Løse derivatet for dummies: definisjon, hvordan finne, eksempler på løsninger. Funksjonsgrenser
Når en person har tatt de første selvstendige skrittene i studiet av matematisk analyse og begynner å stille ubehagelige spørsmål, er det ikke lenger så lett å kvitte seg med uttrykket om at «differensialregning ble funnet i kål». Derfor er det på tide å være bestemt og løse mysteriet om fødselen til tabeller over derivater og differensieringsregler. Startet i artikkelen om betydningen av derivatet, som jeg anbefaler på det sterkeste for studier, for der vurderte vi nettopp konseptet med et derivat og begynte å klikke på oppgaver om emnet. Den samme leksjonen har en utpreget praktisk orientering, dessuten,
eksemplene som vurderes nedenfor, kan i prinsippet mestres rent formelt (for eksempel når det ikke er tid / ønske om å dykke ned i essensen av derivatet). Det er også svært ønskelig (men igjen ikke nødvendig) å kunne finne derivater ved å bruke den "vanlige" metoden - i det minste på nivå med to grunnleggende klasser: Hvordan finne den deriverte og deriverte av en kompleks funksjon.
Men uten noe, som nå definitivt er uunnværlig, er det uten funksjonsgrenser. Du må FORSTÅ hva en grense er og kunne løse dem, i hvert fall på et mellomnivå. Og alt på grunn av derivatet
funksjon i et punkt er definert av formelen:
Jeg minner deg om betegnelsene og begrepene: de kaller argumentøkning;
– funksjonsøkning;
- Dette er ENKEL symboler ("delta" kan ikke "rives av" fra "X" eller "Y").
Tydeligvis er en "dynamisk" variabel, er en konstant og resultatet av å beregne grensen 
- Antall (noen ganger - "pluss" eller "minus" uendelig).
Som et poeng kan du vurdere ALLE verdier som tilhører domener en funksjon som har en derivert.
Merk: klausulen "hvor derivatet eksisterer" - generelt betydelig.! Så, for eksempel, punktet, selv om det går inn i domenet til funksjonen, men den deriverte
finnes ikke der. Derfor formelen
ikke aktuelt på punktet
og en forkortet formulering uten forbehold ville være feil. Lignende fakta er også gyldige for andre funksjoner med "brudd" i grafen, spesielt for arcsine og arccosine.
Dermed, etter å ha erstattet , får vi den andre arbeidsformelen:
Vær oppmerksom på en lumsk omstendighet som kan forvirre tekanne: i denne grensen spiller "x", som i seg selv en uavhengig variabel, rollen som en statist, og "dynamikk" er igjen satt av inkrementet. Resultatet av grenseberegning
er den deriverte funksjonen.
Basert på det foregående formulerer vi betingelsene for to typiske problemer:
- Finn derivat på et punkt ved å bruke definisjonen av et derivat.
- Finn avledet funksjon ved å bruke definisjonen av et derivat. Denne versjonen, ifølge mine observasjoner, forekommer mye oftere og vil bli gitt hovedoppmerksomheten.
Den grunnleggende forskjellen mellom oppgavene er at i det første tilfellet kreves det å finne nummeret (evt. uendelig), og i den andre
funksjon. I tillegg kan det hende at derivatet ikke eksisterer i det hele tatt.
Hvordan ?
Lag et forhold og beregn grensen.
Hvor gjorde tabell over derivater og differensieringsregler ? Med en enkelt grense
Virker som magi, men
virkeligheten - lureri og ingen svindel. På leksjonen Hva er et derivat? Jeg begynte å vurdere spesifikke eksempler, der jeg ved å bruke definisjonen fant de deriverte av en lineær og kvadratisk funksjon. For kognitiv oppvarming vil vi fortsette å forstyrre derivattabell, finpusse algoritmen og tekniske løsninger:
Faktisk er det nødvendig å bevise et spesielt tilfelle av den deriverte av en potensfunksjon, som vanligvis vises i tabellen: .
Løsningen er teknisk formalisert på to måter. La oss starte med den første, allerede kjente tilnærmingen: stigen starter med en planke, og den deriverte funksjonen starter med en derivert på et punkt.
Tenk på et (konkret) punkt som hører til domener en funksjon som har en derivert. Still inn økningen på dette punktet (selvfølgelig ikke utover o / o - z) og komponer den tilsvarende økningen av funksjonen:
La oss beregne grensen:
Usikkerhet 0:0 elimineres ved en standardteknikk som anses så langt tilbake som det første århundre f.Kr. multiplisere
teller og nevner per tilstøtende uttrykk 
:
Teknikken for å løse en slik grense diskuteres i detalj i den innledende leksjonen. om grensene for funksjoner.
Siden ethvert punkt i intervallet kan velges som
Så, ved å erstatte, får vi:
Nok en gang, la oss glede oss over logaritmene:
Finn den deriverte av funksjonen ved å bruke definisjonen av den deriverte
Løsning: La oss vurdere en annen tilnærming til å lage den samme oppgaven. Det er akkurat det samme, men mer rasjonelt designmessig. Tanken er å bli kvitt
abonnere og bruke en bokstav i stedet for en bokstav.
Tenk på et vilkårlig punkt som tilhører domener funksjon (intervall), og angi inkrementet i den. Og her, forresten, som i de fleste tilfeller, kan du gjøre det uten reservasjoner, siden den logaritmiske funksjonen er differensierbar når som helst i definisjonsdomenet.
Da er den tilsvarende funksjonsøkningen:
La oss finne den deriverte:
Enkel design balanseres av forvirring, som kan
oppstår hos nybegynnere (og ikke bare). Tross alt er vi vant til at bokstaven "X" endres i grensen! Men her er alt annerledes: - en antikk statue, og - en levende besøkende som raskt går langs museets korridor. Det vil si at "x" er "som en konstant".
Jeg vil kommentere eliminering av usikkerhet trinn for trinn:
(1)
Bruke egenskapen til logaritmen
.
(2) Del telleren med nevneren i parentes.
(3) I nevneren multipliserer vi kunstig og deler med "x" slik at
dra nytte av det fantastiske 
, mens som uendelig liten utfører.
Svar: Per definisjon av derivat:
Eller kort sagt:
Jeg foreslår å uavhengig konstruere to flere tabellformler:
Finn derivater per definisjon
I dette tilfellet er det kompilerte inkrementet umiddelbart praktisk å redusere til en fellesnevner. Et omtrentlig utvalg av oppgaven på slutten av leksjonen (den første metoden).
Finn derivater per definisjon
Og her må alt reduseres til en bemerkelsesverdig grense. Løsningen er rammet inn på den andre måten.
Tilsvarende en rekke andre tabellformede derivater. En fullstendig liste finner du i en skolebok, eller for eksempel 1. bind av Fichtenholtz. Jeg ser ikke mye poeng i å omskrive fra bøker og bevis på differensieringsreglene - de genereres også
formel .
La oss gå videre til virkelige oppgaver: Eksempel 5
Finn den deriverte av en funksjon 
, ved å bruke definisjonen av derivatet
Løsning: bruk den første stilen. La oss vurdere et punkt som hører til, og angi økningen av argumentet i det. Da er den tilsvarende funksjonsøkningen:
Kanskje noen lesere ennå ikke helt har forstått prinsippet som en økning bør gjøres etter. Vi tar et punkt (tall) og finner verdien av funksjonen i det: 
, altså inn i funksjonen
i stedet for "x" bør erstattes. Nå tar vi
Sammensatt funksjonsøkning det er fordelaktig å umiddelbart forenkle. Til hva? Tilrettelegge og forkorte løsningen av den videre grensen.
Vi bruker formler, åpner parenteser og reduserer alt som kan reduseres:
Kalkunen er sløyd, ikke noe problem med steken:
Etter hvert: 
Siden et hvilket som helst reelt tall kan velges som kvalitet, gjør vi erstatningen og får 
.
Svar : 
per definisjon.
For verifikasjonsformål finner vi den deriverte ved å bruke reglene
differensiering og tabeller:
Det er alltid nyttig og hyggelig å vite det riktige svaret på forhånd, så det er bedre å mentalt eller på et utkast skille den foreslåtte funksjonen på en "rask" måte helt i begynnelsen av løsningen.
Finn den deriverte av en funksjon ved definisjonen av den deriverte
Dette er et gjør-det-selv eksempel. Resultatet ligger på overflaten:
Tilbake til stil #2: Eksempel 7
La oss finne ut umiddelbart hva som bør skje. Av regelen for differensiering av en kompleks funksjon:
Avgjørelse: vurdere et vilkårlig punkt som tilhører, angi økningen av argumentet i det og foreta økningen
La oss finne den deriverte:
(1) Vi bruker den trigonometriske formelen
(2) Under sinus åpner vi parentesene, under cosinus gir vi like termer.
(3) Under sinusen reduserer vi leddene, under cosinus deler vi telleren med nevneren ledd for ledd.
(4) På grunn av sinusens merkelighet tar vi ut "minus". Under kosinus
indikerer at begrepet .
(5) Vi multipliserer kunstig nevneren som skal brukes første fantastiske grensen. Dermed er usikkerheten eliminert, vi finkjemmer resultatet.
Svar: per definisjon Som du kan se, hviler hovedvanskeligheten ved problemet under vurdering på
kompleksiteten av selve grensen + en liten originalitet av emballasjen. I praksis møter jeg begge designmetodene, så jeg beskriver begge tilnærmingene så detaljert som mulig. De er likeverdige, men likevel, etter mitt subjektive inntrykk, er det mer hensiktsmessig for dummies å holde seg til det første alternativet med "X null".
Bruk definisjonen, finn den deriverte av funksjonen
Dette er en oppgave for selvstendig beslutning. Eksemplet er formatert i samme ånd som forrige eksempel.
La oss analysere en sjeldnere versjon av problemet:
Finn den deriverte av en funksjon i et punkt ved å bruke definisjonen av en derivert.
For det første, hva bør være bunnlinjen? Antall Beregn svaret på standardmåten:
Beslutning: fra et klarhetssynspunkt er denne oppgaven mye enklere, siden i formelen i stedet for
anses som en bestemt verdi.
Vi setter et inkrement på punktet og komponerer den tilsvarende økningen av funksjonen:
Beregn den deriverte ved et punkt:
Vi bruker en svært sjelden formel for forskjellen av tangenter 
og for femtende gang reduserer vi løsningen til den første
utrolig grense:
Svar: per definisjon av den deriverte ved et punkt.
Oppgaven er ikke så vanskelig å løse og "i generelle termer" - det er nok å erstatte neglene eller ganske enkelt, avhengig av designmetoden. I dette tilfellet får du selvfølgelig ikke et tall, men en derivert funksjon.
Eksempel 10 Bruk definisjonen til å finne den deriverte av en funksjon 
på punktet
Dette er et gjør-det-selv eksempel.
Den siste bonusoppgaven er først og fremst ment for studenter med fordypning i matematisk analyse, men det vil heller ikke skade alle andre:
Vil funksjonen være differensierbar 
på punktet?
Løsning: Det er åpenbart at en stykkevis gitt funksjon er kontinuerlig i et punkt, men vil den være differensierbar der?
Løsningsalgoritmen, og ikke bare for stykkevise funksjoner, er som følger:
1) Finn den venstrederiverte ved et gitt punkt: .
2) Finn den høyrederiverte ved det gitte punktet: .
3) Hvis ensidige derivater er endelige og sammenfaller:
, da er funksjonen differensierbar ved punktet og
geometrisk er det en felles tangent her (se den teoretiske delen av leksjonen Definisjon og betydning av derivat).
Hvis to forskjellige verdier mottas: 
(hvorav en kan være uendelig), så er ikke funksjonen differensierbar på et punkt.
Hvis begge ensidige derivater er lik uendelig
(selv om de har forskjellige fortegn), så har ikke funksjonen det
er differensierbar i et punkt, men det finnes en uendelig derivert og en felles vertikal tangent til grafen (se eksempel 5 i leksjonenNormal ligning) .
I koordinatplanet hei vurdere grafen til funksjonen y=f(x). Fiks et punkt M (x 0; f (x 0)). La oss gi abscissen x 0øke Δх. Vi skal få en ny abscisse x 0 +Δx. Dette er abscissen til punktet N, og ordinaten vil være f (х 0 +Δх). En endring i abscissen innebar en endring i ordinaten. Denne endringen kalles økningen av funksjonen og betegnes Δy.
Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). gjennom prikker M og N tegne en sekant MN, som danner en vinkel φ med positiv akseretning Åh. Bestem tangenten til vinkelen φ fra en rettvinklet trekant MPN.
La Δх har en tendens til null. Deretter sekanten MN vil ha en tendens til å ta posisjonen til en tangent MT, og vinkelen φ vil bli et hjørne α . Altså tangenten til vinkelen α er grenseverdien for tangenten til vinkelen φ :
Grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, når sistnevnte har en tendens til null, kalles den deriverte av funksjonen på et gitt punkt:
Den geometriske betydningen av derivatet ligger i det faktum at den numeriske deriverte av funksjonen i et gitt punkt er lik tangenten til vinkelen dannet av tangenten trukket gjennom dette punktet til den gitte kurven og den positive retningen til aksen Åh:
Eksempler.
1. Finn argumentøkning og funksjonsøkning y= x2 hvis startverdien til argumentet var 4 , og det nye 4,01 .
Løsning.
Ny argumentverdi x \u003d x 0 + Δx. Erstatt dataene: 4.01=4+Δx, derav økningen av argumentet Δх=4,01-4=0,01. Inkrementet til en funksjon er per definisjon lik forskjellen mellom de nye og tidligere verdiene til funksjonen, dvs. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Siden vi har en funksjon y=x2, deretter Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Svar: argumentøkning Δх=0,01; funksjonsøkning Δу=0,0801.
Det var mulig å finne funksjonsøkningen på en annen måte: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.
2. Finn helningsvinkelen til tangenten til funksjonsgrafen y=f(x) på punktet x 0, hvis f "(x 0) \u003d 1.
Løsning.
Verdien av derivatet ved kontaktpunktet x 0 og er verdien av tangenten til helningen til tangenten (den geometriske betydningen av den deriverte). Vi har: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, fordi tg45°=1.
Svar: tangenten til grafen til denne funksjonen danner en vinkel med den positive retningen til okseaksen, lik 45°.
3. Utled formelen for den deriverte av en funksjon y=xn.
Differensiering er handlingen for å finne den deriverte av en funksjon.
Ved å finne derivater brukes formler som er utledet på grunnlag av definisjonen av derivatet, på samme måte som vi utledet formelen for derivatgraden: (x n)" = nx n-1.
Her er formlene.
Avledet tabell det vil være lettere å huske ved å uttale verbale formuleringer:
1. Den deriverte av en konstant verdi er null.
2. X slag er lik en.
3. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte.
4. Den deriverte av en grad er lik produktet av eksponenten av denne graden med graden med samme base, men eksponenten er én mindre.
5. Den deriverte av roten er lik en delt på to av de samme røttene.
6. Den deriverte av enhet delt på x er minus én delt på x i annen.
7. Den deriverte av sinus er lik cosinus.
8. Den deriverte av cosinus er lik minus sinus.
9. Den deriverte av tangenten er lik en delt på kvadratet av cosinus.
10. Den deriverte av cotangensen er minus én dividert med kvadratet av sinusen.
Vi underviser differensieringsregler.
1.
Den deriverte av den algebraiske summen er lik den algebraiske summen av de deriverte leddene.
2. Den deriverte av produktet er lik produktet av den deriverte av den første faktoren med den andre pluss produktet av den første faktoren med den deriverte av den andre.
3. Den deriverte av "y" delt på "ve" er lik en brøk, i telleren som "y er et slag multiplisert med "ve" minus "y, multiplisert med et slag", og i nevneren - "ve i annen ".
4. Et spesielt tilfelle av formelen 3.
La oss lære sammen!
Side 1 av 1 1
Utdanningsdepartementet i den russiske føderasjonen
“MATI» - RUSSISK STAT
TEKNOLOGISK UNIVERSITET dem. K. E. TSIOLKOVSKY
Institutt for høyere matematikk
Varianter av kursoppgaver
Metodisk veiledning for kursoppgaven
"Begrensninger for funksjoner. Derivater»
Kulakova R. D.
Titarenko V.I.
Moskva 1999
merknad
De foreslåtte retningslinjene tar sikte på å hjelpe førsteårsstudenter med å lære teoretisk og praktisk stoff om temaet "Matematisk analyse".
I hver del, etter den teoretiske delen, analyseres typiske oppgaver.
Retningslinjene dekker følgende emner: grenser for funksjoner, differensiering av funksjoner gitt i ulike former, derivater og differensialer av høyere orden, L'Hopitals regel, anvendelse av den deriverte på problemer med geometri og mekanikk.
For å konsolidere materialet inviteres studentene til å fullføre semesteroppgaver om emnene som er oppført ovenfor.
Disse retningslinjene kan brukes på alle fakulteter og spesialiteter.
1. Begrensninger for funksjoner
For å bestemme grensene for sekvenser og funksjoner, brukes noen kjente triks:
Hvis du trenger å finne grensen
kan reduseres til en fellesnevner
Ved å dele på leddet med maksimal grad, får vi en konstant verdi i telleren, og i nevneren - alle leddene som har en tendens til 0, dvs.
.
Deretter, ved å erstatte x=a, får vi: 
;
4.
, når vi erstatter x=0, får vi 
.
5. Men hvis det er nødvendig å finne grensen for en rasjonell funksjon
, så når vi deler med et begrep med minimumsgrad, får vi
; og lar x gå til 0, får vi: 
Hvis grensene inneholder irrasjonelle uttrykk, er det nødvendig å introdusere nye variabler for å få et rasjonelt uttrykk, eller å oversette irrasjonaliteter fra nevneren til telleren og omvendt.
6.
; La oss gjøre en endring av variabel. La oss erstatte 
, kl 
, vi får 
.
7.
. Hvis telleren og nevneren multipliseres med samme tall, vil ikke grensen endres. Multipliser telleren med 
og del på samme uttrykk slik at grensen ikke endres, og gang nevneren med 
og dividere med samme uttrykk. Da får vi:
Bemerkelsesverdige grenser brukes ofte for å definere grenser:
; (1)
. (2)
8.
.
For å beregne en slik grense reduserer vi den til den første bemerkelsesverdige grensen (1). For å gjøre dette, multipliser og del telleren med 
, og nevneren 
, deretter.
9.
For å beregne denne grensen reduserer vi den til den andre bemerkelsesverdige grensen. For dette formål velger vi heltallsdelen fra det rasjonelle uttrykket i parentes og representerer det som en egenbrøk. Dette gjøres i tilfeller hvor 
, hvor 
, a 
, hvor 
;
, a 
, så til slutt 
. Her har vi brukt kontinuiteten i sammensetningen av kontinuerlige funksjoner.
2. Derivat
Derivert av en funksjon 
kalt den endelige grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, når sistnevnte har en tendens til null:
, eller 
.
Geometrisk er den deriverte helningen til tangenten til grafen til funksjonen 
på punkt x, altså 
.
Den deriverte er endringshastigheten til funksjonen ved x.
Å finne en derivert kalles differensiering av en funksjon.
Formler for å skille grunnleggende funksjoner:
3. Grunnleggende regler for differensiering
La da:
7) Hvis , altså 
, hvor 
og 
har derivater, da 
(regelen for differensiering av en kompleks funksjon).
4. Logaritmisk differensiering
Hvis du trenger å finne 
fra ligningen 
, da kan du:
a) ta logaritmen til begge sider av ligningen
b) differensiere begge deler av den resulterende likheten, hvor 
er en kompleks funksjon av x,
.
c) erstatte 
dets uttrykk i form av x
.
Eksempel: 
5. Differensiering av implisitte funksjoner
La ligningen 
definerer 
som en implisitt funksjon av x.
a) vi differensierer begge sider av ligningen med hensyn til x 
, får vi en ligning av første grad mht 
;
b) fra den resulterende ligningen vi uttrykker 
.
Eksempel: 
.
6. Differensiering av funksjoner gitt
parametrisk
La funksjonen være gitt av de parametriske ligningene 
,
deretter 
, eller 
Eksempel: 
7. Anvendelse av den deriverte på problemer
geometri og mekanikk
La 
og 
, hvor 
- vinkelen dannet med den positive retningen til OX-aksen av tangenten til kurven i punktet med abscissen 
.
Ligning av en tangent til en kurve 
på punktet 
ser ut som:
, hvor 
-derivat 
på 
.
Normalen til en kurve er en rett linje vinkelrett på tangenten og som går gjennom kontaktpunktet.
Normalligningen har formen
.
Vinkel mellom to kurver 
og 
ved deres skjæringspunkt 
kalles vinkelen mellom tangentene til disse kurvene i punktet 
. Denne vinkelen finnes av formelen
.
8. Derivater av høyere orden
Hvis en 
er den deriverte av funksjonen 
, deretter den deriverte av 
kalles den andre deriverte, eller andreordens deriverte, og er betegnet 
, eller 
, eller 
.
Derivater av hvilken som helst rekkefølge er definert på samme måte: tredjeordens derivater 
; avledet av n-te orden:
.
For produktet av to funksjoner kan du få en derivert av en hvilken som helst n-te orden ved å bruke Leibniz-formelen:
9. Andrederiverte av den implisitte funksjonen
-ligningen definerer 
, som en implisitt funksjon av x.
a) definere 
;
b) vi skiller med hensyn til x venstre og høyre side av likheten 
,
dessuten differensiere funksjonen 
i x, husk det 
det er en funksjon av x:
;
c) erstatte 
gjennom 
, vi får: 
etc.
10. Derivater av funksjoner definert parametrisk
Finne 
hvis 
.
11. Differensialer av første og høyere orden
Den første ordens differensialen til funksjonen 
kalles hoveddelen, lineær med hensyn til argumentet. Argumentdifferensialet er økningen av argumentet: 
.
Differensialen til en funksjon er lik produktet av dens deriverte og differensialen til argumentet:
.
Hovedegenskapene til differensialen:
hvor 
.
Hvis økning 
argumentet er lite i absolutt verdi, da 
og.
Dermed kan differensialen til en funksjon brukes til omtrentlige beregninger.
Den andre ordens differensialen til funksjonen 
kalles differensialen til differensialen av første orden: 
.
På samme måte: 
.
.
Hvis en 
og 
er en uavhengig variabel, så beregnes differensialer av høyere orden ved hjelp av formlene
Finn første og andre ordens differensialer for en funksjon
12. Beregning av grenser ved hjelp av L'Hopitals regel
Alle grensene ovenfor brukte ikke apparatet for differensialregning. Men hvis du trenger å finne
og kl 
begge disse funksjonene er uendelig store eller begge er uendelig store, da er ikke forholdet deres definert ved punktet 
og representerer derfor en usikkerhet av typen eller 
hhv. Siden dette forholdet er på punktet 
kan ha en grense, begrenset eller uendelig, og å finne denne grensen kalles avsløring av usikkerhet (Bernoullis L'Hospital-regel),
og følgende likhet gjelder:
, hvis 
og 
.
=
.
En lignende regel gjelder if 
og 
, dvs. 
.
=
=
.
L'Hopitals regel lar en også avsløre usikkerhetene ved typen 
og 
. Å beregne 
, hvor 
er uendelig liten, og 
- uendelig stor 
(utvikling av type uklarhet 
) er det nødvendig å transformere produktet til skjemaet
(skriv tvetydighet) eller til typen 
(type tvetydighet 
) og bruk deretter Lapital-regelen.
Å beregne 
, hvor 
og 
- uendelig stor 
(utvikling av type uklarhet 
) er det nødvendig å transformere forskjellen til skjemaet 
, avslør så usikkerheten 
type 
. Hvis en 
, deretter 
.
Hvis 
, så får vi en type ubestemthet ( 
), som er beskrevet på lignende måte som eksempel 12).
Fordi 
, så ender vi opp med en ubestemt type 
og så har vi
.
L'Hopitals regel kan også brukes til å avsløre usikkerhet av typen 
. I disse tilfellene mener vi beregningen av grensen for uttrykket 
, hvor 
når 
er uendelig liten, i etuiet 
er uendelig stor, og i etuiet 
er en funksjon hvis grense er lik én.
Funksjon 
i de to første tilfellene er en infinitesimal, og i det siste tilfellet en uendelig stor funksjon.
Før man leter etter grensen for slike uttrykk, blir de logaritmisert, dvs. hvis 
, deretter 
, og finn grensen 
, og finn grensen 
. I alle de ovennevnte tilfellene 
er en type tvetydighet 
, som er beskrevet på samme måte som eksempel 12).
5.
(bruk L'Hospitals regel)=
=
.
I dette produktet av grenser er den første faktoren 1, den andre faktoren er den første bemerkelsesverdige grensen, og den er også 1, og den siste faktoren har en tendens til 0, derfor:
og så 
.
=
;
.
7.
;
=
;
.
8.
;
=
;
.
KURSARBEID INKLUDERT 21 OPPGAVER.
№1-4 - Beregning av grensene for funksjoner;
#5-10 - Finn deriverte av funksjoner;
№11 - Finn den første deriverte;
#12 - Beregn 
en funksjon gitt i en parametrisk form;
#13 - Finn d 2 y;
#14 - Finn y ( n ) ;
#15 - Lik normal og tangens til en kurve på et punkt x 0 ;
#16 - Beregn verdien av funksjonen omtrent ved å bruke differensialen;
#17 - Finn 
;
#18 - Finn 
;
#19 - Finn 
;
#20-21 - Beregn grensen ved å bruke L'Hospitals regel.
valg 1
№1.
.
№2.
.
№3.
.
№4.
.
Beregn derivert
№5.
.
Derivert av en funksjon av én variabel.
Introduksjon.
Denne metodiske utviklingen er beregnet på studenter ved Fakultet for industri- og anleggsteknikk. De er satt sammen i forhold til programmet for kurset i matematikk i avsnittet "Differensialberegning av funksjoner til en variabel."
Utviklingen representerer en enkelt metodisk veiledning, som inkluderer: kort teoretisk informasjon; «typiske» oppgaver og øvelser med detaljerte løsninger og forklaringer til disse løsningene; kontrollalternativer.
Ytterligere øvelser på slutten av hvert avsnitt. En slik utviklingsstruktur gjør dem egnet for selvstendig mestring av seksjonen med minimal hjelp fra læreren.
§en. Definisjon av et derivat.
Mekanisk og geometrisk betydning
derivat.
Begrepet en derivert er et av de viktigste begrepene i matematisk analyse.Det oppsto allerede på 1600-tallet. Dannelsen av begrepet en derivert er historisk forbundet med to problemer: problemet med hastigheten til variabel bevegelse og problemet med en tangent til en kurve.
Disse oppgavene fører til tross for ulikt innhold til den samme matematiske operasjonen som må utføres på en funksjon Denne operasjonen har fått et spesielt navn i matematikk. Det kalles operasjonen med å differensiere en funksjon. Resultatet av en differensieringsoperasjon kalles en derivert.
Så, den deriverte av funksjonen y=f(x) i punktet x0 er grensen (hvis den eksisterer) for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet 
på 
.
Derivatet er vanligvis betegnet som følger: 
.
Så per definisjon
Symbolene brukes også for å betegne den deriverte 
.
Den mekaniske betydningen av derivatet.
Hvis s=s(t) er loven for rettlinjet bevegelse av et materialpunkt, da 
er hastigheten til dette punktet på tidspunktet t.
Den geometriske betydningen av derivatet.
Hvis funksjonen y=f(x) har en derivert i et punkt 
, deretter helningen til tangenten til grafen til funksjonen i punktet 
er lik 
.
Eksempel.
Finn den deriverte av en funksjon 
på punktet 
=2:
1) La oss gi et poeng 
=2 trinn 
. Legg merke til det.
2) Finn inkrementet til funksjonen ved punktet 
=2:
3) Komponer forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet:
La oss finne grensen for forholdet ved 
:
.
På denne måten, 
.
§ 2. Derivater av enkelte
de enkleste funksjonene.
Eleven må lære å beregne deriverte av spesifikke funksjoner: y=x,y= 
og generelt y= 
.
Finn den deriverte av funksjonen y=x.
de. (x)′=1.
La oss finne den deriverte av funksjonen
Derivat 
La 
deretter
Det er lett å legge merke til et mønster i uttrykkene for deriverte av en potensfunksjon 
ved n=1,2,3.
Følgelig
. (1)
Denne formelen er gyldig for enhver reell n.
Spesielt ved å bruke formel (1), har vi:
;
.
Eksempel.
Finn den deriverte av en funksjon
.
.
Denne funksjonen er et spesialtilfelle av en funksjon av skjemaet
på 
.
Ved å bruke formel (1) har vi
.
Derivater av funksjonene y=sin x og y=cos x.
La y=sinx.
Dividere på ∆x, får vi
Vi har passert til grensen som ∆x→0
La y=cosx .
Går vi til grensen som ∆x→0, får vi
;
.
(2)
§3. Grunnleggende regler for differensiering.
Vurder reglene for differensiering.
Teorem1 . Hvis funksjonene u=u(x) og v=v(x) er differensierbare ved et gitt punkt x, er summen deres også differensierbar på dette punktet, og den deriverte av summen er lik summen av de utledede leddene: (u+v)"=u"+v".(3 )
Bevis: tenk på funksjonen y=f(x)=u(x)+v(x).
Inkrementet ∆x til argumentet x tilsvarer trinnene ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) til funksjonene u og v. Deretter vil funksjonen y økes
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=--=∆u+∆v.
Følgelig
Så, (u+v)"=u"+v".
Teorem2. Hvis funksjonene u=u(x) og v=v(x) er differensierbare i et gitt punkt x, så er deres produkt også differensierbart i samme punkt. I dette tilfellet er den deriverte av produktet funnet ved følgende formel : (uv) "=u" v + uv ". ( fire)
Bevis: La y=uv, der u og v er noen differensierbare funksjoner av x. La x økes med ∆x; da vil u økes med ∆u, v økes med ∆v, og y økes med ∆y.
Vi har y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), eller
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Derfor er ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Herfra 
Går vi til grensen som ∆x→0 og tar i betraktning at u og v ikke er avhengige av ∆x, har vi
Teorem 3. Den deriverte av en kvotient av to funksjoner er lik en brøk, hvis nevner er lik kvadratet på divisoren, og telleren er differansen mellom produktet av den deriverte av divisoren og produktet av divisoren. utbytte ved derivatet av divisor, dvs.
Hvis en 
deretter 
(5)
Teorem 4. Den deriverte av konstanten er null, dvs. hvis y=C, hvor С=const, så er y"=0.
Teorem 5. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte, dvs. hvis y=Cu(x), hvor С=const, så y"=Cu"(x).
Eksempel 1
Finn den deriverte av en funksjon
.
Denne funksjonen har formen 
, hvor u=x,v=cosx. Ved å anvende differensieringsregelen (4), finner vi
.
Eksempel 2
Finn den deriverte av en funksjon
.
Vi bruker formel (5).
Her 
;
.
Oppgaver.
Finn deriverte av følgende funksjoner:
;
11)
2)
;
12)
;
3)
13)
4)
14)
5)
15)
6)
16)
7
)
17)
8)
18)
9)
19)
10)
20)
Komponer forholdet og beregn grensen.
Hvor gjorde tabell over derivater og differensieringsregler? Takket være en enkelt grense. Det virker som magi, men i virkeligheten - lureri og ingen svindel. På leksjonen Hva er et derivat? Jeg begynte å vurdere spesifikke eksempler, der jeg ved å bruke definisjonen fant de deriverte av en lineær og kvadratisk funksjon. For kognitiv oppvarming vil vi fortsette å forstyrre derivattabell, finpusse algoritmen og tekniske løsninger:
Eksempel 1
Faktisk er det nødvendig å bevise et spesielt tilfelle av den deriverte av en potensfunksjon, som vanligvis vises i tabellen: .
Løsning teknisk formalisert på to måter. La oss starte med den første, allerede kjente tilnærmingen: stigen starter med en planke, og den deriverte funksjonen starter med en derivert på et punkt.
Ta i betraktning noen(spesifikt) punkt som tilhører domener en funksjon som har en derivert. Still inn økningen på dette punktet (selvfølgelig ikke utovero/o
-JEG) og komponer den tilsvarende økningen av funksjonen:
La oss beregne grensen:
Usikkerhet 0:0 elimineres ved en standardteknikk som anses så langt tilbake som det første århundre f.Kr. Multipliser telleren og nevneren med det tilstøtende uttrykket 
:
Teknikken for å løse en slik grense diskuteres i detalj i den innledende leksjonen. om grensene for funksjoner.
Siden ethvert punkt i intervallet kan velges som, får vi ved å erstatte :
Svar
Nok en gang, la oss glede oss over logaritmene:
Eksempel 2
Finn den deriverte av funksjonen ved å bruke definisjonen av den deriverte
Løsning: La oss vurdere en annen tilnærming til promotering av samme oppgave. Det er akkurat det samme, men mer rasjonelt designmessig. Tanken er å kvitte seg med abonnementet i begynnelsen av løsningen og bruke bokstaven i stedet for bokstaven.
Ta i betraktning vilkårlig punkt som tilhører domener funksjon (intervall ), og sett inkrementet i den. Og her, forresten, som i de fleste tilfeller, kan du gjøre det uten reservasjoner, siden den logaritmiske funksjonen er differensierbar når som helst i definisjonsdomenet.
Da er den tilsvarende funksjonsøkningen:
La oss finne den deriverte:
Den enkle designen balanseres av forvirringen som nybegynnere (og ikke bare) kan oppleve. Tross alt er vi vant til at bokstaven "X" endres i grensen! Men her er alt annerledes: - en antikk statue, og - en levende besøkende som muntert går langs museets korridor. Det vil si at "x" er "som en konstant".
Jeg vil kommentere eliminering av usikkerhet trinn for trinn:
(1) Bruk egenskapen til logaritmen 
.
(2) I parentes deler vi telleren med nevneren ledd for ledd.
(3) I nevneren multipliserer vi kunstig og deler med "x" for å dra nytte av fantastisk grense 
, mens som uendelig liten skiller seg ut.
Svar: per definisjon av derivat:
Eller kort sagt:
Jeg foreslår å uavhengig konstruere to flere tabellformler:
Eksempel 3
I dette tilfellet er det kompilerte inkrementet umiddelbart praktisk å redusere til en fellesnevner. Et omtrentlig utvalg av oppgaven på slutten av leksjonen (den første metoden).
Eksempel 3:Løsning
: vurdere et poeng
, som hører til funksjonens omfang
. Still inn økningen på dette punktet
og komponer den tilsvarende økningen av funksjonen:
La oss finne den deriverte ved et punkt
:
Siden som
du kan velge hvilket som helst punkt
funksjonsomfang
, deretter
og
Svar
:
per definisjon av derivatet
Eksempel 4
Finn derivater per definisjon
Og her må alt reduseres til fantastisk grense. Løsningen er rammet inn på den andre måten.
Tilsvarende en rekke andre tabellformede derivater. En fullstendig liste finner du i en skolebok, eller for eksempel 1. bind av Fichtenholtz. Jeg ser ikke mye poeng i å omskrive fra bøker og bevis på differensieringsreglene - de genereres også av formelen.
Eksempel 4:Løsning
, eid
, og angi en økning i den
La oss finne den deriverte:
Å gjøre bruk av den fantastiske grensen
Svar
:
per definisjon
Eksempel 5
Finn den deriverte av en funksjon 
, ved å bruke definisjonen av derivatet
Løsning: Bruk den første visuelle stilen. La oss vurdere et punkt som tilhører , la oss angi økningen av argumentet i det. Da er den tilsvarende funksjonsøkningen:
Kanskje noen lesere ennå ikke helt har forstått prinsippet som en økning bør gjøres etter. Vi tar et punkt (tall) og finner verdien av funksjonen i det: 
, altså inn i funksjonen i stedet for"x" skal erstattes. Nå tar vi også et veldig spesifikt tall og erstatter det også i funksjonen i stedet for"x":. Vi skriver ned forskjellen, mens den er nødvendig settes helt i parentes.
Sammensatt funksjonsøkning det er fordelaktig å umiddelbart forenkle. Til hva? Tilrettelegge og forkorte løsningen av den videre grensen.
Vi bruker formler, åpner parenteser og reduserer alt som kan reduseres: 
Kalkunen er sløyd, ikke noe problem med steken:
Etter hvert: 
Siden et hvilket som helst reelt tall kan velges som kvalitet, gjør vi erstatningen og får 
.
Svar: per definisjon.
For verifikasjonsformål finner vi den deriverte ved å bruke differensieringsregler og tabeller:
Det er alltid nyttig og hyggelig å vite det riktige svaret på forhånd, så det er bedre å mentalt eller på et utkast skille den foreslåtte funksjonen på en "rask" måte helt i begynnelsen av løsningen.
Eksempel 6
Finn den deriverte av en funksjon ved definisjonen av den deriverte
Dette er et gjør-det-selv eksempel. Resultatet ligger på overflaten:
Eksempel 6:Løsning
: vurdere et poeng
, eid
, og angi økningen av argumentet i den
. Da er den tilsvarende funksjonsøkningen:
La oss beregne den deriverte:
På denne måten: 
Fordi som
et hvilket som helst reelt tall kan velges
og
Svar
:
per definisjon.
La oss gå tilbake til stil #2:
Eksempel 7
La oss finne ut umiddelbart hva som bør skje. Av regelen for differensiering av en kompleks funksjon:
Løsning: vurdere et vilkårlig punkt som tilhører , sett økningen av argumentet i det og komponer økningen til funksjonen:
La oss finne den deriverte: 
(1) Bruk trigonometrisk formel 
.
(2) Under sinus åpner vi parentesene, under cosinus presenterer vi lignende termer.
(3) Under sinusen reduserer vi leddene, under cosinus deler vi telleren med nevneren ledd for ledd.
(4) På grunn av sinusens merkelighet tar vi ut "minus". Under cosinus indikerer vi at begrepet .
(5) Vi multipliserer kunstig nevneren som skal brukes første fantastiske grensen. Dermed er usikkerheten eliminert, vi finkjemmer resultatet.
Svar: per definisjon
Som du kan se, hviler hovedvanskeligheten ved problemet under vurdering på kompleksiteten til selve grensen + en liten originalitet ved pakking. I praksis møter jeg begge designmetodene, så jeg beskriver begge tilnærmingene så detaljert som mulig. De er likeverdige, men likevel, etter mitt subjektive inntrykk, er det mer hensiktsmessig for dummies å holde seg til det første alternativet med "X null".
Eksempel 8
Bruk definisjonen, finn den deriverte av funksjonen
Eksempel 8:Løsning
: vurdere et vilkårlig poeng
, eid
, la oss angi en økning i den
og foreta en økning av funksjonen:
La oss finne den deriverte:
Vi bruker den trigonometriske formelen
og den første bemerkelsesverdige grensen:
Svar
:
per definisjon
La oss analysere en sjeldnere versjon av problemet:
Eksempel 9
Finn den deriverte av en funksjon i et punkt ved å bruke definisjonen av en derivert.
For det første, hva bør være bunnlinjen? Antall
La oss beregne svaret på standardmåten: 
Løsning: fra et klarhetssynspunkt er denne oppgaven mye enklere, siden formelen vurderer en spesifikk verdi i stedet.
Vi setter et inkrement på punktet og komponerer den tilsvarende økningen av funksjonen:
Beregn den deriverte ved et punkt:
Vi bruker en svært sjelden formel for forskjellen av tangenter 
og nok en gang redusere løsningen til første fantastiske grensen:
Svar: per definisjon av den deriverte ved et punkt.
Oppgaven er ikke så vanskelig å løse og "i generelle termer" - det er nok å erstatte med eller ganske enkelt, avhengig av designmetoden. I dette tilfellet får du selvfølgelig ikke et tall, men en derivert funksjon.
Eksempel 10
Bruk definisjonen, finn den deriverte av funksjonen 
på et punkt (hvorav ett kan vise seg å være uendelig), som jeg allerede har snakket om i generelle termer om teoretisk leksjon om den deriverte.
Noen stykkevis definerte funksjoner er også differensierbare ved "kryss"-punktene i grafen, for eksempel catdog 
har en felles derivert og en felles tangent (abscisse) i punktet . Kurve, ja differensierbar med ! De som ønsker det kan verifisere dette selv på modellen av det nettopp løste eksempelet.
©2015-2019 nettsted
Alle rettigheter tilhører deres forfattere. Dette nettstedet krever ikke forfatterskap, men tilbyr gratis bruk.
Opprettelsesdato for siden: 2017-06-11