Hovedegenskapen til en brøk. Regler

I matematikk Forskjellige typer tall har blitt studert siden oppstarten. Finnes et stort nummer av sett og delmengder av tall. Blant dem er heltall, rasjonelle, irrasjonelle, naturlige, partall, oddetall, komplekse og brøkdeler. I dag vil vi analysere informasjon om det siste settet - brøktall.

Definisjon av brøker

Brøker er tall som består av en heltallsdel og brøkdeler av en enhet. Akkurat som heltall er det et uendelig antall brøker mellom to heltall. I matematikk utføres operasjoner med brøker på samme måte som med heltall og naturlige tall. Det er ganske enkelt og kan læres på et par leksjoner.

Artikkelen presenterer to typer

Vanlige brøker

Vanlige brøker er heltallsdelen a og to tall skrevet gjennom brøklinjen b/c. Vanlige brøker kan være ekstremt praktisk hvis brøkdelen ikke kan representeres i rasjonell desimalform. I tillegg er det mer praktisk å utføre aritmetiske operasjoner gjennom brøklinjen. Øverste del kalles telleren, den nederste er nevneren.

Operasjoner med vanlige brøker: eksempler

Hovedegenskapen til en brøk. På multipliserer telleren og nevneren med det samme tallet som ikke er null, blir resultatet et tall som er lik det gitte. Denne egenskapen til en brøk hjelper perfekt med å bringe nevneren for addisjon (dette vil bli diskutert nedenfor) eller å forkorte brøken, noe som gjør den mer praktisk å telle. a/b = a*c/b*c. For eksempel, 36/24 = 6/4 eller 9/13 = 18/26

Reduksjon til en fellesnevner. For å få nevneren til en brøk, må du presentere nevneren i form av faktorer, og deretter multiplisere med de manglende tallene. For eksempel 7/15 og 12/30; 7/5*3 og 12/5*3*2. Vi ser at nevnerne er forskjellig med to, så vi multipliserer telleren og nevneren til den første brøken med 2. Vi får: 14/30 og 12/30.

Sammensatte fraksjoner- vanlige brøker med hele delen uthevet. (A b/c) For å representere en sammensatt brøk som en vanlig brøk, må du multiplisere tallet foran brøken med nevneren, og deretter legge den til med telleren: (A*c + b)/c.

Aritmetiske operasjoner med brøker

Det vil være en god idé å vurdere kjente aritmetiske operasjoner kun når du arbeider med brøktall.

Addisjon og subtraksjon.Å legge til og trekke fra brøker er like enkelt som å legge til og subtrahere hele tall, bortsett fra en vanskelighetsgrad - tilstedeværelsen av en brøklinje. Når du legger til brøker med samme nevner, trenger du bare å legge til tellerne til begge brøkene forblir uendret. For eksempel: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Hvis nevnerne til to brøker er forskjellige tall først må du bringe dem til et felles punkt (hvordan du gjør dette ble diskutert ovenfor). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Subtraksjon følger nøyaktig samme prinsipp: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Multiplikasjon og divisjon. Handlinger med brøker skjer multiplikasjon iht til følgende prinsipp: tellere og nevnere multipliseres separat. I generelt syn Multiplikasjonsformelen ser slik ut: a/b *c/d = a*c/b*d. I tillegg, mens du multipliserer, kan du redusere brøken ved å eliminere like faktorer fra telleren og nevneren. Med andre ord er telleren og nevneren delt på samme tall: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

For å dele en vanlig brøk med en annen, må du endre telleren og nevneren til divisor og multiplisere to brøker i henhold til prinsippet diskutert tidligere: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/ 11*25 = 1/5

Desimaler

Desimaler er den mer populære og ofte brukte versjonen brøktall. Det er lettere å skrive dem ned på en linje eller presentere dem på en datamaskin. Strukturen til en desimal er som følger: først skrives hele tallet, og deretter, etter desimaltegn, skrives brøkdelen. I kjernen er desimaler sammensatte brøker, men deres brøkdel er representert med et tall delt på et multiplum av 10. Det er her navnet deres kommer fra. Operasjoner med desimalbrøker ligner på operasjoner med heltall, siden de også er skrevet i desimaltallsystemet. Dessuten, i motsetning til vanlige brøker, kan desimaler være irrasjonelle. Dette betyr at de kan være uendelige. De er skrevet slik: 7, (3). Følgende oppføring lyder: syv komma tre, tre tideler i en periode.

Grunnleggende operasjoner med desimaltall

Legge til og trekke desimaler.Å jobbe med brøker er ikke vanskeligere enn å jobbe med hele naturlige tall. Reglene er helt like de som brukes når man legger til eller subtraherer naturlige tall. De kan telles som en kolonne på samme måte, men erstatt eventuelt de manglende plassene med nuller. For eksempel: 5.5697 - 1.12. For å utføre kolonnesubtraksjon, må du utjevne antall tall etter desimaltegnet: (5,5697 - 1,1200). Så den numeriske verdien endres ikke og kan telles i en kolonne.

Operasjoner med desimalbrøker kan ikke utføres hvis en av dem har en irrasjonell form. For å gjøre dette må du konvertere begge tallene til vanlige brøker, og deretter bruke teknikkene beskrevet tidligere.

Multiplikasjon og divisjon.Å multiplisere desimaler ligner på å multiplisere naturlige brøker. De kan også multipliseres i en kolonne, ganske enkelt, uten å ta hensyn til kommaet, og deretter separeres med komma i sluttverdien samme antall sifre som totalen etter desimaltegnet var i to desimalbrøker. For eksempel, 1,5 * 2,23 = 3,345. Alt er veldig enkelt, og bør ikke forårsake vanskeligheter hvis du allerede har mestret multiplikasjonen av naturlige tall.

Divisjon er også det samme som deling av naturlige tall, men med et lite avvik. For å dele med et desimaltall med en kolonne, må du forkaste desimaltegnet i divisoren og multiplisere utbyttet med antall sifre etter desimaltegnet i divisoren. Utfør deretter divisjon som med naturlige tall. Når du deler ufullstendig, kan du legge til nuller til utbyttet til høyre, også legge til en null i svaret etter desimaltegn.

Eksempler på operasjoner med desimaler. Desimaler er et veldig praktisk verktøy for aritmetiske beregninger. De kombinerer bekvemmeligheten av naturlige tall, hele tall og presisjonen til brøker. I tillegg er det ganske enkelt å konvertere noen brøker til andre. Operasjoner med brøker er ikke forskjellig fra operasjoner med naturlige tall.

1. Tillegg: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Subtraksjon: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Multiplikasjon: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Divisjon: 3,6: 0,6 = 6

Desimaler er også egnet for å representere prosenter. Så, 100 % = 1; 60% = 0,6; og omvendt: 0,659 = 65,9 %.

Det er alt du trenger å vite om brøker. Artikkelen undersøkte to typer brøker - vanlig og desimal. Begge er ganske enkle å regne ut, og har du fullstendig mestret naturlige tall og operasjoner med dem, kan du trygt begynne å lære brøker.

Brøkdel- et tall som består av et heltall av brøkdeler av en enhet og er representert på formen: a/b

Teller for brøk (a)- tallet plassert over brøklinjen og viser antall aksjer som enheten ble delt inn i.

Brøknevner (b)- et tall plassert under brøklinjen og viser hvor mange deler enheten er delt inn i.

2. Redusere brøker til en fellesnevner

3. Aritmetiske operasjoner ovenfor vanlige brøker

3.1. Addisjon av vanlige brøker

3.2. Å trekke fra brøker

3.3. Multiplisere vanlige brøker

3.4. Å dele brøker

4. Gjensidige tall

5. Desimaler

6. Aritmetiske operasjoner på desimaler

6.1. Legge til desimaler

6.2. Subtrahere desimaler

6.3. Multiplisere desimaler

6.4. Desimaldeling

#1. Hovedegenskapen til en brøk

Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er lik null, får du en brøk lik den gitte.

3/7=3*3/7*3=9/21, det vil si 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - slik ser hovedegenskapen til en brøk ut.

Med andre ord får vi en brøk lik den gitte ved å multiplisere eller dividere telleren og nevneren til den opprinnelige brøken med det samme naturlig tall.

Hvis annonse=bc, så to brøker a/b =c /d anses like.

For eksempel vil brøkene 3/5 og 9/15 være like, siden 3*15=5*9, det vil si 45=45

Reduserer en brøkdel er prosessen med å erstatte en brøk der den nye brøken er lik den opprinnelige, men med en mindre teller og nevner.

Det er vanlig å redusere fraksjoner basert på den grunnleggende egenskapen til fraksjonen.

For eksempel, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (telleren og nevneren er delt på tallet 3, med 5 og med 15).

Irreduserbar fraksjon er en brøkdel av formen 3/4 ​ ​ , hvor teller og nevner er gjensidige primtall. Hovedformålet med å redusere en brøk er å gjøre brøken irreduserbar.

2. Redusere brøker til en fellesnevner

For å bringe to brøker til en fellesnevner, må du:

1) faktor nevneren til hver brøk i primfaktorer;

2) multipliser telleren og nevneren til den første brøken med de manglende

faktorer fra utvidelsen av den andre nevneren;

3) multipliser telleren og nevneren til den andre brøken med de manglende faktorene fra den første utvidelsen.

Eksempler: Reduser brøker til en fellesnevner.

La oss faktorisere nevnerne i enkle faktorer: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Multipliser telleren og nevneren til brøken med den manglende faktoren 5 fra den andre utvidelsen.

teller og nevner av brøken inn i de manglende faktorene 3 og 2 fra den første utvidelsen.

= , 90 – fellesnevner for brøker.

3. Aritmetiske operasjoner på vanlige brøker

3.1. Addisjon av vanlige brøker

a) Hvis nevnerne er like, legges telleren til den første brøken til telleren til den andre brøken, slik at nevneren er den samme. Som du kan se i eksempelet:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) For ulike nevnere reduseres først brøker til en fellesnevner, og deretter legges tellerne til etter regel a):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Å trekke fra brøker

a) Hvis nevnerne er like, trekk telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være den samme:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Hvis nevnerne til brøkene er forskjellige, bringes først brøkene til en fellesnevner, og deretter gjentas handlingene som i punkt a).

3.3. Multiplisere vanlige brøker

Å multiplisere brøker følger følgende regel:

a/b*c/d=a*c/b*d,

det vil si at de multipliserer tellerne og nevnerne hver for seg.

For eksempel:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Å dele brøker

Brøker deles på følgende måte:

a/b:c/d=a*d/b*c,

det vil si at brøken a/b multipliseres med den inverse brøken av den gitte, det vil si multiplisert med d/c.

Eksempel: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Gjensidige tall

Hvis a*b=1, da er tallet b gjensidig nummer for tallet a.

Eksempel: for tallet 9 er det gjensidige 1/9 ​ ​ , siden 9*1/9 = 1 , for tallet 5 - det omvendte tallet 1/5 ​ ​ , fordi 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Desimaler

Desimal er en egenbrøk hvis nevner er lik 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

For eksempel: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Feil med en nevner skrives på samme måte 10^n eller blandede tall.

For eksempel: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Enhver vanlig brøk med en nevner som er en divisor med en viss potens på 10, er representert som en desimalbrøk.

en veksler, som er en divisor av en viss potens av tallet 10.

Eksempel: 5 er en divisor på 100, så det er en brøk 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Aritmetiske operasjoner på desimaler

6.1. Legge til desimaler

For å legge til to desimalbrøker, må du ordne dem slik at det er identiske sifre under hverandre og et komma under kommaet, og deretter legge til brøkene som vanlige tall.

6.2. Subtrahere desimaler

Det utføres på samme måte som addisjon.

6.3. Multiplisere desimaler

Ved multiplikasjon desimaltall Det er nok å multiplisere de gitte tallene, uten å ta hensyn til komma (som naturlige tall), og i det resulterende svaret skiller et komma til høyre så mange sifre som det er etter desimaltegnet i begge faktorene totalt.

La oss multiplisere 2,7 med 1,3. Vi har 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Vi skiller to sifre til høyre med komma (det første og andre tallet har ett siffer etter desimaltegn; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Som et resultat får vi 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Hvis resultatet inneholder færre sifre enn det som må skilles med komma, skrives de manglende nullene foran, for eksempel:

For å multiplisere med 10, 100, 1000, må du flytte desimaltegnet 1, 2, 3 sifre til høyre (om nødvendig tildeles et visst antall nuller til høyre).

For eksempel: 1,47\cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Desimaldeling

Å dele en desimalbrøk på et naturlig tall gjøres på samme måte som å dele et naturlig tall på et naturlig tall. Kommaet i kvotienten settes etter at delingen av hele delen er fullført.

Hvis den heltallsdelen av utbyttet mindre enn divisor, så viser svaret seg å være null heltall, for eksempel:

La oss se på å dele en desimal med en desimal. La oss si at vi må dele 2,576 med 1,12. Først av alt, la oss multiplisere utbyttet og divisor av brøken med 100, det vil si flytte desimaltegnet til høyre i utbyttet og divisor med like mange desimalplasser som det er i divisoren etter desimaltegnet (i i dette eksemplet av to). Deretter må du dele brøken 257,6 med det naturlige tallet 112, det vil si at problemet er redusert til tilfellet som allerede er vurdert:

Det hender at det endelige resultatet ikke alltid oppnås desimal når du deler ett tall med et annet. Resultatet er en uendelig desimalbrøk. I slike tilfeller går vi over til vanlige brøker.

For eksempel, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

Multiplisere og dele brøker.

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Denne operasjonen er mye bedre enn addisjon-subtraksjon! Fordi det er lettere. Som en påminnelse, for å multiplisere en brøk med en brøk, må du multiplisere tellerne (dette vil være telleren for resultatet) og nevnerne (dette vil være nevneren). Det er:

For eksempel:

Alt er ekstremt enkelt. Og vær så snill, ikke se etter en fellesnevner! Det er ikke behov for ham her...

For å dele en brøk på en brøk, må du reversere sekund(dette er viktig!) brøk og gang dem, dvs.:

For eksempel:

Hvis du kommer over multiplikasjon eller divisjon med heltall og brøker, er det greit. Som med addisjon lager vi en brøk fra et helt tall med en i nevneren - og gå videre! For eksempel:

På videregående må du ofte forholde deg til tre-etasjers (eller til og med fire-etasjers!) brøker. For eksempel:

Hvordan kan jeg få denne fraksjonen til å se anstendig ut? Ja, veldig enkelt! Bruk topunktsdivisjon:

Men ikke glem rekkefølgen på delingen! I motsetning til multiplikasjon er dette veldig viktig her! Selvfølgelig skal vi ikke forveksle 4:2 eller 2:4. Men det er lett å gjøre en feil i en tre-etasjers brøkdel. Vennligst merk for eksempel:

I det første tilfellet (uttrykket til venstre):

I det andre (uttrykket til høyre):

Føler du forskjellen? 4 og 1/9!

Hva bestemmer rekkefølgen på delingen? Enten med parentes, eller (som her) med lengden på horisontale linjer. Utvikle øyet ditt. Og hvis det ikke er noen parenteser eller bindestreker, som:

deretter dividere og multiplisere i rekkefølge, fra venstre til høyre!

Og også veldig enkelt og viktig teknikk. I handlinger med grader vil det være så nyttig for deg! La oss dele en på en hvilken som helst brøk, for eksempel med 13/15:

Skuddet har snudd! Og dette skjer alltid. Når du deler 1 med en hvilken som helst brøk, blir resultatet den samme brøken, bare opp ned.

Det er det for operasjoner med brøker. Saken er ganske enkel, men den gir mer enn nok feil. Merk praktiske råd, og det blir færre av dem (feil)!

Praktiske tips:

1. Det viktigste når du jobber med brøkuttrykk er nøyaktighet og oppmerksomhet! Dette er ikke generelle ord, ikke gode ønsker! Dette er en stor nødvendighet! Gjør alle beregninger på Unified State Exam som en fullverdig oppgave, fokusert og tydelig. Det er bedre å skrive to ekstra linjer i utkastet ditt enn å rote til når du gjør hovedberegninger.

2. I eksempler med forskjellige typer brøker - gå til vanlige brøker.

3. Vi reduserer alle fraksjoner til de stopper.

4. Vi reduserer brøkuttrykk på flere nivåer til vanlige ved å bruke divisjon gjennom to punkter (vi følger divisjonsrekkefølgen!).

5. Del en enhet med en brøk i hodet, bare snu brøken.

Her er oppgavene du definitivt må løse. Svar gis etter alle oppgaver. Bruk materialet om dette emnet og praktiske tips. Anslå hvor mange eksempler du klarte å løse riktig. Den første gangen! Uten kalkulator! Og trekke de riktige konklusjonene...

Husk - det riktige svaret er mottatt fra andre (spesielt tredje) gang teller ikke! Slik er det harde livet.

Så, løse i eksamensmodus ! Dette er allerede forberedelse til Unified State Exam, forresten. Vi løser eksempelet, sjekk det, løser det neste. Vi bestemte alt - sjekket igjen fra første til sist. Men bare Deretter se på svarene.

Regne ut:

Har du bestemt deg?

Vi ser etter svar som matcher ditt. Jeg skrev dem med vilje ned i uorden, vekk fra fristelser, for å si det sånn... Her er de svarene skrevet med semikolon.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Nå trekker vi konklusjoner. Hvis alt ordnet seg, er jeg glad i deg! Grunnleggende beregninger med brøker - ikke ditt problem! Du kan gjøre mer alvorlige ting. Hvis ikke...

Så du har ett av to problemer. Eller begge deler på en gang.) Mangel på kunnskap og (eller) uoppmerksomhet. Men dette løselig Problemer.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Eksempler med brøker er et av grunnelementene i matematikk. Det er mange forskjellige typer ligninger med brøker. Nedenfor er detaljerte instruksjoner for å løse eksempler av denne typen.

Hvordan løse eksempler med brøk - generelle regler

For å løse eksempler med brøker av enhver type, det være seg addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon, må du kjenne til de grunnleggende reglene:

• For å legge til brøkuttrykk med samme nevner (nevneren er tallet nederst i brøken, telleren øverst), må du legge til deres tellere og la nevneren være den samme.
• For å subtrahere et andre brøkuttrykk (med samme nevner) fra en brøk, må du trekke fra deres tellere og la nevneren være den samme.
• For å legge til eller trekke fra brøker med forskjellige nevnere, må du finne den laveste fellesnevneren.
• For å finne et brøkprodukt må du multiplisere tellerne og nevnerne, og om mulig redusere.
• For å dele en brøk med en brøk, multipliserer du den første brøken med den andre brøken omvendt.

Hvordan løse eksempler med brøker - øv

Regel 1, eksempel 1:

Beregn 3/4 +1/4.

I følge regel 1, hvis to (eller flere) brøker har samme nevner, legger du ganske enkelt til tellerne deres. Vi får: 3/4 + 1/4 = 4/4. Hvis en brøk har samme teller og nevner, vil brøken være lik 1.

Svar: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Regel 2, eksempel 1:

Regn ut: 3/4 – 1/4

Ved å bruke regel nummer 2, for å løse denne ligningen, må du trekke 1 fra 3 og la nevneren være den samme. Vi får 2/4. Siden to 2 og 4 kan reduseres, reduserer vi og får 1/2.

Svar: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Regel 3, eksempel 1

Regn ut: 3/4 + 1/6

Løsning: Ved å bruke den 3. regelen finner vi den laveste fellesnevneren. Minste fellesnevner er tallet som er delelig med nevnerne til alle brøkuttrykk i eksemplet. Dermed må vi finne minimumstallet som vil være delelig med både 4 og 6. Dette tallet er 12. Vi skriver 12 som nevneren på nevneren til den første brøken, vi får 3, gang med 3, skriv 3 i telleren *3 og + tegnet. Del 12 på nevneren til den andre brøken, vi får 2, gang 2 med 1, skriv 2*1 i telleren. Så vi får en ny brøk med en nevner lik 12 og en teller lik 3*3+2*1=11. 11/12.

Svar: 11/12

Regel 3, eksempel 2:

Beregn 3/4 – 1/6. Dette eksemplet er veldig likt det forrige. Vi gjør alle de samme trinnene, men i telleren i stedet for +-tegnet skriver vi et minustegn. Vi får: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Svar: 7/12

Regel 4, eksempel 1:

Regn ut: 3/4 * 1/4

Ved å bruke den fjerde regelen multipliserer vi nevneren til den første brøken med nevneren til den andre og telleren til den første brøken med telleren til den andre. 3*1/4*4 = 3/16.

Svar: 16/3

Regel 4, eksempel 2:

Beregn 2/5 * 10/4.

Denne brøkdelen kan reduseres. Når det gjelder et produkt, annulleres telleren til den første brøken og nevneren til den andre og telleren til den andre brøken og nevneren til den første.

2 kanselleringer fra 4. 10 kanselleringer fra 5. Vi får 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Svar: 2/5 * 10/4 = 1

Regel 5, eksempel 1:

Regn ut: 3/4: 5/6

Ved å bruke den femte regelen får vi: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Vi reduserer brøken i henhold til prinsippet i forrige eksempel og får 9/10.

Svar: 9/10.

Hvordan løse eksempler med brøk - brøklikninger

Brøklikninger er eksempler der nevneren inneholder en ukjent. For å løse en slik ligning, må du bruke visse regler.

La oss se på et eksempel:

Løs ligningen 15/3x+5 = 3

La oss huske at du ikke kan dividere med null, dvs. nevnerverdien må ikke være null. Ved løsning av slike eksempler skal dette angis. For dette formålet er det en OA (tillatt verdiområde).

Så 3x+5 ≠ 0.
Derfor: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Ved x = 5/3 har ligningen rett og slett ingen løsning.

Etter å ha angitt ODZ, på best mulig måte Bestemme seg for gitt ligning vil bli kvitt brøker. For å gjøre dette presenterer vi først alle ikke-brøkverdier som en brøk, i dette tilfellet tallet 3. Vi får: 15/(3x+5) = 3/1. For å bli kvitt brøker må du gange hver av dem med laveste fellesnevner. I dette tilfellet vil det være (3x+5)*1. Sekvensering:

1. Multipliser 15/(3x+5) med (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Åpne parentesene: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Vi gjør det samme med høyre side ligninger: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Vi sidestiller venstre og høyre side: 45x + 75 = 9x +15
5. Flytt X-ene til venstre, tall til høyre: 36x = – 50
6. Finn x: x = -50/36.
7. Vi reduserer: -50/36 = -25/18

Svar: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Hvordan løse eksempler med brøker - brøkulikheter

Fraksjonelle ulikheter av typen (3x-5)/(2-x)≥0 løses ved hjelp av tallaksen. La oss se på dette eksemplet.

Sekvensering:

• Vi likestiller telleren og nevneren til null: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Vi tegner en tallakse og skriver de resulterende verdiene på den.
• Tegn en sirkel under verdien. Det er to typer sirkler - fylte og tomme. En fylt sirkel betyr det gitt verdi inngår i utvalget av løsninger. En tom sirkel indikerer at denne verdien ikke er inkludert i løsningsområdet.
• Siden nevneren ikke kan være lik null, under 2. vil det være en tom sirkel.

• For å bestemme tegnene erstatter vi et hvilket som helst tall større enn to i ligningen, for eksempel 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. verdien er negativ, noe som betyr at vi skriver et minus over området etter de to. Erstatt deretter X med en hvilken som helst verdi av intervallet fra 5/3 til 2, for eksempel 1. Verdien er igjen negativ. Vi skriver et minus. Vi gjentar det samme med området som ligger opp til 5/3. Vi erstatter et hvilket som helst tall mindre enn 5/3, for eksempel 1. Igjen, minus.

• Siden vi er interessert i verdiene til x der uttrykket vil være større enn eller lik 0, og det ikke er slike verdier (det er minuser overalt), har denne ulikheten ingen løsning, det vil si x = Ø (et tomt sett).

Svar: x = Ø

ukjent nummer.

ukjent nummer.

så viser det seg å være 100. Finn tallet.

499*. Hvis du øker et ukjent tall med 2/3 av det, får du 60. Hvilket tall er dette?

Finn det ukjente nummeret.

_____________________________________________________________

501. 1) Potetavlingen med kvadratklyngeplanting er i gjennomsnitt 150 centners per 1 hektar, og ved konvensjonell planting denne mengden. Hvor mye mer poteter kan høstes fra et område på 15 hektar hvis poteter plantes etter kvadratklyngemetoden?

2) En erfaren arbeider produserte 18 deler på 1 time, og en uerfaren arbeider produserte 2/3 av dette beløpet. Hvor mange flere deler kan en erfaren arbeider produsere på en 7-timers dag?

502. 1) Pionerene samlet innenfor tre dager 56 kg forskjellige frø. På den første dagen ble 3/14 av den totale mengden samlet inn, på den andre - en og en halv gang mer, og på den tredje dagen - resten av kornet. Hvor mange kilo frø samlet pionerene den tredje dagen?

2) Ved maling av hveten ble resultatet: mel 4/5 av den totale mengden hvete, semulegryn - 40 ganger mindre enn mel, og resten er kli. Hvor mye mel, semulegryn og kli hver for seg ble produsert ved maling av 3 tonn hvete?

503. 1) Tre garasjer har plass til 460 biler. Antall biler som passer i den første garasjen er 3/4 av antall biler som passer i den andre, og i den tredje garasjen er det 1 1/2 ganger flere biler enn i den første. Hvor mange biler får plass i hver garasje?

2) En fabrikk med tre verksteder sysselsetter 6000 arbeidere. I det andre verkstedet er det 1 1/2 ganger færre arbeidere enn i det første, og antall arbeidere i det tredje verkstedet er 5/6 av antall arbeidere i det andre verkstedet. Hvor mange arbeidere er det på hvert verksted?

504. 1) Først ble 2/5, deretter 1/3 av den totale parafinen helt fra en tank med parafin, og etter det var det 8 tonn parafin igjen i tanken. Hvor mye parafin var det i tanken i utgangspunktet?

2) Syklistene kjørte inn innen tre dager. Den første dagen tilbakela de 4/15 av hele reisen, den andre 2/5, og den tredje dagen de resterende 100 km. Hvor langt reiste syklistene på tre dager?

505. 1) Isbryteren kjempet seg gjennom isfeltet i tre dager. Den første dagen tilbakela han 1/2 av hele distansen, den andre dagen 3/5 av den gjenværende distansen, og den tredje dagen de resterende 24 km. Finn lengden på stien dekket av isbryteren på tre dager.

2) Tre grupper skoleelever plantet trær. Den første avdelingen plantet 7/20 av alle trærne, den andre 5/8 av de gjenværende trærne, og den tredje de resterende 195 trærne. Hvor mange trær plantet de tre lagene totalt?

506 . 1) En skurtresker høstet hvete fra ett parsell på tre dager. Den første dagen høstet han fra 5/18 av hele arealet på tomten, den andre dagen fra 7/13 av det gjenværende arealet, og den tredje dagen fra det gjenværende arealet på 30 1/2 hektar. I gjennomsnitt ble det høstet 20 centners hvete fra hver hektar. Hvor mye hvete ble høstet i hele området?

2) På den første dagen dekket rallydeltakerne 3/11 av hele ruten, på den andre dagen 7/20 av den gjenværende ruten, på den tredje dagen 5/13 av den nye resten, og på den fjerde dagen de resterende 320 km. Hvor lang er ruten for rallyet?

507. 1) Den første dagen tilbakela bilen 3/8 av hele distansen, den andre dagen 15/17 av det den tilbakela den første, og den tredje dagen de resterende 200 km. Hvor mye bensin ble forbrukt hvis en bil bruker 1 3/5 kg bensin i 10 km?

2) Byen består av fire bydeler. 4/13 av alle innbyggerne i byen bor i det første distriktet, 5/6 av innbyggerne i det første distriktet bor i det andre, 4/11 av innbyggerne i de to første distriktene til sammen bor i det tredje, og 18 tusen folk bor i fjerde distrikt. Hvor mye brød trenger hele byens befolkning i 3 dager, hvis en person i gjennomsnitt bruker 500 g per dag?

508. 1) Turisten gikk på den første dagen 10/31 av hele reisen, på den andre 9/10 av det han gikk på den første dagen, og på den tredje - resten av reisen, og på den tredje dagen gikk han 12 km mer enn den andre dagen. Hvor mange kilometer gikk turisten på hver av de tre dagene?

2) Bilen dekket hele ruten fra by A til by B på tre dager. Den første dagen tilbakela bilen 7/20 av hele distansen, den andre 8/13 av den gjenværende distansen, og den tredje dagen tilbakela bilen 72 km mindre enn den første dagen. Hva er avstanden mellom byer A og B?

509 . 1) Forretningsutvalget tildelte land til arbeiderne ved tre fabrikker for hagetomter. Det første anlegget ble tildelt 9/25 av det totale antall tomter, det andre anlegget 5/9 av antall tomter tildelt for det første, og det tredje - de resterende tomtene. Hvor mange tomter totalt ble tildelt arbeiderne ved tre fabrikker, dersom den første fabrikken ble tildelt 50 færre tomter enn den tredje?

2) Flyet leverte et skifte med vinterarbeidere til polarstasjonen fra Moskva om tre dager. Den første dagen fløy han 2/5 av hele distansen, på den andre 5/6 av distansen den første dagen, og den tredje dagen fløy han 500 km mindre enn den andre dagen. Hvor langt fløy flyet på tre dager?

510 . 1) Anlegget hadde tre verksteder. Antall arbeidere i det første verkstedet er 2/5 av alle arbeidere i anlegget; i det andre verkstedet er det 1 1/2 ganger færre arbeidere enn i det første, og i det tredje verkstedet er det 100 flere arbeidere enn i det andre. Hvor mange arbeidere er det på fabrikken?

2) Kollektivbruket omfatter beboere i tre nabobygder. Antall familier i den første bygda er 3/10 av alle familier på kollektivbruket; i den andre landsbyen er antallet familier 1 1/2 ganger større enn i den første, og i den tredje landsbyen er antallet familier 420 færre enn i den andre. Hvor mange familier er det på kollektivgården?

511 . 1) Artellen brukte opp 1/3 av råvarelageret den første uken, og 1/3 av resten i den andre. Hvor mye råstoff er det igjen i artellen hvis forbruket av råvarer den første uken var 3/5 tonn mer enn den andre uken?

2) Av det importerte kullet ble 1/6 av det brukt til oppvarming av huset den første måneden, og 3/8 av resten i den andre måneden. Hvor mye kull er igjen til oppvarming av huset hvis det i den andre måneden ble forbrukt 1 3/4 tonn mer enn i den første måneden?

512 . 3/5 av den totale jorda til kollektivbruket er avsatt til såing av korn, 13/36 av resten er okkupert av grønnsakshager og enger, resten av jorden er skog, og såarealet til kollektivbruket er 217 hektar mer område skog, 1/3 av jorda som er avsatt til kornavlinger er sådd med rug, og resten med hvete. Hvor mange hektar jord sådde kollektivbruket med hvete og hvor mange med rug?

513. 1) Trikkeveien er 14 3/8 km lang. Langs denne ruten kjører trikken 18 stopp, og bruker i gjennomsnitt opptil 1 1/6 minutt per stopp. Gjennomsnittshastigheten på trikken langs hele ruten er 12 1/2 km i timen. Hvor lang tid tar det for en trikk å fullføre én tur?

2) Bussvei 16 km. Langs denne ruten kjører bussen 36 stopp, 3/4 min hver. i gjennomsnitt hver. Gjennomsnittlig busshastighet er 30 km i timen. Hvor lang tid tar en buss for én rute?

514*. 1) Klokken er seks om kvelden. Hvilken del av dagen er igjen og hvilken del utgjør den av den siste delen av dagen?

2) En dampbåt reiser avstanden mellom to byer med strømmen på 3 dager. og tilbake samme avstand på 4 dager. Hvor mange dager vil flåtene flyte nedstrøms fra en by til en annen?

516 . Finn gjennomsnittet aritmetiske tall:

Hvor mange kilometer gikk han i gjennomsnitt i timen?

519. 1) Traktorføreren fullførte oppgaven med å pløye jorden på tre dager. Den første dagen han

pløyde traktorføreren jorden på en dag?

2) En gruppe skoleelever på en tredagers turisttur var på vei til den første

var skoleelever i bevegelse hver dag?

520. 1) Det bor tre familier i huset. Den første familien har 3 lyspærer for å lyse opp leiligheten, den andre har 4 og den tredje har 5 lyspærer. Hvor mye skulle hver familie betale for strøm hvis alle lampene var like, og den totale strømregningen (for hele huset) var 7 1/5 rubler?

2) En polerer holdt på å polere gulvene i et hus hvor det bodde tre familier. Den første familien hadde boareal

2 gni. 08 kop. Hvor mye betalte hver familie?

I gjennomsnitt samlet inn poteter fra hver busk?

2) Hvis du legger sammen tallene som uttrykker bredden på Tatar- og Kerchstredet

hvert sund?

2) Øyer Ny jord, Sakhalin og Severnaya Zemlya okkuperer sammen området

listeførte øyer?

område av den tredje. Hva er arealet til det andre rommet?

dag. Hvor mange timer reiste syklisten den andre konkurransedagen?

hvert jernstykke?

korn, så blir det like mengder korn i begge boksene. Hvor mye frokostblanding er det i hver boks?

i hver boks?

Hva er hastigheten på elvestrømmen?

529 . 1) Det er 110 biler i to garasjer, og i den ene er det 1 1/5 ganger flere enn i den andre. Hvor mange biler er det i hver garasje?

____________________________________________________________

530 . 1) En legering bestående av kobber og sølv veier 330 g. Vekten av kobber i denne legeringen

Finn disse tallene.

Finn disse tallene.

elever i en klasse i følge listen, hvis det er 20 flere tilstede enn fraværende?

hvor gammel er sønnen din?

535 . Nevneren til en brøk er 11 enheter større enn telleren. Hva er brøken lik hvis den

№ 536-№ 537 muntlig.

andre nummer?

Antall? Hvilken del av det andre tallet er det første?

gutt, er numerisk like - antall sopp samlet inn av den andre gutten. Hvor mange sopp samlet hver gutt?

2) Institusjonen sysselsetter 27 personer. Hvor mange menn og hvor mange kvinner jobber?

540*. Tre gutter kjøpte en volleyball. Bestem bidraget til hver gutt, vel vitende

tredje gutt mer bidrag den første for 64 kopek.

andre nummer.

_______________________________________

542 .1) Det første laget kan fullføre noe arbeid på 36 dager, og det andre på 45 dager. Om hvor mange dager vil begge lagene, som jobber sammen, fullføre denne jobben?

2) Et persontog dekker avstanden mellom to byer på 10 timer, og et godstog tilbakelegger denne avstanden på 15 timer. Begge togene forlot disse byene samtidig mot hverandre. Hvor mange timer vil de møtes?

begge byene samtidig mot hverandre? (Rund svar til nærmeste 1 time.)

2) To motorsyklister dro samtidig fra to byer mot hverandre. En motorsyklist kan reise hele avstanden mellom disse byene på 6 timer, og en annen på 5 timer. Hvor mange timer etter avgang møter motorsyklistene? (Rund svar til nærmeste 1 time.)

544 . 1) Tre biler med forskjellig bæreevne kan transportere noe last,

arbeider separat: den første - i 10 timer, den andre - i 12 timer. og den tredje - i 15 timer. Hvor mange timer kan de frakte den samme lasten sammen?

2) To tog forlater to stasjoner samtidig mot hverandre: det første toget

timer etter at toget går vil de møtes?

545 . 1) To kraner er koblet til badekaret. Gjennom en av dem kan badekaret fylles ut

åpne begge kranene samtidig?

2) To maskinskrivere må skrive inn manuskriptet på nytt. Den første maskinskriveren kan utføre

maskinskrivere hvis de jobber samtidig?

546. 1) Bassenget fylles med det første røret på 5 timer, og gjennom det andre røret kan det tømmes på 6 timer. Om hvor mange timer vil hele bassenget være fylt hvis begge rørene åpnes samtidig?

Indikasjon: I løpet av en time er bassenget fylt til (1/5 - 1/6) av kapasiteten.

2) To traktorer pløyde åkeren på 6 timer. Den første traktoren, som jobbet alene, kunne pløye dette feltet på 15 timer. Hvor mange timer ville det ta en ekstra traktor å pløye dette feltet, alene?

547 *. To tog forlater to stasjoner samtidig mot hverandre og møtes 18 timer etter avgang. Hvor lang tid tar det andre toget å dekke avstanden mellom stasjonene hvis det første toget dekker denne avstanden på 1 dag 21 timer?

548 *. Bassenget er fylt med to rør. Først ble det første røret åpnet, og deretter gjennom

arbeider sammen, bassenget fylt opp. Bestem kapasiteten til bassenget hvis 200 bøtter vann per time helles gjennom det andre røret.

______________________________________________________________________________

Leningrad 650 km?

2) Fra kollektivbruket til byen 24 km. En lastebil forlater kollektivbruket og kjører 1 km inn

med halve hastigheten til en lastebil. Hvor lenge etter avreise vil syklisten møte lastebilen?

Hvor mange timer etter at fotgjengeren drar vil syklisten kjøre forbi ham?

Hvor lang tid vil det ta for hurtigtoget å komme etter godstoget?

551 . 1) Fra de to kollektivbrukene som veien til regionsenteret går gjennom, dro vi

avstand mellom kollektivbruk.

høyere toghastighet. Hvor mange timer etter avgang vil flyet innhente toget?

552 . 1) Avstanden mellom byene langs elven er 264 km. Skipet reiste denne avstanden

Var det en båt ved hvert stopp?

554 . Fra Leningrad til Kronstadt ved 12-tiden. den dagen da damperen gikk og gikk gjennom alt

først Når møttes de to skipene?

555 . Toget måtte tilbakelegge en strekning på 630 km på 14 timer. Etter å ha tilbakelagt 2/3 av denne distansen ble han varetektsfengslet i 1 time og 10 minutter. Med hvilken hastighet bør han fortsette reisen for å nå målet uten forsinkelse?

556 . Klokken 04:20 morgen forlot et godstog fra Kiev til Odessa med et gjennomsnitt

hvis avstanden mellom Kiev og Odessa er 663 km?

557* . Klokken viser middag. Hvor lang tid vil det ta før time- og minuttviserne faller sammen?

_____________________________________

skolen har 420 færre elever enn den andre. Hvor mange elever er det på de tre skolene?

559. 1) To skurtreskere jobbet i samme område. Etter en skurtresker fjernet

hektar mer enn den andre. I gjennomsnitt ble det tresket 32 ​​1/2 kvint korn fra hver hektar. Hvor mange sentner korn tresket hver skurtresker?

og den første hadde 2 rubler. 25 kopek mer enn den andre. Alle betalte halvparten av kostnaden for enheten. Hvor mye penger har alle igjen?

560. 1) Fra by A til by B, avstanden mellom dem er 215 km, gikk en bil med en hastighet på 50 km i timen. Samtidig forlot en lastebil by B til by A. Hvor mange kilometer kjørte bilen før møtet

2) Mellom byer A og B 210 km. En personbil forlot by A til by B. Samtidig forlot en lastebil by B til by A. Hvor mange kilometer kjørte lastebilen før den møtte personbilen, hvis personbilen kjørte med en hastighet på 48 km i timen, og

561. Kollektivbruket høstet hvete og rug. 20 hektar mer ble sådd med hvete enn

forlot brødet for å tilfredsstille hans behov. Hvor mange turer måtte de to tonn tunge lastebilene kjøre for å fjerne brødet som ble solgt til staten?

562. Rug og hvetemel ble brakt til bakeriet. Vekt hvetemel utgjorde 3/5 av vekten av rugmel, og det ble brakt 4 tonn mer rugmel enn hvetemel. Hvor mye hvete og hvor mye rugbrød skal bakes av bakeriet fra denne

de to første dagene sammen. Finn lengden på motorveien mellom kollektivbruk.

______________________________________________________________

564 . Fylle ledige plasser i tabellen hvor S- området av rektangelet, EN- bunnen av rektangelet, a h- høyde (bredde) på rektangelet.

Finn omkretsen og området til nettstedet.

omkrets og område av stedet.

arealet av et rektangel.

567.

567. Regn ut arealene til figurene vist i figur 30 ved å dele dem inn i rektangler og finne dimensjonene til rektangelet ved måling.

bønner. Hvor mange frø var nødvendig for å så tomten hvis det ble sådd 1 centner per 1 hektar?

2) En hvetehøst på 25 kvint per hektar ble samlet inn fra en rektangulær åker. Hvor mye hvete ble høstet fra hele åkeren hvis lengden på åkeren er 800 m og bredden er 3/8 av lengden?

Området er okkupert av bygninger. Bestem arealet av land under bygningene.

Kollektivbruket planlegger å anlegge hage. Hvor mange trær vil bli plantet i denne hagen hvis et gjennomsnittlig areal på 36 kvadratmeter kreves for hvert tre? m?

571 . 1) For normal dagslysbelysning av et rom er det nødvendig at området

2) Bruk tilstanden til forrige oppgave, finn ut om det er nok lys i klasserommet ditt.

2) Vedhaugen har form av et rektangulært parallellepiped, hvis dimensjoner er

i bassenget.

574 . Et gjerde må bygges rundt et rektangulært stykke land, 75 m langt og 45 m bredt. Hvor mange kubikkmeter plater skal gå inn i konstruksjonen hvis

________________________________________________________________________________

575. 1) Hvilken vinkel lager minutt- og timeviserne ved 13-tiden? klokken 15? klokken 17? klokken 21? kl 23:30?

2) Hvor mange grader vil den snu? timeviser om 2 timer? klokka 5? klokka 8? 30 min.?

sirkler?

576. 1) Bruk en gradskive, tegn: a) en rett vinkel; b) en vinkel på 30°; c) en vinkel på 60°; d) vinkel på 150°; e) en vinkel på 55°.

2) Bruk en gradskive, mål vinklene til figuren og finn summen av alle vinklene til hver figur (fig. 31).

577 . Følg disse instruksjonene:

1) 36º15"+43º30" 2) 53º29" + 20º41"

3) 16º+23º07" +33º56" 4) 36º15" – 21º11"

5) 48º-19º52" 6) 51º12"-37º45"

7) 17º12·3 8) 39º18·4

9) 13º53"5 10) 42º22":2

11)58º3":3 12) 49º24":4

578. 1) Halvsirkelen er delt inn i to buer, hvorav den ene er 100º større enn den andre. Finn størrelsen på hver bue.

2) Halvsirkelen er delt inn i to buer, hvorav den ene er 15° mindre enn den andre. Finn størrelsen på hver bue.

3) Halvsirkelen er delt i to buer, hvorav den ene er dobbelt så stor som den andre. Finn størrelsen på hver bue.

4) Halvsirkelen er delt inn i to buer, hvorav den ene er 5 ganger mindre enn den andre. Finn størrelsen på hver bue.

___________________________________________________________________________

579. 1) Diagrammet «Population Literacy in the USSR» (Fig. 32) viser antall lesekyndige per hundre mennesker av befolkningen. Basert på dataene i diagrammet og dets skala, bestemme antall lesekyndige menn og kvinner for hvert av de angitte årene.

2) Bruk dataene fra diagrammet "Sovjetiske utsendinger til verdensrommet" (fig. 33), lag oppgaver.

580. 1) I følge kakediagrammet «Daglig rutine for en elev i femte klasse» (Fig. 34), fyll ut tabellen og svar på spørsmålene: hvilken del av dagen er tildelt søvn? til lekser? til skolen?

2) Lag et kakediagram om din daglige rutine.