صيغ الجذر. خصائص الجذور

الدرس والعرض التقديمي حول الموضوع:
"خصائص الجذر التربيعي. الصيغ. أمثلة على الحلول، المسائل مع الإجابات"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم. تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف الثامن
كتاب تفاعلي "الهندسة في 10 دقائق" للصف الثامن
المجمع التعليمي "1C: المدرسة. الهندسة الصف الثامن"

خصائص الجذر التربيعي

الخاصية 1. الجذر التربيعي لمنتج رقمين غير سالبين يساوي المنتج الجذور التربيعيةمن هذه الأرقام: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

من المعتاد إثبات أي خصائص، دعونا نفعل ذلك.
دع $\sqrt(a*b)=x$، $\sqrt(a)=y$، $\sqrt(b)=z$. ثم نحن بحاجة إلى إثبات أن $x=y*z$.
دعونا نقوم بتربيع كل تعبير.
إذا كان $\sqrt(a*b)=x$، فإن $a*b=x^2$.
إذا كان $\sqrt(a)=y$، $\sqrt(b)=z$، ثم نقوم بتربيع كلا التعبيرين، نحصل على: $a=y^2$، $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$، أي $x^2=(y*z)^2$. إذا كان مربعا رقمين غير سالبين متساويين، فإن الأرقام نفسها متساوية، وهذا ما يجب إثباته.

من ممتلكاتنا يترتب على ذلك، على سبيل المثال، $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

ملاحظة 1. تنطبق الخاصية أيضًا على الحالة التي يوجد فيها أكثر من عاملين غير سالبين تحت الجذر.
الملكية 2. إذا كان $a≥0$ و$b>0$، فإن المساواة التالية تكون: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

أي أن جذر حاصل القسمة يساوي حاصل قسمة الجذور.
دليل.
دعونا نستخدم الجدول ونثبت ملكيتنا بإيجاز.

أمثلة على استخدام خصائص الجذور التربيعية

حل.
بالطبع، يمكننا أن نأخذ آلة حاسبة، ونضرب جميع الأرقام الموجودة تحت الجذر ونجري عملية الجذر التربيعي. وإذا لم يكن لديك آلة حاسبة في متناول اليد، فماذا عليك أن تفعل بعد ذلك؟
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495 دولارًا.
الجواب: 495.

مثال 2. احسب: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

حل.
لنمثل الرقم الجذري ككسر غير فعلي: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
دعونا نستخدم الخاصية 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3.4 دولار.
الجواب: 3.4.

مثال 3.
احسب: $\sqrt(40^2-24^2)$.

حل.
يمكننا إيجاد قيمة التعبير بشكل مباشر، لكن من الممكن دائمًا تبسيطه. دعونا نحاول القيام بذلك.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
لذا، $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
الجواب: 32.

يرجى ملاحظة يا شباب أنه لا توجد صيغ لعمليات الجمع والطرح في التعبيرات الجذرية وأن التعبيرات الموضحة أدناه ليست صحيحة.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

مثال 4.
احسب: أ) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; ب) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
حل.
الخصائص المذكورة أعلاه تعمل من اليسار إلى اليمين ومن الداخل ترتيب عكسي، إنه:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
باستخدام هذا، دعونا نحل مثالنا.
أ) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

ب) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

الجواب: أ) 16؛ ب) 2.

الملكية 3. إذا $а≥0$ و n - عدد طبيعي، فإن المساواة تحمل: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

على سبيل المثال. $\sqrt(a^(16))=a^8$، $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ وهكذا.

مثال 5.
احسب: $\sqrt(129600)$.

حل.
العدد المقدم لنا كبير جدًا، فلنقسمه إلى عوامل أولية.
لقد تلقينا: $129600=5^2*2^6*3^4$ أو $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360 دولارًا.
الجواب: 360.

مشاكل لحلها بشكل مستقل

مساحة قطعة الأرض المربعة 81 متر مربع. ابحث عن جانبه. لنفترض أن طول ضلع المربع هو Xديسيمترات. ثم مساحة المؤامرة هي X² ديسيمترات مربعة. وبما أن هذه المساحة، وفقًا للشرط، تساوي 81 dm²، إذن X² = 81. طول ضلع المربع هو عدد موجب. الرقم الموجب الذي مربعه 81 هو الرقم 9. عند حل المسألة كان لا بد من إيجاد الرقم x الذي مربعه 81 أي حل المعادلة X² = 81. هذه المعادلة لها جذرين: س 1 = 9 و س 2 = - 9، بما أن 9² = 81 و(- 9)² = 81. يُطلق على كلا الرقمين 9 و- 9 الجذور التربيعية للعدد 81.

لاحظ أن أحد الجذور التربيعية X= 9 هو رقم موجب. ويسمى بالجذر التربيعي الحسابي للعدد 81 ويرمز له بـ √81، وبالتالي فإن √81 = 9.

الجذر التربيعي الحسابي لعدد أهو عدد غير سالب مربعه يساوي أ.

على سبيل المثال، الرقمان 6 و- 6 هما جذر تربيعي للرقم 36. ومع ذلك، فإن الرقم 6 هو جذر تربيعي حسابي للعدد 36، حيث أن 6 هو رقم غير سالب و6² = 36. الرقم - 6 ليس عددًا الجذر الحسابي.

الجذر التربيعي الحسابي لعدد أيشار إليها على النحو التالي: √ أ.

تسمى العلامة بالعلامة الحسابية الجذر التربيعي; أ- يسمى تعبير جذري. التعبير √ أيقرأ مثل هذا: الجذر التربيعي الحسابي لعدد أ.على سبيل المثال، √36 = 6، √0 = 0، √0.49 = 0.7. في الحالات التي يكون فيها ذلك واضحا نحن نتحدث عنأما عن الجذر الحسابي فيقولون باختصار: "الجذر التربيعي لـ أ«.

تسمى عملية إيجاد الجذر التربيعي لعدد ما بالجذر التربيعي. هذا الإجراء هو عكس التربيع.

يمكنك تربيع أي رقم، لكن لا يمكنك استخراج الجذور التربيعية من أي رقم. على سبيل المثال، من المستحيل استخراج الجذر التربيعي للرقم - 4. إذا كان هذا الجذر موجودا، فسيتم الإشارة إليه بالحرف X، فسنحصل على المساواة غير الصحيحة x² = - 4، نظرًا لوجود رقم غير سالب على اليسار وعدد سالب على اليمين.

التعبير √ أمن المنطقي فقط عندما أ ≥ 0. يمكن كتابة تعريف الجذر التربيعي باختصار على النحو التالي: √ أ ≥ 0, (√أ)² = أ. المساواة (√ أ)² = أصالحة ل أ ≥ 0. وبالتالي، للتأكد من أن الجذر التربيعي لعدد غير سالب أيساوي ب، أي في حقيقة أن √ أ =ب، يجب عليك التحقق من استيفاء الشرطين التاليين: ب ≥ 0, ب² = أ.

الجذر التربيعي للكسر

دعونا نحسب. لاحظ أن √25 = 5، √36 = 6، ولنتحقق من صحة المساواة.

لأن ومن ثم فإن المساواة صحيحة. لذا، .

نظرية:لو أ≥ 0 و ب> 0، أي جذر الكسر يساوي الجذرمن البسط مقسومًا على جذر المقام. ويشترط إثبات ذلك: و .

منذ √ أ≥0 و √ ب> 0 ثم .

حول خاصية رفع الكسر إلى قوة وتعريف الجذر التربيعي تم إثبات النظرية. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

احسب باستخدام النظرية المثبتة .

المثال الثاني: أثبت ذلك ، لو أ ≤ 0, ب < 0. .

مثال آخر: احسب.

.

تحويل الجذر التربيعي

إزالة المضاعف من تحت علامة الجذر. دع التعبير يعطى. لو أ≥ 0 و ب≥ 0، ثم باستخدام نظرية جذر المنتج يمكننا أن نكتب:

يسمى هذا التحويل إزالة العامل من علامة الجذر. لنلقي نظرة على مثال؛

احسب عند X= 2. الاستبدال المباشر X= 2 في التعبير الجذري يؤدي إلى حسابات معقدة. يمكن تبسيط هذه الحسابات إذا قمت أولاً بإزالة العوامل من تحت علامة الجذر: . بالتعويض الآن x = 2 نحصل على:.

لذلك، عند إزالة العامل من تحت علامة الجذر، يتم تمثيل التعبير الجذري على شكل منتج يكون فيه عامل أو أكثر عبارة عن مربعات من الأعداد غير السالبة. ثم طبق نظرية جذر حاصل الضرب وخذ جذر كل عامل. لنأخذ مثالاً: بتبسيط التعبير A = √8 + √18 - 4√2 عن طريق إخراج العوامل الموجودة في الحدين الأولين من تحت علامة الجذر، نحصل على:. دعونا نؤكد على تلك المساواة صالحة فقط عندما أ≥ 0 و ب≥ 0. إذا أ < 0, то .

نشأت الرياضيات عندما أصبح الإنسان واعيًا بذاته وبدأ في وضع نفسه كوحدة مستقلة للعالم. إن الرغبة في القياس والمقارنة وإحصاء ما يحيط بك هي ما يكمن وراء ذلك العلوم الأساسيةأيامنا. في البداية، كانت هذه جزيئات من الرياضيات الأولية، مما جعل من الممكن ربط الأرقام بتعبيراتها الجسدية، وبعد ذلك بدأ تقديم الاستنتاجات من الناحية النظرية فقط (بسبب تجريدها)، ولكن بعد فترة من الوقت، كما قال أحد العلماء، " لقد بلغت الرياضيات سقف التعقيد عندما اختفت عنها كل الأرقام." ظهر مفهوم "الجذر التربيعي" في وقت كان من الممكن فيه دعمه بسهولة من خلال البيانات التجريبية، متجاوزًا مستوى الحسابات.

حيث بدأ كل شيء

أول ذكر الجذر، وهو هذه اللحظةيُشار إليه بـ √، وقد تم تسجيله في أعمال علماء الرياضيات البابليين، الذين وضعوا الأساس للحساب الحديث. بالطبع، كانت تحمل القليل من التشابه مع النموذج الحالي - فقد استخدم العلماء في تلك السنوات لأول مرة أقراصًا ضخمة الحجم. ولكن في الألف الثاني قبل الميلاد. ه. لقد اشتقوا صيغة حسابية تقريبية توضح كيفية استخراج الجذر التربيعي. تُظهر الصورة أدناه حجرًا نحت عليه علماء البابليين عملية استنتاج √2، وتبين أنها صحيحة لدرجة أن التناقض في الإجابة لم يتم العثور عليه إلا في المنزلة العشرية العاشرة.

بالإضافة إلى ذلك، تم استخدام الجذر إذا كان من الضروري العثور على جانب من المثلث، بشرط أن يكون الجانبان الآخران معروفين. حسنًا، عند حل المعادلات التربيعية، لا مفر من استخراج الجذر.

وإلى جانب الأعمال البابلية، تمت دراسة موضوع المقال أيضًا في العمل الصيني “الرياضيات في تسعة كتب”، وتوصل اليونانيون القدماء إلى استنتاج مفاده أن أي رقم لا يمكن استخراج الجذر منه دون باقي يعطي نتيجة غير منطقية .

ويرتبط أصل هذا المصطلح بالتمثيل العربي للرقم: فقد اعتقد العلماء القدماء أن مربع العدد التعسفي ينمو من الجذر، مثل النبات. في اللاتينية، تبدو هذه الكلمة مثل الجذر (يمكنك تتبع النمط - كل ما له معنى "الجذر" هو ساكن، سواء كان الفجل أو التهاب الجذر).

التقط علماء الأجيال اللاحقة هذه الفكرة، وأطلقوا عليها اسم Rx. على سبيل المثال، في القرن الخامس عشر، من أجل الإشارة إلى أنه تم أخذ الجذر التربيعي لعدد تعسفي أ، كتبوا R 2 أ. معتاد وجهة نظر حديثة"علامة" √ ظهرت فقط في القرن السابع عشر بفضل رينيه ديكارت.

أيامنا

من الناحية الرياضية، الجذر التربيعي للرقم y هو الرقم z الذي مربعه يساوي y. بمعنى آخر، z 2 =y يعادل √y=z. لكن هذا التعريفذات الصلة فقط ل الجذر الحسابي، لأنه يتضمن قيمة غير سالبة للتعبير. بمعنى آخر، √y=z، حيث z أكبر من أو يساوي 0.

في الحالة العامة، الذي يعمل على تحديد الجذر الجبري، يمكن أن تكون قيمة التعبير إما موجبة أو سالبة. وبالتالي، نظرًا لحقيقة أن z 2 =y و (-z) 2 =y، لدينا: √y=±z أو √y=|z|.

نظرًا لأن حب الرياضيات لم يتزايد إلا مع تطور العلم، فهناك مظاهر مختلفة للمودة لها لا يتم التعبير عنها بالحسابات الجافة. على سبيل المثال، إلى جانب هذه الظواهر المثيرة للاهتمام مثل Pi Day، يتم أيضًا الاحتفال بعطلات الجذر التربيعي. ويتم الاحتفال بهم تسع مرات كل مائة عام، ويتم تحديدهم بواسطة للمبدأ التالي: الأرقام التي تشير بالترتيب إلى اليوم والشهر، يجب أن تكون الجذر التربيعي للسنة. لذلك، المرة القادمة التي سنحتفل فيها بهذه العطلة هي 4 أبريل 2016.

خصائص الجذر التربيعي في الحقل R

جميع التعبيرات الرياضية تقريبًا لها أساس هندسي، و√y، الذي يتم تعريفه على أنه ضلع مربع مساحته y، لم يفلت من هذا المصير.

كيفية العثور على جذر الرقم؟

هناك العديد من خوارزميات الحساب. أبسط، ولكن في نفس الوقت مرهقة للغاية، هو الحساب الحسابي المعتاد، وهو على النحو التالي:

1) من الرقم الذي نحتاج إلى جذره، يتم طرح الأرقام الفردية بدورها - حتى يصبح الباقي عند الإخراج أقل من الرقم المطرح أو الزوجي يساوي الصفر. سيصبح عدد الحركات في النهاية هو العدد المطلوب. على سبيل المثال، حساب الجذر التربيعي لـ 25:

الرقم الفردي التالي هو 11، والباقي هو: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

لمثل هذه الحالات يوجد توسيع لسلسلة تايلور:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n ، حيث تأخذ n القيم من 0 إلى

+∞، و |y|≥1.

تمثيل رسومي للدالة z=√y

لنفكر في الدالة الأولية z=√y في مجال الأعداد الحقيقية R، حيث y أكبر من أو يساوي الصفر. يبدو جدولها الزمني كما يلي:

ينمو المنحنى من نقطة الأصل ويتقاطع بالضرورة مع النقطة (1؛ 1).

خصائص الدالة z=√y في مجال الأعداد الحقيقية R

1. مجال تعريف الوظيفة قيد النظر هو الفترة من صفر إلى زائد اللانهاية (يتم تضمين الصفر).

2. نطاق قيم الوظيفة قيد النظر هو الفاصل الزمني من صفر إلى زائد اللانهاية (يتم تضمين الصفر مرة أخرى).

3. تأخذ الدالة أدنى قيمة لها (0) فقط عند النقطة (0; 0). لا يوجد حد أقصى للقيمة.

4. الدالة z=√y ليست زوجية ولا فردية.

5. الدالة z=√y ليست دورية.

6. هناك نقطة تقاطع واحدة فقط للرسم البياني للدالة z=√y مع محاور الإحداثيات: (0; 0).

7. نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة z=√y هي أيضًا صفر هذه الوظيفة.

8. الدالة z=√y في نمو مستمر.

9. تأخذ الدالة z=√y قيمًا موجبة فقط، وبالتالي فإن الرسم البياني الخاص بها يحتل زاوية الإحداثيات الأولى.

خيارات لعرض الدالة z=√y

في الرياضيات، لتسهيل حساب التعبيرات المعقدة، يتم أحيانًا استخدام صيغة القوة لكتابة الجذر التربيعي: √y=y 1/2. يعد هذا الخيار مناسبًا، على سبيل المثال، عند رفع دالة إلى قوة: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. تعتبر هذه الطريقة أيضًا تمثيلًا جيدًا للتمايز مع التكامل، حيث بفضلها يتم تمثيل الجذر التربيعي كدالة قوة عادية.

وفي البرمجة، استبدال الرمز √ هو مزيج من الحروف sqrt.

ومن الجدير بالذكر أنه في هذا المجال هناك طلب كبير على الجذر التربيعي، لأنه جزء من معظم الصيغ الهندسية اللازمة للحسابات. خوارزمية العد نفسها معقدة للغاية وتعتمد على العودية (وظيفة تستدعي نفسها).

الجذر التربيعي في الحقل المركب C

بشكل عام، كان موضوع هذه المقالة هو الذي حفز اكتشاف مجال الأعداد المركبة C، حيث كان علماء الرياضيات مسكونين بمسألة الحصول على جذر زوجي لعدد سالب. هكذا ظهرت الوحدة التخيلية التي تتميز بخاصية مثيرة للاهتمام للغاية: مربعها هو -1. وبفضل هذا، تم حل المعادلات التربيعية حتى مع وجود تمييز سلبي. في لغة C، تكون نفس الخصائص ذات صلة بالجذر التربيعي كما في لغة R، والشيء الوحيد هو إزالة القيود المفروضة على التعبير الجذري.

صيغ الجذر. خصائص الجذور التربيعية.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

في الدرس السابق اكتشفنا ذلك ما هو الجذر التربيعي. حان الوقت لمعرفة أي منها موجود صيغ للجذورماذا يكون خصائص الجذور، وما الذي يمكن فعله بكل هذا.

صيغ الجذور وخصائص الجذور وقواعد العمل مع الجذور- وهذا هو في الأساس نفس الشيء. هناك عدد قليل من الصيغ للجذور التربيعية بشكل مدهش. مما يجعلني سعيدا بالتأكيد! أو بالأحرى، يمكنك كتابة الكثير من الصيغ المختلفة، ولكن للعمل العملي والواثق مع الجذور، ثلاثة فقط كافية. وكل شيء آخر ينبع من هؤلاء الثلاثة. على الرغم من أن الكثير من الناس يرتبكون في صيغ الجذور الثلاثة، نعم...

لنبدأ بأبسطها. ها هي:

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.