Rəqəmlərin ümumi çoxluğu. İki ədədin ən kiçik ortaq qatını necə tapmaq olar

Riyazi ifadələr və məsələlər çoxlu əlavə bilik tələb edir. MOK əsas olanlardan biridir, xüsusilə də tez-tez istifadə olunur Mövzu orta məktəbdə öyrənilir və materialı başa düşmək o qədər də çətin deyil; güclər və vurma cədvəli ilə tanış olan bir şəxs lazımi ədədləri müəyyən etməkdə və tapmaqda çətinlik çəkməyəcəkdir. nəticə.

Tərif

Ümumi çoxluq eyni anda iki ədədə (a və b) tamamilə bölünə bilən ədəddir. Çox vaxt bu rəqəm orijinal a və b ədədlərini vurmaqla əldə edilir. Nömrə eyni anda hər iki ədədə, sapma olmadan bölünməlidir.

NOC ilk hərflərdən toplanan təyinat üçün qəbul edilmiş qısa addır.

Nömrə əldə etməyin yolları

Rəqəmlərin vurulması üsulu LCM-i tapmaq üçün həmişə uyğun deyil, sadə birrəqəmli və ya ikirəqəmli ədədlər üçün daha uyğundur. Faktorlara bölmək adətdir, sayı nə qədər çox olarsa, bir o qədər çox amillər olacaqdır.

Nümunə №1

Ən sadə misal üçün məktəblərdə adətən baş, tək və ya ikirəqəmli rəqəmlərdən istifadə olunur. Məsələn, aşağıdakı tapşırığı həll etməlisiniz, 7 və 3 rəqəmlərinin ən kiçik ümumi çoxluğunu tapmalısınız, həlli olduqca sadədir, sadəcə onları çoxaltmalısınız. Nəticədə 21 rəqəmi var, sadəcə olaraq ondan kiçik rəqəm yoxdur.

Nümunə № 2

Tapşırıqın ikinci versiyası daha çətindir. 300 və 1260 rəqəmləri verilir, LOC tapmaq məcburidir. Problemi həll etmək üçün aşağıdakı hərəkətlər nəzərdə tutulur:

Birinci və ikinci ədədlərin sadə amillərə parçalanması. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Birinci mərhələ tamamlandı.

İkinci mərhələ artıq əldə edilmiş məlumatlarla işləməyi əhatə edir. Alınan nömrələrin hər biri yekun nəticənin hesablanmasında iştirak etməlidir. Hər bir amil üçün ən çox baş verənlər orijinal nömrələrdən götürülür. LCM ümumi bir rəqəmdir, buna görə də nömrələrin amilləri, hər biri, hətta bir nüsxədə olanlar da təkrarlanmalıdır. Hər iki ilkin nömrə müxtəlif güclərdə 2, 3 və 5 rəqəmlərini ehtiva edir; 7 yalnız bir halda mövcuddur.

Son nəticəni hesablamaq üçün hər bir rəqəmi tənlikdə təmsil olunan güclərin ən böyüyü ilə götürməlisiniz. Qalan şey çoxalmaq və cavab almaqdır; əgər düzgün doldurularsa, tapşırıq izahatsız iki addıma sığar:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Bütün problem budur, lazımi rəqəmi vurma yolu ilə hesablamağa çalışsanız, cavab mütləq düzgün olmayacaq, çünki 300 * 1260 = 378.000.

İmtahan:

6300 / 300 = 21 - düzgün;

6300 / 1260 = 5 - düzgündür.

Alınan nəticənin düzgünlüyü yoxlama ilə müəyyən edilir - LCM-ni hər iki orijinal nömrəyə bölmək; əgər nömrə hər iki halda tam ədəddirsə, cavab düzgündür.

Riyaziyyatda NOC nə deməkdir?

Bildiyiniz kimi, riyaziyyatda heç bir faydasız funksiya yoxdur, bu da istisna deyil. Bu ədədin ən ümumi məqsədi kəsrləri ortaq məxrəcə endirməkdir. Adətən orta məktəbin 5-6-cı siniflərində nələr öyrənilir. O, həmçinin, problemdə belə şərtlər varsa, bütün çarpanlar üçün ümumi böləndir. Belə bir ifadə yalnız iki rəqəmin deyil, həm də daha böyük rəqəmin - üç, beş və s. Nömrələr nə qədər çox olsa, tapşırıqda bir o qədər çox hərəkət var, lakin mürəkkəblik artmır.

Məsələn, 250, 600 və 1500 rəqəmlərini nəzərə alaraq, onların ümumi LCM-ni tapmaq lazımdır:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - bu misalda azalma olmadan faktorizasiya ətraflı təsvir edilir.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

İfadə tərtib etmək üçün bütün amilləri qeyd etmək lazımdır, bu halda 2, 5, 3 verilir - bütün bu rəqəmlər üçün maksimum dərəcəni təyin etmək lazımdır.

Diqqət: bütün amillər tam sadələşdirmə nöqtəsinə gətirilməlidir, mümkünsə, tək rəqəmlər səviyyəsinə qədər parçalanmalıdır.

İmtahan:

1) 3000 / 250 = 12 - düzgün;

2) 3000 / 600 = 5 - doğrudur;

3) 3000 / 1500 = 2 - düzgündür.

Bu üsul heç bir hiylə və ya dahi səviyyəli qabiliyyət tələb etmir, hər şey sadə və aydındır.

Başqa bir yol

Riyaziyyatda çox şey bir-birinə bağlıdır, çox şey iki və ya daha çox yolla həll edilə bilər, eyni şey ən kiçik ümumi çoxluğu, LCM tapmaq üçün də gedir. Sadə ikirəqəmli və birrəqəmli ədədlər halında aşağıdakı üsuldan istifadə etmək olar. Çoxalmanın şaquli, çarpanın üfüqi olaraq daxil edildiyi və məhsulun sütunun kəsişən xanalarında göstərildiyi bir cədvəl tərtib edilir. Cədvəli xəttdən istifadə edərək əks etdirə, nömrə götürə və bu ədədi tam ədədlərə vurmağın nəticələrini yaza bilərsiniz, 1-dən sonsuza qədər, bəzən 3-5 xal kifayətdir, ikinci və sonrakı nömrələr eyni hesablama prosesindən keçir. Hər şey ümumi çoxluq tapılana qədər baş verir.

30, 35, 42 rəqəmlərini nəzərə alaraq, bütün nömrələri birləşdirən LCM-i tapmaq lazımdır:

1) 30-un qatları: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 və s.

2) 35-in qatları: 70, 105, 140, 175, 210, 245 və s.

3) 42-nin qatları: 84, 126, 168, 210, 252 və s.

Bütün rəqəmlərin tamamilə fərqli olduğu nəzərə çarpır, onların arasında yeganə ümumi rəqəm 210-dur, ona görə də MOK olacaq. Bu hesablamada iştirak edən proseslər arasında oxşar prinsiplərə əsasən hesablanan və qonşu problemlərdə tez-tez rast gəlinən ən böyük ümumi bölən də var. Fərq kiçik, lakin olduqca əhəmiyyətlidir, LCM bütün verilmiş ilkin dəyərlərə bölünən ədədin hesablanmasını, GCD isə orijinal ədədlərin bölündüyü ən böyük dəyərin hesablanmasını əhatə edir.

Gəlin iki və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi qatını öyrənməyə başlayaq. Bu bölmədə termini müəyyənləşdirəcəyik, ən kiçik ortaq qat ilə ən böyük ortaq bölən arasında əlaqə quran teoremi nəzərdən keçirəcək və məsələlərin həllinə dair nümunələr verəcəyik.

Ümumi çoxluqlar – tərif, nümunələr

Bu mövzuda bizi yalnız sıfırdan başqa tam ədədlərin ortaq qatları maraqlandıracaq.

Tərif 1

Tam ədədlərin ümumi çoxluğu bütün verilmiş ədədlərin qatı olan tam ədəddir. Əslində, bu, verilmiş ədədlərdən hər hansı birinə bölünə bilən istənilən tam ədəddir.

Ümumi qatların tərifi iki, üç və ya daha çox tam ədədlərə aiddir.

Misal 1

Yuxarıda verilmiş tərifə görə, 12 rəqəminin ortaq qatları 3 və 2-dir. Həmçinin, 12 rəqəmi 2, 3 və 4 rəqəmlərinin ortaq qatı olacaq. 12 və -12 rəqəmləri ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 ədədlərinin ortaq qatlarıdır.

Eyni zamanda, 2 və 3 ədədlərinin ümumi çoxluğu 12, 6, − 24, 72, 468, − 100.010.004 və digərlərinin tam seriyası olacaqdır.

Bir cütün birinci nömrəsinə bölünən və ikinciyə bölünməyən ədədləri götürsək, belə ədədlər ortaq çarpanlar olmayacaq. Beləliklə, 2 və 3 nömrələri üçün 16, − 27, 5009, 27001 ədədləri ümumi qatlar olmayacaq.

0 sıfırdan başqa hər hansı tam ədədlər dəstinin ümumi çoxluğudur.

Qarşılıqlı ədədlərə münasibətdə bölünmə xüsusiyyətini xatırlasaq, məlum olur ki, bəzi k tam ədədi, eynilə - k ədədi kimi bu ədədlərin ortaq qatı olacaqdır. Bu o deməkdir ki, ümumi bölənlər müsbət və ya mənfi ola bilər.

Bütün nömrələr üçün LCM tapmaq mümkündürmü?

Ümumi çoxluğu istənilən tam ədəd üçün tapmaq olar.

Misal 2

Tutaq ki, bizə verilmişdir k tam ədədlər a 1 , a 2 , … , a k. Rəqəmləri çarpan zaman əldə etdiyimiz rəqəm a 1 · a 2 · … · a k bölünmə xüsusiyyətinə görə, ilkin məhsula daxil olan amillərin hər birinə bölünəcəkdir. Bu ədədlərin hasili deməkdir a 1 , a 2 , … , a k bu ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğudur.

Bu tam ədədlərin neçə ümumi çoxluğu ola bilər?

Tam ədədlər qrupunun çoxlu sayda ümumi qatları ola bilər. Əslində onların sayı sonsuzdur.

Misal 3

Tutaq ki, bizdə k ədədi var. Onda z-nin tam olduğu k · z ədədlərinin hasili k və z ədədlərinin ortaq qatı olacaqdır. Ədədlərin sayının sonsuz olduğunu nəzərə alsaq, ümumi çarpanların sayı sonsuzdur.

Ən Az Ümumi Çoxluq (LCM) – Tərif, Qeyd və Nümunələr

“Tam ədədlərin müqayisəsi” bölməsində müzakirə etdiyimiz ədədlər toplusundan ən kiçik ədəd anlayışını xatırlayın. Bu anlayışı nəzərə alaraq, bütün ümumi çoxluqlar arasında ən böyük praktik əhəmiyyətə malik olan ən kiçik ümumi çoxluğun tərifini tərtib edirik.

Tərif 2

Verilmiş tam ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu bu ədədlərin ən kiçik müsbət ümumi çoxluğudur.

Verilmiş ədədlərin istənilən sayı üçün ən kiçik ümumi çoxluq mövcuddur. İstinad ədəbiyyatında konsepsiya üçün ən çox istifadə edilən abbreviatura NOC-dur. Ən kiçik ümumi çoxluq üçün qısa notasiya a 1 , a 2 , … , a k LOC formasına sahib olacaq (a 1 , a 2 , … , a k).

Misal 4

6 və 7-nin ən kiçik ümumi çoxluğu 42-dir. Bunlar. LCM(6, 7) = 42. Dörd ədəd 2, 12, 15 və 3-ün ən kiçik ortaq qatı 60-dır. Qısa qeyd LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60 kimi görünəcək.

Ən kiçik ümumi çoxluq verilmiş ədədlərin bütün qrupları üçün aydın deyil. Çox vaxt hesablamaq lazımdır.

NOC və GCD arasındakı əlaqə

Ən kiçik ümumi çox və ən böyük ortaq bölən əlaqəlidir. Anlayışlar arasındakı əlaqə teoremlə qurulur.

Teorem 1

İki müsbət tam ədədin ən kiçik ortaq qatı a və b-nin a və b-nin ən böyük ortaq böləninə bölünməsi hasilinə bərabərdir, yəni LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) ).

Sübut 1

Tutaq ki, a və b ədədlərinin çoxluğu olan bəzi M ədədimiz var. M ədədi a-ya bölünürsə, z tam ədədi də mövcuddur , bunun altında bərabərlik doğrudur M = a k. Bölünmənin tərifinə görə, əgər M ilə bölünürsə b, sonra a · k bölünür b.

Əgər gcd (a, b) kimi yeni qeyd təqdim etsək d, onda biz bərabərliklərdən istifadə edə bilərik a = a 1 d və b = b 1 · d. Bu halda hər iki bərabərlik nisbətən sadə ədədlər olacaqdır.

Biz bunu artıq yuxarıda müəyyən etmişik a · k bölünür b. İndi bu şərti belə yazmaq olar:
a 1 d k bölünür b 1 d, bu şərtə bərabərdir a 1 k bölünür b 1 bölünmə xüsusiyyətlərinə görə.

Ümumi ədədlərin xassəsinə görə, əgər a 1 Və b 1- ümumi ədədlər, a 1 ilə bölünmür b 1 baxmayaraq ki a 1 k bölünür b 1, Bu b 1 paylaşılmalıdır k.

Bu halda bir ədədin olduğunu güman etmək yerinə düşərdi t, hansı üçün k = b 1 t, və o vaxtdan bəri b 1 = b: d, Bu k = b: d t.

İndi əvəzinə k bərabərliklə əvəz edək M = a k formanın ifadəsi b: d t. Bu bizə bərabərliyə nail olmağa imkan verir M = a b: d t. At t = 1 a və b-nin ən kiçik müsbət ortaq qatını ala bilərik , bərabərdir a b: d, bu şərtlə ki, a və b rəqəmləri müsbət.

Beləliklə, biz sübut etdik ki, LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

LCM və GCD arasında əlaqə yaratmaq, verilmiş iki və ya daha çox ədədin ən böyük ümumi bölücü vasitəsilə ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağa imkan verir.

Tərif 3

Teorem iki mühüm nəticəyə malikdir:

  • iki ədədin ən kiçik ortaq qatının qatları bu iki ədədin ümumi çarpanları ilə eynidir;
  • a və b qarşılıqlı sadə müsbət ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu onların hasilinə bərabərdir.

Bu iki faktı əsaslandırmaq çətin deyil. a və b ədədlərinin M-nin hər hansı ümumi çoxluğu bəzi t tam dəyəri üçün M = LCM (a, b) · t bərabərliyi ilə müəyyən edilir. a və b nisbətən sadə olduğundan, gcd (a, b) = 1, deməli, gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu

Bir neçə ədədin ən kiçik ümumi qatını tapmaq üçün ardıcıl olaraq iki ədədin LCM-ni tapmaq lazımdır.

Teorem 2

Belə iddia edək a 1 , a 2 , … , a k bəzi müsbət tam ədədlərdir. LCM hesablamaq üçün m k Bu ədədləri ardıcıl olaraq hesablamalıyıq m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Sübut 2

Bu mövzuda müzakirə edilən birinci teoremdən birinci nəticə bizə ikinci teoremin doğruluğunu sübut etməyə kömək edəcəkdir. Əsaslandırma aşağıdakı alqoritmə əsaslanır:

  • ədədlərin ümumi qatları a 1 Və a 2 onların LCM qatları ilə üst-üstə düşür, əslində, onlar ədədin qatları ilə üst-üstə düşür m 2;
  • ədədlərin ümumi qatları a 1, a 2 Və a 3 m 2 Və a 3 m 3;
  • ədədlərin ümumi qatları a 1 , a 2 , … , a kədədlərin ümumi qatları ilə üst-üstə düşür m k - 1 Və a k, buna görə də ədədin qatları ilə üst-üstə düşür m k;
  • ədədin ən kiçik müsbət qatının olması ilə əlaqədardır m k nömrənin özüdür m k, sonra ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu a 1 , a 2 , … , a k edir m k.

Teoremi belə sübut etdik.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın



















Geri irəli

Diqqət! Slayd önizləmələri yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın bütün xüsusiyyətlərini əks etdirməyə bilər. Bu işlə maraqlanırsınızsa, tam versiyanı yükləyin.

Orta məktəb şagirdləri altıncı sinifdə ən böyük ortaq bölən (GCD) və ən kiçik ortaq çoxluq (LCM) anlayışları ilə qarşılaşırlar. Bu mövzunu başa düşmək həmişə çətindir. Uşaqlar tez-tez bu anlayışları qarışdırır və niyə öyrənilməli olduğunu başa düşmürlər. Son zamanlar elmi-populyar ədəbiyyatda bu materialın məktəb proqramından xaric edilməli olduğu barədə tək-tək fikirlər səslənir. Düşünürəm ki, bu tamamilə doğru deyil və bunu sinifdə deyilsə, məktəb komponentləri dərsləri zamanı dərsdənkənar saatlarda öyrənmək lazımdır, çünki bu, məktəblilərdə məntiqi təfəkkürün inkişafına, hesablama əməliyyatlarının sürətinin artırılmasına, və gözəl üsullardan istifadə edərək problemləri həll etmək bacarığı.

Fərqli Məxrəcli Kəsrlərin Toplanması və Çıxarılması dərsində biz uşaqlara iki və ya daha çox ədədin ortaq məxrəcini tapmağı öyrədirik. Məsələn, 1/3 və 1/5 fraksiyalarını əlavə etməlisiniz. Şagirdlər 3-ə və 5-ə qalıqsız bölünən ədədi asanlıqla tapa bilərlər. Bu rəqəm 15-dir. Həqiqətən də, əgər ədədlər kiçikdirsə, vurma cədvəlini yaxşı bilsəniz, onların ortaq məxrəcini tapmaq asandır. Uşaqlardan biri bu ədədin 3 və 5 rəqəmlərinin hasili olduğuna diqqət yetirir. Uşaqlarda belə bir fikir yaranır ki, bu yolla həmişə ədədlər üçün ortaq məxrəc tapmaq olar. Məsələn, 7/18 və 5/24 kəsrlərini çıxarın. 18 və 24 ədədlərinin hasilini tapaq. 432-yə bərabərdir. Biz artıq çoxlu sayda qəbul etmişik və əgər əlavə hesablamalar aparmaq lazımdırsa (xüsusilə bütün hərəkətlər üçün nümunələr üçün), onda xəta ehtimalı artır. Lakin bu halda ən kiçik ortaq məxrəcə (LCD) ekvivalent olan ədədlərin tapılan ən kiçik ortaq çoxluğu (LCM) - 72 rəqəmi hesablamaları əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdıracaq və nümunənin daha sürətli həllinə gətirib çıxaracaq və bununla da qənaət edəcək. yekun sınaqların və imtahanların yerinə yetirilməsi zamanı, xüsusilə yekun attestasiya zamanı mühüm rol oynayan bu tapşırığın yerinə yetirilməsi üçün ayrılmış vaxt.

"Kəsrlərin azaldılması" mövzusunu öyrənərkən, kəsrin payını və məxrəcini eyni natural ədədə bölmək, ədədlərin bölünmə əlamətlərindən istifadə edərək, nəticədə azalmayan kəsr əldə etməklə ardıcıl hərəkət edə bilərsiniz. Məsələn, 128/344 fraksiyasını azaltmaq lazımdır. Əvvəlcə kəsrin payını və məxrəcini 2 rəqəminə bölün, 64/172 kəsri alırıq. Bir daha, alınan kəsrin payını və məxrəcini 2-yə bölün, 32/86 kəsri alırıq. Kəsrin payını və məxrəcini yenidən 2-yə bölün, 16/43 azalmayan kəsr alırıq. Ancaq 128 və 344 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapsaq, kəsri azaltmaq çox asan ola bilər. GCD(128, 344) = 8. Kəsrin payını və məxrəcini bu ədədə bölməklə, dərhal azalmayan kəsr alırıq. .

Biz uşaqlara ədədlərin ən böyük ortaq bölənini (GCD) və ən kiçik ümumi çoxluğunu (LCD) tapmaq üçün müxtəlif yolları göstərməliyik. Sadə hallarda, sadə sadalama ilə ədədlərin ən böyük ortaq bölənini (GCD) və ən kiçik ümumi çoxluğunu (LCD) tapmaq rahatdır. Rəqəmlər böyüdükcə, əsas faktorizasiyadan istifadə edə bilərsiniz. Altıncı sinif dərsliyində (müəllif N.Ya.Vilenkin) ədədlərin ən böyük ortaq böləninin (GCD) tapılmasının aşağıdakı üsulu göstərilir. Rəqəmləri əsas amillərə ayıraq:

  • 16 = 2*2*2*2
  • 120 = 2*2*2*3*5

Sonra bu rəqəmlərdən birinin genişlənməsinə daxil olan amillərdən digər rəqəmin genişlənməsinə daxil olmayanların üstündən xətt çəkirik. Qalan amillərin hasili bu ədədlərin ən böyük ortaq böləni olacaqdır. Bu halda, bu, 8 rəqəmidir. Öz təcrübəmdən əminəm ki, rəqəmlərin parçalanmalarında eyni amillərin altını çəksək və sonra parçalanmaların birində onların məhsulunu tapsaq, uşaqlar üçün daha aydın olar. amilləri vurğulayır. Bu ədədlərin ən böyük ortaq bölənidir. Altıncı sinifdə uşaqlar aktiv və maraqlanır. Siz onlara aşağıdakı tapşırığı təyin edə bilərsiniz: 343 və 287 ədədlərinin ən böyük ümumi bölənini tapmaq üçün təsvir olunan üsuldan istifadə etməyə çalışın. Onları sadə amillərə necə ayırmaq dərhal aydın deyil. Və burada onlara qədim yunanlar tərəfindən icad edilən gözəl metoddan danışa bilərsiniz ki, bu da ən böyük ümumi bölücünü (GCD) əsas amillərə ayırmadan axtarmağa imkan verir. Ən böyük ortaq böləni tapmaq üçün bu üsul ilk dəfə Evklidin Elementlər kitabında təsvir edilmişdir. Buna Evklid alqoritmi deyilir. O, aşağıdakılardan ibarətdir: Birincisi, böyük ədədi kiçik olana bölün. Qalıq alınırsa, kiçik ədədi qalığa bölün. Yenidən bir qalıq alınarsa, birinci qalığı ikinciyə bölün. Qalan sıfır olana qədər bu şəkildə bölməyə davam edin. Son bölən bu ədədlərin ən böyük ortaq bölənidir (GCD).

Nümunəmizə qayıdaq və aydınlıq üçün həlli cədvəl şəklində yazaq.

Dividend Bölücü Şəxsi Qalıq
343 287 1 56
287 56 5 7
56 7 8 0

Beləliklə, gcd (344,287) = 7

Eyni ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğunu (LCM) necə tapmaq olar? Bunun üçün bu ədədlərin əsas amillərə əvvəlcədən parçalanmasını tələb etməyən bir yol varmı? Belə çıxır ki, var və bunda çox sadə biri. Bu ədədləri çoxaltmalı və hasili tapdığımız ən böyük ortaq bölənə (GCD) bölmək lazımdır. Bu misalda ədədlərin hasili 98441-dir. Onu 7-yə bölün və 14063 ədədini alın. LCM(343,287) = 14063.

Riyaziyyatın çətin mövzularından biri söz məsələlərinin həllidir. Biz tələbələrə Ən Böyük Ümumi Bölən (GCD) və Ən Kiçik Ümumi Çoxluq (LCM) anlayışlarının bəzən həlli çətin olan problemləri adi üsulla həll etmək üçün necə istifadə oluna biləcəyini göstərməliyik. Burada məktəb dərsliyi müəllifləri tərəfindən təklif olunan tapşırıqlarla yanaşı, uşaqlarda marağı inkişaf etdirən və bu mövzunu öyrənməyə marağı artıran qədim və əyləncəli tapşırıqları şagirdlərlə birlikdə nəzərdən keçirmək məqsədəuyğundur. Bu anlayışların məharətlə mənimsənilməsi tələbələrə qeyri-standart problemin gözəl həllini görməyə imkan verir. Yaxşı bir problemi həll etdikdən sonra uşağın əhval-ruhiyyəsi yüksəlirsə, bu uğurlu işin əlamətidir.

Beləliklə, məktəbdə ədədlərin “Ən Böyük Ümumi Bölən (GCD)” və “Ən kiçik Ümumi Çoxluğu (LCD)” kimi anlayışların öyrənilməsi

İşin tamamlanması üçün ayrılmış vaxta qənaət etməyə imkan verir ki, bu da tamamlanmış tapşırıqların həcminin əhəmiyyətli dərəcədə artmasına səbəb olur;

Hesablama əməliyyatlarının yerinə yetirilməsi sürətini və dəqiqliyini artırır, bu da hesablama xətalarının sayının əhəmiyyətli dərəcədə azalmasına səbəb olur;

Qeyri-standart mətn problemlərini həll etməyin gözəl yollarını tapmağa imkan verir;

Şagirdlərin maraq dairəsini inkişaf etdirir, dünyagörüşünü genişləndirir;

Çoxşaxəli yaradıcı şəxsiyyətin yetişdirilməsi üçün ilkin şərtlər yaradır.

a və b ədədlərinin qalıqsız bölündüyü ən böyük natural ədəd deyilir ən böyük ortaq bölən bu nömrələr. GCD (a, b) işarələyin.

İki natural ədəd 18 və 60 nümunəsindən istifadə edərək GCD-ni tapmağı nəzərdən keçirək:

  • 1 Rəqəmləri əsas amillərə ayıraq:
    18 = 2×3×3
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
  • 2 Birinci nömrənin genişlənməsindən ikinci nömrənin genişlənməsinə daxil olmayan bütün amilləri aradan qaldırırıq, alırıq 2×3×3 .
  • 3 Üzəri kəsdikdən sonra qalan sadə amilləri vururuq və ədədlərin ən böyük ortaq bölənini alırıq: gcd( 18 , 60 )=2×3= 6 .
  • 4 Qeyd edək ki, birinci və ya ikinci nömrədən faktorları kəsməyimizin fərqi yoxdur, nəticə eyni olacaq:
    18 = 2×3×3
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
    • 324 , 111 Və 432

    Rəqəmləri əsas amillərə ayıraq:

    324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

    111 = 3×37

    432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

    Birinci nömrədən amilləri ikinci və üçüncü nömrələrdə olmayanları kəsərək alırıq:

    2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

    Nəticədə, GCD( 324 , 111 , 432 )=3

    Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD-nin tapılması

    Ən böyük ortaq bölən tapmağın ikinci yolu istifadə etməkdir Evklid alqoritmi. Evklid alqoritmi tapmaq üçün ən səmərəli üsuldur GCD, ondan istifadə edərək daima bölən ədədlərin qalığını tapmaq və tətbiq etmək lazımdır təkrarlanma düsturu.

    Təkrarlanma düsturu GCD üçün, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), burada a mod b a bölünmüş b-nin qalığıdır.

    Evklid alqoritmi
    Nümunə Ədədlərin ən böyük ortaq bölənini tapın 7920 Və 594

    Gəlin GCD ( 7920 , 594 ) Evklid alqoritmindən istifadə edərək, kalkulyatordan istifadə edərək bölmənin qalığını hesablayacağıq.

  • GCD( 7920 , 594 )
  • GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = GCD( 594 , 198 )
  • GCD( 198 , 594 mod 198 ) = GCD( 198 , 0 )
  • GCD( 198 , 0 ) = 198
    • 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
    • 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0

      • Nəticədə biz GCD ( 7920 , 594 ) = 198

      Ən kiçik ümumi çoxluq

      Fərqli məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxılması zamanı ortaq məxrəci tapmaq üçün siz bilməlisiniz və hesablamağı bacarmalısınız. ən az ümumi çoxluq(NOK).

      “A” rəqəminin çoxluğu “a” rəqəminə qalıqsız bölünən ədəddir.

      8-in qatları olan ədədlər (yəni bu ədədlər 8-ə qalıqsız bölünür): bunlar 16, 24, 32... ədədləridir.

      9-un qatları: 18, 27, 36, 45...

      Eyni ədədin bölənlərindən fərqli olaraq, verilmiş a ədədinin sonsuz çoxlu qatları var. Sonlu sayda bölənlər var.

      İki natural ədədin ümumi qatı bu ədədlərin hər ikisinə bölünən ədəddir..

      Ən kiçik ümumi çoxluqİki və ya daha çox natural ədədin (LCM) özü bu ədədlərin hər birinə bölünən ən kiçik natural ədəddir.

      NOC-u necə tapmaq olar

      LCM iki şəkildə tapıla və yazıla bilər.

      LOC tapmağın ilk yolu

      Bu üsul adətən kiçik nömrələr üçün istifadə olunur.

    1. Hər iki ədəd üçün eyni olan qatı tapana qədər sətirdə hər ədədin qatlarını yazırıq.
    2. “A” rəqəminin çoxluğu böyük “K” hərfi ilə işarələnir.

    Misal. LCM 6 və 8-i tapın.

    LOC tapmaq üçün ikinci yol

    Bu üsul üç və ya daha çox rəqəm üçün LCM-i tapmaq üçün istifadə etmək üçün əlverişlidir.

    Ədədlərin parçalanmasında eyni amillərin sayı fərqli ola bilər.

  • Kiçik ədədin(lərin) genişləndirilməsində daha böyük ədədin genişlənməsinə daxil olmayan amilləri (bizim nümunəmizdə bu 2-dir) vurğulayın və bu amilləri daha böyük rəqəmin genişlənməsinə əlavə edin.
    LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
  • Nəticə məhsulu cavab olaraq yazın.
    Cavab: LCM (24, 60) = 120

    • Siz həmçinin ən az ümumi çoxluğu (LCM) tapmağı aşağıdakı kimi rəsmiləşdirə bilərsiniz. LOC-u tapaq (12, 16, 24).

    24 = 2 2 2 3

    Rəqəmlərin parçalanmasından gördüyümüz kimi, 12-nin bütün amilləri 24-ün (ədədlərin ən böyüyü) parçalanmasına daxildir, ona görə də 16 rəqəminin parçalanmasından LCM-ə yalnız bir 2 əlavə edirik.

    LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

    Cavab: LCM (12, 16, 24) = 48

    NOC tapmaq üçün xüsusi hallar

  • Əgər ədədlərdən biri digərlərinə bölünürsə, bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı həmin ədədə bərabərdir.

    • Məsələn, LCM (60, 15) = 60
    İki sadə ədədlərin ümumi sadə amilləri olmadığı üçün onların ən kiçik ortaq çoxluğu bu ədədlərin hasilinə bərabərdir.

    Veb saytımızda siz həmçinin hesablamalarınızı yoxlamaq üçün onlayn ən az ümumi çoxluğu tapmaq üçün xüsusi kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz.

    Əgər natural ədəd yalnız 1-ə və özünə bölünürsə, ona sadə deyilir.

    İstənilən natural ədəd həmişə 1-ə və özünə bölünür.

    2 rəqəmi ən kiçik sadə ədəddir. Bu yeganə cüt sadə ədəddir, qalan sadə ədədlər təkdir.

    Çox sayda sadə ədədlər var və onların arasında birincisi 2 rəqəmidir. Ancaq son sadə rəqəm yoxdur. “Öyrənmək üçün” bölməsində 997-yə qədər sadə ədədlər cədvəlini yükləyə bilərsiniz.

    Lakin bir çox natural ədədlər digər natural ədədlərə də bölünür.

    • 12 rəqəmi 1-ə, 2-yə, 3-ə, 4-ə, 6-ya, 12-yə bölünür;
    • 36 rəqəmi 1-ə, 2-yə, 3-ə, 4-ə, 6-ya, 12-yə, 18-ə, 36-ya bölünür.

      • Ədədin tam bölündüyü ədədlərə (12 üçün bunlar 1, 2, 3, 4, 6 və 12-dir) ədədin bölənləri adlanır.

      a natural ədədinin bölməsi verilmiş “a” ədədini qalıqsız bölən natural ədəddir.

      İkidən çox bölən olan natural ədədə mürəkkəb deyilir.

      Nəzərə alın ki, 12 və 36 rəqəmlərinin ümumi faktorları var. Bu rəqəmlər: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu ədədlərin ən böyük böləni 12-dir.

      Verilmiş iki “a” və “b” ədədlərinin ortaq böləni, verilmiş “a” və “b” ədədlərinin hər ikisinin qalıqsız bölündüyü ədəddir.

      Ən böyük ortaq bölən“a” və “b” verilmiş iki ədədin (GCD) hər iki “a” və “b” ədədinin qalıqsız bölündüyü ən böyük ədəddir.

      Qısaca “a” və “b” ədədlərinin ən böyük ortaq bölənləri aşağıdakı kimi yazılır::

      Misal: gcd (12; 36) = 12.

      Həll qeydində ədədlərin bölənləri böyük “D” hərfi ilə işarələnir.

      7 və 9 nömrələrinin yalnız bir ümumi bölən var - 1 rəqəmi. Belə nömrələr deyilir ümumi ədədlər.

      Müqayisəli ədədlər- bunlar yalnız bir ümumi bölən olan natural ədədlərdir - 1 rəqəmi. Onların gcd-si 1-dir.

      Ən böyük ortaq böləni necə tapmaq olar

      İki və ya daha çox natural ədədin gcd-sini tapmaq üçün sizə lazımdır:

    • ədədlərin bölənlərini sadə amillərə ayırın;

      • Şaquli çubuqdan istifadə edərək hesablamaları yazmaq rahatdır. Xəttin solunda əvvəlcə dividend, sağda - bölən yazırıq. Sonra, sol sütunda əmsalların dəyərlərini yazırıq.

      Bunu dərhal bir misalla izah edək. 28 və 64 rəqəmlərini sadə amillərə ayıraq.

      Hər iki rəqəmdə eyni əsas amilləri vurğulayırıq.
      28 = 2 2 7

    64 = 2 2 2 2 2 2
    Eyni sadə amillərin hasilini tapın və cavabını yazın;
    GCD (28; 64) = 2 2 = 4

    Cavab: GCD (28; 64) = 4

    GCD-nin yerini iki yolla rəsmiləşdirə bilərsiniz: bir sütunda (yuxarıda edildiyi kimi) və ya "bir sıra".

    gcd yazmağın ilk yolu

    gcd 48 və 36-nı tapın.

    GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

    gcd yazmağın ikinci yolu

    İndi GCD axtarışının həllini sətirdə yazaq. gcd 10 və 15-i tapın.

    Məlumat saytımızda siz hesablamalarınızı yoxlamaq üçün Ən Böyük Ümumi Bölmə onlayn köməkçisindən də istifadə edə bilərsiniz.

    Ən az ümumi çoxluğun tapılması, LCM-nin tapılması üsulları, nümunələri.

    Aşağıda təqdim olunan material LCM - ən az ümumi çoxluq, tərif, nümunələr, LCM və GCD arasındakı əlaqə adlı məqalədən nəzəriyyənin məntiqi davamıdır. Burada biz danışacağıq ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq (LCM), və biz misalların həllinə xüsusi diqqət yetirəcəyik. Birincisi, bu nömrələrin GCD-dən istifadə edərək iki ədədin LCM-nin necə hesablandığını göstərəcəyik. Sonra, ədədləri əsas amillərə ayırmaqla ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağa baxacağıq. Bundan sonra biz üç və ya daha çox ədədin LCM-nin tapılmasına, həmçinin mənfi ədədlərin LCM-nin hesablanmasına diqqət yetirəcəyik.

    Səhifə naviqasiyası.

    GCD vasitəsilə Ən Az Ümumi Çoxluğun (LCM) Hesablanması

    Ən az ümumi çoxluğu tapmağın bir yolu LCM və GCD arasındakı əlaqəyə əsaslanır. LCM və GCD arasındakı mövcud əlaqə bizə məlum ən böyük ümumi bölən vasitəsilə iki müsbət tam ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu hesablamağa imkan verir. Müvafiq düstur belədir LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Verilmiş düsturdan istifadə edərək LCM-nin tapılması nümunələrinə baxaq.

    126 və 70 iki ədədinin ən kiçik ortaq qatını tapın.

    Bu misalda a=126 , b=70 . LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) düsturu ilə ifadə olunan LCM və GCD arasındakı əlaqədən istifadə edək. Yəni əvvəlcə 70 və 126 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapmalıyıq, bundan sonra yazılı düsturdan istifadə edərək bu ədədlərin LCM-ni hesablaya bilərik.

    Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(126, 70) tapaq: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, buna görə də GCD(126, 70)=14.

    İndi biz tələb olunan ən kiçik ümumi çoxluğu tapırıq: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

    LCM(68, 34) nəyə bərabərdir?

    68 34-ə bölündüyü üçün GCD(68, 34)=34 olur. İndi ən kiçik ümumi çoxluğu hesablayırıq: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

    Qeyd edək ki, əvvəlki nümunə a və b müsbət tam ədədləri üçün LCM-i tapmaq üçün aşağıdakı qaydaya uyğundur: əgər a b-yə bölünürsə, bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı a-dır.

    Ədədləri əsas amillərə ayırmaqla LCM-nin tapılması

    Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmağın başqa bir yolu ədədləri sadə amillərə ayırmağa əsaslanır. Əgər verilmiş ədədlərin bütün sadə amillərindən məhsul tərtib etsəniz və sonra verilmiş ədədlərin parçalanmasında mövcud olan bütün ümumi sadə amilləri bu məhsuldan xaric etsəniz, nəticədə alınan məhsul verilmiş ədədlərin ən kiçik ümumi qatına bərabər olacaqdır. .

    LCM-nin tapılması üçün göstərilən qayda LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) bərabərliyindən irəli gəlir. Həqiqətən, a və b ədədlərinin hasili a və b ədədlərinin genişlənməsində iştirak edən bütün amillərin hasilinə bərabərdir. Öz növbəsində, GCD(a, b) a və b ədədlərinin genişlənmələrində eyni vaxtda mövcud olan bütün sadə amillərin hasilinə bərabərdir (ədədlərin əsas amillərə genişlənməsindən istifadə edərək GCD-nin tapılması bölməsində təsvir edildiyi kimi).

    Bir misal verək. Bilək ki, 75=3·5·5 və 210=2·3·5·7. Bu genişlənmələrin bütün amillərindən hasilini tərtib edək: 2·3·3·5·5·5·7 . İndi bu məhsuldan həm 75 rəqəminin genişlənməsində, həm də 210 rəqəminin genişlənməsində mövcud olan bütün amilləri istisna edirik (bu amillər 3 və 5-dir), onda məhsul 2·3·5·5·7 formasını alacaq. . Bu hasilin qiyməti 75 və 210 ədədlərinin ən kiçik ortaq qatına bərabərdir, yəni LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

    441 və 700 ədədlərini sadə çarpanlara ayırın və bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatını tapın.

    441 və 700 ədədlərini sadə amillərə ayıraq:

    441=3·3·7·7 və 700=2·2·5·5·7 alırıq.

    İndi bu ədədlərin genişlənməsində iştirak edən bütün amillərdən hasil yaradaq: 2·2·3·3·5·7·7·7. Gəlin bu məhsuldan hər iki genişlənmədə eyni vaxtda mövcud olan bütün amilləri istisna edək (yalnız belə bir amil var - bu 7 rəqəmidir): 2·2·3·3·5·5·7·7. Beləliklə, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

    NOC(441, 700)= 44 100 .

    Ədədlərin əsas amillərə bölünməsindən istifadə edərək LCM-nin tapılması qaydası bir az fərqli formalaşdırıla bilər. Əgər b ədədinin genişlənməsinin çatışmayan amilləri a ədədinin genişlənməsindən gələn amillərə əlavə olunarsa, nəticədə alınan məhsulun qiyməti a və b ədədlərinin ən kiçik ortaq qatına bərabər olacaqdır.

    Məsələn, eyni 75 və 210 ədədlərini götürək, onların sadə amillərə parçalanmaları aşağıdakı kimidir: 75=3·5·5 və 210=2·3·5·7. 75 rəqəminin genişlənməsindən 3, 5 və 5 faktorlarına 210 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2 və 7 əmsallarını əlavə edirik, qiyməti 2·3·5·5·7 hasilini alırıq. LCM-ə bərabərdir(75, 210).

    84 və 648-in ən kiçik ortaq qatını tapın.

    Əvvəlcə 84 və 648 ədədlərinin sadə amillərə parçalanmalarını alırıq. Onlar 84=2·2·3·7 və 648=2·2·2·3·3·3·3 kimi görünürlər. 84 rəqəminin genişlənməsindən 2, 2, 3 və 7 faktorlarına 648 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2, 3, 3 və 3 əmsallarını əlavə edərək 2 2 2 3 3 3 3 3 7 hasilini alırıq, bu da 4 536-ya bərabərdir. Beləliklə, 84 və 648-in arzu olunan ən kiçik ümumi çoxluğu 4,536-dır.

    Üç və ya daha çox rəqəmin LCM-nin tapılması

    Üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu iki ədədin LCM-ni ardıcıl olaraq tapmaqla tapmaq olar. Üç və ya daha çox ədədin LCM-ni tapmağa imkan verən müvafiq teoremi xatırlayaq.

    a 1 , a 2 , …, a k müsbət tam ədədləri verilsin, m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) ardıcıllıqla hesablanmaqla bu ədədlərin ən kiçik ümumi çoxluğu m k tapılır. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

    Dörd ədədin ən kiçik ortaq qatını tapmaq nümunəsindən istifadə edərək bu teoremin tətbiqini nəzərdən keçirək.

    Dörd ədədin LCM-ni tapın 140, 9, 54 və 250.

    Əvvəlcə m 2 = LCM(a 1, a 2) = LCM(140, 9) tapırıq. Bunun üçün Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(140, 9) təyin edirik, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, buna görə də, GCD(140, 9)=1, ondan LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Yəni m 2 =1 260.

    İndi m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54) tapırıq. Onu GCD(1 260, 54) vasitəsilə hesablayaq, onu da Evklid alqoritmi ilə müəyyən edirik: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Onda gcd(1,260, 54)=18, ondan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Yəni m 3 =3 780.

    m 4 = LCM(m 3, a 4) = LCM(3 780, 250) tapmaq qalır. Bunun üçün Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD(3,780, 250) tapırıq: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Buna görə də, GCD(3,780, 250)=10, ondan GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Yəni m 4 =94.500.

    Beləliklə, orijinal dörd ədədin ən kiçik ümumi çoxluğu 94.500-dür.

    LCM(140, 9, 54, 250)=94,500 .

    Bir çox hallarda verilmiş ədədlərin sadə faktorlara bölünməsindən istifadə etməklə üç və ya daha çox ədədin ən kiçik ümumi çoxluğunu tapmaq rahatdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakı qaydaya əməl etməlisiniz. Bir neçə ədədin ən kiçik ortaq qatı hasilinə bərabərdir ki, o, aşağıdakı kimi tərtib edilir: ikinci ədədin genişlənməsinin çatışmayan amilləri birinci nömrənin genişlənməsindən bütün amillərə, genişlənməsindən çatışmayan amillərə əlavə olunur. nəticədə çıxan amillərə üçüncü ədəd əlavə edilir və s.

    Baş faktorlara ayırma üsulu ilə ən kiçik ümumi çoxluğun tapılması nümunəsinə baxaq.

    Beş ədəd 84, 6, 48, 7, 143-ün ən kiçik ortaq qatını tapın.

    Əvvəlcə bu ədədlərin sadə amillərə parçalanmasını alırıq: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 sadə ədəddir, üst-üstə düşür. onun əsas amillərə parçalanması ilə) və 143=11·13.

    Bu ədədlərin LCM-ni tapmaq üçün birinci 84 rəqəminin (onlar 2, 2, 3 və 7-dir) amillərinə ikinci 6 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan amilləri əlavə etmək lazımdır. 6 rəqəminin parçalanmasında çatışmayan amillər yoxdur, çünki həm 2, həm də 3 ilk 84 rəqəminin parçalanmasında artıq mövcuddur. Sonra, 2, 2, 3 və 7 amillərinə üçüncü 48 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 2 və 2 faktorlarını əlavə edirik, 2, 2, 2, 2, 3 və 7 amillər toplusunu alırıq. Növbəti addımda bu çoxluğa çarpanları əlavə etməyə ehtiyac olmayacaq, çünki 7 artıq onun tərkibindədir. Nəhayət, 2, 2, 2, 2, 3 və 7 amillərinə 143 rəqəminin genişlənməsindən çatışmayan 11 və 13 əmsallarını əlavə edirik. 2·2·2·2·3·7·11·13 hasilini alırıq ki, bu da 48,048-ə bərabərdir.

    Buna görə də LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

    LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048 .

    Mənfi ədədlərin ən kiçik ortaq qatının tapılması

    Bəzən bir, bir neçə və ya bütün nömrələr mənfi olan ədədlərin ən az ümumi çoxluğunu tapmaq lazım olan tapşırıqlar var. Bu hallarda bütün mənfi ədədlər onların əks ədədləri ilə əvəz edilməli və sonra müsbət ədədlərin LCM-i tapılmalıdır. Mənfi ədədlərin LCM-ni tapmağın yolu budur. Məsələn, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) və LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

    Bunu edə bilərik, çünki a-nın qatlarının çoxluğu −a-nın qatlarının çoxluğu ilə eynidir (a və −a əks ədədlərdir). Həqiqətən, b a-nın bir neçə qatı olsun, onda b a-ya bölünür və bölünmə anlayışı b=a·q olan q tam ədədinin mövcudluğunu bildirir. Lakin b=(−a)·(−q) bərabərliyi də doğru olacaq ki, bu da eyni bölünmə anlayışına görə b-nin −a-ya bölünməsi, yəni b-nin −a-ya çoxluğu deməkdir. Əksi də doğrudur: əgər b −a-nın bəzi qatıdırsa, b də a-nın qatıdır.

    −145 və −45 mənfi ədədlərinin ən kiçik ortaq qatını tapın.

    −145 və −45 mənfi ədədlərini onların əksi 145 və 45 ədədləri ilə əvəz edək. Bizdə LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) var. GCD(145, 45)=5 müəyyən etdikdən sonra (məsələn, Evklid alqoritmindən istifadə etməklə) GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 hesablayırıq. Beləliklə, −145 və −45 mənfi tam ədədlərinin ən kiçik ümumi çoxluğu 1,305-dir.

    www.cleverstudents.ru

    Bölməni öyrənməyə davam edirik. kimi anlayışlara bu dərsdə baxacağıq GCD Və NOC.

    GCDən böyük ortaq böləndir.

    NOCən az ümumi çoxluqdur.

    Mövzu olduqca darıxdırıcıdır, amma mütləq başa düşmək lazımdır. Bu mövzunu dərk etmədən siz riyaziyyatda əsl maneə olan kəsrlərlə effektiv işləyə bilməyəcəksiniz.

    Ən böyük ortaq bölən

    Tərif. Ədədlərin ən böyük ortaq böləni a Və b a Və b qalıqsız bölünür.

    Bu tərifi yaxşı başa düşmək üçün gəlin dəyişənləri əvəz edək a Və b hər hansı iki ədəd, məsələn, dəyişən əvəzinə a Dəyişən yerinə 12 rəqəmini və əvəz edək b sayı 9. İndi bu tərifi oxumağa çalışaq:

    Ədədlərin ən böyük ortaq böləni 12 Və 9 olan ən böyük ədəd adlanır 12 Və 9 qalıqsız bölünür.

    Tərifdən aydın olur ki, söhbət 12 və 9 ədədlərinin ortaq bölənindən gedir və bu bölən bütün mövcud bölənlərin ən böyüyüdür. Bu ən böyük ortaq bölücü (GCD) tapmaq lazımdır.

    İki ədədin ən böyük ortaq bölənini tapmaq üçün üç üsuldan istifadə olunur. Birinci üsul kifayət qədər əmək tələb edir, lakin mövzunun mahiyyətini aydın başa düşməyə və onun tam mənasını hiss etməyə imkan verir.

    İkinci və üçüncü üsullar olduqca sadədir və GCD-ni tez tapmağa imkan verir. Hər üç üsulu nəzərdən keçirəcəyik. Və hansını praktikada istifadə edəcəyinizi seçmək sizin ixtiyarınızdadır.

    Birinci üsul iki ədədin bütün mümkün bölənlərini tapmaq və ən böyüyünü seçməkdir. Aşağıdakı nümunədən istifadə edərək bu üsula baxaq: 12 və 9 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənini tapın.

    Əvvəlcə 12 rəqəminin bütün mümkün bölənlərini tapacağıq. Bunun üçün 12-ni 1-dən 12-yə qədər olan bütün bölənlərə böləcəyik. Əgər bölən 12-ni qalıqsız bölməyə imkan verirsə, onda biz onu vurğulayacağıq. mavi və mötərizədə müvafiq izahat verin.

    12: 1 = 12
    (12 qalıqsız 1-ə bölünür, yəni 1 12 rəqəminin bölənidir)

    12: 2 = 6
    (12 qalıqsız 2-yə bölünür, yəni 2 12 rəqəminin bölənidir)

    12: 3 = 4
    (12 qalıqsız 3-ə bölünür, yəni 3 12 rəqəminin bölənidir)

    12: 4 = 3
    (12 qalıqsız 4-ə bölünür, yəni 4 12 rəqəminin bölənidir)

    12: 5 = 2 (2 qaldı)
    (12 qalıqsız 5-ə bölünmür, bu o deməkdir ki, 5 12 rəqəminin bölməsi deyil)

    12: 6 = 2
    (12 qalıqsız 6-ya bölünür, yəni 6 12 rəqəminin bölənidir)

    12: 7 = 1 (5 qalıq)
    (12 qalıqsız 7-yə bölünmür, yəni 7 12 rəqəminin bölməsi deyil)

    12: 8 = 1 (4 qalıq)
    (12 qalıqsız 8-ə bölünmür, yəni 8 12-yə bölən deyil)

    12: 9 = 1 (3 qalıq)
    (12 qalıqsız 9-a bölünmür, yəni 9 12 rəqəminin bölən deyil)

    12: 10 = 1 (2 qalıq)
    (12 qalıqsız 10-a bölünmür, bu o deməkdir ki, 10 12 rəqəminin bölməsi deyil)

    12: 11 = 1 (1 qalıq)
    (12 qalıqsız 11-ə bölünmür, yəni 11 12-yə bölən deyil)

    12: 12 = 1
    (12 qalıqsız 12-yə bölünür, yəni 12 12 rəqəminin bölənidir)

    İndi 9 ədədinin bölənlərini tapaq. Bunun üçün 1-dən 9-a kimi bütün bölənləri yoxlayın.

    9: 1 = 9
    (9 1-ə qalıqsız bölünür, yəni 1 9 rəqəminin bölənidir)

    9: 2 = 4 (1 qalıq)
    (9 qalıqsız 2-yə bölünmür, bu o deməkdir ki, 2 9 rəqəminin bölməsi deyil)

    9: 3 = 3
    (9 3-ə qalıqsız bölünür, yəni 3 9 rəqəminin bölənidir)

    9: 4 = 2 (1 qalıq)
    (9 qalıqsız 4-ə bölünmür, bu o deməkdir ki, 4 9 rəqəminin bölməsi deyil)

    9: 5 = 1 (4 qalıq)
    (9 qalıqsız 5-ə bölünmür, bu o deməkdir ki, 5 9 rəqəminin bölməsi deyil)

    9: 6 = 1 (3 qalıq)
    (9 qalıqsız 6-ya bölünmür, bu o deməkdir ki, 6 9 rəqəminin bölməsi deyil)

    9: 7 = 1 (2 qalıb)
    (9 qalıqsız 7-yə bölünmür, bu o deməkdir ki, 7 9 rəqəminin bölməsi deyil)

    9: 8 = 1 (1 qalıq)
    (9 qalıqsız 8-ə bölünmür, bu o deməkdir ki, 8 9 rəqəminin bölməsi deyil)

    9: 9 = 1
    (9 9-a qalıqsız bölünür, yəni 9 9 rəqəminin bölənidir)

    İndi hər iki ədədin bölənlərini yazaq. Mavi rənglə vurğulanan rəqəmlər bölənlərdir. Gəlin onları yazaq:

    Bölənləri yazdıqdan sonra hansının ən böyük və ən ümumi olduğunu dərhal müəyyən edə bilərsiniz.

    Tərifə görə, 12 və 9 ədədlərinin ən böyük ortaq böləni 12 və 9-u qalıqsız bölən ədəddir. 12 və 9 ədədlərinin ən böyük və ortaq bölməsi 3 rəqəmidir

    Həm 12, həm də 9 rəqəmi 3-ə qalıqsız bölünür:

    Beləliklə, gcd (12 və 9) = 3

    GCD tapmağın ikinci yolu

    İndi isə ən böyük ortaq bölənin tapılmasının ikinci üsuluna baxaq. Bu metodun mahiyyəti hər iki ədədi əsas amillərə parçalamaq və ümumi olanları çoxaltmaqdır.

    Misal 1. 24 və 18 rəqəmlərinin gcd-sini tapın

    Əvvəlcə hər iki rəqəmi əsas amillərə ayıraq:

    İndi onların ümumi amillərini çoxaldaq. Qarışıqlığın qarşısını almaq üçün ümumi amilləri vurğulamaq olar.

    24 rəqəminin genişlənməsinə baxırıq. Onun birinci amili 2-dir. 18 rəqəminin genişlənməsində də eyni amili axtarırıq və onun da orada olduğunu görürük. Hər ikisini vurğulayırıq:

    Yenidən 24 rəqəminin genişlənməsinə baxırıq. Onun ikinci amili də 2-dir. 18 rəqəminin genişlənməsində də eyni amili axtarırıq və ikinci dəfədir ki, artıq orada olmadığını görürük. Sonra heç nəyi vurğulamırıq.

    24 rəqəminin genişlənməsində sonrakı iki, 18 rəqəminin genişlənməsində də yoxdur.

    Keçək 24 rəqəminin genişlənməsində sonuncu faktora. Bu 3 amildir. 18 rəqəminin genişlənməsində də eyni amili axtarırıq və görürük ki, o da oradadır. Hər üçü vurğulayırıq:

    Beləliklə, 24 və 18 rəqəmlərinin ümumi amilləri 2 və 3 faktorlarıdır. GCD almaq üçün bu amilləri çarpmaq lazımdır:

    Beləliklə, gcd (24 və 18) = 6

    GCD tapmağın üçüncü yolu

    İndi isə gəlin ən böyük ortaq bölən tapmağın üçüncü yoluna baxaq. Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, ən böyük ümumi bölən üçün tapılacaq ədədlər sadə amillərə parçalanır. Sonra birinci ədədin genişlənməsindən ikinci ədədin genişlənməsinə daxil olmayan amillərin üstündən xətt çəkilir. Birinci genişlənmədə qalan nömrələr vurulur və GCD əldə edilir.

    Məsələn, bu üsuldan istifadə edərək 28 və 16 rəqəmləri üçün GCD-ni tapaq. Əvvəlcə bu rəqəmləri əsas amillərə ayırırıq:

    İki genişlənmə əldə etdik: və

    İndi birinci ədədin parçalanmasından ikinci ədədin parçalanmasına daxil olmayan amilləri siləcəyik. İkinci nömrənin genişləndirilməsi yeddi daxil deyil. Gəlin onu ilk genişlənmədən çıxaraq:

    İndi qalan amilləri çoxaldırıq və GCD alırıq:

    4 rəqəmi 28 və 16 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənidir. Bu ədədlərin hər ikisi 4-ə qalıqsız bölünür:

    Misal 2. 100 və 40 ədədlərinin gcd-sini tapın

    100 rəqəminin faktorinqi

    40 rəqəminin faktorinqi

    İki genişlənmə əldə etdik:

    İndi birinci ədədin parçalanmasından ikinci ədədin parçalanmasına daxil olmayan amilləri siləcəyik. İkinci nömrənin genişlənməsinə bir beş daxil deyil (yalnız bir beş var). İlk genişlənmədən onu keçək

    Qalan ədədləri vuraq:

    20 cavabını aldıq. Bu o deməkdir ki, 20 rəqəmi 100 və 40 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənidir. Bu iki ədəd 20-yə qalıqsız bölünür:

    GCD (100 və 40) = 20.

    Misal 3. 72 və 128 rəqəmlərinin gcd-sini tapın

    72 rəqəminin faktorinqi

    128 rəqəminin faktorinqi

    2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

    İndi birinci ədədin parçalanmasından ikinci ədədin parçalanmasına daxil olmayan amilləri siləcəyik. İkinci nömrənin genişlənməsi iki üçlüyü əhatə etmir (onlar ümumiyyətlə yoxdur). Gəlin onları ilk genişlənmədən çıxaraq:

    8 cavabını aldıq. Bu o deməkdir ki, 8 rəqəmi 72 və 128 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənidir. Bu iki ədəd 8-ə qalıqsız bölünür:

    GCD (72 və 128) = 8

    Bir neçə nömrə üçün GCD tapılır

    Ən böyük ümumi bölən yalnız iki deyil, bir neçə ədəd üçün tapıla bilər. Bunun üçün ən böyük ortaq bölən üçün tapılacaq ədədlər sadə amillərə parçalanır, sonra bu ədədlərin ümumi sadə çarpanlarının hasili tapılır.

    Məsələn, 18, 24 və 36 rəqəmləri üçün GCD tapaq

    18 rəqəmini çarpazlara ayıraq

    24 rəqəmini çarpazlara ayıraq

    36 rəqəmini çarpazlara ayıraq

    Üç genişlənmə əldə etdik:

    İndi bu rəqəmlərdə ümumi amilləri vurğulayaq və vurğulayaq. Ümumi amillər hər üç rəqəmdə görünməlidir:

    Görürük ki, 18, 24 və 36 rəqəmləri üçün ümumi amillər 2 və 3 faktorlarıdır. Bu amilləri vuraraq, axtardığımız gcd-ni əldə edirik:

    6 cavabını aldıq. Bu o deməkdir ki, 6 rəqəmi 18, 24 və 36 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənidir. Bu üç ədəd 6-ya qalıqsız bölünür:

    GCD (18, 24 və 36) = 6

    Misal 2. 12, 24, 36 və 42 nömrələri üçün GCD tapın

    Gəlin hər bir ədədi əsas amillərə ayıraq. Sonra bu ədədlərin ümumi amillərinin hasilini tapırıq.

    12 rəqəmini çarpazlara ayıraq

    42 rəqəmini çarpazlara ayıraq

    Dörd genişlənmə əldə etdik:

    İndi bu rəqəmlərdə ümumi amilləri vurğulayaq və vurğulayaq. Ümumi amillər bütün dörd rəqəmdə görünməlidir:

    12, 24, 36 və 42 ədədlərinin ümumi amillərinin 2 və 3-ün faktorları olduğunu görürük. Bu amilləri bir-birinə vuraraq, axtardığımız gcd-ni alırıq:

    6 cavabını aldıq. Bu o deməkdir ki, 6 rəqəmi 12, 24, 36 və 42 ədədlərinin ən böyük ortaq bölənidir. Bu ədədlər 6-ya qalıqsız bölünür:

    GCD (12, 24, 36 və 42) = 6

    Əvvəlki dərsdən bilirik ki, əgər bir ədəd digərinə qalıqsız bölünürsə, ona bu ədədin qatı deyilir.

    Belə çıxır ki, bir neçə ədədin ümumi çoxluğu ola bilər. İndi biz iki ədədin çoxluğu ilə maraqlanacağıq və bu, mümkün qədər kiçik olmalıdır.

    Tərif. Rəqəmlərin ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM). a Və b- a Və b a və nömrə b.

    Tərif iki dəyişəndən ibarətdir a Və b. Bu dəyişənlərin yerinə istənilən iki ədədi əvəz edək. Məsələn, dəyişən əvəzinə a Dəyişən yerinə 9 rəqəmini və əvəz edək b 12 rəqəmini əvəz edək. İndi isə tərifi oxumağa çalışaq:

    Rəqəmlərin ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM). 9 Və 12 - qatı olan ən kiçik ədəddir 9 Və 12 . Başqa sözlə desək, bu o qədər kiçik bir ədəddir ki, qalıqsız ədədə bölünür 9 və nömrə ilə 12 .

    Tərifdən aydın olur ki, LCM 9-a və 12-yə qalıqsız bölünən ən kiçik ədəddir.Bu LCM-i tapmaq lazımdır.

    Ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM) tapmaq üçün iki üsuldan istifadə edə bilərsiniz. Birinci üsul odur ki, siz iki ədədin ilk qatlarını yaza bilərsiniz və sonra bu çarpanlar arasında həm ədədlər, həm də kiçiklər üçün ümumi olacaq bir ədəd seçə bilərsiniz. Gəlin bu üsulu tətbiq edək.

    Əvvəlcə 9 rəqəminin birinci qatlarını tapaq. 9-un qatlarını tapmaq üçün bu doqquzu 1-dən 9-a qədər olan ədədlərə tək-tək vurmaq lazımdır. Nəticədə alınan cavablar 9 rəqəminin qatları olacaq. başlayaq. Çoxluqları qırmızı rənglə vurğulayacağıq:

    İndi biz 12 ədədinin qatlarını tapırıq.Bunun üçün 12-ni 1-dən 12-yə qədər olan bütün ədədlərə tək-tək vururuq.

    “LCM - ən az ümumi çoxluq, tərif, nümunələr” bölməsində başladığımız ən kiçik ümumi çoxluq haqqında söhbətə davam edək. Bu mövzuda biz üç və ya daha çox ədəd üçün LCM-ni tapmağın yollarına baxacağıq və mənfi ədədin LCM-ni necə tapmaq sualına baxacağıq.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    GCD vasitəsilə Ən Az Ümumi Çoxluğun (LCM) Hesablanması

    Biz artıq ən kiçik ortaq çoxluq və ən böyük ortaq bölən arasında əlaqə qurmuşuq. İndi gəlin GCD vasitəsilə LCM-i necə təyin edəcəyimizi öyrənək. Əvvəlcə müsbət ədədlər üçün bunu necə edəcəyimizi anlayaq.

    Tərif 1

    LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) düsturundan istifadə edərək ən böyük ümumi bölən vasitəsilə ən kiçik ümumi çoxluğu tapa bilərsiniz.

    Misal 1

    126 və 70 rəqəmlərinin LCM-ni tapmalısınız.

    Həll

    a = 126, b = 70 götürək. Ən böyük ümumi bölən LCM (a, b) = a · b vasitəsilə ən kiçik ortaq çoxluğu hesablamaq üçün dəyərləri düsturla əvəz edək: GCD (a, b) .

    70 və 126 rəqəmlərinin gcd-sini tapır. Bunun üçün bizə Evklid alqoritmi lazımdır: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, buna görə də GCD (126 , 70) = 14 .

    LCM-i hesablayaq: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

    Cavab: LCM(126, 70) = 630.

    Misal 2

    68 və 34 rəqəmlərini tapın.

    Həll

    Bu vəziyyətdə GCD tapmaq çətin deyil, çünki 68 34-ə bölünür. Aşağıdakı düsturdan istifadə edərək ən kiçik ümumi çoxluğu hesablayaq: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

    Cavab: LCM(68, 34) = 68.

    Bu misalda a və b müsbət tam ədədlərinin ən kiçik ortaq qatını tapmaq üçün qaydadan istifadə etdik: əgər birinci ədəd ikinciyə bölünürsə, həmin ədədlərin LCM-i birinci ədədə bərabər olacaqdır.

    Ədədləri əsas amillərə ayırmaqla LCM-nin tapılması

    İndi isə nömrələri əsas amillərə ayırmağa əsaslanan LCM-nin tapılma üsuluna baxaq.

    Tərif 2

    Ən az ümumi çoxluğu tapmaq üçün bir sıra sadə addımları yerinə yetirməliyik:

    • LCM-i tapmalı olduğumuz ədədlərin bütün sadə amillərinin hasilini tərtib edirik;
    • biz bütün əsas amilləri onların yaranan məhsullarından xaric edirik;
    • ümumi sadə amilləri aradan qaldırdıqdan sonra alınan məhsul verilmiş ədədlərin LCM-ə bərabər olacaqdır.

    Ən kiçik ümumi çoxluğu tapmaq üçün bu üsul LCM (a, b) = a · b bərabərliyinə əsaslanır: GCD (a, b). Formula baxsanız, aydın olacaq: a və b ədədlərinin hasili bu iki ədədin parçalanmasında iştirak edən bütün amillərin hasilinə bərabərdir. Bu halda, iki ədədin gcd-si bu iki ədədin faktorizasiyasında eyni vaxtda mövcud olan bütün sadə amillərin hasilinə bərabərdir.

    Misal 3

    Bizdə iki ədəd 75 və 210 var. Onları aşağıdakı kimi faktorlara ayıra bilərik: 75 = 3 5 5 Və 210 = 2 3 5 7. İki orijinal ədədin bütün amillərinin hasilini tərtib etsəniz, alırsınız: 2 3 3 5 5 5 7.

    Həm 3, həm də 5 rəqəmləri üçün ümumi olan amilləri istisna etsək, aşağıdakı formanın hasilini alırıq: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu məhsul 75 və 210 nömrələri üçün LCM olacaq.

    Misal 4

    Rəqəmlərin LCM-ni tapın 441 Və 700 , hər iki ədədi əsas amillərə ayırın.

    Həll

    Şərtdə verilmiş ədədlərin bütün sadə amillərini tapaq:

    441 147 49 7 1 3 3 7 7

    700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

    İki ədəd zəncirini alırıq: 441 = 3 3 7 7 və 700 = 2 2 5 5 7.

    Bu ədədlərin parçalanmasında iştirak edən bütün amillərin məhsulu aşağıdakı formada olacaq: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ümumi amilləri tapaq. Bu 7 rəqəmidir. Onu ümumi məhsuldan xaric edək: 2 2 3 3 5 5 7 7. Belə çıxır ki, MOK (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

    Cavab: LOC(441, 700) = 44,100.

    Ədədləri sadə amillərə parçalayaraq LCM-nin tapılması metodunun başqa bir düsturunu verək.

    Tərif 3

    Əvvəllər biz hər iki rəqəm üçün ümumi olan faktorların ümumi sayından xaric etdik. İndi biz bunu fərqli edəcəyik:

    • Gəlin hər iki rəqəmi əsas amillərə ayıraq:
    • birinci ədədin sadə amillərinin hasilinə ikinci ədədin çatışmayan amillərini əlavə edin;
    • iki ədəddən ibarət istənilən LCM olacaq məhsulu əldə edirik.

    Misal 5

    Əvvəlki nümunələrdən birində LCM-i axtardığımız 75 və 210 nömrələrinə qayıdaq. Gəlin onları sadə amillərə ayıraq: 75 = 3 5 5 Və 210 = 2 3 5 7. 3, 5 və amillərinin hasilinə 5 75 ədədi çatışmayan amilləri əlavə edir 2 Və 7 nömrə 210. Biz əldə edirik: 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Bu, 75 və 210 rəqəmlərinin LCM-idir.

    Misal 6

    84 və 648 rəqəmlərinin LCM-ni hesablamaq lazımdır.

    Həll

    Şərtdəki rəqəmləri sadə amillərə ayıraq: 84 = 2 2 3 7 Və 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Məhsula 2, 2, 3 və amillərini əlavə edək 7 ədəd 84 çatışmayan amillər 2, 3, 3 və
    3 648 nömrə. Məhsulu alırıq 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu, 84 və 648-in ən kiçik ümumi qatıdır.

    Cavab: LCM(84, 648) = 4,536.

    Üç və ya daha çox rəqəmin LCM-nin tapılması

    Neçə ədədlə məşğul olmağımızdan asılı olmayaraq, hərəkətlərimizin alqoritmi həmişə eyni olacaq: ardıcıl olaraq iki ədədin LCM-ni tapacağıq. Bu hal üçün bir teorem var.

    Teorem 1

    Tutaq ki, bizdə tam ədədlər var a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k bu ədədlər ardıcıl olaraq m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) hesablanmaqla tapılır.

    İndi teoremin konkret məsələləri həll etmək üçün necə tətbiq oluna biləcəyinə baxaq.

    Misal 7

    140, 9, 54 və dörd ədədin ən kiçik ortaq qatını hesablamalısınız 250 .

    Həll

    Qeydi təqdim edək: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

    m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9) hesablamaqla başlayaq. 140 və 9 ədədlərinin GCD-sini hesablamaq üçün Evklid alqoritmini tətbiq edək: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Alırıq: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Beləliklə, m 2 = 1,260.

    İndi eyni alqoritmdən istifadə edərək hesablayaq m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Hesablamalar zamanı m 3 = 3 780 alırıq.

    Sadəcə m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) hesablamalıyıq. Eyni alqoritmə əməl edirik. m 4 = 94 500 alırıq.

    Nümunə şərtindən dörd ədədin LCM-i 94500-dir.

    Cavab: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.

    Gördüyünüz kimi, hesablamalar sadədir, lakin kifayət qədər əmək tələb edir. Vaxta qənaət etmək üçün başqa yolla gedə bilərsiniz.

    Tərif 4

    Sizə aşağıdakı hərəkət alqoritmini təklif edirik:

    • bütün ədədləri sadə amillərə parçalayırıq;
    • birinci ədədin amillərinin hasilinə ikinci ədədin hasilindən çatışmayan amilləri əlavə edirik;
    • əvvəlki mərhələdə alınan məhsula üçüncü nömrənin çatışmayan amillərini əlavə edirik və s.;
    • nəticədə alınan məhsul şərtdən bütün ədədlərin ən kiçik ümumi qatı olacaqdır.

    Misal 8

    84, 6, 48, 7, 143 beş rəqəminin LCM-ni tapmalısınız.

    Həll

    Gəlin bütün beş ədədi sadə çarpanlara ayıraq: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Sadə ədədlər, yəni 7 rəqəmi sadə amillərə aid edilə bilməz. Belə ədədlər onların əsas amillərə parçalanması ilə üst-üstə düşür.

    İndi 84 ədədinin 2, 2, 3 və 7 sadə amillərinin hasilini götürək və onlara ikinci ədədin çatışmayan çarpanlarını əlavə edək. 6 rəqəmini 2 və 3-ə böldük. Bu amillər artıq birinci nömrənin hasilindədir. Buna görə də biz onları buraxırıq.

    Çatışmayan çarpanları əlavə etməyə davam edirik. Baş amillərinin hasilindən 2 və 2-ni aldığımız 48 rəqəminə keçək. Sonra dördüncü ədəddən 7-nin sadə amilini və beşinci ədədin 11 və 13-ün amillərini əlavə edirik. Alırıq: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Bu, ilkin beş ədədin ən kiçik ümumi çoxluğudur.

    Cavab: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

    Mənfi ədədlərin ən kiçik ortaq qatının tapılması

    Mənfi ədədlərin ən kiçik ortaq qatını tapmaq üçün əvvəlcə bu ədədlər əks işarəli ədədlərlə əvəz edilməli, sonra isə yuxarıda göstərilən alqoritmlərdən istifadə etməklə hesablamalar aparılmalıdır.

    Misal 9

    LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) və LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

    Əgər biz bunu qəbul etsək, belə hərəkətlərə icazə verilir a Və − a- əks nömrələr,
    sonra ədədin qatlarının çoxluğu aədədin qatlarının çoxluğuna uyğun gəlir − a.

    Misal 10

    Mənfi ədədlərin LCM-ni hesablamaq lazımdır − 145 Və − 45 .

    Həll

    Nömrələri əvəz edək − 145 Və − 45 onların əks nömrələrinə 145 Və 45 . İndi alqoritmdən istifadə edərək, əvvəllər Evklid alqoritmindən istifadə edərək GCD-ni təyin edərək LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 hesablayırıq.

    Alırıq ki, ədədlərin LCM-i - 145 və − 45 bərabərdir 1 305 .

    Cavab: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

    Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın