ቀጥ ያለ መስመር በ 2 ነጥብ እኩል ይፃፉ። የአንድ መስመር አጠቃላይ እኩልታ
በ Euclidean ጂኦሜትሪ ውስጥ የቀጥታ መስመር ባህሪያት.
ማለቂያ የሌለው ቁጥር ያላቸው ቀጥተኛ መስመሮች በማንኛውም ነጥብ ሊሳሉ ይችላሉ.
በማናቸውም ሁለት የማይጣጣሙ ነጥቦች አንድ ነጠላ ቀጥተኛ መስመር መሳል ይቻላል.
በአውሮፕላኑ ውስጥ ያሉ ሁለት የተለያዩ መስመሮች በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ ወይም ናቸው።
ትይዩ (ከቀዳሚው ይከተላል).
በሶስት-ልኬት ቦታ ፣ ለሁለት መስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ ሶስት አማራጮች አሉ-
- መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ;
- መስመሮች ትይዩ ናቸው;
- ቀጥታ መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ.
ቀጥታ መስመር- የመጀመሪያው ቅደም ተከተል አልጀብራ ከርቭ: በካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ ቀጥተኛ መስመር
በአውሮፕላኑ ላይ በአንደኛው ዲግሪ (መስመራዊ እኩልታ) እኩልነት ይሰጣል.
የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ።
ፍቺ. በአውሮፕላኑ ላይ ያለ ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በአንደኛ ደረጃ ቀመር ሊገለጽ ይችላል
አክስ + ዉ + ሲ = 0፣
እና ቋሚ ኤ፣ ቢበተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም. ይህ የመጀመሪያ ትዕዛዝ እኩልታ ይባላል አጠቃላይ
የአንድ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.በቋሚዎቹ ዋጋዎች ላይ በመመስረት ኤ፣ ቢእና ጋርየሚከተሉት ልዩ ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- ቀጥተኛ መስመር በመነሻው በኩል ያልፋል
. A = 0፣ B ≠0፣ C ≠0 (በ+ C = 0)- ቀጥ ያለ መስመር ከአክሱ ጋር ትይዩ ኦ
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (አክስ + ሲ = 0)- ቀጥ ያለ መስመር ከአክሱ ጋር ትይዩ ኦ.ዩ
. B = C = 0, A ≠0- ቀጥተኛው መስመር ከዘንጉ ጋር ይጣጣማል ኦ.ዩ
. A = C = 0, B ≠0- ቀጥተኛው መስመር ከዘንጉ ጋር ይጣጣማል ኦ
የቀጥታ መስመር እኩልነት እንደማንኛውም አይነት በተለያየ መልኩ ሊቀርብ ይችላል
የመጀመሪያ ሁኔታዎች.
ከነጥብ እና ከመደበኛ ቬክተር ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.
ፍቺ. በካርቴዥያ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ሥርዓት ውስጥ፣ ክፍሎች ያሉት ቬክተር (A፣ B)
በቀመር ከተሰጠው መስመር ጋር ቀጥ ያለ
አክስ + ዉ + ሲ = 0
ለምሳሌ. በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፈውን መስመር እኩልታ ያግኙ አ(1፣2)ወደ ቬክተር ቀጥ ያለ (3, -1).
መፍትሄ. ከ A = 3 እና B = -1 ጋር, የቀጥታ መስመርን እኩልታ እናዘጋጅ: 3x - y + C = 0. Coefficient C ለማግኘት.
የተሰጠውን ነጥብ A መጋጠሚያዎች በውጤቱ አገላለጽ እንተካው፡- 3 - 2 + C = 0፣ ስለዚህ እናገኛለን
ሐ = -1. ጠቅላላ: የሚፈለገው እኩልታ: 3x - y - 1 = 0.
በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የመስመር እኩልታ።
ሁለት ነጥቦች በጠፈር ውስጥ ይሰጡ M 1 (x 1 ፣ y 1 ፣ z 1)እና M2 (x 2፣ y 2፣ z 2)፣ከዚያም የአንድ መስመር እኩልታ,
እነዚህን ነጥቦች በማለፍ፡-
የትኛውም ተከፋይ ዜሮ ከሆነ፣ተዛማጁ አሃዛዊው ከዜሮ ጋር እኩል መዋቀር አለበት። በርቷል
አውሮፕላን ፣ ከላይ የተጻፈው የቀጥታ መስመር እኩልታ ቀላል ነው-
ከሆነ x 1 ≠ x 2እና x = x 1፣ ከሆነ x 1 = x 2 .
ክፍልፋይ = ክተብሎ ይጠራል ተዳፋት ቀጥታ.
ለምሳሌ. በነጥቦች A(1፣ 2) እና B(3፣ 4) የሚያልፍ የመስመሩን እኩልታ ያግኙ።
መፍትሄ. ከላይ የተፃፈውን ቀመር በመተግበር እናገኛለን፡-
ነጥብ እና ተዳፋት በመጠቀም የቀጥታ መስመር እኩልታ።
የመስመሩ አጠቃላይ እኩልነት ከሆነ አክስ + ዉ + ሲ = 0ይመራል፡
እና ይሰይሙ 
, ከዚያም የተገኘው እኩልታ ይባላል
ከዳገት ጋር ያለው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ k.
ከነጥብ እና ከአቅጣጫ ቬክተር የቀጥተኛ መስመር እኩልታ.
በተለመደው ቬክተር በኩል የቀጥታ መስመርን እኩልነት ግምት ውስጥ በማስገባት ከነጥቡ ጋር በማመሳሰል ወደ ሥራው መግባት ይችላሉ
ቀጥ ያለ መስመር በነጥብ እና በቀጥታ መስመር አቅጣጫ የሚመራ ቬክተር።
ፍቺ. እያንዳንዱ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር (α 1፣ α 2), የማን ክፍሎች ሁኔታውን ያረካሉ
አአ 1 + ቢኤ 2 = 0ተብሎ ይጠራል የቀጥታ መስመር ቬክተር መምራት.
አክስ + ዉ + ሲ = 0
ለምሳሌ. የቀጥታ መስመርን እኩልታ ከአቅጣጫ ቬክተር (1, -1) ጋር ይፈልጉ እና በነጥብ A (1, 2) ውስጥ ማለፍ.
መፍትሄ. የሚፈለገውን መስመር እኩልነት በቅጹ ውስጥ እንፈልጋለን- አክስ + በ + ሲ = 0እንደ ትርጉሙ.
ቅንጅቶች የሚከተሉትን ሁኔታዎች ማሟላት አለባቸው:
1 * A + (-1) * B = 0, ማለትም. ሀ = ለ
ከዚያ የቀጥታ መስመር እኩልታ ቅጹ አለው: አክስ + አይ + ሲ = 0፣ወይም x + y + C / A = 0.
በ x = 1፣ y = 2እናገኛለን ሐ/አ = -3፣ ማለትም እ.ኤ.አ. የሚፈለገው እኩልታ፡-
x + y - 3 = 0
በክፍሎች ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.
በአጠቃላይ ቀጥተኛ መስመር Ах + Ву + С = 0 С≠0 ከሆነ ፣ በ -С መከፋፈል ፣ እኛ እናገኛለን-
ወይም የት
የቅንጅቶች ጂኦሜትሪክ ትርጉሙ ውህደቱ a የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያ ነው
ቀጥ ያለ ዘንግ ያለው ወይሀ ለ- ከመስመሩ ጋር የመስመሩን መገናኛ ነጥብ ማስተባበር ኦ.ዩ.
ለምሳሌ. የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ተሰጥቷል x - y + 1 = 0የዚህን መስመር እኩልታ በክፍሎች ውስጥ ይፈልጉ።
C = 1,, a = -1, b = 1.
የአንድ መስመር መደበኛ እኩልታ።
የእኩልታ ሁለቱም ጎኖች ከሆነ አክስ + ዉ + ሲ = 0በቁጥር መከፋፈል 
ተብሎ የሚጠራው
መደበኛ ሁኔታ, ከዚያም እናገኛለን
xcosφ + ysinφ - p = 0 -የአንድ መስመር መደበኛ እኩልታ.
የመደበኛነት ሁኔታ ምልክት ± መመረጥ አለበት μ*ሲ< 0.
አር- የቋሚው ርዝመት ከመነሻው ወደ ቀጥታ መስመር ወድቋል ፣
ሀ φ - በዚህ ቀጥ ያለ ቅርጽ ያለው አንግል ከአክሱ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር ኦ.
ለምሳሌ. የመስመሩ አጠቃላይ እኩልታ ተሰጥቷል 12x - 5y - 65 = 0. የተለያዩ አይነት እኩልታዎችን ለመፃፍ ያስፈልጋል
ይህ ቀጥተኛ መስመር.
የዚህ መስመር እኩልታ በክፍሎች:
የዚህ መስመር እኩልታ ከዳገቱ ጋር: (በ5 ተከፋፍሏል)
የአንድ መስመር እኩልታ:
cos φ = 12/13; ኃጢአት φ= -5/13; p = 5
እያንዳንዱ ቀጥተኛ መስመር በክፍሎች ውስጥ በቀመር ሊወከል እንደማይችል ልብ ሊባል ይገባል ፣ ለምሳሌ ፣ ቀጥ ያሉ መስመሮች ፣
ከመጥረቢያዎች ጋር ትይዩ ወይም በመነሻው ውስጥ ማለፍ.
በአውሮፕላን ላይ ባሉ ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል.
ፍቺ. ሁለት መስመሮች ከተሰጡ y = k 1 x + b 1፣ y = k 2 x + b 2, ከዚያም በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለው አጣዳፊ ማዕዘን
ተብሎ ይገለጻል።
ከሆነ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው k 1 = k 2. ሁለት መስመሮች ቀጥ ያሉ ናቸው
ከሆነ k 1 = -1/ k 2 .
ቲዎረም.
ቀጥታ አክስ + ዉ + ሲ = 0እና ሀ 1 x + B 1 y + C 1 = 0መጋጠሚያዎቹ ተመጣጣኝ ሲሆኑ ትይዩ
A 1 = λA, B 1 = λB. ከሆነ ደግሞ С 1 = λС, ከዚያም መስመሮቹ ይጣጣማሉ. የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች
የእነዚህ መስመሮች እኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ይገኛሉ.
በአንድ ነጥብ በኩል የሚያልፍ የመስመር እኩልታ ከተወሰነ መስመር ጋር ቀጥ ያለ።
ፍቺ. በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ መስመር M 1 (x 1፣ y 1)እና ቀጥታ ወደ መስመር y = kx + b
በቀመር የተወከለው፡-
ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት።
ቲዎረም. ነጥብ ከተሰጠ M(x 0፣ y 0)፣ከዚያም ወደ ቀጥታ መስመር ያለው ርቀት አክስ + ዉ + ሲ = 0እንደ፡-
ማረጋገጫ. ነጥቡ ይሁን M 1 (x 1፣ y 1)- የቋሚው መሠረት ከአንድ ነጥብ ወድቋል ኤምለተሰጠው
ቀጥተኛ. ከዚያም በነጥቦች መካከል ያለው ርቀት ኤምእና ኤም 1:
(1)
መጋጠሚያዎች x 1እና በ 1ለእኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ሊገኝ ይችላል-
የስርዓቱ ሁለተኛው እኩልታ በተሰጠው ነጥብ M 0 ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ነው.
ቀጥተኛ መስመር ተሰጥቷል. የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ ቅጹ ከቀየርነው፡-
A(x - x 0) + B(y - y 0) + መጥረቢያ 0 + በ0 + ሲ = 0፣
ከዚያም በመፍታት, እኛ እናገኛለን:
እነዚህን አባባሎች በቀመር (1) በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን፡-
ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የመስመር እኩልታ። በጽሁፉ ውስጥ" " የተግባርን ግራፍ እና ለዚህ ግራፍ ታንጀንት የተሰጠውን የመነጩን ፍለጋ የቀረቡትን ችግሮች ለመፍታት ሁለተኛውን መንገድ እንድትመለከቱ ቃል ገብቻለሁ። በዚህ ዘዴ ውስጥ እንነጋገራለን ፣ እንዳያመልጥዎ! ለምንበሚቀጥለው?
እውነታው ግን የቀጥታ መስመር እኩልታ ቀመር እዚያ ጥቅም ላይ ይውላል. በእርግጥ ይህንን ቀመር በቀላሉ ልናሳየው እና እንዲማሩት ልንመክርዎ እንችላለን። ግን ከየት እንደመጣ (እንዴት እንደሚገኝ) ማብራራት ይሻላል. አስፈላጊ ነው! ከረሱት, በፍጥነት ወደነበረበት መመለስ ይችላሉአስቸጋሪ አይሆንም. ሁሉም ነገር ከዚህ በታች በዝርዝር ተዘርዝሯል. ስለዚህ, በአስተባባሪ አውሮፕላን ላይ ሁለት ነጥቦች A አሉን(x 1; y 1) እና B(x 2;y 2)፣ ቀጥተኛ መስመር በተጠቀሱት ነጥቦች ይሳላል፡- 
ቀጥተኛ ቀመር ራሱ ይኸውና፡-
* ይኸውም የተወሰኑ የነጥብ መጋጠሚያዎችን በምንተካበት ጊዜ የy=kx+b ቅጽ እኩልታ እናገኛለን።
**ይህን ቀመር በቀላሉ "ካስታውሱት" ከሆነ ከመረጃ ጠቋሚዎች ጋር የመምታታት እድሉ ከፍተኛ ነው። X. በተጨማሪም ፣ ኢንዴክሶች በተለያዩ መንገዶች ሊሰየሙ ይችላሉ ፣ ለምሳሌ-
ለዚህም ነው ትርጉሙን መረዳት አስፈላጊ የሆነው።
አሁን የዚህ ቀመር አመጣጥ. ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው!
ትሪያንግሎች ABE እና ACF በአጣዳፊ ማዕዘን (የቀኝ ትሪያንግሎች ተመሳሳይነት የመጀመሪያው ምልክት) ተመሳሳይ ናቸው። ከዚህ በመነሳት የተጓዳኙ ንጥረ ነገሮች ሬሾዎች እኩል ናቸው, ማለትም:
አሁን እነዚህን ክፍሎች በቀላሉ በነጥቦቹ መጋጠሚያዎች ልዩነት እንገልፃለን-
በእርግጥ የንጥሎቹን ግንኙነቶች በተለያየ ቅደም ተከተል ከጻፉ ምንም ስህተት አይኖርም (ዋናው ነገር ወጥነትን መጠበቅ ነው)
ውጤቱም የመስመሩ ተመሳሳይ እኩልታ ይሆናል. ይህ ሁሉ ነው!
ያም ማለት ነጥቦቹ እራሳቸው (እና መጋጠሚያዎቻቸው) ምንም ያህል ቢመደቡ፣ ይህንን ቀመር በመረዳት ሁልጊዜም የቀጥታ መስመር እኩልታ ያገኛሉ።
ቀመሩ የቬክተሮችን ባህሪያት በመጠቀም ሊወጣ ይችላል, ነገር ግን የመግዣ መርህ ተመሳሳይ ይሆናል, ምክንያቱም ስለ መጋጠሚያዎቻቸው ተመጣጣኝነት እንነጋገራለን. በዚህ ሁኔታ, የቀኝ ትሪያንግሎች ተመሳሳይ ተመሳሳይነት ይሠራል. በእኔ አስተያየት, ከላይ የተገለፀው መደምደሚያ የበለጠ ግልጽ ነው)).
ውጤቱን በቬክተር መጋጠሚያዎች ይመልከቱ >>>
በሁለት የተሰጡ ነጥቦች A(x 1;y 1) እና B(x 2;y 2) በሚያልፈው መጋጠሚያ አውሮፕላን ላይ ቀጥ ያለ መስመር ይሰራ። በመስመሩ ላይ የዘፈቀደ ነጥብ Cን ከመጋጠሚያዎች ጋር ምልክት እናድርግ ( x; y). እንዲሁም ሁለት ቬክተሮችን እንጠቁማለን-
በትይዩ መስመሮች (ወይም በተመሳሳይ መስመር) ላይ ለሚተኙ ቬክተሮች ተጓዳኝ መጋጠሚያዎቻቸው ተመጣጣኝ ናቸው ፣ ማለትም-
- የተዛማጅ መጋጠሚያዎችን ሬሾዎች እኩልነት እንጽፋለን-
አንድ ምሳሌ እንመልከት፡-
በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ በመጋጠሚያዎች (2፡5) እና (7፡3) ያግኙ።
ቀጥተኛውን መስመር በራሱ መገንባት እንኳን አያስፈልግም. ቀመሩን እንተገብራለን፡-
ሬሾውን በሚስሉበት ጊዜ የደብዳቤ ልውውጦቹን መያዙ አስፈላጊ ነው። የሚከተለውን ከጻፍክ ልትሳሳት አትችልም።
መልስ፡ y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8
የውጤቱ እኩልነት በትክክል መገኘቱን ለማረጋገጥ, መፈተሽዎን እርግጠኛ ይሁኑ - የውሂብ መጋጠሚያዎችን ወደ ነጥቦቹ ሁኔታ ይተኩ. እኩልታዎቹ ትክክል መሆን አለባቸው.
ይኼው ነው. ቁሱ ለእርስዎ ጠቃሚ እንደነበረ ተስፋ አደርጋለሁ።
ከሰላምታ ጋር እስክንድር።
P.S: በማህበራዊ አውታረመረቦች ላይ ስለ ጣቢያው ብትነግሩኝ አመስጋኝ ነኝ።
ፍቺበአውሮፕላኑ ላይ ያለ ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በአንደኛ ደረጃ ቀመር ሊገለጽ ይችላል
አክስ + ዉ + ሲ = 0፣
ከዚህም በላይ ቋሚዎች A እና B በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም. ይህ የመጀመሪያ ትዕዛዝ እኩልታ ይባላል የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ።በቋሚዎች A ፣ B እና C እሴቶች ላይ በመመስረት የሚከተሉት ልዩ ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ ።
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 - ቀጥታ መስመር በመነሻው ውስጥ ያልፋል.
A = 0, B ≠0, C ≠0 (በ + C = 0) - ቀጥታ መስመር ከኦክስ ዘንግ ጋር ትይዩ
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - ቀጥተኛ መስመር ከኦይ ዘንግ ጋር ትይዩ ነው.
B = C = 0, A ≠0 - ቀጥታ መስመር ከኦይ ዘንግ ጋር ይጣጣማል
A = C = 0, B ≠0 - ቀጥታ መስመር ከኦክስ ዘንግ ጋር ይጣጣማል
በማንኛውም የመነሻ ሁኔታዎች ላይ በመመስረት የቀጥታ መስመር እኩልታ በተለያዩ ቅርጾች ሊቀርብ ይችላል.
ከነጥብ እና ከመደበኛ ቬክተር የቀጥተኛ መስመር እኩልታ
ፍቺበካርቴዥያ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ሥርዓት ውስጥ፣ ክፍሎች ያሉት ቬክተር (A፣ B) በቀመር Ax + By + C = 0 ከተሰጠው ቀጥተኛ መስመር ጋር ቀጥ ያለ ነው።
ለምሳሌ. በነጥብ A(1፣ 2) ወደ (3፣ -1) ቀጥ ብሎ የሚያልፈውን የመስመሩን እኩልታ ይፈልጉ።
መፍትሄ. በ A = 3 እና B = -1 ፣ የቀጥታ መስመርን እኩልታ እንፃፍ 3x – y + C = 0. Coefficient Cን ለማግኘት የተሰጠውን ነጥብ A መጋጠሚያዎች በውጤቱ አገላለጽ እንተካለን። 3 - 2 + C = 0, ስለዚህ, C = -1. ጠቅላላ፡ የሚፈለገው እኩልታ፡ 3x – y – 1 = 0።
በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የመስመር እኩልታ
ሁለት ነጥቦች M 1 (x 1, y 1, z 1) እና M 2 (x 2, y 2, z 2) በጠፈር ውስጥ ይሰጡ, ከዚያም በእነዚህ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የመስመሩ እኩልታ:
ከዜሮ ማሰራጫዎች ውስጥ አንዳቸውም ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ተጓዳኝ አሃዛዊው ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አለበት ። በአውሮፕላኑ ላይ ፣ ከዚህ በላይ የተጻፈው የመስመር እኩልታ ቀለል ይላል ።
x 1 ≠ x 2 እና x = x 1 ከሆነ x 1 = x 2 ከሆነ።
ክፍልፋይ = k ይባላል ተዳፋትቀጥታ።
ለምሳሌ. በነጥቦች A(1፣ 2) እና B(3፣ 4) የሚያልፍ የመስመሩን እኩልታ ያግኙ።
መፍትሄ።ከላይ የተፃፈውን ቀመር በመተግበር እናገኛለን፡-
ከአንድ ነጥብ እና ተዳፋት የቀጥተኛ መስመር እኩልታ
አጠቃላይ Ax + Bu + C = 0 ከሆነ ወደ ቅጹ ይምሩ፡
እና ይሰይሙ 
, ከዚያም የተገኘው እኩልታ ይባላል ከቁልቁል ጋር ቀጥተኛ መስመር እኩልታክ.
ከነጥብ እና ከአቅጣጫ ቬክተር የቀጥተኛ መስመር እኩልታ
የቀጥታ መስመርን በተለመደው ቬክተር በኩል ያለውን እኩልነት ግምት ውስጥ በማስገባት ከነጥቡ ጋር በማመሳሰል የቀጥታ መስመርን ፍቺ በነጥብ እና በቀጥተኛ መስመር ዳይሬክተሩ ውስጥ ማስገባት ይችላሉ።
ፍቺእያንዳንዱ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር (α 1፣ α 2)፣ ሁኔታውን የሚያሟሉ ክፍሎቹ A α 1 + B α 2 = 0 የመስመሩ ቀጥተኛ ቬክተር ይባላል።
አክስ + ዉ + ሲ = 0
ለምሳሌ. የቀጥታ መስመርን እኩልታ ከአቅጣጫ ቬክተር (1, -1) ጋር ይፈልጉ እና በነጥብ A (1, 2) ውስጥ ማለፍ.
መፍትሄ።የሚፈለገውን መስመር እኩልታ በቅጹ ውስጥ እንፈልጋለን፡ Ax + By + C = 0. በትርጉሙ መሰረት፣ ቅንጅቶቹ ሁኔታዎችን ማሟላት አለባቸው፡-
1 * A + (-1) * B = 0, ማለትም. ሀ = ለ
ከዚያም የቀጥታ መስመር እኩልታ ቅጹ አለው: Ax + Ay + C = 0, ወይም x + y + C / A = 0. ለ x = 1, y = 2 እኛ C / A = -3, i.e. የሚፈለገው እኩልታ፡-
በክፍሎች ውስጥ የአንድ መስመር እኩልታ
በአጠቃላይ ቀጥተኛ መስመር Ах + Ву + С = 0 С≠0 ከሆነ ፣ በ -С መከፋፈል ፣ እኛ እናገኛለን- 
ወይም
የቅንጅቶች ጂኦሜትሪክ ትርጉሙ ኮፊሸን ማለት ነው። ሀከኦክስ ዘንግ ጋር የመስመሩ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያ ነው, እና ለ- የቀጥታ መስመር መገናኛ ነጥብ ከኦይ ዘንግ ጋር መጋጠሚያ።
ለምሳሌ.የመስመሩ አጠቃላይ እኩልታ x - y + 1 = 0 ተሰጥቷል የዚህን መስመር እኩልታ በክፍሎች ይፈልጉ።
C = 1,, a = -1, b = 1.
የአንድ መስመር መደበኛ እኩልታ
የእኩልታ ሁለቱም ጎኖች Ax + By + C = 0 በቁጥር ቢባዙ 
ተብሎ የሚጠራው መደበኛ ሁኔታ, ከዚያም እናገኛለን
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
የአንድ መስመር መደበኛ እኩልታ። የመደበኛነት ሁኔታ ምልክት ± መመረጥ አለበት ስለዚህ μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
ለምሳሌ. የመስመሩ አጠቃላይ እኩልታ 12x - 5y - 65 = 0 ተሰጥቷል ለዚህ መስመር የተለያዩ አይነት እኩልታዎችን መፃፍ ያስፈልጋል።
የዚህ መስመር እኩልታ በክፍሎች: 
የዚህ መስመር እኩልታ ከዳገት ጋር፡ (በ5 ይካፈሉ)
; cos φ = 12/13; ኃጢአት φ= -5/13; p = 5
እያንዳንዱ ቀጥተኛ መስመር በክፍሎች ውስጥ በቀመር ሊወከል እንደማይችል ልብ ሊባል ይገባል ፣ ለምሳሌ ፣ ቀጥ ያሉ መስመሮች ከመጥረቢያዎቹ ጋር ትይዩ ወይም በመጋጠሚያዎች አመጣጥ ውስጥ ማለፍ።
ለምሳሌ. ቀጥተኛው መስመር በተስተካከሉ ዘንጎች ላይ እኩል አዎንታዊ ክፍሎችን ይቆርጣል. በእነዚህ ክፍሎች የተሠራው የሶስት ማዕዘን ቦታ 8 ሴ.ሜ 2 ከሆነ ለቀጥታ መስመር እኩልታ ይፃፉ።
መፍትሄ።የቀጥታ መስመር እኩልታ ቅጹ አለው: ab /2 = 8; ab=16; a=4፣ a=-4 ሀ = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
ለምሳሌ. ነጥብ A(-2፣ -3) እና በመነሻው በኩል ለሚያልፍ ቀጥታ መስመር እኩልታ ይፃፉ።
መፍትሄ.
የቀጥታ መስመር እኩልታ፡- 
, የት x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.
በአውሮፕላን ላይ ባሉ ቀጥታ መስመሮች መካከል አንግል
ፍቺሁለት መስመሮች ከተሰጡ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ከዚያም በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለው አጣዳፊ ማዕዘን እንደሚከተለው ይገለጻል.
.
ሁለት መስመሮች k 1 = k 2 ከሆነ ትይዩ ናቸው. k 1 = -1/ k 2 ከሆነ ሁለት መስመሮች ቀጥ ያሉ ናቸው።
ቲዎረም.መስመሮች Ax + Bу + C = 0 እና A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ትይዩዎች ሲሆኑ የቁጥር መስመሮች A 1 = λA, B 1 = λB ተመጣጣኝ ናቸው. እንዲሁም C 1 = λC ከሆነ, መስመሮቹ ይጣጣማሉ. የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች የእነዚህ መስመሮች እኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ሆነው ይገኛሉ.
በተሰጠው መስመር ውስጥ በተሰጠው ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ መስመር እኩልታ
ፍቺበነጥብ M 1 (x 1፣ y 1) እና ቀጥታ መስመር y = kx + b የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር በቀመር ይወከላል፡-
ከነጥብ ወደ መስመር ርቀት
ቲዎረም.አንድ ነጥብ M (x 0, y 0) ከተሰጠ, ከዚያም ወደ መስመር Ax + Bу + C = 0 ያለው ርቀት ይወሰናል.
.
ማረጋገጫ።ነጥብ M 1 (x 1፣ y 1) ከነጥብ M ወደ ተሰጠው ቀጥተኛ መስመር የወረደው የቋሚው መሠረት ይሁን። ከዚያ በ M እና M 1 መካከል ያለው ርቀት:
(1)
መጋጠሚያዎቹ x 1 እና y 1 የእኩልታዎችን ስርዓት በመፍታት ሊገኙ ይችላሉ፡-
የስርዓቱ ሁለተኛው እኩልታ በተሰጠው ነጥብ M 0 ውስጥ የሚያልፍ መስመር እኩልታ በአንድ መስመር ላይ ነው. የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ ቅጹ ከቀየርነው፡-
A(x – x 0) + B(y – y 0) + መጥረቢያ 0 + በ 0 + ሲ = 0፣
ከዚያም በመፍታት, እኛ እናገኛለን:
እነዚህን አባባሎች በቀመር (1) በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን፡-
ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
ለምሳሌ. በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ይወስኑ: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ= π /4.
ለምሳሌ. መስመሮች 3x - 5y + 7 = 0 እና 10x + 6y - 3 = 0 ቀጥ ያሉ መሆናቸውን አሳይ።
መፍትሄ. እኛ እናገኛለን: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, ስለዚህ, መስመሮቹ ቀጥ ያሉ ናቸው.
ለምሳሌ. የተሰጡት የሶስት ማዕዘኑ ጫፎች A(0፤ 1)፣ B (6፣ 5)፣ C (12; -1) ናቸው። ከቬርቴክስ ሐ የተቀዳውን የከፍታ እኩልታ ያግኙ።
መፍትሄ. የጎን AB እኩልታ እናገኛለን 
; 4 x = 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 = 0;
የሚፈለገው የከፍታ እኩልታ ቅፅ አለው፡ Ax + By + C = 0 or y = kx + b. k = . ከዚያ y =. ምክንያቱም ቁመቱ በ ነጥብ C ውስጥ ያልፋል ፣ ከዚያ መጋጠሚያዎቹ ይህንን እኩልነት ያሟላሉ 
ከየት b = 17. ድምር፡. 
መልስ፡ 3 x + 2 y – 34 = 0
መስመሩ በነጥቦች M 1 (x 1; y 1) እና M 2 (x 2; y 2) በኩል እንዲያልፍ ያድርጉ። በነጥብ M 1 ውስጥ የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ y-y 1 = ቅጽ አለው። ክ (x - x 1)፣ (10.6)
የት ክ - አሁንም ያልታወቀ ቅንጅት.
ቀጥተኛ መስመር በ M 2 (x 2 y 2) ውስጥ ስለሚያልፍ, የዚህ ነጥብ መጋጠሚያዎች እኩልታ (10.6) ማሟላት አለባቸው: y 2 -y 1 = ክ (x 2 - x 1)።
የተገኘውን እሴት በመተካት ከዚህ እናገኛለን ክ
ወደ እኩልታ (10.6) ፣ በነጥቦች M 1 እና M 2 ውስጥ የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ እናገኛለን። 
በዚህ ቀመር x 1 ≠ x 2፣ y 1 ≠ y 2 እንደሆነ ይታሰባል።
x 1 = x 2 ከሆነ፣ ነጥቦቹን M 1 (x 1፣y I) እና M 2 (x 2፣y 2) የሚያልፈው ቀጥተኛ መስመር ከተራዘመ ዘንግ ጋር ትይዩ ነው። የእሱ እኩልነት ነው x = x 1 .
y 2 = y I ከሆነ, ከዚያም የመስመሩ እኩልታ እንደ y = y 1 ሊጻፍ ይችላል, ቀጥተኛ መስመር M 1 M 2 ከ abscissa ዘንግ ጋር ትይዩ ነው.
በክፍሎች ውስጥ የአንድ መስመር እኩልታ
ቀጥተኛው መስመር የኦክስ ዘንግ በ M 1 (a;0) እና በ M 2 (0;b) ላይ ያለውን የኦክስ ዘንግ ያቋርጥ. ቀመር ቅጹን ይወስዳል፡- 
እነዚያ። 
. ይህ እኩልታ ይባላል በክፍሎች ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ, ምክንያቱም ቁጥሮች a እና b የሚያመለክቱት በመስመሩ ላይ የትኞቹ ክፍሎች እንደሚቆረጡ ነው.
በተሰጠው ቬክተር በተሰጠው ነጥብ በኩል የሚያልፍ የመስመር እኩልታ
በተሰጠ ነጥብ Mo (x O; y o) በኩል የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ ከተሰጠ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር n = (A; B) ጋር እንፈልግ።
በመስመር ላይ የዘፈቀደ ነጥብ M (x; y) እንውሰድ እና ቬክተር M 0 M (x - x 0; y - y o) (ምስል 1 ይመልከቱ). ቬክተሮች n እና M o M ቀጥ ያሉ በመሆናቸው፣ ስክላር ምርታቸው ከዜሮ ጋር እኩል ነው።
አ(x - xo) + B(y - ዮ) = 0። (10.8)
ቀመር (10.8) ይባላል በተሰጠው ቬክተር ላይ በተሰጠው ነጥብ በኩል የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ .
ቬክተር n= (A; B)፣ ከመስመሩ ጎን ለጎን፣ መደበኛ ይባላል የዚህ መስመር መደበኛ ቬክተር .
ቀመር (10.8) እንደ እንደገና ሊጻፍ ይችላል። አህ + ዉ + ሲ = 0 , (10.9)
A እና B የመደበኛ ቬክተር መጋጠሚያዎች ሲሆኑ፣ C = -Ax o - Vu o ነፃ ቃል ነው። እኩልታ (10.9) የመስመሩ አጠቃላይ እኩልታ ነው።(ምስል 2 ይመልከቱ).
ምስል 1 ምስል 2
የመስመሩ ቀኖናዊ እኩልታዎች
,
የት 
- መስመሩ የሚያልፍበት ነጥብ መጋጠሚያዎች, እና 
- አቅጣጫ ቬክተር.
ሁለተኛ ደረጃ ኩርባዎች ክበብ
ክበብ ከተወሰነ ነጥብ የአውሮፕላኑ እኩል ርቀት የሁሉም ነጥቦች ስብስብ ነው ፣ እሱም መሃል ተብሎ ይጠራል።
የራዲየስ ክበብ ቀኖናዊ እኩልታ
አር በአንድ ነጥብ ላይ ያተኮረ 
:
በተለይም የአክሲዮኑ ማእከል ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር የሚጣጣም ከሆነ ፣ እኩልዮሹ የሚከተለውን ይመስላል። 
ሞላላ
ኤሊፕስ በአውሮፕላኑ ላይ ያሉ የነጥቦች ስብስብ ነው፣ ከእያንዳንዳቸው እስከ ሁለት የተሰጡ ርቀቶች ድምር።
እና 
ፎሲ ተብለው የሚጠሩት ቋሚ መጠን ነው። 
, በ foci መካከል ካለው ርቀት ይበልጣል 
.
ፍላጎቱ በኦክስ ዘንግ ላይ የሚተኛ ሞላላ ቀኖናዊ ቀመር እና በፎሲው መካከል ያለው መጋጠሚያዎች አመጣጥ ቅጹ አለው 
ጂ 
ደሀ ከፊል-ዋና ዘንግ ርዝመት;ለ - ከፊል-ጥቃቅን ዘንግ ርዝመት (ምስል 2).
በአውሮፕላን ላይ የመስመር ላይ እኩልታ.
እንደሚታወቀው, በአውሮፕላኑ ላይ ያለው ማንኛውም ነጥብ በአንዳንድ የመጋጠሚያ ስርዓቶች ውስጥ በሁለት መጋጠሚያዎች ይወሰናል. የማስተባበር ሥርዓቶች እንደ መነሻ እና መነሻ ምርጫ ሊለያዩ ይችላሉ።
ፍቺ የመስመር እኩልታይህንን መስመር በሚፈጥሩት የነጥብ መጋጠሚያዎች መካከል ያለው ግንኙነት y = f(x) ይባላል።
የአንድ መስመር እኩልታ በትይዩ ሊገለጽ እንደሚችል ልብ ይበሉ፣ ያም የእያንዳንዱ ነጥብ መጋጠሚያ በአንዳንድ ገለልተኛ ግቤቶች ይገለጻል። ቲ.
የተለመደው ምሳሌ የሚንቀሳቀስ ነጥብ አቅጣጫ ነው. በዚህ ሁኔታ, የመለኪያው ሚና የሚጫወተው በጊዜ ነው.
በአውሮፕላን ላይ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.
ፍቺ በአውሮፕላኑ ላይ ያለ ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በአንደኛ ደረጃ ቀመር ሊገለጽ ይችላል
አክስ + ዉ + ሲ = 0፣
ከዚህም በላይ ቋሚዎች A እና B በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም, ማለትም. A 2 + B 2 0. ይህ የመጀመሪያ ትዕዛዝ እኩልታ ይባላል የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ።
በቋሚዎች A ፣ B እና C እሴቶች ላይ በመመስረት የሚከተሉት ልዩ ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ ።
C = 0, A 0, B 0 - ቀጥታ መስመር በመነሻው ውስጥ ያልፋል.
A = 0, B 0, C 0 (በ + C = 0) - ቀጥታ መስመር ከኦክስ ዘንግ ጋር ትይዩ
B = 0, A 0, C 0 (Ax + C = 0) - ቀጥታ መስመር ከኦይ ዘንግ ጋር ትይዩ
B = C = 0, A 0 - ቀጥተኛ መስመር ከኦይ ዘንግ ጋር ይጣጣማል.
A = C = 0, B 0 - ቀጥተኛ መስመር ከኦክስ ዘንግ ጋር ይጣጣማል.
በማንኛውም የመነሻ ሁኔታዎች ላይ በመመስረት የቀጥታ መስመር እኩልታ በተለያዩ ቅርጾች ሊቀርብ ይችላል.
ከነጥብ እና ከመደበኛ ቬክተር ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.
ፍቺ በካርቴዥያ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ሥርዓት ውስጥ፣ ክፍሎች ያሉት ቬክተር (A፣ B) በቀመር Ax + By + C = 0 ከተሰጠው ቀጥተኛ መስመር ጋር ቀጥ ያለ ነው።
ለምሳሌ.ነጥብ A(1፣ 2) በቬክተር ቀጥ ብሎ የሚያልፈውን የመስመሩን እኩልታ ይፈልጉ 
(3,
-1).
ከ A = 3 እና B = -1 ጋር, የቀጥታ መስመርን እኩልታ እናዘጋጅ: 3x - y + C = 0. Coefficient C ን ለማግኘት, የተሰጠውን ነጥብ A መጋጠሚያዎች በተፈጠረው አገላለጽ እንተካለን.
እናገኛለን: 3 - 2 + C = 0, ስለዚህ C = -1.
ጠቅላላ፡ የሚፈለገው እኩልታ፡ 3x – y – 1 = 0።
በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የመስመር እኩልታ።
ሁለት ነጥቦች M 1 (x 1, y 1, z 1) እና M 2 (x 2, y 2, z 2) በጠፈር ውስጥ ይሰጡ, ከዚያም በእነዚህ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የመስመሩ እኩልታ:
የትኛውም ተከፋይ ዜሮ ከሆነ፣ተዛማጁ አሃዛዊው ከዜሮ ጋር እኩል መዋቀር አለበት።
በአውሮፕላኑ ላይ፣ ከላይ የተጻፈው የቀጥታ መስመር እኩልታ ቀላል ነው፡-
x 1 x 2 እና x = x 1 ከሆነ፣ x 1 = x 2 ከሆነ።
ክፍልፋይ 
= k ይባላል ተዳፋትቀጥታ።
ለምሳሌ.በነጥቦች A(1፣ 2) እና B(3፣ 4) የሚያልፍ የመስመሩን እኩልታ ያግኙ።
ከላይ የተፃፈውን ቀመር በመተግበር እናገኛለን፡-
ነጥብ እና ተዳፋት በመጠቀም የቀጥታ መስመር እኩልታ።
የቀጥታ መስመር አጠቃላይ እኩልታ Ax + By + C = 0 ወደ ቅጹ ከተቀነሰ፡-
እና ይሰይሙ 
, ከዚያም የተገኘው እኩልታ ይባላል ከቁልቁል ጋር ቀጥተኛ መስመር እኩልታክ.
ከነጥብ እና ከአቅጣጫ ቬክተር የቀጥተኛ መስመር እኩልታ.
የቀጥታ መስመርን በተለመደው ቬክተር በኩል ያለውን እኩልነት ግምት ውስጥ በማስገባት ከነጥቡ ጋር በማመሳሰል የቀጥታ መስመርን ፍቺ በነጥብ እና በቀጥታ መስመር ዳይሬክተሩ በኩል ማስገባት ይችላሉ።
ፍቺ
እያንዳንዱ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር 
( 1፣ 2)፣ ሁኔታውን የሚያሟሉ ክፍሎቹ A 1 + B 2 = 0 የመስመሩን ዳይሬክት ቬክተር ይባላል።
አክስ + ዉ + ሲ = 0
ለምሳሌ.የመስመሩን እኩልታ ከአቅጣጫ ቬክተር ጋር ያግኙ 
(1, -1) እና ነጥብ A (1, 2) ማለፍ.
የሚፈለገውን መስመር እኩልታ በቅጹ ውስጥ እንፈልጋለን፡ Ax + By + C = 0. በትርጉሙ መሰረት፣ ቅንጅቶቹ ሁኔታዎችን ማሟላት አለባቸው፡-
1A + (-1)B = 0፣ i.e. ሀ = ለ
ከዚያም የቀጥታ መስመር እኩልታ ቅፅ አለው፡ Ax + Ay + C = 0 ወይም x + y + C/A = 0።
በ x = 1, y = 2 C / A = -3 እናገኛለን, i.e. የሚፈለገው እኩልታ፡-
በክፍሎች ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.
በአጠቃላይ ቀጥተኛ መስመር Ах + Ву + С = 0 С 0 ከሆነ ፣ በ -С መከፋፈል ፣ እኛ እናገኛለን- 
ወይም
፣ የት
የቅንጅቶች ጂኦሜትሪክ ትርጉሙ ኮፊሸን ማለት ነው። ሀከኦክስ ዘንግ ጋር የመስመሩ መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያ ነው, እና ለ- የቀጥታ መስመር መገናኛ ነጥብ ከኦይ ዘንግ ጋር መጋጠሚያ።
ለምሳሌ.የመስመሩ አጠቃላይ እኩልታ x - y + 1 = 0 ተሰጥቷል የዚህን መስመር እኩልታ በክፍሎች ይፈልጉ።
ሐ = 1፣ 
, a = -1,b = 1.
የአንድ መስመር መደበኛ እኩልታ።
የእኩልታ ሁለቱም ጎኖች Ax + By + C = 0 በቁጥር ከተከፋፈሉ 
ተብሎ የሚጠራው መደበኛ ሁኔታ, ከዚያም እናገኛለን
xcos + ysin - p = 0 –
የአንድ መስመር መደበኛ እኩልታ።
የመደበኛነት ሁኔታ ምልክት መመረጥ አለበት ስለዚህም С< 0.
p ከመነሻው ወደ ቀጥታ መስመር የወረደው የፔንዲኩላር ርዝመት ሲሆን በዚህ ቀጥ ያለ ከኦክስ ዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር የተገነባው አንግል ነው።
ለምሳሌ.የመስመሩ አጠቃላይ እኩልታ 12x - 5y - 65 = 0 ተሰጥቷል ለዚህ መስመር የተለያዩ አይነት እኩልታዎችን መፃፍ ያስፈልጋል።
የዚህ መስመር እኩልታ በክፍሎች: 
የዚህ መስመር እኩልታ ከዳገት ጋር፡ (በ5 ይካፈሉ)
መደበኛ የመስመር እኩልታ;
; cos = 12/13; ኃጢአት = -5/13; p = 5
እያንዳንዱ ቀጥተኛ መስመር በክፍሎች ውስጥ በቀመር ሊወከል እንደማይችል ልብ ሊባል ይገባል ፣ ለምሳሌ ፣ ቀጥ ያሉ መስመሮች ከመጥረቢያዎቹ ጋር ትይዩ ወይም በመጋጠሚያዎች አመጣጥ ውስጥ ማለፍ።
ለምሳሌ.ቀጥተኛው መስመር በተስተካከሉ ዘንጎች ላይ እኩል አዎንታዊ ክፍሎችን ይቆርጣል. በእነዚህ ክፍሎች የተሠራው የሶስት ማዕዘን ቦታ 8 ሴ.ሜ 2 ከሆነ ለቀጥታ መስመር እኩልታ ይፃፉ።
የቀጥታ መስመር እኩልታ፡- 
, a = b = 1; ab/2 = 8; ሀ = 4; -4.
a = -4 እንደ ችግሩ ሁኔታ ተስማሚ አይደለም.
ጠቅላላ፡ 
ወይም x + y – 4 = 0
ለምሳሌ.ነጥብ A(-2፣ -3) እና በመነሻው በኩል ለሚያልፍ ቀጥታ መስመር እኩልታ ይፃፉ።
የቀጥታ መስመር እኩልታ፡- 
, የት x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.
በአውሮፕላን ላይ ባሉ ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል.
ፍቺ ሁለት መስመሮች ከተሰጡ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ከዚያም በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለው አጣዳፊ ማዕዘን እንደሚከተለው ይገለጻል.
.
ሁለት መስመሮች k 1 = k 2 ከሆነ ትይዩ ናቸው.
ሁለት መስመሮች k 1 = -1/k 2 ከሆነ ቀጥ ያሉ ናቸው.
ቲዎረም. ቀጥታ መስመሮች Ax + Wu + C = 0 እና A 1 x + ቢ 1 y + ሲ 1 = 0 ትይዩዎች ናቸው የ A ብዛቶች ተመጣጣኝ ሲሆኑ 1 = ኤ፣ ቢ 1 = ለ. እንዲሁም ሲ 1 = ሐ፣ ከዚያ መስመሮቹ ይጣጣማሉ።
የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች የእነዚህ መስመሮች እኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ሆነው ይገኛሉ.
በተሰጠው ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ መስመር እኩልታ
በዚህ መስመር ላይ ቀጥ ያለ.
ፍቺ በነጥብ M 1 (x 1፣ y 1) እና ወደ ቀጥታ መስመር y = kx + b የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር በቀመር ይወከላል፡-
ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት።
ቲዎረም. ነጥቡ M (x) ከተሰጠ 0 , y 0 ), ከዚያም ወደ ቀጥታ መስመር Ах + Ву + С = 0 ያለው ርቀት ይገለጻል
.
ማረጋገጫ። ነጥብ M 1 (x 1፣ y 1) ከነጥብ M ወደ ተሰጠው ቀጥተኛ መስመር የወረደው የቋሚው መሠረት ይሁን። ከዚያ በ M እና M 1 መካከል ያለው ርቀት:
መጋጠሚያዎቹ x 1 እና y 1 የእኩልታዎችን ስርዓት በመፍታት ሊገኙ ይችላሉ፡-
የስርዓቱ ሁለተኛው እኩልታ በተሰጠው ነጥብ M 0 ውስጥ የሚያልፍ መስመር እኩልታ በአንድ መስመር ላይ ነው.
የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ ቅጹ ከቀየርነው፡-
A(x – x 0) + B(y – y 0) + መጥረቢያ 0 + በ 0 + ሲ = 0፣
ከዚያም በመፍታት, እኛ እናገኛለን:
እነዚህን አባባሎች በቀመር (1) በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን፡-
.
ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
ለምሳሌ.በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ይወስኑ: y = -3x + 7; y = 2x + 1
k 1 = -3; k 2 = 2 tg = 
; = /4።
ለምሳሌ.መስመሮች 3x - 5y + 7 = 0 እና 10x + 6y - 3 = 0 ቀጥ ያሉ መሆናቸውን አሳይ።
እኛ እናገኛለን: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, ስለዚህ, መስመሮቹ ቀጥ ያሉ ናቸው.
ለምሳሌ.የሶስት ማዕዘን A(0፤ 1)፣ B(6፤ 5)፣ ሲ(12፤ -1) ጫፎች ተሰጥተዋል። ከቬርቴክስ ሐ የተቀዳውን የከፍታ እኩልታ ያግኙ።
የጎን AB እኩልታ እናገኛለን 
; 4x = 6y - 6;
2x - 3ይ + 3 = 0; 
የሚፈለገው የከፍታ እኩልታ ቅፅ አለው፡ Ax + By + C = 0 or y = kx + b.
k = 
. ከዚያ y = 
. ምክንያቱም ቁመቱ በ ነጥብ C ውስጥ ያልፋል ፣ ከዚያ መጋጠሚያዎቹ ይህንን እኩልነት ያሟላሉ 
ከየት ነው b = 17. ጠቅላላ: 
.
መልስ፡ 3x + 2ይ – 34 = 0
በጠፈር ውስጥ የትንታኔ ጂኦሜትሪ።
በጠፈር ውስጥ የመስመር እኩልታ።
በጠፈር ውስጥ ያለው የመስመር እኩልነት ነጥብ እና
አቅጣጫ ቬክተር.
የዘፈቀደ መስመር እና ቬክተር እንውሰድ 
(m, n, p), ከተሰጠው መስመር ጋር ትይዩ. ቬክተር 
ተብሎ ይጠራል መመሪያ ቬክተርቀጥታ።
ቀጥታ መስመር ላይ ሁለት የዘፈቀደ ነጥቦችን M 0 (x 0, y 0, z 0) እና M (x, y, z) እንወስዳለን.
ዝ
ኤም 1
የእነዚህን ነጥቦች ራዲየስ ቬክተሮች እንጥቀስ 
እና 
፣ እንደሆነ ግልጽ ነው። 
-
=
.
ምክንያቱም ቬክተሮች 
እና 
ኮላይነር ናቸው፣ ከዚያ ግንኙነቱ እውነት ነው። 
=
t፣ የት የተወሰነ መለኪያ ነው።
በጠቅላላው, እኛ መጻፍ እንችላለን: 
=
+
ቲ.
ምክንያቱም ይህ እኩልታ በመስመሩ ላይ ባለው የየትኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎች ረክቷል፣ ከዚያ የተገኘው እኩልታ ነው። የአንድ መስመር ፓራሜትሪክ እኩልታ.
ይህ የቬክተር እኩልታ በተቀናጀ መልኩ ሊወከል ይችላል፡-
ይህንን ስርዓት በመቀየር እና የመለኪያ t እሴቶችን በማነፃፀር ፣ በቦታ ውስጥ የቀጥታ መስመር ቀኖናዊ እኩልታዎችን እናገኛለን ።
.
ፍቺ
አቅጣጫ ኮሳይንቀጥተኛ የቬክተር አቅጣጫ ኮሲኖች ናቸው 
ቀመሮችን በመጠቀም ሊሰላ የሚችል፡-
;
.
ከዚህ፡ m፡ n፡ p = cos፡ cos፡ cos እናገኛለን።
ቁጥሮች m, n, p ተጠርተዋል የማዕዘን አሃዞችቀጥታ። ምክንያቱም 
ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ነው፣ ከዚያ m፣ n እና p በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ሊሆኑ አይችሉም፣ ነገር ግን ከእነዚህ ቁጥሮች ውስጥ አንድ ወይም ሁለቱ ከዜሮ ጋር እኩል ሊሆኑ ይችላሉ። በዚህ ሁኔታ, በመስመሩ እኩልታ ውስጥ, ተጓዳኝ ቁጥሮች ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አለባቸው.
በጠፈር ማለፊያ ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ
በሁለት ነጥቦች በኩል.
በጠፈር ላይ ባለ ቀጥተኛ መስመር ላይ ሁለት የዘፈቀደ ነጥቦችን M 1 (x 1, y 1, z 1) እና M 2 (x 2, y 2, z 2) ምልክት ካደረግን, የእነዚህ ነጥቦች መጋጠሚያዎች ቀጥተኛውን መስመር እኩልታ ማሟላት አለባቸው. ከላይ የተገኘ:
.
በተጨማሪም፣ ለ ነጥብ M 1 እኛ መጻፍ እንችላለን፡-
.
እነዚህን እኩልታዎች አንድ ላይ ስንፈታ፣ እናገኛለን፡-
.
ይህ በጠፈር ውስጥ በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የመስመር እኩልታ ነው።
በጠፈር ውስጥ የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታዎች።
የአንድ ቀጥተኛ መስመር እኩልነት የሁለት አውሮፕላኖች መገናኛ መስመር እኩልነት ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል.
ከላይ እንደተብራራው፣ አውሮፕላን በቬክተር መልክ በቀመር ሊገለጽ ይችላል፡-
+ D = 0፣ የት
- መደበኛ አውሮፕላን; 
- ራዲየስ በአውሮፕላኑ ላይ የዘፈቀደ ነጥብ ቬክተር ነው።