Lineaaralgebravõrrandisüsteemide lahendamine, lahendusmeetodid, näited. Leidke süsteemi ja fsr üldlahendus

Gaussi meetodil on mitmeid puudusi: pole võimalik teada, kas süsteem on järjepidev või mitte, enne kui kõik Gaussi meetodis vajalikud teisendused on tehtud; Gaussi meetod ei sobi tähekoefitsientidega süsteemide jaoks.

Vaatleme muid meetodeid lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks. Need meetodid kasutavad maatriksi astme kontseptsiooni ja taandavad mis tahes järjepideva süsteemi lahenduse sellise süsteemi lahendusele, millele kehtib Crameri reegel.

Näide 1. Leidke üldine lahendus järgmisele lineaarvõrrandisüsteemile, kasutades taandatud homogeense süsteemi põhilahenduste süsteemi ja ebahomogeense süsteemi konkreetset lahendust.

1. Maatriksi valmistamine A ja laiendatud süsteemimaatriks (1)

2. Uurige süsteemi (1) ühtekuuluvuse eest. Selleks leiame maatriksite auastmed A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Kui selgub, et , siis süsteem (1) Sobimatu. Kui me selle saame , siis on see süsteem järjepidev ja me lahendame selle. (Ühilduvusuuring põhineb Kroneckeri-Capelli teoreemil).

a. Leiame rA.

Leidma rA, käsitleme järjestikku maatriksi esimese, teise jne järgu nullist erinevaid alaealisi A ja neid ümbritsevad alaealised.

M1=1≠0 (maatriksi ülemisest vasakust nurgast võtame 1 A).

Me piirneme M1 selle maatriksi teine ​​rida ja teine ​​veerg. . Jätkame piiriületust M1 teine ​​rida ja kolmas veerg..gif" width="37" height="20 src=">. Nüüd ääristame nullist erineva minoori M2′ teine ​​järjekord.

Meil on: (kuna esimesed kaks veergu on samad)

(kuna teine ​​ja kolmas rida on proportsionaalsed).

Me näeme seda rA=2, a on maatriksi alusmoll A.

b. Leiame.

Üsna elementaarne moll M2′ maatriksid Aäärista vabade terminite veeru ja kõigi ridadega (meil on ainult viimane rida).

. Sellest järeldub M3′′ jääb maatriksi põhimolliks https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Sest M2′- maatriksi alusmoll A süsteemid (2) , siis on see süsteem samaväärne süsteemiga (3) , mis koosneb süsteemi kahest esimesest võrrandist (2) (eest M2′ asub maatriksi A kahes esimeses reas).

(3)

Alates põhimollist https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Selles süsteemis on kaks vaba tundmatut ( x2 Ja x4 ). Sellepärast FSR süsteemid (4) koosneb kahest lahendusest. Nende leidmiseks määrame sisse vabad tundmatud (4) väärtused esiteks x2=1 , x4=0 , ja siis - x2=0 , x4=1 .

Kell x2=1 , x4=0 saame:

.

Sellel süsteemil juba on ainuke asi lahendus (selle võib leida Crameri reegli või mõne muu meetodi abil). Lahutades esimese teisest võrrandist, saame:

Tema lahendus saab olema x1= -1 , x3=0 . Arvestades väärtusi x2 Ja x4 , mille lisasime, saame süsteemi esimese põhimõttelise lahenduse (2) : .

Nüüd me usume (4) x2=0 , x4=1 . Saame:

.

Lahendame selle süsteemi Crameri teoreemi abil:

.

Saame süsteemi teise põhimõttelise lahenduse (2) : .

Lahendused β1 , β2 ja meigi FSR süsteemid (2) . Siis on selle üldine lahendus

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Siin C1 , C2 - suvalised konstandid.

4. Leiame ühe privaatne lahendus heterogeenne süsteem(1) . Nagu lõigus 3 , süsteemi asemel (1) Vaatleme samaväärset süsteemi (5) , mis koosneb süsteemi kahest esimesest võrrandist (1) .

(5)

Liigutame vabad tundmatud paremale poole x2 Ja x4.

(6)

Andkem tasuta tundmatuid x2 Ja x4 suvalised väärtused, näiteks x2=2 , x4=1 ja pane need sisse (6) . Tutvume süsteemiga

Sellel süsteemil on ainulaadne lahendus (alates selle määrajast M2′0). Selle lahendades (kasutades Crameri teoreemi või Gaussi meetodit), saame x1=3 , x3=3 . Arvestades vabade tundmatute väärtusi x2 Ja x4 , saame mittehomogeense süsteemi eriline lahendus(1)α1=(3,2,3,1).

5. Nüüd jääb üle vaid see kirja panna mittehomogeense süsteemi üldlahend α(1) : see on võrdne summaga privaatne lahendus see süsteem ja selle redutseeritud homogeense süsteemi üldine lahendus (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

See tähendab: (7)

6. Läbivaatus. Kontrollimaks, kas lahendasite süsteemi õigesti (1) , vajame üldist lahendust (7) asendus sisse (1) . Kui iga võrrand muutub identiteediks ( C1 Ja C2 tuleb hävitada), siis leitakse lahendus õigesti.

Me asendame (7) näiteks ainult süsteemi viimane võrrand (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Saame: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Kus –1=–1. Meil on identiteet. Teeme seda süsteemi kõigi teiste võrranditega (1) .

kommenteerida. Kontrollimine on tavaliselt üsna tülikas. Soovitada võib järgmist “osalist kontrolli”: süsteemi üldlahenduses (1) määrake suvalistele konstantidele mõned väärtused ja asendage saadud osalahend ainult kõrvalejäetud võrranditega (st nende võrranditega (1) , mis ei kuulunud hulka (5) ). Kui saate identiteedid, siis pigem, süsteemne lahendus (1) leitud õigesti (aga selline kontroll ei anna täielikku õigsuse garantiid!). Näiteks kui sisse (7) pane C2=- 1 , C1 = 1, siis saame: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Asendades süsteemi (1) viimase võrrandi, saame: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 st –1=–1. Meil on identiteet.

Näide 2. Leidke lineaarvõrrandisüsteemi üldine lahendus (1) , väljendades põhilisi tundmatuid vabadena.

Lahendus. Nagu näide 1, koostada maatriksid A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> nendest maatriksitest. Nüüd jätame ainult need süsteemi võrrandid (1) , mille koefitsiendid sisalduvad selles põhimollis (st meil on kaks esimest võrrandit) ja vaadelda neist koosnevat süsteemi, mis on samaväärne süsteemiga (1).

Viime vabad tundmatud nende võrrandite parempoolsetele külgedele.

süsteem (9) Lahendame Gaussi meetodil, käsitades paremaid pooli vabadena.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

2. võimalus.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

4. võimalus.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

5. võimalus.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

6. valik.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensed süsteemid

Osana õppetundidest Gaussi meetod Ja Ühise lahendusega ühildumatud süsteemid/süsteemid kaalusime ebahomogeensed lineaarvõrrandisüsteemid, Kus vaba liige(mis on tavaliselt paremal) vähemalt üks võrranditest erines nullist.
Ja nüüd, pärast head soojendust maatriksi auaste, jätkame tehnika lihvimist elementaarsed teisendused peal homogeenne lineaarvõrrandisüsteem.
Esimeste lõikude põhjal võib materjal tunduda igav ja keskpärane, kuid selline mulje on petlik. Lisaks tehnikate edasiarendamisele on palju uut teavet, seega proovige mitte jätta tähelepanuta käesolevas artiklis toodud näiteid.

Mis on homogeenne lineaarvõrrandisüsteem?

Vastus viitab iseenesest. Lineaarvõrrandisüsteem on homogeenne, kui vaba liige kõik süsteemi võrrand on null. Näiteks:

See on täiesti selge homogeenne süsteem on alati järjepidev st sellel on alati lahendus. Ja esiteks jääb silma nn triviaalne lahendus . Triviaalne, nende jaoks, kes omadussõna tähendusest üldse aru ei saa, tähendab ilma eputamist. Muidugi mitte akadeemiliselt, aga arusaadavalt =) ...Milleks peksa, uurime, kas sellel süsteemil on muid lahendusi:

Näide 1

Lahendus: homogeense süsteemi lahendamiseks on vaja kirjutada süsteemi maatriks ja viia see elementaarteisenduste abil astmelisele kujule. Pange tähele, et siin pole vaja vertikaalset riba ja vabade terminite nulli veergu üles kirjutada - lõppude lõpuks jäävad need nullideks, ükskõik mida te nullidega teete:

(1) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -3-ga.

(2) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.

Kolmanda rea ​​3-ga jagamisel pole erilist mõtet.

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse ekvivalentne homogeenne süsteem , ja kasutades Gaussi meetodi pöördväärtust, on lihtne kontrollida, kas lahendus on unikaalne.

Vastus:

Sõnastame ühe ilmse kriteeriumi: homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on ainult triviaalne lahendus, Kui süsteemimaatriksi auaste(antud juhul 3) on võrdne muutujate arvuga (antud juhul – 3 tükki).

Soojendame ja häälestame oma raadio elementaarsete transformatsioonide lainele:

Näide 2

Lahendage homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Artiklist Kuidas leida maatriksi auastet? Tuletagem meelde ratsionaalset tehnikat maatriksiarvude samaaegseks vähendamiseks. Vastasel juhul peate lõikama suuri ja sageli hammustavaid kalu. Ligikaudne näide ülesandest tunni lõpus.

Nullid on head ja mugavad, kuid praktikas on see juhtum palju tavalisem, kui süsteemimaatriksi read lineaarselt sõltuv. Ja siis on üldise lahenduse tekkimine vältimatu:

Näide 3

Lahendage homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Lahendus: kirjutame üles süsteemi maatriksi ja viime elementaarteisenduste abil astmelisele kujule. Esimese toimingu eesmärk on mitte ainult ühe väärtuse saamine, vaid ka esimeses veerus olevate numbrite vähendamine:

(1) Esimesele reale lisati kolmas rida, mis on korrutatud -1-ga. Kolmas rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Vasakpoolses ülanurgas sain “miinusega” ühiku, mis on sageli palju mugavam edasisteks ümberkujundamiseks.

(2) Kaks esimest rida on samad, üks neist kustutati. Ausalt, ma ei surunud lahendust peale – see osutus nii. Kui teete teisendusi mallipõhiselt, siis lineaarne sõltuvus read oleks selgunud veidi hiljem.

(3) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna 3-ga.

(4) Esimese rea märk muudeti.

Elementaarsete teisenduste tulemusena saadi samaväärne süsteem:

Algoritm töötab täpselt samamoodi nagu heterogeensed süsteemid. Muutujad “istub astmetel” on peamised, muutuja, mis ei saanud “sammu”, on vaba.

Väljendame põhimuutujaid vaba muutuja kaudu:

Vastus: ühine otsus:

Triviaalne lahendus sisaldub üldvalemis ja seda pole vaja eraldi üles kirjutada.

Kontrollimine toimub samuti tavapärase skeemi järgi: saadud üldlahend tuleb asendada süsteemi iga võrrandi vasakpoolsesse serva ja saada kõigi asenduste jaoks seaduslik null.

Seda oleks võimalik vaikselt ja rahulikult lõpetada, kuid homogeense võrrandisüsteemi lahendus vajab sageli esitamist vektori kujul kasutades põhiline lahenduste süsteem. Palun unusta see praegu analüütiline geomeetria, kuna nüüd räägime vektoritest üldises algebralises tähenduses, mida ma natuke avasin artiklis maatriksi auaste. Terminoloogiat pole vaja varjutada, kõik on üsna lihtne.

Homogeenne lineaarvõrrandisüsteem väljal

MÄÄRATLUS. Võrrandisüsteemi (1) põhilahenduste süsteem on selle lahendite mittetühi lineaarselt sõltumatu süsteem, mille lineaarne ulatus langeb kokku süsteemi (1) kõigi lahendite hulgaga.

Pange tähele, et homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil, millel on ainult nulllahendus, ei ole põhilahenduste süsteemi.

ETTEPANEK 3.11. Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi kaks põhilahenduste süsteemi koosnevad samast arvust lahendustest.

Tõestus. Tegelikult on homogeense võrrandisüsteemi (1) kaks põhilahenduste süsteemi samaväärsed ja lineaarselt sõltumatud. Seetõttu on lause 1.12 järgi nende auastmed võrdsed. Järelikult on ühes põhisüsteemis sisalduvate lahenduste arv võrdne mis tahes muus fundamentaalses lahendussüsteemis sisalduvate lahenduste arvuga.

Kui homogeense võrrandisüsteemi (1) põhimaatriks A on null, siis on iga vektor alates süsteemi (1) lahend; sel juhul on mis tahes lineaarselt sõltumatute vektorite kogum lahenduste põhisüsteem. Kui maatriksi A veeru järk on võrdne , siis süsteemil (1) on ainult üks lahend - null; seetõttu ei ole võrrandisüsteemil (1) antud juhul fundamentaalset lahendite süsteemi.

TEOREEM 3.12. Kui homogeense lineaarvõrrandisüsteemi (1) põhimaatriksi aste on väiksem muutujate arvust , siis süsteemil (1) on põhilahendussüsteem, mis koosneb lahenditest.

Tõestus. Kui homogeense süsteemi (1) põhimaatriksi A aste on võrdne nulliga või , siis ülal näidati, et teoreem on tõene. Seetõttu eeldatakse allpool, et eeldades , eeldame, et maatriksi A esimesed veerud on lineaarselt sõltumatud. Sel juhul on maatriks A rea kaupa ekvivalentne redutseeritud astmelise maatriksiga ja süsteem (1) on samaväärne järgmise vähendatud astmelise võrrandisüsteemiga:

Lihtne on kontrollida, kas iga süsteemi (2) vabade muutujate väärtuste süsteem vastab süsteemi (2) ja seega ka süsteemi (1) ühele ja ainult ühele lahendusele. Täpsemalt, ainult süsteemi (2) ja süsteemi (1) nulllahendus vastab nullväärtuste süsteemile.

Süsteemis (2) omistame ühele vabale muutujale väärtuse, mis on võrdne 1-ga, ja ülejäänud muutujatele nullväärtused. Selle tulemusena saame võrrandisüsteemi (2) lahendid, mille kirjutame järgmise maatriksi C ridadena:

Selle maatriksi reasüsteem on lineaarselt sõltumatu. Tõepoolest, iga võrdsuse skalaari jaoks

järgneb võrdsus

ja seega ka võrdsust

Tõestame, et maatriksi C ridade süsteemi lineaarne ulatus langeb kokku süsteemi (1) kõigi lahendite hulgaga.

Süsteemi (1) meelevaldne lahendus. Siis vektor

on ka lahendus süsteemile (1) ja

Lahendus leida kalkulaatori abil. Lahendusalgoritm on sama, mis lineaarsete mittehomogeensete võrrandite süsteemide puhul.
Ainult ridadega töötades leiame maatriksi auastme, alus-minoorse; Kuulutame välja sõltuvad ja vabad tundmatud ning leiame üldise lahenduse.

Näide 2. Leidke süsteemi üldlahendus ja põhilahenduste süsteem
Lahendus.



,
sellest järeldub, et maatriksi auaste on 3 ja võrdne tundmatute arvuga. See tähendab, et süsteemil pole vabu tundmatuid ja seetõttu on sellel ainulaadne lahendus – triviaalne.

Harjutus . Uurige ja lahendage lineaarvõrrandisüsteem.
Näide 4

Harjutus . Leidke iga süsteemi üldised ja konkreetsed lahendused.
Lahendus. Kirjutame üles süsteemi põhimaatriksi:

Ülesanne . Leidke homogeense lineaarvõrrandisüsteemi põhilahenduste komplekt.

Lineaaralgebra võrrandite (SLAE) süsteemide lahendamine on kahtlemata kõige olulisem teema lineaaralgebra kursusel. Suur hulk matemaatika kõigist harudest pärit ülesandeid taandub lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisele. Need tegurid selgitavad selle artikli põhjust. Artikli materjal on valitud ja struktureeritud nii, et selle abiga saate

• valida oma lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks optimaalne meetod,
• uurida valitud meetodi teooriat,
• lahendage oma lineaarvõrrandisüsteem, kaaludes tüüpiliste näidete ja probleemide üksikasjalikke lahendusi.

Artikli materjali lühikirjeldus.

Esiteks anname kõik vajalikud definitsioonid, mõisted ja tutvustame tähistusi.

Järgmisena käsitleme meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja millel on kordumatu lahendus. Esiteks keskendume Crameri meetodile, teiseks näitame maatriksmeetodit selliste võrrandisüsteemide lahendamiseks ja kolmandaks analüüsime Gaussi meetodit (tundmatute muutujate järjestikuse kõrvaldamise meetod). Teooria kinnistamiseks lahendame kindlasti mitu SLAE-d erineval viisil.

Seejärel liigume edasi lineaarsete algebraliste üldkujuliste võrrandite süsteemide lahendamise juurde, milles võrrandite arv ei lange kokku tundmatute muutujate arvuga või süsteemi põhimaatriks on singulaarne. Sõnastame Kroneckeri-Capelli teoreemi, mis võimaldab kindlaks teha SLAE-de ühilduvuse. Analüüsime süsteemide (kui need on ühilduvad) lahendust kasutades maatriksi alusmolli mõistet. Samuti käsitleme Gaussi meetodit ja kirjeldame üksikasjalikult näidete lahendusi.

Kindlasti peatume ka lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensete ja mittehomogeensete süsteemide üldlahenduse struktuuril. Toome välja fundamentaallahenduste süsteemi mõiste ja näitame, kuidas SLAE üldlahend kirjutatakse, kasutades põhilahenduste süsteemi vektoreid. Parema mõistmise huvides vaatame mõnda näidet.

Kokkuvõtteks käsitleme võrrandisüsteeme, mida saab taandada lineaarseteks, aga ka erinevaid probleeme, mille lahendamisel SLAE-d tekivad.

Leheküljel navigeerimine.

Definitsioonid, mõisted, tähistused.

Vaatleme p lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme n tundmatu muutujaga (p võib olla võrdne n) kujul

Tundmatud muutujad, - koefitsiendid (mõned reaal- või kompleksarvud), - vabad liikmed (ka reaal- või kompleksarvud).

Seda SLAE salvestamise vormi nimetatakse koordineerida.

IN maatriksvorm selle võrrandisüsteemi kirjutamisel on vorm,
Kus - süsteemi põhimaatriks, - tundmatute muutujate veerumaatriks, - vabade terminite veerumaatriks.

Kui maatriksile A lisada (n+1) veeruks vabade terminite maatriks-veerg, saame nn. laiendatud maatriks lineaarvõrrandisüsteemid. Tavaliselt tähistatakse laiendatud maatriksit tähega T ja vabade terminite veerg eraldatakse ülejäänud veergudest vertikaalse joonega, st

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamine Seda nimetatakse tundmatute muutujate väärtuste kogumiks, mis muudab kõik süsteemi võrrandid identiteetideks. Tundmatute muutujate antud väärtuste maatriksvõrrand muutub samuti identiteediks.

Kui võrrandisüsteemil on vähemalt üks lahend, siis seda nimetatakse liigend.

Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis nimetatakse seda mitteliigeste.

Kui SLAE-l on ainulaadne lahendus, nimetatakse seda teatud; kui lahendusi on rohkem kui üks, siis – ebakindel.

Kui süsteemi kõigi võrrandite vabaliikmed on võrdsed nulliga , siis kutsutakse süsteem välja homogeenne, muidu - heterogeenne.

Lineaaralgebralise võrrandi elementaarsüsteemide lahendamine.

Kui süsteemi võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja selle põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga, siis nimetatakse selliseid SLAE-sid. elementaarne. Sellistel võrrandisüsteemidel on ainulaadne lahendus ja homogeense süsteemi korral on kõik tundmatud muutujad võrdsed nulliga.

Selliseid SLAEsid hakkasime õppima keskkoolis. Nende lahendamisel võtsime ühe võrrandi, väljendasime ühe tundmatu muutuja teistega ja asendasime selle ülejäänud võrranditega, seejärel võtsime järgmise võrrandi, väljendasime järgmise tundmatu muutuja ja asendasime selle teiste võrranditega jne. Või kasutasid nad liitmismeetodit, st lisasid kaks või enam võrrandit, et kõrvaldada mõned tundmatud muutujad. Me ei peatu nendel meetoditel üksikasjalikult, kuna need on sisuliselt Gaussi meetodi modifikatsioonid.

Lineaarvõrrandi elementaarsüsteemide lahendamise peamised meetodid on Crameri meetod, maatriksmeetod ja Gaussi meetod. Sorteerime need ära.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Crameri meetodil.

Oletame, et peame lahendama lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi

milles võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja süsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist ehk .

Laskma olema süsteemi põhimaatriksi determinant ja - maatriksite determinandid, mis saadakse A-st asendamise teel 1., 2., …, n veerus vastavalt vabade liikmete veergu:

Selle tähise korral arvutatakse tundmatud muutujad, kasutades Crameri meetodi valemeid as . Nii leitakse Crameri meetodi abil lahendus lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemile.

Näide.

Crameri meetod .

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm . Arvutame selle determinandi (vajadusel vaadake artiklit):

Kuna süsteemi põhimaatriksi determinant on nullist erinev, on süsteemil ainulaadne lahendus, mille saab leida Crameri meetodil.

Koostame ja arvutame välja vajalikud determinandid (determinandi saame, kui asendame maatriksi A esimese veeru vabade liikmete veeruga, determinandi, asendades teise veeru vabade liikmete veeruga ja maatriksi A kolmanda veeru asendades vabade liikmete veeruga) :

Tundmatute muutujate leidmine valemite abil :

Vastus:

Crameri meetodi peamiseks puuduseks (kui seda võib nimetada puuduseks) on determinantide arvutamise keerukus, kui võrrandite arv süsteemis on suurem kui kolm.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine maatriksmeetodil (pöördmaatriksi abil).

Olgu lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem antud maatriksi kujul, kus maatriksi A mõõtmed on n korda n ja selle determinant on nullist erinev.

Kuna Maatriks A on inverteeritav, see tähendab, et on olemas pöördmaatriks. Kui korrutada võrdsuse mõlemad pooled vasakpoolsega, saame valemi tundmatute muutujate maatriks-veeru leidmiseks. Nii saime maatriksmeetodil lahenduse lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemile.

Näide.

Lahendage lineaarvõrrandisüsteem maatriks meetod.

Lahendus.

Kirjutame võrrandisüsteemi ümber maatriksi kujul:

Sest

siis saab SLAE-d lahendada maatriksmeetodi abil. Kasutades pöördmaatriksit, võib selle süsteemi lahenduse leida järgmiselt .

Koostame maatriksi A elementide algebralistest liitmistest maatriksi abil pöördmaatriksi (vajadusel vaata artiklit):

Jääb üle arvutada tundmatute muutujate maatriks pöördmaatriksi korrutamise teel vabaliikmete maatriks-veerule (vajadusel vaadake artiklit):

Vastus:

või mõnes teises tähises x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemidele maatriksmeetodi abil lahenduste leidmisel on põhiprobleemiks pöördmaatriksi leidmise keerukus, eriti kolmandast kõrgema järgu ruutmaatriksite puhul.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil.

Oletame, et peame leidma lahenduse n lineaarse võrrandi süsteemile, millel on n tundmatu muutuja
mille põhimaatriksi determinant erineb nullist.

Gaussi meetodi olemus koosneb tundmatute muutujate järjestikusest kõrvaldamisest: esiteks jäetakse süsteemi kõigist võrranditest välja x 1, alustades teisest, seejärel jäetakse x 2 kõigist võrranditest välja, alustades kolmandast jne, kuni jääb alles ainult tundmatu muutuja x n. viimases võrrandis. Seda süsteemivõrrandite teisendamise protsessi tundmatute muutujate järjestikuseks kõrvaldamiseks nimetatakse otsene Gaussi meetod. Pärast Gaussi meetodi ettepoole suunatud käigu lõpetamist leitakse x n viimasest võrrandist, kasutades seda eelviimase võrrandi väärtust, arvutatakse x n-1 jne, x 1 leitakse esimesest võrrandist. Tundmatute muutujate arvutamise protsessi süsteemi viimaselt võrrandilt esimesele liikumisel nimetatakse Gaussi meetodi pöördvõrdeline.

Kirjeldame lühidalt tundmatute muutujate kõrvaldamise algoritmi.

Eeldame, et , kuna me saame selle alati saavutada süsteemi võrrandite ümberkorraldamisega. Eemaldame süsteemi kõigist võrranditest tundmatu muutuja x 1, alustades teisest. Selleks liidame süsteemi teisele võrrandile esimese, korrutatuna -ga, kolmandale võrrandile liidame esimese, korrutatuna -ga ja nii edasi, n-ndale võrrandile liidame esimese, korrutatuna . Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus ja .

Oleksime jõudnud sama tulemuseni, kui oleksime x 1 väljendanud süsteemi esimeses võrrandis teiste tundmatute muutujate kaudu ja asendanud saadud avaldise kõigi teiste võrranditega. Seega jäetakse muutuja x 1 kõigist võrranditest välja, alates teisest.

Järgmisena jätkame sarnaselt, kuid ainult osaga saadud süsteemist, mis on joonisel märgitud

Selleks liidame süsteemi kolmandale võrrandile teise, korrutatuna -ga, neljandale võrrandile teise, korrutatuna -ga ja nii edasi, n-ndale võrrandile liidame teise, korrutatuna -ga. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus ja . Seega jäetakse muutuja x 2 kõigist võrranditest välja, alates kolmandast.

Järgmisena jätkame tundmatu x 3 kõrvaldamisega, samal ajal toimime sarnaselt joonisel märgitud süsteemiosaga

Seega jätkame Gaussi meetodi otsest edenemist, kuni süsteem võtab kuju

Sellest hetkest alustame Gaussi meetodi vastupidist: arvutame x n viimasest võrrandist kui , kasutades saadud x n väärtust, leiame eelviimasest võrrandist x n-1 ja nii edasi, leiame esimesest võrrandist x 1 .

Näide.

Lahendage lineaarvõrrandisüsteem Gaussi meetod.

Lahendus.

Jätame süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist välja tundmatu muutuja x 1. Selleks lisame teise ja kolmanda võrrandi mõlemale poolele esimese võrrandi vastavad osad, korrutatuna vastavalt ja:

Nüüd eemaldame x 2 kolmandast võrrandist, lisades selle vasakule ja paremale küljele teise võrrandi vasaku ja parema külje, korrutades:

Sellega lõpetatakse Gaussi meetodi edasikäik;

Saadud võrrandisüsteemi viimasest võrrandist leiame x 3:

Teisest võrrandist saame .

Esimesest võrrandist leiame järelejäänud tundmatu muutuja ja lõpetame sellega Gaussi meetodi vastupidise variandi.

Vastus:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine.

Üldiselt ei lange süsteemi p võrrandite arv kokku tundmatute muutujate arvuga n:

Sellistel SLAE-del ei pruugi olla lahendusi, neil võib olla üks lahendus või lõpmatult palju lahendusi. See väide kehtib ka võrrandisüsteemide kohta, mille põhimaatriks on ruut ja ainsus.

Kronecker-Capelli teoreem.

Enne lineaarvõrrandisüsteemi lahenduse leidmist on vaja kindlaks teha selle ühilduvus. Küsimusele, millal SLAE on ühilduv ja millal vastuoluline, annab vastuse Kronecker-Capelli teoreem:
Selleks, et n tundmatuga p võrrandite süsteem (p võib olla võrdne n-ga) oleks järjekindel, on vajalik ja piisav, et süsteemi põhimaatriksi auaste oleks võrdne laiendatud maatriksi astmega, st. , Aste(A)=Aste(T).

Vaatleme näiteks Kroneckeri–Capelli teoreemi rakendamist lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvuse määramiseks.

Näide.

Uurige, kas lineaarvõrrandisüsteemil on lahendusi.

Lahendus.

. Kasutame alaealiste piiritlemise meetodit. Teise järgu alaealine nullist erinev. Vaatame sellega piirnevaid kolmanda järgu alaealisi:

Kuna kõik kolmanda järgu piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, on põhimaatriksi auaste võrdne kahega.

Omakorda laiendatud maatriksi auaste on võrdne kolmega, kuna moll on kolmandat järku

nullist erinev.

Seega Vahemik (A), seega võime Kroneckeri-Capelli teoreemi kasutades järeldada, et algne lineaarvõrrandisüsteem on vastuolus.

Vastus:

Süsteemil pole lahendusi.

Niisiis, oleme õppinud tuvastama süsteemi ebakõla Kroneckeri-Capelli teoreemi abil.

Aga kuidas leida lahendus SLAE-le, kui selle ühilduvus on kindlaks tehtud?

Selleks vajame maatriksi alusmolli mõistet ja teoreemi maatriksi järgu kohta.

Maatriksi A kõrgeima järgu molli, mis erineb nullist, kutsutakse põhilised.

Põhimolli definitsioonist järeldub, et selle järjekord on võrdne maatriksi auastmega. Nullist erineva maatriksi puhul võib olla mitu põhimolli, alati on üks põhimoll.

Mõelge näiteks maatriksile .

Kõik selle maatriksi kolmandat järku minoorsed väärtused on võrdsed nulliga, kuna selle maatriksi kolmanda rea ​​elemendid on esimese ja teise rea vastavate elementide summa.

Järgmised teist järku alaealised on põhilised, kuna need on nullist erinevad

Alaealised ei ole põhilised, kuna need on võrdsed nulliga.

Maatriksjärgu teoreem.

Kui maatriksi järjestus p võrra n on võrdne r-ga, siis kõik maatriksi rea (ja veeru) elemendid, mis ei moodusta valitud põhimollori, väljendatakse lineaarselt vastavate rea (ja veeru) elementidena. alus alaealine.

Mida ütleb meile maatriksi auaste teoreem?

Kui oleme Kroneckeri–Capelli teoreemi järgi tuvastanud süsteemi ühilduvuse, siis valime süsteemi põhimaatriksist suvalise alusmolli (selle järjekord on võrdne r-ga) ja jätame süsteemist välja kõik võrrandid, mis seda teevad. ei moodusta valitud põhimolli. Sel viisil saadud SLAE on samaväärne esialgsega, kuna kõrvalejäetud võrrandid on endiselt üleliigsed (maatriksi järgu teoreemi järgi on need ülejäänud võrrandite lineaarne kombinatsioon).

Selle tulemusena on pärast süsteemi mittevajalike võrrandite kõrvalejätmist võimalik kaks juhtumit.

Kui saadud süsteemis on võrrandite arv r võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on see kindel ja ainsa lahenduse saab leida Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Näide.

.

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksi järjestus on võrdne kahega, kuna moll on teist järku nullist erinev. Laiendatud maatriksi järjestus on samuti võrdne kahega, kuna ainus kolmanda järgu moll on null

ja eespool käsitletud teist järku moll erineb nullist. Kroneckeri–Capelli teoreemi põhjal saame väita algse lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvust, kuna Rank(A)=Aste(T)=2.

Aluseks võtame molli . See moodustub esimese ja teise võrrandi koefitsientidest:


Süsteemi kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamisel, seega jätame selle maatriksi järgu teoreemi alusel süsteemist välja:


Nii saime lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi. Lahendame selle Crameri meetodil:


Vastus:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Kui saadud SLAE võrrandite arv r on väiksem kui tundmatute muutujate arv n, siis jätame võrrandite vasakule poolele baasi moodustavad liikmed minoorseks ja kanname ülejäänud liikmed üle valemi paremale küljele. vastasmärgiga süsteemi võrrandid.

Nimetatakse tundmatuid muutujaid (r neist), mis jäävad võrrandite vasakule küljele peamine.

Nimetatakse tundmatuid muutujaid (seal on n - r tükki), mis asuvad paremal pool tasuta.

Nüüd usume, et vabad tundmatud muutujad võivad võtta suvalisi väärtusi, samas kui r peamist tundmatut muutujat väljendatakse vabade tundmatute muutujate kaudu ainulaadsel viisil. Nende väljenduse saab leida, lahendades saadud SLAE, kasutades Crameri meetodit, maatriksmeetodit või Gaussi meetodit.

Vaatame seda näitega.

Näide.

Lahendage lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem .

Lahendus.

Leiame süsteemi põhimaatriksi auastme alaealiste piiritlemise meetodil. Võtame 1 1 = 1 kui nullist erinevat esimest järku minoori. Alustame selle molliga piirneva teist järku nullist erineva molli otsimist:


Nii leidsime teist järku nullist erineva molli. Hakkame otsima kolmandat järku nullist erineva piiriga molli:


Seega on põhimaatriksi auaste kolm. Laiendatud maatriksi auaste on samuti võrdne kolmega, see tähendab, et süsteem on järjekindel.

Võtame aluseks leitud kolmanda järgu nullist erineva molli.

Selguse huvides näitame elemente, mis moodustavad põhialuse:


Jätame süsteemivõrrandite vasakusse serva alus-molli kaasatud terminid ja kanname ülejäänud vastasmärkidega paremale poole:


Anname vabadele tundmatutele muutujatele x 2 ja x 5 suvalised väärtused, st aktsepteerime , kus on suvalised arvud. Sel juhul võtab SLAE vormi


Lahendame saadud lineaarsete algebraliste võrrandite elementaarsüsteemi Crameri meetodi abil:


Seega,.

Ärge unustage oma vastuses märkida tasuta tundmatuid muutujaid.

Vastus:

Kus on suvalised arvud.

Tehke kokkuvõte.

Üldiste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks määrame kõigepealt kindlaks selle ühilduvuse Kroneckeri-Capelli teoreemi abil. Kui põhimaatriksi auaste ei ole võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis järeldame, et süsteem ei ühildu.

Kui põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis valime alus-molli ja jätame kõrvale süsteemi võrrandid, mis ei osale valitud alus-molli moodustamisel.

Kui alusmolli järjekord on võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on SLAE-l unikaalne lahendus, mille saab leida mistahes meile teadaoleva meetodiga.

Kui alusminoori järjekord on väiksem kui tundmatute muutujate arv, siis jätame süsteemivõrrandite vasakule poolele põhitundmatute muutujatega terminid, kanname ülejäänud liikmed paremale poole ja anname suvalised väärtused. vabad tundmatud muutujad. Saadud lineaarvõrrandisüsteemist leiame peamised tundmatud muutujad, kasutades Crameri meetodit, maatriksmeetodit või Gaussi meetodit.

Gaussi meetod üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Gaussi meetodit saab kasutada mis tahes tüüpi lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks ilma nende ühilduvust kontrollimata. Tundmatute muutujate järjestikuse kõrvaldamise protsess võimaldab teha järelduse nii SLAE ühilduvuse kui ka mittesobivuse kohta ning kui lahendus on olemas, siis see võimaldab ka selle leida.

Arvutuslikust seisukohast on eelistatavam Gaussi meetod.

Vaata selle üksikasjalikku kirjeldust ja analüüsitud näiteid artiklist Gaussi meetod üldiste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Homogeensete ja ebahomogeensete lineaarsete algebrasüsteemide üldlahenduse kirjutamine, kasutades põhilahenduste süsteemi vektoreid.

Selles osas räägime samaaegsetest homogeensetest ja mittehomogeensetest lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemidest, millel on lõpmatu arv lahendeid.

Kõigepealt käsitleme homogeenseid süsteeme.

Fundamentaalne lahenduste süsteem n tundmatu muutujaga p lineaarsete algebraliste võrrandite homogeenne süsteem on selle süsteemi (n – r) lineaarselt sõltumatute lahendite kogum, kus r on süsteemi põhimaatriksi alusmolli järjekord.

Kui tähistame homogeense SLAE lineaarselt sõltumatuid lahendusi kui X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) on veerulised maatriksid mõõtmega n 1) , siis on selle homogeense süsteemi üldlahend kujutatud põhilahenduste süsteemi vektorite lineaarse kombinatsioonina suvaliste konstantsete koefitsientidega C 1, C 2, ..., C (n-r), st .

Mida tähendab mõiste homogeense lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (oroslau) üldlahend?

Tähendus on lihtne: valem määrab ära kõik võimalikud algse SLAE lahendused, teisisõnu, võttes valemi abil suvaliste konstantide C 1, C 2, ..., C (n-r) väärtuste komplekti. saada üks algse homogeense SLAE lahustest.

Seega, kui leiame fundamentaalse lahenduste süsteemi, saame kõik selle homogeense SLAE lahendused defineerida kui .

Näidakem homogeense SLAE põhilahenduste süsteemi konstrueerimise protsessi.

Valime algse lineaarvõrrandisüsteemi alusmolli, jätame süsteemist välja kõik muud võrrandid ja kanname kõik vabu tundmatuid muutujaid sisaldavad liikmed vastasmärgiga võrrandite parempoolsetele külgedele. Anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 1,0,0,...,0 ja arvutame peamised tundmatud, lahendades saadud lineaarvõrrandi elementaarsüsteemi mis tahes viisil, näiteks Crameri meetodi abil. Selle tulemuseks on X (1) – põhisüsteemi esimene lahendus. Kui anname vabadele tundmatutele väärtused 0,1,0,0,…,0 ja arvutame peamised tundmatud, saame X (2) . Ja nii edasi. Kui omistame vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 0,0,...,0,1 ja arvutame peamised tundmatud, saame X (n-r) . Sel viisil konstrueeritakse homogeense SLAE põhilahenduste süsteem ja selle üldlahenduse saab kirjutada kujul .

Lineaarsete algebraliste võrrandite ebahomogeensete süsteemide korral esitatakse üldlahend kujul , kus on vastava homogeense süsteemi üldlahend ja algse mittehomogeense SLAE konkreetne lahendus, mille saame vabadele tundmatutele väärtused andes. ​0,0,...,0 ja peamiste tundmatute väärtuste arvutamine.

Vaatame näiteid.

Näide.

Leia põhilahenduste süsteem ja homogeense lineaaralgebralise võrrandisüsteemi üldlahendus .

Lahendus.

Homogeensete lineaarvõrrandisüsteemide põhimaatriksi järg on alati võrdne laiendatud maatriksi astmega. Leiame alaealiste ääristamise meetodil põhimaatriksi auaste. Esimest järku nullist erineva minoorina võtame süsteemi põhimaatriksi elemendi a 1 1 = 9. Leiame teist järku piirneva nullist erineva molli:

Leiti nullist erinev teist järku moll. Vaatame nullist erinevat otsides läbi sellega piirnevad kolmanda järgu alaealised:

Kõik kolmandat järku piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, seetõttu on põhi- ja laiendatud maatriksi auaste võrdne kahega. Võtame . Selguse huvides märgime selle moodustava süsteemi elemendid:

Algse SLAE kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamisel, seetõttu võib selle välistada:

Peamisi tundmatuid sisaldavad terminid jätame võrrandite paremale poolele ja vabade tundmatutega terminid kanname paremale poole:

Koostagem algse homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste põhisüsteem. Selle SLAE põhilahenduste süsteem koosneb kahest lahendusest, kuna algne SLAE sisaldab nelja tundmatut muutujat ja selle põhimollide järjekord on võrdne kahega. X (1) leidmiseks anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused x 2 = 1, x 4 = 0, seejärel leiame võrrandisüsteemist peamised tundmatud
.