En diskret tilfeldig variabel x er gitt av en distribusjonsserie. Diskret tilfeldig variabel

Diskret kalt en tilfeldig variabel som kan anta separate, isolerte verdier med visse sannsynligheter.

EKSEMPEL 1. Antall ganger våpenskjoldet vises i tre myntkast. Mulige verdier: 0, 1, 2, 3, deres sannsynligheter er lik henholdsvis:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

EKSEMPEL 2. Antall mislykkede elementer i en enhet som består av fem elementer. Mulige verdier: 0, 1, 2, 3, 4, 5; deres sannsynligheter avhenger av påliteligheten til hvert element.

Diskret tilfeldig variabel X kan gis av en distribusjonsserie eller en distribusjonsfunksjon (den integrale distribusjonsloven).

Nær distribusjon er settet med alle mulige verdier Xjeg og deres tilsvarende sannsynligheter ri = P(X = xjeg), den kan spesifiseres som en tabell:

Samtidig er sannsynlighetene rjeg tilfredsstille betingelsen

rjeg= 1 fordi

hvor er antall mulige verdier n kan være endelig eller uendelig.

Grafisk fremstilling av distribusjonsserien kalt distribusjonspolygon . For å konstruere det, mulige verdier tilfeldig variabel (Xjeg) er plottet langs x-aksen, og sannsynlighetene rjeg- langs ordinataksen; poeng ENjeg med koordinater ( Xi,рjeg) er forbundet med stiplede linjer.

Distribusjonsfunksjon tilfeldig variabel X kalt funksjon F(X), hvis verdi på punktet X er lik sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen X vil være mindre enn denne verdien X, altså

F(x) = P(X< х).

Funksjon F(X) Til diskret tilfeldig variabel beregnet med formelen

F(X) = rjeg , (1.10.1)

hvor summeringen utføres over alle verdier jeg, for hvilket Xjeg< х.

EKSEMPEL 3. Fra et parti som inneholder 100 produkter, hvorav det er 10 defekte, velges fem produkter tilfeldig for å kontrollere kvaliteten. Konstruer en rekke distribusjoner tilfeldig tall X defekte produkter i prøven.

Løsning. Siden antallet defekte produkter i prøven kan være et hvilket som helst heltall fra 0 til og med 5, er de mulige verdiene Xjeg tilfeldig variabel X er like:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Sannsynlighet R(X = k) som prøven inneholder nøyaktig k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) defekte produkter, tilsvarer

P (X = k) = .

Som et resultat av beregninger som bruker denne formelen med en nøyaktighet på 0,001, får vi:

r 1 = P(X = 0) @ 0,583;r 2 = P(X = 1) @ 0,340;r 3 = P(X = 2) @ 0,070;

r 4 = P(X = 3) @ 0,007;r 5 = P(X= 4) @ 0;r 6 = P(X = 5) @ 0.

Bruker likestilling for å sjekke rk=1, forsikrer vi oss om at beregningene og avrundingen ble gjort riktig (se tabell).

EKSEMPEL 4. Gitt en distribusjonsserie av en tilfeldig variabel X :

Finn sa F(X) av denne tilfeldige variabelen og konstruer den.

Løsning. Hvis X 10 kr da F(X)= P(X<X) = 0;

hvis 10<X 20 kr da F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

hvis 20<X 30 kr da F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

hvis 30<X 40 kr da F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

hvis 40<X 50 kr da F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Hvis X> 50, da F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

LOV OM DISTRIBUSJON OG EGENSKAPER

TILFELDIGE VARIABLER

Tilfeldige variabler, deres klassifisering og beskrivelsesmetoder.

En tilfeldig mengde er en mengde som som følge av forsøk kan få en eller annen verdi, men som ikke er kjent på forhånd. For en tilfeldig variabel kan du derfor bare spesifisere verdier, hvorav en definitivt vil ta som et resultat av eksperimentet. I det følgende vil vi kalle disse verdiene for mulige verdier av den tilfeldige variabelen. Siden en tilfeldig variabel kvantitativt karakteriserer det tilfeldige resultatet av et eksperiment, kan den betraktes som en kvantitativ karakteristikk av en tilfeldig hendelse.

Tilfeldige variabler er vanligvis betegnet med store bokstaver i det latinske alfabetet, for eksempel X..Y..Z, og deres mulige verdier med tilsvarende små bokstaver.

Det er tre typer tilfeldige variabler:

Diskret; Kontinuerlig; Blandet.

Diskret er en tilfeldig variabel hvis antall mulige verdier danner et tellbart sett. I sin tur kalles et sett hvis elementer kan nummereres tellbar. Ordet "diskret" kommer fra det latinske discretus, som betyr "diskontinuerlig, bestående av separate deler".

Eksempel 1. En diskret tilfeldig variabel er antall defekte deler X i en batch av nprodukter. Faktisk er de mulige verdiene til denne tilfeldige variabelen en serie med heltall fra 0 til n.

Eksempel 2. En diskret tilfeldig variabel er antall skudd før første treff på skiven. Her, som i eksempel 1, kan de mulige verdiene nummereres, selv om den mulige verdien i det begrensede tilfellet er et uendelig stort antall.

Kontinuerlig er en tilfeldig variabel hvis mulige verdier kontinuerlig fyller et visst intervall av den numeriske aksen, noen ganger kalt eksistensintervallet til denne tilfeldige variabelen. Dermed, på ethvert begrenset eksistensintervall, er antallet mulige verdier for en kontinuerlig tilfeldig variabel uendelig stort.

Eksempel 3. En kontinuerlig tilfeldig variabel er det månedlige strømforbruket til en bedrift.

Eksempel 4. En kontinuerlig tilfeldig variabel er feilen ved måling av høyde ved hjelp av en høydemåler. La det være kjent fra driftsprinsippet til høydemåleren at feilen ligger i området fra 0 til 2 m. Derfor er intervallet for eksistensen av denne tilfeldige variabelen intervallet fra 0 til 2 m.

Loven for fordeling av tilfeldige variabler.

En tilfeldig variabel anses som fullstendig spesifisert hvis dens mulige verdier er angitt på den numeriske aksen og distribusjonsloven er etablert.

Fordelingsloven for en tilfeldig variabel er en relasjon som etablerer en sammenheng mellom de mulige verdiene til en tilfeldig variabel og de tilsvarende sannsynlighetene.

En tilfeldig variabel sies å være fordelt etter en gitt lov, eller underlagt en gitt distribusjonslov. En rekke sannsynligheter, fordelingsfunksjon, sannsynlighetstetthet og karakteristisk funksjon brukes som distribusjonslover.

Fordelingsloven gir en fullstendig sannsynlig beskrivelse av en tilfeldig variabel. I henhold til distribusjonsloven kan man før eksperimentet bedømme hvilke mulige verdier av en tilfeldig variabel som vil vises oftere og hvilke sjeldnere.

For en diskret tilfeldig variabel kan fordelingsloven spesifiseres i form av en tabell, analytisk (i form av en formel) og grafisk.

Den enkleste formen for å spesifisere distribusjonsloven til en diskret tilfeldig variabel er en tabell (matrise), som lister opp i stigende rekkefølge alle mulige verdier av den tilfeldige variabelen og deres tilsvarende sannsynligheter, dvs.

En slik tabell kalles en distribusjonsserie av en diskret tilfeldig variabel. 1

Hendelser X 1, X 2,..., X n, som består i det faktum at som et resultat av testen vil den tilfeldige variabelen X ta verdiene henholdsvis x 1, x 2,...x n er inkonsekvente og de eneste mulige (siden tabellen viser alle mulige verdier av en tilfeldig variabel), dvs. danne en komplett gruppe. Derfor er summen av sannsynlighetene deres lik 1. Altså for enhver diskret tilfeldig variabel

(Denne enheten er på en eller annen måte fordelt mellom verdiene til den tilfeldige variabelen, derav begrepet "fordeling").

Fordelingsserien kan avbildes grafisk hvis verdiene til den tilfeldige variabelen er plottet langs abscisseaksen, og deres tilsvarende sannsynligheter er plottet langs ordinataksen. Forbindelsen av de oppnådde punktene danner en brutt linje, kalt en polygon eller polygon av sannsynlighetsfordelingen (fig. 1).

Eksempel Lotteriet inkluderer: en bil verdt 5000 den. enheter, 4 TV-er som koster 250 den. enheter, 5 videoopptakere til en verdi av 200 den. enheter Totalt selges 1000 billetter i 7 dager. enheter Lag en fordelingslov for nettogevinsten mottatt av en lotterideltaker som kjøpte ett lodd.

Løsning. Mulige verdier av den tilfeldige variabelen X - nettogevinsten per lodd - er lik 0-7 = -7 penger. enheter (hvis billetten ikke vant), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. enheter (hvis billetten har gevinsten til henholdsvis en videospiller, TV eller bil). Med tanke på at av 1000 billetter er antallet ikke-vinnere 990, og de indikerte gevinstene er henholdsvis 5, 4 og 1, og ved å bruke den klassiske definisjonen av sannsynlighet, får vi.

Som kjent, tilfeldig variabel kalles en variabel mengde som kan anta visse verdier avhengig av tilfellet. Tilfeldige variabler er merket med store bokstaver i det latinske alfabetet (X, Y, Z), og deres verdier er merket med tilsvarende små bokstaver (x, y, z). Tilfeldige variabler er delt inn i diskontinuerlige (diskrete) og kontinuerlige.

Diskret tilfeldig variabel er en tilfeldig variabel som bare tar et begrenset eller uendelig (telbart) sett med verdier med visse sannsynligheter som ikke er null.

Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel er en funksjon som forbinder verdiene til en tilfeldig variabel med deres tilsvarende sannsynligheter. Fordelingsloven kan spesifiseres på en av følgende måter.

1 . Fordelingsloven kan gis av tabellen:

hvor λ>0, k = 0, 1, 2, ….

V) ved å bruke distribusjonsfunksjon F(x) , som bestemmer for hver verdi x sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen X vil ta en verdi mindre enn x, dvs. F(x) = P(X< x).

Egenskaper for funksjonen F(x)

3 . Fordelingsloven kan spesifiseres grafisk – distribusjonspolygon (polygon) (se oppgave 3).

Merk at for å løse noen problemer er det ikke nødvendig å kjenne til distribusjonsloven. I noen tilfeller er det nok å kjenne til ett eller flere tall som gjenspeiler fordelingslovens viktigste trekk. Dette kan være et tall som har betydningen av "gjennomsnittsverdien" til en tilfeldig variabel, eller et tall som viser gjennomsnittsstørrelsen på avviket til en tilfeldig variabel fra middelverdien.

Tall av denne typen kalles numeriske egenskaper for en tilfeldig variabel. :

• Grunnleggende numeriske egenskaper for en diskret tilfeldig variabel Matematisk forventning (gjennomsnittsverdi) av en diskret tilfeldig variabel.
  M(X)=Σ x i pi
• For binomialfordeling M(X)=np, for Poisson-fordeling M(X)=λ Spredning diskret tilfeldig variabel D(X)=M2 eller D(X) = M(X 2)− 2
  . Forskjellen X–M(X) kalles avviket til en tilfeldig variabel fra dens matematiske forventning.
• Standardavvik (standardavvik) σ(X)=√D(X).

Eksempler på å løse problemer om emnet "Loven om distribusjon av en diskret tilfeldig variabel"

Oppgave 1.

1000 lottokuponger ble utstedt: 5 av dem vinner 500 rubler, 10 vinner 100 rubler, 20 vinner 50 rubler, 50 vinner 10 rubler. Bestem loven om sannsynlighetsfordeling av den tilfeldige variabelen X - gevinster per lodd.

Løsning. I henhold til betingelsene for problemet er følgende verdier av den tilfeldige variabelen X mulige: 0, 10, 50, 100 og 500.

Antall lodd uten å vinne er 1000 – (5+10+20+50) = 915, deretter P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

På samme måte finner vi alle andre sannsynligheter: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. La oss presentere den resulterende loven i form av en tabell:

La oss finne den matematiske forventningen til verdien X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Oppgave 3.

Enheten består av tre uavhengig opererende elementer.

Løsning. 1. Sannsynligheten for feil på hvert element i ett eksperiment er 0,1. Tegn en distribusjonslov for antall mislykkede elementer i ett eksperiment, konstruer en distribusjonspolygon. Finn fordelingsfunksjonen F(x) og plott den. Finn den matematiske forventningen, variansen og standardavviket til en diskret tilfeldig variabel.

Den diskrete tilfeldige variabelen X = (antall mislykkede elementer i ett eksperiment) har følgende mulige verdier: x 1 =0 (ingen av enhetselementene mislyktes), x 2 =1 (ett element mislyktes), x 3 =2 ( to elementer mislyktes) og x 4 =3 (tre elementer mislyktes). Feil på elementer er uavhengige av hverandre, sannsynlighetene for feil på hvert element er like, derfor er det aktuelt Bernoulli formel
. Tatt i betraktning at, i henhold til betingelsen, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, bestemmer vi sannsynlighetene for verdiene:
P3(0) = C30p0q3-0 = q3 = 0,93 = 0,729;
P3(1) = C31p1q3-1 = 3*0,1*0,92 = 0,243;
P3(2) = C32p2q3-2 = 3*0,12*0,9 = 0,027;
P3(3) = C33p3q3-3 = p3 =0,13 = 0,001;

Sjekk: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dermed har den ønskede binomiale distribusjonsloven til X formen:

3. Vi plotter de mulige verdiene av x i langs abscisseaksen, og de tilsvarende sannsynlighetene pi langs ordinataksen. La oss konstruere punktene M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Ved å koble disse punktene med rette linjestykker får vi ønsket fordelingspolygon.

Graf for funksjon F(x)

4. For binomialfordeling X:
- matematisk forventning M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varians D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardavvik σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Tilfeldig variabel En variabel kalles en variabel som, som et resultat av hver test, får én tidligere ukjent verdi, avhengig av tilfeldige årsaker. Tilfeldige variabler er merket med store latinske bokstaver: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ I henhold til deres type kan tilfeldige variabler være diskret Og kontinuerlig.

Diskret tilfeldig variabel- dette er en tilfeldig variabel hvis verdier ikke kan være mer enn tellbare, det vil si enten endelige eller tellbare. Med tellbarhet mener vi at verdiene til en tilfeldig variabel kan nummereres.

Eksempel 1 . Her er eksempler på diskrete tilfeldige variabler:

a) antall treff på målet med $n$ skudd, her er de mulige verdiene $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) antall emblemer som ble droppet når du kaster en mynt, her er de mulige verdiene $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) antall skip som ankommer om bord (et tellbart sett med verdier).

d) antall samtaler som ankommer PBX (tellbare verdier).

1. Lov om sannsynlighetsfordeling av en diskret tilfeldig variabel.

En diskret tilfeldig variabel $X$ kan ta verdiene $x_1,\dots ,\ x_n$ med sannsynligheter $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Korrespondansen mellom disse verdiene og deres sannsynligheter kalles loven om distribusjon av en diskret tilfeldig variabel. Som regel spesifiseres denne korrespondansen ved hjelp av en tabell, i den første linjen som verdiene $x_1,\dots ,\ x_n$ er angitt, og i den andre linjen sannsynlighetene $p_1,\dots ,\ p_n$ tilsvarende disse verdiene er angitt.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Eksempel 2 . La den tilfeldige variabelen $X$ være antall poeng som kastes når du kaster en terning. En slik tilfeldig variabel $X$ kan ha følgende verdier: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Sannsynlighetene for alle disse verdiene er lik $1/6$. Deretter loven om sannsynlighetsfordeling av den tilfeldige variabelen $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Kommentar. Siden i distribusjonsloven til en diskret tilfeldig variabel $X$ utgjør hendelsene $1,\ 2,\ \prikker ,\ 6$ en komplett gruppe av hendelser, så må summen av sannsynlighetene være lik én, det vil si $ \sum(p_i)=1$.

2. Matematisk forventning til en diskret tilfeldig variabel.

Forventning til en tilfeldig variabel spesifiserer dens "sentrale" betydning. For en diskret tilfeldig variabel beregnes den matematiske forventningen som summen av produktene av verdiene $x_1,\dots ,\ x_n$ og sannsynlighetene $p_1,\dots ,\ p_n$ som tilsvarer disse verdiene, dvs. : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. I engelskspråklig litteratur brukes en annen notasjon $E\left(X\right)$.

Egenskaper for matematisk forventning$M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ ligger mellom den minste og største verdien av tilfeldig variabel $X$.
2. Den matematiske forventningen til en konstant er lik konstanten selv, dvs. $M\left(C\right)=C$.
3. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den matematiske forventningen: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Den matematiske forventningen til summen av tilfeldige variabler er lik summen av deres matematiske forventninger: $M\venstre(X+Y\høyre)=M\venstre(X\høyre)+M\venstre(Y\høyre)$.
5. Den matematiske forventningen til produktet av uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Eksempel 3 . La oss finne den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $X$ fra eksempel $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1) )\over (6))=3,5.$$

Vi kan legge merke til at $M\left(X\right)$ ligger mellom de minste ($1$) og største ($6$) verdiene til den tilfeldige variabelen $X$.

Eksempel 4 . Det er kjent at den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $M\left(X\right)=2$. Finn den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $3X+5$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor får vi $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Eksempel 5 . Det er kjent at den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $M\left(X\right)=4$. Finn den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen $2X-9$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor får vi $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Spredning av en diskret tilfeldig variabel.

Mulige verdier av tilfeldige variabler med like matematiske forventninger kan spre seg forskjellig rundt deres gjennomsnittsverdier. For eksempel i to elevgrupper ble gjennomsnittsskåren til eksamen i sannsynlighetsteori 4, men i den ene gruppen viste alle seg å være gode elever, og i den andre gruppen var det kun C-elever og fremragende elever. Derfor er det behov for en numerisk karakteristikk av en tilfeldig variabel som vil vise spredningen av verdiene til den tilfeldige variabelen rundt dens matematiske forventning. Denne egenskapen er spredning.

Varians av en diskret tilfeldig variabel$X$ er lik:

$$D\venstre(X\høyre)=\sum^n_(i=1)(p_i(\venstre(x_i-M\venstre(X\høyre)\høyre))^2).\ $$

I engelsk litteratur brukes notasjonen $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Svært ofte beregnes variansen $D\venstre(X\høyre)$ ved å bruke formelen $D\venstre(X\høyre)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\venstre(M\ venstre(X \høyre)\høyre))^2$.

Dispersjonsegenskaper$D\venstre(X\høyre)$:

1. Variansen er alltid større enn eller lik null, dvs. $D\venstre(X\høyre)\ge 0$.
2. Variansen til konstanten er null, dvs. $D\venstre(C\høyre)=0$.
3. Konstantfaktoren kan tas ut av spredningstegnet forutsatt at den er kvadratisk, dvs. $D\venstre(CX\høyre)=C^2D\venstre(X\høyre)$.
4. Variansen av summen av uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians, dvs. $D\venstre(X+Y\høyre)=D\venstre(X\høyre)+D\venstre(Y\høyre)$.
5. Variansen av forskjellen mellom uavhengige tilfeldige variabler er lik summen av deres varians, dvs. $D\venstre(X-Y\høyre)=D\venstre(X\høyre)+D\venstre(Y\høyre)$.

Eksempel 6 . La oss beregne variansen til den tilfeldige variabelen $X$ fra eksempel $2$.

$$D\venstre(X\høyre)=\sum^n_(i=1)(p_i(\venstre(x_i-M\venstre(X\høyre)\høyre))^2)=((1)\over (6))\cdot (\venstre(1-3.5\høyre))^2+((1)\over (6))\cdot (\venstre(2-3.5\høyre))^2+ \prikker +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\ca. 2.92.$$

Eksempel 7 . Det er kjent at variansen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $D\left(X\right)=2$. Finn variansen til den tilfeldige variabelen $4X+1$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor finner vi $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ venstre(X\høyre)=16\cdot 2=32$.

Eksempel 8 . Det er kjent at variansen til den tilfeldige variabelen $X$ er lik $D\left(X\right)=3$. Finn variansen til den tilfeldige variabelen $3-2X$.

Ved å bruke egenskapene ovenfor finner vi $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ venstre(X\høyre)=4\cdot 3=12$.

4. Distribusjonsfunksjon av en diskret tilfeldig variabel.

Metoden for å representere en diskret tilfeldig variabel i form av en distribusjonsserie er ikke den eneste, og viktigst av alt, den er ikke universell, siden en kontinuerlig tilfeldig variabel ikke kan spesifiseres ved hjelp av en distribusjonsserie. Det er en annen måte å representere en tilfeldig variabel på - fordelingsfunksjonen.

Distribusjonsfunksjon tilfeldig variabel $X$ kalles en funksjon $F\left(x\right)$, som bestemmer sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen $X$ vil ha en verdi mindre enn en fast verdi $x$, det vil si $F\ venstre(x\høyre)=P\venstre(X< x\right)$

Egenskaper til distribusjonsfunksjonen:

1. $0\le F\venstre(x\høyre)\le 1$.
2. Sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen $X$ tar verdier fra intervallet $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ er lik differansen mellom verdiene til distribusjonsfunksjonen i enden av denne intervall: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - ikke avtagende.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Eksempel 9 . La oss finne fordelingsfunksjonen $F\left(x\right)$ for fordelingsloven til den diskrete tilfeldige variabelen $X$ fra eksempel $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Hvis $x\le 1$, så er selvsagt $F\left(x\right)=0$ (inkludert for $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Hvis $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Hvis $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Hvis $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Hvis $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Hvis $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Hvis $x > 6$, så $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\venstre(X=4\høyre)+P\venstre(X=5\høyre)+P\venstre(X=6\høyre)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Så $F(x)=\venstre\(\begin(matrise)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, kl. 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, kl\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(matrise)\right.$

Fordelingslov for tilfeldig variabel X:

Eksempel nr. 2. Sannsynligheten for at en skytter treffer målet med ett skudd for den første skytteren er 0,8, for den andre skytteren - 0,85. Skytterne skjøt ett skudd mot målet. Vurderer å treffe målet som uavhengige hendelser for individuelle skyttere, finn sannsynligheten for hendelse A – nøyaktig ett treff på skiven.
Løsning.
Tenk på hendelse A - ett treff på målet. Mulige alternativer for at denne hendelsen skal skje er som følger:

1. Den første skytteren traff, den andre skytteren bommet: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Den første skytteren bommet, den andre skytteren traff målet: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
3. Den første og andre pilen treffer målet uavhengig av hverandre: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68