រូបមន្តសម្រាប់ធ្វើឱ្យសមីការការ៉េសាមញ្ញ។ សមីការ​ការ៉េ

" នោះគឺសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីមួយ។ នៅក្នុងមេរៀននេះយើងនឹងពិនិត្យមើល អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​សមីការ​ការ៉េនិងរបៀបដោះស្រាយវា។

តើសមីការការ៉េជាអ្វី?

សំខាន់!

កំរិតនៃសមីការត្រូវបានកំណត់ដោយកំរិតខ្ពស់បំផុតដែលមិនស្គាល់ឈរ។

ប្រសិនបើថាមពលអតិបរមាដែលមិនស្គាល់គឺ "2" នោះអ្នកមានសមីការបួនជ្រុង។

ឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េ

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

សំខាន់! ទម្រង់ទូទៅនៃសមីការការ៉េមើលទៅដូចនេះ៖

A x 2 + b x + c = 0

• “a” គឺជាមេគុណទីមួយ ឬខ្ពស់បំផុត។
• “b” គឺជាមេគុណទីពីរ;
• "c" គឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ។

ដើម្បីស្វែងរក "a", "b" និង "c" អ្នកត្រូវប្រៀបធៀបសមីការរបស់អ្នកជាមួយនឹងទម្រង់ទូទៅនៃសមីការការ៉េ "ax 2 + bx + c = 0" ។

ចូរយើងអនុវត្តការកំណត់មេគុណ "a", "b" និង "c" នៅក្នុងសមីការការ៉េ។

• a = −1
• b = ១
• គ =

  1

  3

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

វិធីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង

មិនដូចសមីការលីនេអ៊ែរទេ វិធីសាស្ត្រពិសេសមួយត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ រូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកឫស.

ចាំ!

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េអ្នកត្រូវការ៖

• នាំយកសមីការការ៉េទៅជាទម្រង់ទូទៅ "ax 2 + bx + c = 0" ។ នោះគឺមានតែ "0" ប៉ុណ្ណោះដែលគួរតែនៅខាងស្តាំ។
• ប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫស៖

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃរបៀបប្រើរូបមន្តដើម្បីស្វែងរកឫសនៃសមីការការ៉េ។ តោះដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

X 2 − 3x − 4 = 0

សមីការ “x 2 − 3x − 4 = 0” ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ទូទៅ “ax 2 + bx + c = 0” ហើយមិនត្រូវការភាពសាមញ្ញបន្ថែមទេ។ ដើម្បីដោះស្រាយវាយើងគ្រាន់តែត្រូវដាក់ពាក្យ រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫសនៃសមីការការ៉េ.

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់មេគុណ "a", "b" និង "c" សម្រាប់សមីការនេះ។

វាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េណាមួយ។

នៅក្នុងរូបមន្ត “x 1; 2 =” កន្សោមរ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានជំនួសជាញឹកញាប់
“b 2 − 4ac” សម្រាប់អក្សរ “D” ហើយត្រូវបានគេហៅថារើសអើង។ គោលគំនិតនៃអ្នករើសអើងត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងមេរៀន "អ្វីជាការរើសអើង"។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃសមីការការ៉េ។

x 2 + 9 + x = 7x

ក្នុងទម្រង់នេះ វាពិតជាលំបាកណាស់ក្នុងការកំណត់មេគុណ "a", "b" និង "c" ។ ដំបូងយើងកាត់បន្ថយសមីការទៅជាទម្រង់ទូទៅ “ax 2 + bx + c = 0” ។

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

ឥឡូវនេះអ្នកអាចប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫស។

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

មានពេលខ្លះដែលសមីការ quadratic មិនមានឫសគល់។ ស្ថានភាពនេះកើតឡើងនៅពេលដែលរូបមន្តមានលេខអវិជ្ជមាននៅក្រោមឫស។

យើងបន្តសិក្សាលើប្រធានបទ " ការដោះស្រាយសមីការ" យើងបានស្គាល់សមីការលីនេអ៊ែររួចហើយ ហើយកំពុងបន្តទៅស្គាល់ សមីការ​ការ៉េ.

ជាដំបូង យើងនឹងពិនិត្យមើលថាតើសមីការបួនជ្រុងជាអ្វី របៀបដែលវាត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ទូទៅ និងផ្តល់និយមន័យដែលពាក់ព័ន្ធ។ បន្ទាប់ពីនេះ យើងនឹងប្រើឧទាហរណ៍ដើម្បីពិនិត្យមើលលម្អិតអំពីរបៀបដែលសមីការការ៉េមិនពេញលេញត្រូវបានដោះស្រាយ។ បន្ទាប់មក យើងនឹងបន្តទៅការដោះស្រាយសមីការពេញលេញ ទទួលបានរូបមន្តឫសគល់ ស្គាល់អ្នករើសអើងនៃសមីការការ៉េ និងពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ធម្មតា។ ជាចុងក្រោយ ចូរយើងតាមដានទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណ។

ការរុករកទំព័រ។

តើសមីការការ៉េជាអ្វី? ប្រភេទរបស់ពួកគេ។

ដំបូង​អ្នក​ត្រូវ​យល់​ច្បាស់​ថា​អ្វី​ជា​សមីការ​បួន​ជ្រុង។ ដូច្នេះ វាសមហេតុផលក្នុងការចាប់ផ្តើមការសន្ទនាអំពីសមីការការ៉េជាមួយនឹងនិយមន័យនៃសមីការការ៉េ ក៏ដូចជានិយមន័យដែលពាក់ព័ន្ធ។ បន្ទាប់ពីនេះ អ្នកអាចពិចារណាអំពីប្រភេទសំខាន់ៗនៃសមីការការ៉េ៖ កាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយ ក៏ដូចជាសមីការពេញលេញនិងមិនពេញលេញ។

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េ

និយមន័យ។

សមីការ​ការ៉េគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + b x + c = 0ដែល x ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន ហើយ a គឺមិនមែនសូន្យ។

ចូរនិយាយភ្លាមៗថា សមីការ quadratic ត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃដឺក្រេទីពីរ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាសមីការ quadratic គឺ សមីការពិជគណិតសញ្ញាបត្រទីពីរ។

និយមន័យដែលបានបញ្ជាក់អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េ។ ដូច្នេះ 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 ។ល។ ទាំងនេះគឺជាសមីការការ៉េ។

និយមន័យ។

លេខ a, b និង c ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណនៃសមីការការ៉េ a·x 2 +b·x+c=0 ហើយមេគុណ a ត្រូវបានគេហៅថាទីមួយ ឬខ្ពស់បំផុត ឬមេគុណ x 2 b គឺជាមេគុណទីពីរ ឬមេគុណ x ហើយ c គឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ .

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េនៃទម្រង់ 5 x 2 −2 x −3=0 នៅទីនេះ មេគុណនាំមុខគឺ 5 មេគុណទីពីរគឺស្មើនឹង −2 ហើយពាក្យទំនេរគឺស្មើនឹង −3 ។ សូមចំណាំថានៅពេលដែលមេគុណ b និង/ឬ c គឺអវិជ្ជមាន ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ទើបតែបានផ្ដល់ឱ្យ ទម្រង់ខ្លីនៃសមីការការ៉េគឺ 5 x 2 −2 x−3=0 ជាជាង 5 x 2 +(−2) · x+(−3)=0 ។

គួរកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលមេគុណ a និង/ឬ b ស្មើនឹង 1 ឬ −1 នោះជាធម្មតាពួកវាមិនមានវត្តមានយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងសមីការការ៉េដែលបណ្តាលមកពីភាពពិសេសនៃការសរសេរបែបនេះ។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសមីការការ៉េ y 2 −y + 3=0 មេគុណនាំមុខគឺមួយ ហើយមេគុណនៃ y គឺស្មើនឹង −1 ។

សមីការ quadratic កាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយ

អាស្រ័យលើតម្លៃនៃមេគុណនាំមុខ សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយត្រូវបានសម្គាល់។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដែលត្រូវគ្នា។

និយមន័យ។

សមីការ quadratic ដែលមេគុណនាំមុខគឺ 1 ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​. បើមិនដូច្នោះទេសមីការការ៉េគឺ មិនបានប៉ះ.

យោងតាមនិយមន័យនេះ សមីការការ៉េ x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 ។ល។ - បានផ្តល់ឱ្យ ក្នុងពួកវានីមួយៗ មេគុណទីមួយគឺស្មើនឹងមួយ។ A 5 x 2 −x −1 = 0 ។ល។ - សមីការ​ការ៉េ​ដែល​មិន​បាន​កាត់​បន្ថយ មេគុណ​ឈាន​មុខ​គេ​គឺ​ខុស​ពី 1 ។

ពីសមីការ quadratic ដែលមិនកាត់បន្ថយណាមួយ ដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយមេគុណនាំមុខ អ្នកអាចទៅកាត់បន្ថយមួយ។ សកម្មភាពនេះគឺជាការបំប្លែងសមមូល ពោលគឺសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយដែលទទួលបានតាមវិធីនេះមានឫសដូចគ្នាទៅនឹងសមីការការ៉េដែលមិនកាត់បន្ថយដើម ឬដូចជាវាមិនមានឫសគល់។

ចូរយើងក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយអំពីរបៀបដែលការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការ quadratic ដែលមិនកាត់បន្ថយទៅជាកាត់បន្ថយត្រូវបានអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍។

ពីសមីការ 3 x 2 +12 x−7=0 ទៅកាន់សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយដែលត្រូវគ្នា។

ដំណោះស្រាយ។

យើងគ្រាន់តែត្រូវបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយមេគុណនាំមុខ 3 វាមិនមែនជាសូន្យ ដូច្នេះយើងអាចអនុវត្តសកម្មភាពនេះបាន។ យើងមាន (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ដែលដូចគ្នា (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ហើយបន្ទាប់មក (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 ពីណា។ នេះ​ជា​របៀប​ដែល​យើង​ទទួល​បាន​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​កាត់​បន្ថយ ដែល​ស្មើ​នឹង​លេខ​ដើម។

ចម្លើយ៖

សមីការ​ក្រឡា​ចត្រង្គ​ពេញលេញ និង​មិន​ពេញលេញ

និយមន័យនៃសមីការការ៉េមានលក្ខខណ្ឌ a≠0។ លក្ខខណ្ឌនេះគឺចាំបាច់ដើម្បីឱ្យសមីការ a x 2 + b x + c = 0 គឺ quadratic ចាប់តាំងពីពេលដែល a = 0 វាពិតជាក្លាយជាសមីការលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ b x + c = 0 ។

ចំពោះមេគុណ b និង c ពួកគេអាចស្មើនឹងសូន្យ ទាំងបុគ្គល និងរួមគ្នា។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ។

និយមន័យ។

សមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 ត្រូវបានហៅ មិនពេញលេញប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយ b, c គឺស្មើនឹងសូន្យ។

នៅក្នុងវេនរបស់វា។

និយមន័យ។

បញ្ចប់សមីការការ៉េគឺជាសមីការដែលមេគុណទាំងអស់ខុសពីសូន្យ។

ឈ្មោះបែបនេះមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយចៃដន្យទេ។ វានឹងក្លាយជាច្បាស់ពីការពិភាក្សាខាងក្រោម។

ប្រសិនបើមេគុណ b ជាសូន្យ នោះសមីការការ៉េយកទម្រង់ ax 2 +0·x+c=0 ហើយវាស្មើនឹងសមីការ a·x 2 +c=0 ។ ប្រសិនបើ c=0 នោះគឺសមីការការ៉េមានទម្រង់ ax 2 +b·x+0=0 នោះវាអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា·x 2 +b·x=0 ។ ហើយជាមួយ b=0 និង c=0 យើងទទួលបានសមីការការ៉េ ax 2 = 0 ។ សមីការលទ្ធផលខុសពីសមីការការ៉េពេញលេញ ដែលផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់ពួកគេមិនមានទាំងពាក្យដែលមានអថេរ x ឬពាក្យឥតគិតថ្លៃ ឬទាំងពីរ។ ដូច្នេះឈ្មោះរបស់ពួកគេ - សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ដូច្នេះសមីការ x 2 +x+1=0 និង −2 x 2 −5 x+0.2=0 គឺជាឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េពេញលេញ និង x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x = 0 គឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ

ពីព័ត៌មាននៅក្នុងកថាខណ្ឌមុនវាដូចខាងក្រោមថាមាន សមីការការ៉េមិនពេញលេញបីប្រភេទ:

• a·x 2 = 0, មេគុណ b=0 និង c=0 ត្រូវគ្នានឹងវា;
• a x 2 +c=0 ពេល b=0 ;
• និង ax 2 +b·x=0 នៅពេល c=0 ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលតាមលំដាប់លំដោយថាតើសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃប្រភេទនីមួយៗនេះត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងដូចម្តេច។

a x 2 = 0

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ដែលមេគុណ b និង c ស្មើនឹងសូន្យ នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 = 0 ។ សមីការ ax 2 = 0 គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0 ដែលទទួលបានពីដើមដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយចំនួនមិនសូន្យ a ។ ជាក់ស្តែង ឫសនៃសមីការ x 2 = 0 គឺសូន្យ ចាប់តាំងពី 0 2 = 0 ។ សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាសម្រាប់លេខដែលមិនសូន្យ p វិសមភាព p 2 > 0 ទទួលបាន ដែលមានន័យថាសម្រាប់ p≠0 សមភាព p 2 = 0 គឺមិនដែលសម្រេចបាន។

ដូច្នេះ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a·x 2 = 0 មានឫសតែមួយ x=0 ។

ជាឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ −4 x 2 = 0 ។ វាស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0 ឫសតែមួយគត់របស់វាគឺ x = 0 ដូច្នេះសមីការដើមមានឫសតែមួយសូន្យ។

ដំណោះស្រាយខ្លីក្នុងករណីនេះអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0 ។

a x 2 + c = 0

ឥឡូវសូមមើលពីរបៀបដែលសមីការ quadratic មិនពេញលេញត្រូវបានដោះស្រាយ ដែលមេគុណ b គឺសូន្យ និង c≠0 នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + c = 0 ។ យើងដឹងថាការផ្លាស់ទីពាក្យមួយពីផ្នែកម្ខាងនៃសមីការទៅម្ខាងទៀតដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ក៏ដូចជាការបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយលេខមិនសូន្យ ផ្តល់សមីការសមមូល។ ដូច្នេះ យើងអាចអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលខាងក្រោមនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 +c=0៖

• ផ្លាស់ទី c ទៅខាងស្តាំ ដែលផ្តល់សមីការ a x 2 = −c,
• ហើយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ a យើងទទួលបាន។

សមីការលទ្ធផលអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីឫសគល់របស់វា។ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃ a និង c តម្លៃនៃកន្សោមអាចជាអវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a=1 និង c=2 បន្ទាប់មក) ឬវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a=−2 និង c=6, បន្ទាប់មក ) វាមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ព្រោះតាមលក្ខខណ្ឌ c≠0។ សូមក្រឡេកមើលករណីដោយឡែកពីគ្នា។

ប្រសិនបើ នោះសមីការមិនមានឫសគល់ទេ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាការេនៃចំនួនណាមួយគឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន។ វាកើតឡើងពីនេះថានៅពេលណា នោះសម្រាប់លេខណាមួយ p សមភាពមិនអាចក្លាយជាការពិតបានទេ។

ប្រសិនបើ នោះស្ថានភាពដែលមានឫសគល់នៃសមីការគឺខុសគ្នា។ ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើយើងចងចាំអំពី នោះឫសនៃសមីការនឹងច្បាស់ភ្លាមៗ វាគឺជាលេខចាប់តាំងពី . វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាលេខក៏ជាឫសគល់នៃសមីការដែរ ជាការពិត។ សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលអាចបង្ហាញជាឧទាហរណ៍ដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ តោះ​ធ្វើ​វា។

ចូរយើងសម្គាល់ឫសនៃសមីការដែលទើបតែប្រកាសថាជា x 1 និង −x 1 ។ ឧបមាថាសមីការមានឫស x 2 មួយទៀត ខុសពីឫសដែលបានចង្អុលបង្ហាញ x 1 និង −x 1 ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាការជំនួសឫសរបស់វាទៅជាសមីការជំនួសឱ្យ x បង្វែរសមីការទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ សម្រាប់ x 1 និង −x 1 យើងមាន ហើយសម្រាប់ x 2 យើងមាន។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខអនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តការដកតាមកាលកំណត់នៃសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ ដូច្នេះការដកផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមភាពផ្តល់ឱ្យ x 1 2 −x 2 2 = 0 ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយលេខអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពលទ្ធផលជា (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 ។ យើងដឹងថាផលគុណនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះពីសមភាពលទ្ធផល វាធ្វើតាមថា x 1 −x 2 = 0 និង/ឬ x 1 + x 2 = 0 ដែលដូចគ្នា x 2 = x 1 និង/ឬ x 2 = −x 1 ។ ដូច្នេះ​យើង​បាន​ឈាន​ដល់​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា ចាប់​តាំង​ពី​ដើម​ដំបូង​យើង​បាន​និយាយ​ថា ឫស​នៃ​សមីការ x 2 គឺ​ខុស​ពី x 1 និង −x 1 ។ នេះបង្ហាញថាសមីការមិនមានឫសអ្វីក្រៅពី និង .

ចូរយើងសង្ខេបព័ត៌មាននៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះ។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + c=0 គឺស្មើនឹងសមីការដែល

• មិនមានឫសប្រសិនបើ
• មានឫសពីរហើយប្រសិនបើ .

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +c=0 ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយសមីការការ៉េ 9 x 2 +7 = 0 ។ បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីពាក្យទំនេរទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ វានឹងយកទម្រង់ 9 x 2 = −7 ។ ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការលទ្ធផលដោយ 9 យើងមកដល់។ ដោយសារផ្នែកខាងស្តាំមានលេខអវិជ្ជមាន សមីការនេះមិនមានឫសគល់ទេ ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើម 9 x 2 +7 = 0 មិនមានឫសទេ។

ចូរដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញមួយផ្សេងទៀត −x 2 +9=0 ។ យើងផ្លាស់ទីប្រាំបួនទៅខាងស្តាំ៖ −x 2 = −9 ។ ឥឡូវនេះយើងបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ −1 យើងទទួលបាន x 2 = 9 ។ នៅជ្រុងខាងស្តាំមានលេខវិជ្ជមាន ដែលយើងសន្និដ្ឋានថា ឬ . បន្ទាប់មកយើងសរសេរចម្លើយចុងក្រោយ៖ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ −x 2 +9=0 មានឫសពីរ x=3 ឬ x=−3 ។

a x 2 + b x = 0

វានៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃប្រភេទចុងក្រោយនៃសមីការ quadratic មិនពេញលេញសម្រាប់ c=0។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ a x 2 + b x = 0 អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយ វិធីសាស្រ្តកត្តា. ជាក់ស្តែង យើងអាចស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដែលវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការយកកត្តារួម x ចេញពីតង្កៀប។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្លាស់ទីពីសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើមទៅសមីការសមមូលនៃទម្រង់ x·(a·x+b)=0 ។ ហើយសមីការនេះគឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការពីរ x=0 និង a·x+b=0 ដែលជាសមីការបន្ទាប់គឺលីនេអ៊ែរ និងមានឫស x=−b/a។

ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ax 2 +b·x=0 មានឫសពីរ x=0 និង x=−b/a ។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈយើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយទៅនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ។

ដំណោះស្រាយ។

ការយក x ចេញពីតង្កៀបផ្តល់សមីការ។ វាស្មើនឹងសមីការពីរ x=0 និង . យើងដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរលទ្ធផល៖ ហើយដោយបែងចែកលេខចម្រុះដោយប្រភាគធម្មតា យើងរកឃើញ . ដូច្នេះឫសនៃសមីការដើមគឺ x=0 និង .

បន្ទាប់ពីទទួលបានការអនុវត្តចាំបាច់ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការបែបនេះអាចត្រូវបានសរសេរយ៉ាងខ្លី៖

ចម្លើយ៖

x=0 , ។

ការរើសអើង, រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មានរូបមន្តឫស។ ចូរយើងសរសេរវាចុះ រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ: , កន្លែងណា D=b 2 −4 a គ- ហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ. ធាតុសំខាន់មានន័យថា។

វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងពីរបៀបដែលរូបមន្តឫសគល់ត្រូវបានយកមក និងរបៀបដែលវាត្រូវបានប្រើក្នុងការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ ចូរយើងដោះស្រាយរឿងនេះ។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ឲ្យ​យើង​ត្រូវ​ដោះស្រាយ​សមីការ​រាង​បួន​ជ្រុង ax 2 +b·x+c=0 ។ ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលមួយចំនួន៖

• យើងអាចបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះដោយចំនួនមិនមែនសូន្យ a ដែលបណ្តាលឱ្យមានសមីការការ៉េដូចខាងក្រោម។
• ឥឡូវ​នេះ ជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញនៅផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វា៖ . បន្ទាប់ពីនេះ សមីការនឹងយកទម្រង់។
• ក្នុង​ដំណាក់​កាល​នេះ គេ​អាច​ផ្ទេរ​ពាក្យ​ពីរ​ចុង​ក្រោយ​ទៅ​ខាង​ស្ដាំ​ដែល​មាន​សញ្ញា​ផ្ទុយ​គ្នា​យើង​មាន។
• ហើយ​សូម​បំប្លែង​កន្សោម​ខាង​ស្តាំ​ផង៖ .

ជាលទ្ធផល យើងមកដល់សមីការដែលស្មើនឹងសមីការការ៉េដើម ax 2 +b·x+c=0 ។

យើង​បាន​ដោះស្រាយ​សមីការ​ដែល​ស្រដៀង​គ្នា​នៅ​ក្នុង​កថាខណ្ឌ​មុន​រួច​ហើយ នៅ​ពេល​ដែល​យើង​ពិនិត្យ។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោមទាក់ទងនឹងឫសនៃសមីការ៖

• ប្រសិនបើ នោះសមីការមិនមានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដ។
• ប្រសិនបើ នោះសមីការមានទម្រង់ ដូច្នេះហើយ ដែលឫសតែមួយគត់របស់វាអាចមើលឃើញ។
• ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក ឬ ដែលដូចគ្នានឹង ឬ នោះគឺសមីការមានឫសពីរ។

ដូច្នេះ វត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសគល់នៃសមីការ ហើយដូច្នេះសមីការការ៉េដើមគឺអាស្រ័យទៅលើសញ្ញានៃកន្សោមនៅខាងស្តាំ។ នៅក្នុងវេន សញ្ញានៃកន្សោមនេះត្រូវបានកំណត់ដោយសញ្ញានៃភាគយក ចាប់តាំងពីភាគបែង 4·a 2 តែងតែវិជ្ជមាន នោះគឺដោយសញ្ញានៃកន្សោម b 2 −4·a·c ។ កន្សោមនេះ b 2 −4 a c ត្រូវបានគេហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េនិងកំណត់ដោយលិខិត ឃ. ពីទីនេះខ្លឹមសារនៃការរើសអើងគឺច្បាស់លាស់ - ដោយផ្អែកលើតម្លៃ និងសញ្ញារបស់វា ពួកគេបានសន្និដ្ឋានថាតើសមីការបួនជ្រុងមានឫសគល់ពិតប្រាកដ ហើយប្រសិនបើដូច្នេះ តើលេខរបស់ពួកគេគឺជាអ្វី - មួយ ឬពីរ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការ ហើយសរសេរវាឡើងវិញដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់៖ . ហើយយើងធ្វើការសន្និដ្ឋាន៖

• ប្រសិនបើ D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការនេះមានឫសតែមួយ។
• ចុងក្រោយ ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការមានឫសពីរ ឬ ដែលអាចសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ឬ ហើយបន្ទាប់ពីពង្រីក និងនាំយកប្រភាគទៅជាភាគបែងធម្មតាដែលយើងទទួលបាន។

ដូច្នេះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ពួកវាមើលទៅដូចជា កន្លែងដែលការរើសអើង D ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត D=b 2 −4·a·c ។

ដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេ ជាមួយនឹងការរើសអើងវិជ្ជមាន អ្នកអាចគណនាឫសពិតទាំងពីរនៃសមីការការ៉េ។ នៅពេលដែលការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ រូបមន្តទាំងពីរផ្តល់តម្លៃដូចគ្នានៃឫស ដែលត្រូវនឹងដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះសមីការការ៉េ។ ហើយជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន នៅពេលព្យាយាមប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ យើងត្រូវប្រឈមមុខនឹងការដកឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមាន ដែលនាំយើងហួសពីវិសាលភាពនៃកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ ជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន សមីការបួនជ្រុងមិនមានឫសពិតទេ ប៉ុន្តែមានគូ conjugate ស្មុគស្មាញឫស ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តឫសដូចគ្នាដែលយើងទទួលបាន។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫស

នៅក្នុងការអនុវត្ត នៅពេលដោះស្រាយសមីការ quadratic អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត root ដើម្បីគណនាតម្លៃរបស់វា។ ប៉ុន្តែនេះទាក់ទងនឹងការស្វែងរកឫសស្មុគ្រស្មាញ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតរបស់សាលា យើងជាធម្មតានិយាយមិនអំពីភាពស្មុគស្មាញនោះទេ ប៉ុន្តែអំពីឫសគល់ពិតប្រាកដនៃសមីការបួនជ្រុង។ ក្នុងករណីនេះ គួរតែមុននឹងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ ដើម្បីស្វែងរកអ្នករើសអើងជាមុនសិន ត្រូវប្រាកដថាវាមិនអវិជ្ជមាន (បើមិនដូច្នេះទេ យើងអាចសន្និដ្ឋានថាសមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ)។ ហើយមានតែបន្ទាប់មកគណនាតម្លៃនៃឫស។

ហេតុផលខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរ ក្បួនដោះស្រាយសមីការការ៉េ. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 អ្នកត្រូវ៖

• ដោយប្រើរូបមន្តបែងចែក D=b 2 −4·a·c គណនាតម្លៃរបស់វា;
• សន្និដ្ឋានថាសមីការការ៉េមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ប្រសិនបើការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។
• គណនាឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្តប្រសិនបើ D=0;
• ស្វែងរកឫសពិតពីរនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫស ប្រសិនបើការរើសអើងមានលក្ខណៈវិជ្ជមាន។

នៅទីនេះយើងគ្រាន់តែចំណាំថា ប្រសិនបើការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ អ្នកក៏អាចប្រើរូបមន្តបានដែរ វានឹងផ្តល់តម្លៃដូចគ្នាទៅនឹង .

អ្នកអាចបន្តទៅឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ algorithm សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ចូរយើងពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការបួនជ្រុងដែលមានការរើសអើងវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន និងសូន្យ។ ដោយបានដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ ដោយភាពស្រដៀងគ្នា វានឹងអាចដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងផ្សេងទៀត។ តោះ​ចាប់ផ្ដើម។

ឧទាហរណ៍។

រកឫសនៃសមីការ x 2 +2·x−6=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

ក្នុងករណីនេះ យើងមានមេគុណនៃសមីការការ៉េដូចខាងក្រោមៈ a=1, b=2 និង c=−6 ។ យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយដំបូងអ្នកត្រូវគណនាការរើសអើង ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសសញ្ញា a, b និង c ដែលបានបង្ហាញទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើង យើងមាន D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. ចាប់តាំងពី 28>0 នោះគឺ ការបែងចែកគឺធំជាងសូន្យ សមីការការ៉េមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫស យើងទទួលបាន នៅទីនេះអ្នកអាចសម្រួលកន្សោមលទ្ធផលដោយធ្វើ ផ្លាស់ទីមេគុណលើសពីសញ្ញាឫសបន្តដោយការកាត់បន្ថយប្រភាគ៖

ចម្លើយ៖

ចូរបន្តទៅឧទាហរណ៍ធម្មតាបន្ទាប់។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ −4 x 2 +28 x −49=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

យើងចាប់ផ្តើមដោយការស្វែងរកអ្នករើសអើង៖ D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. ដូច្នេះ សមីការ​ការ៉េ​នេះ​មាន​ឫស​តែមួយ ដែល​យើង​រក​ឃើញ​ថា​ជា

ចម្លើយ៖

x=3.5 ។

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ 5·y 2 +6·y+2=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

នេះគឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ៖ a=5, b=6 និង c=2។ យើងជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើងយើងមាន D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. ការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ដូច្នេះសមីការបួនជ្រុងនេះមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការចង្អុលបង្ហាញឫសស្មុគ្រស្មាញ នោះយើងអនុវត្តរូបមន្តល្បីសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ហើយអនុវត្ត ប្រតិបត្តិការជាមួយលេខស្មុគស្មាញ:

ចម្លើយ៖

មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ ឫសស្មុគស្មាញគឺ៖ .

ចូរយើងកត់សម្គាល់ម្តងទៀតថា ប្រសិនបើការរើសអើងនៃសមីការបួនជ្រុងគឺអវិជ្ជមាន នោះនៅក្នុងសាលារៀនជាធម្មតាពួកគេសរសេរចម្លើយភ្លាមៗដែលពួកគេបង្ហាញថាមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ ហើយឫសស្មុគស្មាញមិនត្រូវបានរកឃើញទេ។

រូបមន្តឫសសម្រាប់មេគុណទីពីរ

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ដែល D=b 2 −4·a·c អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានរូបមន្តនៃទម្រង់បង្រួមបន្ថែមទៀត ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការការ៉េជាមួយនឹងមេគុណ x (ឬសាមញ្ញជាមួយ a មេគុណមានទម្រង់ 2·n ជាឧទាហរណ៍ ឬ 14·ln5=2·7·ln5)។ ចូរនាំនាងចេញ។

ឧបមាថាយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការការ៉េនៃទម្រង់ a x 2 +2 n x + c = 0 ។ ចូរយើងស្វែងរកឫសរបស់វាដោយប្រើរូបមន្តដែលយើងដឹង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគណនាអ្នករើសអើង ឃ=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)ហើយបន្ទាប់មកយើងប្រើរូបមន្តឫស៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់កន្សោម n 2 −a c ជា D 1 (ជួនកាលវាតំណាងឱ្យ D ") បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលកំពុងពិចារណាជាមួយមេគុណទីពីរ 2 n នឹងយកទម្រង់ ដែលជាកន្លែងដែល D 1 = n 2 −a·c ។

វាងាយស្រួលមើលថា D=4·D 1 ឬ D 1 =D/4។ ម្យ៉ាង​ទៀត ឃ ១ ជា​ចំណែក​ទី ៤ នៃ​អ្នក​រើសអើង។ វាច្បាស់ណាស់ថាសញ្ញា D 1 គឺដូចគ្នានឹងសញ្ញា D ។ នោះគឺសញ្ញា D 1 ក៏ជាសូចនាករនៃវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។

ដូច្នេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េដែលមានមេគុណទីពីរ 2·n អ្នកត្រូវការ

• គណនា D 1 = n 2 −a·c ;
• ប្រសិនបើ ឃ ១<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• ប្រសិនបើ D 1 = 0 បន្ទាប់មកគណនាឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្ត;
• ប្រសិនបើ D 1 > 0 បន្ទាប់មករកឫសពិតពីរដោយប្រើរូបមន្ត។

ចូរយើងពិចារណាការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌនេះ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ 5 x 2 −6 x −32=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

មេគុណទីពីរនៃសមីការនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជា 2·(−3) ។ នោះគឺអ្នកអាចសរសេរសមីការការ៉េដើមឡើងវិញក្នុងទម្រង់ 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 នៅទីនេះ a=5, n=−3 និង c=−32 ហើយគណនាផ្នែកទីបួននៃ អ្នករើសអើង៖ ឃ 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. ដោយសារតម្លៃរបស់វាគឺវិជ្ជមាន សមីការមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫសត្រឹមត្រូវ៖

ចំណាំថាវាអាចប្រើរូបមន្តធម្មតាសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ ការងារគណនាបន្ថែមទៀតនឹងត្រូវអនុវត្ត។

ចម្លើយ៖

ធ្វើឱ្យទម្រង់នៃសមីការការ៉េសាមញ្ញ

ពេលខ្លះ មុននឹងចាប់ផ្តើមគណនាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្ត វាមិនឈឺចាប់ទេក្នុងការសួរសំណួរ៖ "តើវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលទម្រង់សមីការនេះទេ?" យល់ស្របថានៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការគណនា វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េ 11 x 2 −4 x−6=0 ជាង 1100 x 2 −400 x−600=0 ។

ជាធម្មតា ការធ្វើឱ្យទម្រង់សមីការបួនជ្រុងមានភាពសាមញ្ញត្រូវបានសម្រេចដោយការគុណ ឬបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងកថាខណ្ឌមុន គេអាចសម្រួលសមីការ 1100 x 2 −400 x −600=0 ដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ 100 ។

ការបំប្លែងស្រដៀងគ្នាត្រូវបានអនុវត្តជាមួយសមីការបួនជ្រុង ដែលជាមេគុណដែលមិនមែនជា . ក្នុងករណីនេះភាគីទាំងពីរនៃសមីការជាធម្មតាត្រូវបានបែងចែកដោយតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េ 12 x 2 −42 x+48=0 ។ តម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា៖ GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6 ។ បែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការការ៉េដើមដោយ 6 យើងមកដល់សមីការការ៉េសមមូល 2 x 2 −7 x + 8=0 ។

ហើយការគុណទាំងសងខាងនៃសមីការបួនជ្រុងជាធម្មតាត្រូវបានធ្វើដើម្បីកម្ចាត់មេគុណប្រភាគ។ ក្នុងករណីនេះការគុណត្រូវបានអនុវត្តដោយភាគបែងនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃសមីការការ៉េត្រូវបានគុណដោយ LCM(6, 3, 1)=6 នោះវានឹងយកទម្រង់សាមញ្ញជាង x 2 +4·x−18=0 ។

នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃចំណុចនេះ យើងកត់សម្គាល់ថាពួកគេស្ទើរតែតែងតែកម្ចាត់ដកនៅមេគុណខ្ពស់បំផុតនៃសមីការបួនជ្រុងដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យទាំងអស់ដែលត្រូវនឹងការគុណ (ឬចែក) ភាគីទាំងពីរដោយ −1 ។ ឧទាហរណ៍ ជាធម្មតា មួយផ្លាស់ទីពីសមីការការ៉េ −2 x 2 −3 x + 7=0 ទៅកាន់ដំណោះស្រាយ 2 x 2 +3 x−7=0 ។

ទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការ quadratic បង្ហាញពីឫសនៃសមីការតាមរយៈមេគុណរបស់វា។ ដោយផ្អែកលើរូបមន្តឫស អ្នកអាចទទួលបានទំនាក់ទំនងផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណ។

រូបមន្តដែលគេស្គាល់ និងអាចអនុវត្តបានច្រើនបំផុតពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta មានទម្រង់ និង . ជាពិសេសសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងរយៈពេលទំនេរ។ ឧទាហរណ៍ដោយមើលទម្រង់នៃសមីការការ៉េ 3 x 2 −7 x + 22 = 0 យើងអាចនិយាយបានភ្លាមៗថាផលបូកនៃឫសរបស់វាស្មើនឹង 7/3 ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹង 22 ។ /៣.

ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​ដែល​បាន​សរសេរ​រួច​ហើយ អ្នក​អាច​ទទួល​បាន​ចំនួន​នៃ​ការ​តភ្ជាប់​ផ្សេង​ទៀត​រវាង​ឫស និង​មេគុណ​នៃ​សមីការ​ការ៉េ។ ឧទាហរណ៍ អ្នក​អាច​បង្ហាញ​ផលបូក​នៃ​ការេ​នៃ​ឫស​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​តាម​រយៈ​មេគុណ​របស់​វា៖ .

គន្ថនិទ្ទេស។

• ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ថ្នាក់ទី ៨ ។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; កែសម្រួល​ដោយ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
• Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ក្នុងរយៈពេល 2 ម៉ោង ផ្នែកទី 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។

បញ្ហាសមីការ quadratic ត្រូវបានសិក្សាទាំងនៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា និងនៅក្នុងសាកលវិទ្យាល័យ។ ពួកវាមានន័យថាសមីការនៃទម្រង់ a*x^2 + b*x + c = 0 ដែល x-អថេរ a, b, c - ថេរ; ក<>0. ភារកិច្ចគឺស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃសមីការការ៉េ

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយដែលត្រូវបានតំណាងដោយសមីការ quadratic គឺប៉ារ៉ាបូឡា។ ដំណោះស្រាយ (ឫស) នៃសមីការ quadratic គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយនឹងអ័ក្ស abscissa (x) ។ វាដូចខាងក្រោមថាមានករណីបីដែលអាចកើតមាន:
1) ប៉ារ៉ាបូឡាមិនមានចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស abscissa ទេ។ នេះមានន័យថាវាស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះខាងលើដែលមានមែកធាងឡើង ឬខាងក្រោមមានមែកចុះក្រោម។ ក្នុងករណីបែបនេះ សមីការការ៉េមិនមានឫសពិតទេ (វាមានឫសស្មុគស្មាញពីរ)។

2) ប៉ារ៉ាបូឡាមានចំនុចប្រសព្វមួយជាមួយអ័ក្សអុក។ ចំនុចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃ parabola ហើយសមីការ quadratic នៅវាទទួលបានតម្លៃអប្បបរមា ឬអតិបរមារបស់វា។ ក្នុងករណីនេះ សមីការការ៉េមានឫសពិតមួយ (ឬឫសដូចគ្នាពីរ)។

3) ករណីចុងក្រោយគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាងនៅក្នុងការអនុវត្ត - មានចំនុចប្រសព្វពីរនៃប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយនឹងអ័ក្ស abscissa ។ នេះមានន័យថាមានឫសពិតពីរនៃសមីការ។

ដោយផ្អែកលើការវិភាគនៃមេគុណនៃអំណាចនៃអថេរ ការសន្និដ្ឋានគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍អាចត្រូវបានទាញអំពីការដាក់ប៉ារ៉ាបូឡា។

1) ប្រសិនបើមេគុណ a ធំជាងសូន្យ នោះមែករបស់ប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានតម្រង់ទៅខាងលើ ប្រសិនបើវាជាអវិជ្ជមាន មែករបស់ប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានតម្រង់ទៅខាងក្រោម។

2) ប្រសិនបើមេគុណ b ធំជាងសូន្យ នោះចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាស្ថិតនៅពាក់កណ្តាលយន្តហោះខាងឆ្វេង ប្រសិនបើវាយកតម្លៃអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកនៅខាងស្តាំ។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ចូរផ្ទេរចំនួនថេរពីសមីការការ៉េ

សម្រាប់សញ្ញាស្មើគ្នា យើងទទួលបានកន្សោម

គុណទាំងសងខាងដោយ 4a

ដើម្បីទទួលបានការ៉េពេញលេញនៅខាងឆ្វេង បន្ថែម b^2 ទាំងសងខាង ហើយអនុវត្តការបំប្លែង

ពីទីនេះយើងរកឃើញ

រូបមន្តសម្រាប់ការរើសអើង និងឫសគល់នៃសមីការការ៉េ

ការរើសអើងគឺជាតម្លៃនៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់។ ប្រសិនបើវាវិជ្ជមាន នោះសមីការមានឫសពិតពីរដែលគណនាដោយរូបមន្ត នៅពេលដែលការរើសអើងគឺសូន្យ សមីការការ៉េមានដំណោះស្រាយមួយ (ឫសពីរស្របគ្នា) ដែលអាចទទួលបានយ៉ាងងាយស្រួលពីរូបមន្តខាងលើសម្រាប់ D=0។ នៅពេលដែលការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន សមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងប្លង់ស្មុគស្មាញ ហើយតម្លៃរបស់វាត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

ចូរយើងពិចារណាឫសពីរនៃសមីការការ៉េ ហើយបង្កើតសមីការការ៉េនៅលើមូលដ្ឋានរបស់វា។ បន្ទាប់មកផលបូកនៃឫសរបស់វាស្មើនឹងមេគុណ p ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលនៃឫសនៃសមីការគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ q ។ តំណាងរូបមន្តនៃខាងលើនឹងមើលទៅដូចជា ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការបុរាណ ថេរ a គឺមិនមែនសូន្យ នោះអ្នកត្រូវបែងចែកសមីការទាំងមូលដោយវា ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។

កត្តាកំណត់កាលវិភាគសមីការការ៉េ

អនុញ្ញាតឱ្យកិច្ចការត្រូវបានកំណត់៖ កត្តាសមីការបួនជ្រុង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងដោះស្រាយសមីការ (រកឫស) ។ បន្ទាប់​មក យើង​ជំនួស​ឫស​ដែល​រក​ឃើញ​ទៅ​ក្នុង​រូបមន្ត​ពង្រីក​សម្រាប់​សមីការ​ការ៉េ។ វា​នឹង​ដោះស្រាយ​បញ្ហា។

បញ្ហាសមីការការ៉េ

កិច្ចការ 1 ។ ស្វែងរកឫសនៃសមីការការ៉េ

x^2-26x+120=0 ។

ដំណោះស្រាយ៖ សរសេរមេគុណ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើង

ឫសនៃតម្លៃនេះគឺ 14 វាងាយស្រួលរកដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ ឬចងចាំដោយប្រើញឹកញាប់ ប៉ុន្តែដើម្បីភាពងាយស្រួល នៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទខ្ញុំនឹងផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវបញ្ជីនៃការ៉េនៃលេខដែលអាចជួបប្រទះជាញឹកញាប់នៅក្នុង បញ្ហាបែបនេះ។
យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្តឫស

ហើយយើងទទួលបាន

កិច្ចការទី 2 ។ ដោះស្រាយសមីការ

2x 2 +x-3=0 ។

ដំណោះស្រាយ៖ យើងមានសមីការការ៉េពេញលេញ សរសេរមេគុណ និងស្វែងរកអ្នករើសអើង


ដោយប្រើរូបមន្តដែលគេស្គាល់ យើងរកឃើញឫសនៃសមីការការ៉េ

កិច្ចការទី 3 ។ ដោះស្រាយសមីការ

9x 2 −12x+4=0។

ដំណោះស្រាយ៖ យើងមានសមីការការ៉េពេញលេញ។ ការកំណត់អ្នករើសអើង

យើងបានទទួលករណីមួយដែលឫសស្របគ្នា។ ស្វែងរកតម្លៃនៃឫសដោយប្រើរូបមន្ត

កិច្ចការទី 4 ។ ដោះស្រាយសមីការ

x^2+x-6=0 ។

ដំណោះស្រាយ៖ ក្នុងករណីដែលមានមេគុណតូចសម្រាប់ x វាត្រូវបានណែនាំឱ្យអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ តាមលក្ខខណ្ឌរបស់វា យើងទទួលបានសមីការពីរ

ពីលក្ខខណ្ឌទីពីរយើងឃើញថាផលិតផលត្រូវតែស្មើនឹង -6 ។ នេះមានន័យថាឫសមួយក្នុងចំណោមឫសគឺអវិជ្ជមាន។ យើង​មាន​ដំណោះ​ស្រាយ​ដែល​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​ដូច​ខាង​ក្រោម (-3;2), (3;-2) ។ ដោយគិតពីលក្ខខណ្ឌទីមួយ យើងបដិសេធដំណោះស្រាយគូទីពីរ។
ឫសគល់នៃសមីការគឺស្មើគ្នា

បញ្ហា 5. រកប្រវែងនៃជ្រុងនៃចតុកោណកែង ប្រសិនបើបរិវេណរបស់វាគឺ 18 សង់ទីម៉ែត្រ និងតំបន់របស់វាគឺ 77 សង់ទីម៉ែត្រ 2 ។

ដំណោះស្រាយ៖ ពាក់កណ្តាលបរិវេណនៃចតុកោណកែងគឺស្មើនឹងផលបូកនៃជ្រុងជាប់របស់វា។ ចូរសម្គាល់ x ជាផ្នែកធំជាង បន្ទាប់មក 18-x គឺជាផ្នែកតូចជាងរបស់វា។ ផ្ទៃនៃចតុកោណគឺស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងទាំងនេះ៖
x(18-x)=77;
ឬ
x 2 −18x+77=0 ។
ចូរយើងស្វែងរកការរើសអើងនៃសមីការ

ការគណនាឫសនៃសមីការ

ប្រសិនបើ x=11,នោះ។ 18's = 7 ,ផ្ទុយក៏ពិតដែរ (ប្រសិនបើ x=7 នោះ 21's=9)។

បញ្ហាទី 6. កត្តាសមីការការ៉េ 10x 2 −11x+3=0 ។

ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងគណនាឫសនៃសមីការ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងរកឃើញអ្នករើសអើង

យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្ត root ហើយគណនា

យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់បំបែកសមីការបួនជ្រុងដោយឫស

ការបើកតង្កៀបយើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ។

សមីការបួនជ្រុងជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

ឧទាហរណ៍ 1. នៅតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រអ្វី ក ,តើសមីការ (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 មានឫសតែមួយទេ?

ដំណោះស្រាយ៖ ដោយការជំនួសដោយផ្ទាល់នៃតម្លៃ a=3 យើងឃើញថាវាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។ បន្ទាប់ យើងនឹងប្រើការពិតដែលថា សមីការមានឫសមួយនៃគុណ 2 ។ ចូរយើងសរសេរអំពីអ្នករើសអើង

ចូរ​ធ្វើ​ឱ្យ​វា​សាមញ្ញ ហើយ​យក​វា​ទៅ​សូន្យ

យើងទទួលបានសមីការការ៉េទាក់ទងនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ដែលជាដំណោះស្រាយដែលអាចទទួលបានយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ផលបូកនៃឫសគឺ 7 ហើយផលិតផលរបស់វាគឺ 12 ។ ដោយការស្វែងរកសាមញ្ញ យើងកំណត់ថាលេខ 3,4 នឹងក្លាយជាឫសគល់នៃសមីការ។ ដោយសារយើងបានបដិសេធដំណោះស្រាយ a=3 រួចហើយនៅដើមដំបូងនៃការគណនា នោះតែមួយគត់ដែលត្រឹមត្រូវគឺ - a=4។ដូច្នេះសម្រាប់ a=4 សមីការមានឫសមួយ។

ឧទាហរណ៍ 2. នៅតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រអ្វី ក ,សមីការ a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0មានឫសច្រើនជាងមួយ?

ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងពិចារណាចំណុចឯកវចនៈជាមុនសិន ពួកវានឹងជាតម្លៃ a=0 និង a=-3។ នៅពេល a=0 សមីការនឹងត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញទៅជាទម្រង់ 6x-9=0; x = 3/2 ហើយនឹងមានឫសមួយ។ សម្រាប់ a= -3 យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ 0=0 ។
ចូរយើងគណនាអ្នករើសអើង

ហើយស្វែងរកតម្លៃនៃ a ដែលវាវិជ្ជមាន

ពីលក្ខខណ្ឌដំបូងយើងទទួលបាន a> 3 ។ សម្រាប់ទីពីរ យើងរកឃើញការរើសអើង និងឫសគល់នៃសមីការ


អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍យកតម្លៃវិជ្ជមាន។ ដោយការជំនួសចំនុច a=0 យើងទទួលបាន 3>0 . ដូច្នេះនៅខាងក្រៅចន្លោះ (-3; 1/3) មុខងារគឺអវិជ្ជមាន។ កុំភ្លេចចំណុច a=0,ដែលគួរត្រូវបានដកចេញ ពីព្រោះសមីការដើមមានឫសតែមួយនៅក្នុងវា។
ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានចន្លោះពេលពីរដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា

វានឹងមានភារកិច្ចស្រដៀងគ្នាជាច្រើននៅក្នុងការអនុវត្តព្យាយាមស្វែងយល់ពីភារកិច្ចដោយខ្លួនឯងហើយកុំភ្លេចយកទៅក្នុងគណនីលក្ខខណ្ឌដែលដាច់ពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ សិក្សាឱ្យបានល្អនូវរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ពួកវាច្រើនតែត្រូវការក្នុងការគណនាក្នុងបញ្ហា និងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងៗ។

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាបន្ទាប់ពីសិក្សាអត្ថបទនេះ អ្នកនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េពេញលេញ។

ដោយប្រើការរើសអើង មានតែសមីការការ៉េពេញលេញប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានដោះស្រាយ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ វិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតត្រូវបានប្រើ ដែលអ្នកនឹងឃើញនៅក្នុងអត្ថបទ "ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ"។

តើ​សមីការ​ការ៉េ​អ្វី​ខ្លះ​ដែល​ហៅ​ថា​ពេញលេញ? នេះ។ សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + b x + c = 0ដែលមេគុណ a, b និង c មិនស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ ដើម្បី​ដោះស្រាយ​សមីការ​ការ៉េ​ពេញលេញ យើង​ត្រូវ​គណនា​ការ​រើសអើង D ។

D = b 2 – 4ac ។

អាស្រ័យលើតម្លៃរបស់អ្នករើសអើង យើងនឹងសរសេរចម្លើយ។

ប្រសិនបើការរើសអើងគឺជាលេខអវិជ្ជមាន (D< 0),то корней нет.

ប្រសិនបើការរើសអើងគឺសូន្យ នោះ x = (-b)/2a ។ នៅពេលដែលការរើសអើងគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន (D> 0)

បន្ទាប់មក x 1 = (-b − √D)/2a និង x 2 = (-b + √D)/2a ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ x ២- 4x + 4 = 0 ។

ឃ = 4 2 − 4 4 = 0

x = (- (−4))/2 = 2

ចម្លើយ៖ ២.

ដោះស្រាយសមីការ ២ x ២ + x + 3 = 0 ។

ឃ = 1 2 − 4 2 3 = − 23

ចម្លើយ៖ គ្មានឫស.

ដោះស្រាយសមីការ ២ x ២ + 5x − 7 = 0.

ឃ = 5 2 − 4 2 (–7) = 81

x 1 = (−5 − √81)/(2 2)= (−5 − 9)/4= − 3.5

x 2 = (−5 + √81)/(2 2) = (−5 + 9)/4=1

ចម្លើយ៖ - ៣.៥; ១.

ដូច្នេះ ចូរយើងស្រមៃមើលដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ពេញលេញ ដោយប្រើដ្យាក្រាមក្នុងរូបភាពទី 1 ។

ដោយប្រើរូបមន្តទាំងនេះ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញណាមួយ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រុងប្រយ័ត្ន សមីការត្រូវបានសរសេរជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារ

ក x ២ + bx + គ,បើមិនដូច្នោះទេអ្នកអាចមានកំហុស។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងការសរសេរសមីការ x + 3 + 2x 2 = 0 អ្នកអាចសម្រេចចិត្តខុសថា

a = 1, b = 3 និង c = 2. បន្ទាប់មក

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ហើយបន្ទាប់មកសមីការមានឫសពីរ។ ហើយនេះមិនមែនជាការពិតទេ។ (សូមមើលដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍ទី 2 ខាងលើ) ។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើសមីការមិនត្រូវបានសរសេរជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារទេ ដំបូងសមីការការ៉េពេញលេញត្រូវតែសរសេរជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារ ( monomial ដែលមាននិទស្សន្តធំជាងគេគួរតែមកមុន នោះគឺ ក x ២ បន្ទាប់មកជាមួយតិច – bxហើយបន្ទាប់មកសមាជិកឥតគិតថ្លៃ ជាមួយ។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការ quadratic កាត់បន្ថយ និងសមីការ quadratic ជាមួយនឹងមេគុណគូនៅក្នុងពាក្យទីពីរ អ្នកអាចប្រើរូបមន្តផ្សេងទៀត។ ចូរយើងស្គាល់រូបមន្តទាំងនេះ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េពេញលេញ ពាក្យទីពីរមានមេគុណគូ (b=2k) នោះអ្នកអាចដោះស្រាយសមីការដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមក្នុងរូបភាពទី 2 ។

សមីការការ៉េពេញលេញត្រូវបានគេហៅថាកាត់បន្ថយប្រសិនបើមេគុណនៅ x ២ គឺស្មើនឹងមួយ ហើយសមីការយកទម្រង់ x 2 + px + q = 0. សមីការបែបនេះអាចត្រូវបានផ្តល់សម្រាប់ដំណោះស្រាយ ឬវាអាចត្រូវបានទទួលបានដោយការបែងចែកមេគុណទាំងអស់នៃសមីការដោយមេគុណ កឈរនៅ x ២ .

រូបភាពទី 3 បង្ហាញដ្យាក្រាមសម្រាប់ដោះស្រាយការេដែលបានកាត់បន្ថយ
សមីការ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តរូបមន្តដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទនេះ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ

3x ២ + 6x − 6 = 0 ។

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមក្នុងរូបភាពទី 1 ។

ឃ = 6 2– 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (−6 − 6√3)/(2 3) = (6 (−1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (−6 + 6√3)/(2 3) = (6 (−1+ √(3)))/6 = −1 + √3

ចម្លើយ៖ −1–√3; −1 + √3

អ្នកអាចសម្គាល់ឃើញថា មេគុណនៃ x ក្នុងសមីការនេះគឺជាចំនួនគូ ពោលគឺ b = 6 ឬ b = 2k, whence k = 3. បន្ទាប់មក ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយសមីការដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមនៃរូប D 1 = 3 2– 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (−3 − 3√3)/3 = (3 (−1 − √(3)))/3 = – 1– √3

x 2 = (−3 + 3√3)/3 = (3 (−1 + √(3)))/3 = − 1 + √3

ចម្លើយ៖ −1–√3; −1 + √3. ដោយកត់សំគាល់ថាមេគុណទាំងអស់នៅក្នុងសមីការការ៉េនេះត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ហើយអនុវត្តការបែងចែក យើងទទួលបានសមីការការ៉េកាត់បន្ថយ x 2 + 2x – 2 = 0 ដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការកាត់បន្ថយការេ
រូបភាពទី ៣ ។

ឃ 2 = 2 2 − 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (−2 − 2√3)/2 = (2 (−1 - √(3)))/2 = – 1– √3

x 2 = (−2 + 2√3)/2 = (2 (−1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

ចម្លើយ៖ −1–√3; −1 + √3 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅពេលដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើរូបមន្តផ្សេងគ្នាយើងបានទទួលចម្លើយដូចគ្នា។ ដូច្នេះ ដោយបានស្ទាត់ជំនាញយ៉ាងម៉ត់ចត់នូវរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមក្នុងរូបភាពទី 1 នោះ អ្នកនឹងតែងតែអាចដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញណាមួយ។

គេហទំព័រ នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. ១

១ គ្រឹះស្ថានអប់រំថវិកាក្រុង អនុវិទ្យាល័យលេខ ១១

អត្ថបទនៃការងារត្រូវបានបង្ហោះដោយគ្មានរូបភាពនិងរូបមន្ត។
កំណែពេញលេញនៃការងារមាននៅក្នុងផ្ទាំង "ឯកសារការងារ" ជាទម្រង់ PDF

ប្រវត្តិនៃសមីការការ៉េ

បាប៊ីឡូន

តម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយសមីការមិនត្រឹមតែសញ្ញាបត្រទី ១ ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែនៅសម័យបុរាណក៏បណ្តាលមកពីតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងការស្វែងរកតំបន់នៃដីឡូតិ៍ ជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍន៍តារាសាស្ត្រ និងគណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។ សមីការ quadratic អាចត្រូវបានដោះស្រាយប្រហែល 2000 មុនគ។ អ៊ី ជនជាតិបាប៊ីឡូន។ ច្បាប់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការទាំងនេះដែលមានចែងនៅក្នុងអត្ថបទរបស់បាប៊ីឡូនគឺមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹងសម័យទំនើបដែរ ប៉ុន្តែអត្ថបទទាំងនេះខ្វះគំនិតនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និងវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

ក្រិកបុរាណ

នៅប្រទេសក្រិចបុរាណ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដូចជា Diophantus, Euclid និង Heron ក៏បានធ្វើការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងផងដែរ។ Diophantus Diophantus នៃ Alexandria គឺជាគណិតវិទូក្រិកបុរាណដែលសន្មតថារស់នៅក្នុងសតវត្សទី 3 នៃគ។ ការងារសំខាន់របស់ Diophantus គឺ "នព្វន្ធ" នៅក្នុងសៀវភៅចំនួន 13 ក្បាល។ អ៊ីក្លីដ។ Euclid គឺជាគណិតវិទូជនជាតិក្រិចបុរាណ ដែលជាអ្នកនិពន្ធនៃទ្រឹស្តីដំបូងគេបង្អស់លើគណិតវិទ្យាដែលបានចុះមករកយើងគឺ Heron ។ Heron - គណិតវិទូ និងវិស្វករជនជាតិក្រិចដំបូងគេនៅប្រទេសក្រិចក្នុងសតវត្សទី 1 នៃគ.ស។ ផ្តល់នូវវិធីពិជគណិតសុទ្ធសាធ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ប្រទេសឥណ្ឌា

បញ្ហាលើសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងសន្ធិសញ្ញាតារាសាស្ត្រ "Aryabhattiam" ដែលចងក្រងក្នុងឆ្នាំ 499 ដោយគណិតវិទូឥណ្ឌា និងតារាវិទូ Aryabhatta ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាម្នាក់ទៀតឈ្មោះ Brahmagupta (សតវត្សទី VII) បានគូសបញ្ជាក់ពីច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការ quadratic ដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ canonical តែមួយ៖ ax2 + bx = c, a> 0. (1) នៅក្នុងសមីការ (1) មេគុណអាចជាអវិជ្ជមាន។ ក្បួនរបស់ Brahmagupta គឺសំខាន់ដូចគ្នានឹងយើងដែរ។ ការប្រកួតប្រជែងជាសាធារណៈក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលំបាកគឺជារឿងធម្មតានៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា។ សៀវភៅបុរាណរបស់ឥណ្ឌាមួយក្បាលនិយាយដូចខាងក្រោមអំពីការប្រកួតប្រជែងបែបនេះ៖ «នៅពេលដែលព្រះអាទិត្យបញ្ចេញផ្កាយដោយភាពភ្លឺស្វាង នោះអ្នកចេះដឹងនឹងបញ្ចេញសិរីរុងរឿងរបស់គាត់នៅក្នុងសន្និបាតសាធារណៈដោយស្នើ និងដោះស្រាយបញ្ហាពិជគណិត»។ ជារឿយៗបញ្ហាត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់កំណាព្យ។

នេះ​ជា​បញ្ហា​មួយ​របស់​គណិតវិទូ​ឥណ្ឌា​ដ៏​ល្បី​ល្បាញ​ប្រចាំ​សតវត្សរ៍​ទី ១២។ បាស្កា។

"ហ្វូងសត្វស្វាដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច

ហើយ​ដប់ពីរ​នាក់​នៅ​តាម​ចម្ការ​ទំពាំង‌បាយជូរ ដោយ​បាន​បរិភោគ​តាម​ចិត្ត​ខ្ញុំ​សប្បាយ

ពួកគេចាប់ផ្តើមលោត, ព្យួរ

ផ្នែកទីប្រាំបីនៃពួកគេការ៉េ

តើមានសត្វស្វាប៉ុន្មានក្បាល?

ខ្ញុំ​កំពុង​តែ​សប្បាយ​ក្នុង​ការ​ឈូស​ឆាយ

ប្រាប់ខ្ញុំនៅក្នុងកញ្ចប់នេះ?

ដំណោះស្រាយរបស់ Bhaskara បង្ហាញថាអ្នកនិពន្ធបានដឹងថាឫសគល់នៃសមីការបួនជ្រុងមានតម្លៃពីរ។ Bhaskar សរសេរសមីការដែលត្រូវនឹងបញ្ហាជា x2 - 64x = - 768 ហើយដើម្បីបញ្ចប់ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះទៅជាការ៉េ បន្ថែម 322 ទៅភាគីទាំងពីរ បន្ទាប់មកទទួលបាន៖ x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x − 32)2 = 256, x − 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48 ។

សមីការបួនជ្រុងនៅអឺរ៉ុបសតវត្សទី 17

រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic តាមបណ្តោយបន្ទាត់នៃ Al-Khorezmi នៅអឺរ៉ុបត្រូវបានបង្កើតឡើងជាលើកដំបូងនៅក្នុងសៀវភៅ Abacus ដែលសរសេរនៅឆ្នាំ 1202 ដោយគណិតវិទូអ៊ីតាលី Leonardo Fibonacci ។ ការងារដ៏អស្ចារ្យនេះ ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីឥទ្ធិពលនៃគណិតវិទ្យា ទាំងពីប្រទេសនៃសាសនាឥស្លាម និងពីប្រទេសក្រិកបុរាណ ត្រូវបានសម្គាល់ដោយភាពពេញលេញ និងភាពច្បាស់លាស់នៃការបង្ហាញរបស់វា។ អ្នកនិពន្ធបានបង្កើតដោយឯករាជ្យនូវឧទាហរណ៍ពិជគណិតថ្មីមួយចំនួននៃការដោះស្រាយបញ្ហា ហើយជាអ្នកដំបូងគេនៅអឺរ៉ុបដែលចូលទៅជិតការណែនាំនៃលេខអវិជ្ជមាន។ សៀវភៅរបស់គាត់បានរួមចំណែកដល់ការរីករាលដាលនៃចំណេះដឹងពិជគណិតមិនត្រឹមតែនៅក្នុងប្រទេសអ៊ីតាលីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងប្រទេសអាល្លឺម៉ង់ បារាំង និងបណ្តាប្រទេសអឺរ៉ុបផ្សេងទៀតផងដែរ។ បញ្ហាជាច្រើនពីសៀវភៅ Abacus ត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាអឺរ៉ុបស្ទើរតែទាំងអស់នៃសតវត្សទី 16 - 17 ។ និងមួយផ្នែក XVIII ។ ប្រភពដើមនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េក្នុងទម្រង់ទូទៅគឺអាចរកបានពី Viète ប៉ុន្តែ Viète ទទួលស្គាល់តែឫសវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Tartaglia, Cardano, Bombelli គឺជាអ្នកដំបូងគេក្នុងសតវត្សទី 16 ។ បន្ថែមពីលើវិជ្ជមាន ឫសអវិជ្ជមានក៏ត្រូវយកមកពិចារណាផងដែរ។ មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី 17 ប៉ុណ្ណោះ។ សូមអរគុណចំពោះការងាររបស់ Girard, Descartes, Newton និងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដទៃទៀត វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េត្រូវប្រើទម្រង់ទំនើប។

និយមន័យនៃសមីការការ៉េ

សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx + c = 0 ដែល a, b, c ជាលេខត្រូវបានគេហៅថា quadratic ។

មេគុណសមីការការ៉េ

លេខ a, b, c គឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ a គឺជាមេគុណទីមួយ (មុន x²), a ≠ 0; b គឺជាមេគុណទីពីរ (មុន x); c គឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ (ដោយគ្មាន x) ។

តើសមីការមួយណាក្នុងចំណោមសមីការទាំងនេះមិនរាងបួនជ្រុង??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x − 7 = 0;3. − x² − 5x − 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5 ។ ¼ x² − 6x + 1 = 0;6 ។ 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² − 1/x = 0;9 ។ 2x² − x = 0;10. x² −16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²=0;13. 5x³ +6x −8=0។

ប្រភេទនៃសមីការការ៉េ

កាត់បន្ថយគឺជាសមីការ quadratic ដែលមេគុណនាំមុខគឺស្មើនឹងមួយ។ សមីការបែបនេះអាចទទួលបានដោយការបែងចែកកន្សោមទាំងមូលដោយមេគុណនាំមុខ ក៖

x 2 + px + q = 0, p = b/a, q = c/a

សមីការ​ការ៉េ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​ពេញលេញ ប្រសិនបើ​មេគុណ​ទាំងអស់​របស់​វា​មិន​សូន្យ។

សមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ ដែលយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយ លើកលែងតែមេគុណនាំមុខ (ទាំងមេគុណទីពីរ ឬពាក្យទំនេរ) គឺស្មើនឹងសូន្យ។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ

វិធីសាស្រ្ត I រូបមន្តទូទៅសម្រាប់ការគណនាឫស

ដើម្បីស្វែងរកឫសនៃសមីការការ៉េ ពូថៅ 2 + b + គ = 0ជាទូទៅ អ្នកគួរតែប្រើ algorithm ខាងក្រោម៖

គណនាតម្លៃនៃការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ៖ នេះគឺជាកន្សោមសម្រាប់វា ឃ=ខ 2 - ៤ អេ

ដេរីវេនៃរូបមន្ត៖

ចំណាំ៖វាច្បាស់ណាស់ថារូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃគុណ 2 គឺជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តទូទៅដែលទទួលបានដោយការជំនួសសមភាព D=0 ទៅក្នុងវា និងការសន្និដ្ឋានអំពីអវត្តមាននៃឫសពិតនៅ D0 និង (ទម្រង់បង្ហាញ (sqrt ( -1)) = ខ្ញុំ) = ខ្ញុំ។

វិធីសាស្រ្តដែលបានបង្ហាញគឺមានលក្ខណៈជាសកល ប៉ុន្តែវានៅឆ្ងាយពីវិធីតែមួយគត់។ ការដោះស្រាយសមីការតែមួយអាចត្រូវបានទាក់ទងតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា ដោយចំណង់ចំណូលចិត្តជាធម្មតាអាស្រ័យលើអ្នកដោះស្រាយ។ លើសពីនេះ ជាញឹកញាប់សម្រាប់គោលបំណងនេះ វិធីសាស្រ្តមួយចំនួនប្រែទៅជាមានភាពឆើតឆាយ សាមញ្ញ និងមិនសូវប្រើកម្លាំងពលកម្មជាងស្តង់ដារ។

វិធីសាស្រ្ត II ។ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលមានមេគុណគូខ វិធីសាស្រ្ត III ។ ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ

វិធីសាស្រ្ត IV ។ ការប្រើប្រាស់សមាមាត្រផ្នែកនៃមេគុណ

មានករណីពិសេសនៃសមីការ quadratic ដែលមេគុណមានទំនាក់ទំនងគ្នាទៅវិញទៅមក ដែលធ្វើឱ្យពួកគេងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយ។

ឫសគល់នៃសមីការ quadratic ដែលផលបូកនៃមេគុណនាំមុខ និងពាក្យទំនេរគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ ពូថៅ 2 + bx + c = 0ផលបូកនៃមេគុណទីមួយ និងរយៈពេលទំនេរគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ៖ a+b=cបន្ទាប់មកឫសរបស់វាគឺ -1 ហើយលេខទល់មុខនឹងសមាមាត្រនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃទៅនឹងមេគុណនាំមុខ ( -c/a).

ដូច្នេះ មុននឹងដោះស្រាយសមីការការ៉េណាមួយ អ្នកគួរតែពិនិត្យមើលលទ្ធភាពនៃការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទនេះទៅវា៖ ប្រៀបធៀបផលបូកនៃមេគុណនាំមុខ និងពាក្យសេរីជាមួយមេគុណទីពីរ។

ឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលផលបូកនៃមេគុណទាំងអស់គឺសូន្យ

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ ផលបូកនៃមេគុណរបស់វាទាំងអស់គឺសូន្យ នោះឫសនៃសមីការបែបនេះគឺ 1 ហើយសមាមាត្រនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃទៅនឹងមេគុណនាំមុខ ( គ/ក).

ដូច្នេះ មុននឹងដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រស្តង់ដារ អ្នកគួរតែពិនិត្យមើលការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទនេះទៅវា៖ បន្ថែមមេគុណទាំងអស់នៃសមីការនេះ ហើយមើលថាតើផលបូកនេះមិនស្មើនឹងសូន្យទេ។

វិធីសាស្រ្ត V ។ កត្តាត្រីកោណមាត្របួនជ្រុងទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរ

ប្រសិនបើ trinomial មានទម្រង់ (ការបង្ហាញរចនាប័ទ្ម ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0)អាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃកត្តាលីនេអ៊ែរ (ទម្រង់បង្ហាញ (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n) បន្ទាប់មកយើងអាចស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ ពូថៅ 2 + bx + c = 0- ពួកគេនឹងក្លាយជា -m/k និង n/l ជាការពិតបន្ទាប់ពីទាំងអស់។ (ទម្រង់បង្ហាញ (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n ហើយដោយបានដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរដែលបានចង្អុលបង្ហាញ យើងទទួលបានខាងលើ។ ចំណាំថាត្រីកោណមាត្រមិនតែងតែរលាយទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណពិតទេ៖ នេះអាចទៅរួចប្រសិនបើសមីការដែលត្រូវគ្នាមានឫសពិត។

ចូរយើងពិចារណាករណីពិសេសមួយចំនួន

ដោយប្រើរូបមន្តផលបូកការ៉េ (ភាពខុសគ្នា)

ប្រសិនបើ trinomial ចតុកោណមានទម្រង់ (ទម្រង់បង្ហាញ (អ័ក្ស)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 បន្ទាប់មកដោយអនុវត្តរូបមន្តខាងលើទៅវា យើងអាចបែងចែកវាទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរ និង ដូច្នេះស្វែងរកឫស៖

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) ២

ញែកការេពេញនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា)

រូបមន្តខាងលើក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ផងដែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រមួយហៅថា "ការជ្រើសរើសការ៉េពេញនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា)"។ ទាក់ទងទៅនឹងសមីការការ៉េខាងលើជាមួយនឹងសញ្ញាណដែលបានណែនាំពីមុន នេះមានន័យថាដូចខាងក្រោម៖

ចំណាំ៖ប្រសិនបើអ្នកកត់សម្គាល់ រូបមន្តនេះស្របគ្នានឹងអ្វីដែលបានស្នើឡើងនៅក្នុងផ្នែក "ឫសនៃសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយ" ដែលនៅក្នុងវេនអាចទទួលបានពីរូបមន្តទូទៅ (1) ដោយជំនួសសមភាព a=1 ។ ការពិតនេះមិនមែនគ្រាន់តែជាការចៃដន្យនោះទេ៖ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលបានពិពណ៌នា ទោះបីជាមានហេតុផលបន្ថែមមួយចំនួនក៏ដោយ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានរូបមន្តទូទៅ និងបញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់អ្នករើសអើងផងដែរ។

វិធីសាស្រ្ត VI ។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ផ្ទាល់ និងបញ្ច្រាស

ទ្រឹស្តីបទផ្ទាល់របស់ Vieta (សូមមើលខាងក្រោមនៅក្នុងផ្នែកនៃឈ្មោះដូចគ្នា) និងទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសរបស់វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការការ៉េខាងលើដោយផ្ទាល់មាត់ដោយមិនងាកទៅរកការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញដោយប្រើរូបមន្ត (1) ។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទសន្ទនា រាល់គូនៃលេខ (លេខ) (ទម្រង់បង្ហាញ x_(1),x_(2))x 1, x 2 ដែលជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។

ក្នុង​ករណី​ទូទៅ នោះ​គឺ​សម្រាប់​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​មិន​បាន​កាត់​បន្ថយ​អ័ក្ស 2 + bx + c = 0 ។

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

ទ្រឹស្តីបទផ្ទាល់នឹងជួយអ្នកស្វែងរកលេខដែលបំពេញសមីការទាំងនេះដោយផ្ទាល់មាត់។ ដោយមានជំនួយរបស់វាអ្នកអាចកំណត់សញ្ញានៃឫសដោយមិនដឹងពីឫសខ្លួនឯង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវអនុវត្តតាមច្បាប់៖

1) ប្រសិនបើពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺអវិជ្ជមាន នោះឫសមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា ហើយតម្លៃធំបំផុតនៃឫសមានសញ្ញាផ្ទុយទៅនឹងសញ្ញានៃមេគុណទីពីរនៃសមីការ។

2) ប្រសិនបើពាក្យសេរីគឺវិជ្ជមាន នោះឫសទាំងពីរមានសញ្ញាដូចគ្នា ហើយនេះគឺជាសញ្ញាផ្ទុយទៅនឹងសញ្ញានៃមេគុណទីពីរ។

វិធីសាស្រ្ត VII ។ វិធីសាស្រ្តផ្ទេរ

វិធីសាស្រ្តដែលគេហៅថា "ការផ្ទេរ" អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការដែលមិនបានកាត់បន្ថយ និងមិនអាចកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់នៃសមីការកាត់បន្ថយជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់ ដោយបែងចែកពួកវាដោយមេគុណនាំមុខទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការកាត់បន្ថយជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់។ វាមានដូចខាងក្រោម៖

បន្ទាប់មក សមីការត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្ទាល់មាត់តាមវិធីដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ បន្ទាប់មកពួកគេត្រឡប់ទៅអថេរដើមវិញ ហើយស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ (ទម្រង់បង្ហាញ y_(1)=ax_(1)) y 1 = ពូថៅ 1 និង y 2 = ពូថៅ 2 .(ទម្រង់បង្ហាញ y_(2)=ax_(2))

អត្ថន័យធរណីមាត្រ

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ quadratic គឺប៉ារ៉ាបូឡា។ ដំណោះស្រាយ (ឫស) នៃសមីការ quadratic គឺ abscissas នៃចំនុចប្រសព្វនៃ parabola ជាមួយនឹងអ័ក្ស abscissa ។ ប្រសិនបើប៉ារ៉ាបូឡាដែលបានពិពណ៌នាដោយអនុគមន៍ quadratic មិនប្រសព្វអ័ក្ស x នោះសមីការមិនមានឫសពិតទេ។ ប្រសិនបើប៉ារ៉ាបូឡាកាត់អ័ក្ស x នៅចំណុចមួយ (នៅចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡា) សមីការមានឫសពិតមួយ (សមីការនេះត្រូវបានគេនិយាយផងដែរថាមានឫសពីរស្របគ្នា)។ ប្រសិនបើប៉ារ៉ាបូឡាកាត់អ័ក្ស x នៅពីរចំណុច សមីការមានឫសពិតពីរ (សូមមើលរូបភាពនៅខាងស្តាំ។ )

ប្រសិនបើមេគុណ (ទម្រង់បង្ហាញ ក) កវិជ្ជមាន សាខារបស់ប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានតម្រង់ឡើងលើ និងច្រាសមកវិញ។ ប្រសិនបើមេគុណ (ទម្រង់បង្ហាញ ខ)វិជ្ជមាន (ប្រសិនបើវិជ្ជមាន (ទម្រង់បង្ហាញ ក) កប្រសិនបើអវិជ្ជមាន ផ្ទុយមកវិញ) បន្ទាប់មកចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាស្ថិតនៅក្នុងពាក់កណ្តាលយន្តហោះខាងឆ្វេង និងច្រាសមកវិញ។

ការអនុវត្តសមីការ quadratic ក្នុងជីវិត

សមីការ quadratic ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយ។ វា​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​ក្នុង​ការ​គណនា​ជា​ច្រើន រចនាសម្ព័ន្ធ កីឡា និង​ជុំវិញ​ខ្លួន​យើង​ផង​ដែរ។

ចូរយើងពិចារណា និងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការអនុវត្តសមីការការ៉េ។

កីឡា។ ការលោតខ្ពស់៖ កំឡុងពេលរត់ឡើងរបស់អ្នកលោត ការគណនាដែលទាក់ទងនឹងប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានប្រើ ដើម្បីសម្រេចបាននូវផលប៉ះពាល់ច្បាស់លាស់បំផុតលើរបារហោះឡើង និងការហោះហើរខ្ពស់។

ដូចគ្នានេះផងដែរការគណនាស្រដៀងគ្នាគឺចាំបាច់ក្នុងការបោះ។ ជួរហោះហើរនៃវត្ថុមួយអាស្រ័យលើសមីការបួនជ្រុង។

តារាសាស្ត្រ។ គន្លងនៃភពអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើសមីការបួនជ្រុង។

ការហោះហើរយន្តហោះ។ ការឡើងយន្តហោះគឺជាធាតុផ្សំសំខាន់នៃការហោះហើរ។ នៅទីនេះយើងយកការគណនាសម្រាប់ការតស៊ូទាប និងការបង្កើនល្បឿននៃការហោះឡើង។

សមីការ quadratic ត្រូវបានគេប្រើផងដែរនៅក្នុងវិញ្ញាសាសេដ្ឋកិច្ចផ្សេងៗ ក្នុងកម្មវិធីសម្រាប់ដំណើរការក្រាហ្វិក អូឌីយ៉ូ វីដេអូ វ៉ិចទ័រ និងរ៉ាស្ទ័រ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ជាលទ្ធផលនៃការងារដែលបានធ្វើ វាបានប្រែក្លាយថាសមីការបួនជ្រុងបានទាក់ទាញអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនៅសម័យបុរាណ ពួកគេបានជួបប្រទះពួកគេរួចហើយនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួន ហើយព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនោះ។ ដោយក្រឡេកមើលវិធីផ្សេងៗដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ ខ្ញុំបានសន្និដ្ឋានថា មិនមែនទាំងអស់សុទ្ធតែសាមញ្ញនោះទេ។ តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ វិធីល្អបំផុតដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic គឺត្រូវដោះស្រាយវាដោយប្រើរូបមន្ត។ រូបមន្តគឺងាយស្រួលចងចាំ វិធីសាស្រ្តនេះគឺមានលក្ខណៈជាសកល។ សម្មតិកម្មដែលសមីការត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងជីវិត ហើយគណិតវិទ្យាត្រូវបានបញ្ជាក់។ បន្ទាប់ពីសិក្សាលើប្រធានបទនេះ ខ្ញុំបានដឹងពីការពិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើនអំពីសមីការ quadratic, ការប្រើប្រាស់, កម្មវិធី, ប្រភេទ, ដំណោះស្រាយ។ ហើយខ្ញុំនឹងរីករាយក្នុងការបន្តការសិក្សាពួកគេ។ ខ្ញុំ​សង្ឃឹម​ថា វា​នឹង​ជួយ​ខ្ញុំ​ធ្វើ​បាន​ល្អ​ក្នុង​ការ​ប្រឡង​របស់​ខ្ញុំ។

បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ

សម្ភារៈគេហទំព័រ៖

វិគីភីឌា

បើកមេរៀន.rf

សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាបឋម Vygodsky M. Ya.