ಆನ್‌ಲೈನ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

x, y ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮೂರನೇ ವೇರಿಯಬಲ್ t (ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ) ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಟಿನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ Xಮತ್ತು ವೈ, ಎ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮತಲದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು M (x, y). ಯಾವಾಗ ಟಿನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ (x, y) ಕೆಲವು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಲ್. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (2.2) ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಲೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಲ್.

x = φ(t) ಕಾರ್ಯವು ವಿಲೋಮ t = Ф(x) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು y = g(t) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು y = g(Ф(x)) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ವೈಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ X. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು (2.2) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ವೈನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಅವಕಾಶ M(x,y)- ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು ಆರ್ಮತ್ತು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ. ಅವಕಾಶ ಟಿ- ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎತ್ತುಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ ಓಂ(ಚಿತ್ರ 2.3 ನೋಡಿ). ನಂತರ x, yಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಟಿ:

ಸಮೀಕರಣಗಳು (2.3) ವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (2.3) ನಿಯತಾಂಕ t ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) ಅಥವಾ x 2 + y 2 = R 2 - ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಇದು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ: ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (2.3), ಆದರೆ ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು .

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ a, b(ಚಿತ್ರ 2.4). ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಟಿ, ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಈ ವೃತ್ತವು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಜಾರದೆ ಉರುಳಿದರೆ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2.5). ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ನ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ರೋಲಿಂಗ್ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಇರಲಿ ಎ, ಡಾಟ್ ಎಂ, ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು, ಚಲನೆಯ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಯಿತು.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ X, y ಅಂಕಗಳು ಎಂವೃತ್ತವು ಒಂದು ಕೋನದ ಮೂಲಕ ತಿರುಗಿದ ನಂತರ ಟಿ
(ಚಿತ್ರ 2.5), t = ÐMCB. ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದ ಎಂ.ಬಿ.ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಒ.ಬಿ.ವೃತ್ತವು ಜಾರಿಬೀಳದೆ ಉರುಳುವುದರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – ವೆಚ್ಚ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ನ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಟಿ 0 ರಿಂದ 2πವೃತ್ತವು ಒಂದು ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಬಿಂದು ಎಂಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ನ ಒಂದು ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು (2.5) ನೀಡುತ್ತವೆ ವೈಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ X. ಕಾರ್ಯ ಆದರೂ x = a(t – sint)ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯ y = f(x)ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (2.2) ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಬದಲಾವಣೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ x = φ(t) ಕಾರ್ಯವು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ t = Ф(x), ನಂತರ y = g(Ф(x)). ಅವಕಾಶ x = φ(t), y = g(t)ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು x"t≠0. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ y"x=y"t×t"x.ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರವು (2.6) ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ ವೈ, ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿ X, ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪರಿಹಾರ. .
ಉದಾಹರಣೆ 5.ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಕೆನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ M 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ.
ಪರಿಹಾರ.ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ: y" t = asint, x" t = a(1 – ವೆಚ್ಚ),ಅದಕ್ಕೇ

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಇಳಿಜಾರು M0ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ t 0 = π/4:

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್

ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ x 0ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎ-ಪ್ರಿಯರಿ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಿತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ (ವಿಭಾಗ 1.8), ಅಲ್ಲಿ ಎ- ಅಪರಿಮಿತ ನಲ್ಲಿ Δx → 0. ಇಲ್ಲಿಂದ

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Δx → 0 ನಂತೆ, ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡನೇ ಪದವು (2.7) ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಅನಂತವಾಗಿದೆ , ಆದ್ದರಿಂದ Δy ಮತ್ತು f "(x 0)×Δx ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ (f "(x 0) ≠ 0 ಗಾಗಿ).

ಹೀಗಾಗಿ, Δy ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವು ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ f "(x 0)×Δx ಮುಖ್ಯ ಭಾಗ ಹೆಚ್ಚಳ Δy, Δx ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯ (f "(x 0)≠ 0 ಗಾಗಿ).

ಭೇದಾತ್ಮಕ x 0 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: dyಅಥವಾ df(x0). ಆದ್ದರಿಂದ,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ dyಮತ್ತು y = x 2 ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ Δy ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳ:
1) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ Xಮತ್ತು Δ X; 2) x 0 = 20, Δx = 0.1.

ಪರಿಹಾರ

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) x 0 = 20, Δx = 0.1, ನಂತರ Δy = 40×0.1 + (0.1) 2 = 4.01; ಡೈ = 40×0.1= 4.

ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (2.7) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ Δy ವಿಭಿನ್ನತೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ dyΔx ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅನಂತತೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ, Δx ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ Δy ≈ dy ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಅಂದಾಜು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಸರಿಸುಮಾರು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (2.10), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ≈ 2.025.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ df(x 0)(ಚಿತ್ರ 2.6).

M 0 (x0, f(x 0)) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ, φ ಸ್ಪರ್ಶಕ KM0 ಮತ್ತು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಲಿ, ನಂತರ f"( x 0) = tanφ. ΔM0NP ಯಿಂದ:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). ಆದರೆ PN ಎಂಬುದು x 0 ರಿಂದ x 0 + Δx ಗೆ x ಬದಲಾದಾಗ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
y = x. (x)" = 1 ರಿಂದ, ನಂತರ dx = 1×Δx = Δx. ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ dx = Δx ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

x ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಾನತೆಯಿಂದ (2.8) ನಾವು df(x) = f "(x)dx, ಎಲ್ಲಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .
ಹೀಗಾಗಿ, y = f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಾದದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

u(x), v(x) ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊತ್ತ, ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಂಶಕ್ಕಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂತ್ರ (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: y = f(x), x = φ(t), ಅಂದರೆ. y = f(φ(t)).

ನಂತರ dy = y" t dt, ಆದರೆ y" t = y" x × x" t, ಆದ್ದರಿಂದ dy =y" x x" t dt. ಪರಿಗಣಿಸಿ,

ಅದು x" t = dx, ನಾವು dy = y" x dx =f "(x)dx ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ y = f(x), ಅಲ್ಲಿ x =φ(t), dy = f "(x)dx ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, x ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದೇ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಣ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದ ಅಸ್ಥಿರತೆ ಎ.

ನಾವು ಒತ್ತು ನೀಡಬಾರದು, ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ನಾನು ತಕ್ಷಣ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಆವರಣಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ: , .

ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ನಿಂದ "ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ: . ಅಥವಾ ಮಾನವ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ: "x ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ y ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ." ನೀವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ಹಂತವು ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, "te" ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನೀವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. "ನಿಯಮಿತ" ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅಮೇರಿಕನ್ ಭಾರತೀಯರಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಹಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಸಹ ಗೌರವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ನೀವು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಮೂಲಕ, ನೀವು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಯೋಜಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಪುಟದಲ್ಲಿ ನನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳು.

ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ: - ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ: . ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚು "ತೀವ್ರ" ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಟ್ರಿಕ್ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಒಂದು ಸೂತ್ರವಿದೆ:

"ವೇರಿಯಬಲ್ te ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆಟ" ದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಅಕ್ಷರಕ್ಕೆ , ಹೀಗೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹೊಸತನವಿಲ್ಲ. ಟೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ “X” ಗಳನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ “Te” ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ.

ನಾವು "x ವಿತ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ te ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ" ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ಉಳಿದಿರುವುದು ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು:

ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಕಾರ್ಯದಂತೆಯೇ, ಸಹ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅದನ್ನು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ಬದಲು, ಒಬ್ಬರು ಅದನ್ನು ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಇಲ್ಲದೆ ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು "ಎಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ" "ನಿಯಮಿತ" ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಆಯ್ಕೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಮಾನದಂಡದಿಂದ ವಿಪಥಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಹೀಗೆ:

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಶೇಷ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅದು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾನು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ, ನಾನು ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆದಿದ್ದೇನೆ (ಆದರೂ ನಾನು ಇದನ್ನು ಮಾಡದಿರಬಹುದು). ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಅನೇಕ ವಿಷಯಗಳು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಉತ್ತಮ ಅವಕಾಶವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾಜೂಕಿಲ್ಲದ ಉತ್ತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳವಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ನಾವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ನೀವು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: . ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ನೀಡಲಾದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಳೀಕರಣ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಸರಳೀಕರಣದ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇನೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು . ಅವುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಫಲಿತಾಂಶ ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಡಿ. ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ಈಗ ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: .

ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಉಳಿದಿದೆ - ವೇರಿಯೇಬಲ್ "te" ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:

ಇದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಉಳಿದಿದೆ:

ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಲು, ನಿಮ್ಮದೇ ಆದ ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾನು ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಉದಾಹರಣೆ 10

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು

ನಾನು ನಿಮಗೆ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ!

ಈ ಪಾಠವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಮತ್ತು ನೀವು ಈಗ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು

ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಪರಿಹಾರ:






ಹೀಗೆ:

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಈ ರೇಖೆಗಳ ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೂರನೇ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ

t ನ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ t ಯ ಈ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು y ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ t ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸಿದಾಗ (73), ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ (73) ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಸಾಲಿನ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ.

ಕಾರ್ಯವು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ, ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡನೇ (73) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು

ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ (73). ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (74) ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ನಿಯತಾಂಕದ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (73) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು y.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಮೂಲ ಮತ್ತು R ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಅದರ ಧ್ರುವ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಧ್ರುವ ಕೋನದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ t ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ( ಅಧ್ಯಾಯ I, § 3, ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 3 ನೋಡಿ):

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (75) ವೃತ್ತದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿನ ನಿಯತಾಂಕವು ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನವಾಗಿದೆ, ಇದು 0 ರಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (75) ಪದದಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಗುರುತಿನ ಕಾರಣದಿಂದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ:

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (75), ಆದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ; ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಕಡಿಮೆ ಅರ್ಧವೃತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಮತ್ತು ಮೂಲ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ a (Fig. 138) ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು M ಗೆ ನಾವು ವೃತ್ತದ N ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು M ಬಿಂದುವಿನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ N ನ ಸ್ಥಾನ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ M, ಬಿಂದುವಿನ ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನ t ನಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರ ಸಾಮಾನ್ಯ abscissa ಗಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x = a. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಲ್ಲಿ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ N ನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯತಾಂಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ t ನಿಯತಾಂಕವು 0 ರಿಂದ ವರೆಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಪಾಯಿಂಟ್ a) ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ a ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು ಮೂಲದಲ್ಲಿ x- ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 139). ಈ ವೃತ್ತವು x- ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಜಾರಿಕೊಳ್ಳದೆ ಉರುಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ವೃತ್ತದ M ಬಿಂದು, ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ ಎಂಬ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್‌ನ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ, ಅದರ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು O ಸ್ಥಾನದಿಂದ M ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ವೃತ್ತದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ MSV ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ t ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವೃತ್ತವು ಜಾರಿಬೀಳದೆ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಉರುಳುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ, ವಿಭಾಗದ OB ನ ಉದ್ದವು ಆರ್ಕ್ BM ನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರ್ಕ್ BM ನ ಉದ್ದವು ತ್ರಿಜ್ಯ a ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕೋನ t ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ . ಅದಕ್ಕೇ . ಆದರೆ ಆದ್ದರಿಂದ,

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ನ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. t ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ 0 ರಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಾಗ ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ M ಸೈಕ್ಲೋಯ್ಡ್ನ ಒಂದು ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ t ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ತೊಡಕಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿದೆ.

ರೇಖೆಗಳ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಸಮಯದಿಂದ ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಕೋನ a ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಬಂದೂಕಿನಿಂದ ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕದ ಪಥವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ನಾವು ಗಾಳಿಯ ಪ್ರತಿರೋಧ ಮತ್ತು ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕದ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ವಸ್ತು ಬಿಂದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ. ಮೂತಿಯಿಂದ ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕದ ನಿರ್ಗಮನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಮತ್ತು ಓಯ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸೋಣ, ಅವುಗಳನ್ನು ಗನ್ ಮೂತಿಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರಿಸೋಣ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕವು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ a ಕೋನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಯ t ಅದು ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸುತ್ತಿತ್ತು. t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗೆ: . ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದಾಗಿ, ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕವು ಈ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿ ಒಂದು ಮೊತ್ತದಿಂದ ಇಳಿಯಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ, ಸಮಯ t ನಲ್ಲಿ, ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಟಿ ಬದಲಾದಾಗ, ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕ ಪಥದಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಹ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕ ಪಥದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕವು ಸಮಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ, ನಾವು ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕ ಪಥದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.
ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಎರಡು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ವಸ್ತುವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮೊದಲಿನಿಂದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಕಲಿಯಬಹುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ನಿಮ್ಮ ವಿಭಿನ್ನ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಹೋಗೋಣ.

ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಅಥವಾ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಎಂದರೇನು? ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮೊದಲು ನೆನಪಿಸೋಣ:

ಏಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಕಾರ್ಯಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ.

ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ಅಥವಾ ವಾದ.
ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯ .

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ ಸ್ಪಷ್ಟರೂಪ. ಅದರ ಅರ್ಥವೇನು? ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡಿಬ್ರೀಫಿಂಗ್ ನಡೆಸೋಣ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಏಕಾಂಗಿ “ಆಟಗಾರ” ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ - ಕೇವಲ "ಎಕ್ಸ್". ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಇಲ್ಲಿಯೇ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೆರೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಾಗಿ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ"Y" ಅನ್ನು "X" ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ. ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಯಾವುವು? ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರಗೆ ಸರಿಸುವಿಕೆ, ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವುದು ಇತ್ಯಾದಿ. ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು "y" ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ: . ನೀವು ಗಂಟೆಗಳವರೆಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ತಿರುಗಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ನಾನು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇನೆ: - ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ.

ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ(ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ), ಇದು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ("ಸಾಮಾನ್ಯ" ಕಾರ್ಯದಂತೆಯೇ). ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನ, ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಲೈಂಗಿಕ ಅಲ್ಪಸಂಖ್ಯಾತರ ಎಲ್ಲಾ ಹಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ! ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಜಾರಿಯಲ್ಲಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದು ವಿಚಿತ್ರ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಇದೀಗ ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಹೌದು, ಮತ್ತು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಒಳ್ಳೆಯ ಸುದ್ದಿಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ - ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂರು ಟ್ರ್ಯಾಕ್‌ಗಳ ಮುಂದೆ ಕಲ್ಲು ಇಲ್ಲದೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

1) ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ಗಳನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:

2) ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (ಪಾಠದ ಮೊದಲ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು):

3) ನೇರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.
ಹೇಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ "ಆಟಗಳು" ಇರುವಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು?

- ಕೇವಲ ಅವಮಾನದ ಹಂತಕ್ಕೆ, ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: .

ಹೇಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ. ಏಕೆ? ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ "Y" ಎಂಬ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಕ್ಷರವಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ “y” ಎಂಬ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಕ್ಷರವಿದೆ - ಇಸ್ ಸೆಲ್ಫ್ ಎ ಫಂಕ್ಷನ್(ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೋಡಿ). ಹೀಗಾಗಿ, ಸೈನ್ ಬಾಹ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ :

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ :

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ - ಇದು ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ "ಗಂಟೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಟಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಟ" ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಇರಬೇಕು:


ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ:

4) ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ "Y" ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ:

5) ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

6) ಮತ್ತು ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಈ ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗದ ಛೇದಕ್ಕೆ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ಪನ್ನ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯ ಈ ರೀತಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು: . ಮತ್ತು ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಳಸಿ ಅದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, "ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಕಾರ್ಯ" ಮತ್ತು "ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಕಾರ್ಯ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛಗಳು ಒಂದು ಶಬ್ದಾರ್ಥದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. "ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾಗಿದೆ, - ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನೀವು "ಆಟ" ವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು. "ವೈ" ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ "ಇಂಪ್ಲಿಸಿಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವು "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ" ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಪರಿಹಾರ

ಗಮನ!ಆತ್ಮವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನೀವು ಎರಡನೇ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಬಹುದು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಆರಂಭಿಕರು ಮತ್ತು ಡಮ್ಮೀಸ್, ದಯವಿಟ್ಟು ಈ ಹಂತವನ್ನು ಓದಬೇಡಿ ಮತ್ತು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬೇಡಿ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನಿಮ್ಮ ತಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಮ್ಮ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು
ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಹೀಗೆ:

ಎರಡನೇ ಪರಿಹಾರವು ಚೆಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಿಯೋಜನೆಯ ಅಂತಿಮ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವರಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಂತರ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು “ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ” ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಇನ್ನೂ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರಬಾರದು.

ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ:

ನಾವು ರೇಖೀಯತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

ಎಲ್ಲಾ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲಾಗುತ್ತಿದೆ:

ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ, ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸ.

ಭಿನ್ನಾಭಿಪ್ರಾಯದ ನಂತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಸಾಮಾನ್ಯವೇನಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬೇಕು. ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನಾವು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸ್ಟ್ರೋಕ್‌ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯತೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮ :

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು:

ಈಗ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನಂತರ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಅದನ್ನು ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಗುಣಿಸಿ ಮೇಲೆ . ವಿವರವಾಗಿ, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಂತರ 2-3 ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ - ಗುಣಿಸಿ ಪ್ರತಿ ಭಾಗದ ಪ್ರತಿ ಅವಧಿಮೇಲೆ

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಆವರಣದಿಂದ ಹೊರಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನೀವು ಭಾಗವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬೇಕು. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ನಾವು ಒತ್ತು ನೀಡಬಾರದು, ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ನಾನು ತಕ್ಷಣ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಆವರಣಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ: , .

ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಮತ್ತು "ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ನಿಂದ "ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ: . ಅಥವಾ ಮಾನವ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ: "x ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ y ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ." ನೀವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ಹಂತವು ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, "te" ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನೀವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. "ನಿಯಮಿತ" ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅಮೇರಿಕನ್ ಭಾರತೀಯರಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಹಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಸಹ ಗೌರವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ನೀವು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಮೂಲಕ, ನೀವು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಯೋಜಿಸಬೇಕಾದರೆ, ನೀವು ನನ್ನ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ: - ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ: . ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚು "ತೀವ್ರ" ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಟ್ರಿಕ್ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಒಂದು ಸೂತ್ರವಿದೆ:

"ವೇರಿಯಬಲ್ te ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆಟ" ದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಅಕ್ಷರಕ್ಕೆ , ಹೀಗೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹೊಸತನವಿಲ್ಲ. ಟೇಬಲ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ “X” ಗಳನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ “Te” ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ.

ನಾವು "x ವಿತ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ te ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ" ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ಉಳಿದಿರುವುದು ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು:

ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಕಾರ್ಯದಂತೆಯೇ, ಸಹ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅದನ್ನು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ಬದಲು, ಒಬ್ಬರು ಅದನ್ನು ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಇಲ್ಲದೆ ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು "ಎಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ" "ನಿಯಮಿತ" ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಆಯ್ಕೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಮಾನದಂಡದಿಂದ ವಿಪಥಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಹೀಗೆ:

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಶೇಷ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅದು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾನು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ, ನಾನು ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆದಿದ್ದೇನೆ (ಆದರೂ ನಾನು ಇದನ್ನು ಮಾಡದಿರಬಹುದು). ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಅನೇಕ ವಿಷಯಗಳು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಉತ್ತಮ ಅವಕಾಶವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾಜೂಕಿಲ್ಲದ ಉತ್ತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳವಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುನಾವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ನೀವು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: . ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ನೀಡಲಾದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಳೀಕರಣ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: