MS EXCEL-də ortanın (dispersiya məlumdur) qiymətləndirilməsi üçün etibarlılıq intervalı.

Xidmətin məqsədi. Bu xidmətdən istifadə edərək, müəyyən edə bilərsiniz:

• ümumi orta üçün inam intervalı, dispersiya üçün inam intervalı;
• standart kənarlaşma üçün inam intervalı, ümumi pay üçün inam intervalı;

Nümunə №1. Kolxozda ümumi 1000 qoyun sürüsünün 100 baş qoyun selektiv nəzarət qırxımından keçirildi. Nəticədə hər qoyundan orta hesabla 4,2 kq yun qırxımı müəyyən edilmişdir. Bir qoyun başına orta yun qırxımını təyin edərkən nümunənin orta kvadrat xətasını və dispersiya 2,5 olarsa qırxma dəyərinin daxil olduğu hədləri 0,99 ehtimalı ilə müəyyən edin. Nümunə təkrarlanmır.
Nümunə № 2. Moskva Şimal Gömrüyünün postunda idxal olunan məhsulların partiyasından təsadüfi təkrar seçmə yolu ilə “A” məhsulundan 20 nümunə götürülüb. Sınaq nəticəsində nümunədə “A” məhsulunun orta nəmliyi müəyyən edilib ki, bu da 1% standart sapma ilə 6%-ə bərabər olub.
İdxal olunan məhsulların bütün partiyasında məhsulun orta rütubətinin hədlərini 0,683 ehtimalı ilə müəyyən edin.
Nümunə № 3. 36 tələbə arasında aparılan sorğu göstərdi ki, onların tədris ili ərzində oxuduqları dərsliklərin orta sayı 6-ya bərabər olub.Tələbənin hər semestrdə oxuduğu dərsliklərin sayının standart kənarlaşma ilə 6-ya bərabər olan normal paylanma qanununa malik olduğunu fərz etsək, tapın. : A) bu təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisi üçün 0,99 interval qiymətləndirilməsi etibarlılığı ilə; B) hansı ehtimalla deyə bilərik ki, bir semestrdə tələbənin oxuduğu dərsliklərin bu nümunədən hesablanan orta sayı mütləq qiymətdə riyazi gözləntidən 2-dən çox olmayan kənara çıxacaq.

Etibar intervallarının təsnifatı

Nümunə növünə görə:

1. Sonsuz nümunə üçün etibarlılıq intervalı;
2. Son nümunə üçün etimad intervalı;

Təsadüfi seçmə üçün orta seçmə xətasının hesablanması

Orta seçmə xətası düsturları
yenidən seçim		seçimi təkrarlayın
orta hesabla	paylaşmaq üçün	orta hesabla	paylaşmaq üçün

Sırf təsadüfi seçmə metodundan istifadə edərək nümunə ölçüsünü hesablamaq üçün düsturlar

Etibarlılıq intervallarının qiymətləndirilməsi

Statistika aşağıdakıları nəzərə alır iki əsas vəzifə:

Nümunə məlumatlarına əsaslanan bəzi təxminlərimiz var və təxmin edilən parametrin həqiqi dəyərinin harada yerləşdiyi ilə bağlı bəzi ehtimal bəyanatları vermək istəyirik.

Nümunə məlumatlarından istifadə edərək sınaqdan keçirilməli olan xüsusi bir fərziyyəmiz var.

Bu mövzuda birinci vəzifəni nəzərdən keçiririk. Etibar intervalının tərifini də təqdim edək.

Bu mövzuda materialı öyrəndikdən sonra siz:

qiymətləndirmə üçün etimad intervalının nə olduğunu öyrənin;

statistik problemləri təsnif etməyi öyrənmək;

həm statistik düsturlardan, həm də proqram vasitələrindən istifadə etməklə inam intervallarının qurulması texnikasını mənimsəmək;

statistik qiymətləndirmələrin düzgünlüyünün müəyyən parametrlərinə nail olmaq üçün tələb olunan seçmə ölçülərini müəyyən etməyi öyrənin.

Nümunə xüsusiyyətlərinin paylanması

Yuxarıda müzakirə edildiyi kimi, təsadüfi kəmiyyətin paylanması 0 və 1 parametrləri ilə standartlaşdırılmış normal paylanmaya yaxındır. σ-nin qiymətini bilmədiyimiz üçün onu s-nin bəzi qiymətləndirməsi ilə əvəz edirik. Kəmiyyət artıq fərqli bir paylanmaya malikdir, yəni və ya Tələbə paylanması, n -1 (sərbəstlik dərəcələrinin sayı) parametri ilə müəyyən edilir. Bu paylanma normal paylanmaya yaxındır (n nə qədər böyükdürsə, paylanmalar da bir o qədər yaxındır).

Şəkildə. 95
30 sərbəstlik dərəcəsi ilə Tələbə paylanması təqdim olunur. Göründüyü kimi, normal paylanmaya çox yaxındır.

Normal paylanma NORMIDIST və NORMINV ilə işləmək funksiyalarına bənzər, t-paylama ilə işləmək üçün funksiyalar mövcuddur - STUDIST (TDIST) və STUDRASOBR (TINV). Bu funksiyalardan istifadə nümunəsi STUDRASP.XLS faylında (şablon və həll) və Şek. 96
.

Artıq bildiyimiz kimi, riyazi gözləntilərin qiymətləndirilməsinin düzgünlüyünü müəyyən etmək üçün bizə t-paylanması lazımdır. Dispersiya kimi digər parametrləri qiymətləndirmək üçün müxtəlif paylamalar tələb olunur. Onlardan ikisi F-paylanması və x 2 -paylanma.

Orta üçün etimad intervalı

Etibar intervalı- bu, parametrin təxmin edilən dəyəri ətrafında qurulan və təxmin edilən parametrin həqiqi dəyərinin a priori müəyyən edilmiş ehtimalla harada yerləşdiyini göstərən bir intervaldır.

Orta dəyər üçün etimad intervalının qurulması baş verir aşağıdakı şəkildə:

Misal

Fast food restoranı yeni sendviç növü ilə çeşidini genişləndirməyi planlaşdırır. Ona olan tələbi qiymətləndirmək üçün menecer onu sınaqdan keçirmiş şəxslər arasından təsadüfi olaraq 40 ziyarətçi seçməyi və onlardan yeni məhsula münasibətini 1-dən 10-a qədər miqyasda qiymətləndirməyi xahiş etməyi planlaşdırır. Menecer gözlənilən məhsulu qiymətləndirmək istəyir. yeni məhsulun alacağı balların sayı və bu təxmin üçün 95% inam intervalı qurur. Bunu necə etmək olar? (SANDWICH1.XLS faylına baxın (şablon və həll).

Həll

Bu problemi həll etmək üçün istifadə edə bilərsiniz. Nəticələr Şəkildə təqdim olunur. 97
.

Ümumi dəyər üçün etibarlılıq intervalı

Bəzən nümunə məlumatlarından istifadə edərək, riyazi gözləntiləri deyil, dəyərlərin ümumi cəmini qiymətləndirmək lazımdır. Məsələn, auditorla bağlı vəziyyətdə, maraq orta hesabın ölçüsünü deyil, bütün hesabların cəmini qiymətləndirmək ola bilər.

N elementlərin ümumi sayı, n seçmə ölçüsü, T 3 nümunədəki dəyərlərin cəmi, T" bütün əhalinin cəmi üçün təxmin olsun, sonra , və inam intervalı düsturu ilə hesablanır, burada s nümunə üçün standart kənarlaşmanın təxminidir və nümunə üçün orta qiymətin təxminidir.

Misal

Tutaq ki, bir vergi orqanı 10.000 vergi ödəyicisi üçün ümumi vergi qaytarılmasını hesablamaq istəyir. Vergi ödəyicisi ya geri qaytarılır, ya da əlavə vergi ödəyir. 500 nəfərdən ibarət nümunə ölçüsünü nəzərə alaraq, geri qaytarılma məbləği üçün 95% inam intervalını tapın (REFUND OF MOBUNT.XLS faylına baxın (şablon və həll).

Həll

StatPro-da bu iş üçün xüsusi prosedur yoxdur, lakin qeyd etmək olar ki, yuxarıda göstərilən düsturlara əsasən sərhədlər orta üçün sərhədlərdən alına bilər (şək. 98).
).

Proporsiya üçün inam intervalı

Müştərilərin payının riyazi gözləntisi p, n ölçülü seçmədən alınan bu payın təxmini p b olsun. Kifayət qədər böyük üçün göstərilə bilər qiymətləndirmə paylanması riyazi gözlənti p və standart kənarlaşma ilə normala yaxın olacaq . Bu halda qiymətləndirmənin standart xətası kimi ifadə edilir , və etimad intervalı kimidir .

Misal

Fast food restoranı yeni sendviç növü ilə çeşidini genişləndirməyi planlaşdırır. Menecer ona olan tələbi qiymətləndirmək üçün onu artıq sınaqdan keçirmiş şəxslər arasından təsadüfi olaraq 40 ziyarətçi seçdi və onlardan yeni məhsula münasibətini 1-dən 10-a qədər miqyasda qiymətləndirməyi xahiş etdi. Menecer gözlənilən nisbəti qiymətləndirmək istəyir. yeni məhsulu ən azı 6 baldan qiymətləndirən müştərilər (o, bu müştərilərin yeni məhsulun istehlakçısı olacağını gözləyir).

Həll

İlkin olaraq, müştərinin reytinqi 6 baldan çox, 0-dan çox olarsa, biz atribut 1 əsasında yeni sütun yaradırıq (SANDWICH2.XLS faylına baxın (şablon və həll).

Metod 1

1-in sayını hesablayaraq, payı təxmin edirik, sonra isə düsturlardan istifadə edirik.

zcr dəyəri xüsusi normal paylama cədvəllərindən götürülür (məsələn, 95% etibarlılıq intervalı üçün 1,96).

95% interval qurmaq üçün bu yanaşma və xüsusi məlumatlardan istifadə edərək aşağıdakı nəticələri əldə edirik (şək. 99
). zcr parametrinin kritik qiyməti 1,96-dır. Qiymətləndirmənin standart xətası 0,077-dir. Etibar intervalının aşağı həddi 0,475-dir. Etibar intervalının yuxarı həddi 0,775-dir. Beləliklə, menecer yeni məhsulu 6 bal və daha yüksək qiymətləndirən müştərilərin faizinin 47,5 ilə 77,5 arasında olacağına 95% əminliklə inanmaq hüququna malikdir.

Metod 2

Bu problem standart StatPro alətlərindən istifadə etməklə həll edilə bilər. Bunun üçün qeyd etmək kifayətdir ki, bu halda pay Tip sütununun orta dəyəri ilə üst-üstə düşür. Sonra müraciət edirik StatPro/Statistik Nəticə/Bir Nümunə Analizi Tip sütunu üçün ortalamanın (riyazi gözləntilərin təxmininin) etibarlılıq intervalını qurmaq. Bu halda alınan nəticələr 1-ci metodun nəticələrinə çox yaxın olacaqdır (şək. 99).

Standart sapma üçün inam intervalı

s standart kənarlaşmanın qiymətləndirilməsi kimi istifadə olunur (düstur 1-ci bölmədə verilmişdir). Qiymətləndirmənin sıxlıq funksiyası t-paylanması kimi n-1 sərbəstlik dərəcəsinə malik olan x-kvadrat funksiyasıdır. Bu paylama ilə işləmək üçün xüsusi funksiyalar var CHIDIST və CHIINV.

Bu halda etimad intervalı artıq simmetrik olmayacaq. Şərti bir sərhəd diaqramı Şəkildə göstərilmişdir. 100.

Misal

Maşın 10 sm diametrli hissələr istehsal etməlidir.Lakin müxtəlif vəziyyətlərə görə səhvlər baş verir. Keyfiyyət nəzarətçisi iki vəziyyətdən narahatdır: birincisi, orta dəyər 10 sm olmalıdır; ikincisi, hətta bu halda, sapmalar böyükdürsə, bir çox hissə rədd ediləcəkdir. O, hər gün 50 hissədən ibarət nümunə hazırlayır (QUALITY CONTROL.XLS faylına baxın (şablon və həll). Belə nümunə hansı nəticəni verə bilər?

Həll

Orta və standart kənarlaşma üçün 95% etimad intervallarını istifadə edərək quraq StatPro/Statistik Nəticə/Bir Nümunə Analizi(Şəkil 101
).

Bundan sonra, diametrlərin normal paylanması fərziyyəsindən istifadə edərək, 0,065 maksimum sapma təyin edərək, qüsurlu məhsulların nisbətini hesablayırıq. Əvəzetmə cədvəlinin imkanlarından (iki parametrli halda) istifadə edərək, qüsurların nisbətinin orta qiymətdən və standart kənarlaşmadan asılılığının qrafikini çəkirik (şək. 102).
).

İki vasitə arasındakı fərq üçün etibarlılıq intervalı

Bu, statistik metodların ən vacib tətbiqlərindən biridir. Vəziyyətlərin nümunələri.

Geyim mağazasının meneceri orta qadın müştərinin mağazada adi kişi müştəridən nə qədər çox və ya az pul xərclədiyini bilmək istər.

Hər iki aviaşirkət oxşar marşrutlar üzrə uçuşlar həyata keçirir. İstehlakçı təşkilat hər iki aviaşirkət üçün orta gözlənilən uçuş gecikmə vaxtları arasındakı fərqi müqayisə etmək istəyir.

Şirkət müəyyən növ mallar üçün kuponları bir şəhərə göndərir, digərində yox. Menecerlər növbəti iki ay ərzində bu məhsulların orta alış həcmlərini müqayisə etmək istəyirlər.

Avtomobil satıcısı tez-tez təqdimatlarda evli cütlüklərlə məşğul olur. Təqdimata şəxsi reaksiyalarını başa düşmək üçün cütlüklər tez-tez ayrı-ayrılıqda müsahibə alırlar. Menecer kişi və qadınların verdiyi reytinqlərdəki fərqi qiymətləndirmək istəyir.

Müstəqil nümunələrin işi

Vasitələr arasındakı fərq n 1 + n 2 - 2 sərbəstlik dərəcəsi ilə t-paylanmasına malik olacaqdır. μ 1 - μ 2 üçün etibarlılıq intervalı əlaqə ilə ifadə edilir:

Bu problemi təkcə yuxarıdakı düsturlardan istifadə etməklə deyil, həm də standart StatPro alətlərindən istifadə etməklə həll etmək olar. Bunun üçün istifadə etmək kifayətdir

Proporsiyalar arasındakı fərq üçün inam intervalı

Səhmlərin riyazi gözləntisi olsun. Onların müvafiq olaraq n 1 və n 2 ölçülü nümunələrdən qurulmuş nümunə qiymətləndirmələri olsun. Sonra fərq üçün bir təxmin edilir. Beləliklə, bu fərqin etibarlılıq intervalı aşağıdakı kimi ifadə edilir:

Burada z cr xüsusi cədvəllərdən istifadə etməklə normal paylanmadan əldə edilən dəyərdir (məsələn, 95% etibarlılıq intervalı üçün 1,96).

Qiymətləndirmənin standart xətası bu halda əlaqə ilə ifadə olunur:

.

Misal

Böyük satışa hazırlaşan mağaza aşağıdakı marketinq araşdırmasını həyata keçirib. Ən yaxşı 300 alıcı seçildi və təsadüfi olaraq hər biri 150 üzvdən ibarət iki qrupa bölündü. Seçilmiş bütün alıcılara satışda iştirak etmək üçün dəvətnamələr göndərilib, lakin yalnız birinci qrupun üzvləri onlara 5% endirim hüququ verən kupon alıblar. Satış zamanı seçilmiş 300 alıcının hamısının alışları qeydə alınıb. Menecer nəticələri necə şərh edə və kuponların effektivliyinə dair mühakimə yürütə bilər? (COUPONS.XLS faylına baxın (şablon və həll yolu)).

Həll

Konkret halımız üçün endirim kuponu alan 150 müştəridən 55-i satışda, kupon almayan 150-dən isə yalnız 35-i alış-veriş edib (şək. 103).
). Sonra nümunə nisbətlərinin dəyərləri müvafiq olaraq 0,3667 və 0,2333-dir. Və onların arasında seçmə fərqi müvafiq olaraq 0,1333-ə bərabərdir. 95% inam intervalını fərz etsək, normal paylanma cədvəlindən z cr = 1,96 tapırıq. Nümunə fərqinin standart xətasının hesablanması 0,0524-ə bərabərdir. Nəhayət, 95% etimad intervalının aşağı həddinin müvafiq olaraq 0,0307, ​​yuxarı həddinin isə 0,2359 olduğunu gördük. Əldə edilən nəticələri elə şərh etmək olar ki, endirim kuponu alan hər 100 müştəriyə 3-dən 23-ə qədər yeni müştəri gözləyə bilərik. Bununla belə, nəzərə almalıyıq ki, bu nəticə özlüyündə kuponlardan istifadənin effektivliyi demək deyil (çünki endirim verməklə biz qazanc itiririk!). Bunu konkret məlumatlarla nümayiş etdirək. Tutaq ki, orta alış ölçüsü 400 rubl, ondan 50 rubl təşkil edir. mağaza üçün qazanc var. Sonra kupon almamış 100 müştəri üçün gözlənilən mənfəət:

50 0,2333 100 = 1166,50 rub.

Kupon alan 100 müştəri üçün oxşar hesablamalar:

30 0,3667 100 = 1100,10 rub.

Orta mənfəətin 30-a qədər azalması, endirimdən istifadə edərək kupon alan müştərilərin orta hesabla 380 rubla alış-veriş etməsi ilə izah olunur.

Beləliklə, yekun nəticə bu xüsusi vəziyyətdə belə kuponların istifadəsinin səmərəsizliyini göstərir.

Şərh. Bu problem standart StatPro alətlərindən istifadə etməklə həll edilə bilər. Bunun üçün bu problemi metoddan istifadə edərək iki orta göstərici arasındakı fərqi qiymətləndirmək probleminə endirmək və sonra tətbiq etmək kifayətdir. StatPro/Statistik Nəticə/İki Nümunə Analizi iki orta qiymət arasındakı fərq üçün inam intervalı qurmaq.

Etibar Aralığı Uzunluğuna Nəzarət

Etibar intervalının uzunluğu asılıdır aşağıdakı şərtlər:

birbaşa məlumat (standart sapma);

əhəmiyyət səviyyəsi;

nümunə ölçüsü.

Orta hesablama üçün nümunə ölçüsü

Əvvəlcə problemi ümumi halda nəzərdən keçirək. Bizə verilən etimad intervalının uzunluğunun yarısının qiymətini B kimi işarə edək (şək. 104).
). Biz bilirik ki, bəzi təsadüfi dəyişən X-in orta dəyəri üçün etimad intervalı kimi ifadə edilir , Harada . İnanmaq:

və n ifadə edərək, alırıq.

Təəssüf ki, X təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyasının dəqiq dəyərini bilmirik. Bundan əlavə, tcr-nin dəyərini bilmirik, çünki o, sərbəstlik dərəcələrinin sayı ilə n-dən asılıdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakıları edə bilərik. Dispersiya s əvəzinə biz tədqiq olunan təsadüfi dəyişənin hər hansı mövcud tətbiqi əsasında dispersiyanın bəzi təxminlərindən istifadə edirik. Normal paylanma üçün t cr dəyərinin əvəzinə z cr dəyərindən istifadə edirik. Bu olduqca məqbuldur, çünki normal və t-paylanmalar üçün paylanma sıxlığı funksiyaları çox yaxındır (kiçik n halı istisna olmaqla). Beləliklə, tələb olunan düstur aşağıdakı formanı alır:

.

Düstur, ümumiyyətlə, tam olmayan nəticələr verdiyindən, nəticənin artıqlığı ilə yuvarlaqlaşdırma istədiyiniz nümunə ölçüsü kimi qəbul edilir.

Misal

Fast food restoranı yeni sendviç növü ilə çeşidini genişləndirməyi planlaşdırır. Ona olan tələbi qiymətləndirmək üçün menecer bunu artıq sınaqdan keçirmiş şəxslər arasından təsadüfi olaraq bir neçə ziyarətçi seçməyi və onlardan yeni məhsula münasibətini 1-dən 10-a qədər miqyasda qiymətləndirməyi xahiş etməyi planlaşdırır. Menecer təxmin etmək istəyir. yeni məhsulun məhsul alacağı gözlənilən bal sayı və bu təxmin üçün 95% inam intervalı qurur. Eyni zamanda, etimad intervalının yarım eninin 0,3-dən çox olmamasını istəyir. Onun müsahibə üçün neçə ziyarətçi lazımdır?

göstərildiyi kimi:

Burada r ots p nisbətinin təxmini, B isə etimad intervalının verilmiş yarısıdır. Dəyərdən istifadə edərək n üçün həddindən artıq qiymətləndirmə əldə edilə bilər r ots= 0,5. Bu halda, etimad intervalının uzunluğu p-nin hər hansı həqiqi dəyəri üçün müəyyən edilmiş B dəyərini keçməyəcəkdir.

Misal

Əvvəlki nümunədəki menecer yeni bir məhsul növünə üstünlük verən müştərilərin payını qiymətləndirməyi planlaşdırsın. O, yarım uzunluğu 0,05-dən çox olmayan 90% etimad intervalı qurmaq istəyir. Təsadüfi nümunəyə neçə müştəri daxil edilməlidir?

Həll

Bizim vəziyyətimizdə z cr-nin dəyəri = 1,645-dir. Buna görə də tələb olunan miqdar kimi hesablanır .

Əgər menecerin istənilən p-dəyərinin, məsələn, təxminən 0,3 olduğuna inanmaq üçün əsas olsaydı, bu dəyəri yuxarıdakı düstura əvəz etməklə, daha kiçik bir təsadüfi seçmə dəyəri, yəni 228 əldə edərdik.

Müəyyən etmək üçün düstur iki vasitə arasında fərq olduqda təsadüfi seçmə ölçüsü belə yazılmışdır:

.

Misal

Bəzi kompüter şirkətlərinin müştəri xidməti mərkəzi var. Son zamanlar müştərilərin keyfiyyətsiz xidmətlə bağlı şikayətləri artıb. Xidmət mərkəzində əsasən iki növ işçi çalışır: çox təcrübəsi olmayan, lakin xüsusi hazırlıq kurslarını bitirənlər və geniş praktiki təcrübəsi olan, lakin xüsusi kursları bitirməyənlər. Şirkət son altı ayda müştərilərin şikayətlərini təhlil etmək və iki işçi qrupunun hər biri üzrə şikayətlərin orta sayını müqayisə etmək istəyir. Hər iki qrup üçün nümunələrdəki rəqəmlərin eyni olacağı güman edilir. Yarım uzunluğu 2-dən çox olmayan 95% interval əldə etmək üçün nümunəyə neçə işçi daxil edilməlidir?

Həll

Burada σ ots hər iki təsadüfi dəyişənin yaxın olması fərziyyəsi altında onların standart kənarlaşmalarının təxminidir. Beləliklə, problemimizdə bu təxmini bir şəkildə əldə etməliyik. Bu, məsələn, aşağıdakı kimi edilə bilər. Son altı ayda müştəri şikayətləri ilə bağlı məlumatlara nəzər salan menecer hər bir işçinin ümumilikdə 6-dan 36-ya qədər şikayət aldığını görə bilər. Normal paylanma üçün demək olar ki, bütün dəyərlərin ortadan üç standart sapmadan çox olmadığını bilərək, o, əsaslı şəkildə inana bilər:

, haradan σ ots = 5.

Bu dəyəri düsturda əvəz edərək, əldə edirik .

Müəyyən etmək üçün düstur nisbətlər arasındakı fərqin qiymətləndirilməsi zamanı təsadüfi seçmə ölçüsü formaya malikdir:

Misal

Bəzi şirkətlərdə oxşar məhsullar istehsal edən iki fabrik var. Şirkət meneceri hər iki fabrikdə qüsurlu məhsulların faizini müqayisə etmək istəyir. Mövcud məlumatlara görə, hər iki fabrikdə qüsur nisbəti 3-5% arasında dəyişir. Yarım uzunluğu 0,005 (və ya 0,5%)-dən çox olmayan 99% etibarlılıq intervalı qurmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur. Hər fabrikdən neçə məhsul seçilməlidir?

Həll

Burada p 1ots və p 2ots 1-ci və 2-ci zavodda qüsurların iki naməlum payının təxminləridir. Əgər p 1ots = p 2ots = 0,5 qoysaq, onda n üçün həddindən artıq qiymətləndirilmiş qiymət alırıq. Lakin bizim vəziyyətimizdə bu səhmlər haqqında bəzi aprior məlumatlarımız olduğundan, biz bu səhmlərin yuxarı təxmini, yəni 0,05-i götürürük. alırıq

Nümunə məlumatlarından bəzi populyasiya parametrlərini qiymətləndirərkən, yalnız parametrin nöqtə qiymətini vermək deyil, həm də qiymətləndirilən parametrin dəqiq dəyərinin harada yerləşə biləcəyini göstərən etimad intervalını təmin etmək faydalıdır.

Bu fəsildə biz müxtəlif parametrlər üçün belə intervallar qurmağa imkan verən kəmiyyət əlaqələri ilə də tanış olduq; etimad intervalının uzunluğuna nəzarət etməyin yollarını öyrəndi.

Həmçinin qeyd edək ki, nümunə ölçülərinin qiymətləndirilməsi problemi (eksperimentin planlaşdırılması problemi) standart StatPro alətlərindən istifadə etməklə həll edilə bilər, yəni StatPro/Statistik Nəticə/Nümunə Ölçüsü Seçimi.

Etibar intervalı bizə statistika sahəsindən gəlir. Bu, yüksək etibarlılıq dərəcəsi ilə naməlum bir parametri qiymətləndirməyə xidmət edən müəyyən bir diapazondur. Bunu izah etməyin ən asan yolu bir nümunədir.

Tutaq ki, bəzi təsadüfi dəyişəni, məsələn, serverin müştəri sorğusuna cavab sürətini öyrənmək lazımdır. İstifadəçi hər dəfə konkret saytın ünvanını yazdıqda, server müxtəlif sürətlərdə cavab verir. Beləliklə, tədqiq olunan cavab müddəti təsadüfi olur. Beləliklə, etimad intervalı bu parametrin sərhədlərini müəyyən etməyə imkan verir və sonra 95% ehtimalla serverin hesabladığımız diapazonda olacağını deyə bilərik.

Və ya şirkətin ticarət nişanı haqqında nə qədər insanın bildiyini öyrənməlisiniz. Etibar intervalı hesablandıqda, məsələn, 95% ehtimalla bundan xəbərdar olan istehlakçıların payının 27% -dən 34% -ə qədər olduğunu söyləmək mümkün olacaq.

Bu terminlə yaxından əlaqəli olan güvən ehtimalının dəyəridir. İstədiyiniz parametrin etibarlılıq intervalına daxil olma ehtimalını təmsil edir. İstədiyimiz diapazonun nə qədər böyük olacağı bu dəyərdən asılıdır. Aldığı dəyər nə qədər böyükdürsə, etimad intervalı da bir o qədər daralır və əksinə. Tipik olaraq 90%, 95% və ya 99% olaraq təyin olunur. 95% dəyəri ən populyardır.

Bu göstərici həm də müşahidələrin səpələnməsindən təsirlənir və onun tərifi tədqiq olunan xarakteristikanın tabe olması fərziyyəsinə əsaslanır.Bu ifadə Qauss qanunu kimi də tanınır. Onun fikrincə, normal, ehtimal sıxlığı ilə təsvir edilə bilən fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin bütün ehtimallarının paylanmasıdır. Normal paylanma fərziyyəsi düzgün deyilsə, o zaman qiymətləndirmə səhv ola bilər.

Əvvəlcə etimad intervalının necə hesablanacağını anlayaq Burada iki mümkün hal var. Dispersiya (təsadüfi dəyişənin yayılma dərəcəsi) məlum ola bilər və ya olmaya da bilər. Əgər məlumdursa, onda inam intervalımız aşağıdakı düsturla hesablanır:

xsr - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где

α - işarə,

t - Laplace paylama cədvəlindən parametr,

σ dispersiyanın kvadrat köküdür.

Dispersiya naməlumdursa, istənilən xüsusiyyətin bütün dəyərlərini bildiyimiz təqdirdə hesablana bilər. Bunun üçün aşağıdakı formula istifadə olunur:

σ2 = х2ср - (хср)2, burada

х2ср - öyrənilən xarakteristikanın kvadratlarının orta qiyməti,

(хср)2 bu xarakteristikanın kvadratıdır.

Bu halda etimad intervalının hesablandığı düstur bir qədər dəyişir:

xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где

xsr - nümunə orta,

α - işarə,

t Tələbə paylama cədvəlindən istifadə edərək tapılan parametrdir t = t(ɣ;n-1),

sqrt(n) - ümumi nümunə ölçüsünün kvadrat kökü,

s dispersiyanın kvadrat köküdür.

Bu misalı nəzərdən keçirək. Tutaq ki, 7 ölçmənin nəticələrinə əsasən tədqiq olunan xarakteristikanın 30-a, seçmə dispersiyasının isə 36-ya bərabər olması müəyyən edilmişdir. 99% ehtimalı ilə həqiqi olanı ehtiva edən inam intervalını tapmaq lazımdır. ölçülmüş parametrin dəyəri.

Əvvəlcə t-nin nəyə bərabər olduğunu müəyyən edək: t = t (0,99; 7-1) = 3,71. Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))

30 - 3,71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))

21.587 <= α <= 38.413

Dispersiya üçün etimad intervalı həm məlum orta dəyərdə, həm də riyazi gözləntiyə dair məlumat olmadıqda hesablanır və yalnız dispersiyanın nöqtə qərəzsiz qiymətləndirilməsinin qiyməti məlumdur. Burada onu hesablamaq üçün düsturlar verməyəcəyik, çünki onlar olduqca mürəkkəbdir və istəsən, həmişə İnternetdə tapıla bilər.

Yalnız qeyd edək ki, Excel və ya bu şəkildə adlandırılan bir şəbəkə xidmətindən istifadə edərək etibarlılıq intervalını təyin etmək rahatdır.

Etibar intervalları.

Etibar intervalının hesablanması müvafiq parametrin orta xətasına əsaslanır. Etibar intervalı təxmin edilən parametrin həqiqi dəyərinin (1-a) ehtimalı ilə hansı hədlərdə olduğunu göstərir. Burada a əhəmiyyətlilik səviyyəsidir, (1-a) etibarlılıq ehtimalı da adlanır.

Birinci fəsildə biz göstərdik ki, məsələn, arifmetik orta üçün həqiqi populyasiya ortalaması təxminən 95% hallarda ortanın 2 standart xətası içərisindədir. Beləliklə, orta üçün 95% etimad intervalının sərhədləri seçmə ortadan ortanın iki dəfə orta xətası ilə ayrılacaq, yəni. ortanın orta xətasını etimad səviyyəsindən asılı olaraq müəyyən əmsala vururuq. Ortaların orta və fərqi üçün Tələbə əmsalı (Tələbə testinin kritik dəyəri), payların payı və fərqi üçün z meyarının kritik qiyməti alınır. Katsayı və orta xətanın məhsulu verilmiş parametrin maksimum xətası adlandırıla bilər, yəni. qiymətləndirərkən əldə edə biləcəyimiz maksimumdur.

üçün güvən intervalı arifmetik orta : .

Budur nümunə orta;

Arifmetik ortanın orta xətası;

s – nümunə standart sapması;

n

f = n-1 (Tələbə əmsalı).

üçün güvən intervalı arifmetik vasitələrin fərqləri :

Nümunə vasitələri arasındakı fərq budur;

- arifmetik vasitələr arasındakı fərqin orta xətası;

s 1 , s 2 - standart sapma nümunələri;

n1, n2

Verilmiş əhəmiyyət səviyyəsi a və sərbəstlik dərəcələrinin sayı üçün Tələbə testinin kritik dəyəri f=n 1 +n 2-2 (Tələbə əmsalı).

üçün güvən intervalı səhmlər :

.

Burada d nümunə fraksiyasıdır;

– orta kəsr xətası;

n– nümunə ölçüsü (qrup ölçüsü);

üçün güvən intervalı səhmlərin fərqi :

Nümunə paylardakı fərq budur;

– arifmetik vasitələr arasındakı fərqin orta xətası;

n1, n2– nümunə həcmləri (qrupların sayı);

Verilmiş əhəmiyyətlilik səviyyəsində z kriteriyasının kritik qiyməti a ( , , ).

Göstəricilər arasındakı fərq üçün etimad intervallarını hesablayaraq, biz, ilk növbədə, təsirin mümkün dəyərlərini birbaşa görürük, nəinki onun nöqtə təxmini. İkincisi, sıfır fərziyyənin qəbulu və ya rədd edilməsi haqqında nəticə çıxara bilərik və üçüncüsü, testin gücü haqqında bir nəticə çıxara bilərik.

Etibar intervallarından istifadə edərək fərziyyələri sınaqdan keçirərkən aşağıdakı qaydaya əməl etməlisiniz:

Ortalardakı fərqin 100(1-a) faiz etibar intervalında sıfır yoxdursa, o zaman fərqlər a əhəmiyyətlilik səviyyəsində statistik əhəmiyyətlidir; əksinə, əgər bu intervalda sıfır varsa, onda fərqlər statistik əhəmiyyət kəsb etmir.

Həqiqətən, əgər bu intervalda sıfır varsa, bu o deməkdir ki, müqayisə olunan göstərici qruplardan birində digəri ilə müqayisədə ya böyük, ya da az ola bilər, yəni. müşahidə edilən fərqlər təsadüfdən irəli gəlir.

Testin gücü etimad intervalında sıfırın yeri ilə qiymətləndirilə bilər. Sıfır intervalın aşağı və ya yuxarı həddinə yaxındırsa, daha çox qrupların müqayisəsi ilə fərqlərin statistik əhəmiyyətə çatması mümkündür. Sıfır intervalın ortasına yaxındırsa, bu o deməkdir ki, eksperimental qrupda göstəricinin həm artması, həm də azalması eyni dərəcədə mümkündür və çox güman ki, həqiqətən heç bir fərq yoxdur.

Nümunələr:

İki müxtəlif növ anesteziyadan istifadə zamanı cərrahi ölümü müqayisə edək: 61 nəfər birinci növ anesteziya ilə əməliyyat olunub, 8 nəfər ölüb, ikinci növlə 67 nəfər, 10 nəfər ölüb.

d 1 = 8/61 = 0,131; d2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.

Müqayisə olunan üsulların ölümcüllük fərqi 100(1-a) = 95% ehtimalı ilə (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) və ya (-0,14; 0,104) diapazonunda olacaq. Aralıqda sıfır var, yəni. iki fərqli anesteziya növü ilə bərabər ölüm fərziyyəsi rədd edilə bilməz.

Beləliklə, ölüm nisbəti 14% -ə qədər azala bilər və azalacaq və 95% ehtimalı ilə 10,4% -ə yüksələ bilər, yəni. sıfır təxminən intervalın ortasındadır, buna görə də iddia etmək olar ki, çox güman ki, bu iki üsul həqiqətən ölümcüllük baxımından fərqlənmir.

Daha əvvəl müzakirə edilən nümunədə, imtahan balları ilə fərqlənən dörd qrup tələbədə tıqqıltı testi zamanı orta sıxma vaxtı müqayisə edilmişdir. İmtahanı 2-ci və 5-ci qiymətlərlə vermiş tələbələr üçün orta təzyiq vaxtı üçün etimad intervallarını və bu ortalamalar arasındakı fərq üçün inam intervalını hesablayaq.

Tələbə əmsalları Tələbə paylama cədvəllərindən istifadə etməklə tapılır (əlavə bax): birinci qrup üçün: = t(0,05;48) = 2,011; ikinci qrup üçün: = t(0,05;61) = 2,000. Beləliklə, birinci qrup üçün etimad intervalları: = (162,19-2,011*2,18; 162,19+2,011*2,18) = (157,8; 166,6), ikinci qrup üçün (156,55- 2,000*1,88;+156,805.*) ; 160.3). Beləliklə, imtahandan 2 ilə keçənlər üçün orta sıxma müddəti 95% ehtimalla 157,8 ms-dən 166,6 ms-ə qədər, imtahandan 5 ilə keçənlər üçün - 95% ehtimalla 152,8 ms-dən 160,3 ms-ə qədərdir. .

Siz həmçinin sıfır fərziyyəni yalnız vasitələr fərqi üçün deyil, vasitələr üçün etimad intervallarından istifadə edərək sınaqdan keçirə bilərsiniz. Məsələn, bizim vəziyyətimizdə olduğu kimi, əgər vasitələr üçün etimad intervalları üst-üstə düşürsə, onda sıfır fərziyyə rədd edilə bilməz. Seçilmiş əhəmiyyətlilik səviyyəsində bir fərziyyəni rədd etmək üçün müvafiq etimad intervalları üst-üstə düşməməlidir.

İmtahanı 2-ci və 5-ci qiymətlərlə vermiş qruplarda orta sıxışdırma vaxtının fərqinə inam intervalını tapaq.Orta qiymət fərqi: 162,19 – 156,55 = 5,64. Şagird əmsalı: = t(0,05;49+62-2) = t(0,05;109) = 1,982. Qrup standart kənarlaşmaları bərabər olacaq: ; . Vasitələr arasındakı fərqin orta xətasını hesablayırıq: . Etibar intervalı: =(5,64-1,982*2,87; 5,64+1,982*2,87) = (-0,044; 11,33).

Belə ki, imtahandan 2 və 5 bal toplayan qruplar üzrə orta sıxılma vaxtının fərqi -0,044 ms ilə 11,33 ms arasında olacaq. Bu intervala sıfır daxildir, yəni. İmtahanı yaxşı keçənlər üçün orta təzyiq müddəti imtahandan qeyri-qənaətbəxş keçənlərlə müqayisədə ya arta, ya da azala bilər, yəni. sıfır fərziyyə rədd edilə bilməz. Ancaq sıfır aşağı həddə çox yaxındır və yaxşı keçənlər üçün basma vaxtının azalma ehtimalı daha yüksəkdir. Beləliklə, belə bir nəticəyə gələ bilərik ki, 2 və 5-i keçənlər arasında orta təzyiq müddətində hələ də fərqlər var, biz sadəcə orta vaxtın dəyişməsini, orta vaxtın yayılmasını və nümunə ölçülərini nəzərə alaraq onları aşkar edə bilmədik.

Testin gücü yanlış sıfır hipotezini rədd etmək ehtimalıdır, yəni. fərqləri əslində mövcud olduqları yerdə tapın.

Testin gücü əhəmiyyət səviyyəsinə, qruplar arasındakı fərqlərin miqyasına, dəyərlərin qruplarda yayılmasına və nümunələrin ölçüsünə əsasən müəyyən edilir.

Student's t testi və dispersiya təhlili üçün həssaslıq diaqramlarından istifadə edilə bilər.

Kriteriyanın gücü lazımi sayda qrupları əvvəlcədən müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilər.

Etibar intervalı təxmin edilən parametrin həqiqi dəyərinin verilmiş ehtimalla hansı məhdudiyyətlər daxilində olduğunu göstərir.

Etibar intervallarından istifadə edərək, statistik fərziyyələri sınaqdan keçirə və meyarların həssaslığı haqqında nəticə çıxara bilərsiniz.

ƏDƏBİYYAT.

Glanz S. – Fəsil 6,7.

Rebrova O.Yu. – s.112-114, s.171-173, s.234-238.

Sidorenko E.V. – s.32-33.

Tələbələrin özünü sınaması üçün suallar.

1. Kriteriyanın gücü nədir?

2. Hansı hallarda meyarların gücünü qiymətləndirmək lazımdır?

3. Gücün hesablanması üsulları.

6. Etibar intervalından istifadə etməklə statistik fərziyyəni necə yoxlamaq olar?

7. Etibar intervalı hesablanarkən kriteriyanın gücü haqqında nə demək olar?

Tapşırıqlar.

"Katren-Style" Konstantin Kravçikin tibbi statistika ilə bağlı seriyasının nəşrini davam etdirir. Əvvəlki iki məqaləsində müəllif və kimi anlayışların izahı ilə məşğul olmuşdur.

Konstantin Kravçik

Riyaziyyatçı-analitik. Tibb və humanitar elmlər üzrə statistik tədqiqatlar üzrə mütəxəssis

Moskva şəhəri

Çox tez-tez klinik tədqiqatlar haqqında məqalələrdə sirli bir ifadə tapa bilərsiniz: "etibar intervalı" (95 % CI və ya 95 % CI - güvən intervalı). Məsələn, məqalə yaza bilər: “Fərqlərin əhəmiyyətini qiymətləndirmək üçün Tələbənin t-testi 95 % etibar intervalını hesablamaq üçün istifadə edilmişdir.”

“95 % etimad intervalı”nın dəyəri nədir və onu niyə hesablamaq lazımdır?

Etibar intervalı nədir? - Bu, həqiqi əhalinin yalan ifadə etdiyi diapazondur. “Dəqiq olmayan” ortalamalar varmı? Müəyyən mənada, bəli, edirlər. Biz izah etdik ki, bütün populyasiyada maraq parametrini ölçmək mümkün deyil, buna görə də tədqiqatçılar məhdud bir nümunə ilə kifayətlənirlər. Bu nümunədə (məsələn, bədən çəkisi əsasında) bir orta dəyər (müəyyən çəki) var, ona görə biz bütün populyasiyada orta dəyəri mühakimə edirik. Lakin, çətin ki, nümunədəki orta çəki (xüsusilə kiçik) ümumi populyasiyada orta çəki ilə üst-üstə düşsün. Buna görə də əhalinin orta dəyərlərinin diapazonunu hesablamaq və istifadə etmək daha düzgündür.

Məsələn, təsəvvür edin ki, hemoglobin üçün 95% inam intervalı (95% CI) 110-122 q/L-dir. Bu o deməkdir ki, əhalidə həqiqi orta hemoglobin dəyərinin 110 ilə 122 q/l arasında olması ehtimalı 95% təşkil edir. Başqa sözlə, biz populyasiyada orta hemoglobinin dəyərini bilmirik, lakin 95 % ehtimalla bu əlamət üçün bir sıra dəyərləri göstərə bilərik.

Etibar intervalları qruplar arasında vasitələr və ya onların adlandırıldığı kimi təsir ölçüləri arasındakı fərqlər üçün xüsusilə aktualdır.

Deyək ki, biz iki dəmir preparatının effektivliyini müqayisə etdik: biri uzun müddətdir bazarda olan, digəri isə yeni qeydiyyatdan keçmiş. Terapiya kursundan sonra biz tədqiq olunan xəstələr qruplarında hemoglobinin konsentrasiyasını qiymətləndirdik və statistik proqram hesabladı ki, iki qrupun orta dəyərləri arasındakı fərq 95% ehtimalla 1,72 ilə 1,72 arasındadır. 14,36 q/l (Cədvəl 1).

Cədvəl 1. Müstəqil nümunələr üçün sınaq
(qruplar hemoglobin səviyyəsinə görə müqayisə edilir)

Bunu aşağıdakı kimi şərh etmək lazımdır: yeni dərman qəbul edən ümumi populyasiyada bəzi xəstələrdə hemoglobin artıq məlum olan dərman qəbul edənlərə nisbətən orta hesabla 1,72-14,36 q/l yüksək olacaqdır.

Başqa sözlə, ümumi populyasiyada qruplar arasında orta hemoglobin dəyərlərinin fərqi 95% ehtimalla bu sərhədlər daxilindədir. Bunun çox və ya az olduğunu mühakimə etmək tədqiqatçının ixtiyarında olacaq. Bütün bunların mahiyyəti ondan ibarətdir ki, biz bir orta qiymətlə deyil, bir sıra dəyərlərlə işləyirik, buna görə də qruplar arasında bir parametrdəki fərqi daha etibarlı şəkildə qiymətləndiririk.

Statistik paketlərdə, tədqiqatçının mülahizəsinə əsasən, etimad intervalının sərhədlərini müstəqil olaraq daralda və ya genişləndirə bilərsiniz. Etibar intervalı ehtimallarını azaltmaqla biz vasitələrin diapazonunu daraldırıq. Məsələn, 90 % CI-də vasitələrin diapazonu (və ya vasitələrdəki fərq) 95 % ilə müqayisədə daha dar olacaq.

Əksinə, ehtimalı 99 %-ə artırmaq dəyərlərin diapazonunu genişləndirir. Qrupları müqayisə edərkən CI-nin aşağı həddi sıfır işarəsini keçə bilər. Məsələn, etimad intervalının sərhədlərini 99 %-ə qədər genişləndirsək, onda intervalın sərhədləri –1 ilə 16 q/l arasında dəyişdi. Bu o deməkdir ki, ümumi populyasiyada tədqiq olunan xarakteristika üçün aralarındakı vasitələr fərqi 0-a bərabər olan qruplar var (M = 0).

Etibar intervalından istifadə edərək statistik fərziyyələri sınaya bilərsiniz. Etibar intervalı sıfır dəyərini keçərsə, o zaman qrupların öyrənilən parametrə görə fərqlənmədiyini qəbul edən sıfır hipotezi doğrudur. Sərhədləri 99 %-ə qədər genişləndirdiyimiz nümunə yuxarıda təsvir edilmişdir. Ümumi əhalinin bir yerində heç bir şəkildə fərqlənməyən qruplar tapdıq.

Hemoqlobin fərqinin 95% inam intervalı, (q/l)

Şəkil iki qrup arasında orta hemoglobin dəyərlərindəki fərq üçün 95% etimad intervalını göstərir. Xətt sıfır işarəsindən keçir, buna görə də sıfırın ortaları arasında fərq var ki, bu da qrupların fərqlənmədiyinə dair sıfır fərziyyəni təsdiqləyir. Qruplar arasında fərq diapazonu -2 ilə 5 q/l arasındadır. Bu o deməkdir ki, hemoglobin ya 2 q/l azala, ya da 5 q/l arta bilər.

Etibar intervalı çox vacib bir göstəricidir. Bunun sayəsində qruplardakı fərqlərin həqiqətən vasitələr fərqinə görə olub olmadığını görə bilərsiniz, yoxsa böyük bir seçmə ilə, çünki böyük bir nümunə ilə fərqləri tapmaq şansı kiçik olandan daha çoxdur.

Praktikada bu belə görünə bilər. Biz 1000 nəfərdən nümunə götürdük, hemoglobinin səviyyəsini ölçdük və müəyyən etdik ki, vasitələrdəki fərq üçün inam intervalı 1,2 ilə 1,5 q/l arasında dəyişir. Bu halda statistik əhəmiyyətin səviyyəsi s

Görürük ki, hemoglobin konsentrasiyası artıb, lakin demək olar ki, hiss olunmur, buna görə də statistik əhəmiyyət məhz nümunə ölçüsünə görə ortaya çıxdı.

Etibar intervalları yalnız vasitələr üçün deyil, həm də nisbətlər (və risk nisbətləri) üçün hesablana bilər. Məsələn, biz inkişaf etmiş bir dərman qəbul edərkən remissiyaya nail olan xəstələrin nisbətlərinin inam intervalı ilə maraqlanırıq. Fərz edək ki, nisbətlər üçün 95 % CI, yəni belə xəstələrin nisbəti üçün 0,60-0,80 aralığındadır. Beləliklə, dərmanımızın 60-80 % hallarda müalicəvi təsir göstərdiyini söyləyə bilərik.