Formules voor lenzenfysica. §vier. Formule voor dunne convergerende lenzen

Beschouw de afgeleide formules:

(3.8)

Laten we formules (3.7 en 3.8) vergelijken, het is duidelijk dat we de volgende uitdrukking kunnen schrijven die de optische kenmerken van de lens (brandpuntsafstanden) verbindt met de afstanden die kenmerkend zijn voor de locatie van objecten en hun afbeeldingen:

, (3,9)

waarbij F de brandpuntsafstand van de lens is; D is het optische vermogen van de lens; d is de afstand van het object tot het midden van de lens; f is de afstand van het midden van de lens tot het beeld. Het omgekeerde van de brandpuntsafstand van de lens

optische kracht genoemd.

Deze formule wordt de formule genoemd dunne lens. Het is alleen van toepassing met de tekenregel: afstanden worden als positief beschouwd als ze in de richting van de lichtstraal worden geteld, en negatief als deze afstanden tegen de lichtstraal worden geteld.

Beschouw de volgende figuur.

De verhouding tussen de hoogte van het beeld en de hoogte van het object wordt de lineaire vergroting van de lens genoemd.

Als we gelijkvormige driehoeken VAO en OAB beschouwen (fig. 3.3), dan kan de lineaire toename gegeven door de lens als volgt worden gevonden:

, (3.10)

waarin АВ - beeldhoogte; AB is de hoogte van het object.

Lenzen en spiegels worden gebruikt voor hoogwaardige beeldacquisitie. Bij het werken met lens- en spiegelsystemen is het belangrijk dat het systeem gecentreerd is, d.w.z. de optische centra van alle lichamen waaruit dit systeem bestaat, liggen op één rechte lijn, de optische hoofdas van het systeem. Bij het construeren van een beeld maakt het systeem gebruik van het volgordeprincipe: een beeld wordt ingebouwd in de eerste lens (spiegel), dan is dit beeld het onderwerp voor de volgende lens (spiegel) en wordt het beeld opnieuw opgebouwd, enz.

Naast de brandpuntsafstand is het optische kenmerk van lenzen en spiegels het optische vermogen, deze waarde is het omgekeerde van de brandpuntsafstand:

(3,11)

Het optische vermogen van een optisch systeem is altijd gelijk aan de algebraïsche som van de optische krachten waaruit het gegeven bestaat optisch systeem lenzen en spiegels. Het is belangrijk om te onthouden dat het optische vermogen van een verstrooiingssysteem een ​​negatieve waarde is.

(3.12)

De optische sterkte wordt gemeten in dioptrieën D=m -1 = 1 dioptrie, d.w.z. één dioptrie is gelijk aan de optische sterkte van een lens met een brandpuntsafstand van 1 m.

Voorbeelden van het plotten van afbeeldingen met behulp van zijassen.

Aangezien het lichtgevende punt S zich op de optische hoofdas bevindt, vallen alle drie de bundels die worden gebruikt om het beeld op te bouwen samen en gaan langs de optische hoofdas, en er zijn ten minste twee bundels nodig om het beeld op te bouwen. Het verloop van de tweede straal wordt bepaald met behulp van een aanvullende constructie, die als volgt wordt uitgevoerd: 1) bouw een brandpuntsvlak, 2) kies een willekeurige straal die uit het punt S komt;

Aberraties van optische systemen

Aberraties van optische systemen en methoden voor het verminderen of elimineren ervan worden beschreven.

afwijkingen - gemeenschappelijke naam voor beeldfouten die optreden bij het gebruik van lenzen en spiegels. Aberraties (van het Latijnse "aberratie" - afwijking), die alleen in niet-monochromatisch licht verschijnen, worden chromatisch genoemd. Alle andere soorten aberraties zijn monochromatisch, omdat hun manifestatie niet wordt geassocieerd met de complexe spectrale samenstelling van echt licht.

Bronnen van afwijkingen. De definitie van het concept van een afbeelding bevat de vereiste dat alle stralen die uit een bepaald punt van een object komen, samenkomen op hetzelfde punt in het afbeeldingsvlak en dat alle punten van het object met dezelfde vergroting in hetzelfde vlak worden weergegeven.

Voor paraxiale stralen wordt met grote nauwkeurigheid voldaan aan de voorwaarden voor weergave zonder vervorming, maar niet absoluut. Daarom is de eerste bron van aberraties dat lenzen die worden begrensd door sferische oppervlakken brede stralenbundels niet op dezelfde manier breken als wordt geaccepteerd in de paraxiale benadering.Bijvoorbeeld de brandpunten voor stralen die op een lens vallen op verschillende afstanden van de optische lens. de as van de lens is anders enz. Dergelijke aberraties worden geometrisch genoemd.

a) Sferische aberratie - monochromatische aberratie, vanwege het feit dat de extreme (perifere) delen van de lens stralen die afkomstig zijn van een punt op de as sterker afbuigen dan het centrale deel. Hierdoor wordt het beeld van een punt op het scherm in de vorm verkregen lichtpuntje, rijst. 3.5

Dit soort aberratie wordt geëlimineerd door concave en convexe lenssystemen te gebruiken.

b) Astigmatisme - monochromatische aberratie, bestaande uit het feit dat het beeld van een punt de vorm heeft van een elliptische vlek, die op bepaalde posities van het beeldvlak degenereert tot een segment.

Astigmatisme van schuine bundels treedt op wanneer een bundel stralen afkomstig van een punt op het optische systeem valt en een bepaalde hoek maakt met zijn optische as. Op afb. 3.6a, de puntbron bevindt zich op de secundaire optische as. In dit geval verschijnen twee beelden in de vorm van rechte lijnsegmenten die loodrecht op elkaar staan ​​in de vlakken I en P. Het beeld van de bron kan alleen worden verkregen in de vorm van een wazige vlek tussen de vlakken I en P.

Astigmatisme door de asymmetrie van het optische systeem. Dit type astigmatisme treedt op wanneer de symmetrie van het optische systeem ten opzichte van de lichtstraal wordt verbroken als gevolg van het ontwerp van het systeem zelf. Met deze aberratie creëren de lenzen een beeld waarin in verschillende richtingen georiënteerde contouren en lijnen een verschillende scherpte hebben. het

waargenomen in cilindrische lenzen, Fig. 3.6

Rijst. 3.6. Astigmatisme: schuine stralen (a); geconditioneerd

cilindrische lens (b)

Een cilindrische lens vormt een lineair beeld van een puntvormig object.

In het oog wordt astigmatisme gevormd wanneer er een asymmetrie is in de kromming van de lens en het hoornvliessysteem. Om astigmatisme te corrigeren, worden brillen gebruikt met verschillende krommingen in verschillende richtingen.

routebeschrijving.

c) Vervorming (vervorming). Wanneer de door het object uitgezonden stralen een grote hoek maken met de optische as, wordt een ander type aberratie gedetecteerd: vervorming. In dit geval wordt de geometrische gelijkenis tussen het object en de afbeelding geschonden. De reden is dat de lineaire vergroting die door de lens wordt gegeven in werkelijkheid afhangt van de invalshoek van de stralen. Het resultaat is dat het beeld van het vierkante raster ofwel een speldenkussen ofwel een tonvorm krijgt, Fig. 3.7

Rijst. 3.7 Vervorming: a) speldenkussen, b) ton

Om vervorming tegen te gaan wordt gekozen voor een lenssysteem met tegengestelde vervorming.

De tweede bron van aberraties houdt verband met de verstrooiing van licht. Aangezien de brekingsindex afhankelijk is van de frequentie, zijn de brandpuntsafstand en andere kenmerken van het systeem afhankelijk van de frequentie. Daarom convergeren de stralen die overeenkomen met straling van verschillende frequenties, afkomstig van een punt van het object, niet op één punt in het beeldvlak, zelfs niet wanneer de stralen die overeenkomen met elke frequentie een ideaal beeld van het object verschaffen. Dergelijke aberraties worden chromatisch genoemd, d.w.z. chromatische aberratie ligt in het feit dat een straal wit licht die uit een punt komt zijn beeld geeft in de vorm van een regenboogcirkel, violette stralen bevinden zich dichter bij de lens dan rode, fig. 3.8

Rijst. 3.8. Chromatische aberratie

Om deze aberratie in optica te corrigeren, worden lenzen gebruikt die zijn gemaakt van brillen met verschillende dispersies: achromaten,

δ ≈ F h ; ϕ 1 ≈ R h .

Als de resulterende uitdrukkingen worden vervangen in formule (3.1) en verkleinen

Aandacht ! De lengte van het segment F hangt niet af van de door ons willekeurig gekozen hoogte h, daarom zullen alle stralen van de invallende bundel elkaar snijden op hetzelfde punt S 1, het brandpunt van de lens genoemd. Dezelfde afstand F wordt genoemd lens brandpuntsafstand, en de fysische grootheid P is optische sterkte van de lens. In het SI-systeem wordt het gemeten in dioptrieën en wordt het dioptrie genoemd. Per definitie is 1 dioptrie de optische sterkte van een lens met een brandpuntsafstand van 1 m.

Voorbeeld 3.1. Bereken het optische vermogen van een lens met brandpuntsafstand F = 16 cm.

Oplossing. Laten we de brandpuntsafstand van de lens in meters uitdrukken: 16 cm = 0,16 m. Per definitie is het optische vermogen P = 1 / (0,16 m) = 6,25 dioptrieën.

Antwoord: P = 6,25 dioptrieën.

Het kan worden aangetoond (denk aan hoe) dat als een bundel stralen parallel aan de optische hoofdas van rechts naar het convexe oppervlak van een plano-convexe lens wordt gericht, ze allemaal, nadat ze tweemaal in de lens zijn gebroken, elkaar zullen kruisen op de optische hoofdas in het punt S 2 , dat zich op dezelfde afstand F van de lens bevindt. Dat wil zeggen, de lens heeft twee brandpunten. In dit verband hebben we afgesproken om één focus te noemen, waarin parallelle lichtstralen die door een convergerende lens gaan, worden verzameld, achter, en de andere focus - voorkant. Voor divergerende lenzen bevindt de backfocus (degene waarbij de voortzettingen van evenwijdige stralen die op de lens invallen elkaar kruisen) zich aan de bronzijde en de frontfocus aan de andere kant.

§vier. Formule voor dunne convergerende lenzen

Overweeg een biconvexe convergerende lens. Directe OX die door de krommingsmiddelpunten van de brekende oppervlakken van de lens gaat, wordt de OX genoemd belangrijkste optische as(vergelijk deze definitie met de definitie in §3 voor een plano-convexe lens). Stel dat zich op deze as een puntlichtbron S 1 bevindt. Trek vanaf punt S 1 twee

Rijst. 4.1

academiejaar 2010-2011 jaar., nr. 5, 8 cellen. Natuurkunde. Dunne lenzen.

bron S 1 . Vermoedelijk

Laten we aannemen dat de hoeken die de beschouwde bundel vormt met de optische hoofdas van de lens klein zijn. Dan

Het is gemakkelijk te zien dat de afbuighoek δ buiten de driehoek ligt

Een fragment van de lens, in de buurt van het punt M waar de beschouwde bundel doorheen ging, kan als een dunne wig worden beschouwd. Eerder lieten we zien dat voor een dunne wig de afbuighoek een constante waarde is en niet afhankelijk is van de invalshoek. Dit betekent dat door de bron S 1 langs de hoofdop-

as en deze tot in het oneindige te verwijderen, zullen we ervoor zorgen dat na het passeren van de lens de straal door zijn focus gaat en de afbuighoek zal zijn

We hebben de formule verkregen voor een dunne convergerende lens. Vergeet niet dat het werd verkregen in de paraxiale benadering (voor kleine hoeken ϕ 1 ;ϕ 2 ;δ ).

Het leiderschap bij het afleiden van deze formule wordt toegeschreven aan de opmerkelijke Franse natuuronderzoeker Rene Descartes.

Meestal worden objecten of lichtbronnen links van de lens afgebeeld. Probleem 4.1. Zoek de brandpuntsafstand F van een lens die bestaat uit twee convergerende lenzen met brandpuntsafstanden F 1 en F 2 . Lenzen

je bent dicht bij elkaar en hun optische hoofdassen vallen samen.

© 2011, FZFTSH bij MIPT. Samengesteld door: Slobodyanin Valery Pavlovich

© 2011, FZFTSH bij MIPT. Samengesteld door: Slobodyanin Valery Pavlovich

academiejaar 2010-2011 jaar., nr. 5, 8 cellen. Natuurkunde. Dunne lenzen.

waarbij F de brandpuntsafstand van de lens is. We nemen nog steeds aan dat de hoeken die de beschouwde bundel maakt met de optische hoofdas van de lens klein zijn. Dan

We vervangen de uitdrukkingen (5.2) en (5.3) voor de hoeken in formule (5.1). Na reductie met de gemene deler h krijgen we:

We hebben de formule verkregen voor de zogenaamde dunne divergerende lens. Als afstanden a ,b ,F worden hun rekenkundige waarden genomen.

§6. Constructie van beelden gegeven door een dunne lens

Op optische diagrammen worden lenzen meestal aangeduid als een segment met pijlen aan de uiteinden. Voor convergerende lenzen zijn de pijlen naar buiten gericht, terwijl ze voor divergerende lenzen naar het midden van het segment zijn gericht.

Overweeg de volgorde van constructie van beelden die een convergerende lens creëert (Fig. 6.1). Laten we een verticale pijl (object) AB links van de lens plaatsen op een afstand groter dan de brandpuntsafstand. Laat vanaf punt B een bundel (1) evenwijdig aan de optische hoofdas op de lens vallen. Na breking zal deze straal door de backfocus naar rechts en naar beneden gaan. Laat de tweede straal door het voorste brandpunt gaan. Brekend in de lens, zal het naar de juiste para-

lelno belangrijkste optische as. Waar beide stralen elkaar snijden is er een punt B 1. B 1 is het beeld van punt B . Elke andere straal die uit B komt en door de lens gaat, moet ook in punt B 1 aankomen. Laten we het beeld van punt A op dezelfde manier construeren. Zo zijn wij

© 2011, FZFTSH bij MIPT. Samengesteld door: Slobodyanin Valery Pavlovich

academiejaar 2010-2011 jaar., nr. 5, 8 cellen. Natuurkunde. Dunne lenzen.

eerder een afbeelding gemaakt

eigenschappen van een dunne lens:

meta AB in een dunne lens. Van afb. 6.1 laat zien dat:

1) pijl afbeelding

Geldig (als een plat scherm wordt geplaatst in plaats van de pijlafbeelding, is de afbeelding erop te zien);

2) het beeld is omgekeerd (ten opzichte van de pijl zelf). Zowel de pijl AB zelf als de iso-

A 1 B 1

culaire hoofd-

noah optische as. Laten we er twee genoeg opmerken

– de lens geeft een rechte lijn weer in een rechte lijn;

– als plat voorwerp loodrecht op de optische hoofdas, dan staat het beeld loodrecht op deze as. In het algemeen,

hoeken van uitgestrekte objecten langs de hoofdoptiek

as en de hoeken van hun afbeeldingen zijn verschillend. Dit is te zien op afb. 6.2. De lens 'veranderde' het vierkant ABCD in een trapezium A 1 B 1 C 1 D 1 .

Als hetzelfde medium zich rechts en links van een dunne lens (meestal lucht) bevindt, dan om een ​​beeld op te bouwen gegeven punt Een andere "prachtige" straal kan nuttig zijn - degene die door het midden van de lens gaat. Op afb. 6.1 het is gemarkeerd als een balk (3). Als het door de lens gaat, verandert het niet van richting en, zoals de eerste twee

© 2011, FZFTSH bij MIPT. Samengesteld door: Slobodyanin Valery Pavlovich

Om lichtstralen te besturen, d.w.z. de richting van de stralen te veranderen, gebruiken ze speciale apparaten bijv. vergrootglas, microscoop. Het belangrijkste onderdeel van deze apparaten is de lens.

Lenzen zijn transparante lichamen die aan beide zijden worden begrensd door bolvormige oppervlakken.

Er zijn twee soorten lenzen: convex en concaaf.

Een lens waarvan de randen veel dunner zijn dan het midden convex(Afb. 151, a).

Rijst. 151. Soorten lenzen:
a - convex; b - concaaf

Een lens waarvan de randen dikker zijn dan het midden concaaf(Afb. 151, b).

De rechte lijn AB die door de middelpunten C 1 en C 2 (Fig. 152) van de sferische oppervlakken die de lens begrenzen, wordt genoemd optische as.

Rijst. 152. Optische as van de lens

Door een bundel stralen evenwijdig aan de optische as van de lens op een bolle lens te richten, zullen we zien dat deze stralen na breking in de lens de optische as op één punt snijden (Fig. 153). Dit punt wordt genoemd lensfocus. Elke lens heeft twee brandpunten, één aan elke kant van de lens.

Rijst. 153. Convergerende lens:
a - de doorgang van stralen door de focus; b - zijn afbeelding op de diagrammen

De afstand van een lens tot zijn brandpunt wordt genoemd lens brandpuntsafstand en is gemerkt met de letter F.

Als een bundel parallelle stralen op een bolle lens wordt gericht, zullen ze zich na breking in de lens verzamelen op één punt - F (zie Fig. 153). Daarom verzamelt een bolle lens de stralen die van de bron komen. Daarom wordt een bolle lens genoemd bijeenkomst.

Wanneer stralen door een holle lens gaan, wordt een ander beeld waargenomen.

Laten we een bundel stralen evenwijdig aan de optische as op een concave lens laten vallen. We zullen zien dat de stralen van de lens in een divergerende bundel naar buiten komen (Fig. 154). Als zo'n divergerende bundel stralen het oog binnenkomt, zal het voor de waarnemer lijken alsof de stralen uit punt F komen. Dit punt bevindt zich op de optische as aan dezelfde kant van waaruit het licht op de lens valt, en wordt genoemd denkbeeldige focus holle lens. Zo'n lens heet verstrooiing.

Rijst. 154. Divergerende lens:
a - de doorgang van stralen door de focus; b - zijn afbeelding op de diagrammen

Lenzen met meer convexe oppervlakken breken stralen meer dan lenzen met minder kromming (Fig. 155).

Rijst. 155. Breking van stralen door lenzen met verschillende kromming

Als een van de twee lenzen een kortere brandpuntsafstand heeft, geeft dit een grotere vergroting (Fig. 156). De optische kracht van zo'n lens is groter.

Rijst. 156. Lensvergroting

Lenzen worden gekenmerkt door een waarde die de optische sterkte van de lens wordt genoemd. Optisch vermogen wordt aangeduid met de letter D.

Het optische vermogen van een lens is het omgekeerde van de brandpuntsafstand..

Het optische vermogen van de lens wordt berekend met de formule

De eenheid van optisch vermogen is de dioptrie (dptr).

1 dioptrie is de optische sterkte van een lens met een brandpuntsafstand van 1 m.

Als de brandpuntsafstand van de lens kleiner is dan 1 m, dan zal het optische vermogen groter zijn dan 1 dioptrie. In het geval dat de brandpuntsafstand van de lens groter is dan 1 m, is het optische vermogen minder dan 1 dioptrie. Bijvoorbeeld,

als F = 0,2 m, dan D = 1 / 0,2 m = 5 dioptrieën,
als F = 2 m, dan D = 1/2 m = 0,5 dioptrie.

Aangezien een divergerende lens een denkbeeldige focus heeft, hebben we afgesproken om de brandpuntsafstand als een negatieve waarde te beschouwen. Dan zal het optische vermogen van de divergerende lens negatief zijn.

Er werd overeengekomen dat het optische vermogen van de convergerende lens als een positieve waarde werd beschouwd.

Vragen

1. Waar zit het in uiterlijk lenzen, kunt u erachter komen welke een kortere brandpuntsafstand heeft?
2. Welke van de twee lenzen met verschillende brandpuntsafstanden geeft de grootste vergroting?
3. Hoe heet het optische vermogen van een lens?
4. Hoe heet de eenheid van optisch vermogen?
5. De optische sterkte van welke lens wordt als eenheid genomen?
6. Hoe verschillen lenzen van elkaar, waarvan de optische sterkte +2,5 dioptrie is en de andere -2,5 dioptrie?

Oefening 48

1. Vergelijk de optische sterktes van de lenzen in Afbeelding 155.
2. De optische sterkte van de lens is -1,6 dioptrieën. Wat is de brandpuntsafstand van deze lens? Is het mogelijk om er een echt beeld mee te krijgen?