Bagaimana untuk mengira jumlah janjang geometri. Janjang aritmetik dan geometri

Jika bagi setiap nombor asli n sepadan dengan nombor nyata a n , kemudian mereka mengatakan bahawa ia diberikan urutan nombor :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Jadi, urutan nombor adalah fungsi hujah semula jadi.

Nombor a 1 dipanggil sebutan pertama bagi urutan itu , nombor a 2 — sebutan kedua bagi urutan itu , nombor a 3 — ketiga dan sebagainya. Nombor a n dipanggil ahli ke-n bagi urutan , dan nombor asli n — nombor dia .

Daripada dua orang ahli yang bersebelahan a n Dan a n +1 ahli urutan a n +1 dipanggil seterusnya (ke arah a n ), A a n — sebelumnya (ke arah a n +1 ).

Untuk menentukan jujukan, anda perlu menentukan kaedah yang membolehkan anda mencari ahli jujukan dengan sebarang nombor.

Selalunya urutan ditentukan menggunakan formula penggal ke-n , iaitu formula yang membolehkan anda menentukan ahli jujukan dengan nombornya.

Sebagai contoh,

urutan nombor ganjil positif boleh diberikan oleh formula

a n= 2n- 1,

dan urutan berselang-seli 1 Dan -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Urutan boleh ditentukan formula berulang, iaitu formula yang menyatakan mana-mana ahli jujukan, bermula dengan beberapa, melalui ahli sebelumnya (satu atau lebih).

Sebagai contoh,

Jika a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , maka tujuh sebutan pertama bagi urutan berangka ditetapkan seperti berikut:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan boleh muktamad Dan tidak berkesudahan .

Urutan dipanggil muktamad , jika ia mempunyai bilangan ahli yang terhad. Urutan dipanggil tidak berkesudahan , jika ia mempunyai ramai ahli yang tidak terhingga.

Sebagai contoh,

urutan nombor asli dua digit:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

muktamad.

Urutan nombor perdana:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tidak berkesudahan. ◄

Urutan dipanggil semakin meningkat , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, lebih besar daripada yang sebelumnya.

Urutan dipanggil semakin berkurangan , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Sebagai contoh,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - meningkatkan urutan;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - urutan menurun. ◄

Urutan yang unsur-unsurnya tidak berkurang apabila bilangan bertambah, atau, sebaliknya, tidak bertambah, dipanggil urutan yang membosankan .

Jujukan monotonik, khususnya, ialah jujukan meningkat dan jujukan menurun.

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik ialah urutan di mana setiap ahli, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, yang mana nombor yang sama ditambah.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ialah janjang aritmetik jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

a n +1 = a n + d,

di mana d - nombor tertentu.

Oleh itu, perbezaan antara sebutan berikutnya dan sebelumnya bagi janjang aritmetik yang diberikan sentiasa malar:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nombor d dipanggil perbezaan janjang aritmetik.

Untuk menentukan janjang aritmetik, cukup untuk menunjukkan sebutan dan perbezaan pertamanya.

Sebagai contoh,

Jika a 1 = 3, d = 4 , maka kita dapati lima sebutan pertama bagi jujukan seperti berikut:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama a 1 dan perbezaannya d dia n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Sebagai contoh,

cari sebutan ketiga puluh janjang aritmetik itu

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

kemudian jelas

Setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik ahli sebelumnya dan seterusnya.

nombor a, b dan c ialah sebutan berturut-turut bagi beberapa janjang aritmetik jika dan hanya jika salah satu daripadanya adalah sama dengan min aritmetik dua yang lain.

Sebagai contoh,

a n = 2n- 7 , ialah suatu janjang aritmetik.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Oleh itu,

◄

Perhatikan bahawa n Sebutan ke-satu janjang aritmetik boleh didapati bukan sahaja melalui a 1 , tetapi juga mana-mana sebelumnya a k

a n = a k + (n- k)d.

Sebagai contoh,

Untuk a 5 boleh ditulis

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

kemudian jelas

mana-mana ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan separuh hasil tambah ahli janjang aritmetik yang sama jaraknya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang aritmetik persamaan berikut dipegang:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kerana

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

pertama n sebutan bagi suatu janjang aritmetik adalah sama dengan hasil darab separuh daripada jumlah sebutan ekstrem dan bilangan sebutan:

Dari sini, khususnya, ia mengikuti bahawa jika anda perlu menjumlahkan terma

a k, a k +1 , . . . , a n,

maka formula sebelumnya mengekalkan strukturnya:

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika suatu janjang aritmetik diberikan, maka kuantitinya a 1 , a n, d, n DanS n dihubungkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini, digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Janjang aritmetik ialah jujukan monotonik. Di mana:

• Jika d > 0 , maka ia semakin meningkat;
• Jika d < 0 , maka ia semakin berkurangan;
• Jika d = 0 , maka urutan itu akan menjadi pegun.

Janjang geometri

Janjang geometri ialah urutan di mana setiap ahli, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya didarab dengan nombor yang sama.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ialah janjang geometri jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

b n +1 = b n · q,

di mana q ≠ 0 - nombor tertentu.

Oleh itu, nisbah sebutan berikutnya bagi janjang geometri yang diberikan kepada yang sebelumnya ialah nombor tetap:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombor q dipanggil penyebut janjang geometri.

Untuk menentukan janjang geometri, cukup untuk menunjukkan sebutan dan penyebut pertamanya.

Sebagai contoh,

Jika b 1 = 1, q = -3 , maka kita dapati lima sebutan pertama bagi jujukan seperti berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 dan penyebut q dia n Istilah ke boleh didapati menggunakan formula:

b n = b 1 · qn -1 .

Sebagai contoh,

cari sebutan ketujuh janjang geometri itu 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

kemudian jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap ahli janjang geometri, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min geometri (berkadar) ahli sebelum dan seterusnya.

Oleh kerana sebaliknya juga benar, pernyataan berikut berlaku:

nombor a, b dan c ialah sebutan berturut-turut bagi beberapa janjang geometri jika dan hanya jika kuasa dua satu daripadanya adalah sama dengan hasil darab dua yang lain, iaitu, satu daripada nombor itu ialah min geometri bagi dua yang lain.

Sebagai contoh,

Mari kita buktikan bahawa urutan yang diberikan oleh formula b n= -3 2 n , ialah janjang geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Oleh itu,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan pernyataan yang dikehendaki. ◄

Perhatikan bahawa n Sebutan ke-th suatu janjang geometri boleh didapati bukan sahaja melalui b 1 , tetapi juga mana-mana ahli terdahulu b k , yang mana ia cukup untuk menggunakan formula

b n = b k · qn - k.

Sebagai contoh,

Untuk b 5 boleh ditulis

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

kemudian jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuasa dua bagi sebarang sebutan janjang geometri, bermula dari kedua, adalah sama dengan hasil darab sebutan janjang ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang geometri kesamaan adalah benar:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Sebagai contoh,

dalam janjang geometri

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kerana

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pertama n ahli janjang geometri dengan penyebut q ≠ 0 dikira dengan formula:

Dan bila q = 1 - mengikut formula

S n= nb 1

Ambil perhatian bahawa jika anda perlu menjumlahkan syarat

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka formula digunakan:

Sebagai contoh,

dalam janjang geometri 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika suatu janjang geometri diberi, maka kuantitinya b 1 , b n, q, n Dan S n dihubungkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai mana-mana tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini, digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Untuk janjang geometri dengan sebutan pertama b 1 dan penyebut q berikut berlaku sifat monotoni :

• perkembangan meningkat jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 Dan q> 1;

b 1 < 0 Dan 0 < q< 1;

• Kemajuan semakin berkurangan jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 Dan 0 < q< 1;

b 1 < 0 Dan q> 1.

Jika q< 0 , maka janjang geometri itu berselang-seli: sebutannya dengan nombor ganjil mempunyai tanda yang sama dengan sebutan pertamanya, dan sebutan dengan nombor genap mempunyai tanda bertentangan. Jelaslah bahawa janjang geometri berselang-seli bukanlah monotonik.

Produk pertama n sebutan janjang geometri boleh dikira menggunakan formula:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Sebagai contoh,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga dipanggil janjang geometri tak terhingga yang modulus penyebutnya kurang 1 , itu dia

|q| < 1 .

Ambil perhatian bahawa janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga mungkin bukan jujukan menurun. Ia sesuai dengan majlis

1 < q< 0 .

Dengan penyebut sedemikian, urutannya berselang-seli. Sebagai contoh,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga namakan nombor yang menghampiri jumlah yang pertama tanpa had n ahli kemajuan dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan n . Nombor ini sentiasa terhingga dan dinyatakan oleh formula

Sebagai contoh,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan antara janjang aritmetik dan geometri

Janjang aritmetik dan geometri adalah berkait rapat. Mari kita lihat hanya dua contoh.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Itu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Sebagai contoh,

1, 3, 5, . . . - janjang aritmetik dengan beza 2 Dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - janjang geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - janjang geometri dengan penyebut q , Itu

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - janjang aritmetik dengan beza log aq .

Sebagai contoh,

2, 12, 72, . . . - janjang geometri dengan penyebut 6 Dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - janjang aritmetik dengan beza lg 6 . ◄

Janjang geometri ialah jenis urutan nombor baharu yang akan kita kenali. Untuk temu janji yang berjaya, tidak salah untuk sekurang-kurangnya mengetahui dan memahami. Maka tidak akan ada masalah dengan janjang geometri.)

Apakah janjang geometri? Konsep janjang geometri.

Kami memulakan lawatan, seperti biasa, dengan perkara asas. Saya menulis urutan nombor yang belum selesai:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Bolehkah anda melihat corak dan memberitahu nombor yang akan datang seterusnya? Lada itu jernih, maka nombor 100,000, 1,000,000 dan seterusnya akan menyusul. Walaupun tanpa banyak usaha mental, semuanya jelas, bukan?)

OKEY. Contoh yang lain. Saya menulis urutan ini:

1, 2, 4, 8, 16, …

Bolehkah anda memberitahu nombor yang akan datang seterusnya, mengikut nombor 16, dan nama kelapan ahli urutan? Jika anda tahu bahawa ia akan menjadi nombor 128, maka sangat bagus. Jadi, separuh perjuangan adalah dalam pemahaman rasa Dan perkara utama janjang geometri telah pun dilakukan. Anda boleh berkembang lebih jauh.)

Dan kini kita beralih lagi dari sensasi kepada matematik yang ketat.

Perkara utama janjang geometri.

Perkara Utama #1

Janjang geometri ialah urutan nombor. Begitu juga perkembangan. Tiada yang mewah. Hanya urutan ini yang disusun berbeza. Oleh itu, secara semula jadi, ia mempunyai nama yang berbeza, ya...

Perkara Utama #2

Dengan perkara utama kedua, soalan akan menjadi lebih rumit. Mari kita kembali sedikit dan ingat sifat utama janjang aritmetik. Ini dia: setiap ahli berbeza dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Adakah mungkin untuk merumuskan sifat utama yang serupa untuk janjang geometri? Fikir sikit... Tengok dengan teliti contoh yang diberikan. Adakah anda menekanya? Ya! Dalam janjang geometri (mana-mana!) Setiap ahlinya berbeza daripada yang sebelumnya bilangan kali yang sama. Sentiasa!

Dalam contoh pertama, nombor ini ialah sepuluh. Mana-mana ahli urutan yang anda ambil, ia lebih besar daripada yang sebelumnya sepuluh kali.

Dalam contoh kedua ia adalah dua: setiap istilah lebih besar daripada yang sebelumnya dua kali.

Perkara utama inilah janjang geometri berbeza daripada janjang aritmetik. Dalam janjang aritmetik, setiap sebutan berikutnya diperolehi dengan menambah nilai yang sama dengan istilah sebelumnya. Dan di sini - pendaraban penggal sebelumnya dengan jumlah yang sama. Itulah perbezaannya.)

Perkara Utama #3

Perkara utama ini adalah sama sepenuhnya dengan perkara untuk janjang aritmetik. Iaitu: Setiap ahli janjang geometri berdiri di tempatnya. Semuanya betul-betul sama seperti dalam janjang aritmetik dan komen, saya fikir, tidak perlu. Ada penggal pertama, ada ratus pertama, dsb. Marilah kita menukar sekurang-kurangnya dua istilah - corak (dan dengannya janjang geometri) akan hilang. Yang akan kekal hanyalah urutan nombor tanpa sebarang logik.

Itu sahaja. Itulah titik keseluruhan janjang geometri.

Terma dan sebutan.

Tetapi sekarang, setelah memahami maksud dan perkara utama janjang geometri, kita boleh beralih kepada teori. Kalau tidak, apa itu teori tanpa memahami maksudnya, bukan?

Bagaimana untuk menandakan janjang geometri?

Bagaimanakah janjang geometri ditulis dalam bentuk umum? Tiada masalah! Setiap penggal janjang juga ditulis sebagai surat. Hanya untuk janjang aritmetik, biasanya huruf digunakan "A", untuk geometri – huruf "b". Nombor ahli, seperti biasa, ditunjukkan indeks di bahagian bawah sebelah kanan. Kami hanya menyenaraikan ahli janjang itu sendiri, dipisahkan dengan koma atau titik bertitik.

seperti ini:

b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Secara ringkas, perkembangan ini ditulis seperti ini: (b n) .

Atau seperti ini, untuk perkembangan terhingga:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

Atau, ringkasnya:

(b n), n=30 .

Itu, sebenarnya, adalah semua sebutan. Semuanya sama, cuma hurufnya berbeza, ya.) Dan sekarang kita beralih terus ke definisi.

Definisi janjang geometri.

Janjang geometri ialah jujukan nombor di mana sebutan pertama adalah bukan sifar, dan setiap sebutan berikutnya adalah sama dengan sebutan sebelumnya yang didarab dengan nombor bukan sifar yang sama.

Itulah keseluruhan definisi. Kebanyakan perkataan dan frasa adalah jelas dan biasa kepada anda. Jika, sudah tentu, anda memahami maksud perkembangan geometri "pada jari anda" dan secara umum. Tetapi terdapat juga beberapa frasa baharu yang saya ingin beri perhatian khusus.

Pertama, perkataan: "ahli pertama yang bukan sifar".

Sekatan pada penggal pertama ini tidak diperkenalkan secara kebetulan. Apa yang anda fikir akan berlaku jika ahli pertama b 1 akan sama dengan sifar? Apakah sebutan kedua akan sama dengan jika setiap sebutan lebih besar daripada sebutan sebelumnya? bilangan kali yang sama? Katakan tiga kali? Mari lihat... Darab sebutan pertama (iaitu 0) dengan 3 dan dapatkan... sifar! Bagaimana dengan ahli ketiga? Juga sifar! Dan sebutan keempat juga sifar! Dan sebagainya…

Kami hanya mendapat beg bagel, urutan sifar:

0, 0, 0, 0, …

Sudah tentu, urutan sedemikian mempunyai hak untuk hidup, tetapi ia tidak mempunyai kepentingan praktikal. Semuanya jelas. Mana-mana ahlinya adalah sifar. Jumlah sebarang bilangan sebutan juga adalah sifar... Apakah perkara menarik yang boleh anda lakukan dengannya? tiada apa-apa…

Kata kunci berikut: "didarab dengan nombor bukan sifar yang sama."

Nombor yang sama ini juga mempunyai nama khasnya sendiri - penyebut janjang geometri. Mari kita mula berkenalan.)

Penyebut janjang geometri.

Segala-galanya adalah semudah memerah pear.

Penyebut janjang geometri ialah nombor bukan sifar (atau kuantiti) yang menunjukkan berapa kalisetiap penggal janjang lebih daripada yang sebelumnya.

Sekali lagi, sama dengan janjang aritmetik, kata kunci yang perlu dicari dalam definisi ini ialah perkataan "lebih". Ini bermakna setiap sebutan janjang geometri diperolehi pendaraban kepada penyebut ini ahli terdahulu.

Biar saya jelaskan.

Untuk mengira, katakan kedua batang, perlu mengambil pertama ahli dan membiak ia kepada penyebut. Untuk pengiraan kesepuluh batang, perlu mengambil kesembilan ahli dan membiak ia kepada penyebut.

Penyebut janjang geometri itu sendiri boleh menjadi apa sahaja. Sesiapa sahaja! Keseluruhan, pecahan, positif, negatif, tidak rasional - semuanya. Kecuali sifar. Inilah yang dikatakan oleh perkataan "bukan sifar" dalam definisi. Mengapa perkataan ini diperlukan di sini - lebih lanjut mengenainya kemudian.

Penyebut janjang geometri paling kerap ditunjukkan oleh surat itu q.

Bagaimana untuk mencarinya q? Tiada masalah! Kita mesti mengambil sebarang istilah kemajuan dan bahagikan dengan istilah sebelumnya. Pembahagian ialah pecahan. Oleh itu namanya - "penyebut kemajuan". Penyebutnya, ia biasanya terletak dalam pecahan, ya...) Walaupun, secara logiknya, nilainya q patut dipanggil persendirian janjang geometri, serupa dengan beza untuk janjang aritmetik. Tetapi kami bersetuju untuk menelefon penyebut. Dan kami juga tidak akan mencipta semula roda itu.)

Mari kita tentukan, sebagai contoh, kuantiti q untuk janjang geometri ini:

2, 6, 18, 54, …

Semuanya adalah asas. Jom ambil mana-mana nombor urutan. Kita ambil apa sahaja yang kita mahu. Kecuali yang pertama. Contohnya, 18. Dan bahagikan dengan nombor sebelumnya. Iaitu, pada pukul 6.

Kita mendapatkan:

q = 18/6 = 3

Itu sahaja. Ini adalah jawapan yang betul. Untuk janjang geometri ini, penyebutnya ialah tiga.

Sekarang mari kita cari penyebutnya q untuk janjang geometri yang lain. Sebagai contoh, yang ini:

1, -2, 4, -8, 16, …

Semuanya sama. Walau apa pun tanda-tanda ahli sendiri, kita tetap ambil mana-mana nombor jujukan (contohnya, 16) dan bahagi dengan nombor sebelumnya(iaitu -8).

Kita mendapatkan:

d = 16/(-8) = -2

Dan itu sahaja.) Kali ini penyebut janjang itu ternyata negatif. Tolak dua. berlaku.)

Sekarang mari kita ambil perkembangan ini:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Dan sekali lagi, tanpa mengira jenis nombor dalam jujukan (sama ada integer, pecahan, malah negatif, malah tidak rasional), kami mengambil sebarang nombor (contohnya, 1/9) dan membahagikan dengan nombor sebelumnya (1/3). Mengikut peraturan untuk bekerja dengan pecahan, sudah tentu.

Kita mendapatkan:

Itu sahaja.) Di sini penyebutnya ternyata pecahan: q = 1/3.

Apakah pendapat anda tentang "kemajuan" ini?

3, 3, 3, 3, 3, …

Jelas di sini q = 1 . Secara rasmi, ini juga merupakan janjang geometri, hanya dengan ahli yang sama.) Tetapi perkembangan sedemikian tidak menarik untuk kajian dan aplikasi praktikal. Sama seperti janjang dengan sifar pepejal. Oleh itu, kami tidak akan menganggap mereka.

Seperti yang anda lihat, penyebut janjang boleh menjadi apa sahaja - integer, pecahan, positif, negatif - apa sahaja! Ia tidak boleh hanya sifar. Tak boleh teka kenapa?

Baiklah, mari kita gunakan beberapa contoh khusus untuk melihat apa yang akan berlaku jika kita ambil sebagai penyebut q sifar.) Marilah kita, sebagai contoh, mempunyai b 1 = 2 , A q = 0 . Apakah yang akan menjadi sebutan kedua?

Kami mengira:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

Bagaimana dengan ahli ketiga?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Jenis dan tingkah laku janjang geometri.

Segala-galanya adalah lebih atau kurang jelas: jika perbezaan kemajuan d adalah positif, maka perkembangannya meningkat. Jika perbezaannya negatif, maka perkembangannya berkurangan. Hanya ada dua pilihan. Tidak ada yang ketiga.)

Tetapi dengan tingkah laku janjang geometri, semuanya akan menjadi lebih menarik dan pelbagai!)

Tidak kira bagaimana istilah itu berkelakuan di sini: mereka meningkat, dan berkurangan, dan menghampiri sifar selama-lamanya, dan juga menukar tanda, secara bergilir-gilir melemparkan diri mereka ke dalam "tambah" dan kemudian ke "tolak"! Dan dalam semua kepelbagaian ini anda perlu dapat memahami dengan baik, ya...

Mari kita fikirkan?) Mari kita mulakan dengan kes yang paling mudah.

Penyebutnya adalah positif ( q >0)

Dengan penyebut positif, pertama, istilah janjang geometri boleh masuk ditambah infiniti(iaitu meningkat tanpa had) dan boleh masuk ke tolak infiniti(iaitu, berkurangan tanpa had). Kami sudah terbiasa dengan tingkah laku perkembangan ini.

Sebagai contoh:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Semuanya mudah di sini. Setiap sebutan janjang diperolehi lebih daripada sebelumnya. Lebih-lebih lagi, setiap istilah ternyata pendaraban ahli terdahulu pada positif nombor +2 (iaitu. q = 2 ). Tingkah laku perkembangan sedemikian adalah jelas: semua ahli perkembangan berkembang tanpa had, pergi ke angkasa. Ditambah infiniti...

Dan sekarang inilah perkembangannya:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Di sini juga, setiap istilah janjang diperolehi pendaraban ahli terdahulu pada positif nombor +2. Tetapi tingkah laku janjang sedemikian adalah sebaliknya: setiap istilah janjang itu diperolehi kurang daripada sebelumnya, dan semua istilahnya berkurangan tanpa had, akan menjadi tolak infiniti.

Sekarang mari kita fikirkan: apakah persamaan kedua-dua perkembangan ini? Betul, penyebut! sana sini q = +2 . Nombor positif. dua. Dan di sini tingkah laku Kedua-dua perkembangan ini pada asasnya berbeza! Tak boleh teka kenapa? Ya! Ini semua tentang ahli pertama! Dia, seperti yang mereka katakan, yang memanggil lagu itu.) Lihat sendiri.

Dalam kes pertama, penggal pertama perkembangan positif(+1) dan, oleh itu, semua sebutan berikutnya diperoleh dengan mendarab dengan positif penyebut q = +2 , juga akan positif.

Tetapi dalam kes kedua, penggal pertama negatif(-1). Oleh itu, semua sebutan seterusnya bagi janjang, diperoleh dengan mendarab dengan positif q = +2 , juga akan diperolehi negatif. Kerana "tolak" kepada "tambah" sentiasa memberikan "tolak", ya.)

Seperti yang anda lihat, tidak seperti janjang aritmetik, janjang geometri boleh berkelakuan berbeza sepenuhnya bukan sahaja bergantung daripada penyebutq, tetapi juga bergantung daripada ahli pertama, Ya.)

Ingat: kelakuan janjang geometri secara unik ditentukan oleh sebutan pertamanya b 1 dan penyebutq .

Dan sekarang kita mula menganalisis kes yang kurang biasa, tetapi lebih menarik!

Mari kita ambil, sebagai contoh, urutan ini:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Urutan ini juga merupakan janjang geometri! Setiap penggal perkembangan ini juga ternyata pendaraban ahli sebelumnya, dengan nombor yang sama. Ia hanya nombor - pecahan: q = +1/2 . Ataupun +0,5 . Lebih-lebih lagi (penting!) nombornya kurang daripada satu:q = 1/2<1.

Mengapakah janjang geometri ini menarik? Ke manakah hala tuju ahlinya? Mari lihat:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Apakah perkara menarik yang boleh anda perhatikan di sini? Pertama sekali, penurunan dari segi perkembangan itu dapat dilihat dengan serta-merta: setiap ahlinya kurang yang sebelumnya betul-betul 2 kali. Atau, mengikut takrifan janjang geometri, setiap sebutan lebih sebelumnya 1/2 kali, kerana penyebut janjang q = 1/2 . Dan apabila didarab dengan nombor positif kurang daripada satu, hasilnya biasanya berkurangan, ya...

Apa lebih boleh dilihat dalam tingkah laku perkembangan ini? Adakah ahlinya semakin berkurangan? tidak terhad, akan tolak infiniti? Tidak! Mereka hilang dengan cara yang istimewa. Pada mulanya mereka berkurangan dengan cepat, dan kemudian semakin perlahan. Dan sementara kekal sepanjang masa positif. Walaupun sangat-sangat kecil. Dan apa yang mereka sendiri perjuangkan? Tidakkah anda meneka? Ya! Mereka berusaha ke arah sifar!) Lebih-lebih lagi, perhatikan, ahli kemajuan kami adalah dari sifar tidak pernah sampai! Sahaja menghampirinya dengan sangat dekat. Ianya sangat penting.)

Situasi yang sama akan berlaku dalam perkembangan berikut:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Di sini b 1 = -1 , A q = 1/2 . Segala-galanya adalah sama, hanya sekarang istilah akan menghampiri sifar dari sisi lain, dari bawah. Kekal sepanjang masa negatif.)

Janjang geometri sedemikian, yang syaratnya mendekati sifar tanpa had(tidak kira dari sisi positif atau negatif), dalam matematik mempunyai nama khas - janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga. Perkembangan ini sangat menarik dan luar biasa sehinggakan ia akan dibincangkan pelajaran berasingan .)

Jadi, kami telah mempertimbangkan semua kemungkinan positif penyebutnya adalah besar dan lebih kecil. Kami tidak menganggap unit itu sendiri sebagai penyebut atas sebab yang dinyatakan di atas (ingat contoh dengan urutan kembar tiga...)

Mari kita ringkaskan:

positifDan lebih daripada satu (q>1), maka syarat janjang:

a) meningkat tanpa had (jikab 1 >0);

b) berkurangan tanpa had (jikab 1 <0).

Jika penyebut janjang geometri positif Dan kurang daripada satu (0< q<1), то члены прогрессии:

a) hampir tak terhingga kepada sifar atas(Jikab 1 >0);

b) menghampiri tak terhingga menghampiri sifar dari bawah(Jikab 1 <0).

Ia kini kekal untuk mempertimbangkan kes itu penyebut negatif.

Penyebut adalah negatif ( q <0)

Kami tidak akan pergi jauh untuk contoh. Kenapa, betul-betul, nenek kusut?!) Biarkan, sebagai contoh, penggal pertama janjang itu b 1 = 1 , dan mari kita ambil penyebutnya q = -2.

Kami mendapat urutan berikut:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

Dan seterusnya.) Setiap sebutan janjang diperolehi pendaraban ahli terdahulu pada nombor negatif-2. Dalam kes ini, semua ahli yang berdiri di tempat ganjil (pertama, ketiga, kelima, dll.) akan menjadi positif, dan di tempat genap (kedua, keempat, dsb.) – negatif. Tanda-tanda itu silih berganti. Tambah-tolak-tambah-tolak... Janjang geometri ini dipanggil - tanda meningkat berselang seli.

Ke manakah hala tuju ahlinya? Tetapi tiada di mana-mana.) Ya, dalam nilai mutlak (iaitu modulo) ahli perkembangan kami meningkat tanpa had (oleh itu namanya "meningkat"). Tetapi pada masa yang sama, setiap ahli perkembangan secara bergilir-gilir melemparkan anda ke dalam panas, kemudian ke dalam kesejukan. Sama ada "tambah" atau "tolak". Kemajuan kita goyah... Lagipun skop turun naik berkembang pesat dengan setiap langkah, ya.) Oleh itu, aspirasi ahli-ahli kemajuan entah ke mana. secara khusus Di sini Tidak. Sama ada tambah infiniti, atau tolak infiniti, mahupun sifar - tiada di mana-mana.

Sekarang mari kita pertimbangkan beberapa penyebut pecahan antara sifar dan tolak satu.

Contohnya, biarlah b 1 = 1 , A q = -1/2.

Kemudian kita mendapat perkembangan:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Dan sekali lagi kita mempunyai tanda-tanda yang silih berganti! Tetapi, tidak seperti contoh sebelumnya, di sini sudah ada kecenderungan yang jelas untuk istilah mendekati sifar.) Hanya kali ini istilah kami menghampiri sifar bukan sahaja dari atas atau bawah, tetapi sekali lagi teragak-agak. Bergantian mengambil nilai positif dan negatif. Tetapi pada masa yang sama mereka modul semakin hampir dan lebih dekat dengan sifar yang dihargai.)

Janjang geometri ini dipanggil tanda menurun tak terhingga, berselang-seli.

Mengapa dua contoh ini menarik? Dan hakikat bahawa dalam kedua-dua kes berlaku silih berganti tanda! Silap mata ini adalah tipikal hanya untuk janjang dengan penyebut negatif, ya.) Oleh itu, jika dalam beberapa tugas anda melihat janjang geometri dengan sebutan berselang-seli, anda pasti sudah tahu bahawa penyebutnya adalah 100% negatif dan anda tidak akan membuat kesilapan dalam tanda.)

Dengan cara ini, dalam kes penyebut negatif, tanda istilah pertama tidak sama sekali mempengaruhi tingkah laku perkembangan itu sendiri. Tidak kira tanda penggal pertama janjang, dalam apa jua keadaan tanda terma akan dipatuhi. Satu-satunya soalan ialah, di tempat apa(genap atau ganjil) akan ada ahli dengan tanda-tanda tertentu.

Ingat:

Jika penyebut janjang geometri negatif , maka tanda-tanda syarat kemajuan adalah sentiasa alternatif.

Pada masa yang sama, ahli sendiri:

a) meningkat tanpa hadmodulo, Jikaq<-1;

b) menghampiri sifar tak terhingga jika -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Itu sahaja. Semua kes biasa telah dianalisis.)

Dalam proses menganalisis pelbagai contoh janjang geometri, saya secara berkala menggunakan perkataan: "cenderung kepada sifar", "cenderung tambah infiniti", "cenderung tolak infiniti"... Tidak mengapa.) Kiasan ini (dan contoh khusus) hanyalah pengenalan awal kepada tingkah laku pelbagai urutan nombor. Menggunakan contoh janjang geometri.

Mengapa kita perlu mengetahui tingkah laku perkembangan? Apakah perbezaannya di mana dia pergi? Ke arah sifar, kepada tambah infiniti, kepada tolak infiniti... Apakah kesannya kepada kita?

Masalahnya ialah sudah berada di universiti, dalam kursus matematik yang lebih tinggi, anda akan memerlukan keupayaan untuk bekerja dengan pelbagai jenis urutan berangka (dengan mana-mana, bukan hanya janjang!) dan keupayaan untuk membayangkan dengan tepat bagaimana urutan ini atau itu berkelakuan - sama ada ia meningkat sama ada ia berkurangan tanpa had, sama ada ia cenderung kepada nombor tertentu (dan tidak semestinya kepada sifar), atau bahkan tidak cenderung kepada apa-apa sama sekali... Seluruh bahagian dikhaskan untuk topik ini dalam kursus matematik analisis - teori had. Dan sedikit lebih khusus - konsepnya had urutan nombor. Topik yang sangat menarik! Masuk akal untuk pergi ke kolej dan memikirkannya.)

Beberapa contoh daripada bahagian ini (urutan mempunyai had) dan khususnya, janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga Mereka mula membiasakan diri di sekolah. Kami membiasakannya.)

Selain itu, keupayaan untuk mengkaji dengan baik tingkah laku jujukan akan memberi manfaat besar kepada anda pada masa hadapan dan akan sangat berguna dalam penyelidikan fungsi. Yang paling pelbagai. Tetapi keupayaan untuk bekerja dengan cekap dengan fungsi (mengira derivatif, mengkajinya sepenuhnya, membina grafnya) sudah secara mendadak meningkatkan tahap matematik anda! Adakah anda mempunyai sebarang keraguan? Tidak perlu. Juga ingat kata-kata saya.)

Mari kita lihat perkembangan geometri dalam kehidupan?

Dalam kehidupan di sekeliling kita, kita sering menghadapi perkembangan geometri. Walaupun tanpa disedari.)

Sebagai contoh, pelbagai mikroorganisma yang mengelilingi kita di mana-mana dalam kuantiti yang banyak dan yang tidak dapat kita lihat tanpa mikroskop membiak dengan tepat dalam janjang geometri.

Katakan satu bakteria membiak dengan membahagi dua, memberikan anak kepada 2 bakteria. Sebaliknya, setiap daripada mereka, apabila mendarab, juga membahagi dua, memberikan keturunan biasa 4 bakteria. Generasi seterusnya akan menghasilkan 8 bakteria, kemudian 16 bakteria, 32, 64 dan seterusnya. Dengan setiap generasi berikutnya, bilangan bakteria berganda. Contoh biasa janjang geometri.)

Selain itu, sesetengah serangga – kutu daun dan lalat – membiak secara eksponen. Dan kadang-kadang arnab juga, dengan cara itu.)

Satu lagi contoh janjang geometri, lebih dekat dengan kehidupan seharian, adalah apa yang dipanggil faedah kompaun. Fenomena menarik ini sering dijumpai dalam deposit bank dan dipanggil permodalan faedah. Apa ini?

Anda sendiri masih, sudah tentu, muda. Anda belajar di sekolah, anda tidak pergi ke bank. Tetapi ibu bapa anda sudah dewasa dan berdikari. Mereka pergi bekerja, mendapatkan wang untuk makanan harian mereka, dan memasukkan sebahagian daripada wang itu ke dalam bank, membuat simpanan.)

Katakan ayah anda ingin menyimpan sejumlah wang untuk percutian keluarga di Turki dan meletakkan 50,000 rubel di bank pada kadar 10% setahun untuk tempoh tiga tahun dengan permodalan faedah tahunan. Selain itu, sepanjang tempoh ini tiada apa yang boleh dilakukan dengan deposit. Anda tidak boleh mengisi semula deposit atau mengeluarkan wang dari akaun. Berapakah keuntungan yang akan dia perolehi selepas tiga tahun ini?

Baiklah, pertama sekali, kita perlu memikirkan apa itu 10% setahun. Maksudnya begitu dalam setahun Bank akan menambah 10% kepada jumlah deposit awal. Dari apa? Sudah tentu, dari jumlah deposit awal.

Kami mengira saiz akaun selepas setahun. Jika jumlah deposit awal ialah 50,000 rubel (iaitu 100%), maka selepas setahun akan ada berapa banyak faedah pada akaun? Betul, 110%! Dari 50,000 rubel.

Jadi kami mengira 110% daripada 50,000 rubel:

50000·1.1 = 55000 rubel.

Saya harap anda faham bahawa mencari 110% daripada nilai bermakna mendarabkan nilai itu dengan nombor 1.1? Jika anda tidak faham mengapa ini berlaku, ingat gred kelima dan keenam. Iaitu – hubungan antara peratusan dan pecahan dan bahagian.)

Oleh itu, kenaikan untuk tahun pertama akan menjadi 5,000 rubel.

Berapa banyak wang akan berada dalam akaun dalam masa dua tahun? 60,000 rubel? Malangnya (atau lebih tepatnya, mujurlah), semuanya tidak begitu mudah. Keseluruhan helah permodalan faedah ialah dengan setiap akruan faedah baharu, kepentingan yang sama ini akan dipertimbangkan sudah daripada jumlah baru! Daripada orang yang sudah ada pada akaun Pada masa ini. Dan faedah yang terakru untuk tempoh sebelumnya ditambah kepada jumlah deposit asal dan, dengan itu, ia mengambil bahagian dalam pengiraan faedah baru! Iaitu, mereka menjadi sebahagian penuh daripada keseluruhan akaun. Atau umum modal. Oleh itu nama - permodalan faedah.

Ia dalam ekonomi. Dan dalam matematik peratusan sedemikian dipanggil faedah kompaun. Ataupun peratusan faedah.) Helah mereka ialah apabila mengira secara berurutan, peratusan dikira setiap kali daripada nilai baharu. Dan bukan dari asal...

Oleh itu, untuk mengira jumlah melalui dua tahun, kita perlu mengira 110% daripada jumlah yang akan berada dalam akaun dalam setahun. Iaitu, sudah dari 55,000 rubel.

Kami mengira 110% daripada 55,000 rubel:

55000·1.1 = 60500 rubel.

Ini bermakna peratusan peningkatan untuk tahun kedua akan menjadi 5,500 rubel, dan selama dua tahun - 10,500 rubel.

Sekarang anda sudah boleh meneka bahawa selepas tiga tahun jumlah dalam akaun akan menjadi 110% daripada 60,500 rubel. Itu sekali lagi 110% daripada yang sebelumnya (tahun lepas) jumlah.

Di sini kita fikir:

60500·1.1 = 66550 rubel.

Sekarang kami menyusun jumlah kewangan kami mengikut tahun mengikut urutan:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000·1.1 = (50000·1.1)·1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

Jadi macam mana? Mengapa bukan janjang geometri? Ahli pertama b 1 = 50000 , dan penyebut q = 1,1 . Setiap istilah adalah 1.1 kali lebih besar daripada yang sebelumnya. Semuanya mengikut definisi yang ketat.)

Dan berapa banyak bonus faedah tambahan yang akan "terkumpul" oleh ayah anda sementara 50,000 rubelnya telah disimpan dalam akaun banknya selama tiga tahun?

Kami mengira:

66550 – 50000 = 16550 rubel

Tidak banyak, sudah tentu. Tetapi ini jika jumlah deposit awal adalah kecil. Bagaimana jika ada lagi? Katakan, bukan 50, tetapi 200 ribu rubel? Kemudian peningkatan dalam tempoh tiga tahun ialah 66,200 rubel (jika anda membuat pengiraan). Yang sudah sangat bagus.) Bagaimana jika sumbangan lebih besar? itu sahaja...

Kesimpulan: semakin tinggi deposit permulaan, semakin menguntungkan permodalan faedah. Itulah sebabnya deposit dengan permodalan faedah disediakan oleh bank untuk tempoh yang lama. Katakan selama lima tahun.

Juga, semua jenis penyakit buruk seperti influenza, campak dan penyakit yang lebih dahsyat (SARS yang sama pada awal 2000-an atau wabak pada Zaman Pertengahan) suka merebak dengan pesat. Oleh itu skala wabak, ya...) Dan semua disebabkan oleh fakta bahawa janjang geometri dengan keseluruhan penyebut positif (q>1) – sesuatu yang berkembang dengan sangat cepat! Ingat pembiakan bakteria: daripada satu bakteria dua diperolehi, daripada dua - empat, daripada empat - lapan, dan seterusnya... Ia sama dengan penyebaran sebarang jangkitan.)

Masalah paling mudah mengenai janjang geometri.

Mari kita mulakan, seperti biasa, dengan masalah mudah. Semata-mata untuk memahami maksudnya.

1. Diketahui bahawa sebutan kedua janjang geometri ialah 6, dan penyebutnya ialah -0.5. Cari sebutan pertama, ketiga dan keempat.

Jadi kita diberi tidak berkesudahan janjang geometri, tetapi diketahui penggal kedua perkembangan ini:

b 2 = 6

Selain itu, kita juga tahu penyebut janjang:

q = -0.5

Dan anda perlu mencari pertama, ketiga Dan keempat ahli perkembangan ini.

Jadi kita bertindak. Kami menulis urutan mengikut keadaan masalah. Secara langsung dalam bentuk umum, di mana sebutan kedua ialah enam:

b 1, 6,b 3 , b 4 , …

Sekarang mari kita mula mencari. Kami mulakan, seperti biasa, dengan yang paling mudah. Anda boleh mengira, sebagai contoh, istilah ketiga b 3? Boleh! Anda dan saya sudah tahu (secara langsung dalam erti kata janjang geometri) bahawa istilah ketiga (b 3) lebih daripada yang kedua (b 2 ) V "q" sekali!

Jadi kami menulis:

b 3 =b 2 · q

Kami menggantikan enam ke dalam ungkapan ini dan bukannya b 2 dan -0.5 sebaliknya q dan kita mengira. Dan kami juga tidak mengabaikan tolak, sudah tentu...

b 3 = 6·(-0.5) = -3

macam ni. Penggal ketiga ternyata negatif. Tidak hairanlah: penyebut kami q– negatif. Dan mendarabkan tambah dengan tolak, sudah tentu, akan menjadi tolak.)

Sekarang kita mengira penggal keempat janjang seterusnya:

b 4 =b 3 · q

b 4 = -3·(-0.5) = 1.5

Penggal keempat sekali lagi dengan tambah. Penggal kelima sekali lagi akan menjadi tolak, yang keenam akan ditambah, dan seterusnya. Tanda-tandanya silih berganti!

Jadi, sebutan ketiga dan keempat dijumpai. Hasilnya ialah urutan berikut:

b 1 ; 6; -3; 1.5; ...

Sekarang yang tinggal hanyalah mencari penggal pertama b 1 mengikut detik yang terkenal. Untuk melakukan ini, kami melangkah ke arah lain, ke kiri. Ini bermakna dalam kes ini kita tidak perlu mendarab sebutan kedua janjang dengan penyebut, tetapi bahagikan.

Kami membahagikan dan mendapat:

Itu sahaja.) Jawapan kepada masalah adalah seperti ini:

-12; 6; -3; 1,5; …

Seperti yang anda lihat, prinsip penyelesaian adalah sama seperti dalam . Kami tahu mana-mana ahli dan penyebut janjang geometri - kita boleh mencari mana-mana ahli lain daripadanya. Kita akan cari yang kita mahu.) Satu-satunya perbezaan ialah penambahan/penolakan digantikan dengan pendaraban/pembahagian.

Ingat: jika kita mengetahui sekurang-kurangnya satu ahli dan penyebut janjang geometri, maka kita sentiasa boleh mencari mana-mana ahli janjang ini.

Masalah berikut, mengikut tradisi, adalah dari versi sebenar OGE:

2.

...; 150; X; 6; 1.2; ...

Jadi macam mana? Kali ini tiada penggal pertama, tiada penyebut q, hanya urutan nombor diberikan... Sesuatu yang sudah biasa, bukan? Ya! Masalah yang sama telah pun diselesaikan dalam janjang aritmetik!

Jadi kami tidak takut. Semuanya sama. Mari kita pusingkan kepala kita dan ingat makna asas janjang geometri. Kami melihat dengan teliti pada urutan kami dan mengetahui parameter janjang geometri bagi tiga yang utama (sebutan pertama, penyebut, nombor sebutan) tersembunyi di dalamnya.

Nombor ahli? Tiada nombor keahlian, ya... Tetapi ada empat berturut-turut nombor. Saya tidak nampak apa-apa guna menjelaskan maksud perkataan ini pada peringkat ini.) Adakah terdapat dua nombor jiran yang diketahui? makan! Ini adalah 6 dan 1.2. Jadi kita boleh cari penyebut janjang. Jadi kita ambil nombor 1.2 dan bahagikan kepada nombor sebelumnya. Kepada enam.

Kita mendapatkan:

Kita mendapatkan:

x= 150·0.2 = 30

Jawapan: x = 30 .

Seperti yang anda lihat, semuanya agak mudah. Kesukaran utama hanya dalam pengiraan. Ia amat sukar dalam kes penyebut negatif dan pecahan. Jadi mereka yang mempunyai masalah, ulang aritmetik! Bagaimana untuk bekerja dengan pecahan, bagaimana untuk bekerja dengan nombor negatif, dan sebagainya... Jika tidak, anda akan melambatkan tanpa belas kasihan di sini.

Sekarang mari kita ubah suai masalah itu sedikit. Kini ia akan menjadi menarik! Mari kita keluarkan nombor terakhir 1.2 daripadanya. Sekarang mari kita selesaikan masalah ini:

3. Beberapa sebutan berturut-turut bagi janjang geometri ditulis:

...; 150; X; 6; ...

Cari sebutan janjang yang ditunjukkan oleh huruf x.

Semuanya sama, hanya dua bersebelahan terkenal Kami kini tidak mempunyai ahli kemajuan. Ini adalah masalah utama. Kerana magnitud q melalui dua istilah berjiran kita boleh tentukan dengan mudah kita tidak boleh. Adakah kita mempunyai peluang untuk menghadapi tugas itu? Sudah tentu!

Mari kita tulis istilah yang tidak diketahui " x"secara langsung dalam pengertian janjang geometri! Secara umum.

Ya Ya! Betul dengan penyebut yang tidak diketahui!

Di satu pihak, untuk X kita boleh menulis nisbah berikut:

x= 150·q

Sebaliknya, kami mempunyai hak untuk menerangkan X yang sama ini seterusnya ahli, melalui enam! Bahagi enam dengan penyebut.

seperti ini:

x = 6/ q

Jelas sekali, kini kita boleh menyamakan kedua-dua nisbah ini. Sejak kita meluahkan sama magnitud (x), tetapi dua cara yang berbeza.

Kami mendapat persamaan:

Mendarabkan segala-galanya dengan q, memudahkan dan memendekkan, kita mendapat persamaan:

q2 = 1/25

Kami menyelesaikan dan mendapat:

q = ±1/5 = ±0.2

Aduh! Penyebutnya menjadi dua kali ganda! +0.2 dan -0.2. Dan yang mana satu patut anda pilih? Jalan mati?

Tenang! Ya, masalahnya sebenarnya ada dua penyelesaian! Tidak ada yang salah dengan itu. Ia berlaku.) Anda tidak terkejut apabila, sebagai contoh, anda mendapat dua punca apabila menyelesaikan masalah biasa? Ia adalah cerita yang sama di sini.)

Untuk q = +0.2 kita akan dapat:

X = 150 0.2 = 30

Dan untuk q = -0,2 akan:

X = 150·(-0.2) = -30

Kami mendapat jawapan berganda: x = 30; x = -30.

Apakah maksud fakta menarik ini? Dan apa yang wujud dua perkembangan, memenuhi syarat masalah!

Seperti yang ini:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Kedua-duanya sesuai.) Pada pendapat anda, mengapakah jawapan kami berpecah? Hanya kerana penyingkiran ahli tertentu perkembangan (1,2), datang selepas enam. Dan dengan hanya mengetahui sebutan (n-1) dan seterusnya (n+1) bagi janjang geometri, kita tidak lagi boleh mengatakan apa-apa dengan jelas tentang sebutan ke-n yang berdiri di antara mereka. Terdapat dua pilihan - dengan tambah dan dengan tolak.

Tetapi tiada masalah. Sebagai peraturan, dalam tugas perkembangan geometri terdapat maklumat tambahan yang memberikan jawapan yang tidak jelas. Mari kita sebut perkataan: "perkembangan berselang-seli" atau "kemajuan dengan penyebut positif" dan seterusnya... Kata-kata inilah yang sepatutnya menjadi petunjuk tentang tanda, tambah atau tolak, yang harus dipilih semasa menyediakan jawapan akhir. Jika tiada maklumat sedemikian, maka ya, tugas itu akan ada dua penyelesaian.)

Sekarang kita tentukan sendiri.

4. Tentukan sama ada nombor 20 adalah ahli janjang geometri:

4 ; 6; 9; …

5. Tanda janjang geometri berselang-seli diberikan:

…; 5; x ; 45; …

Cari istilah janjang yang ditunjukkan oleh huruf itu x .

6. Cari sebutan positif keempat bagi janjang geometri:

625; -250; 100; …

7. Sebutan kedua janjang geometri adalah bersamaan dengan -360, dan sebutan kelimanya bersamaan dengan 23.04. Cari sebutan pertama janjang ini.

Jawapan (dalam gangguan): -15; 900; Tidak; 2.56.

Tahniah jika semuanya berjaya!

Sesuatu yang tidak sesuai? Di suatu tempat terdapat jawapan berganda? Baca syarat tugasan dengan teliti!

Masalah terakhir tidak berjaya? Tidak ada yang rumit di sana.) Kami bekerja secara langsung mengikut maksud janjang geometri. Nah, anda boleh melukis gambar. Ia membantu.)

Seperti yang anda lihat, semuanya adalah asas. Jika perkembangannya pendek. Bagaimana jika ia panjang? Atau adakah bilangan ahli yang diperlukan sangat ramai? Saya ingin, dengan analogi dengan janjang aritmetik, entah bagaimana mendapatkan formula yang mudah yang menjadikannya mudah dicari mana-mana sebutan bagi sebarang janjang geometri dengan nombornya. Tanpa mendarab berkali-kali q. Dan ada formula sedemikian!) Butiran ada dalam pelajaran seterusnya.

Mari kita pertimbangkan siri tertentu.

7 28 112 448 1792...

Jelas sekali bahawa nilai mana-mana unsurnya betul-betul empat kali lebih besar daripada yang sebelumnya. Ini bermakna siri ini adalah satu perkembangan.

Janjang geometri ialah urutan nombor yang tidak terhingga, ciri utamanya ialah nombor seterusnya diperoleh daripada yang sebelumnya dengan mendarab dengan nombor tertentu. Ini dinyatakan oleh formula berikut.

a z +1 =a z ·q, dengan z ialah nombor elemen yang dipilih.

Sehubungan itu, z ∈ N.

Tempoh di mana janjang geometri dipelajari di sekolah ialah darjah 9. Contoh akan membantu anda memahami konsep:

0.25 0.125 0.0625...

Berdasarkan formula ini, penyebut janjang boleh didapati seperti berikut:

Baik q mahupun b z boleh menjadi sifar. Selain itu, setiap elemen janjang tidak boleh sama dengan sifar.

Oleh itu, untuk mengetahui nombor seterusnya dalam satu siri, anda perlu mendarab yang terakhir dengan q.

Untuk menetapkan janjang ini, anda mesti menentukan elemen dan penyebutnya yang pertama. Selepas ini, adalah mungkin untuk mencari mana-mana istilah berikutnya dan jumlahnya.

Varieti

Bergantung kepada q dan a 1, janjang ini dibahagikan kepada beberapa jenis:

• Jika kedua-dua a 1 dan q adalah lebih besar daripada satu, maka jujukan sedemikian ialah janjang geometri yang meningkat dengan setiap elemen berikutnya. Contoh ini dibentangkan di bawah.

Contoh: a 1 =3, q=2 - kedua-dua parameter lebih besar daripada satu.

Kemudian urutan nombor boleh ditulis seperti ini:

3 6 12 24 48 ...

• Jika |q| adalah kurang daripada satu, iaitu, pendaraban dengannya bersamaan dengan pembahagian, maka janjang dengan keadaan yang serupa ialah janjang geometri menurun. Contoh ini dibentangkan di bawah.

Contoh: a 1 =6, q=1/3 - a 1 lebih besar daripada satu, q kurang.

Kemudian urutan nombor boleh ditulis seperti berikut:

6 2 2/3 ... - mana-mana unsur adalah 3 kali lebih besar daripada unsur yang mengikutinya.

• Tanda berselang seli. Jika q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Contoh: a 1 = -3, q = -2 - kedua-dua parameter adalah kurang daripada sifar.

Kemudian urutan nombor boleh ditulis seperti ini:

3, 6, -12, 24,...

Formula

Terdapat banyak formula untuk kegunaan mudah janjang geometri:

• Formula jangka Z. Membolehkan anda mengira elemen di bawah nombor tertentu tanpa mengira nombor sebelumnya.

Contoh:q = 3, a 1 = 4. Ia dikehendaki mengira elemen keempat janjang itu.

Penyelesaian:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Jumlah unsur pertama yang kuantitinya sama dengan z. Membolehkan anda mengira jumlah semua elemen urutan sehinggaa zinklusif.

Sejak (1-q) berada dalam penyebut, maka (1 - q)≠ 0, oleh itu q tidak sama dengan 1.

Nota: jika q=1, maka janjang itu akan menjadi satu siri nombor berulang tak terhingga.

Jumlah janjang geometri, contoh:a 1 = 2, q= -2. Kira S5.

Penyelesaian:S 5 = 22 - pengiraan menggunakan formula.

• Jumlah jika |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Contoh:a 1 = 2 , q= 0.5. Cari jumlahnya.

Penyelesaian:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Beberapa sifat:

• Ciri ciri. Jika syarat berikut berfungsi untuk mana-manaz, maka siri nombor yang diberikan ialah janjang geometri:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Juga, kuasa dua sebarang nombor dalam janjang geometri ditemui dengan menambah kuasa dua mana-mana dua nombor lain dalam siri tertentu, jika jaraknya sama dari unsur ini.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Di manat- jarak antara nombor ini.

• elemenberbeza dalam qsekali.
• Logaritma unsur-unsur janjang juga membentuk janjang, tetapi satu aritmetik, iaitu, setiap satu daripadanya lebih besar daripada yang sebelumnya dengan nombor tertentu.

Contoh beberapa masalah klasik

Untuk lebih memahami apa itu janjang geometri, contoh dengan penyelesaian untuk kelas 9 boleh membantu.

• syarat:a 1 = 3, a 3 = 48. Cariq.

Penyelesaian: setiap elemen berikutnya adalah lebih besar daripada elemen sebelumnya dalamq sekali.Adalah perlu untuk menyatakan beberapa unsur dari segi yang lain menggunakan penyebut.

Oleh itu,a 3 = q 2 · a 1

Apabila menggantikanq= 4

• syarat:a 2 = 6, a 3 = 12. Kira S 6.

Penyelesaian:Untuk melakukan ini, cari q, elemen pertama dan gantikannya ke dalam formula.

a 3 = q· a 2 , oleh itu,q= 2

a 2 = q · a 1,sebab tu a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Cari unsur keempat janjang itu.

Penyelesaian: untuk melakukan ini, cukup untuk menyatakan unsur keempat melalui penyebut pertama dan melalui penyebut.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Contoh permohonan:

• Pelanggan bank membuat deposit dalam jumlah 10,000 rubel, di bawah syarat yang setiap tahun pelanggan akan mempunyai 6% daripadanya ditambah kepada jumlah prinsipal. Berapakah jumlah wang yang akan berada dalam akaun selepas 4 tahun?

Penyelesaian: Jumlah awal ialah 10 ribu rubel. Ini bermakna setahun selepas pelaburan akaun akan mempunyai jumlah yang sama dengan 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

Sehubungan itu, jumlah dalam akaun selepas setahun lagi akan dinyatakan seperti berikut:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Iaitu, setiap tahun jumlahnya meningkat sebanyak 1.06 kali ganda. Ini bermakna untuk mencari jumlah dana dalam akaun selepas 4 tahun, sudah cukup untuk mencari elemen keempat perkembangan, yang diberikan oleh elemen pertama bersamaan dengan 10 ribu dan penyebutnya sama dengan 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Contoh masalah pengiraan jumlah:

Janjang geometri digunakan dalam pelbagai masalah. Contoh untuk mencari jumlah boleh diberikan seperti berikut:

a 1 = 4, q= 2, hitungS 5.

Penyelesaian: semua data yang diperlukan untuk pengiraan diketahui, anda hanya perlu menggantikannya ke dalam formula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Hitung hasil tambah enam unsur pertama.

Penyelesaian:

Dalam geom. kemajuan, setiap elemen seterusnya adalah q kali lebih besar daripada yang sebelumnya, iaitu, untuk mengira jumlah yang anda perlukan untuk mengetahui elemena 1 dan penyebutq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Begitu juga, anda perlu mencaria 1 , mengetahuia 2 Danq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Janjang geometri, bersama-sama dengan janjang aritmetik, ialah siri nombor penting yang dipelajari dalam kursus algebra sekolah dalam gred 9. Dalam artikel ini kita akan melihat penyebut janjang geometri dan cara nilainya mempengaruhi sifatnya.

Definisi janjang geometri

Pertama, mari kita berikan definisi siri nombor ini. Janjang geometri ialah satu siri nombor rasional yang dibentuk dengan mendarabkan unsur pertamanya secara berurutan dengan nombor tetap yang dipanggil penyebut.

Sebagai contoh, nombor dalam siri 3, 6, 12, 24, ... adalah janjang geometri, kerana jika anda mendarab 3 (elemen pertama) dengan 2, anda mendapat 6. Jika anda mendarab 6 dengan 2, anda mendapat 12, dan seterusnya.

Ahli-ahli jujukan yang sedang dipertimbangkan biasanya dilambangkan dengan simbol ai, di mana i ialah integer yang menunjukkan nombor unsur dalam siri itu.

Takrif janjang di atas boleh ditulis dalam bahasa matematik seperti berikut: an = bn-1 * a1, dengan b ialah penyebut. Mudah untuk menyemak formula ini: jika n = 1, maka b1-1 = 1, dan kita mendapat a1 = a1. Jika n = 2, maka an = b * a1, dan kita sekali lagi sampai kepada takrifan siri nombor yang dipersoalkan. Penaakulan yang sama boleh diteruskan untuk nilai besar n.

Penyebut janjang geometri

Nombor b sepenuhnya menentukan watak keseluruhan siri nombor itu. Penyebut b boleh menjadi positif, negatif, atau lebih besar daripada atau kurang daripada satu. Semua pilihan di atas membawa kepada urutan yang berbeza:

• b > 1. Terdapat siri nombor rasional yang semakin meningkat. Contohnya, 1, 2, 4, 8, ... Jika unsur a1 adalah negatif, maka keseluruhan jujukan akan meningkat hanya dalam nilai mutlak, tetapi berkurangan bergantung pada tanda nombor.
• b = 1. Selalunya kes ini tidak dipanggil janjang, kerana terdapat siri biasa nombor rasional yang sama. Contohnya, -4, -4, -4.

Formula untuk jumlah

Sebelum beralih kepada pertimbangan masalah khusus menggunakan penyebut jenis janjang yang sedang dipertimbangkan, formula penting untuk jumlah n unsur pertamanya harus diberikan. Formula kelihatan seperti: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Anda boleh mendapatkan ungkapan ini sendiri jika anda mempertimbangkan urutan rekursif bagi sebutan janjang. Juga ambil perhatian bahawa dalam formula di atas adalah cukup untuk mengetahui hanya elemen pertama dan penyebut untuk mencari jumlah bilangan sebutan sewenang-wenangnya.

Urutan menurun tanpa had

Penjelasan telah diberikan di atas tentang apa itu. Sekarang, mengetahui formula untuk Sn, mari kita gunakannya pada siri nombor ini. Oleh kerana sebarang nombor yang modulusnya tidak melebihi 1 cenderung kepada sifar apabila dinaikkan kepada kuasa besar, iaitu, b∞ => 0 jika -1

Oleh kerana perbezaan (1 - b) akan sentiasa positif, tanpa mengira nilai penyebutnya, tanda hasil tambah janjang geometri S∞ secara unik ditentukan oleh tanda unsur pertamanya a1.

Sekarang mari kita lihat beberapa masalah di mana kita akan menunjukkan cara menggunakan pengetahuan yang diperoleh pada nombor tertentu.

Tugasan No. 1. Pengiraan unsur-unsur janjang dan jumlah yang tidak diketahui

Diberi janjang geometri, penyebut janjang itu ialah 2, dan unsur pertamanya ialah 3. Apakah sebutan ke-7 dan ke-10nya bersamaan dengan, dan apakah hasil tambah tujuh unsur awalnya?

Keadaan masalahnya agak mudah dan melibatkan penggunaan langsung formula di atas. Jadi, untuk mengira nombor unsur n, kita menggunakan ungkapan an = bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita mempunyai: a7 = b6 * a1, menggantikan data yang diketahui, kita dapat: a7 = 26 * 3 = 192. Kami melakukan perkara yang sama untuk sebutan ke-10: a10 = 29 * 3 = 1536.

Mari kita gunakan formula yang terkenal untuk jumlah dan tentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama siri. Kami ada: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Masalah No. 2. Menentukan jumlah unsur arbitrari sesuatu janjang

Biarkan -2 sama dengan penyebut janjang geometri bn-1 * 4, dengan n ialah integer. Ia adalah perlu untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 siri ini, termasuk.

Masalah yang ditimbulkan tidak dapat diselesaikan secara langsung menggunakan formula yang diketahui. Ia boleh diselesaikan menggunakan 2 kaedah berbeza. Untuk kesempurnaan pembentangan topik, kami membentangkan kedua-duanya.

Kaedah 1. Ideanya mudah: anda perlu mengira dua jumlah yang sepadan bagi sebutan pertama, dan kemudian tolak yang lain daripada satu. Kami mengira jumlah yang lebih kecil: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sekarang kita mengira jumlah yang lebih besar: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Perhatikan bahawa dalam ungkapan terakhir hanya 4 istilah telah dijumlahkan, kerana yang ke-5 sudah termasuk dalam jumlah yang perlu dikira mengikut syarat masalah. Akhirnya, kita ambil perbezaan: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Kaedah 2. Sebelum menggantikan nombor dan mengira, anda boleh mendapatkan formula untuk hasil tambah antara sebutan m dan n bagi siri berkenaan. Kami melakukan perkara yang sama seperti dalam kaedah 1, cuma kami mula-mula bekerja dengan perwakilan simbolik jumlah tersebut. Kami mempunyai: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Anda boleh menggantikan nombor yang diketahui ke dalam ungkapan yang terhasil dan mengira keputusan akhir: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Masalah No 3. Apakah penyebutnya?

Biarkan a1 = 2, cari penyebut janjang geometri, dengan syarat jumlah tak terhingganya ialah 3, dan diketahui bahawa ini ialah siri nombor yang semakin berkurangan.

Berdasarkan keadaan masalah, tidak sukar untuk meneka formula yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Sudah tentu, untuk jumlah janjang menurun secara tidak terhingga. Kami mempunyai: S∞ = a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebut: b = 1 - a1 / S∞. Ia kekal untuk menggantikan nilai yang diketahui dan mendapatkan nombor yang diperlukan: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 atau -0.333(3). Kita boleh menyemak keputusan ini secara kualitatif jika kita ingat bahawa untuk jenis urutan ini modulus b tidak boleh melebihi 1. Seperti yang dapat dilihat, |-1 / 3|

Tugasan No 4. Memulihkan satu siri nombor

Biarkan 2 elemen siri nombor diberikan, contohnya, ke-5 bersamaan dengan 30 dan ke-10 bersamaan dengan 60. Ia adalah perlu untuk membina semula keseluruhan siri daripada data ini, dengan mengetahui bahawa ia memenuhi sifat janjang geometri.

Untuk menyelesaikan masalah, anda mesti menulis ungkapan yang sepadan untuk setiap istilah yang diketahui. Kami mempunyai: a5 = b4 * a1 dan a10 = b9 * a1. Sekarang bahagikan ungkapan kedua dengan yang pertama, kita dapat: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Dari sini kita menentukan penyebut dengan mengambil punca kelima nisbah sebutan yang diketahui daripada pernyataan masalah, b = 1.148698. Kami menggantikan nombor yang terhasil ke dalam salah satu ungkapan untuk unsur yang diketahui, kami dapat: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Oleh itu, kami mendapati penyebut bagi janjang bn, dan janjang geometri bn-1 * 17.2304966 = an, dengan b = 1.148698.

Di manakah janjang geometri digunakan?

Jika tiada aplikasi praktikal siri nombor ini, maka kajiannya akan dikurangkan kepada minat teori semata-mata. Tetapi aplikasi sedemikian wujud.

Di bawah ialah 3 contoh yang paling terkenal:

• Paradoks Zeno, di mana Achilles yang lincah tidak dapat mengejar kura-kura yang perlahan, diselesaikan menggunakan konsep urutan nombor yang berkurangan tanpa had.
• Jika anda meletakkan bijirin gandum pada setiap petak papan catur supaya pada petak pertama anda meletakkan 1 biji, pada petak ke-2 - 2, pada petak ke-3 - 3, dan seterusnya, kemudian untuk mengisi semua petak papan yang anda perlukan 18446744073709551615 bijirin!
• Dalam permainan "Menara Hanoi", untuk memindahkan cakera dari satu batang ke yang lain, adalah perlu untuk melakukan operasi 2n - 1, iaitu, bilangannya meningkat secara eksponen dengan bilangan n cakera yang digunakan.

Sekarang mari kita pertimbangkan persoalan menjumlahkan janjang geometri tak terhingga. Mari kita panggil jumlah separa bagi janjang tak terhingga yang diberikan sebagai jumlah sebutan pertamanya. Mari kita nyatakan jumlah separa dengan simbol

Untuk setiap perkembangan yang tidak terhingga

seseorang boleh menyusun jujukan (juga tidak terhingga) bagi jumlah separanya

Biarkan urutan dengan peningkatan tanpa had mempunyai had

Dalam kes ini, nombor S, iaitu, had jumlah separa janjang, dipanggil jumlah janjang tak terhingga. Kami akan membuktikan bahawa janjang geometri menurun tak terhingga sentiasa mempunyai jumlah, dan kami akan memperoleh formula untuk jumlah ini (kita juga boleh menunjukkan bahawa jika janjang tak terhingga tidak mempunyai jumlah, ia tidak wujud).

Mari kita tulis ungkapan untuk jumlah separa sebagai jumlah sebutan janjang menggunakan formula (91.1) dan pertimbangkan had jumlah separa di

Daripada Teorem 89 diketahui bahawa untuk janjang menurun; oleh itu, menggunakan teorem had perbezaan, kita dapati

(di sini peraturan juga digunakan: faktor pemalar diambil melebihi tanda had). Kewujudan terbukti, dan pada masa yang sama formula untuk jumlah janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga diperoleh:

Kesamaan (92.1) juga boleh ditulis dalam bentuk

Di sini ia mungkin kelihatan paradoks bahawa jumlah bilangan sebutan yang tidak terhingga diberikan nilai terhingga yang sangat pasti.

Ilustrasi yang jelas boleh diberikan untuk menjelaskan keadaan ini. Pertimbangkan segi empat sama dengan sisi yang sama dengan satu (Rajah 72). Bahagikan segi empat sama ini dengan garis mendatar kepada dua bahagian yang sama dan pasangkan bahagian atas ke bahagian bawah supaya segi empat tepat terbentuk dengan sisi 2 dan . Selepas ini, kami akan membahagikan separuh kanan segi empat tepat ini sekali lagi dengan garis mendatar dan pasangkan bahagian atas ke bahagian bawah (seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 72). Meneruskan proses ini, kami terus mengubah segi empat sama asal dengan luas sama dengan 1 kepada angka bersaiz sama (mengambil bentuk tangga dengan langkah penipisan).

Dengan penerusan tak terhingga proses ini, seluruh luas segi empat sama diuraikan kepada bilangan sebutan tak terhingga - kawasan segi empat tepat dengan tapak sama dengan 1 dan ketinggian. Kawasan segi empat tepat membentuk janjang menurun tak terhingga, jumlahnya.

iaitu, seperti yang dijangkakan, sama dengan luas segi empat sama.

Contoh. Cari hasil tambah bagi janjang tak terhingga berikut:

Penyelesaian, a) Kami mendapati bahawa perkembangan ini Oleh itu, menggunakan formula (92.2) kami dapati

b) Di sini bermakna menggunakan formula yang sama (92.2) yang kita ada

c) Kami mendapati bahawa perkembangan ini oleh itu tidak mempunyai jumlah.

Dalam perenggan 5, penggunaan formula untuk jumlah sebutan bagi janjang menurun tak terhingga kepada penukaran pecahan perpuluhan berkala kepada pecahan biasa telah ditunjukkan.

Senaman

1. Hasil tambah bagi janjang geometri menurun tak terhingga ialah 3/5, dan hasil tambah empat sebutan pertamanya ialah 13/27. Cari sebutan pertama dan penyebut janjang itu.

2. Cari empat nombor yang membentuk janjang geometri berselang-seli, di mana sebutan kedua adalah kurang daripada yang pertama dengan 35, dan yang ketiga adalah lebih besar daripada yang keempat dengan 560.

3. Tunjukkan bahawa jika urutan

membentuk janjang geometri yang menurun secara tak terhingga, kemudian jujukan

untuk mana-mana, ia membentuk janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga. Adakah kenyataan ini akan berlaku apabila

Terbitkan formula untuk hasil darab sebutan suatu janjang geometri.