ችሎ ችግሮችን ለመፍታት አንዳንድ አዳዲስ የአልጀብራ ምሳሌዎችን አዘጋጅቷል እና በአውሮፓ ውስጥ አሉታዊ ቁጥሮችን ለማስተዋወቅ የመጀመሪያው ነው።

ይህ መጽሐፍ በጣሊያን ብቻ ሳይሆን በጀርመን፣ በፈረንሳይ እና በሌሎች የአውሮፓ ሀገራት የአልጀብራ እውቀት እንዲስፋፋ አስተዋጽኦ አድርጓል። በ14ኛው-17ኛው ክፍለ ዘመን በነበሩት የአውሮፓውያን የመማሪያ መጽሃፍት ውስጥ ብዙ ችግሮች ከዚህ መጽሐፍ ውስጥ ጥቅም ላይ ውለው ነበር። ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት አጠቃላይ ህግ ወደ ቅጽ x 2 + bх = с የተቀነሰው ለሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የምልክት እና የቁጥር ቅንጅቶች b, c በአውሮፓ በ 1544 በ M. Stiefel.

የኳድራቲክ እኩልታዎችን በጥቅሉ ለመፍታት የቀመርው አመጣጥ ከቪዬት ይገኛል፣ ነገር ግን ቪዬቴ አወንታዊ ሥሮችን ብቻ ያውቃል። ጣሊያናዊ የሂሳብ ሊቃውንት ታርታግሊያ, ካርዳኖ, ቦምቤሊ በ 16 ኛው ክፍለ ዘመን ከመጀመሪያዎቹ መካከል ነበሩ. ከአዎንታዊ በተጨማሪ, አሉታዊ ሥሮችም ግምት ውስጥ ይገባሉ. በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን ብቻ. ለጊራርድ ፣ ዴካርት ፣ ኒውተን እና ሌሎች የሳይንስ ሊቃውንት ስራዎች ምስጋና ይግባውና ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴ ዘመናዊ ቅርፅ ይይዛል።

መደምደሚያ.

ኳድራቲክ እኩልታዎች ግርማ ሞገስ ያለው የአልጀብራ ሕንፃ ያረፈበት መሠረት ነው። የተለያዩ እኩልታዎች፣ ኳድራቲክ እና የከፍተኛ ዲግሪ እኩልታዎች፣ በሩቅ ቅድመ አያቶቻችን ተፈትተዋል። እነዚህ እኩልታዎች በጣም በተለያየ እና ሩቅ በሆኑ አገሮች ተፈትተዋል. የእኩልታ አስፈላጊነት ትልቅ ነበር። እኩልታዎቹ በግንባታ, በወታደራዊ ጉዳዮች እና በዕለት ተዕለት ሁኔታዎች ውስጥ ጥቅም ላይ ውለዋል.

በአሁኑ ጊዜ ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት ችሎታ ለሁሉም ሰው አስፈላጊ ነው. ኳድራቲክ እኩልታዎችን በፍጥነት፣በምክንያታዊ እና በትክክል የመፍታት ችሎታ ብዙ ርዕሶችን በሂሳብ ኮርስ ማጠናቀቅን ቀላል ያደርገዋል። ኳድራቲክ እኩልታዎች የሚፈቱት በሂሳብ ትምህርቶች ብቻ ሳይሆን በፊዚክስ፣ ኬሚስትሪ እና የኮምፒውተር ሳይንስ ትምህርቶችም ጭምር ነው። በገሃዱ ዓለም ውስጥ ያሉ አብዛኞቹ ተግባራዊ ችግሮችም ወደ ኳድራቲክ እኩልታዎች መፍታት ይወርዳሉ።

ስነ-ጽሁፍ

Bashmakova I.G. Diophantus እና Diophantine እኩልታዎች. ኤም: ናውካ, 1972.
Berezkina E.I. የጥንቷ ቻይና ሒሳብ - M.: Nauka, 1980
ፒቹሪን ኤል.ኤፍ. ከአልጀብራ የመማሪያ መጽሐፍ ገጾች በስተጀርባ፡ መጽሐፍ። ለተማሪዎች

7-9 ክፍሎች የትምህርት ቤት አማካኝ - ኤም.: ትምህርት, 1990

Glazer G.I በትምህርት ቤት VII - VIII ክፍሎች የሂሳብ ታሪክ. ለአስተማሪዎች መመሪያ. - ኤም.: ትምህርት, 1982.

በጥንቷ ባቢሎን ውስጥ ኳድራቲክ እኩልታዎች የመጀመርያው ብቻ ሳይሆን የሁለተኛ ዲግሪ እኩልታዎችን የመፍታት አስፈላጊነት በጥንት ጊዜም ቢሆን የመሬት ቦታዎችን ከመፈለግ ጋር የተያያዙ ችግሮችን መፍታት እና በኤ. ወታደራዊ ተፈጥሮ, እንዲሁም ከሥነ ፈለክ እና ከሂሳብ እድገት ጋር. ባቢሎናውያን ከእምነታችን 2000 ዓመታት በፊት ኳድራቲክ እኩልታዎችን መፍታት ችለዋል። ዘመናዊውን የአልጀብራ አጻጻፍ በመጠቀም፣ በኩኒፎርም ጽሑፎቻቸው ውስጥ፣ ካልተሟሉ በተጨማሪ፣ ለምሳሌ፣ ሙሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች አሉ ማለት እንችላለን፡ እነዚህን እኩልታዎች የመፍታት ደንብ፣ በባቢሎናዊ ጽሑፎች ውስጥ የተቀመጠው፣ ከዘመናዊው ጋር ይጣጣማል። ነገር ግን ባቢሎናውያን እንዴት እዚያ እንደደረሱ አይታወቅም. እስካሁን የተገኙት ሁሉም ማለት ይቻላል የኩኒፎርም ፅሁፎች በምግብ አሰራር መልክ የተቀመጡ መፍትሄዎችን ብቻ ነው የሚያቀርቡት ፣እንዴት እንደተገኙ ምንም የሚጠቁም ነገር የለም። በባቢሎን ውስጥ የአልጀብራ ከፍተኛ የእድገት ደረጃ ቢኖረውም, የኩኒፎርም ጽሑፎች የአሉታዊ ቁጥር ጽንሰ-ሀሳብ እና የኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ ዘዴዎች የላቸውም.

ዳዮፓንተስ አራት ማዕዘኖችን እንዴት እንዳቀናበረ እና እንደፈታ “ድምሩ 20 እና ምርታቸው 96 መሆኑን በማወቅ ሁለት ቁጥሮችን ፈልጉ። እኩል ከሆኑ ምርታቸው 96 ሳይሆን 100. ስለዚህም ከመካከላቸው አንዱ ከድምሩ ከግማሽ በላይ ይሆናል ማለትም ነው። 10+X, ሌላኛው ያነሰ ነው, ማለትም. 10-X. በመካከላቸው ያለው ልዩነት 2X ነው ስለዚህም X=2. ከሚያስፈልጉት ቁጥሮች አንዱ 12 ነው, ሌላኛው 8 ነው. የግሪክ ሒሳብ አወንታዊ ቁጥሮችን ብቻ ስለሚያውቅ መፍትሔው X = -2 ለዲዮፎንተስ የለም. እኩልነት፡ ወይም፡

በህንድ ኳድራቲክ እኩልታዎች በ499 በህንዳዊው የሂሳብ ሊቅ እና የስነ ፈለክ ተመራማሪ አርያብሃታ በተዘጋጀው “አርያብሃቲም” በተባለው የስነ ፈለክ ጥናት ውስጥ በአራት እኩልታዎች ላይ ያሉ ችግሮችም ይገኛሉ። ሌላው የህንድ ሳይንቲስት ብራህማጉፕታ ወደ አንድ ቀኖናዊ ቅፅ የተቀነሰውን ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ ህግን ዘርዝረዋል፡ ax ² +bx=c, a>0 በ12ኛው ክፍለ ዘመን ታዋቂው የህንድ የሒሳብ ሊቅ ችግሮች መካከል አንዱ ብሃስካራ የብሃስካራ የዝንጀሮ መንጋ። በልባቸው ረክተው በልተው ተዝናኑ። በአደባባዩ ውስጥ ክፍል ስምንት በፅዳት ውስጥ እየተዝናናሁ ነበር. በወይኑ ግንድ ላይ አሥራ ሁለት... ተንጠልጥለው መዝለል ጀመሩ... ስንት ዝንጀሮዎች ነበሩ፣ ንገረኝ፣ በዚህ መንጋ ውስጥ? ከችግሩ ጋር የሚዛመደው እኩልታ፡ ባካራ በቅጹ ስር ይጽፋል፡ በግራ በኩል ወደ ካሬ ተጠናቀቀ፣ 0 የ12ኛው ክፍለ ዘመን ህንዳዊ የሒሳብ ሊቅ አንዱ ችግር ባሃስካራ የዝንጀሮ መንጋ፣ ልባቸውን ረክተው በልተው ተዝናኑ። በአደባባዩ ውስጥ ክፍል ስምንት በፅዳት ውስጥ እየተዝናናሁ ነበር. በወይኑ ግንድ ላይ አሥራ ሁለት... ተንጠልጥለው መዝለል ጀመሩ... ስንት ዝንጀሮዎች ነበሩ፣ ንገረኝ፣ በዚህ መንጋ ውስጥ? ከችግሩ ጋር የሚዛመደው እኩልታ፡ ባካራ በቅጹ ስር ይጽፋል፡ በግራ በኩል ወደ ካሬ ተጠናቋል፣">

በጥንቷ እስያ የኳድራቲክ እኩልታዎች የመካከለኛው እስያ ሳይንቲስት አል-ክዋሪዝሚ ይህንን እኩልታ የፈታው በዚህ መንገድ ነው፡- “ህጉ ነው፡ የስርወ ቁጥር እጥፍ፣ x = 2x 5፣ በዚህ ችግር ውስጥ አምስት ታገኛላችሁ፣ 5 በዚህ እኩል ተባዙ። ለእርሱም ሃያ አምስት ይሆናል፣ 5 · 5=25 ይህን በሠላሳ ዘጠኝ ላይ ጨምሩበት፣ ስድሳ አራት ይሆናሉ፣ 64 ሥሩ ከዚህ ውሰድ፣ ስምንት ይሆናል፣ 8 ከዚህ ግማሹን ቀንስ። ስሮች፣ ማለትም አምስት፣ 8-5 ይቀራሉ 3 ይህ እርስዎ እያየሁት የነበረው የካሬው ሥር ይሆናል። ስለ ሁለተኛው ሥር ምን ማለት ይቻላል? አሉታዊ ቁጥሮች ስለማይታወቁ ሁለተኛው ሥር አልተገኘም. x x = 39

አራት እኩልታዎች በአውሮፓ XIII-XVII ክፍለ ዘመናት. ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት አጠቃላይ ህግ ወደ አንድ ቀኖናዊ ቅፅ x2+inx+c=0 የተቀነሰው በአውሮፓ በ1544 ብቻ በስቲፌል ነበር።በአውሮፓ ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ቀመሮች ለመጀመሪያ ጊዜ የተገለጹት በ1202 ጣሊያናዊው የሂሳብ ሊቅ ሊዮናርድ ፊቦናቺ ነው። የኳድራቲክ እኩልታዎችን በጥቅሉ ለመፍታት የቀመርው አመጣጥ ከቪዬት ይገኛል፣ ነገር ግን ቪዬቴ አወንታዊ ሥሮችን ብቻ ያውቃል። በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን ብቻ. ለዴካርት ፣ ለኒውተን እና ለሌሎች የሳይንስ ሊቃውንት ስራዎች ምስጋና ይግባውና ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴ ዘመናዊ ቅርፅ አለው ።

ስለ ቪዬታ ቲዎሬም በኳድራቲክ እኩልታ እና በስሩ መካከል ያለውን ግንኙነት የሚገልጽ ቲዎሬም ቪዬታ የሚለውን ስም የያዘ ሲሆን ለመጀመሪያ ጊዜ በ1591 በእርሱ ተቀርጾ ነበር፡ “B + D በ A-A ቢባዛ ከቢዲ ጋር እኩል ነው። ከዚያ A ከ B ጋር እኩል ነው እና መ እኩል ነው። ቪዬታን ለመረዳት ሀ፣ ልክ እንደ ማንኛውም አናባቢ ፊደል፣ ያልታወቀ (የእኛ x) ማለት እንደሆነ፣ አናባቢዎች B፣ D ደግሞ ለማይታወቅ ድምጾች መሆናቸውን ማስታወስ ይኖርበታል። በዘመናዊው አልጀብራ ቋንቋ፣ ከላይ ያለው የቪዬታ አጻጻፍ ማለት፡- የተሰጠው ኳድራቲክ እኩልታ x 2 +px+q=0 ትክክለኛ ሥር ካለው፣ ድምራቸው ከ -p ጋር እኩል ነው፣ እና ምርቱ q ጋር እኩል ነው፣ ማለትም፣ x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (ከላይ ያለው የኳድራቲክ እኩልታ ስሮች ድምር በተቃራኒው ምልክት ከተወሰደው ሁለተኛ ደረጃ ጋር እኩል ነው, እና የሥሮቹ ምርት ከነጻው ቃል ጋር እኩል ነው. ).

የፍተሻ ዘዴው አጠቃላይ ኳድራቲክ እኩልታ ወደ ቅጹ ያመጣል፡ A(x)·B(x)=0፣ ሀ(x) እና B(x) ከ x አንፃር ብዙ ቁጥር ያላቸው ናቸው። ግብ: የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ማውጣት; አሕጽሮተ ማባዛት ቀመሮችን መጠቀም; የመቧደን ዘዴ. ዘዴዎች፡ ምሳሌ፡

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች፡ D>0 ከሆነ D ከሆነ 0, If D"> 0፣ D"> 0 ከሆነ D" title="Roots of aquadratic equation): D>0 ከሆነ D ከሆነ D""> title="የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች፡ D>0 ከሆነ D ከሆነ"> !}

X 1 እና x 2 – የእኩልታ ስሮች የቪዬታ ቲዎረምን በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 · X 2 = – 10 ይህ ማለት ሥሮቹ የተለያዩ ምልክቶች አሏቸው X 1 + X 2 = – 3 ማለት ነው። ሥሩ ትልቅ ሞጁል አለው - አሉታዊ በመምረጥ ሥሮቹን እናገኛለን: X 1 = - 5, X 2 = 2 ለምሳሌ:

0፣ በቲዎሬም ተገላቢጦሽ ወደ ቪየታ ቲዎሬም፣ ሥሮቹን እናገኛለን፡ 5፣6፣ ከዚያም ወደ ዋናው እኩልታ ሥር እንመለሳለን፡ 2.5; 3. መልስ፡ 2.5; 3. የእኩልታው መፍትሄ" ርዕስ = " እኩልታውን ይፍቱ: 2x 2 - 11x +15 = 0. Coefficient 2 ን ወደ ነጻ ጊዜ 2 - 11y +30= 0. D>0 እናስተላልፍ ወደ ቲዎሬም በተቃራኒው ወደ ቪዬታ ቲዎሬም, ሥሮቹን እናገኛለን: 5; 6, ከዚያም ወደ ዋናው እኩልታ ሥሮች እንመለሳለን: 2.5; 3. መልስ: 2.5; 3. የእኩልታ መፍትሄ." class="link_thumb"> 14 !}እኩልታውን ይፍቱ፡ 2x x +15 = 0. Coefficient 2 ን ወደ ነጻ ቃል y y +30= 0. D>0 እናስተላልፍ፣ በቲዎሬም ወደ ቪየታ ቲዎረም በተገላቢጦሽ መሠረት፣ ሥሩን እናገኛለን፡ 5;6፣ ከዚያ እኛ ወደ መጀመሪያው እኩልታ ሥሮች ይመለሱ: 2, 5; 3. መልስ፡ 2.5; 3. "መወርወር" ዘዴን በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት 0፣ በቲዎሬም ተገላቢጦሽ ወደ ቪየታ ቲዎሬም፣ ሥሮቹን እናገኛለን፡ 5፣6፣ ከዚያም ወደ ዋናው እኩልታ ሥር እንመለሳለን፡ 2.5; 3. መልስ፡ 2.5; 3. የእኩልታው መፍትሄ "> 0፣ ወደ ቪዬታ ቲዎሬም በተገላቢጦሽ ቲዎሬም መሰረት፣ ሥሮቹን እናገኛለን፡ 5፤6፣ ከዚያም ወደ ዋናው እኩልታ ሥር እንመለሳለን፡ 2.5፤ 3. መልስ፡ 2.5፤ 3. መፍትሄ። የ "ማስተላለፊያ" ዘዴን በመጠቀም እኩልታዎች። 3. መልስ፡ 2.5; 3. የእኩልታው መፍትሄ" ርዕስ = " እኩልታውን ይፍቱ: 2x 2 - 11x +15 = 0. Coefficient 2 ን ወደ ነጻ ጊዜ 2 - 11y +30= 0. D>0 እናስተላልፍ ወደ ቲዎሬም በተቃራኒው ወደ ቪዬታ ቲዎሬም, ሥሮቹን እናገኛለን: 5; 6, ከዚያም ወደ ዋናው እኩልታ ሥሮች እንመለሳለን: 2.5; 3. መልስ: 2.5; 3. የእኩልታ መፍትሄ."> title="እኩልታውን ይፍቱ: 2x 2 - 11x +15 = 0. ኮፊፊሸን 2 ን ወደ ነፃ ቃል እናስተላልፍ y 2 - 11y +30= 0. D>0, በቲዎሬም በተቃራኒው ወደ ቪዬታ ቲዎሬም, ሥሮቹን እናገኛለን: 5; 6, ከዚያም ወደ መጀመሪያዎቹ እኩልታዎች ሥሮች እንመለሳለን: 2.5; 3. መልስ፡ 2.5; 3. የእኩልታ መፍትሄ"> !}

በ quadratic equation a+b+c=0 ከሆነ ከሥሮቹ አንዱ ከ 1 ጋር እኩል ነው፣ ሁለተኛው ደግሞ በቪዬታ ቲዎረም ከሁለተኛው ጋር እኩል ነው የቪዬታ ቲዎረም , ከዚያም ከሥሮቹ አንዱ ከ (-1) ጋር እኩል ነው, እና ሁለተኛው በቪዬታ ቲዎሪ መሠረት እኩል ነው ምሳሌ: የኳድራቲክ እኩልታ 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c. = a + b+ c = - 157 = 0. x 1 = 1፣ መልስ፡ 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 = 0. x 1 = 1፣ መልስ፡ 1;

ኳድራቲክ እኩልታን ለመፍታት ስዕላዊ ዘዴ ቀመሮችን ሳይጠቀሙ ኳድራቲክ እኩልታ በግራፊክ ሊፈታ ይችላል። እኩልታውን እንፈታ ይህንን ለማድረግ ሁለት ግራፎችን እንገነባለን-X Y X 01 Y012 መልስ: የግራፎቹ መገናኛ ነጥቦች abcissas የእኩልታው ሥሮች ይሆናሉ። ግራፎቹ በሁለት ነጥቦች ላይ ከተጣመሩ, እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት. ግራፎቹ በአንድ ነጥብ ላይ ከተገናኙ, እኩልታው አንድ ሥር አለው. ግራፎች ካልተገናኙ, እኩልታው ምንም ሥሮች የሉትም. 1) y=x2 2)y=x+1

ባለ አራት አሃዝ እኩልታዎችን በኖሞግራም መፍታት ይህ አሮጌ እና ያልተገባ የተረሳ አራት ማዕዘን እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴ ነው፣ በገጽ 83 ላይ የተቀመጠው “ባለአራት አሃዝ የሂሳብ ሰንጠረዦች” Bradis V.M. ሰንጠረዥ XXII. ኖሞግራም ቀመርን ለመፍታት ይህ ኖሞግራም አራት ማዕዘን እኩልታዎችን ሳይፈታ ፣የቀመሩን ሥረ-ሥርዓት ከቁጥሮች ለማወቅ ያስችላል። ለእኩልነት, ኖሞግራም ሥሮቹን ይሰጣል

ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ጂኦሜትሪክ ዘዴ በጥንት ጊዜ ጂኦሜትሪ ከአልጀብራ የበለጠ በዳበረበት ጊዜ ኳድራቲክ እኩልታዎች በአልጀብራ ሳይሆን በጂኦሜትሪ ይፈቱ ነበር። ግን ለምሳሌ ፣ የጥንት ግሪኮች እኩልታውን እንዴት እንደፈቱት ወይም መግለጫዎች እና ጂኦሜትሪ አንድ ካሬን ይወክላሉ ፣ እና የዋናው እኩልታ ተመሳሳይ እኩልታ ነው። ከየት ነው የምናገኘው ወይስ

ማጠቃለያ እነዚህ የመፍትሄ ዘዴዎች ትኩረት ሊሰጣቸው ይገባል, ምክንያቱም ሁሉም በትምህርት ቤት የሒሳብ መማሪያ መጽሐፍት ውስጥ ስለማይንጸባረቁ; እነዚህን ቴክኒኮች ማወቅ ተማሪዎች ጊዜን እንዲቆጥቡ እና እኩልታዎችን በብቃት እንዲፈቱ ይረዳቸዋል፤ ፈጣን መፍትሄ የሚያስፈልገው ለመግቢያ ፈተናዎች የፈተና ስርዓት አጠቃቀም;

መግቢያ

በትምህርት ቤት አልጀብራ ኮርስ ውስጥ እኩልታዎች ግንባር ቀደም ቦታን ይይዛሉ። በት / ቤቱ የሂሳብ ኮርስ ውስጥ ካሉት ከማንኛውም ርዕሰ ጉዳዮች የበለጠ ጊዜ ለጥናታቸው ይሰጣል። የእኩልታዎች ፅንሰ-ሀሳብ ጥንካሬ ለተፈጥሮ ህጎች እውቀት ንድፈ-ሀሳባዊ ጠቀሜታ ብቻ ሳይሆን የተወሰኑ ተግባራዊ ዓላማዎችንም ያገለግላል። በገሃዱ አለም ውስጥ ያሉ የቦታ ቅርጾች እና የቁጥር ግንኙነቶች አብዛኛዎቹ ችግሮች የተለያዩ አይነት እኩልታዎችን ለመፍታት ይወርዳሉ። እነሱን ለመፍታት መንገዶችን በመምራት ሰዎች ከሳይንስ እና ቴክኖሎጂ (ትራንስፖርት፣ግብርና፣ኢንዱስትሪ፣ግንኙነት ወዘተ) ለተለያዩ ጥያቄዎች መልስ ያገኛሉ። እንዲሁም, እኩልታዎችን የመፍታት ችሎታን ለማዳበር, እኩልታዎችን መፍታት በሚማርበት ጊዜ የተማሪው ገለልተኛ ስራ ትልቅ ጠቀሜታ አለው. ማንኛውንም ርዕሰ ጉዳይ በሚያጠኑበት ጊዜ, እኩልታዎች የንድፈ ሀሳባዊ እውቀትን ለማጠናከር, ለማጥለቅ, ለመድገም እና ለማስፋፋት, ለተማሪዎች የፈጠራ የሂሳብ እንቅስቃሴ እድገት እንደ ውጤታማ ዘዴ መጠቀም ይቻላል.

በዘመናዊው ዓለም ውስጥ, በተለያዩ የሂሳብ ቅርንጫፎች እና አስፈላጊ የተተገበሩ ችግሮችን ለመፍታት እኩልታዎች በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ. ይህ ርዕስ በትልቁ የዝግጅት አቀራረብ እና በእሱ እርዳታ የተመሰረቱ ግንኙነቶች ብልጽግና እና የአቀራረብ ሎጂካዊ ትክክለኛነት ተለይቶ ይታወቃል። ስለዚህ, በመስመሮች መስመር ውስጥ ልዩ ቦታን ይይዛል. ተማሪዎች በቂ የሆነ የአልጀብራ እና አጠቃላይ የሂሳብ ፅንሰ-ሀሳቦችን፣ ፅንሰ-ሀሳቦችን እና ክህሎቶችን በመያዝ የተወሰነ ልምድ በማካበት “ስኩዌር ትሪኖሚሎች” የሚለውን ርዕስ ማጥናት ይጀምራሉ። በአብዛኛው, ከዕኩልታዎች ጋር የተያያዙ ቁሳቁሶችን ማቀናጀት, የታሪካዊነት እና የተደራሽነት መርሆዎችን ተግባራዊ ለማድረግ በዚህ ርዕስ ላይ ነው.

አግባብነትርእሱ የታሪካዊነት መርሆዎችን እና የቁሳቁስን በቂ አለመሆን "የአራትዮሽ እኩልታዎችን መፍታት" በሚለው ርዕስ ላይ ተግባራዊ ማድረግ አስፈላጊ ነው.

የምርምር ችግርአራት እኩልታዎችን መፍታት ለማስተማር ታሪካዊ ቁሳቁሶችን መለየት።

የሥራው ግብበሂሳብ ትምህርቶች ውስጥ ባለአራት እኩልታዎች ላይ ስለ መሥራት ሀሳቦች መፈጠር ፣ “ኳድራቲክ እኩልታዎች” በሚለው ርዕስ ላይ ከታሪካዊ አካላት ጋር የትምህርቶች ስብስብ መምረጥ ።

የጥናት ዓላማበ 8 ኛ ክፍል ውስጥ አራት ማዕዘናዊ እኩልታዎችን የታሪካዊ አካላትን በመጠቀም መፍታት።

የጥናት ርዕሰ ጉዳይ: ኳድራቲክ እኩልታዎች እና ታሪካዊ ቁሳቁሶችን በመጠቀም ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ለማስተማር የመማሪያ ትምህርቶችን ማዳበር።

ተግባራት:

በምርምር ችግር ላይ የሳይንሳዊ እና ዘዴያዊ ሥነ-ጽሑፍ ትንተና ማካሄድ;

የት / ቤት የመማሪያ መጽሃፍትን መተንተን እና የአራትዮሽ እኩልታዎችን መፍታት የማስተማር ቦታን መግለፅ;

ታሪካዊ ቁሳቁሶችን በመጠቀም ኳድራቲክ እኩልታዎችን በመፍታት ላይ የመማሪያ ስብስቦችን ይምረጡ።

የምርምር ዘዴዎች:

"የኳድራቲክ እኩልታዎችን መፍታት" በሚለው ርዕስ ላይ የስነ-ጽሁፍ ትንተና;

የተማሪዎችን ምልከታ በርዕሱ ላይ "አራትዮሽ እኩልታዎችን መፍታት" በሚለው ትምህርት ወቅት;

የቁሳቁስ ምርጫ-የታሪክ መረጃን በመጠቀም “አራትዮሽ እኩልታዎችን መፍታት” በሚለው ርዕስ ላይ ትምህርቶች ።

§ 1. የኳድራቲክ እኩልታዎች ብቅ ካሉበት ታሪክ

አልጀብራ የተፈጠረው እኩልታዎችን በመጠቀም የተለያዩ ችግሮችን ከመፍታት ጋር ተያይዞ ነው። በተፈለገው እና በተሰጡት መጠን የተከናወኑ አንዳንድ ድርጊቶችን ውጤት እያወቁ ፣በተለምዶ ችግሮች አንድ ወይም ከዚያ በላይ የማይታወቁ ነገሮችን መፈለግ ይፈልጋሉ። እንደዚህ አይነት ችግሮች ወደ አንድ ወይም በርካታ እኩልታዎች ስርዓትን ለመፍታት ይወርዳሉ፣ በተሰጡት መጠኖች ላይ የአልጀብራ ስራዎችን በመጠቀም የሚፈለጉትን ለማግኘት። አልጀብራ የአጠቃላይ የአሠራር ባህሪያትን በመጠን ያጠናል.

መስመራዊ እና አራት ማዕዘን እኩልታዎችን ለመፍታት አንዳንድ የአልጀብራ ቴክኒኮች ከ4000 ዓመታት በፊት በጥንቷ ባቢሎን ይታወቃሉ።

በጥንቷ ባቢሎን ውስጥ ኳድራቲክ እኩልታዎች

የመጀመርያው ብቻ ሳይሆን የሁለተኛ ደረጃ እኩልታዎችን የመፍታት አስፈላጊነት በጥንት ጊዜም ቢሆን የመሬት ቦታዎችን ከማግኘት ጋር የተያያዙ ችግሮችን መፍታት እና ወታደራዊ ተፈጥሮ ባለው የመሬት ቁፋሮ ሥራ እንዲሁም ልክ እንደ አስትሮኖሚ እና ሒሳብ እድገት። ባቢሎናውያን በ2000 ዓክልበ. አካባቢ አራት እኩልታዎችን መፍታት ችለዋል። ዘመናዊውን የአልጀብራ አጻጻፍ በመጠቀም፣ በኪዩኒፎርም ጽሑፎቻቸው ውስጥ፣ ያልተሟሉ፣ ለምሳሌ፣ የተሟላ ባለአራት እኩልታዎች አሉ ማለት እንችላለን።

በባቢሎናውያን ጽሑፎች ውስጥ የተቀመጠውን እነዚህን እኩልታዎች የመፍታት ደንብ በመሠረቱ ከዘመናዊው ጋር ይጣጣማል, ነገር ግን ባቢሎናውያን ወደዚህ ደንብ እንዴት እንደደረሱ አይታወቅም. እስካሁን የተገኙት ሁሉም ማለት ይቻላል የኩኒፎርም ፅሁፎች በምግብ አሰራር መልክ የተቀመጡ መፍትሄዎችን ብቻ ነው የሚያቀርቡት ፣እንዴት እንደ ተገኘ ምንም ምልክት የለም። በባቢሎን የአልጀብራ ከፍተኛ የእድገት ደረጃ ቢኖረውም የኩኒፎርም ጽሑፎች የአሉታዊ ቁጥር ጽንሰ-ሀሳብ እና ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ ዘዴዎች የላቸውም።

ዲያፎንተስ እኩልታዎችን በሚያቀናብርበት ጊዜ መፍትሄውን ለማቃለል ያልታወቁትን በብቃት ይመርጣል።

እዚህ, ለምሳሌ, የእሱ ተግባራት አንዱ ነው.

ችግር 2. " ድምራቸው 20 እና ምርታቸው 96 መሆኑን አውቀህ ሁለት ቁጥሮችን ፈልግ."

ዳዮፓንተስ ምክንያቶች እንደሚከተለው ናቸው-ከችግሩ ሁኔታዎች ውስጥ የሚፈለጉት ቁጥሮች እኩል አይደሉም, ምክንያቱም እኩል ከሆኑ, ምርታቸው ከ 96 ጋር እኩል አይሆንም, ግን ወደ 100. ስለዚህም ከመካከላቸው አንዱ የበለጠ ይሆናል. የእነሱ ድምር ግማሽ, ማለትም.
. ሌላው ትንሽ ነው, ማለትም.
. በመካከላቸው ያለው ልዩነት
. ስለዚህ እኩልታው፡-

ከዚህ
. ከሚያስፈልጉት ቁጥሮች አንዱ 12 ነው, ሌላኛው ደግሞ 8. መፍትሄ ነው
የግሪክ ሂሳብ አወንታዊ ቁጥሮችን ብቻ ስለሚያውቅ ዲዮፋንተስ የለምና።

ከሚያስፈልጉት ቁጥሮች ውስጥ አንዱን እንደ የማይታወቅ በመምረጥ ይህንን ችግር ከፈቱ፣ ወደ እኩልታው መፍትሄ መምጣት ይችላሉ፡-

ግልጽ ነው አስፈላጊ ቁጥሮች ግማሽ-ልዩነት እንደ የማይታወቅ በመምረጥ, Diophantus መፍትሔውን ቀላል ያደርገዋል; ያልተሟላ የኳድራቲክ እኩልታን ለመፍታት ችግሩን ለመቀነስ ይቆጣጠራል.

ኳድራቲክ እኩልታዎች በህንድ

(1)

በቀመር (1) ውስጥ፣ ቅንጅቶቹ እንዲሁ አሉታዊ ሊሆኑ ይችላሉ። የብራህማጉፕታ አገዛዝ ከኛ ጋር አንድ ነው።

በህንድ አስቸጋሪ ችግሮችን ለመፍታት ህዝባዊ ውድድሮች የተለመዱ ነበሩ. ከህንድ ጥንታዊ መጽሐፍት አንዱ ስለነዚህ ውድድሮች እንዲህ ሲል ተናግሯል:- “ፀሐይ ከዋክብትን በድምቀት እንደምትወጣ፣ እንዲሁ የተማረ ሰውም በአልጀብራ ችግሮች ላይ ሐሳብ በማቅረብና በመፍታት በሕዝብ ስብሰባዎች ላይ ክብሩን ያጎናጽፋል። ብዙውን ጊዜ ችግሮች በግጥም መልክ ይቀርቡ ነበር.

ይህ በ 12 ኛው ክፍለ ዘመን ታዋቂው የህንድ የሂሳብ ሊቅ ችግሮች አንዱ ነው. ብሃስካርስ።

የብሃስካራ መፍትሄ የሚያመለክተው ደራሲው የኳድራቲክ እኩልታዎች መነሻዎች ሁለት ዋጋ ያላቸው መሆናቸውን እንደሚያውቅ ነው።

ከችግር 3 ጋር የሚዛመደው ቀመር፡-

ብሃስካራ በሽፋን እንዲህ ሲል ጽፏል።

እና፣ የዚህን እኩልታ ግራ ጎን ወደ ካሬ ለማጠናቀቅ፣ በሁለቱም በኩል 322 ይጨምራል፣ ከዚያ የሚከተለውን ያግኙ፡-

የአል-ክዋሪዝሚ ኳድራቲክ እኩልታዎች

የአል-ክዋሪዝሚ አልጀብራ ትረካ የመስመራዊ እና የኳድራቲክ እኩልታዎችን ምደባ ይሰጣል። ደራሲው 6 አይነት እኩልታዎችን ይቆጥራል፣ እንደሚከተለው ይገልፃል።

ለአል-ክዋሪዝሚ፣ አሉታዊ ቁጥሮችን መጠቀም ለቆጠበ፣ የእያንዳንዳቸው እኩልታዎች ውል የተጨመሩ እንጂ የሚቀነሱ አይደሉም። በዚህ ሁኔታ, አወንታዊ መፍትሄዎች የሌላቸው እኩልታዎች በግልጽ አይወሰዱም. ደራሲው አል-ጀብር እና አል-ሙከባል የተባሉትን ቴክኒኮች በመጠቀም እነዚህን እኩልታዎች ለመፍታት ዘዴዎችን አስቀምጧል። በእርግጥ የእሱ ውሳኔ ከኛ ጋር የሚስማማ አይደለም። እሱ ብቻ የአጻጻፍ ዘይቤ መሆኑን አለመጥቀስ ፣ ለምሳሌ ፣ የመጀመሪያው ዓይነት ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ሲፈታ ፣ አል-ኮሬዝሚ ፣ ልክ እንደ ሁሉም የሂሳብ ሊቃውንት እስከ 17 ኛው ክፍለ ዘመን ድረስ ፣ የዜሮ መፍትሄን ከግምት ውስጥ አያስገባም ፣ ምናልባት በተለየ ተግባራዊ ተግባር ውስጥ ምንም ለውጥ አያመጣም. የተሟላ ባለአራት እኩልታዎችን ሲፈታ፣አል-ክዋሪዝሚ ልዩ የቁጥር ምሳሌዎችን እና ከዚያም የጂኦሜትሪክ ማረጋገጫዎቻቸውን በመጠቀም እነሱን ለመፍታት ደንቦቹን ያወጣል።

አንድ ምሳሌ እንስጥ።

ችግር 4. "ካሬው እና ቁጥር 21 ከ 10 ሥሮች ጋር እኩል ናቸው. ሥሩን ፈልግ" (የቀመር ሥሩ ማለት ነው።
).

መፍትሔው፡ የሥሩን ቁጥር በግማሽ ይከፋፍሉት፡ 5 ያገኛሉ፡ 5 በራሱ ይባዛሉ፡ ከምርቱ 21 ቀንስ፡ የቀረው 4፡ ሥሩን ከ 4 ውሰድ፡ ታገኛለህ 2፡ 2 ከ5 ቀንስ 3 ታገኛለህ፡ ይህ የሚፈልጉት ሥር ይሆናል. ወይም 2 ወደ 5 ጨምር, ይህም 7 ይሰጣል, ይህ ደግሞ ሥር ነው.

የአል-ከዋሪዝሚ መጽሐፍ ወደ እኛ የወረደው የመጀመሪያው መጽሐፍ ነው፣ እሱም የኳድራቲክ እኩልታዎችን ስልታዊ በሆነ መንገድ ያስቀመጠ እና የመፍትሄ ቀመሮችን ይሰጣል።

በአውሮፓ ውስጥ ኳድራቲክ እኩልታዎችXII- XVIIቪ.

ይህ መጽሐፍ በጣሊያን ብቻ ሳይሆን በጀርመን፣ በፈረንሳይ እና በሌሎች የአውሮፓ ሀገራት የአልጀብራ እውቀት እንዲስፋፋ አስተዋጽኦ አድርጓል። በ14ኛው-17ኛው ክፍለ ዘመን በነበሩት የአውሮፓውያን የመማሪያ መጽሃፍት ውስጥ ብዙ ችግሮች ከዚህ መጽሐፍ ውስጥ ጥቅም ላይ ውለው ነበር። ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ ህግ ወደ አንድ ቀኖናዊ ቅፅ ተቀንሷል
ለሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የምልክት እና የቁጥር ቅንጅቶች b, c, በአውሮፓ በ 1544 በ M. Stiefel ተዘጋጅቷል.

የኳድራቲክ እኩልታዎችን በጥቅሉ ለመፍታት የቀመርው አመጣጥ ከቪዬት ይገኛል፣ ነገር ግን ቪዬቴ አወንታዊ ሥሮችን ብቻ ያውቃል። ጣሊያናዊ የሂሳብ ሊቃውንት ታርታግሊያ, ካርዳኖ, ቦምቤሊ በ 16 ኛው ክፍለ ዘመን ከመጀመሪያዎቹ መካከል ነበሩ. ከአዎንታዊ በተጨማሪ, አሉታዊ ሥሮችም ግምት ውስጥ ይገባሉ. በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን ብቻ. ለጊራርድ ፣ ዴካርት ፣ ኒውተን እና ሌሎች የሳይንስ ሊቃውንት ስራዎች ምስጋና ይግባውና ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴ ዘመናዊ ቅርፅ ይይዛል።

ተግባራዊ ችግሮችን ለመፍታት የአልጀብራ ዘዴዎች አመጣጥ ከጥንታዊው ዓለም ሳይንስ ጋር የተያያዘ ነው. ከሂሳብ ታሪክ እንደሚታወቀው፣ በግብፃውያን፣ በሱመርያን እና በባቢሎናውያን ጸሐፍት እና አስሊዎች (XX-VI ክፍለ ዘመን ዓክልበ.) የተፈቱት የሂሳብ ችግሮች ጉልህ ክፍል የማስላት ተፈጥሮ ነበር። ሆኖም፣ በዚያን ጊዜም ቢሆን፣ ከጊዜ ወደ ጊዜ፣ የሚፈለገው የመጠን ዋጋ በተወሰኑ ቀጥተኛ ያልሆኑ ሁኔታዎች ከዘመናችን አንፃር፣ የእኩልታ ወይም የሒሳብ አሠራርን የሚጠይቁ ችግሮች ተፈጠሩ። መጀመሪያ ላይ እንዲህ ያሉ ችግሮችን ለመፍታት የሂሳብ ዘዴዎች ጥቅም ላይ ውለዋል. በመቀጠል የአልጀብራ ጽንሰ-ሀሳቦች ጅምር መፈጠር ጀመሩ። ለምሳሌ, የባቢሎናውያን አስሊዎች ከዘመናዊ ምደባ አንጻር, ወደ ሁለተኛ ዲግሪ እኩልታዎች የሚቀንሱ ችግሮችን መፍታት ችለዋል. የቃላት ችግሮችን የመፍታት ዘዴ ተፈጠረ፣ እሱም በኋላ ላይ የአልጀብራን ክፍል እና ራሱን የቻለ ጥናትን ለመለየት መሰረት ሆኖ አገልግሏል።

ይህ ጥናት የተካሄደው በሌላ ዘመን ነው፣ በመጀመሪያ በአረብ የሒሳብ ሊቃውንት (VI-X ክፍለ ዘመን ዓ.ም.)፣ እኩልታዎች ወደ መደበኛው ቅርፅ እንዲመጡ የተደረጉባቸውን የባህሪ ድርጊቶች ለይተውታል፡ ተመሳሳይ ቃላትን በማምጣት፣ ቃላትን ከአንዱ የሒሳብ ክፍል ወደ ሌላ በማስተላለፍ የምልክት ለውጥ. ከዚያም በአውሮፓ የሕዳሴ ዘመን የሒሳብ ሊቃውንት በረጅም ፍለጋ ምክንያት የዘመናዊውን አልጀብራ ቋንቋ ፈጠረ፣ የፊደላት አጠቃቀም፣ ለሒሳብ ሥራዎች ምልክቶች ማስተዋወቅ፣ ቅንፍ፣ ወዘተ. በ16ኛው መገባደጃ ላይ- 17 ኛው ክፍለ ዘመን. አልጀብራ እንደ አንድ የተወሰነ የሒሳብ ክፍል፣ የራሱ ርዕሰ ጉዳይ፣ ዘዴ እና የአተገባበር አካባቢዎች አስቀድሞ ተፈጥሯል። የእሱ ተጨማሪ እድገቶች, ልክ እንደእኛ ጊዜ, የማሻሻያ ዘዴዎችን, የመተግበሪያዎችን ወሰን በማስፋት, ጽንሰ-ሐሳቦችን እና ከሌሎች የሂሳብ ቅርንጫፎች ጽንሰ-ሀሳቦች ጋር ያላቸውን ግንኙነት ያካትታል.

ስለዚህ፣ ከቁሳዊው እኩልነት ጽንሰ-ሀሳብ ጋር በተያያዘ ካለው ጠቀሜታ እና ሰፊነት አንጻር፣ በዘመናዊ የሂሳብ ዘዴዎች ላይ ያለው ጥናት ከመነሻው እና ከተግባሩ ዋና ዋና ክፍሎች ጋር የተቆራኘ ነው።

ከኳድራቲክ እኩልታዎች ታሪክ.

ሀ) ኳድራቲክ እኩልታዎች በጥንቷ ባቢሎን

የመጀመርያው ብቻ ሳይሆን የሁለተኛ ደረጃ እኩልታዎችን የመፍታት አስፈላጊነት በጥንት ጊዜም ቢሆን የመሬት ቦታዎችን ከማግኘት ጋር የተያያዙ ችግሮችን መፍታት እና ወታደራዊ ተፈጥሮ ባለው የመሬት ቁፋሮ ሥራ እንዲሁም ልክ እንደ አስትሮኖሚ እና ሒሳብ እድገት። ኳድራቲክ እኩልታዎች በ2000 ዓክልበ. አካባቢ ሊፈቱ ይችላሉ። ባቢሎናውያን። ዘመናዊውን የአልጀብራ አጻጻፍ በመጠቀም፣ በኪዩኒፎርም ጽሑፎቻቸው ውስጥ፣ ያልተሟሉ፣ ለምሳሌ፣ የተሟላ ባለአራት እኩልታዎች አሉ ማለት እንችላለን።

x 2 + x = ፣ x 2 – x = 14

የዲዮፋንተስ አርቲሜቲክ የአልጀብራን ስልታዊ አቀራረብ አልያዘም ነገር ግን ስልታዊ ተከታታይ ችግሮች አሉት፣ ከማብራሪያ ጋር የታጀበ እና በተለያዩ ዲግሪዎች እኩልታዎችን በመገንባት።

ዲያፎንተስ እኩልታዎችን በሚያቀናብርበት ጊዜ መፍትሄውን ለማቃለል ያልታወቁትን በብቃት ይመርጣል።

እዚህ, ለምሳሌ, የእሱ ተግባራት አንዱ ነው.

ችግር 2. " ድምራቸው 20 እና ምርታቸው 96 መሆኑን አውቀህ ሁለት ቁጥሮችን ፈልግ."

ዳዮፓንተስ ምክንያቶች እንደሚከተለው ናቸው-ከችግሩ ሁኔታዎች ውስጥ የሚፈለጉት ቁጥሮች እኩል አይደሉም, ምክንያቱም እኩል ከሆኑ, ምርታቸው ከ 96 ጋር እኩል አይሆንም, ግን ወደ 100. ስለዚህም ከመካከላቸው አንዱ የበለጠ ይሆናል. የእነሱ ድምር ግማሽ ማለትም 10 + x. ሌላው ያነሰ, ማለትም 10 - x. በመካከላቸው ያለው ልዩነት 2x ነው. ስለዚህ እኩልታው፡-

(10+x) (10-x) =96፣

ወይም

100 -x 2 = 96.

ስለዚህም x = 2. ከሚያስፈልጉት ቁጥሮች አንዱ 12 ነው, ሌላኛው 8 ነው. የግሪክ ሒሳብ አወንታዊ ቁጥሮችን ብቻ ስለሚያውቅ መፍትሔው x = - 2 ለዲዮፎንተስ የለም.

ግልጽ ነው አስፈላጊ ቁጥሮች ግማሽ-ልዩነት እንደ የማይታወቅ በመምረጥ, Diophantus መፍትሔውን ቀላል ያደርገዋል; ያልተሟላ የኳድራቲክ እኩልታን ለመፍታት ችግሩን ለመቀነስ ይቆጣጠራል.
ለ) በህንድ ውስጥ ኳድራቲክ እኩልታዎች.

በአራት እኩልታዎች ላይ ያሉ ችግሮች በህንድ የሂሳብ ሊቅ እና የሥነ ፈለክ ተመራማሪ አርያብሃታ በ 499 በተዘጋጀው “Aryabhattiam” የስነ ፈለክ ጥናት ውስጥ ቀድሞውኑ ይገኛሉ። ሌላው የህንድ ሳይንቲስት ብራህማጉፕታ (7ኛው ክፍለ ዘመን) ወደ አንድ ቀኖናዊ ቅርጽ የተቀነሰውን ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ ህግን አውጥቷል።

ኦ 2 + ለx = ሐ፣ አ > 0

በቀመር ውስጥ፣ ውህደቶቹ በስተቀር ሀ, አሉታዊ ሊሆን ይችላል. የብራህማጉፕታ አገዛዝ ከኛ ጋር አንድ ነው።

ይህ በ 12 ኛው ክፍለ ዘመን ታዋቂው የህንድ የሂሳብ ሊቅ ችግሮች አንዱ ነው. ብሃስካርስ።

ተግባር 3.

ከችግር 3 ጋር የሚዛመደው ቀመር፡-

ብሃስካራ በሽፋን እንዲህ ሲል ጽፏል።

x 2 - 64x = - 768

እና፣ የዚህን እኩልታ ግራ ጎን ወደ ካሬ ለማጠናቀቅ፣ 32 2 በሁለቱም በኩል ይጨምረዋል፣ ከዚያ ያገኛሉ፡-

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024፣

(x - 32) 2 = 256፣

x 1 = 16፣ x 2 = 48።

ሐ) ኳድራቲክ እኩልታዎች በአል-ኮሬዝሚ

"ካሬዎች ከሥሮች ጋር እኩል ናቸው," ማለትም ax 2 = bx.
"ካሬዎች ከቁጥሮች ጋር እኩል ናቸው," ማለትም ax 2 = c.
"ሥሮቹ ከቁጥር ጋር እኩል ናቸው," ማለትም ax = c.
"ካሬዎች እና ቁጥሮች ከሥሮች ጋር እኩል ናቸው," ማለትም ax 2 + c = bx.
"ካሬዎች እና ስሮች ከቁጥሩ ጋር እኩል ናቸው," ማለትም ax 2 + bx = c.
"ሥሮች እና ቁጥሮች ከካሬዎች ጋር እኩል ናቸው," ማለትም bx + c == ax 2.

ለአል-ክዋሪዝሚ፣ አሉታዊ ቁጥሮችን መጠቀም ለቆጠበ፣ የእያንዳንዳቸው እኩልታዎች ውል የተጨመሩ እንጂ የሚቀነሱ አይደሉም። በዚህ ሁኔታ, አወንታዊ መፍትሄዎች የሌላቸው እኩልታዎች በግልጽ አይወሰዱም. ደራሲው አል-ጀብር እና አል-ሙከባል የተባሉትን ቴክኒኮች በመጠቀም እነዚህን እኩልታዎች ለመፍታት ዘዴዎችን አስቀምጧል። በእርግጥ የእሱ ውሳኔ ከኛ ጋር የሚስማማ አይደለም። እሱ ብቻ የአጻጻፍ ዘይቤ መሆኑን ሳንጠቅስ ፣ ለምሳሌ ፣ ያልተጠናቀቀ ኳድራቲክ እኩልታ የመጀመሪያውን ዓይነት ሲፈታ ፣ አል-ኮሬዝሚ ፣ ልክ እንደ ሁሉም የሂሳብ ሊቃውንት እስከ 17 ኛው ክፍለዘመን ድረስ ፣ ዜሮን ከግምት ውስጥ አያስገባም ። መፍትሄ, ምናልባትም በተለየ ተግባራዊ ተግባር ውስጥ ምንም ለውጥ አያመጣም. የተሟላ ባለአራት እኩልታዎችን ሲፈታ፣አል-ክዋሪዝሚ ልዩ የቁጥር ምሳሌዎችን እና ከዚያም የጂኦሜትሪክ ማረጋገጫዎቻቸውን በመጠቀም እነሱን ለመፍታት ደንቦቹን ያወጣል።

አንድ ምሳሌ እንስጥ።

ችግር 4. "ካሬው እና ቁጥር 21 ከ 10 ሥሮች ጋር እኩል ናቸው. ሥሩን ፈልግ” (የቀመርው ሥር ማለት ነው x 2 + 21 = 10x)።

መፍትሔው፡ የሥሩን ቁጥር በግማሽ ይከፋፍሉት፡ 5 ያገኛሉ፡ 5 በራሱ ይባዛሉ፡ ከምርቱ 21 ቀንስ፡ የቀረው 4፡ ሥሩን ከ 4 ውሰድ፡ ታገኛለህ 2፡ 2 ከ5 ቀንስ 3 ታገኛለህ፡ ይህ የሚፈለገው ሥር ይሆናል. ወይም 2 ወደ 5 ጨምር, ይህም 7 ይሰጣል, ይህ ደግሞ ሥር ነው.

የአል-ኮሬዝሚ መጽሃፍ ወደ እኛ የወረደው የመጀመሪያው መጽሐፍ ነው፣ እሱም የኳድራቲክ እኩልታዎችን ስልታዊ በሆነ መንገድ ያስቀመጠ እና ለመፍትሄያቸው ቀመሮችን ይሰጣል።

መ) በአውሮፓ ውስጥ በ 13 ኛው -17 ኛው ክፍለ ዘመን ውስጥ ኳድራቲክ እኩልታዎች.

በአውሮጳ ውስጥ በአል-ክዋሪዝሚ የተቀረፀውን ባለአራት እኩልታዎችን ለመፍታት ቀመሮች ለመጀመሪያ ጊዜ የተቀመጡት በ1202 በጣሊያን የሒሳብ ሊቅ ሊዮናርዶ ፊቦናቺ በተፃፈው “የአባከስ መጽሐፍ” ነው። ከሁለቱም እስላማዊ አገሮች እና የጥንቷ ግሪክ የሂሳብ ተፅእኖን የሚያንፀባርቅ ይህ ትልቅ ሥራ በአቀራረብ የተሟላ እና ግልጽነት ተለይቶ ይታወቃል። ደራሲው ራሱን ችሎ ችግሮችን ለመፍታት አንዳንድ አዳዲስ የአልጀብራ ምሳሌዎችን አዘጋጅቷል እና በአውሮፓ ውስጥ አሉታዊ ቁጥሮችን ለማስተዋወቅ የመጀመሪያው ነው። የእሱ መጽሃፍ በጣሊያን ብቻ ሳይሆን በጀርመን, በፈረንሳይ እና በሌሎች የአውሮፓ ሀገራት የአልጀብራ እውቀት እንዲስፋፋ አስተዋጽኦ አድርጓል. ከ16-17ኛው መቶ ክፍለ ዘመን ከሞላ ጎደል በሁሉም የአውሮፓ የመማሪያ መጽሃፍት ውስጥ ከአባከስ መጽሐፍ ብዙ ችግሮች ጥቅም ላይ ውለው ነበር። እና በከፊል XVIII.

ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ ህግ ወደ አንድ ቀኖናዊ ቅፅ ተቀንሷል

x 2 + bx = c፣

ለሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የቁጥር ምልክቶች ጥምረት ለ፣ ጋርበ 1544 በ M. Stiefel የተቀረጸው በአውሮፓ ውስጥ ብቻ ነው።

የኳድራቲክ እኩልታዎችን በጥቅሉ ለመፍታት የቀመርው አመጣጥ በቪዬታ ውስጥ ይገኛል፣ ነገር ግን ቪዬታ የታወቀው አወንታዊ ሥሮችን ብቻ ነው። ጣሊያናዊ የሂሳብ ሊቃውንት ታርታግሊያ, ካርዳኖ, ቦምቤሊ በ 16 ኛው ክፍለ ዘመን ከመጀመሪያዎቹ መካከል ነበሩ. ከአዎንታዊ በተጨማሪ, አሉታዊ ሥሮችም ግምት ውስጥ ይገባሉ. በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን ብቻ. ለጊራርድ ፣ ዴካርት ፣ ኒውተን እና ሌሎች የሳይንስ ሊቃውንት ስራዎች ምስጋና ይግባውና ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴ ዘመናዊ ቅርፅ ይይዛል።

ተግባራዊ ችግሮችን ለመፍታት የአልጀብራ ዘዴዎች አመጣጥ ከጥንታዊው ዓለም ሳይንስ ጋር የተያያዘ ነው. በሂሳብ ታሪክ እንደሚታወቀው፣ በግብፃውያን፣ በሱመርኛ፣ በባቢሎናውያን ጸሐፍት-አስሊዎች (XX-VI ክፍለ ዘመን ዓክልበ.) የተፈታው የሒሳብ ተፈጥሮ ችግሮች ጉልህ ክፍል የስሌት ተፈጥሮ ነበር። ሆኖም፣ በዚያን ጊዜም ቢሆን፣ ከጊዜ ወደ ጊዜ፣ የሚፈለገው የመጠን ዋጋ በተወሰኑ ቀጥተኛ ያልሆኑ ሁኔታዎች ከዘመናችን አንፃር፣ የእኩልታ ወይም የሒሳብ አሠራርን የሚጠይቁ ችግሮች ተፈጠሩ። መጀመሪያ ላይ እንዲህ ያሉ ችግሮችን ለመፍታት የሂሳብ ዘዴዎች ጥቅም ላይ ውለዋል. በመቀጠል የአልጀብራ ጽንሰ-ሀሳቦች ጅምር መፈጠር ጀመሩ። ለምሳሌ, የባቢሎናውያን አስሊዎች ከዘመናዊ ምደባ አንጻር, ወደ ሁለተኛ ዲግሪ እኩልታዎች የሚቀንሱ ችግሮችን መፍታት ችለዋል. የቃላት ችግሮችን የመፍታት ዘዴ ተፈጠረ፣ እሱም በኋላ ላይ የአልጀብራን ክፍል እና ራሱን የቻለ ጥናትን ለመለየት መሰረት ሆኖ አገልግሏል።

ስለዚህ፣ ከቁሳዊው እኩልነት ጽንሰ-ሀሳብ ጋር በተያያዘ ካለው ጠቀሜታ እና ሰፊነት አንጻር፣ በዘመናዊው የሂሳብ ዘዴዎች ላይ ያለው ጥናት ከመነሻው እና ከተግባሩ ሶስት ዋና ዋና መስኮች ጋር የተቆራኘ ነው።