Tərs triqonometrik funksiyalar mövzusunda praktik iş. "Tərs triqonometrik funksiyalar" - Sənəd

Hədəf:

Tapşırıq: “Tərs triqonometrik funksiyalar” testini yaradın.

İnternet resursları

Çatdırılma tarixi - texniki şərtlərə uyğun olaraq

14 nömrəli müstəqil iş (2 saat)

Mövzu haqqında: "Koordinat oxları boyunca uzanma və sıxılma"

Hədəf: tələbələrin əldə etdikləri nəzəri biliklərin və praktiki bacarıqların sistemləşdirilməsi və möhkəmləndirilməsi;

Tapşırıq: Mövzuya dair referat: “Koordinat oxları boyunca uzanma və sıxılma”

Ədəbiyyat: A.G.Mordkoviç “Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı” 10-cu sinif

İnternet resursları

Çatdırılma tarixi - texniki şərtlərə uyğun olaraq

15 nömrəli müstəqil iş (1 saat)

Mövzu haqqında: "Koordinat oxları boyunca uzanma və sıxılma"

Hədəf: müstəqil düşüncənin formalaşması, özünü inkişaf etdirmək, özünü təkmilləşdirmək və özünü həyata keçirmək bacarığı

Tapşırıq: təqdimat: "Koordinat oxları boyunca uzanma və sıxılma"

Ədəbiyyat: A.G.Mordkoviç “Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı” 10-cu sinif

İnternet resursları

Çatdırılma tarixi - texniki şərtlərə uyğun olaraq

16 nömrəli müstəqil iş (2 saat)

Mövzuda: “Tərs triqonometrik funksiyalar, onların xassələri və qrafikləri”

Hədəf: tələbələrin əldə etdikləri nəzəri biliklərin və praktiki bacarıqların sistemləşdirilməsi və möhkəmləndirilməsi

Tapşırığı tamamlama forması: tədqiqat işi.

Ədəbiyyat: A.G.Mordkoviç “Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı” 10-cu sinif

İnternet resursları

Çatdırılma tarixi - texniki şərtlərə uyğun olaraq

18 nömrəli müstəqil iş (6 saat)

Mövzu haqqında: “Yarım arqument düsturları”

Məqsəd: nəzəri bilikləri dərinləşdirmək və genişləndirmək

Tapşırıq: “Yarım arqumentin düsturları” mövzusunda mesaj yazın. Triqonometriya düsturları üçün istinad cədvəli yaradın

Ədəbiyyat: A.G.Mordkoviç “Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı” 10-cu sinif

İnternet resursları

Çatdırılma tarixi - texniki şərtlərə uyğun olaraq

Ön səhifə.

İş planı “Mündəricat” başlığı ilə tərtib edilir; yer - mərkəzdə.

Biblioqrafik mənbələrin siyahısı “Ədəbiyyat” başlığı altında verilmişdir. İstifadə olunmuş ədəbiyyat siyahısına istifadə olunan bütün mənbələr daxil edilməlidir: kitablar haqqında məlumat (monoqrafiyalar, dərsliklər, dərsliklər, məlumat kitabçaları və s.) olmalıdır: müəllifin soyadı və inisialları, kitabın adı, nəşr yeri, nəşriyyat, nəşr ili. Üç və ya daha çox müəllif olduqda, onlardan yalnız birincisinin soyadının və inisialının “və s.” sözləri ilə göstərilməsinə icazə verilir. Nəşr yerinin adı nominativ halda tam göstərilməlidir: yalnız iki şəhərin adının abreviaturasına icazə verilir: Moskva (M.) və Sankt-Peterburq (SPb.). Göstərilən biblioqrafik mənbələr əlifba sırası ilə artan qaydada sıralanmalıdır. Siyahı ən azı üç mənbədən ibarət olmalıdır.

Əsərin hər yeni hissəsi, yeni fəsil, yeni abzas növbəti səhifədən başlayır.

Ərizə ayrıca vərəqlərdə tərtib edilir, hər bir ərizənin seriya nömrəsi və tematik başlığı var. Yuxarı sağ küncdə “Əlavə” 1 (2.3...) yazısı yerləşdirilmişdir. Tətbiq başlığı paraqraf başlığı kimi formatlanır.

İşin həcmi kompüterdə (makinada) çap edilmiş ən azı 10 vərəqdir; mündəricat, biblioqrafiya və əlavələr göstərilən səhifə sayına daxil edilmir.

Əlyazmanın mətni 1,5 intervalla 14 nömrəli şriftlə çap edilmişdir.

Haşiyələr: sol - 3 sm, sağ - 1 sm, yuxarı və aşağı - 2 sm.

Qırmızı xətt - 1,5 sm paraqraf arası - 1,8.

Əsərin mətnində sitatdan sonra aşağıdakı işarələrdən istifadə olunur: “...”, burada biblioqrafik mənbənin nömrəsi ədəbiyyat siyahısından götürülür.

Ərizənin mətninə müraciət aşağıdakı kimi formatlaşdırılır: (bax: Əlavə 1).

Alqoritm diaqramlarının, cədvəllərin və düsturların dizaynı. İllüstrasiyalar (qrafiklər, diaqramlar, diaqramlar) avtoreferatın əsas mətnində və əlavələr bölməsində ola bilər. Bütün illüstrasiyalar təsvirlər adlanır. Bütün rəqəmlər, cədvəllər və düsturlar ərəb rəqəmləri ilə nömrələnir və proqram daxilində davamlı nömrələnir. Hər rəsmdə bir imza olmalıdır. Məsələn:

Şəkil 12. Əsas proqram pəncərəsinin forması.

İşdəki bütün rəqəmlər, cədvəllər və düsturlar formada bağlantılara malik olmalıdır: “əsas tətbiq pəncərəsinin forması Şəkil 1-də göstərilmişdir. 12."

Şəkillər və cədvəllər qeydin mətnində ilk dəfə qeyd olunduğu səhifədən dərhal sonra yerləşdirilməlidir. Boşluq icazə verərsə, rəqəm (cədvəl) mətndə ona ilk keçidin verildiyi səhifədə yerləşdirilə bilər.

Rəsm birdən çox səhifəni tutursa, birincidən başqa bütün səhifələr rəsm nömrəsi və “Davam” sözü ilə qeyd olunur. Məsələn:

düyü. 12. Davamı

Rəsmlər elə yerləşdirilməlidir ki, qeydi çevirmədən onlara baxmaq mümkün olsun. Əgər belə yerləşdirmə mümkün deyilsə, çertyojlar elə yerləşdirilməlidir ki, onlara baxmaq üçün işi saat əqrəbi istiqamətində çevirməli olacaqsınız.

Alqoritm diaqramları ESPD standartına uyğun tərtib edilməlidir. Alqoritm diaqramlarını çəkərkən bərk xəttin qalınlığı 0,6 ilə 1,5 mm aralığında olmalıdır. Diaqramlarda yazılar rəsm şriftində aparılmalıdır. Hərflərin və rəqəmlərin hündürlüyü ən azı 3,5 mm olmalıdır.

Cədvəl nömrəsi, əgər varsa, cədvəl başlığının yuxarı sağ küncündə yerləşdirilir. Başlıq, birinci hərf istisna olmaqla, kiçik hərflərlə yazılır. İxtisarlar yalnız böyük hərflərdən istifadə edir. Məsələn: PC.

Düsturun nömrəsi səhifənin sağ tərəfində mötərizədə düstur səviyyəsində yerləşdirilir. Məsələn: z:=sin(x)+cos(y); (12).

Məsələn: dəyərlər (12) düsturu ilə hesablanır.

Əsərin vərəqlərini kitab variantına uyğun olaraq nömrələyin: çap nömrələri ilə vərəqin aşağı sağ küncündə “Giriş” mətnindən başlayaraq (səh. 3). Əsər son səhifəyə qədər ardıcıl olaraq nömrələnir.

“Fəsil” sözü yazılır, fəsillər rum rəqəmləri ilə nömrələnir, bəndlər ərəbcə nömrələnir, işarəsi; yazılmayıb; "Giriş" əsərinin bir hissəsi. “Nəticə” və “Ədəbiyyat” nömrələnmir.

Fəsil və paraqrafların adları qırmızı xətt üzərində yazılır.

“Giriş”, “Nəticə”, “Ədəbiyyat” başlıqları vərəqin ortasında, yuxarı hissəsində, dırnaq işarəsi olmadan, nöqtə qoyulmadan yazılır.

Əsərin giriş və yekun hissəsinin həcmi çap mətninin 1,5-2 səhifəsidir.

İş tikilməlidir.

Əsərdə üç növ şriftdən istifadə olunur: 1 - fəsil başlıqlarını, “Mündəricat”, “Ədəbiyyat”, “Giriş”, “Nəticə” başlıqlarını vurğulamaq; 2 - paraqraf başlıqlarını vurğulamaq; 3 - mətn üçün

Təqdimat tələbləri

Birinci slaydda:

ü təqdimatın adı;

İkinci slayd işin məzmununu göstərir, ən yaxşı şəkildə hiperlink şəklində təqdim olunur (təqdimatın interaktivliyi üçün).

Sonuncu slaydda tələblərə uyğun istifadə olunan ədəbiyyatların siyahısı, internet resursları sonuncu sıralanır.

8 Böyük hərflərdən çox istifadə etməməlisiniz (onlar kiçik hərflərdən daha az oxunaqlıdır).

Məlumatı vurğulamaq yolları

İstifadə etməlisiniz: 8 çərçivə, haşiyə, kölgələmə 8 müxtəlif şrift rəngi, kölgələmə, oxlar 8 şəkil, diaqramlar, ən vacib faktları göstərmək üçün diaqramlar

Məlumatın həcmi

8, bir slaydı çox məlumatla doldurmamalısınız: insanlar eyni anda üçdən çox faktı, nəticəni və tərifləri yadda saxlaya bilməzlər.

8, ən böyük effektivliyə əsas məqamlar hər bir fərdi slaydda bir-bir əks olunduqda əldə edilir.

Slaydların növləri

Müxtəlifliyi təmin etmək üçün müxtəlif növ slaydlardan istifadə etməlisiniz: mətnlə, cədvəllərlə, diaqramlarla.

İş zamanı tələbələr:

Lazımi materialı həm mühazirələrdə, həm də əlavə məlumat mənbələrində nəzərdən keçirmək və öyrənmək;

İstiqamətə görə ayrı-ayrılıqda sözlərin siyahısını tərtib edin;

Seçilmiş sözlər üçün suallar hazırlayın;

Mətnin orfoqrafiyasını və nömrələnməyə uyğunluğunu yoxlamaq;

Bitmiş krossvord yaradın.

Krossvordlar tərtib etmək üçün ümumi tələblər:

Krossvordlar şəbəkəsində “boşluqların” (doldurulmamış xanaların) olmasına icazə verilmir;

Təsadüfi hərf birləşmələri və kəsişmələrə icazə verilmir;

Gizli sözlər nominativ tək halda isim olmalıdır;

İki hərfli sözlərin iki kəsişməsi olmalıdır;

Cavablar ayrıca dərc olunur. Cavablar krossvord həllinin düzgünlüyünü yoxlamaq və şərtlərin həll edilməmiş mövqelərinə düzgün cavablarla tanış olmaq imkanı vermək üçün nəzərdə tutulmuşdur ki, bu da krossvord tapmacalarının həllinin əsas vəzifələrindən birini həll etməyə kömək edir - erudisiyanı artırmaq və lüğət ehtiyatını artırmaq.

Tamamlanmış krossvordları qiymətləndirmək üçün meyarlar:

1. Materialın təqdimatının aydınlığı, mövzunun tədqiqinin tamlığı;

2. Krossvordun orijinallığı;

3. İşin praktiki əhəmiyyəti;

4. Materialın üslubi təqdimat səviyyəsi, üslub xətalarının olmaması;

5. İş tərtibatının səviyyəsi, qrammatik və durğu işarələri xətalarının olub-olmaması;

6. Krossvordda sualların sayı, onların düzgün təqdimatı.

Praktik dərslərin maksimum fayda gətirməsi üçün yadda saxlamaq lazımdır ki, situasiya problemlərinin həyata keçirilməsi və həlli mühazirələrdə oxunan material əsasında həyata keçirilir və adətən mühazirə kursunun ayrı-ayrı məsələlərinin ətraflı təhlili ilə əlaqələndirilir. Vurğulamaq lazımdır ki, mühazirə materialını yalnız müəyyən nöqteyi-nəzərdən mənimsədikdən sonra (yəni mühazirələrdə təqdim olunduğundan) həm müzakirə, həm də təhlil nəticəsində praktiki məşğələlərdə möhkəmləndiriləcəkdir. mühazirə materialı və situasiya problemlərini həll etməklə. Bu şərtlərdə tələbə nəinki materialı yaxşı mənimsəyəcək, həm də onu praktikada tətbiq etməyi öyrənəcək, həm də mühazirənin fəal şəkildə öyrənilməsi üçün əlavə stimul (və bu çox vacibdir) alacaq.

Təyin edilmiş problemləri müstəqil həll edərkən, kursun nəzəri prinsiplərinə əsaslanaraq hər bir hərəkət mərhələsini əsaslandırmaq lazımdır. Tələbə problemi (tapşırığı) həll etməyin bir neçə yolunu görürsə, o zaman onları müqayisə etməli və ən rasional olanı seçməlidir. Problemləri həll etməyə başlamazdan əvvəl problemin (tapşırığın) həlli üçün qısa bir plan tərtib etmək faydalıdır. Problemli problemlərin həlli və ya nümunələr şərhlər, diaqramlar, təsvirlər və çertyojlar, icra üçün təlimatlarla müşayiət olunmaqla ətraflı təqdim edilməlidir.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, hər bir təhsil probleminin həlli şərtin tələb etdiyi son məntiqi cavaba, mümkünsə, nəticəyə çatdırılmalıdır. Alınan nəticə verilən tapşırığın mahiyyətindən irəli gələn üsullarla yoxlanılmalıdır.

· Test tapşırığının əsas şərtləri aydın və aydın şəkildə müəyyən edilməlidir.

· Test tapşırıqları praqmatik cəhətdən düzgün olmalı və müəyyən bir bilik sahəsində tələbələrin təhsil nailiyyətlərinin səviyyəsini qiymətləndirmək üçün tərtib edilməlidir.

· Test tapşırıqları qısaldılmış qısa mülahizələr şəklində tərtib edilməlidir.

· Siz imtahan verəndən test tapşırıqlarının tələbləri haqqında ətraflı nəticə çıxarmağı tələb edən test tapşırıqlarından çəkinməlisiniz.

· Test situasiyalarını qurarkən tədris materialının məzmununu rasional şəkildə təqdim etmək üçün onların təqdimatının müxtəlif formalarından, həmçinin qrafik və multimedia komponentlərindən istifadə edə bilərsiniz.

Test tapşırığında sözlərin sayı 10-12-dən çox olmamalıdır, əgər bu, test vəziyyətinin konseptual strukturunu təhrif etmirsə. Əsas odur ki, mövzu sahəsinin bir parçasının məzmununun aydın və aydın əks olunmasıdır.

Şagirdin test tapşırığına sərf etdiyi orta vaxt 1,5 dəqiqədən çox olmamalıdır.

Dərslər 32-33. Tərs triqonometrik funksiyalar

Hədəf: tərs triqonometrik funksiyaları və onlardan triqonometrik tənliklərin həlli üçün istifadəni nəzərdən keçirin.

I. Dərslərin mövzusunun və məqsədinin bildirilməsi

II. Yeni materialın öyrənilməsi

1. Tərs triqonometrik funksiyalar

Bu mövzu ilə bağlı müzakirəmizə aşağıdakı nümunə ilə başlayaq.

Misal 1

Tənliyi həll edək: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Ordinat oxunda 1/2 qiymətini çəkirik və bucaqları qururuq x 1 və x2, bunun üçün günah x = 1/2. Bu halda x1 + x2 = π, buradan x2 = π – x 1 . Triqonometrik funksiyaların dəyər cədvəlindən istifadə edərək x1 = π/6 dəyərini tapırıq, sonraSinus funksiyasının dövriliyini nəzərə alaq və bu tənliyin həllərini yazaq:burada k ∈ Z.

b) Aydındır ki, tənliyin həlli alqoritmi günah x = a əvvəlki paraqrafdakı kimidir. Təbii ki, indi a dəyəri ordinat oxu boyunca çəkilir. Bir şəkildə x1 bucağını təyin etməyə ehtiyac var. Bu bucağı simvolla qeyd etməyə razılaşdıq arcsin A. Sonra bu tənliyin həlli formada yazıla bilərBu iki formul bir formada birləşdirilə bilər: eyni zamanda

Qalan tərs triqonometrik funksiyalar oxşar şəkildə təqdim olunur.

Çox tez-tez bucağın böyüklüyünü onun triqonometrik funksiyasının məlum dəyərindən müəyyən etmək lazımdır. Belə bir problem çoxqiymətlidir - triqonometrik funksiyaları eyni qiymətə bərabər olan saysız-hesabsız bucaqlar var. Buna görə də, triqonometrik funksiyaların monotonluğuna əsaslanaraq, bucaqları unikal şəkildə təyin etmək üçün aşağıdakı tərs triqonometrik funksiyalar tətbiq edilir.

a sayının arksinusu (arksin , onun sinusu a-ya bərabərdir, yəni.

Ədədin qövs kosinusu a(arccos a) kosinusu a-a bərabər olan intervaldan a bucağıdır, yəni.

Ədədin arktangensi a(arctg a) - intervaldan belə a bucağıtangensi a-a bərabər olan, yəni.tg a = a.

Ədədin arkotangensi a(arcctg a) kotangensi a-ya bərabər olan (0; π) intervalından a bucağıdır, yəni. ctg a = a.

Misal 2

Tapaq:

Tərs triqonometrik funksiyaların təriflərini nəzərə alaraq əldə edirik:

Misal 3

Gəlin hesablayaq

Qoy bucaq a = qövs 3/5, sonra təriflə sin a = 3/5 və . Ona görə də tapmaq lazımdır cos A. Əsas triqonometrik eyniliyi istifadə edərək, əldə edirik:Nəzərə alınır ki, cos a ≥ 0. Beləliklə,

Tərs triqonometrik funksiyaların tərifləri və əsas xassələri ilə bağlı bir sıra daha tipik nümunələr verək.

Misal 4

Funksiyanın təyini oblastını tapaq

y funksiyasının təyin olunması üçün bərabərsizliyi təmin etmək lazımdırbərabərsizliklər sisteminə ekvivalentdirBirinci bərabərsizliyin həlli x intervalıdır∈ (-∞; +∞), ikinci - Bu interval və bərabərsizliklər sisteminin həlli və buna görə də funksiyanın təyini sahəsidir

Misal 5

Funksiyanın dəyişmə sahəsini tapaq

Funksiyanın davranışını nəzərdən keçirək z = 2x - x2 (şəkilə bax).

Aydındır ki, z ∈ (-∞; 1]. Nəzərə alsaq ki, arqument z qövs kotangent funksiyası müəyyən edilmiş hədlər daxilində dəyişir, bunu əldə etdiyimiz cədvəl məlumatlarındanBeləliklə, dəyişiklik sahəsi

Misal 6

y = funksiyasının olduğunu sübut edək arctg x tək. QoyOnda tg a = -x və ya x = - tg a = tg (- a), və Buna görə də - a = arctg x və ya a = - arctg X. Beləliklə, biz bunu görürükyəni y(x) tək funksiyadır.

Misal 7

Bütün tərs triqonometrik funksiyalar vasitəsilə ifadə edək

Qoy Aydındır ki Sonra o vaxtdan

Bucağı təqdim edək Çünki Bu

Buna görə də eynilə Və

Belə ki,

Misal 8

y = funksiyasının qrafikini quraq cos (arcsin x).

O zaman a = arcsin x işarə edək Nəzərə alaq ki, x = sin a və y = cos a, yəni x 2 + y2 = 1 və x-də məhdudiyyətlər (x∈ [-1; 1]) və y (y ≥ 0). Onda y = funksiyasının qrafiki cos(arcsin x) yarımdairədir.

Misal 9

y = funksiyasının qrafikini quraq arccos (cos x).

cos funksiyasından bəri x intervalında dəyişikliklər [-1; 1], onda y funksiyası bütün ədədi oxda müəyyən edilir və seqmentdə dəyişir. Nəzərə alaq ki, y = arccos (cosx) seqmentdə = x; y funksiyası cüt və dövri 2π dövrü ilə. Nəzərə alsaq ki, funksiya bu xüsusiyyətlərə malikdir cos x İndi qrafik yaratmaq asandır.

Bəzi faydalı bərabərlikləri qeyd edək:

Misal 10

Funksiyanın ən kiçik və ən böyük qiymətlərini tapaq işarə edək Sonra Gəlin funksiyanı əldə edək Bu funksiyanın nöqtədə minimumu var z = π/4 və ona bərabərdir Funksiyanın ən böyük dəyəri nöqtədə əldə edilir z = -π/2 və bərabərdir Beləliklə, və

Misal 11

Gəlin tənliyi həll edək

Bunu nəzərə alaq Sonra tənlik belə görünür:və ya harada Arktangentin tərifinə görə alırıq:

2. Sadə triqonometrik tənliklərin həlli

1-ci misalda olduğu kimi, siz ən sadə triqonometrik tənliklərin həllərini əldə edə bilərsiniz.

Misal 12

Gəlin tənliyi həll edək

Sinus funksiyası tək olduğundan tənliyi formada yazırıqBu tənliyin həlli yolları:hardan tapaq?

Misal 13

Gəlin tənliyi həll edək

Verilmiş düsturdan istifadə edərək tənliyin həllərini yazırıq:və tapacağıq

Qeyd edək ki, xüsusi hallarda (a = 0; ±1) tənlikləri həll edərkən sin x = a və cos x = və ümumi düsturlardan istifadə etmək deyil, vahid dairəyə əsaslanaraq həlləri yazmaq daha asan və daha rahatdır:

sin x = 1 həll tənliyi üçün

tənliyi üçün sin x = 0 həllər x = π k;

sin x = -1 tənliyi üçün həll

cos tənliyi üçün x = 1 həll x = 2π k ;

cos x = 0 tənliyi üçün həll

cos x = -1 tənliyi üçün həll

Misal 14

Gəlin tənliyi həll edək

Bu misalda tənliyin xüsusi halı olduğundan, müvafiq düsturdan istifadə edərək həllini yazacağıq:hardan tapa bilerik?

III. Nəzarət sualları (frontal sorğu)

1. Tərs triqonometrik funksiyaların əsas xassələrini müəyyənləşdirin və sadalayın.

2. Tərs triqonometrik funksiyaların qrafiklərini verin.

3. Sadə triqonometrik tənliklərin həlli.

IV. Dərs tapşırığı

§ 15, № 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, № 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, № 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Ev tapşırığı

§ 15, № 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (q); 16 (b); 18 (c, d); 19 (q); 22;

§ 16, № 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, № 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Yaradıcı tapşırıqlar

1. Funksiyanın oblastını tapın:

Cavablar:

2. Funksiyanın diapazonunu tapın:

Cavablar:

3. Funksiyanın qrafikini qurun:

VII. Dərslərin yekunlaşdırılması

Rusiya Federasiyasının Təhsil üzrə Federal Agentliyi

"Mari Dövlət Universiteti" Ali Peşə Təhsili Dövlət Təhsil Müəssisəsi

Riyaziyyat və MPM kafedrası

Kurs işi

Tərs triqonometrik funksiyalar

Tamamlandı:

tələbə

33 JNF qrupu

Yaşmetova L.N.

Elmi rəhbər:

Ph.D. dosent

Borodina M.V.

Yoşkar-Ola

Giriş…………………………………………………………………………………………3

Fəsil I. Tərs triqonometrik funksiyaların tərifi.

1.1. Funksiya y =arcsin x……………………………………………………........4

1.2. Funksiya y =arccos x…………………………………………………….......5

1.3. Funksiya y =arctg x………………………………………………………….6

1.4. Funksiya y =arcctg x…………………………………………………….......7

II fəsil. Tərs triqonometrik funksiyalı tənliklərin həlli.

Tərs triqonometrik funksiyalar üçün əsas əlaqələr....8

Tərkibində tərs triqonometrik funksiyalar olan tənliklərin həlli………………………………………………………………………..11

Tərs triqonometrik funksiyaların qiymətlərinin hesablanması............21

Nəticə……………………………………………………………………………….25

İstinadların siyahısı…………………………………………………………26

Giriş

Bir çox problemdə yalnız verilmiş bucaqdan triqonometrik funksiyaların qiymətlərini deyil, əksinə, bəzi triqonometrik funksiyanın verilmiş dəyərindən bucaq və ya qövs tapmağa ehtiyac var.

Tərs triqonometrik funksiyalarla bağlı problemlər USE tapşırıqlarında (xüsusilə B və C hissələrində çoxlu) var. Məsələn, Vahid Dövlət İmtahanının B hissəsində tangensin müvafiq dəyərini tapmaq və ya tərs triqonometrik funksiyaların cədvəlləşdirilmiş qiymətlərini ehtiva edən ifadənin dəyərini hesablamaq üçün sinusun (kosinus) dəyərindən istifadə etmək tələb olunurdu. Bu tip tapşırıqlara gəlincə, qeyd edirik ki, məktəb dərsliklərindəki bu cür tapşırıqlar onların həyata keçirilməsində güclü bacarıq formalaşdırmaq üçün kifayət deyil.

Bu. Kurs işinin məqsədi tərs triqonometrik funksiyaları və onların xassələrini nəzərdən keçirmək, tərs triqonometrik funksiyalarla bağlı məsələlərin həllini öyrənməkdir.

Məqsədə çatmaq üçün aşağıdakı vəzifələri həll etməliyik:

Tərs triqonometrik funksiyaların nəzəri əsaslarını öyrənmək,

Nəzəri biliklərin praktikada tətbiqini göstərin.

FəsilI. Tərs triqonometrik funksiyaların tərifi

1.1. y = funksiyasıarcsinx

Funksiyanı nəzərdən keçirək,
. (1)

Bu intervalda funksiya monotondur (-1-dən 1-ə qədər artır), buna görə də tərs funksiya var.

,
. (2)

Hər bir verilən dəyər saat[-1,1] intervalından (sine dəyəri) bir yaxşı müəyyən edilmiş qiymətə uyğundur X(qövs böyüklüyü) intervaldan
. Ümumi qəbul edilmiş nota keçərək, əldə edirik

Harada
. (3)

Bu (1) funksiyaya tərs funksiyanın analitik spesifikasiyasıdır. Funksiya (3) çağırılır arcsine arqument . Bu funksiyanın qrafiki funksiyanın qrafikinə simmetrik əyridir, burada , I və III koordinat bucaqlarının bissektrisasına nisbətən.

Funksiyanın xassələrini təqdim edək, burada .

Mülk 1. Funksiya dəyərinin dəyişmə sahəsi: .

Əmlak 2. Funksiya qəribədir, yəni.

Əmlak 3. Funksiya, burada , tək kökə malikdir
.

Əmlak 4.Əgər, onda
; Əgər , Bu.

Əmlak 5. Funksiya monotondur: arqument -1-dən 1-ə qədər artdıqca, funksiyanın dəyəri ondan artır.
üçün
.

1.2. Funksiyay = ariləcosx

Funksiyanı nəzərdən keçirin
, . (4)

Bu intervalda funksiya monotondur (+1-dən -1-ə qədər azalır), yəni onun üçün tərs funksiya var

, , (5)

olanlar. hər bir dəyər [-1,1] intervalından (kosinus dəyərləri) intervaldan yaxşı müəyyən edilmiş bir dəyərə (qövs dəyərləri) uyğun gəlir. Ümumi qəbul edilmiş nota keçərək, əldə edirik

, . (6)

Bu, funksiyaya tərs olan funksiyanın analitik spesifikasiyasıdır (4). Funksiya (6) çağırılır qövs kosinusu arqument X. Bu funksiyanın qrafiki qarşılıqlı tərs funksiyaların qrafiklərinin xassələri əsasında qurula bilər.

, burada , funksiyası aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir.

Mülk 1. Funksiya dəyərinin dəyişmə sahəsi:
.

Əmlak 2. Kəmiyyətlər
Və
münasibətlə bağlıdır

Əmlak 3. Funksiya tək kökə malikdir
.

Əmlak 4. Funksiya mənfi dəyərləri qəbul etmir.

Əmlak 5. Funksiya monotondur: arqument -1-dən +1-ə qədər artdıqca, funksiya dəyərləri 0-dan azalır.

1.3. Funksiyay = arctgx

Funksiyanı nəzərdən keçirin
,
. (7)

Qeyd edək ki, bu funksiya ciddi şəkildə ilə arasında olan bütün dəyərlər üçün müəyyən edilir; bu intervalın sonunda o, mövcud deyil, çünki dəyərlər

- tangens qırılma nöqtələri.

Arada
funksiya monotondur (-dən artır -
üçün
), buna görə də (1) funksiyası üçün tərs funksiya var:

,
, (8)

olanlar. intervaldan hər bir verilmiş qiymət (tangens dəyəri).
intervaldan çox xüsusi bir dəyərə (qövs ölçüsü) uyğun gəlir.

Ümumi qəbul edilmiş nota keçərək, əldə edirik

,
. (9)

Bu tərs funksiyanın analitik spesifikasiyasıdır (7). Funksiya (9) çağırılır arktangent arqument X. Qeyd edək ki, nə vaxt
funksiya dəyəri
, və nə vaxt

, yəni. funksiyanın qrafikində iki asimptot var:
Və.

, , funksiyası aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir.

Mülk 1. Funksiya qiymətlərinin dəyişmə diapazonu
.

Əmlak 2. Funksiya qəribədir, yəni. .

Əmlak 3. Funksiya tək kökə malikdir.

Əmlak 4.Əgər
, Bu

; Əgər , Bu
.

Əmlak 5. Funksiya monotondur: arqumentdən -ə qədər artdıqca, funksiyanın qiyməti +-dan artır.

1.4. Funksiyay = arcctgx

Funksiyanı nəzərdən keçirin
,
. (10)

Bu funksiya 0-dan aralığında olan bütün dəyərlər üçün müəyyən edilir; bu intervalın sonunda mövcud deyil, çünki dəyərlər və kotangensin kəsilmə nöqtələridir. (0,) intervalında funksiya monotondur (dan aşağı düşür), buna görə də (1) funksiyası üçün tərs funksiya var.

, (11)

olanlar. intervaldan hər bir verilmiş qiymətə (kotangent qiymət)
) intervalından (0,) bir dəqiq müəyyən edilmiş qiymətə (qövs ölçüsü) uyğun gəlir. Ümumi qəbul edilmiş qeydlərə keçərək, aşağıdakı əlaqəni əldə edirik: Abstract >> Riyaziyyat triqonometrik funksiyaları. TO tərs triqonometrik funksiyaları adətən altı adlanır funksiyaları: arcsine...

Təkmilləşdirmə kurslarında “Tərs triqonometrik funksiyaları ehtiva edən məsələlər” mövzusunda yekun iş aparılmışdır.

Qısa nəzəri material, ətraflı nümunələr və hər bir bölmə üçün müstəqil həll üçün tapşırıqlar var.

Əsər orta məktəb şagirdlərinə və müəllimlərə ünvanlanıb.

Yüklə:

Önizləmə:

MƏZUN İŞİ

MÖVZU:

“TƏRS TRIQONOMETRİK FUNKSİYALAR.

TƏRKİS TRQONOMETRİK FUNKSİYALARI OLAN MƏSƏLƏLƏR”

Tamamlandı:

riyaziyyat müəllimi

Bələdiyyə təhsil müəssisəsi 5 nömrəli tam orta məktəb, Lermontov

QORBAÇENKO V.İ.

Pyatiqorsk 2011

TERS TRIQONOMETRİK FUNKSİYALAR.

TƏRKİS TRIQONOMETRİK FUNKSİYALARI OLAN MƏSƏLƏLƏR

1. QISA NƏZƏRİ MƏLUMAT

1.1. Tərkibində tərs triqonometrik funksiyalar olan ən sadə tənliklərin həlləri:

Cədvəl 1.

1.2. Tərs triqonometrik funksiyaları əhatə edən sadə bərabərsizliklərin həlli

Cədvəl 2.

1.3. Tərs triqonometrik funksiyalar üçün bəzi eyniliklər

Tərs triqonometrik funksiyaların tərifindən eyniliklər gəlir

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Üstəlik, şəxsiyyətlər

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Tərs triqonometrik funksiyalardan fərqli olaraq əlaqəli şəxsiyyətlər

(9)

(10)

2. TƏRS TRQONOMETRİK FUNKSİYALARI OLAN TƏNLİKLƏR

2.1. Formanın tənlikləri və s.

Belə tənliklər əvəzetmə yolu ilə rasional tənliklərə endirilir.

Misal.

Həll.

Əvəzetmə ( ) tənliyi kökləri olan kvadrat tənliyə endirir.

Kök 3 şərti qane etmir.

Sonra əks əvəzetmə alırıq

Cavab ver.

Tapşırıqlar.

2.2. Formanın tənlikləri, Harada - rasional funksiya.

Bu tip tənlikləri həll etmək üçün qoymaq lazımdır, ən sadə formalı tənliyi həll edinvə əks əvəzetməni edin.

Misal.

Həll.

Qoy . Sonra

Cavab ver. .

Tapşırıqlar.

2.3. Müxtəlif qövs funksiyalarını və ya müxtəlif arqumentlərin qövs funksiyalarını ehtiva edən tənliklər.

Əgər tənlik müxtəlif qövs funksiyalarını ehtiva edən ifadələri ehtiva edirsə və ya bu qövs funksiyaları müxtəlif arqumentlərdən asılıdırsa, bu cür tənliklərin onların cəbri nəticəsinə endirilməsi adətən tənliyin hər iki tərəfində bəzi triqonometrik funksiyaların hesablanması yolu ilə həyata keçirilir. Yaranan xarici köklər yoxlama ilə ayrılır. Birbaşa funksiya kimi tangens və ya kotangens seçilərsə, bu funksiyaların təyini sahəsinə daxil olan həllər itirilə bilər. Buna görə də, tənliyin hər iki tərəfindən tangensin və ya kotangensin qiymətini hesablamazdan əvvəl əmin olmalısınız ki, bu funksiyaların təyini sahəsinə daxil olmayan nöqtələr arasında orijinal tənliyin kökləri yoxdur.

Misal.

Həll.

Gəlin vaxtını dəyişdirək sağ tərəfə keçin və tənliyin hər iki tərəfindən sinusun qiymətini hesablayın

Transformasiyalar nəticəsində əldə edirik

Bu tənliyin kökləri

yoxlayaq

Bizdə olanda

Beləliklə, tənliyin köküdür.

Əvəz edən , nəzərə alın ki, yaranan əlaqənin sol tərəfi müsbət, sağ tərəfi isə mənfidir. Beləliklə,- tənliyin kənar kökü.

Cavab verin. .

Tapşırıqlar.

2.4. Bir arqumentin tərs triqonometrik funksiyalarını ehtiva edən tənliklər.

Bu cür tənliklər (1) – (10) əsas identifikasiyalarından istifadə edərək ən sadəyə endirilə bilər.

Misal.

Həll.

Cavab verin.

Tapşırıqlar.

3. TƏRS TRQONOMETRİK FUNKSİYALARI OLAN BƏRABƏRBƏRBARƏTLƏR

3.1. Ən sadə bərabərsizliklər.

Ən sadə bərabərsizliklərin həlli Cədvəl 2-dəki düsturların tətbiqinə əsaslanır.

Misal.

Həll.

Çünki , onda bərabərsizliyin həlli intervaldır.

Cavab ver.

Tapşırıqlar.

3.2. Formanın bərabərsizlikləri, - bəzi rasional funksiya.

Formanın bərabərsizlikləri, bəzi rasional funksiyadır və- tərs triqonometrik funksiyalardan biri iki mərhələdə həll olunur - birincisi, naməlumla bağlı bərabərsizlik həll olunur., və sonra tərs triqonometrik funksiyanı ehtiva edən ən sadə bərabərsizlik.

Misal.

Həll.

Onda olsun

Bərabərsizliklərin həlli yolları

İlkin bilinməyənə qayıdaraq, ilkin bərabərsizliyi iki ən sadə bərabərsizliyə endirmək olar

Bu həlləri birləşdirərək orijinal bərabərsizliyin həlli yollarını əldə edirik

Cavab ver.

Tapşırıqlar.

3.3. Tərkibində əks qövs funksiyaları və ya müxtəlif arqumentlərin qövs funksiyaları olan bərabərsizliklər.

Bərabərsizliklərin hər iki tərəfindən bəzi triqonometrik funksiyaların qiymətlərini hesablamaqla müxtəlif tərs triqonometrik funksiyaların qiymətlərini və ya müxtəlif arqumentlərdən hesablanmış bir triqonometrik funksiyanın qiymətlərini birləşdirən bərabərsizlikləri həll etmək rahatdır. Yadda saxlamaq lazımdır ki, yaranan bərabərsizlik yalnız orijinal bərabərsizliyin sağ və sol tərəflərinin qiymətlər dəsti bu triqonometrik funksiyanın eyni monotonluq intervalına aid olduqda orijinala bərabər olacaqdır.

Misal.

Həll.

Çoxsaylı Etibarlı Dəyərlərbərabərsizliyə daxildir:. At . Buna görə də dəyərlərbərabərsizliyin həlli deyil.

At bərabərsizliyin həm sağ tərəfi, həm də sol tərəfi intervala aid dəyərlərə malikdir. Çünki arasındasinus funksiyası monoton olaraq artır, sonra nə vaxtorijinal bərabərsizlik ekvivalentdir

Son bərabərsizliyin həlli

Boşluqla keçid, həllini tapırıq

Cavab verin.

Şərh. istifadə edərək həll edilə bilər

Tapşırıqlar.

3.4. Formanın bərabərsizliyi, Harada - tərs triqonometrik funksiyalardan biri,- rasional funksiya.

Bu cür bərabərsizliklər əvəzetmədən istifadə etməklə həll edilirvə Cədvəl 2-dəki ən sadə bərabərsizliyə endirmə.

Misal.

Həll.

Onda olsun

Gəlin tərs əvəzetməni edək və sistemi əldə edək

Cavab ver.

Tapşırıqlar.

Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq

Təcrübə

Dərs 9. Tərs triqonometrik funksiyalar.

Təcrübə edin

Dərsin xülasəsi

Triqonometrik tənlikləri və bərabərsizlikləri həll edərkən bizə əsasən qövs funksiyaları ilə işləmək bacarığı lazım olacaq.

İndi nəzərdən keçirəcəyimiz vəzifələr iki növə bölünür: tərs triqonometrik funksiyaların qiymətlərinin hesablanması və əsas xüsusiyyətlərdən istifadə edərək onların çevrilməsi.

Qövs funksiyalarının qiymətlərinin hesablanması

Qövs funksiyalarının dəyərlərini hesablamağa başlayaq.

Tapşırıq №1. Hesablayın.

Gördüyümüz kimi, qövs funksiyalarının bütün arqumentləri müsbət və cədvəllidir, bu o deməkdir ki, biz triqonometrik funksiyaların qiymətləri cədvəlinin birinci hissəsindən bucaqların dəyərini bərpa edə bilərik. Bu bucaq diapazonu qövs funksiyalarının hər birinin dəyər diapazonuna daxildir, ona görə də biz sadəcə cədvəldən istifadə edirik, içindəki triqonometrik funksiyanın dəyərini tapırıq və hansı bucağa uyğun olduğunu bərpa edirik.

A)

b)

V)

G)

Cavab verin. .

Tapşırıq № 2. Hesablayın

.

Bu nümunədə biz artıq mənfi arqumentləri görürük. Bu vəziyyətdə tipik bir səhv, sadəcə olaraq funksiyanın altından minusları çıxarmaq və tapşırığı əvvəlkinə endirməkdir. Ancaq bütün hallarda bunu etmək mümkün deyil. Dərsin nəzəri hissəsində bütün qövs funksiyalarının paritetini necə müzakirə etdiyimizi xatırlayaq. Tək olanlar arksinus və arktangensdir, yəni onlardan minus çıxarılır, arkkosin və arkkotangens isə arqumentdə minusu sadələşdirmək üçün ümumi formanın funksiyalarıdır, onların xüsusi düsturları var; Hesablamadan sonra səhvlərə yol verməmək üçün nəticənin dəyərlər diapazonunda olmasını yoxlayırıq.

Funksiya arqumentləri müsbət formaya sadələşdirildikdə, cədvəldən müvafiq bucaq dəyərlərini yazırıq.

Sual yarana bilər: niyə uyğun bucağın dəyərini, məsələn, birbaşa cədvəldən yazmırsınız? Birincisi, əvvəlki cədvəli xatırlamaq əvvəlkindən daha çətindir, ikincisi, sinusun mənfi dəyərləri olmadığı üçün və tangensin mənfi dəyərləri cədvələ uyğun olaraq səhv bucaq verəcəkdir. Bir çox fərqli yanaşma ilə çaşqın olmaqdansa, həllə universal yanaşma daha yaxşıdır.

Tapşırıq №3. Hesablayın.

a) Bu vəziyyətdə tipik bir səhv mənfi çıxarmağa başlamaq və bir şeyi sadələşdirməkdir. Diqqət yetirməli olduğunuz ilk şey, arcsine arqumentinin əhatə dairəsində olmamasıdır

Buna görə də bu girişin heç bir mənası yoxdur və arksinüs hesablana bilməz.

b) Bu vəziyyətdə standart səhv, arqument və funksiyanın dəyərlərini qarışdıraraq cavab vermələridir. Bu doğru deyil! Əlbəttə ki, cədvəldə dəyərin kosinusa uyğun olduğu fikir yaranır, lakin bu vəziyyətdə çaşqın olan odur ki, qövs funksiyaları açılardan deyil, triqonometrik funksiyaların qiymətlərindən hesablanır. Yəni yox.

Bundan əlavə, qövs kosinusunun arqumentinin dəqiq nə olduğunu öyrəndiyimiz üçün onun tərif dairəsinə daxil olduğunu yoxlamaq lazımdır. Bunu etmək üçün bunu xatırlayaq , yəni arkkosinin mənası yoxdur və hesablana bilməz.

Yeri gəlmişkən, məsələn, ifadə ona görə məna kəsb edir ki, , lakin bərabər kosinusun dəyəri cədvəl şəklində olmadığı üçün cədvəldən istifadə edərək qövs kosinusunu hesablamaq mümkün deyil.

Cavab verin. İfadələrin mənası yoxdur.

Bu misalda biz arktangent və arkkotangenti nəzərə almırıq, çünki onların tərif sahəsi məhdud deyil və funksiya dəyərləri hər hansı bir arqument üçün olacaqdır.

Tapşırıq № 4. Hesablayın .

Əslində, tapşırıq birinciyə düşür, sadəcə iki funksiyanın dəyərlərini ayrıca hesablamaq və sonra onları orijinal ifadə ilə əvəz etmək lazımdır.

Arktangens arqumenti cədvəllidir və nəticə qiymətlər diapazonuna aiddir.

Arkkosinus arqumenti cədvəlli deyil, lakin bu, bizi qorxutmamalıdır, çünki arkkosin nəyə bərabər olursa olsun, onun dəyəri sıfıra vurulduqda sıfırla nəticələnəcək. Bir vacib qeyd qaldı: arkkosin arqumentinin tərif sahəsinə aid olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır, çünki belə deyilsə, onda sıfıra vurma ehtiva etməsindən asılı olmayaraq, bütün ifadə mənalı olmayacaqdır. . Ancaq buna görə də deyə bilərik ki, məntiqlidir və cavabda sıfır alırıq.

Bir qövs funksiyasının digərinin dəyərini bilməklə hesablamağı bacarmağın lazım olduğu başqa bir nümunə verək.

Problem № 5. Əgər məlumdursa hesablayın.

Görünə bilər ki, əvvəlcə göstərilən tənlikdən x dəyərini hesablamaq və sonra onu istədiyiniz ifadəyə, yəni tərs tangensə əvəz etmək lazımdır, lakin bu lazım deyil.

Bu funksiyaların bir-biri ilə əlaqəli olduğu düsturu xatırlayaq:

Və ondan bizə lazım olanı ifadə edək:

Əmin olmaq üçün nəticənin qövs kotangent diapazonunda olduğunu yoxlaya bilərsiniz.

Qövs funksiyalarının əsas xassələrindən istifadə edərək çevrilmələri

İndi əsas xüsusiyyətlərindən istifadə edərək qövs funksiyalarının çevrilməsindən istifadə etməli olacağımız bir sıra tapşırıqlara keçək.

Problem № 6. Hesablayın .

Həll etmək üçün göstərilən qövs funksiyalarının əsas xassələrindən istifadə edəcəyik, yalnız müvafiq məhdudiyyətləri yoxlamağa əmin olacağıq.

A)

b) .

Cavab verin. A) ; b) .

Problem № 7. Hesablayın.

Bu vəziyyətdə tipik bir səhv dərhal cavab olaraq 4 yazmaqdır. Əvvəlki nümunədə qeyd etdiyimiz kimi, qövs funksiyalarının əsas xüsusiyyətlərindən istifadə etmək üçün onların arqumentində müvafiq məhdudiyyətləri yoxlamaq lazımdır. Biz əmlakla məşğul oluruq:

saat

Amma . Qərarın bu mərhələsində əsas şey, göstərilən ifadənin mənasız olduğunu və hesablana bilməyəcəyini düşünməməkdir. Axı, tangensin arqumenti olan dördlüyü tangensin dövrünü çıxmaqla azalda bilərik və bu ifadənin qiymətinə təsir etməyəcək. Bu addımları yerinə yetirdikdən sonra arqumenti müəyyən edilmiş diapazona düşməsi üçün azaltmaq şansımız olacaq.

Çünki, ona görə də, , çünki .

Problem № 8. Hesablayın.

Yuxarıdakı misalda biz arksinüsünün əsas xassəsinə bənzəyən, lakin yalnız kofunksiyaları ehtiva edən ifadə ilə məşğul oluruq. Arksinusdan sinus və ya arksinindən kosinus formasına endirilməlidir. Birbaşa triqonometrik funksiyaları tərs funksiyalara çevirmək daha asan olduğundan, gəlin “triqonometrik vahid” düsturundan istifadə edərək sinusdan kosinusa keçək.

Artıq bildiyimiz kimi:

Bizim vəziyyətimizdə, rolda. Rahatlıq üçün əvvəlcə hesablayaq .

Onu formulda əvəz etməzdən əvvəl onun işarəsini, yəni ilkin sinusun işarəsini öyrənək. Arkkosin dəyərindən sinus hesablamalıyıq, bu dəyər nə olursa olsun, diapazonda olduğunu bilirik. Bu diapazon sinusun müsbət olduğu birinci və ikinci rüblərin bucaqlarına uyğundur (bunu triqonometrik dairədən istifadə edərək özünüz yoxlayın).

Bugünkü praktik dərsimizdə tərs triqonometrik funksiyaları ehtiva edən ifadələrin hesablanması və çevrilməsinə baxdıq.

Materialı məşq avadanlığı ilə gücləndirin

Təlimçi 1 Təlimçi 2 Təlimçi 3 Təlimçi 4 Təlimçi 5