Utvid funksjonen online til en kraftserie. Kraftserier, deres konvergens, utvidelse av funksjoner til kraftserier
16.1. Utvidelse av elementære funksjoner i Taylor- og Maclaurin-serieneLa oss vise at hvis en vilkårlig funksjon er definert på et sett 
, i nærheten av punktet 
har mange deriverte og er summen av en potensserie:
så kan du finne koeffisientene til denne serien.
La oss erstatte i en kraftserie 
. Da 
.
La oss finne den første deriverte av funksjonen 
:
På 
:
.
For den andre deriverte får vi:
På 
:
.
Fortsetter denne prosedyren n når vi får: 
.
Dermed fikk vi en potensserie av formen:
,
som kalles ved siden av Taylor for funksjon 
i nærheten av punktet 
.
Et spesielt tilfelle av Taylor-serien er Maclaurin-serien på 
:
Resten av Taylor (Maclaurin)-serien oppnås ved å forkaste hovedserien n første medlemmer og er betegnet som 
. Deretter funksjonen 
kan skrives som en sum n første medlemmer av serien 
og resten 
:,
.
Resten er vanligvis 
uttrykt i forskjellige formler.
En av dem er i Lagrange-form:
, Hvor 
.
.
Merk at i praksis brukes Maclaurin-serien oftere. Altså, for å skrive funksjonen 
i form av en potensseriesum er det nødvendig:
1) finn koeffisientene til Maclaurin (Taylor)-serien;
2) finn konvergensområdet til den resulterende potensserien;
3) bevis at denne serien konvergerer til funksjonen 
.
Teorem 1 (nødvendig og tilstrekkelig betingelse for konvergens av Maclaurin-serien). La radius av konvergens av serien 
. For at denne serien skal konvergere i intervallet 
å fungere 
, er det nødvendig og tilstrekkelig for at betingelsen skal være oppfylt: 
i det angitte intervallet.
Teorem 2. Hvis deriverte av hvilken som helst rekkefølge av en funksjon 
i et eller annet intervall 
begrenset i absolutt verdi til samme tall M, altså 
, så i dette intervallet funksjonen 
kan utvides til en Maclaurin-serie.
Eksempel 1. Utvid i en Taylor-serie rundt punktet 
funksjon.
Løsning.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Konvergensregion 
.
Eksempel 2. Utvid en funksjon 
i en Taylor-serie rundt et punkt 
.
Løsning:
Finn verdien av funksjonen og dens deriverte ved 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
La oss sette disse verdiene på rad. Vi får:
eller 
.
La oss finne konvergensområdet til denne serien. I følge d'Alemberts test konvergerer en serie hvis
.
Derfor, for evt 
denne grensen er mindre enn 1, og derfor vil konvergensområdet for serien være: 
.
La oss vurdere flere eksempler på utvidelsen av Maclaurin-serien av grunnleggende elementære funksjoner. Husk at Maclaurin-serien:
.
konvergerer på intervallet 
å fungere 
.
Merk at for å utvide en funksjon til en serie er det nødvendig:
a) finn koeffisientene til Maclaurin-serien for denne funksjonen;
b) beregne konvergensradiusen for den resulterende serien;
c) bevise at den resulterende rekken konvergerer til funksjonen 
.
Eksempel 3. Tenk på funksjonen 
.
Løsning.
La oss beregne verdien av funksjonen og dens deriverte ved 
.
Da har de numeriske koeffisientene til serien formen:
for hvem som helst n. La oss erstatte de funnet koeffisientene i Maclaurin-serien og få: 
La oss finne konvergensradiusen til den resulterende serien, nemlig:
.
Derfor konvergerer serien på intervallet 
.
Denne serien konvergerer til funksjonen 
for eventuelle verdier 
, fordi på et hvilket som helst intervall 
funksjon 
og dens absolutte verdiderivater er begrenset i antall 
.
Eksempel 4. Vurder funksjonen 
.
Løsning.
:
Det er lett å se at derivater av jevn rekkefølge 
, og derivatene er av oddetall. La oss erstatte de funnet koeffisientene i Maclaurin-serien og få utvidelsen:
La oss finne konvergensintervallet til denne serien. I følge d'Alemberts tegn:
for hvem som helst 
. Derfor konvergerer serien på intervallet 
.
Denne serien konvergerer til funksjonen 
, fordi alle dens derivater er begrenset til enhet.
Eksempel 5. 
.
Løsning.
La oss finne verdien av funksjonen og dens deriverte ved 
:
Dermed er koeffisientene til denne serien: 
Og 
, derav:
I likhet med forrige rad, konvergensområdet 
. Serien konvergerer til funksjonen 
, fordi alle dens derivater er begrenset til enhet.
Vær oppmerksom på at funksjonen 
odde- og serieutvidelse i oddetall, funksjon 
– jevn og utvidelse til en serie med jevne styrker.
Eksempel 6. Binomial serie: 
.
Løsning.
La oss finne verdien av funksjonen og dens deriverte ved 
:
Av dette kan man se at:
La oss erstatte disse koeffisientverdiene i Maclaurin-serien og få utvidelsen av denne funksjonen til en potensserie:
La oss finne konvergensradiusen til denne serien:
Derfor konvergerer serien på intervallet 
. Ved grensepunktene kl 
Og 
en serie kan eller ikke kan konvergere avhengig av eksponenten 
.
Den studerte serien konvergerer på intervallet 
å fungere 
, altså summen av serien 
på 
.
Eksempel 7. La oss utvide funksjonen i Maclaurin-serien 
.
Løsning.
For å utvide denne funksjonen til en serie bruker vi binomialserien på 
. Vi får: 
Basert på egenskapen til potensserier (en potensserie kan integreres i området for dens konvergens), finner vi integralet til venstre og høyre side av denne serien:
La oss finne konvergensområdet til denne serien: 
,
det vil si at området for konvergens av denne serien er intervallet 
. 
La oss bestemme konvergensen til serien ved enden av intervallet. På 
. Denne serien er en harmonisk serie, det vil si at den divergerer. På 
.
vi får en tallserie med et felles begrep 
.
I omtrentlige beregninger spiller potensserier en ekstremt viktig rolle. Med deres hjelp er det kompilert tabeller med trigonometriske funksjoner, logaritmertabeller, verditabeller for andre funksjoner, som brukes i ulike kunnskapsfelt, for eksempel i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. I tillegg er utvidelsen av funksjoner til en potensserie nyttig for deres teoretiske studie. Hovedproblemet ved bruk av potensserier i omtrentlige beregninger er spørsmålet om å estimere feilen når summen av en serie erstattes med summen av dens første n medlemmer.
La oss vurdere to tilfeller:
funksjonen utvides til en tegnvekslende serie;
funksjonen utvides til en serie med konstanttegn.
Beregning ved hjelp av alternerende serierLa funksjonen 
utvidet til en vekslende kraftserie. Deretter når du beregner denne funksjonen for en bestemt verdi 
vi får en tallserie som vi kan bruke Leibniz-kriteriet på. I samsvar med dette kriteriet, hvis summen av en serie erstattes med summen av dens første n termer, så overskrider ikke den absolutte feilen den første termen i resten av denne serien, det vil si: 
.
Eksempel 8. Kalkulere 
med en nøyaktighet på 0,0001.
Løsning.
Vi skal bruke Maclaurin-serien til 
, erstatter vinkelverdien i radianer:
Hvis vi sammenligner første og andre ledd i serien med en gitt nøyaktighet, så: .
Tredje utvidelsesperiode:
mindre enn den angitte beregningsnøyaktigheten. Derfor å beregne 
det er nok å forlate to termer av serien, altså
.
Slik 
.
Eksempel 9. Kalkulere 
med en nøyaktighet på 0,001.
Løsning.
Vi skal bruke binomialserieformelen. For å gjøre dette, la oss skrive 
i formen: 
.
I dette uttrykket 
,
La oss sammenligne hver av termene i serien med nøyaktigheten som er spesifisert. Det er klart det 
. Derfor å beregne 
det er nok å forlate tre termer av serien.
eller 
.
Eksempel 10. Beregn antall 
med en nøyaktighet på 0,001.
Løsning.
På rad for en funksjon 
la oss erstatte 
. Vi får:
La oss estimere feilen som oppstår når summen av en serie erstattes med summen av den første 
medlemmer. La oss skrive ned den åpenbare ulikheten:
altså 2