Xətti homogen tənliklər sistemləri. Sistemin ümumi həllini tapın və fsr

Qauss metodunun bir sıra çatışmazlıqları var: Qauss metodunda lazım olan bütün çevrilmələr həyata keçirilməyənə qədər sistemin ardıcıl olub-olmadığını bilmək mümkün deyil; Qauss metodu hərf əmsallı sistemlər üçün uyğun deyil.

Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün başqa üsulları nəzərdən keçirək. Bu üsullar matris dərəcəsi anlayışından istifadə edir və istənilən ardıcıl sistemin həllini Kramer qaydasının tətbiq olunduğu sistemin həllinə endirir.

Misal 1. Aşağıdakı xətti tənliklər sisteminin ümumi həllini azaldılmış homojen sistemin əsas həllər sistemindən və qeyri-homogen sistemin xüsusi həllindən istifadə edərək tapın.

1. Matrisin yaradılması A və genişləndirilmiş sistem matrisi (1)

2. Sistemi araşdırın (1) birlik üçün. Bunun üçün matrislərin dərəcələrini tapırıq A və https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Əgər belə çıxırsa, o zaman sistem (1) uyğunsuz. Bunu alsaq , onda bu sistem ardıcıldır və biz onu həll edəcəyik. (Uyğunluq araşdırması Kroneker-Kapelli teoreminə əsaslanır).

a. Biz tapdıq rA.

Tapmaq rA, matrisin birinci, ikinci və s. sıralarının sıfırdan fərqli kiçiklərini ardıcıl olaraq nəzərdən keçirəcəyik. A və onları əhatə edən azyaşlılar.

M1=1≠0 (matrisanın yuxarı sol küncündən 1 alırıq A).

Biz sərhəd M1 bu matrisin ikinci sətri və ikinci sütunu. . Biz sərhədə davam edirik M1 ikinci sətir və üçüncü sütun..gif" width="37" height="20 src=">. İndi sıfırdan fərqli minoru haşiyələyirik. M2′ ikinci sifariş.

Bizdə: (ilk iki sütun eyni olduğundan)

(ikinci və üçüncü sətirlər mütənasib olduğundan).

Biz bunu görürük rA=2, a matrisin əsas minorudur A.

b. Biz tapdıq.

Kifayət qədər əsas kiçik M2′ matrislər A pulsuz şərtlər sütunu və bütün sətirlərlə haşiyələnir (bizdə yalnız sonuncu sıra var).

. Bundan belə çıxır M3′′ matrisin əsas minoru olaraq qalır https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Çünki M2′- matrisin əsas minoru A sistemləri (2) , onda bu sistem sistemə bərabərdir (3) , sistemin ilk iki tənliyindən ibarətdir (2) (üçün M2′ A) matrisinin ilk iki cərgəsindədir.

(3)

Əsas kiçik olduğundan https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Bu sistemdə iki pulsuz naməlum var ( x2 Və x4 ). Buna görə də FSR sistemləri (4) iki məhluldan ibarətdir. Onları tapmaq üçün pulsuz bilinməyənləri təyin edirik (4) ilk növbədə dəyərlər x2=1 , x4=0 , daha sonra - x2=0 , x4=1 .

At x2=1 , x4=0 alırıq:

Bu sistem artıq var yeganə şey həll (onu Kramer qaydası və ya hər hansı digər üsulla tapmaq olar). İkinci tənlikdən birincini çıxarsaq, alırıq:

Onun həlli olacaq x1= -1 , x3=0 . Dəyərləri nəzərə alaraq x2 Və x4 , əlavə etdiyimiz, sistemin ilk fundamental həllini əldə edirik (2) : .

İndi biz inanırıq (4) x2=0 , x4=1 . Biz əldə edirik:

Bu sistemi Kramer teoremindən istifadə edərək həll edirik:

Sistemin ikinci əsas həllini əldə edirik (2) : .

Həll yolları β1 , β2 və makiyaj edin FSR sistemləri (2) . Sonra onun ümumi həlli olacaq

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Budur C1 , C2 – ixtiyari sabitlər.

4. Gəlin birini tapaq özəl həll heterojen sistem(1) . Paraqrafda olduğu kimi 3 , sistemin əvəzinə (1) Ekvivalent sistemi nəzərdən keçirək (5) , sistemin ilk iki tənliyindən ibarətdir (1) .

(5)

Sərbəst bilinməyənləri sağ tərəfə keçirək x2 Və x4.

(6)

Pulsuz bilinməyənləri verək x2 Və x4 ixtiyari dəyərlər, məsələn, x2=2 , x4=1 və onları yerləşdirin (6) . Gəlin sistemi əldə edək

Bu sistemin özünəməxsus həlli var (çünki onun determinantı M2′0). Onu həll etməklə (Kramer teoremindən və ya Qauss metodundan istifadə etməklə) əldə edirik x1=3 , x3=3 . Sərbəst bilinməyənlərin dəyərlərini nəzərə alaraq x2 Və x4 , alırıq qeyri-homogen sistemin xüsusi həlli(1)α1=(3,2,3,1).

5. İndi yalnız onu yazmaq qalır qeyri-homogen sistemin ümumi həlli α(1) : cəminə bərabərdir özəl həll bu sistem və onun azaldılmış homojen sisteminin ümumi həlli (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Bu o deməkdir: (7)

6. İmtahan. Sistemi düzgün həll edib-etmədiyinizi yoxlamaq üçün (1) , bizə ümumi bir həll lazımdır (7) ilə əvəz etmək (1) . Əgər hər bir tənlik eyniliyə çevrilirsə ( C1 Və C2 məhv edilməlidir), onda həll düzgün tapılır.

Əvəz edəcəyik (7) məsələn, sistemin yalnız sonuncu tənliyi (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Alırıq: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Burada –1=–1. Şəxsiyyətimiz var. Bunu sistemin bütün digər tənlikləri ilə edirik (1) .

Şərh.Çek adətən olduqca çətin olur. Aşağıdakı “qismən yoxlama” tövsiyə oluna bilər: sistemin ümumi həllində (1) ixtiyari sabitlərə bəzi dəyərlər təyin edin və əldə edilən qismən həlli yalnız atılmış tənliklərə (yəni, həmin tənliklərə) əvəz edin. (1) , daxil olmayanlar (5) ). Əgər şəxsiyyətləriniz varsa, o zaman böyük ehtimalla, sistem həlli (1) düzgün tapıldı (lakin belə bir çek düzgünlüyünə tam zəmanət vermir!). Məsələn, əgər varsa (7) qoy C2=- 1 , C1=1, onda alırıq: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Sistemin (1) sonuncu tənliyini əvəz etsək, əldə edirik: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yəni –1=–1. Şəxsiyyətimiz var.

Misal 2. Xətti tənliklər sisteminin ümumi həllini tapın (1) , əsas bilinməyənləri sərbəst olanlar baxımından ifadə edən.

Həll. kimi misal 1, matrisləri tərtib edin A və bu matrislərdən https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. İndi biz sistemin yalnız həmin tənliklərini buraxırıq. (1) , əmsalları bu əsas minora daxil olan (yəni ilk iki tənliyimiz var) və onlardan ibarət sistemi (1) ekvivalentini nəzərdən keçirin.

Sərbəst bilinməyənləri bu tənliklərin sağ tərəflərinə köçürək.

sistemi (9) Sağ tərəfləri sərbəst şərtlər kimi nəzərə alaraq Qauss üsulu ilə həll edirik.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Seçim 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" eni="192" hündürlük="106 src=">

Seçim 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" eni="172" hündürlük="80">

Seçim 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Variant 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" eni="195" hündürlük="106">

Qoy M 0 – xətti tənliklərin homojen sisteminin (4) həllər toplusu.

Tərif 6.12. Vektorlar ilə 1 ,ilə 2 , …, ilə p, homojen xətti tənliklər sisteminin həlli adlanır əsas həllər toplusu(qısaldılmış FNR), əgər

1) vektorlar ilə 1 ,ilə 2 , …, ilə p xətti müstəqil (yəni, onların heç biri digərləri ilə ifadə edilə bilməz);

2) homojen xətti tənliklər sisteminin hər hansı digər həlli həllər baxımından ifadə edilə bilər ilə 1 ,ilə 2 , …, ilə p.

Qeyd edək ki, əgər ilə 1 ,ilə 2 , …, ilə p– hər hansı f.n.r., sonra ifadə k 1× ilə 1 + k 2× ilə 2 + … + k p× ilə p bütün dəsti təsvir edə bilərsiniz M(4) sisteminin 0 həlli, belə adlanır sistem həllinin ümumi görünüşü (4).

Teorem 6.6.İstənilən qeyri-müəyyən homojen xətti tənliklər sistemi əsas həllər toplusuna malikdir.

Əsas həllər toplusunu tapmağın yolu aşağıdakı kimidir:

Bircins xətti tənliklər sisteminin ümumi həllini tapın;

qurmaq ( n – r) bu sistemin qismən həlli, sərbəst naməlumların qiymətləri isə eynilik matrisini təşkil etməlidir;

Daxil olan həllin ümumi formasını yazın M 0 .

Misal 6.5. Aşağıdakı sistem üçün əsas həllər dəstini tapın:

Həll. Gəlin bu sistemin ümumi həllini tapaq.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Bu sistemdə beş naməlum var ( n= 5), bunlardan iki əsas naməlum var ( r= 2), üç pulsuz naməlum var ( n – r), yəni əsas həll dəsti üç həll vektorunu ehtiva edir. Gəlin onları quraq. bizdə var x 1 və x 3 - əsas bilinməyənlər, x 2 , x 4 , x 5 - pulsuz bilinməyənlər

Pulsuz bilinməyənlərin dəyərləri x 2 , x 4 , x 5 şəxsiyyət matrisini əmələ gətirir Eüçüncü sifariş. Vektorlar var ilə 1 ,ilə 2 , ilə 3 forma f.n.r. bu sistemin. Sonra bu homojen sistemin həllər toplusu olacaqdır M 0 = {k 1× ilə 1 + k 2× ilə 2 + k 3× ilə 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

İndi isə homojen xətti tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həllərinin mövcudluğu şərtlərini, başqa sözlə, əsas həllər çoxluğunun mövcudluğu şərtlərini öyrənək.

Homojen xətti tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlləri var, yəni qeyri-müəyyəndir.

1) sistemin əsas matrisinin dərəcəsi naməlumların sayından azdır;

2) homogen xətti tənliklər sistemində tənliklərin sayı naməlumların sayından azdır;

3) əgər homojen xətti tənliklər sistemində tənliklərin sayı naməlumların sayına bərabərdirsə və əsas matrisin təyinedicisi sıfıra bərabərdirsə (yəni | A| = 0).

Misal 6.6. Hansı parametr dəyərində a xətti tənliklərin homojen sistemi sıfırdan fərqli həllər varmı?

Həll. Bu sistemin əsas matrisini tərtib edək və onun təyinedicisini tapaq: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Bu matrisin təyinedicisi sıfıra bərabərdir a = –4.

Cavab verin: –4.

7. Arifmetika n-ölçülü vektor fəzası

Əsas anlayışlar

Əvvəlki bölmələrdə biz artıq müəyyən ardıcıllıqla düzülmüş həqiqi ədədlər toplusu anlayışı ilə qarşılaşmışıq. Bu, sətir matrisi (və ya sütun matrisi) və xətti tənliklər sisteminin həllidir. n naməlum. Bu məlumatları ümumiləşdirmək olar.

Tərif 7.1. n-ölçülü arifmetik vektor sifarişli dəst adlanır n real ədədlər.

deməkdir A= (a 1 , a 2 , …, a n), harada a iО R, i = 1, 2, …, n– vektorun ümumi görünüşü. Nömrə nçağırdı ölçü vektorlar və ədədlər a i onun adlanır koordinatları.

Misal üçün: A= (1, –8, 7, 4, ) – beşölçülü vektor.

Hamısı hazırdır n-ölçülü vektorlar adətən kimi işarələnir Rn.

Tərif 7.2.İki vektor A= (a 1 , a 2 , …, a n) Və b= (b 1 , b 2 , …, b n) eyni ölçüdə bərabərdir yalnız və yalnız onların müvafiq koordinatları bərabər olduqda, yəni a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Tərif 7.3.Məbləğ iki n-ölçülü vektorlar A= (a 1 , a 2 , …, a n) Və b= (b 1 , b 2 , …, b n) vektor adlanır a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Tərif 7.4. İş real rəqəm k vektor etmək A= (a 1 , a 2 , …, a n) vektor adlanır k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)

Tərif 7.5. Vektor O= (0, 0, …, 0) çağırılır sıfır(və ya null vektoru).

Vektorların əlavə edilməsi və onların həqiqi ədədə vurulması hərəkətlərinin (əməliyyatlarının) aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik olduğunu yoxlamaq asandır: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Tərif 7.6. Bir dəstə Rn vektorların toplanması və üzərində verilmiş həqiqi ədədə vurulması əməliyyatları ilə adlanır arifmetik n ölçülü vektor fəzası.

Xətti cəbr tənliklərinin (SLAEs) sistemlərinin həlli, şübhəsiz ki, xətti cəbr kursunun ən vacib mövzusudur. Riyaziyyatın bütün sahələrindən çoxlu sayda problem xətti tənliklər sistemlərinin həllinə gəlir. Bu faktorlar bu məqalənin səbəbini izah edir. Məqalənin materialı seçilmiş və strukturlaşdırılmışdır ki, onun köməyi ilə edə bilərsiniz

xətti cəbri tənliklər sisteminizi həll etmək üçün optimal üsul seçmək,
seçilmiş metodun nəzəriyyəsini öyrənmək,
tipik misal və problemlərin ətraflı həllərini nəzərdən keçirərək xətti tənliklər sisteminizi həll edin.

Məqalənin materialının qısa təsviri.

Əvvəlcə bütün lazımi tərifləri, anlayışları veririk və qeydləri təqdim edirik.

Sonra, tənliklərin sayı naməlum dəyişənlərin sayına bərabər olan və unikal həlli olan xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üsullarını nəzərdən keçirəcəyik. Birincisi, Kramer metoduna diqqət yetirəcəyik, ikincisi, belə tənliklər sistemlərinin həlli üçün matris üsulunu göstərəcəyik, üçüncüsü, Gauss metodunu (naməlum dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması üsulu) təhlil edəcəyik. Nəzəriyyəni möhkəmləndirmək üçün biz mütləq bir neçə SLAE-ni müxtəlif yollarla həll edəcəyik.

Bundan sonra, tənliklərin sayı naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşməyən və ya sistemin əsas matrisi tək olan ümumi formalı xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həllinə keçəcəyik. SLAE-lərin uyğunluğunu müəyyən etməyə imkan verən Kronecker-Capelli teoremini formalaşdıraq. Sistemlərin həllini (əgər onlar uyğundursa) matrisin əsas minoru anlayışından istifadə edərək təhlil edək. Biz həmçinin Gauss metodunu nəzərdən keçirəcəyik və misalların həlli yollarını ətraflı təsvir edəcəyik.

Biz xətti cəbri tənliklərin bircins və qeyri-homogen sistemlərinin ümumi həllinin strukturu üzərində mütləq dayanacağıq. Fundamental həllər sisteminin konsepsiyasını verək və əsas həllər sisteminin vektorlarından istifadə edərək SLAE-nin ümumi həllinin necə yazıldığını göstərək. Daha yaxşı başa düşmək üçün bir neçə misala baxaq.

Sonda, xətti olanlara endirilə bilən tənliklər sistemlərini, həmçinin həllində SLAE-lərin yarandığı müxtəlif problemləri nəzərdən keçirəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Təriflər, anlayışlar, təyinatlar.

Formanın n naməlum dəyişəni (p n-ə bərabər ola bilər) olan p xətti cəbri tənliklər sistemlərini nəzərdən keçirəcəyik.

Naməlum dəyişənlər, - əmsallar (bəzi real və ya mürəkkəb ədədlər), - sərbəst şərtlər (həmçinin həqiqi və ya kompleks ədədlər).

SLAE qeydinin bu forması deyilir əlaqələndirmək.

IN matris forması bu tənliklər sisteminin yazılması formaya malikdir,
Harada - sistemin əsas matrisi, - naməlum dəyişənlərin sütun matrisi, - sərbəst şərtlərin sütun matrisi.

Sərbəst şərtlərdən ibarət matris sütununu A matrisinə (n+1)-ci sütun kimi əlavə etsək, adlananı alarıq. uzadılmış matris xətti tənliklər sistemləri. Tipik olaraq, uzadılmış matris T hərfi ilə işarələnir və sərbəst şərtlər sütunu qalan sütunlardan şaquli bir xətt ilə ayrılır, yəni

Xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli sistemin bütün tənliklərini eyniliyə çevirən naməlum dəyişənlərin dəyərlər toplusu adlanır. Naməlum dəyişənlərin verilmiş qiymətləri üçün matris tənliyi də eyniliyə çevrilir.

Əgər tənliklər sisteminin ən azı bir həlli varsa, ona deyilir birgə.

Əgər tənliklər sisteminin həlli yoxdursa, ona deyilir birgə olmayan.

SLAE-nin unikal həlli varsa, o zaman çağırılır müəyyən; birdən çox həll yolu varsa, onda - qeyri-müəyyən.

Sistemin bütün tənliklərinin sərbəst şərtləri sıfıra bərabər olarsa , sonra sistem çağırılır homojen, əks halda - heterojen.

Xətti cəbri tənliklərin elementar sistemlərinin həlli.

Bir sistemin tənliklərinin sayı naməlum dəyişənlərin sayına bərabərdirsə və onun əsas matrisinin determinantı sıfıra bərabər deyilsə, belə SLAE-lər adlanır. ibtidai. Bu cür tənlik sistemlərinin unikal həlli var və homojen sistem vəziyyətində bütün naməlum dəyişənlər sıfıra bərabərdir.

Biz orta məktəbdə belə SLAE-ləri öyrənməyə başladıq. Onları həll edərkən bir tənlik götürdük, bir naməlum dəyişəni digərləri ilə ifadə etdik və onu qalan tənliklərdə əvəz etdik, sonra növbəti tənliyi götürdük, növbəti naməlum dəyişəni ifadə etdik və onu başqa tənliklərlə əvəz etdik və s. Yaxud əlavə metodundan istifadə edirdilər, yəni bəzi naməlum dəyişənləri aradan qaldırmaq üçün iki və ya daha çox tənlik əlavə edirdilər. Bu üsullar üzərində ətraflı dayanmayacağıq, çünki onlar mahiyyətcə Gauss metodunun modifikasiyasıdır.

Xətti tənliklərin elementar sistemlərinin həlli üçün əsas üsullar Kramer üsulu, matris üsulu və Qauss üsuludur. Gəlin onları sıralayaq.

Kramer üsulu ilə xətti tənliklər sistemlərinin həlli.

Tutaq ki, xətti cəbri tənliklər sistemini həll etməliyik

burada tənliklərin sayı naməlum dəyişənlərin sayına bərabərdir və sistemin əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqlidir, yəni .

Sistemin baş matrisinin determinantı olsun, və - əvəzetmə yolu ilə A-dan alınan matrislərin təyinediciləri 1-ci, 2-ci, …, n-ci sərbəst üzvlər sütununa müvafiq olaraq sütun:

Bu qeyd ilə naməlum dəyişənlər Cramer metodunun düsturlarından istifadə etməklə hesablanır . Cramer metodundan istifadə etməklə xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli belə tapılır.

Misal.

Kramer üsulu .

Həll.

Sistemin əsas matrisi formaya malikdir . Onun determinantını hesablayaq (lazım olduqda məqaləyə baxın):

Sistemin əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqli olduğu üçün sistemin Kramer metodu ilə tapıla bilən unikal həlli var.

Lazımi təyinediciləri tərtib edib hesablayaq (A matrisinin birinci sütununu sərbəst şərtlər sütunu ilə, determinantı ikinci sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə, A matrisinin üçüncü sütununu isə sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etməklə müəyyənedicini əldə edirik) :

Düsturlardan istifadə edərək naməlum dəyişənlərin tapılması :

Cavab:

Kramer metodunun əsas çatışmazlığı (əgər onu çatışmazlıq adlandırmaq olarsa) sistemdəki tənliklərin sayı üçdən çox olduqda determinantların hesablanmasının mürəkkəbliyidir.

Matris metodundan istifadə etməklə xətti cəbri tənliklərin sistemlərinin həlli (tərs matrisdən istifadə etməklə).

Xətti cəbri tənliklər sistemi matris şəklində verilsin, burada A matrisi n ölçüsünə malikdir və onun təyinedicisi sıfırdan fərqlidir.

Çünki A matrisi tərsdir, yəni tərs matris var. Bərabərliyin hər iki tərəfini sola vursaq, naməlum dəyişənlərdən ibarət matris-sütun tapmaq üçün düstur alırıq. Matris metodundan istifadə edərək xətti cəbri tənliklər sisteminin həllini belə əldə etdik.

Misal.

Xətti tənliklər sistemini həll edin matris üsulu.

Həll.

Tənliklər sistemini matris şəklində yenidən yazaq:

Çünki

onda SLAE matris metodundan istifadə etməklə həll edilə bilər. Tərs matrisi istifadə edərək, bu sistemin həlli kimi tapıla bilər .

A matrisinin elementlərinin cəbri əlavələrindən matrisdən istifadə edərək tərs matris quraq (lazım olduqda məqaləyə baxın):

Tərs matrisi vurmaqla naməlum dəyişənlərin matrisini hesablamaq qalır pulsuz üzvlərin matris sütununa (lazım olduqda, məqaləyə baxın):

Cavab:

və ya başqa qeyddə x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Matris metodundan istifadə edərək xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli yollarını taparkən əsas problem tərs matrisin, xüsusən üçüncüdən yuxarı düzənli kvadrat matrislərin tapılmasının mürəkkəbliyidir.

Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli.

Tutaq ki, n naməlum dəyişəni olan n xətti tənlik sisteminin həllini tapmalıyıq.
əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqlidir.

Gauss metodunun mahiyyəti naməlum dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılmasından ibarətdir: birincisi, x 1 sistemin bütün tənliklərindən ikincidən başlayaraq xaric edilir, sonra x 2 üçüncüdən başlayaraq bütün tənliklərdən xaric edilir və s., yalnız naməlum dəyişən x n qalana qədər. son tənlikdə. Naməlum dəyişənləri ardıcıl olaraq aradan qaldırmaq üçün sistem tənliklərinin çevrilməsi prosesi adlanır birbaşa Qauss üsulu. Qauss metodunun irəli vuruşunu tamamladıqdan sonra sonuncu tənlikdən x n tapılır, sondan əvvəlki tənlikdən bu qiymətdən istifadə edərək x n-1 hesablanır və s. birinci tənlikdən x 1 tapılır. Sistemin sonuncu tənliyindən birincisinə keçərkən naməlum dəyişənlərin hesablanması prosesi adlanır. Qauss metodunun tərsi.

Naməlum dəyişənlərin aradan qaldırılması alqoritmini qısaca təsvir edək.

Güman edirik ki, sistemin tənliklərini yenidən təşkil etməklə həmişə buna nail ola bilərik. İkincidən başlayaraq sistemin bütün tənliklərindən naməlum x 1 dəyişənini silək. Bunun üçün sistemin ikinci tənliyinə birincini vururuq, üçüncü tənliyə birincini vururuq və s., n-ci tənliyə birincini vururuq. Belə çevrilmələrdən sonra tənliklər sistemi formasını alacaqdır

harada və .

Sistemin birinci tənliyində x 1-i digər naməlum dəyişənlər baxımından ifadə etsəydik və yaranan ifadəni bütün digər tənliklərdə əvəz etsəydik, eyni nəticəyə çatmış olardıq. Beləliklə, x 1 dəyişəni ikincidən başlayaraq bütün tənliklərdən xaric edilir.

Sonra, oxşar şəkildə davam edirik, ancaq nəticədə göstərilən sistemin yalnız şəkildə qeyd olunan bir hissəsi ilə

Bunun üçün sistemin üçüncü tənliyinə ikincini vururuq, dördüncü tənliyə ikincini əlavə edirik, vururuq və s., n-ci tənliyə ikincini vururuq. Belə çevrilmələrdən sonra tənliklər sistemi formasını alacaqdır

harada və . Beləliklə, x 2 dəyişəni üçüncüdən başlayaraq bütün tənliklərdən xaric edilir.

Sonra, naməlum x 3-ü aradan qaldırmağa davam edirik, eyni zamanda sistemin şəkildə qeyd olunan hissəsi ilə eyni şəkildə hərəkət edirik.

Beləliklə, sistem formanı alana qədər Qauss metodunun birbaşa irəliləməsini davam etdiririk

Bu andan Qauss metodunun tərsinə başlayırıq: biz axırıncı tənlikdən x n-i belə hesablayırıq, x n-in alınan qiymətindən istifadə edərək sondan əvvəlki tənlikdən x n-1 tapırıq və s., birinci tənlikdən x 1-i tapırıq. .

Misal.

Xətti tənliklər sistemini həll edin Gauss üsulu.

Həll.

Sistemin ikinci və üçüncü tənliklərindən x 1 naməlum dəyişənini xaric edək. Bunu etmək üçün, ikinci və üçüncü tənliyin hər iki tərəfinə birinci tənliyin müvafiq hissələrini müvafiq olaraq və çarpan əlavə edirik:

İndi üçüncü tənlikdən x 2-ni onun sol və sağ tərəflərinə ikinci tənliyin sol və sağ tərəflərini əlavə edərək, vuraraq çıxarırıq:

Bu, Gauss metodunun irəli vuruşunu tamamlayır; biz tərs vuruşa başlayırıq.

Yaranan tənliklər sisteminin sonuncu tənliyindən x 3 tapırıq:

İkinci tənlikdən alırıq.

Birinci tənlikdən biz qalan naməlum dəyişəni tapırıq və bununla da Qauss metodunun əksini tamamlayırıq.

Cavab:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Ümumi formalı xətti cəbri tənliklərin sistemlərinin həlli.

Ümumiyyətlə, p sisteminin tənliklərinin sayı n naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşmür:

Belə SLAE-lərin heç bir həlli olmaya bilər, tək həll yolu ola bilər və ya sonsuz sayda həll yolu ola bilər. Bu ifadə əsas matrisi kvadrat və tək olan tənliklər sistemlərinə də aiddir.

Kroneker-Kapelli teoremi.

Xətti tənliklər sisteminin həllini tapmazdan əvvəl onun uyğunluğunu müəyyən etmək lazımdır. SLAE nə vaxt uyğundur, nə vaxt uyğunsuzdur sualının cavabı tərəfindən verilir Kroneker-Kapelli teoremi:
n naməlum (p n-ə bərabər ola bilər) olan p tənliklər sisteminin ardıcıl olması üçün sistemin əsas matrisinin rütbəsinin genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabər olması zəruri və kifayətdir, yəni. , Rank(A)=Rank(T).

Nümunə olaraq xətti tənliklər sisteminin uyğunluğunu müəyyən etmək üçün Kroneker-Kapelli teoreminin tətbiqini nəzərdən keçirək.

Misal.

Xətti tənliklər sisteminin olub olmadığını öyrənin həllər.

Həll.

. Yetkinlik yaşına çatmayanların haşiyələnməsi üsulundan istifadə edək. İkinci dərəcəli kiçik sıfırdan fərqlidir. Onunla həmsərhəd olan üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlara baxaq:

Üçüncü dərəcəli bütün sərhədyanı kiçiklər sıfıra bərabər olduğundan, əsas matrisin dərəcəsi ikiyə bərabərdir.

Öz növbəsində, genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi üçə bərabərdir, çünki kiçik üçüncü dərəcəlidir

sıfırdan fərqlidir.

Beləliklə, Rang(A), buna görə də, Kronecker-Capelli teoremindən istifadə edərək, xətti tənliklərin orijinal sisteminin uyğunsuz olduğu qənaətinə gələ bilərik.

Cavab:

Sistemin həlli yoxdur.

Beləliklə, biz Kronecker-Capelli teoremindən istifadə edərək bir sistemin uyğunsuzluğunu təyin etməyi öyrəndik.

Bəs uyğunluğu müəyyən edilərsə, SLAE-nin həllini necə tapmaq olar?

Bunun üçün bizə matrisin əsas minoru anlayışı və matrisin rütbəsi haqqında teorem lazımdır.

A matrisinin sıfırdan fərqli ən yüksək dərəcəli minoru deyilir əsas.

Minor bazisin tərifindən belə çıxır ki, onun sırası matrisin dərəcəsinə bərabərdir. Sıfır olmayan A matrisi üçün bir neçə əsas minor ola bilər; həmişə bir əsas minor var.

Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək .

Bu matrisin bütün üçüncü dərəcəli kiçikləri sıfıra bərabərdir, çünki bu matrisin üçüncü cərgəsinin elementləri birinci və ikinci sıraların müvafiq elementlərinin cəmidir.

Aşağıdakı ikinci dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlar əsasdır, çünki onlar sıfırdan fərqlidirlər

Yetkinlik yaşına çatmayanlar əsas deyil, çünki onlar sıfıra bərabərdir.

Matris dərəcə teoremi.

Əgər p ilə n sıralı matrisin dərəcəsi r-ə bərabərdirsə, o zaman matrisin seçilmiş bazis minorunu təşkil etməyən bütün sətir (və sütun) elementləri xətti şəkildə ifadə olunan müvafiq sətir (və sütun) elementləri ilə ifadə edilir. əsas kiçik.

Matris dərəcə teoremi bizə nə deyir?

Əgər Kroneker-Kapelli teoreminə görə sistemin uyğunluğunu müəyyən etmişiksə, onda sistemin əsas matrisinin hər hansı kiçik əsasını seçirik (onun sırası r-ə bərabərdir) və sistemdən bütün tənlikləri xaric edirik. seçilmiş əsası təşkil etmir. Bu şəkildə əldə edilən SLAE orijinala bərabər olacaq, çünki atılan tənliklər hələ də lazımsızdır (matris dərəcələri teoreminə görə, onlar qalan tənliklərin xətti birləşməsidir).

Nəticədə, sistemin lazımsız tənliklərini atdıqdan sonra iki hal mümkündür.

Əgər yaranan sistemdə r tənliklərinin sayı naməlum dəyişənlərin sayına bərabərdirsə, o zaman müəyyən olacaq və yeganə həllini Kramer üsulu, matris üsulu və ya Qauss metodu ilə tapmaq olar.

Misal.

Həll.

Sistemin əsas matrisinin dərəcəsi ikiyə bərabərdir, çünki kiçik ikinci dərəcəlidir sıfırdan fərqlidir. Genişləndirilmiş Matris Rank həm də ikiyə bərabərdir, çünki yeganə üçüncü dərəcəli minor sıfırdır

yuxarıda nəzərdən keçirilən ikinci dərəcəli minor isə sıfırdan fərqlidir. Kroneker-Kapelli teoreminə əsaslanaraq, Rank(A)=Rank(T)=2 olduğundan, orijinal xətti tənliklər sisteminin uyğunluğunu təsdiq edə bilərik.

Əsas olaraq minor alırıq . Birinci və ikinci tənliklərin əmsalları ilə formalaşır:

Sistemin üçüncü tənliyi bazis minorunun formalaşmasında iştirak etmir, ona görə də onu matrisin dərəcəsi üzrə teorem əsasında sistemdən çıxarırıq:

Beləliklə, xətti cəbri tənliklərin elementar sistemini əldə etdik. Kramer metodundan istifadə edərək həll edək:

Cavab:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Əgər yaranan SLAE-də r tənliklərinin sayı naməlum dəyişənlərin sayından n azdırsa, onda tənliklərin sol tərəflərində bazis təşkil edən terminləri minor qoyub, qalan şərtləri isə tənliklərin sağ tərəflərinə köçürürük. əks işarəli sistemin tənlikləri.

Tənliklərin sol tərəflərində qalan naməlum dəyişənlərə (onlardan r) deyilir əsas.

Sağ tərəflərdə olan naməlum dəyişənlər (n - r ədəd var) adlanır pulsuz.

İndi biz inanırıq ki, sərbəst naməlum dəyişənlər ixtiyari qiymətlər ala bilər, r əsas naməlum dəyişənlər isə sərbəst naməlum dəyişənlər vasitəsilə unikal şəkildə ifadə olunacaqdır. Onların ifadəsini Cramer metodundan, matris metodundan və ya Gauss metodundan istifadə etməklə əldə edilən SLAE-ni həll etməklə tapmaq olar.

Buna bir nümunə ilə baxaq.

Misal.

Xətti cəbri tənliklər sistemini həll edin .

Həll.

Sistemin baş matrisinin ranqını tapaq yetkinlik yaşına çatmayanları həmsərhədləşdirmə üsulu ilə. Gəlin 1 1 = 1-i birinci sıranın sıfırdan fərqli minoru kimi götürək. Gəlin bu minorla həmsərhəd olan ikinci dərəcəli sıfır olmayan minoru axtarmağa başlayaq:

İkinci dərəcəli sıfır olmayan minoru belə tapdıq. Gəlin üçüncü dərəcəli sıfırdan kənar sərhədi olan minoru axtarmağa başlayaq:

Beləliklə, əsas matrisin dərəcəsi üçdür. Genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi də üçə bərabərdir, yəni sistem ardıcıldır.

Üçüncü sıranın tapılmış sıfırdan fərqli minorunu əsas götürürük.

Aydınlıq üçün minorun əsasını təşkil edən elementləri göstəririk:

Kiçik əsasda iştirak edən şərtləri sistem tənliklərinin sol tərəfində buraxırıq, qalanlarını isə əks işarələrlə sağ tərəflərə köçürürük:

Sərbəst naməlum dəyişənlərə x 2 və x 5 ixtiyari qiymətlər verək, yəni qəbul edirik. , ixtiyari ədədlər haradadır. Bu halda, SLAE formasını alacaq

Yaranan elementar xətti cəbri tənliklər sistemini Kramer metodundan istifadə edərək həll edək:

Beləliklə, .

Cavabınızda sərbəst bilinməyən dəyişənləri göstərməyi unutmayın.

Cavab:

İxtiyari nömrələr haradadır.

Ümumiləşdirin.

Ümumi xətti cəbri tənliklər sistemini həll etmək üçün əvvəlcə Kroneker-Kapelli teoremindən istifadə edərək onun uyğunluğunu müəyyən edirik. Əsas matrisin dərəcəsi genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabər deyilsə, sistemin uyğunsuz olduğu qənaətinə gəlirik.

Əgər əsas matrisin rütbəsi genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabərdirsə, onda biz minor bazisini seçirik və sistemin seçilmiş bazis minorunun formalaşmasında iştirak etməyən tənliklərini ləğv edirik.

Baza minorunun sırası naməlum dəyişənlərin sayına bərabərdirsə, SLAE-nin bizə məlum olan istənilən üsulla tapıla bilən unikal həlli var.

Baza minorunun sırası naməlum dəyişənlərin sayından azdırsa, sistem tənliklərinin sol tərəfində əsas naməlum dəyişənlərlə şərtləri buraxırıq, qalan şərtləri sağ tərəflərə köçürür və ixtiyari qiymətlər veririk. pulsuz naməlum dəyişənlər. Yaranan xətti tənliklər sistemindən Kramer metodundan, matris metodundan və ya Qauss metodundan istifadə edərək əsas naməlum dəyişənləri tapırıq.

Ümumi formalı xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün Qauss üsulu.

Qauss metodundan hər hansı bir növ xətti cəbri tənliklər sistemlərinin ardıcıllığını yoxlamadan həll etmək üçün istifadə edilə bilər. Naməlum dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması prosesi SLAE-nin həm uyğunluğu, həm də uyğunsuzluğu haqqında nəticə çıxarmağa imkan verir və həll yolu varsa, onu tapmağa imkan verir.

Hesablama baxımından Qauss metoduna üstünlük verilir.

Ümumi xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün Qauss metodu məqaləsində onun ətraflı təsviri və təhlil edilmiş nümunələrinə baxın.

Fundamental həllər sisteminin vektorlarından istifadə edərək homojen və qeyri-homogen xətti cəbr sistemlərinin ümumi həllinin yazılması.

Bu bölmədə sonsuz sayda həlli olan xətti cəbri tənliklərin eyni vaxtda homojen və qeyri-homogen sistemləri haqqında danışacağıq.

Əvvəlcə homojen sistemlərlə məşğul olaq.

Əsas həllər sistemi n naməlum dəyişəni olan p xətti cəbri tənliklərin homojen sistemi bu sistemin (n – r) xətti müstəqil həllər toplusudur, burada r sistemin əsas matrisinin əsas minorunun sırasıdır.

Bircins SLAE-nin xətti müstəqil həllərini X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) kimi işarələsək, n ölçüsünün sütunlu matrisləridir. 1) ilə, onda bu bircins sistemin ümumi həlli ixtiyari sabit C 1, C 2, ..., C (n-r) əmsalları olan əsas həllər sisteminin vektorlarının xətti kombinasiyası kimi təmsil olunur, yəni.

Xətti cəbri tənliklərin homojen sisteminin ümumi həlli termini (oroslau) nə deməkdir?

Mənası sadədir: düstur orijinal SLAE-nin bütün mümkün həll yollarını müəyyən edir, başqa sözlə, ixtiyari sabitlərin C 1, C 2, ..., C (n-r) dəyərlərinin istənilən dəstini götürərək, düsturdan istifadə edərək orijinal homojen SLAE-nin məhlullarından birini əldə edin.

Beləliklə, əsas həllər sistemi tapsaq, bu homojen SLAE-nin bütün həllərini kimi təyin edə bilərik.

Homojen SLAE üçün əsas həllər sisteminin qurulması prosesini göstərək.

Orijinal xətti tənliklər sisteminin əsas minorunu seçirik, bütün digər tənlikləri sistemdən çıxarırıq və sərbəst naməlum dəyişənləri ehtiva edən bütün şərtləri əks işarəli sistem tənliklərinin sağ tərəflərinə köçürürük. Sərbəst naməlum dəyişənlərə 1,0,0,...,0 qiymətlərini verək və nəticədə yaranan elementar xətti tənliklər sistemini istənilən üsulla, məsələn, Kramer metodundan istifadə etməklə həll etməklə əsas naməlumları hesablayaq. Bu, X (1) ilə nəticələnəcək - fundamental sistemin ilk həlli. Sərbəst naməlumlara 0,1,0,0,…,0 qiymətlərini verib əsas naməlumları hesablasaq, X (2) alırıq. Və s. Sərbəst naməlum dəyişənlərə 0.0,…,0.1 qiymətlərini təyin etsək və əsas naməlumları hesablasaq, X (n-r) alırıq. Bu şəkildə, homojen bir SLAE üçün əsas həllər sistemi qurulacaq və onun ümumi həlli formada yazıla bilər.

Xətti cəbri tənliklərin qeyri-homogen sistemləri üçün ümumi həll formada təmsil olunur, burada müvafiq homojen sistemin ümumi həlli və sərbəst naməlumlara qiymətlər verməklə əldə etdiyimiz orijinal qeyri-homogen SLAE-nin xüsusi həllidir. 0,0,...,0 və əsas bilinməyənlərin qiymətlərinin hesablanması.

Nümunələrə baxaq.

Misal.

Xətti cəbri tənliklərin homojen sisteminin əsas həllər sistemini və ümumi həllini tapın. .

Həll.

Xətti tənliklərin homojen sistemlərinin əsas matrisinin dərəcəsi həmişə uzadılmış matrisin dərəcəsinə bərabərdir. Yetkinlik yaşına çatmayanların haşiyələnməsi metodundan istifadə edərək əsas matrisin rütbəsini tapaq. Birinci dərəcəli sıfır olmayan minor kimi sistemin əsas matrisinin a 1 1 = 9 elementini götürürük. İkinci sıranın sərhədyanı sıfırdan fərqli minorunu tapaq:

Sıfırdan fərqli ikinci dərəcəli minor tapıldı. Sıfır olmayan birini axtarmaq üçün onunla həmsərhəd olan üçüncü dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanları nəzərdən keçirək:

Bütün üçüncü dərəcəli həmsərhəd olan yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdir, buna görə də əsas və genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi ikiyə bərabərdir. götürək. Aydınlıq üçün onu təşkil edən sistemin elementlərini qeyd edək:

Orijinal SLAE-nin üçüncü tənliyi əsas minorun formalaşmasında iştirak etmir, buna görə də onu istisna etmək olar:

Tənliklərin sağ tərəflərində əsas bilinməyənləri ehtiva edən şərtləri buraxırıq və sərbəst naməlum olan şərtləri sağ tərəflərə köçürürük:

Orijinal homojen xətti tənliklər sisteminin əsas həllər sistemini quraq. Bu SLAE-nin əsas həllər sistemi iki həlldən ibarətdir, çünki orijinal SLAE dörd naməlum dəyişəni ehtiva edir və onun əsas minorunun sırası ikiyə bərabərdir. X (1) tapmaq üçün sərbəst naməlum dəyişənlərə x 2 = 1, x 4 = 0 dəyərlərini veririk, sonra tənliklər sistemindən əsas naməlumları tapırıq.
.

Xətti homogen tənliklər sistemləri- ∑a k i x i = 0 formasına malikdir. burada m > n və ya m Xətti tənliklərin homojen sistemi həmişə ardıcıldır, çünki rangA = rangB. Aydındır ki, sıfırlardan ibarət bir həll var, buna deyilir əhəmiyyətsiz.

Xidmətin məqsədi. Onlayn kalkulyator SLAE üçün qeyri-trivial və fundamental həll tapmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur. Nəticə həlli Word faylında saxlanılır (məsələn, həllə baxın).

Təlimatlar. Matris ölçüsünü seçin:

Xətti bircins tənliklər sistemlərinin xassələri

Sistemin olması üçün qeyri-trivial həllər, onun matrisinin dərəcəsinin naməlumların sayından az olması zəruri və kifayətdir.

Teorem. m=n vəziyyətində olan sistemin qeyri-trivial həlli o halda olur ki, bu sistemin determinantı sıfıra bərabər olsun.

Teorem. Sistem üçün həllərin istənilən xətti kombinasiyası da həmin sistemin həllidir.
Tərif. Xətti homojen tənliklər sisteminin həllər toplusu adlanır əsas həllər sistemi, əgər bu çoxluq xətti müstəqil həllərdən ibarətdirsə və sistemin istənilən həlli bu həllərin xətti kombinasiyasıdırsa.

Teorem. Əgər sistem matrisinin r dərəcəsi n naməlumların sayından azdırsa, (n-r) həllərdən ibarət fundamental həllər sistemi mövcuddur.

Xətti bircins tənliklər sistemlərinin həlli alqoritmi

Matrisin dərəcəsinin tapılması.
Əsas minoru seçirik. Biz asılı (əsas) və sərbəst naməlumları ayırırıq.
Sistemin əmsalları bazis minora daxil olmayan tənliklərini kəsirik, çünki onlar digərlərinin nəticələridir (minor əsası üzrə teoremə görə).
Sərbəst naməlumları ehtiva edən tənliklərin şərtlərini sağ tərəfə keçiririk. Nəticə olaraq, determinantı sıfırdan fərqli, verilənə ekvivalent r naməlum olan r tənliklər sistemini alırıq.
Yaranan sistemi naməlumları aradan qaldıraraq həll edirik. Sərbəst dəyişənlər vasitəsilə asılı dəyişənləri ifadə edən əlaqələri tapırıq.
Əgər matrisin dərəcəsi dəyişənlərin sayına bərabər deyilsə, sistemin əsas həllini tapırıq.
Rəng = n vəziyyətində bizim əhəmiyyətsiz bir həllimiz var.

Misal. Vektorlar sisteminin (a 1, a 2,...,a m) əsasını tapın, baza əsasında vektorları sıralayın və ifadə edin. Əgər a 1 =(0,0,1,-1) və 2 =(1,1,2,0) və 3 =(1,1,1,1) və 4 =(3,2,1) olarsa ,4) və 5 =(2,1,0,3).
Sistemin əsas matrisini yazaq:

3-cü sətri (-3) ilə vurun. 3-cü sətirə 4-cü sətri əlavə edək:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

4-cü sətri (-2) ilə vurun. 5-ci sətri (3) ilə vuraq. 4-cü sətirə 5-ci sətri əlavə edək:
1-ci sətirə 2-ci sətri əlavə edək:
Matrisin dərəcəsini tapaq.
Bu matrisin əmsalları olan sistem orijinal sistemə bərabərdir və formaya malikdir:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Naməlumların aradan qaldırılması metodundan istifadə edərək qeyri-trivial bir həll tapırıq:
Sərbəst x 4 vasitəsilə x 1 , x 2 , x 3 asılı dəyişənləri ifadə edən əlaqələri əldə etdik, yəni ümumi həll yolu tapdıq:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Homojen bir sistem həmişə ardıcıldır və əhəmiyyətsiz bir həllə malikdir
. Qeyri-trivial həllin mövcud olması üçün matrisin dərəcəsinin olması lazımdır naməlumların sayından az idi:

Əsas həllər sistemi homojen sistem
sütun vektorları şəklində həllər sistemi çağırın
, kanonik əsasa uyğun gələn, yəni. ixtiyari sabitlərin olduğu əsas
növbə ilə birinə bərabər, qalanları isə sıfıra təyin edilir.

Sonra homojen sistemin ümumi həlli formaya malikdir:

Harada
- ixtiyari sabitlər. Başqa sözlə, ümumi həll əsas həllər sisteminin xətti birləşməsidir.

Beləliklə, sərbəst naməlumlara növbə ilə birinin qiyməti verilsə, bütün digərləri sıfıra bərabər tutulsa, ümumi həlldən əsas həllər əldə edilə bilər.

Misal. Gəlin sistemin həllini tapaq

Qəbul edək, sonra formada bir həll alırıq:

İndi əsas həllər sistemini quraq:

Ümumi həll aşağıdakı kimi yazılacaq:

Homojen xətti tənliklər sisteminin həlləri aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

Başqa sözlə, homojen bir sistem üçün həllərin istənilən xətti birləşməsi yenə bir həlldir.

Qauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli

Xətti tənliklər sistemlərinin həlli bir neçə əsrdir ki, riyaziyyatçıları maraqlandırır. İlk nəticələr 18-ci əsrdə əldə edilmişdir. 1750-ci ildə Q.Kramer (1704–1752) kvadrat matrislərin təyinedicilərinə dair əsərlərini nəşr etdi və tərs matrisin tapılması alqoritmini təklif etdi. 1809-cu ildə Gauss aradan qaldırma üsulu kimi tanınan yeni bir həll metodunu təsvir etdi.

Gauss metodu və ya naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsulu, elementar çevrilmələrdən istifadə edərək tənliklər sisteminin pilləli (və ya üçbucaqlı) formanın ekvivalent sisteminə endirilməsindən ibarətdir. Belə sistemlər bütün naməlumları müəyyən ardıcıllıqla ardıcıl olaraq tapmağa imkan verir.

Fərz edək ki, sistemdə (1)
(bu həmişə mümkündür).

(1)

Birinci tənliyi sözdə bir-bir vurmaq uyğun nömrələr

və sistemin müvafiq tənlikləri ilə vurma nəticəsini əlavə edərək, birincidən başqa bütün tənliklərdə naməlum olmayacaq ekvivalent bir sistem əldə edirik. X 1

(2)

İndi (2) sisteminin ikinci tənliyini uyğun ədədlərə vuraq, belə fərz edək

və aşağı olanlarla əlavə edərək, dəyişəni aradan qaldırırıq üçüncüdən başlayaraq bütün tənliklərdən.

Bu prosesi davam etdirdikdən sonra
əldə etdiyimiz addım:

(3)

Əgər nömrələrdən ən azı biri
sıfıra bərabər deyil, onda müvafiq bərabərlik ziddiyyətli və (1) sistemi uyğunsuzdur. Əksinə, hər hansı birgə say sistemi üçün
sıfıra bərabərdir. Nömrə sistemin (1) matrisinin dərəcəsindən başqa bir şey deyil.