Tangens tənliyi formaya malikdir. Bir nöqtədə funksiyanın qrafikinə tangens
Tangens düz xəttdir , funksiyanın qrafikinə bir nöqtədə toxunan və bütün nöqtələri funksiyanın qrafikindən ən kiçik məsafədə olan. Buna görə də, tangens müəyyən bucaq altında funksiya qrafikinə tangens keçir və bir neçə tangens müxtəlif bucaqlarda toxunan nöqtədən keçə bilməz. Törəmədən istifadə etməklə funksiyanın qrafikinə normalın toxunan tənlikləri və tənlikləri tərtib edilir.
Tangens tənliyi düz xətt tənliyindən alınır .
Tangensin tənliyini, sonra isə funksiyanın qrafikinə normalın tənliyini alırıq.
y = kx + b .
Onda k- bucaq əmsalı.
Buradan aşağıdakı girişi alırıq:
y - y 0 = k(x - x 0 ) .
Törəmə dəyər f "(x 0 ) funksiyaları y = f(x) nöqtədə x0 yamaca bərabərdir k=tg φ nöqtədən keçən funksiyanın qrafikinə toxunan M0 (x 0 , y 0 ) , harada y0 = f(x 0 ) . Bu nədir törəmənin həndəsi mənası .
Beləliklə, biz əvəz edə bilərik küstündə f "(x 0 ) və aşağıdakıları əldə edin funksiyanın qrafikinə toxunan tənliyi :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
Bir funksiyanın qrafikinə bir tangens tənliyini tərtib etmək üçün tapşırıqlarda (və biz tezliklə onlara keçəcəyik) yuxarıdakı düsturdan alınan tənliyi aşağıdakılara gətirmək tələb olunur. düz xəttin ümumi tənliyi. Bunu etmək üçün bütün hərfləri və rəqəmləri tənliyin sol tərəfinə köçürməlisiniz və sağ tərəfdə sıfırı tərk etməlisiniz.
İndi normal tənlik haqqında. Normal tangensə perpendikulyar funksiyanın qrafikinə toxunan nöqtədən keçən düz xəttdir. Normal tənlik :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Birinci nümunəni qızdırmaq üçün sizdən onu özünüz həll etməyiniz xahiş olunur, sonra isə həllinə baxın. Bu tapşırığın oxucularımız üçün “soyuq duş” olmayacağına ümid etməyə bütün əsaslar var.
Misal 0. Bir nöqtədə funksiyanın qrafikinə tangensin tənliyini və normalın tənliyini qurun M (1, 1) .
Misal 1 Funksiyanın qrafikinə tangensin tənliyini və normalın tənliyini qurun 
toxunma nöqtəsinin absisi olarsa.
Funksiyanın törəməsini tapaq:
İndi biz teğet tənliyini əldə etmək üçün nəzəri istinadda verilmiş girişdə əvəz edilməli olan hər şeyə sahibik. alırıq
Bu nümunədə şanslı idik: yamac sıfıra bərabər oldu, buna görə tənliyi ayrıca ümumi formaya gətirməyə ehtiyac yox idi. İndi normal tənliyi yaza bilərik:
Aşağıdakı şəkildə: tünd qırmızıda funksiyanın qrafiki, yaşıl rəngdə bir tangens, narıncıda normal.
Növbəti nümunə də mürəkkəb deyil: funksiya, əvvəlki kimi, eyni zamanda çoxhədlidir, lakin yamac əmsalı sıfıra bərabər olmayacaq, buna görə də daha bir addım əlavə olunacaq - tənliyi ümumi formaya gətirmək.
Misal 2
Həll. Toxunma nöqtəsinin ordinatını tapaq:
Funksiyanın törəməsini tapaq:
.
Törəmənin təmas nöqtəsindəki qiymətini, yəni tangensin yamacını tapaq:
Alınan bütün məlumatları "boş formula" ilə əvəz edirik və tangens tənliyini alırıq:
Tənliyi ümumi formaya gətiririk (sol tərəfdə sıfırdan başqa bütün hərfləri və rəqəmləri toplayırıq, sağ tərəfdə isə sıfırı qoyuruq):
Normalın tənliyini tərtib edirik:
Misal 3 Təmas nöqtəsinin absisi olarsa, funksiyanın qrafikinə tangensin tənliyini və normalın tənliyini qurun.
Həll. Toxunma nöqtəsinin ordinatını tapaq:
Funksiyanın törəməsini tapaq:
.
Törəmənin təmas nöqtəsindəki qiymətini, yəni tangensin yamacını tapaq:
.
Tangensin tənliyini tapırıq:
Tənliyi ümumi formaya gətirməzdən əvvəl onu bir az “birləşdirmək” lazımdır: termini 4-ə vurun. Biz bunu edirik və tənliyi ümumi formaya gətiririk:
Normalın tənliyini tərtib edirik:
Misal 4 Təmas nöqtəsinin absisi olarsa, funksiyanın qrafikinə tangensin tənliyini və normalın tənliyini qurun.
Həll. Toxunma nöqtəsinin ordinatını tapaq:
.
Funksiyanın törəməsini tapaq:
Törəmənin təmas nöqtəsindəki qiymətini, yəni tangensin yamacını tapaq:
.
Tangens tənliyini alırıq:
Tənliyi ümumi formaya gətiririk:
Normalın tənliyini tərtib edirik:
Tangens və normal tənliklər yazarkən ümumi səhv nümunədə verilmiş funksiyanın mürəkkəb olduğunu görməmək və onun törəməsini sadə funksiyanın törəməsi kimi hesablamaqdır. Aşağıdakı nümunələr artıq var mürəkkəb funksiyalar(müvafiq dərs yeni pəncərədə açılacaq).
Misal 5 Təmas nöqtəsinin absisi olarsa, funksiyanın qrafikinə tangensin tənliyini və normalın tənliyini qurun.
Həll. Toxunma nöqtəsinin ordinatını tapaq:
Diqqət! Bu funksiya mürəkkəbdir, çünki tangensin arqumenti (2 x) özü funksiyadır. Buna görə də, mürəkkəb funksiyanın törəməsi kimi funksiyanın törəməsini tapırıq.
“Funksiya qrafikinə tangensin tənliyi” video dərsliyi mövzunun mənimsənilməsi üçün tədris materialını nümayiş etdirir. Videodərsdə verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan tənlik anlayışının formalaşması üçün zəruri olan nəzəri material təqdim olunur, belə bir tangensin tapılması alqoritmi təqdim olunur, problemlərin həlli metodundan istifadə etməklə nümunələr verilir. öyrənilmiş nəzəri material təsvir edilmişdir.
Video dərslik materialın görmə qabiliyyətini yaxşılaşdıran üsullardan istifadə edir. Görünüşə çertyojlar, diaqramlar daxil edilir, mühüm səs şərhləri verilir, animasiya, rəngin vurğulanması və digər alətlər tətbiq edilir.
Video dərs dərsin mövzusunun təqdimatı və M(a;f(a) nöqtəsində hansısa y=f(x) funksiyasının qrafikinə toxunan təsvirin təqdim edilməsi ilə başlanır. Məlumdur ki, qrafikə verilmiş nöqtədə çəkilmiş tangensin mailliyi f΄(a) funksiyasının verilmiş nöqtədəki törəməsinə bərabərdir. Həmçinin cəbrin kursundan y=kx+m düz xəttinin tənliyi məlumdur. Nöqtədə tangens tənliyinin tapılması məsələsinin həlli sxematik şəkildə təqdim olunur ki, bu da k, m əmsallarının tapılmasına qədər azalır. Funksiya qrafikinə aid olan nöqtənin koordinatlarını bilməklə, koordinatların qiymətini f(a)=ka+m tangensi tənliyinə əvəz etməklə m-i tapa bilərik. Ondan m=f(a)-ka tapırıq. Beləliklə, verilmiş nöqtədə törəmənin qiymətini və nöqtənin koordinatlarını bilməklə, tangens tənliyini bu şəkildə y=f(a)+f΄(a)(x-a) ifadə edə bilərik.
Aşağıda sxemə uyğun olaraq tangens tənliyini tərtib etmək nümunəsidir. y=x 2, x=-2 funksiyası verilmişdir. a=-2 qəbul edərək, bu nöqtədə funksiyanın qiymətini tapırıq f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. f΄(х)=2х funksiyasının törəməsini təyin edirik. Bu nöqtədə törəmə f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4-ə bərabərdir. Tənliyi tərtib etmək üçün bütün a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 əmsalları tapılır, ona görə də y=4+(-4)(x+2) tangens tənliyi. Tənliyi sadələşdirərək y \u003d -4-4x alırıq.
Aşağıdakı misalda y=tgx funksiyasının qrafikinin başlanğıcındakı tangensin tənliyini tərtib etmək təklif olunur. Bu nöqtədə a=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Beləliklə, tangens tənliyi y=x kimi görünür.
Ümumiləşdirmə olaraq, hansısa nöqtədə funksiya qrafikinə toxunan tənlik tənliyinin tərtibi prosesi 4 addımdan ibarət alqoritm kimi rəsmiləşdirilir:
- Təmas nöqtəsinin absisi üçün təyinat verilir;
- f(a) hesablanır;
- F΄(х) təyin edilir və f΄(a) hesablanır. Tapılmış a, f(a), f΄(a) qiymətləri y=f(a)+f΄(a)(x-a) tangens tənliyinin düsturunda əvəz olunur.
Nümunə 1 x \u003d 1 nöqtəsində y \u003d 1 / x funksiyasının qrafikinə toxunan tənlik tənliyinin tərtibini nəzərdən keçirir. Problemi həll etmək üçün bir alqoritmdən istifadə edirik. Bu funksiya üçün a=1 nöqtəsində f(a)=-1 funksiyasının qiyməti. f΄(х)=1/х 2 funksiyasının törəməsi. a=1 nöqtəsində törəmə f΄(a)= f΄(1)=1. Alınan məlumatlardan istifadə edərək, y \u003d -1 + (x-1) və ya y \u003d x-2 tangens tənliyi tərtib edilir.
2-ci misalda y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2 funksiyasının qrafikinə toxunan tənlik tapmaq lazımdır. Əsas şərt tangens və düz xəttin paralelliyidir y \u003d -2x + 1. Əvvəlcə y \u003d -2x + 1 düz xəttinin yamacına bərabər olan tangensin yamacını tapırıq. Bu düz xətt üçün f΄(a)=-2 olduğundan, istədiyiniz tangens üçün k=-2. (x 3 + 3x 2 -2x-2) ΄ \u003d 3x 2 + 6x-2 funksiyasının törəməsini tapırıq. f΄(a)=-2 olduğunu bilərək, 3а 2 +6а-2=-2 nöqtəsinin koordinatlarını tapırıq. Tənliyi həll edərək, 1 \u003d 0 və 2 \u003d -2 alırıq. Tapılmış koordinatlardan istifadə edərək, tanınmış alqoritmdən istifadə edərək tangens tənliyini tapa bilərsiniz. f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 nöqtələrində funksiyanın qiymətini tapırıq. f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 nöqtəsində törəmənin qiyməti. Tapılan dəyərləri tangens tənliyinə əvəz edərək, birinci nöqtə üçün 1 \u003d 0 y \u003d -2x-2, ikinci nöqtə üçün isə a 2 \u003d -2 y \u003d -2x- tangens tənliyini alırıq. 22.
3-cü misalda y=√x funksiyasının qrafikinin (0;3) nöqtəsində çəkilməsi üçün tangens tənliyinin tərtibi təsvir edilmişdir. Qərar məlum alqoritmə uyğun olaraq qəbul edilir. Toxunma nöqtəsi x=a koordinatlarına malikdir, burada a>0. f(a)=√x nöqtəsində funksiyanın qiyməti. f΄(х)=1/2√х funksiyasının törəməsi, deməli, verilmiş f΄(а)=1/2√а nöqtəsində. Alınan bütün dəyərləri tangens tənliyinə əvəz edərək, y \u003d √a + (x-a) / 2√a alırıq. Tənliyi çevirərək y=x/2√a+√a/2 alırıq. Tangensin (0; 3) nöqtəsindən keçdiyini bilərək, a-nın qiymətini tapırıq. 3=√a/2-dən a tapın. Deməli, √a=6, a=36. y \u003d x / 12 + 3 tangens tənliyini tapırıq. Şəkildə baxılan funksiyanın qrafiki və qurulmuş arzu olunan tangens göstərilir.
Şagirdlərə Δy=≈f΄(x)Δxand və f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx təxmini bərabərlikləri xatırladılır. x=a, x+Δx=x, Δx=x-a alsaq, f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a) alırıq, deməli f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).
4-cü misalda 2.003 6 ifadəsinin təxmini qiymətini tapmaq lazımdır. x \u003d 2.003 nöqtəsində f (x) \u003d x 6 funksiyasının dəyərini tapmaq lazım olduğundan, f (x) \u003d x 6, a \u003d 2 götürərək məşhur düsturdan istifadə edə bilərik. , f (a) \u003d f (2) \u003d 64, f ΄(x)=6х 5 . f΄(2)=192 nöqtəsində törəmə. Buna görə də 2,003 6 ≈65-192 0,003. İfadəni hesabladıqdan sonra 2.003 6 ≈64.576 alırıq.
Məktəbdə ənənəvi riyaziyyat dərsində istifadə etmək üçün “Funksiya qrafikinə toxunan tənliyi” video dərsi tövsiyə olunur. Distant təhsil müəllimi üçün videomaterial mövzunu daha aydın izah etməyə kömək edəcək. Mövzunu daha dərindən qavramaq üçün lazım gələrsə, videoçarx tələbələrin özlərinə baxması üçün tövsiyə oluna bilər.
MƏTNİN ŞƏRHİ:
Bilirik ki, M (a; f (a)) nöqtəsi (a və a-dan eff koordinatları olan em) y \u003d f (x) funksiyasının qrafikinə aiddirsə və bu nöqtədə bir tangens çəkilə bilərsə absis oxuna perpendikulyar olmayan funksiyanın qrafiki, onda tangensin mailliyi f "(a) (a-dan ef vuruşu).
y = f(x) funksiyası və M (a; f(a)) nöqtəsi verilsin və f´(a)-nın mövcud olduğu da məlumdur. Verilmiş nöqtədə verilmiş funksiyanın qrafikinə toxunan tənliyin tənliyini tərtib edək. Bu tənlik, y oxuna paralel olmayan hər hansı bir düz xəttin tənliyi kimi, y = kx + m formasına malikdir (y ka x plus em-ə bərabərdir), buna görə də vəzifə əmsalların qiymətlərini tapmaqdır. k və m (ka və em)
Yamac k \u003d f "(a). m-nin dəyərini hesablamaq üçün, istədiyiniz düz xəttin M (a; f (a)) nöqtəsindən keçməsindən istifadə edirik. Bu o deməkdir ki, koordinatları əvəz etsək. düz xəttin tənliyindəki M nöqtəsində düzgün bərabərliyi alarıq : f(a) = ka+m, buradan tapırıq ki, m = f(a) - ka.
Ki və m əmsallarının tapılmış dəyərlərini düz xəttin tənliyinə əvəz etmək qalır:
y = kx+(f(a)-ka);
y = f(a)+k(x-a);
y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( Y x minus a) ilə vurulan artı ef vuruşundan eff-ə bərabərdir.
x=a nöqtəsində y = f(x) funksiyasının qrafikinə toxunan tənliyini əldə etdik.
Tutaq ki, y \u003d x 2 və x \u003d -2 (yəni a \u003d -2), onda f (a) \u003d f (-2) \u003d (-2) 2 \u003d 4; f´(x) \u003d 2x, belə ki, f "(a) \u003d f´(-2) \u003d 2 (-2) \u003d -4. (sonra a-dan eff dördə bərabərdir, x-dən eff əsasdır. iki x-ə bərabərdir, yəni a bərabərdən mənfi dörddən ef vuruşu deməkdir)
Tənlikdə tapılan dəyərləri a \u003d -2, f (a) \u003d 4, f "(a) \u003d -4 ilə əvəz edərək, alırıq: y \u003d 4 + (-4) (x + 2) , yəni y \u003d -4x -dörd.
(y mənfi dörd x mənfi dördə bərabərdir)
Başlanğıcda y \u003d tgx (y tangens x-ə bərabərdir) funksiyasının qrafikinə tangensin tənliyini tərtib edək. Bizdə: a = 0, f(0) = tg0=0;
f"(x)= , belə ki, f"(0) = l. Tapılmış a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 dəyərlərini tənlikdə əvəz edərək alırıq: y=x.
Alqoritmdən istifadə edərək x nöqtəsində funksiyanın qrafikinə toxunan tənlik tənliyini tapmaq üçün addımlarımızı ümumiləşdiririk.
y \u003d f (x) QRAFİNƏ tangens olan FUNKSİYA TƏNLƏRİNİN TƏRKİB ALQORİTMİ:
1) A hərfi ilə təmas nöqtəsinin absisini təyin edin.
2) f(a) hesablayın.
3) f´(x)-i tapın və f´(a) hesablayın.
4) Tapılan a, f(a), f´(a) ədədlərini düsturda əvəz edin y= f(a)+ f"(a) (x- a).
Misal 1. y \u003d - funksiyasının qrafikinə toxunan tənliyi yazın.
nöqtəsi x = 1.
Həll. Bu nümunədə bunu nəzərə alaraq alqoritmdən istifadə edək
2) f(a)=f(1)=-=-1
3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.
4) Tapılan üç rəqəmi düsturda əvəz edin: a \u003d 1, f (a) \u003d -1, f "(a) \u003d 1. Alırıq: y \u003d -1 + (x-1), y \u003d x-2.
Cavab: y = x-2.
Nümunə 2. y = funksiyası verilmişdir x 3 +3x 2 -2x-2. y \u003d -2x +1 düz xəttinə paralel y \u003d f (x) funksiyasının qrafikinə tangensin tənliyini yazın.
Tangens tənliyini tərtib etmək üçün alqoritmdən istifadə edərək nəzərə alırıq ki, bu misalda f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, lakin toxunma nöqtəsinin absisi burada göstərilmir.
Gəlin belə danışmağa başlayaq. İstədiyiniz tangens y \u003d -2x + 1 düz xəttinə paralel olmalıdır. Paralel xətlər isə bərabər yamaclara malikdir. Deməli, tangensin mailliyi verilmiş düz xəttin yamacına bərabərdir: k cas. = -2. Hok cas. = f "(a). Beləliklə, f ´ (a) \u003d -2 tənliyindən a dəyərini tapa bilərik.
funksiyasının törəməsini tapaq y=f(x):
f"(x) \u003d (x 3 + 3x 2 -2x-2)´ \u003d 3x 2 + 6x-2;f"(a) \u003d 3a 2 + 6a-2.
f "(a) \u003d -2 tənliyindən, yəni. 3а 2 +6а-2\u003d -2 biz 1 \u003d 0, 2 \u003d -2 tapırıq. Bu o deməkdir ki, məsələnin şərtlərini ödəyən iki tangens var: biri absis 0 olan nöqtədə, digəri absis -2 olan nöqtədə.
İndi alqoritmə uyğun hərəkət edə bilərsiniz.
1) 1 \u003d 0 və 2 \u003d -2.
2) f(a 1) = 0 3 +3 0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3 (-2) 2 -2 (-2)-2=6;
3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.
4) Düsturda a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2 dəyərlərini əvəz edərək, əldə edirik:
y=-2-2(x-0), y=-2x-2.
Düsturda a 2 \u003d -2, f (a 2) \u003d 6, f "(a 2) \u003d -2 dəyərlərini əvəz edərək əldə edirik:
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Cavab: y=-2x-2, y=-2x+2.
Misal 3. (0; 3) nöqtəsindən y \u003d funksiyasının qrafikinə bir tangens çəkin. Həll. Bu misalda f(x) = olduğunu nəzərə alaraq, tangens tənliyini tərtib etmək üçün alqoritmdən istifadə edək. Qeyd edək ki, burada, 2-ci nümunədə olduğu kimi, toxunma nöqtəsinin absisi açıq şəkildə göstərilmir. Buna baxmayaraq, biz alqoritmə uyğun hərəkət edirik.
1) x = a təmas nöqtəsinin absisi olsun; a > 0 olduğu aydındır.
3) f´(x)=()´=; f´(a) =.
4) a, f(a) = , f "(a) = qiymətlərinin düsturda əvəz edilməsi
y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), alırıq:
Şərtə görə, tangens (0; 3) nöqtəsindən keçir. Tənlikdə x = 0, y = 3 qiymətlərini əvəz edərək, alırıq: 3 = , sonra =6, a =36.
Gördüyünüz kimi, bu nümunədə yalnız alqoritmin dördüncü pilləsində toxunma nöqtəsinin absissini tapa bildik. Tənlikdə a =36 qiymətini əvəz etdikdə alarıq: y=+3
Əncirdə. Şəkil 1 nəzərdən keçirilən nümunənin həndəsi təsvirini təqdim edir: y \u003d funksiyasının qrafiki çəkilir, y \u003d +3 düz xətt çəkilir.
Cavab: y = +3.
Biz bilirik ki, x nöqtəsində törəməsi olan y = f(x) funksiyası üçün təxmini bərabərlik etibarlıdır: Δyf´(x)Δx
və ya daha ətraflı desək, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (x-dən ef plus delta x minus ef-dən x-dən ef prime təxminən bərabərdir x-dən delta x).
Əlavə əsaslandırmanın rahatlığı üçün qeydi dəyişdiririk:
x yerinə yazacağıq a,
x + Δx yerinə x yazacağıq
Δx əvəzinə x-a yazacağıq.
Onda yuxarıda yazılmış təxmini bərabərlik formasını alacaq:
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (x-dən ef təxminən a-dan üstəgəl ef vuruşundan eff-ə bərabərdir, x və a arasındakı fərqə vurulur).
Misal 4. 2.003 6 ədədi ifadəsinin təxmini qiymətini tapın.
Həll. Söhbət x \u003d 2.003 nöqtəsində y \u003d x 6 funksiyasının dəyərini tapmaqdan gedir. Bu misalda f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 olduğunu nəzərə alaraq f(x)f(a)+f´(a)(x-a) düsturundan istifadə edək. 6 =64; x \u003d 2.003, f "(x) \u003d 6x 5 və buna görə də f" (a) \u003d f "(2) \u003d 6 2 5 \u003d 192.
Nəticədə alırıq:
2.003 6 64+192 0.003, yəni. 2.003 6 = 64.576.
Kalkulyatordan istifadə etsək, alırıq:
2,003 6 = 64,5781643...
Gördüyünüz kimi, yaxınlaşma dəqiqliyi olduqca məqbuldur.
Tangensəyrinin bir nöqtəsindən keçən və bu nöqtədə birinci sıraya qədər onunla üst-üstə düşən düz xəttdir (şək. 1).
Digər tərif: bu, Δ-da sekantın limit mövqeyidir x→0.
İzahat: Əyri ilə iki nöqtədə kəsişən xətt çəkin: AMMA və b(şəkilə bax). Bu sekantdır. Əyri ilə yalnız bir ümumi nöqtəyə sahib olana qədər onu saat əqrəbi istiqamətində döndəririk. Beləliklə, bir tangens alırıq.
Tangensin ciddi tərifi:
Funksiya qrafikinə tangens f, bir nöqtədə diferensiallana bilir xhaqqında, nöqtəsindən keçən xəttdir ( xhaqqında; f(xhaqqında)) və yamacın olması f′( xhaqqında).
Yamacın düz xətti var y=kx +b. Əmsal k və edir yamac faktoru bu düz xətt.
Bucaq əmsalı bu düz xəttin x oxu ilə yaratdığı kəskin bucağın tangensinə bərabərdir:
|
Burada α bucağı xətt arasındakı bucaqdır y=kx +b və x oxunun müsbət (yəni saat yönünün əksinə) istiqaməti. Bu adlanır düz meyl açısı(Şəkil 1 və 2). 
Əgər meyl bucağı düzdürsə y=kx +b kəskin, onda yamac müsbət ədəddir. Qrafik artır (şək. 1).
Əgər meyl bucağı düzdürsə y=kx +b küt, onda yamac mənfi ədəddir. Qrafik azalır (şək. 2).
Əgər xətt x oxuna paraleldirsə, xəttin mailliyi sıfırdır. Bu halda xəttin mailliyi də sıfırdır (çünki sıfırın tangensi sıfırdır). Düz xətt tənliyi y = b kimi görünəcək (şək. 3).
Düz xəttin meyl bucağı 90º (π/2), yəni x oxuna perpendikulyardırsa, düz xətt bərabərliklə verilir. x=c, harada c- bəzi real ədəd (şək. 4).
Funksiyanın qrafikinə tangensin tənliyiy = f(x) nöqtəsində xhaqqında:
Nümunə : Gəlin funksiyanın qrafikinə toxunan tənliyini tapaq f(x) = x 3 – 2x Absis 2 olan nöqtədə 2 + 1.
Həll .
Alqoritmə əməl edirik.
1) Toxunma nöqtəsi xhaqqında bərabərdir 2. Hesablayın f(xhaqqında):
f(xhaqqında) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Tapın f′( x). Bunun üçün əvvəlki bölmədə qeyd olunan diferensiasiya düsturlarından istifadə edirik. Bu düsturlara əsasən, X 2 = 2X, a X 3 = 3X 2. Vasitələri:
f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.
İndi əldə edilən dəyərdən istifadə edin f′( x), hesablayın f′( xhaqqında):
f′( xhaqqında) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Beləliklə, bütün lazımi məlumatlarımız var: xhaqqında = 2, f(xhaqqında) = 1, f ′( xhaqqında) = 4. Bu ədədləri tangens tənliyində əvəz edirik və son həllini tapırıq:
y= f(xhaqqında) + f′( xhaqqında) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.
Cavab: y \u003d 4x - 7.
Təlimat
M nöqtəsində əyriyə toxunan meylin mailliyini təyin edirik.
y = f(x) funksiyasının qrafikini əks etdirən əyri M nöqtəsinin bəzi qonşuluğunda (o cümlədən M nöqtəsinin özü də) davamlıdır.
Əgər f‘(x0) qiyməti mövcud deyilsə, ya tangens yoxdur, ya da şaquli olaraq keçir. Bunu nəzərə alaraq, x0 nöqtəsində funksiyanın törəməsinin olması (x0, f(x0)) nöqtəsində funksiyanın qrafiki ilə təmasda olan şaquli olmayan tangensin olması ilə bağlıdır. Bu zaman tangensin mailliyi f "(x0)-a bərabər olacaqdır. Beləliklə, törəmənin həndəsi mənası aydın olur - tangensin yamacının hesablanması.
“a” hərfi ilə işarələnən təmas nöqtəsinin absisinin qiymətini tapın. Əgər o, verilmiş toxunan nöqtə ilə üst-üstə düşürsə, onda "a" onun x koordinatı olacaqdır. Dəyəri müəyyən edin funksiyaları f(a), tənliyə əvəz etməklə funksiyaları absis ölçüsü.
Tənliyin birinci törəməsini təyin edin funksiyaları f'(x) və "a" nöqtəsinin qiymətini ona əvəz edin.
Y \u003d f (a) \u003d f (a) (x - a) kimi təyin olunan ümumi tangens tənliyini götürün və tapılmış a, f (a), f "() dəyərlərini əvəz edin. a) ona.Nəticədə qrafikin həlli tapılacaq və tangens olacaq.
Verilmiş tangens nöqtəsi toxunan nöqtə ilə üst-üstə düşmürsə, məsələni başqa cür həll edin. Bu halda, tangens tənliyində ədədlər əvəzinə "a" əvəz etmək lazımdır. Bundan sonra "x" və "y" hərflərinin yerinə verilmiş nöqtənin koordinatlarının qiymətini əvəz edin. “a”-nın naməlum olduğu nəticə tənliyini həll edin. Yaranan dəyəri tangens tənliyinə daxil edin.
Əgər tənlik məsələnin şərtində verilirsə, “a” hərfi ilə tangens üçün tənlik yazın. funksiyaları və arzu olunan tangensə görə paralel xəttin tənliyi. Bundan sonra bir törəmə lazımdır funksiyaları
Hansısa nöqtədə x 0 sonlu f (x 0) törəməsi olan f funksiyası verilsin. Sonra f '(x 0) mailliyi olan (x 0; f (x 0)) nöqtəsindən keçən xətt tangens adlanır.
Bəs x 0 nöqtəsindəki törəmə mövcud olmasa nə olar? İki seçim var:
- Qrafikin tangensi də mövcud deyil. Klassik nümunə y = |x | funksiyasıdır nöqtəsində (0; 0).
- Tangens şaquli olur. Bu, məsələn, (1; π /2) nöqtəsində y = arcsin x funksiyası üçün doğrudur.
Tangens tənliyi
İstənilən qeyri-şaquli düz xətt y = kx + b formasının tənliyi ilə verilir, burada k yamacdır. Tangens istisna deyil və hansısa x 0 nöqtəsində onun tənliyini qurmaq üçün bu nöqtədə funksiyanın və törəmənin qiymətini bilmək kifayətdir.
Beləliklə, seqmentdə y \u003d f '(x) törəməsi olan y \u003d f (x) funksiyası verilsin. Onda istənilən x 0 ∈ (a; b) nöqtəsində bu funksiyanın tənliyi ilə verilmiş qrafikinə tangens çəkmək olar:
y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)
Burada f ’(x 0) törəmənin x 0 nöqtəsindəki qiyməti, f (x 0) isə funksiyanın özünün qiymətidir.
Bir tapşırıq. y = x 3 funksiyası verilmişdir. Bu funksiyanın qrafikinə x 0 = 2 nöqtəsindəki tangens üçün tənlik yazın.
Tangens tənliyi: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Bizə x 0 = 2 nöqtəsi verilir, lakin f (x 0) və f '(x 0) dəyərləri hesablanmalıdır.
Əvvəlcə funksiyanın qiymətini tapaq. Burada hər şey asandır: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
İndi törəməni tapaq: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
x 0 = 2 törəməsində əvəz: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Beləliklə, alırıq: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Bu tangens tənliyidir.
Bir tapşırıq. x 0 \u003d π / 2 nöqtəsində f (x) \u003d 2sin x + 5 funksiyasının qrafikinə tangensin tənliyini qurun.
Bu dəfə hər bir hərəkəti ətraflı təsvir etməyəcəyik - yalnız əsas addımları göstərəcəyik. Bizdə:
f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;
Tangens tənliyi:
y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
Sonuncu vəziyyətdə, xəttin üfüqi olduğu ortaya çıxdı, çünki onun yamacı k = 0. Bunda səhv heç nə yoxdur - biz sadəcə ekstremum nöqtəsinə rast gəldik.