Praktická práca na tému inverzných goniometrických funkcií. "inverzné goniometrické funkcie" - Dokument

Cieľ:

Zadanie: Vytvorte test „Inverzné goniometrické funkcie“

Internetové zdroje

Termín dodania - podľa technických špecifikácií

Samostatná práca č.14 (2 hod.)

Na tému: „Natiahnutie a kompresia pozdĺž súradnicových osí“

Cieľ: systematizácia a upevňovanie získaných teoretických vedomostí a praktických zručností žiakov;

Zadanie: Abstrakt na tému: „Predĺženie a stlačenie pozdĺž súradnicových osí“

Literatúra: A.G. Mordkovich „Algebra a začiatky matematickej analýzy“ 10. ročník

Internetové zdroje

Termín dodania - podľa technických špecifikácií

Samostatná práca č.15 (1 hod.)

Na tému: „Natiahnutie a kompresia pozdĺž súradnicových osí“

Cieľ: formovanie samostatného myslenia, schopnosti sebarozvoja, sebazdokonaľovania a sebarealizácie

Zadanie: prezentácia: „Predĺženie a stlačenie pozdĺž súradnicových osí“

Literatúra: A.G. Mordkovich „Algebra a začiatky matematickej analýzy“ 10. ročník

Internetové zdroje

Termín dodania - podľa technických špecifikácií

Samostatná práca č.16 (2 hod.)

Na tému: „Inverzné goniometrické funkcie, ich vlastnosti a grafy“

Cieľ: systematizácia a upevnenie získaných teoretických vedomostí a praktických zručností žiakov

Formulár na dokončenie úlohy: výskumná práca.

Literatúra: A.G. Mordkovich „Algebra a začiatky matematickej analýzy“ 10. ročník

Internetové zdroje

Termín dodania - podľa technických špecifikácií

Samostatná práca č.18 (6 hod.)

K téme: „Vzorce polovičných argumentov“

Cieľ: prehĺbenie a rozšírenie teoretických vedomostí

Zadanie: Napíšte správu na tému „Vzorce polovičného argumentu“. Vytvorte referenčnú tabuľku pre vzorce trigonometrie

Literatúra: A.G. Mordkovich „Algebra a začiatky matematickej analýzy“ 10. ročník

Internetové zdroje

Termín dodania - podľa technických špecifikácií

Predná strana.

Pracovný plán je vypracovaný s názvom „Obsah“; poloha - v centre.

Zoznam bibliografických zdrojov je uvedený v rubrike „Literatúra“. Zoznam použitej literatúry musí obsahovať všetky použité zdroje: informácie o knihách (monografie, učebnice, manuály, príručky a pod.) musia obsahovať: priezvisko a iniciály autora, názov knihy, miesto vydania, vydavateľstvo, rok vydania. Ak sú traja alebo viacerí autori, je dovolené uviesť priezvisko a iniciály len prvého z nich slovami „atď. Názov miesta vydania musí byť v nominatívnom prípade uvedený celý: je povolená skratka názvu iba dvoch miest: Moskva (M.) a Petrohrad (SPb.). Citované bibliografické zdroje by mali byť zoradené v abecednom poradí vo vzostupnom poradí. Zoznam musí pozostávať aspoň z troch zdrojov.

Každá nová časť práce, nová kapitola, nový odsek sa začína na ďalšej strane.

Prihláška je vyhotovená na samostatných listoch, každá prihláška má poradové číslo a tematický nadpis. V pravom hornom rohu je umiestnený nápis „Dodatok“ 1 (2.3...). Názov aplikácie je formátovaný ako nadpis odseku.

Objem práce je najmenej 10 listov strán vytlačených na počítači (písacom stroji); obsah, bibliografia a prílohy nie sú zahrnuté v uvedenom počte strán.

Text rukopisu je vytlačený typom písma č. 14 s odstupom 1,5.

Okraje: ľavý - 3 cm, pravý - 1 cm, horný a spodný - 2 cm.

Červená čiara - 1,5 cm Medzera medzi odsekmi - 1,8.

Po citácii v texte práce sa používajú tieto znaky: „...“, kde číslo bibliografického zdroja je prevzaté zo zoznamu literatúry.

Odvolanie proti textu prihlášky má nasledujúci formát: (pozri prílohu 1).

Návrh diagramov, tabuliek a vzorcov algoritmov. Ilustrácie (grafy, schémy, schémy) môžu byť v hlavnom texte abstraktu a v časti prílohy. Všetky ilustrácie sa nazývajú kresby. Všetky obrázky, tabuľky a vzorce sú očíslované arabskými číslicami a v rámci aplikácie majú priebežné číslovanie. Každý výkres musí mať podpis. Napríklad:

Obr. 12. Formulár hlavného okna aplikácie.

Všetky obrázky, tabuľky a vzorce v práci musia mať odkazy vo forme: „Forma hlavného okna aplikácie je znázornená na obr. 12."

Obrázky a tabuľky by mali byť v texte poznámky umiestnené hneď za stranou, na ktorej sa to prvýkrát spomína. Ak to priestor dovoľuje, obrázok (tabuľku) je možné umiestniť do textu na tú istú stranu, kde je naň uvedený prvý odkaz.

Ak kresba zaberá viac ako jednu stranu, všetky strany okrem prvej sú označené číslom kresby a slovom „Pokračovanie“. Napríklad:

Ryža. 12. Pokračovanie

Výkresy by mali byť umiestnené tak, aby ich bolo možné prezerať bez otáčania poznámky. Ak takéto umiestnenie nie je možné, mali by byť výkresy umiestnené tak, aby ste ich mohli prezerať, museli by ste prácu otáčať v smere hodinových ručičiek.

Diagramy algoritmov musia byť vytvorené v súlade s normou ESPD. Hrúbka plnej čiary pri kreslení diagramov algoritmov by mala byť v rozsahu od 0,6 do 1,5 mm. Nápisy na diagramoch musia byť vyhotovené kresbovým písmom. Výška písmen a číslic musí byť najmenej 3,5 mm.

Číslo tabuľky je umiestnené v pravom hornom rohu nad názvom tabuľky, ak existuje. Nadpis, okrem prvého písmena, sa píše malými písmenami. Skratky používajú iba veľké písmená. Napríklad: PC.

Číslo vzorca je umiestnené na pravej strane stránky v zátvorkách na úrovni vzorca. Napríklad: z:=sin(x)+cos(y); (12).

Napríklad: hodnoty sa vypočítajú pomocou vzorca (12).

Strany práce očíslujte podľa knižnej verzie: tlačenými číslicami, v pravom dolnom rohu strany, počnúc textom „Úvodu“ (s. 3). Práca je číslovaná priebežne až do poslednej strany.

Slovo „kapitola“ je napísané, kapitoly sú číslované rímskymi číslicami, odseky sú číslované arabsky, podpíšte; nie je napísané; časť práce „Úvod“. „Záver“ a „Literatúra“ nie sú očíslované.

Názvy kapitol a odsekov sa píšu na červenú čiaru.

Nadpisy „Úvod“, „Záver“, „Literatúra“ sú napísané v strede, v hornej časti listu, bez úvodzoviek, bez bodky.

Objem úvodu a záveru práce je 1,5-2 strany tlačeného textu.

Práca musí byť šitá.

V práci sú použité tri typy písma: 1 - na zvýraznenie názvov kapitol, nadpisov „Obsah“, „Literatúra“, „Úvod“, „Záver“; 2 - na zvýraznenie nadpisov odsekov; 3 - pre text

Požiadavky na prezentáciu

Prvá snímka obsahuje:

ü názov prezentácie;

Druhá snímka označuje obsah práce, ktorý je najlepšie prezentovať vo forme hypertextových odkazov (pre interaktivitu prezentácie).

Posledná snímka obsahuje zoznam použitej literatúry v súlade s požiadavkami, internetové zdroje sú uvedené ako posledné.

8 Nemali by ste nadmerne používať veľké písmená (sú horšie čitateľné ako malé).

Spôsoby zvýraznenia informácií

Mali by ste použiť: 8 rámov, orámovanie, tieňovanie 8 rôznych farieb písma, tieňovanie, šípky 8 obrázkov, diagramov, diagramov na ilustráciu najdôležitejších faktov

Objem informácií

8, nemali by ste zapĺňať jednu snímku príliš veľkým množstvom informácií: ľudia si nezapamätajú viac ako tri fakty, závery a definície naraz.

8, najväčšia účinnosť sa dosiahne, keď sa kľúčové body odrážajú jeden po druhom na každom jednotlivom sklíčku.

Typy diapozitívov

Na zabezpečenie rozmanitosti by ste mali používať rôzne typy snímok: s textom, s tabuľkami, s diagramami.

Počas práce žiaci:

Preštudujte si a preštudujte si potrebný materiál na prednáškach aj v doplnkových zdrojoch informácií;

Vytvorte zoznam slov oddelene podľa smeru;

Vymyslite otázky na vybrané slová;

Skontrolujte pravopis textu a súlad s číslovaním;

Vytvorte hotovú krížovku.

Všeobecné požiadavky na skladanie krížoviek:

Prítomnosť „prázdnych miest“ (nevyplnených buniek) v mriežke krížovky nie je povolená;

Náhodné kombinácie písmen a križovatky nie sú povolené;

Skryté slová musia byť podstatné mená v nominatíve jednotného čísla;

Slová pozostávajúce z dvoch písmen musia mať dva priesečníky;

Odpovede sú zverejnené samostatne. Odpovede sú určené na kontrolu správnosti riešenia krížovky a poskytujú možnosť zoznámiť sa so správnymi odpoveďami na nevyriešené pozície podmienok, čo pomáha riešiť jednu z hlavných úloh riešenia krížoviek - zvýšenie erudície a zvýšenie slovnej zásoby .

Kritériá na vyhodnotenie vyplnených krížoviek:

1. Prehľadnosť prezentácie materiálu, úplnosť tematického výskumu;

2. Originalita krížovky;

3. Praktický význam práce;

4. Úroveň štylistickej prezentácie materiálu, absencia štylistických chýb;

5. Úroveň dizajnu práce, prítomnosť alebo absencia gramatických chýb a chýb v interpunkcii;

6. Počet otázok v krížovke, ich správna prezentácia.

Aby praktické vyučovanie prinieslo maximálny úžitok, je potrebné pamätať na to, že nácvik a riešenie situačných problémov sa uskutočňuje na základe prečítaného materiálu na prednáškach a je spojené spravidla s podrobným rozborom jednotlivých problémov. prednáškový kurz. Je potrebné zdôrazniť, že až po osvojení si učiva z určitého uhla pohľadu (a to z toho, z ktorého je prezentovaný na prednáškach), sa bude upevňovať na praktických hodinách, a to ako výsledok diskusie, tak aj analýzy prednáškovým materiálom, a riešením situačných problémov. Za týchto podmienok si študent látku nielen dobre osvojí, ale naučí sa ju aj aplikovať v praxi a navyše získa dodatočnú motiváciu (a to je veľmi dôležité) na aktívne štúdium prednášky.

Pri samostatnom riešení zadaných problémov musíte každú fázu konania zdôvodniť na základe teoretických princípov kurzu. Ak študent vidí viacero spôsobov riešenia problému (úlohy), tak ich potrebuje porovnať a vybrať si ten najracionálnejší. Pred začatím riešenia problémov je užitočné zostaviť si krátky plán riešenia problému (úlohy). Riešenie problémových problémov alebo príkladov by malo byť podrobne prezentované spolu s komentármi, schémami, nákresmi a výkresmi a návodom na realizáciu.

Malo by sa pamätať na to, že riešenie každého vzdelávacieho problému by sa malo doviesť ku konečnej logickej odpovedi, ktorú vyžaduje podmienka, a ak je to možné, so záverom. Získaný výsledok by sa mal overiť spôsobmi, ktoré vyplývajú z podstaty tejto úlohy.

· Hlavné pojmy testovacej úlohy musia byť jasne a explicitne definované.

· Testovacie úlohy musia byť pragmaticky správne a navrhnuté tak, aby zhodnotili úroveň vzdelávacích úspechov študentov v konkrétnej oblasti vedomostí.

· Testovacie úlohy by mali byť formulované vo forme skrátených krátkych úsudkov.

· Mali by ste sa vyhnúť testovaným položkám, ktoré vyžadujú, aby účastník testu urobil podrobné závery o požiadavkách na testované položky.

· Pri konštrukcii testovacích situácií môžete využiť rôzne formy ich prezentácie, ako aj grafické a multimediálne zložky s cieľom racionálne prezentovať obsah vzdelávacieho materiálu.

Počet slov v testovacej úlohe by nemal presiahnuť 10-12, pokiaľ to nenarúša koncepčnú štruktúru testovacej situácie. Hlavná vec je jasná a explicitná reflexia obsahu fragmentu predmetnej oblasti.

Priemerný čas, ktorý študent strávi testovou úlohou, by nemal presiahnuť 1,5 minúty.

Lekcie 32-33. Inverzné goniometrické funkcie

Cieľ: zvážiť inverzné goniometrické funkcie a ich použitie na písanie riešení goniometrických rovníc.

I. Komunikácia témy a účelu vyučovacích hodín

II. Učenie sa nového materiálu

1. Inverzné goniometrické funkcie

Začnime našu diskusiu na túto tému nasledujúcim príkladom.

Príklad 1

Poďme vyriešiť rovnicu: a) sin x = 1/2; b) hriech x = a.

a) Na zvislú os nanesieme hodnotu 1/2 a zostrojíme uhly x 1 a x2, pre ktoré hriech x = 1/2. V tomto prípade x1 + x2 = π, odkiaľ x2 = π – x 1 . Pomocou tabuľky hodnôt goniometrických funkcií potom nájdeme hodnotu x1 = π/6Zoberme do úvahy periodicitu funkcie sínus a zapíšme si riešenia tejto rovnice:kde k ∈ Z.

b) Samozrejme, algoritmus na riešenie rovnice hriech x = a je rovnaké ako v predchádzajúcom odseku. Samozrejme, teraz je hodnota a vynesená pozdĺž ordinátnej osi. Je potrebné nejako určiť uhol x1. Dohodli sme sa, že tento uhol označíme symbolom arcsin A. Potom môžu byť riešenia tejto rovnice zapísané v tvareTieto dva vzorce je možné spojiť do jedného: v rovnakom čase

Zostávajúce inverzné goniometrické funkcie sú zavedené podobným spôsobom.

Veľmi často je potrebné určiť veľkosť uhla zo známej hodnoty jeho goniometrickej funkcie. Takýto problém je viachodnotový – existuje nespočetné množstvo uhlov, ktorých goniometrické funkcie sa rovnajú rovnakej hodnote. Preto sa na základe monotónnosti goniometrických funkcií zavádzajú nasledujúce inverzné goniometrické funkcie na jednoznačné určenie uhlov.

Arksínus čísla a (arcsín , ktorého sínus sa rovná a, t.j.

Oblúkový kosínus čísla a(arccos a) je uhol a z intervalu, ktorého kosínus sa rovná a, t.j.

Arkustangens čísla a(arctg a) - taký uhol a z intervaluktorého dotyčnica sa rovná a, t.j.tg a = a.

Arkotangens čísla a(arcctg a) je uhol a z intervalu (0; π), ktorého kotangens sa rovná a, t.j. ctg a = a.

Príklad 2

Poďme nájsť:

Ak vezmeme do úvahy definície inverzných goniometrických funkcií, získame:

Príklad 3

Poďme počítať

Nech uhol a = arcsin 3/5, potom podľa definície sin a = 3/5 a . Preto musíme nájsť cos A. Pomocou základnej goniometrickej identity dostaneme:Berie sa do úvahy, že cos a ≥ 0. Takže,

Uveďme niekoľko typickejších príkladov súvisiacich s definíciami a základnými vlastnosťami inverzných goniometrických funkcií.

Príklad 4

Nájdite doménu definície funkcie

Aby bola funkcia y definovaná, je potrebné splniť nerovnosťčo je ekvivalentné so systémom nerovnostíRiešením prvej nerovnosti je interval x∈ (-∞; +∞), sekunda - Táto medzera a je riešením sústavy nerovníc, a teda doménou definície funkcie

Príklad 5

Nájdite oblasť zmeny funkcie

Pozrime sa na správanie funkcie z = 2x - x2 (pozri obrázok).

Je jasné, že z ∈ (-∞; 1]. Vzhľadom na to, že argument z funkcia kotangens oblúka sa mení v zadaných medziach, z tabuľkových údajov to získameTakže oblasť zmeny

Príklad 6

Dokážme, že funkcia y = arctg x nepárne. NechajPotom tg a = -x alebo x = - tg a = tg (- a) a Preto - a = arctg x alebo a = - arctg X. Tak to vidímetj y(x) je nepárna funkcia.

Príklad 7

Vyjadrime sa cez všetky inverzné goniometrické funkcie

Nechaj To je zrejmé Potom odvtedy

Predstavme si uhol Pretože To

Preto podobne A

takže,

Príklad 8

Zostrojme graf funkcie y = cos(arcsin x).

Označme teda a = arcsin x Zoberme si, že x = sin a a y = cos a, teda x 2 + y2 = 1 a obmedzenia pre x (x∈ [-1; 1]) a y (y ≥ 0). Potom graf funkcie y = cos(arcsin x) je polkruh.

Príklad 9

Zostrojme graf funkcie y = arccos (cos x).

Keďže funkcia cos x sa mení na intervale [-1; 1], potom je funkcia y definovaná na celej číselnej osi a mení sa na segmente . Majme na pamäti, že y = arccos (cosx) = x na segmente; funkcia y je párna a periodická s periódou 2π. Vzhľadom na to, že funkcia má tieto vlastnosti cos x Teraz je jednoduché vytvoriť graf.

Všimnime si niekoľko užitočných rovností:

Príklad 10

Nájdite najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie Označme Potom Zoberme si funkciu Táto funkcia má v bode minimum z = π/4 a rovná sa Najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne v bode z = -π/2 a rovná sa Takto a

Príklad 11

Poďme vyriešiť rovnicu

Zoberme si to do úvahy Potom rovnica vyzerá takto:alebo kde Definíciou arctangensu dostaneme:

2. Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc

Podobne ako v príklade 1 môžete získať riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc.

Príklad 12

Poďme vyriešiť rovnicu

Keďže funkcia sínus je nepárna, rovnicu zapíšeme v tvareRiešenia tejto rovnice:odkiaľ to nájdeme?

Príklad 13

Poďme vyriešiť rovnicu

Pomocou uvedeného vzorca zapíšeme riešenia rovnice:a nájdeme

Všimnite si, že v špeciálnych prípadoch (a = 0; ±1) pri riešení rovníc sin x = a a cos x = a je jednoduchšie a pohodlnejšie používať nie všeobecné vzorce, ale zapisovať riešenia založené na jednotkovej kružnici:

pre rovnicu sin x = 1 riešenie

pre rovnicu sin x = 0 riešenia x = π k;

pre rovnicu sin x = -1 riešenie

pre rovnicu cos x = 1 riešenie x = 2π k;

pre rovnicu cos x = 0 riešenie

pre rovnicu cos x = -1 riešenie

Príklad 14

Poďme vyriešiť rovnicu

Keďže v tomto príklade existuje špeciálny prípad rovnice, napíšeme riešenie pomocou príslušného vzorca:odkiaľ to môžeme nájsť?

III. Kontrolné otázky (frontálny prieskum)

1. Definujte a uveďte hlavné vlastnosti inverzných goniometrických funkcií.

2. Uveďte grafy inverzných goniometrických funkcií.

3. Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc.

IV. Zadanie lekcie

§ 15, č. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, č. 4 (a, b); 7(a); 8(b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, č. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9(b); 10 (a, c).

V. Domáca úloha

§ 15, č. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8(b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, č. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, č. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (g); 10 (b, d).

VI. Kreatívne úlohy

1. Nájdite doménu funkcie:

Odpovede:

2. Nájdite rozsah funkcie:

Odpovede:

3. Nakreslite graf funkcie:

VII. Zhrnutie lekcií

Federálna agentúra pre vzdelávanie Ruskej federácie

Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania "Mari State University"

Katedra matematiky a MPM

Kurzy

Inverzné goniometrické funkcie

Dokončené:

študent

33 skupín JNF

Yashmetova L. N.

Vedecký vedúci:

Ph.D. docent

Borodina M.V.

Yoshkar-Ola

Úvod………………………………………………………………………………………………... 3

Kapitola I. Definícia inverzných goniometrických funkcií.

1.1. Funkcia y =arcsin x……………………………………………………........4

1.2. Funkcia y =arccos x…………………………………………………….......5

1.3. Funkcia y =arctg x………………………………………………………….6

1.4. Funkcia y =arcctg x…………………………………………………….......7

Kapitola II. Riešenie rovníc s inverznými goniometrickými funkciami.

Základné vzťahy pre inverzné goniometrické funkcie....8

Riešenie rovníc obsahujúcich inverzné goniometrické funkcie………………………………………………………………………………………..11

Výpočet hodnôt inverzných goniometrických funkcií............21

Záver……………………………………………………………………………………………….25

Zoznam referencií…………………………………………………………………...26

Úvod

V mnohých problémoch je potrebné nájsť nielen hodnoty goniometrických funkcií z daného uhla, ale aj naopak uhol alebo oblúk z danej hodnoty nejakej goniometrickej funkcie.

Problémy s inverznými goniometrickými funkciami sú obsiahnuté v úlohách Jednotnej štátnej skúšky (najmä mnohé v častiach B a C). Napríklad v časti B jednotnej štátnej skúšky bolo potrebné použiť hodnotu sínusu (kosínus) na nájdenie zodpovedajúcej hodnoty dotyčnice alebo na výpočet hodnoty výrazu obsahujúceho tabuľkové hodnoty inverzných goniometrických funkcií. V súvislosti s týmto typom úloh poznamenávame, že takéto úlohy v školských učebniciach nestačia na rozvoj silnej zručnosti pri ich realizácii.

To. Cieľom práce v kurze je zvážiť inverzné goniometrické funkcie a ich vlastnosti a naučiť sa riešiť problémy s inverznými goniometrickými funkciami.

Na dosiahnutie cieľa budeme musieť vyriešiť nasledujúce úlohy:

Študovať teoretické základy inverzných goniometrických funkcií,

Ukázať aplikáciu teoretických poznatkov v praxi.

kapitolaja. Definícia inverzných goniometrických funkcií

1.1. Funkcia y =arcsinx

Zvážte funkciu,
. (1)

V tomto intervale je funkcia monotónna (zvyšuje sa z -1 na 1), preto existuje inverzná funkcia

,
. (2)

Každá daná hodnota pri(sínusová hodnota) z intervalu [-1,1] zodpovedá jednej dobre definovanej hodnote X(veľkosť oblúka) z intervalu
. Ak prejdeme k všeobecne akceptovanej notácii, dostaneme

Kde
. (3)

Toto je analytická špecifikácia funkcie inverznej k funkcii (1). Zavolá sa funkcia (3). arkzín argument . Graf tejto funkcie je krivka symetrická ku grafu funkcie, kde , vzhľadom na osi súradnicových uhlov I a III.

Uveďme si vlastnosti funkcie, kde .

Nehnuteľnosť 1. Oblasť zmeny hodnoty funkcie: .

Nehnuteľnosť 2. Funkcia je nepárna, t.j.

Nehnuteľnosť 3. Funkcia, kde , má jeden koreň
.

Nehnuteľnosť 4. Ak, tak
; Ak , To.

Nehnuteľnosť 5. Funkcia je monotónna: keď sa argument zvyšuje z -1 na 1, hodnota funkcie sa zvyšuje od
do
.

1.2. Funkciar = arscosx

Zvážte funkciu
, . (4)

V tomto intervale je funkcia monotónna (klesá z +1 na -1), čo znamená, že pre ňu existuje inverzná funkcia

, , (5)

tie. každú hodnotu (kosínusové hodnoty) z intervalu [-1,1] zodpovedá jednej presne definovanej hodnote (oblúkové hodnoty) z intervalu . Ak prejdeme k všeobecne akceptovanej notácii, dostaneme

, . (6)

Toto je analytická špecifikácia funkcie inverznej k funkcii (4). Zavolá sa funkcia (6). oblúkový kosínus argument X. Graf tejto funkcie je možné zostrojiť na základe vlastností grafov vzájomne inverzných funkcií.

Funkcia , kde , má nasledujúce vlastnosti.

Nehnuteľnosť 1. Oblasť zmeny hodnoty funkcie:
.

Nehnuteľnosť 2. množstvá
A
súvisí vzťahom

Nehnuteľnosť 3. Funkcia má jeden koreň
.

Nehnuteľnosť 4. Funkcia neakceptuje záporné hodnoty.

Nehnuteľnosť 5. Funkcia je monotónna: ako sa argument zvyšuje z -1 na +1, hodnoty funkcie klesajú z na 0.

1.3. Funkciar = arctgx

Zvážte funkciu
,
. (7)

Všimnite si, že táto funkcia je definovaná pre všetky hodnoty ležiace striktne v intervale od do ; na konci tohto intervalu neexistuje, keďže hodnoty

- body zlomu dotyčnice.

Medzitým
funkcia je monotónna (zvyšuje sa od -
do
), preto pre funkciu (1) existuje inverzná funkcia:

,
, (8)

tie. každú danú hodnotu (dotykovú hodnotu) z intervalu
zodpovedá jednej veľmi konkrétnej hodnote (veľkosť oblúka) z intervalu .

Ak prejdeme k všeobecne akceptovanej notácii, dostaneme

,
. (9)

Toto je analytická špecifikácia inverznej funkcie (7). Zavolá sa funkcia (9). arctangens argument X. Všimnite si, že kedy
funkčná hodnota
, a kedy

, t.j. graf funkcie má dve asymptoty:
A.

Funkcia , , má nasledujúce vlastnosti.

Nehnuteľnosť 1. Rozsah zmeny funkčných hodnôt
.

Nehnuteľnosť 2. Funkcia je nepárna, t.j. .

Nehnuteľnosť 3. Funkcia má jeden koreň.

Nehnuteľnosť 4. Ak
, To

; Ak , To
.

Nehnuteľnosť 5. Funkcia je monotónna: ako sa argument zvyšuje z do, hodnota funkcie sa zvyšuje z na +.

1.4. Funkciar = arcctgx

Zvážte funkciu
,
. (10)

Táto funkcia je definovaná pre všetky hodnoty ležiace v rozsahu od 0 do ; na koncoch tohto intervalu neexistuje, pretože hodnoty a sú body zlomu kotangensu. V intervale (0,) je funkcia monotónna (klesá z do), preto pre funkciu (1) existuje inverzná funkcia

, (11)

tie. ku každej danej hodnote (hodnota kotangens) z intervalu (
) zodpovedá jednej presne definovanej hodnote (veľkosť oblúka) z intervalu (0,). Ak prejdeme k všeobecne akceptovaným zápisom, získame nasledujúci vzťah: Abstrakt >> Matematika trigonometrické funkcie. TO obrátene trigonometrické funkcie zvyčajne označované ako šesť funkcie: arcsínus...

V nadstavbových kurzoch bola ukončená záverečná práca na tému „Inverzné goniometrické funkcie“.

Obsahuje stručný teoretický materiál, podrobné príklady a úlohy na samostatné riešenie ku každej časti.

Práca je určená stredoškolákom a učiteľom.

Stiahnuť:

Ukážka:

ABSOLVENTSKÁ PRÁCA

TÉMA:

„INVERZNÉ TRIGONOMETRICKÉ FUNKCIE.

PROBLÉMY OBSAHUJÚCE INVERZNÉ TRIGONOMETRICKÉ FUNKCIE"

Dokončené:

učiteľ matematiky

Mestský vzdelávací ústav stredná škola č. 5, Lermontov

GORBACHENKO V.I.

Pjatigorsk 2011

INVERZNÉ TRIGONOMETRICKÉ FUNKCIE.

PROBLÉMY OBSAHUJÚCE INVERZNÉ TRIGONOMETRICKÉ FUNKCIE

1. STRUČNÉ TEORETICKÉ INFORMÁCIE

1.1. Riešenia najjednoduchších rovníc obsahujúcich inverzné goniometrické funkcie:

Tabuľka 1.

1.2. Riešenie jednoduchých nerovníc zahŕňajúcich inverzné goniometrické funkcie

Tabuľka 2

1.3. Niektoré identity pre inverzné goniometrické funkcie

Z definície inverzných goniometrických funkcií vyplývajú identity

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Navyše, identity

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Identity súvisiace na rozdiel od inverzných goniometrických funkcií

(9)

(10)

2. ROVNICE OBSAHUJÚCE INVERZNÉ TRIGONOMETRICKÉ FUNKCIE

2.1. Rovnice formulára atď.

Takéto rovnice sa substitúciou redukujú na racionálne rovnice.

Príklad.

Riešenie.

Výmena ( ) redukuje rovnicu na kvadratickú rovnicu, ktorej korene.

Koreň 3 nespĺňa podmienku.

Potom dostaneme opačnú substitúciu

Odpoveď .

Úlohy.

2.2. Rovnice formulára, Kde - racionálna funkcia.

Na riešenie rovníc tohto typu je potrebné dať, vyriešiť rovnicu najjednoduchšieho tvarua urobte opačnú substitúciu.

Príklad.

Riešenie .

Nechaj . Potom

Odpoveď . .

Úlohy.

2.3. Rovnice obsahujúce buď rôzne oblúkové funkcie alebo oblúkové funkcie rôznych argumentov.

Ak rovnica obsahuje výrazy obsahujúce rôzne oblúkové funkcie alebo tieto oblúkové funkcie závisia od rôznych argumentov, potom sa redukcia takýchto rovníc na ich algebraický dôsledok zvyčajne vykonáva výpočtom nejakej goniometrickej funkcie na oboch stranách rovnice. Výsledné cudzie korene sú oddelené kontrolou. Ak sa tangens alebo kotangens vyberie ako priama funkcia, riešenia zahrnuté v doméne definície týchto funkcií sa môžu stratiť. Preto by ste sa pred výpočtom hodnoty tangens alebo kotangens z oboch strán rovnice mali uistiť, že medzi bodmi, ktoré nie sú zahrnuté v doméne definície týchto funkcií, nie sú žiadne korene pôvodnej rovnice.

Príklad.

Riešenie .

Preložme si termín na pravú stranu a vypočítajte hodnotu sínusu z oboch strán rovnice

V dôsledku transformácií dostaneme

Korene tejto rovnice

Skontrolujeme

Keď máme

teda je koreňom rovnice.

Nahrádzanie všimnite si, že ľavá strana výsledného vzťahu je kladná a pravá strana záporná. teda- cudzí koreň rovnice.

Odpoveď. .

Úlohy.

2.4. Rovnice obsahujúce inverzné goniometrické funkcie jedného argumentu.

Takéto rovnice možno redukovať na najjednoduchšie pomocou základných identít (1) – (10).

Príklad.

Riešenie.

Odpoveď.

Úlohy.

3. NEROVNOSTI OBSAHUJÚCE INVERZNÉ TRIGONOMETRICKÉ FUNKCIE

3.1. Najjednoduchšie nerovnosti.

Riešenie najjednoduchších nerovností je založené na použití vzorcov v tabuľke 2.

Príklad.

Riešenie.

Pretože , potom riešením nerovnosti je interval.

Odpoveď .

Úlohy.

3.2. Nerovnosti formy, - nejaká racionálna funkcia.

Nerovnosti formy, je nejaká racionálna funkcia a- jedna z inverzných goniometrických funkcií sa rieši v dvoch etapách - najprv sa rieši nerovnosť vzhľadom na neznámua potom najjednoduchšia nerovnica obsahujúca inverznú goniometrickú funkciu.

Príklad.

Riešenie.

Nech je to potom

Riešenia nerovností

Keď sa vrátime k pôvodnému neznámemu, zistíme, že pôvodnú nerovnosť možno zredukovať na dve najjednoduchšie

Kombináciou týchto riešení získame riešenia pôvodnej nerovnosti

Odpoveď .

Úlohy.

3.3. Nerovnice obsahujúce buď opačné oblúkové funkcie alebo oblúkové funkcie rôznych argumentov.

Nerovnice spájajúce hodnoty rôznych inverzných goniometrických funkcií alebo hodnoty jednej goniometrickej funkcie vypočítané z rôznych argumentov je vhodné riešiť výpočtom hodnôt niektorej goniometrickej funkcie z oboch strán nerovností. Malo by sa pamätať na to, že výsledná nerovnosť bude ekvivalentná pôvodnej len vtedy, ak množina hodnôt pravej a ľavej strany pôvodnej nerovnosti patrí do rovnakého intervalu monotónnosti tejto goniometrickej funkcie.

Príklad.

Riešenie.

Viaceré platné hodnotyzahrnuté v nerovnosti:. o . Preto tie hodnotynie sú riešením nerovnosti.

o pravá aj ľavá strana nerovnosti majú hodnoty patriace do intervalu. Pretože medzi týmfunkcia sínus sa zvyšuje monotónne, potom keďpôvodná nerovnosť je ekvivalentná

Riešenie poslednej nerovnosti

Prechod s medzerou, dostaneme riešenie

Odpoveď.

Komentujte. Dá sa vyriešiť pomocou

Úlohy.

3.4. Nerovnosť formy, Kde - jedna z inverzných goniometrických funkcií,- racionálna funkcia.

Takéto nerovnosti sa riešia pomocou substitúciea redukcia na najjednoduchšiu nerovnosť v tabuľke 2.

Príklad.

Riešenie.

Nech je to potom

Urobme opačnú substitúciu a získame systém

Odpoveď .

Úlohy.

Príprava na jednotnú štátnu skúšku z matematiky

Experimentujte

Lekcia 9. Inverzné goniometrické funkcie.

Prax

Zhrnutie lekcie

Schopnosť pracovať s oblúkovými funkciami budeme potrebovať hlavne pri riešení goniometrických rovníc a nerovníc.

Úlohy, ktoré teraz zvážime, sú rozdelené do dvoch typov: výpočet hodnôt inverzných goniometrických funkcií a ich transformácie pomocou základných vlastností.

Výpočet hodnôt oblúkových funkcií

Začnime výpočtom hodnôt oblúkových funkcií.

Úloha č.1. Vypočítajte.

Ako vidíme, všetky argumenty oblúkových funkcií sú kladné a tabuľkové, čo znamená, že môžeme obnoviť hodnotu uhlov z prvej časti tabuľky hodnôt goniometrických funkcií pre uhly od do . Tento rozsah uhlov je zahrnutý v rozsahu hodnôt každej z oblúkových funkcií, takže jednoducho použijeme tabuľku, nájdeme v nej hodnotu trigonometrickej funkcie a obnovíme, ktorému uhlu zodpovedá.

A)

b)

V)

G)

Odpoveď. .

Úloha č.2. Vypočítajte

.

V tomto príklade už vidíme negatívne argumenty. Typickou chybou v tomto prípade je jednoducho odstrániť mínus pod funkciou a jednoducho zredukovať úlohu na predchádzajúcu. To sa však nedá urobiť vo všetkých prípadoch. Pripomeňme si, ako sme v teoretickej časti lekcie diskutovali o parite všetkých oblúkových funkcií. Nepárne sú arksínus a arkustangens, t. j. mínus je z nich vyňaté, a arkkozín a arkustangens sú funkcie všeobecného tvaru, aby sa v argumente zjednodušilo mínus, majú špeciálne vzorce. Po výpočte, aby sme sa vyhli chybám, skontrolujeme, či je výsledok v rozmedzí hodnôt.

Keď sú argumenty funkcie zjednodušené na kladnú formu, vypíšeme zodpovedajúce hodnoty uhla z tabuľky.

Môže vzniknúť otázka: prečo si nezapísať hodnotu zodpovedajúceho uhla napríklad priamo z tabuľky? Po prvé, pretože tabuľka predtým je ťažšie zapamätateľná ako predtým, a po druhé, pretože v nej nie sú žiadne záporné hodnoty sínusu a záporné hodnoty dotyčnice dávajú nesprávny uhol podľa tabuľky. Je lepšie mať univerzálny prístup k riešeniu, ako sa nechať zmiasť mnohými rôznymi prístupmi.

Úloha č.3. Vypočítajte.

a) Typickou chybou v tomto prípade je začať vyťahovať mínus a niečo zjednodušiť. Prvá vec, ktorú si treba všimnúť, je, že argument arcsínus nie je v rozsahu

Preto tento záznam nemá žiadny význam a arcsínus nemožno vypočítať.

b) Štandardná chyba v tomto prípade je, že si zamieňajú hodnoty argumentu a funkcie a dávajú odpoveď. Nie je to pravda! Samozrejme, vzniká myšlienka, že v tabuľke hodnota zodpovedá kosínusu, ale v tomto prípade je zmätené, že oblúkové funkcie sa počítajú nie z uhlov, ale z hodnôt goniometrických funkcií. Teda nie.

Okrem toho, keďže sme zistili, čo presne je argument arc cosinus, je potrebné skontrolovať, či je zahrnutý v doméne definície. Aby sme to urobili, pamätajme na to , t.j., čo znamená, že arkkozín nedáva zmysel a nedá sa vypočítať.

Mimochodom, napríklad výraz dáva zmysel, pretože , ale keďže hodnota kosínusu sa rovná nie je tabuľková, nie je možné vypočítať arkuskosínus pomocou tabuľky.

Odpoveď. Výrazy nedávajú zmysel.

V tomto príklade neuvažujeme arkustangens a arkotangens, pretože ich doména definície nie je obmedzená a funkčné hodnoty budú pre všetky argumenty.

Úloha č.4. Vypočítajte .

V podstate ide o prvú úlohu, len musíme samostatne vypočítať hodnoty týchto dvoch funkcií a potom ich nahradiť pôvodným výrazom.

Arkustangens je tabuľkový a výsledok patrí do rozsahu hodnôt.

Argument arkozínu nie je tabuľkový, ale to by nás nemalo vystrašiť, pretože bez ohľadu na to, čomu sa arkozínus rovná, jeho hodnota po vynásobení nulou bude mať za následok nulu. Zostáva jedna dôležitá poznámka: je potrebné skontrolovať, či argument arkozínus patrí do oblasti definície, pretože ak to tak nie je, potom celý výraz nebude dávať zmysel, bez ohľadu na to, že obsahuje násobenie nulou. . Ale preto môžeme povedať, že to dáva zmysel a v odpovedi dostaneme nulu.

Uveďme ďalší príklad, v ktorom je potrebné vedieť vypočítať jednu oblúkovú funkciu, pričom poznáme hodnotu inej.

Problém #5. Vypočítajte, či je známe, že .

Môže sa zdať, že je potrebné najprv vypočítať hodnotu x z naznačenej rovnice a potom ju dosadiť do požadovaného výrazu, teda do inverznej tangenty, ale nie je to potrebné.

Zapamätajme si vzorec, podľa ktorého tieto funkcie navzájom súvisia:

A vyjadrime z nej, čo potrebujeme:

Pre istotu môžete skontrolovať, či výsledok leží v rozsahu kotangens oblúka.

Transformácie oblúkových funkcií pomocou ich základných vlastností

Teraz prejdime k sérii úloh, v ktorých budeme musieť použiť transformácie oblúkových funkcií pomocou ich základných vlastností.

Problém #6. Vypočítajte .

Na vyriešenie použijeme základné vlastnosti uvedených funkcií oblúka, pričom dbáme na to, aby sme skontrolovali príslušné obmedzenia.

A)

b) .

Odpoveď. A); b) .

Problém č.7. Vypočítajte.

Typickou chybou v tomto prípade je okamžité napísanie odpovede 4 Ako sme naznačili v predchádzajúcom príklade, pre využitie základných vlastností oblúkových funkcií je potrebné skontrolovať zodpovedajúce obmedzenia ich argumentu. Zaoberáme sa nehnuteľnosťou:

pri

Ale . Hlavnou vecou v tejto fáze rozhodovania nie je myslieť si, že zadaný výraz nedáva zmysel a nedá sa vypočítať. Veď štvorku, ktorá je argumentom dotyčnice, môžeme zmenšiť odčítaním periódy dotyčnice, a to neovplyvní hodnotu výrazu. Po vykonaní týchto krokov budeme mať možnosť zredukovať argument tak, aby spadal do určeného rozsahu.

Pretože, preto, , pretože .

Problém č.8. Vypočítajte.

Vo vyššie uvedenom príklade máme do činenia s výrazom, ktorý je podobný základnej vlastnosti arcsínusu, ale iba on obsahuje kofunkcie. Musí sa zredukovať na tvar sínus z arkzínu alebo kosínus z arkozínu. Keďže je jednoduchšie transformovať priame goniometrické funkcie ako inverzné, prejdime zo sínusu ku kosínusu pomocou vzorca „trigonometrickej jednotky“.

Ako už vieme:

V našom prípade v roli. Poďme si najprv spočítať pre pohodlie .

Pred jeho dosadením do vzorca zistime jeho znamienko, teda znamienko pôvodného sínusu. Sínus musíme vypočítať z hodnoty arkozínu, nech je táto hodnota akákoľvek, vieme, že leží v rozsahu. Tento rozsah zodpovedá uhlom prvej a druhej štvrtiny, v ktorých je sínus kladný (sami si to overte pomocou trigonometrického kruhu).

V dnešnej praktickej lekcii sme sa pozreli na výpočet a transformáciu výrazov obsahujúcich inverzné goniometrické funkcie

Posilnite materiál cvičebným náradím

Tréner 1 Tréner 2 Tréner 3 Tréner 4 Tréner 5