Otsige sirgjoonte vahelise nurga valem. Nurk kahe sirge vahel

A. Olgu toodud kaks sirget Need sirged, nagu näidatud peatükis 1, moodustavad erinevaid positiivseid ja negatiivseid nurki, mis võivad olla nii teravad kui ka nüri. Teades üht neist nurkadest, leiame hõlpsasti ka mõne teise.

Muide, kõigi nende nurkade puhul on puutuja arvväärtus sama, erinevus võib olla ainult märgis

Sirgede võrrandid. Arvud on esimese ja teise sirge suunavektorite projektsioonid. Nende vektorite vaheline nurk on võrdne ühe sirge moodustatud nurgaga. Seetõttu taandub probleem vektorite vahelise nurga määramisele

Lihtsuse huvides võime nõustuda, et kahe sirge vaheline nurk on terav positiivne nurk (nagu näiteks joonisel 53).

Siis on selle nurga puutuja alati positiivne. Seega, kui valemi (1) paremal küljel on miinusmärk, siis tuleb see kõrvale jätta, st salvestada ainult absoluutväärtus.

Näide. Määrake sirgjoonte vaheline nurk

Vastavalt valemile (1) on meil

Koos. Kui on märgitud, milline nurga külgedest on selle algus ja milline lõpp, siis nurga suunda alati vastupäeva lugedes saame valemist (1) midagi enamat välja võtta. Nagu jooniselt fig. 53 näitab valemi (1) paremal küljel saadud märk, millise nurga – terava või nüri – moodustab teine ​​sirge esimesega.

(Jooniselt 53 näeme, et esimese ja teise suunavektori vaheline nurk on kas võrdne soovitud sirge nurgaga või erineb sellest ±180° võrra.)

d. Kui sirged on paralleelsed, siis nende suunavektorid on paralleelsed Rakendades kahe vektori paralleelsuse tingimust, saame!

See on kahe sirge paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus.

Näide. Otsene

on paralleelsed, sest

e. Kui sirged on risti, siis on ka nende suunavektorid risti. Rakendades kahe vektori perpendikulaarsuse tingimust, saame kahe sirge perpendikulaarsuse tingimuse, nimelt

Näide. Otsene

on risti, kuna

Seoses paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega lahendame kaks järgmist ülesannet.

f. Joonistage joon läbi antud sirgega paralleelse punkti

Lahendus viiakse läbi nii. Kuna soovitud sirge on sellega paralleelne, siis saame selle suunavektoriks võtta sama, mis antud sirge oma, st vektori projektsioonidega A ja B. Ja siis kirjutatakse soovitud sirge võrrand sisse vorm (§ 1)

Näide. Sirgega paralleelset punkti (1; 3) läbiva sirge võrrand

tuleb järgmine!

g. Joonistage joon läbi punkti, mis on risti antud sirgega

Siin ei sobi enam võtta projektsioonidega A vektorit ja suunavaks vektoriks, vaid on vaja võtta vektor, mis on sellega risti. Seetõttu tuleb selle vektori projektsioonid valida vastavalt mõlema vektori perpendikulaarsuse tingimusele, st vastavalt tingimusele

Seda tingimust saab täita lugematul hulgal, kuna siin on üks võrrand kahe tundmatuga, kuid kõige lihtsam on võtta või Siis kirjutatakse soovitud rea võrrand kujule

Näide. Perpendikulaarsel sirgel punkti (-7; 2) läbiva sirge võrrand

tuleb järgmine (teise valemi järgi)!

h. Juhul, kui read on antud vormi võrranditega

Juhised

Märge

Periood trigonomeetriline funktsioon Puutuja on võrdne 180 kraadiga, mis tähendab, et sirgjoonte kaldenurgad ei saa absoluutväärtuses seda väärtust ületada.

Abistavad nõuanded

Kui nurkkoefitsiendid on üksteisega võrdsed, on selliste joonte vaheline nurk 0, kuna sellised sirged kas langevad kokku või on paralleelsed.

Lõikuvate sirgete vahelise nurga väärtuse määramiseks on vaja mõlemad sirged (või üks neist) paralleeltõlke meetodil uude kohta viia, kuni need ristuvad. Pärast seda peaksite leidma nurga saadud ristuvate joonte vahel.

Sa vajad

• joonlaud, täisnurkne kolmnurk, pliiats, kraadiklaas.

Juhised

Olgu siis antud vektor V = (a, b, c) ja tasapind A x + B y + C z = 0, kus A, B ja C on normaalse N koordinaadid. Siis on nurga koosinus α vektorite V ja N vahel on võrdne: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Nurga arvutamiseks kraadides või radiaanides tuleb saadud avaldisest arvutada koosinusfunktsiooni pöördfunktsioon, st. arkosiin:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Näide: leia nurk vahel vektor(5, -3, 8) ja lennuk antud üldvõrrand 2 x – 5 y + 3 z = 0. Lahendus: kirjuta üles tasandi N = (2, -5, 3) normaalvektori koordinaadid. Asendage kõik teadaolevad väärtused antud valemisse: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video teemal

Sirge joon, mille ümbermõõt on sama kui ühine punkt, on ringi puutuja. Puutuja teine ​​omadus on see, et see on alati risti puutepunktiga tõmmatud raadiusega, see tähendab, et puutuja ja raadius moodustavad sirge nurk. Kui ühest punktist A tõmmata ringjoone AB ja AC kaks puutujat, siis on nad alati üksteisega võrdsed. Puutujate vahelise nurga määramine ( nurk ABC) on tehtud Pythagorase teoreemi abil.

Juhised

Nurga määramiseks on vaja teada ringi OB ja OS raadiust ning puutuja alguspunkti kaugust ringi keskpunktist - O. Seega on nurgad ABO ja ASO võrdsed, raadius OB on, näiteks 10 cm ja kaugus ringi AO keskpunktist on 15 cm. Määrake puutuja pikkus valemiga vastavalt Pythagorase teoreemile: AB = Ruutjuur alates AO2 – OB2 või 152 – 102 = 225 – 100 = 125;

Ma räägin lühidalt. Nurk kahe sirge vahel võrdne nurgaga nende suunavektorite vahel. Seega, kui teil õnnestub leida suunavektorite a = (x 1 ; y 1 ; z 1) ja b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) koordinaadid, saate nurga leida. Täpsemalt nurga koosinus vastavalt valemile:

Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas see valem töötab:

Ülesanne. Kuubis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on märgitud punktid E ja F - vastavalt servade A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskpunktid. Leidke nurk sirgete AE ja BF vahel.

Kuna kuubi serv pole määratud, siis paneme AB = 1. Tutvustame standardset koordinaatide süsteemi: alguspunkt on punktis A, teljed x, y, z on suunatud vastavalt mööda AB, AD ja AA 1. Ühiklõik on võrdne AB = 1. Nüüd leiame oma sirgete suunavektorite koordinaadid.

Leiame vektori AE koordinaadid. Selleks vajame punkte A = (0; 0; 0) ja E = (0,5; 0; 1). Kuna punkt E on lõigu A 1 B 1 keskpunkt, on selle koordinaadid võrdsed otste koordinaatide aritmeetilise keskmisega. Pange tähele, et vektori AE alguspunkt langeb kokku koordinaatide alguspunktiga, seega AE = (0,5; 0; 1).

Vaatame nüüd BF-vektorit. Samamoodi analüüsime punkte B = (1; 0; 0) ja F = (1; 0,5; 1), sest F on segmendi B 1 C 1 keskpunkt. Meil on:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Niisiis, suunavektorid on valmis. Sirgete vahelise nurga koosinus on suunavektorite vahelise nurga koosinus, seega on meil:

Ülesanne. Korrapärases kolmnurkse prismas ABCA 1 B 1 C 1, mille kõik servad on võrdsed 1-ga, on märgitud punktid D ja E - vastavalt servade A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskpunktid. Leidke sirgete AD ja BE vaheline nurk.

Tutvustame standardset koordinaatsüsteemi: alguspunkt on punktis A, x-telg on suunatud piki AB, z - mööda AA 1. Suuname y-telje nii, et OXY tasand langeb kokku ABC tasandiga. Ühiklõik on võrdne AB = 1. Leiame vajalike sirgete suunavektorite koordinaadid.

Kõigepealt leiame vektori AD koordinaadid. Vaatleme punkte: A = (0; 0; 0) ja D = (0,5; 0; 1), sest D - segmendi A 1 B 1 keskosa. Kuna vektori AD algus langeb kokku koordinaatide alguspunktiga, saame AD = (0,5; 0; 1).

Nüüd leiame vektori BE koordinaadid. Punkti B = (1; 0; 0) on lihtne arvutada. Punktiga E - segmendi C 1 B 1 keskosa - on see veidi keerulisem. Meil on:

Jääb üle leida nurga koosinus:

Ülesanne. Korrapärases kuusnurkses prismas ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, mille kõik servad on võrdsed 1-ga, on märgitud punktid K ja L - vastavalt servade A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskpunktid. . Leidke sirgete AK ja BL vaheline nurk.

Tutvustame prisma standardset koordinaatsüsteemi: asetame koordinaatide alguspunkti alumise aluse keskpunkti, x-telg on suunatud piki FC-d, y-telg on suunatud läbi lõikude AB ja DE keskpunktide ning z telg on suunatud vertikaalselt ülespoole. Ühiku segment on jällegi võrdne AB = 1. Kirjutame üles meile huvipakkuvate punktide koordinaadid:

Punktid K ja L on vastavalt lõikude A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskpunktid, seega leitakse nende koordinaadid läbi aritmeetilise keskmise. Teades punkte, leiame suunavektorite AK ja BL koordinaadid:

Nüüd leiame nurga koosinuse:

Ülesanne. Paremal nelinurkne püramiid SABCD, mille kõik servad on võrdsed 1-ga, on märgitud punktid E ja F - vastavalt külgede SB ja SC keskpunktid. Leidke sirgete AE ja BF vaheline nurk.

Tutvustame standardset koordinaatsüsteemi: alguspunkt on punktis A, x- ja y-telg on suunatud vastavalt AB ja AD ning z-telg vertikaalselt ülespoole. Ühiku segment on võrdne AB = 1.

Punktid E ja F on vastavalt lõikude SB ja SC keskpunktid, seega leitakse nende koordinaadid otste aritmeetilise keskmisena. Paneme kirja meile huvipakkuvate punktide koordinaadid:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Teades punkte, leiame suunavektorite AE ja BF koordinaadid:

Vektori AE koordinaadid langevad kokku punkti E koordinaatidega, kuna punkt A on alguspunkt. Jääb üle leida nurga koosinus:

Definitsioon. Kui kaks sirget on antud y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, siis defineeritakse nende joonte vaheline teravnurk järgmiselt

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks sirget on risti, kui k 1 = -1/ k 2.

Teoreem. Sirged Ax + Bу + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid A 1 = λA, B 1 = λB on võrdelised. Kui ka C 1 = λC, siis jooned langevad kokku. Nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena leitakse kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Antud punkti läbiva sirge võrrand

Antud sirgega risti

Definitsioon. Punkti M 1 (x 1, y 1) läbiv sirgjoon, mis on risti sirgega y = kx + b, on esitatud võrrandiga:

Kaugus punktist jooneni

Teoreem. Kui on antud punkt M(x 0, y 0), siis määratakse kaugus sirgeni Ax + Bу + C = 0

.

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:

(1)

Koordinaadid x 1 ja y 1 saab leida võrrandisüsteemi lahendamisega:

Süsteemi teine ​​võrrand on läbiva sirge võrrand antud punkt M 0 on antud sirgega risti. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Näide. Näidake, et sirged 3x – 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y – 3 = 0 on risti.

Lahendus. Leiame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, seega on sirged risti.

Näide. Antud on kolmnurga tipud A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.

Lahendus. Leiame külje AB võrrandi: ; 4 x = 6 a – 6;

2 x – 3 a + 3 = 0;

Nõutav kõrgusvõrrand on kujul: Ax + By + C = 0 või y = kx + b. k = . Siis y = . Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad see võrrand: kust b = 17. Kokku: .

Vastus: 3 x + 2 a – 34 = 0.

Antud punkti kindlas suunas läbiva sirge võrrand. Kaht antud punkti läbiva sirge võrrand. Nurk kahe sirge vahel. Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimus. Kahe sirge lõikepunkti määramine

1. Antud punkti läbiva sirge võrrand A(x 1 , y 1) etteantud suunas, mille määrab kalle k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

See võrrand määratleb punkti läbivate joonte pliiatsi A(x 1 , y 1), mida nimetatakse kiire keskpunktiks.

2. Kaht punkti läbiva sirge võrrand: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2), kirjutatud nii:

Kaht etteantud punkti läbiva sirge nurgakoefitsient määratakse valemiga

3. Sirgete vaheline nurk A Ja B on nurk, mille võrra tuleb esimest sirget pöörata Aümber nende joonte lõikepunkti vastupäeva, kuni see langeb kokku teise sirgega B. Kui kaks sirget on antud kaldega võrranditega

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

siis määratakse nendevaheline nurk valemiga

Tuleb märkida, et murdosa lugejas lahutatakse esimese rea kalle teise rea tõusust.

Kui sirge võrrandid on antud üldine vaade

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

nendevaheline nurk määratakse valemiga

4. Kahe joone paralleelsuse tingimused:

a) Kui sirged on antud võrranditega (4) nurkkoefitsiendiga, siis on nende paralleelsuse vajalikuks ja piisavaks tingimuseks nende nurkkoefitsientide võrdsus:

k 1 = k 2 . (8)

b) Juhul, kui sirged on antud võrranditega üldkujul (6), on nende paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende võrrandites olevate vastavate voolukoordinaatide koefitsiendid on võrdelised, s.t.

5. Kahe joone perpendikulaarsuse tingimused:

a) Juhul, kui sirged on antud võrranditega (4) nurkkoefitsiendiga, on nende perpendikulaarsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende nurkkoefitsiendid on suuruselt pöördvõrdelised ja märgilt vastupidised, s.t.

Selle tingimuse saab kirjutada ka vormile

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Kui sirgete võrrandid on antud üldkujul (6), siis nende perpendikulaarsuse tingimuseks (vajalik ja piisav) on võrdsuse rahuldamine

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid leitakse võrrandisüsteemi (6) lahendamisel. Sirged (6) lõikuvad siis ja ainult siis

1. Kirjutage punkti M läbivate sirgete võrrandid, millest üks on paralleelne ja teine ​​risti antud sirgega l.

Nurk ridade vahel ruumis nimetame ükskõik millist külgnevad nurgad, mille moodustavad kaks sirget, mis on tõmmatud läbi andmetega paralleelse suvalise punkti.

Olgu ruumis antud kaks rida:

Ilmselgelt võib sirgjoonte vahelist nurka φ võtta nende suunavektorite ja vahelise nurgana. Kuna , siis vektoritevahelise nurga koosinuse valemit kasutades saame

Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused on samaväärsed nende suunavektorite paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega ja:

Kaks otse paralleelselt siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on proportsionaalsed, s.t. l 1 paralleel l 2 siis ja ainult paralleelselt .

Kaks otse risti siis ja ainult siis, kui vastavate koefitsientide korrutiste summa on võrdne nulliga: .

U eesmärk joone ja tasapinna vahel

Las see olla sirge d- mitte θ tasapinnaga risti;
d′− sirge projektsioon dθ tasapinnale;
Väikseim nurk sirgjoonte vahel d Ja d"me helistame nurk sirge ja tasapinna vahel.
Tähistame seda kui φ=( d,θ)
Kui d⊥θ, siis ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− ristkülikukujuline koordinaatsüsteem.
Tasapinnaline võrrand:

θ: Ax+Kõrval+Cz+D=0

Eeldame, et sirge on määratletud punkti ja suunavektoriga: d[M 0,lk→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Siis jääb üle välja selgitada vektorite vaheline nurk n→ ja lk→ tähistame seda kui γ=( n→,lk→).

Kui nurk γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Kui nurk γ>π/2, siis soovitud nurk φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Siis nurk sirgjoone ja tasapinna vahel saab arvutada järgmise valemi abil:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√lk 21+lk 22+lk 23

Küsimus 29. Ruutvormi mõiste. Ruutvormide märgimääratlus.

Ruutvorm j (x 1, x 2, …, x n) n reaalset muutujat x 1, x 2, …, x n nimetatakse vormi summaks
, (1)

Kus a ij – mõned arvud, mida nimetatakse koefitsientideks. Ilma üldistust kaotamata võime seda eeldada a ij = a ji.

Ruutvormi nimetatakse kehtiv, Kui a ij Î GR. Ruutkujuline maatriks nimetatakse maatriksiks, mis koosneb selle koefitsientidest. Ruutvorm (1) vastab ainsale sümmeetrilisele maatriksile
See on A T = A. Järelikult saab ruutkuju (1) kirjutada maatriksi kujul j ( X) = x T Ah, Kus x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Ja vastupidi, iga sümmeetriline maatriks (2) vastab ainulaadsele ruutvormile kuni muutujate tähistuseni.

Ruutvormi aste nimetatakse selle maatriksi auastmeks. Ruutvormi nimetatakse mitte-degenereerunud, kui selle maatriks ei ole ainsuses A. (tuletage meelde, et maatriks A nimetatakse mittedegeneratiivseks, kui selle determinant seda ei ole võrdne nulliga). Vastasel juhul on ruutvorm degenereerunud.

positiivne kindel(või rangelt positiivne), kui

j( X) > 0 , kellelegi X = (X 1 , X 2 , …, x n), välja arvatud X = (0, 0, …, 0).

Maatriks A positiivne kindel ruutvorm j ( X) nimetatakse ka positiivseks kindlaks. Seetõttu vastab positiivne kindel ruutvorm ainulaadsele positiivsele kindlale maatriksile ja vastupidi.

Ruutkuju (1) nimetatakse negatiivselt määratletud(või rangelt negatiivne), kui

j( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), välja arvatud X = (0, 0, …, 0).

Sarnaselt ülaltoodule nimetatakse negatiivse kindla ruutkujuga maatriksit ka negatiivseks kindlaks.

Järelikult positiivne (negatiivne) kindel ruutvorm j ( X) jõuab minimaalse (maksimaalse) väärtuseni j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Pange tähele, et enamik ruutvormid ei ole märgikindlad, st nad ei ole positiivsed ega negatiivsed. Sellised ruutvormid kaovad mitte ainult koordinaatsüsteemi alguspunktis, vaid ka teistes punktides.

Millal n> 2, ruutvormi märgi kontrollimiseks on vaja erikriteeriume. Vaatame neid.

Suuremad alaealised ruutvorme nimetatakse alaealisteks:

see tähendab, et need on alaealised suurusjärgus 1, 2, ..., n maatriksid A, mis asub vasakus ülanurgas, viimane neist ühtib maatriksi determinandiga A.

Positiivse määratluse kriteerium (Sylvesteri kriteerium)

X) = x T Ah oli positiivne kindel, on vajalik ja piisav, et kõik maatriksi suuremad mollid A olid positiivsed, see tähendab: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatiivse kindluse kriteerium Selleks, et ruutvorm j ( X) = x T Ah oli negatiivne kindel, on vajalik ja piisav, et selle paarisjärjekorras põhimollid oleksid positiivsed ja paaritu järjekorraga - negatiivsed, st: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n