Tabuľka štandardných derivátov. Čo je derivát

Video kurz "Get an A" obsahuje všetky témy potrebné na úspešné zloženie skúšky z matematiky o 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilu POUŽÍVAJTE v matematike. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Banky FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky skúšobných úloh. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov USE úloh. Stereometria. Prefíkané triky na riešenie, užitočné cheaty, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.

V tejto lekcii sa naučíme, ako aplikovať vzorce a pravidlá diferenciácie.

Príklady. Nájdite derivácie funkcií.

1. y = x 7 + x 5 - x 4 + x 3 - x 2 + x - 9. Uplatňovanie pravidla ja, vzorce 4, 2 a 1. Dostaneme:

y'=7x 6 +5x4-4x3+3x2-2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Riešime podobne, pomocou rovnakých vzorcov a vzorca 3.

y’=3∙6x 5-2=18x 5-2.

Uplatňovanie pravidla ja, vzorce 3, 5 a 6 a 1.

Uplatňovanie pravidla IV, vzorce 5 a 1 .

V piatom príklade podľa pravidla ja derivácia súčtu sa rovná súčtu derivácií a práve sme našli deriváciu 1. člena (príklad 4 ), preto nájdeme deriváty 2 a 3 podmienky a za 1 termín, môžeme hneď napísať výsledok.

Rozlišovanie 2 a 3 termíny podľa vzorca 4 . Aby sme to dosiahli, transformujeme korene tretieho a štvrtého stupňa v menovateľoch na mocniny so zápornými exponentmi a potom podľa 4 vzorca, nájdeme deriváty mocnín.

Pozrite si tento príklad a výsledok. Zachytili ste vzor? Dobre. To znamená, že máme nový vzorec a môžeme ho pridať do našej tabuľky derivátov.

Vyriešme šiesty príklad a odvodíme ešte jeden vzorec.

Používame pravidlo IV a vzorec 4 . Výsledné frakcie zredukujeme.

Pozrime sa na túto funkciu a jej deriváciu. Vy ste, samozrejme, pochopili vzorec a ste pripravení pomenovať vzorec:

Naučte sa nové vzorce!

Príklady.

1. Nájdite prírastok argumentu a prírastok funkcie y= x2 ak bola počiatočná hodnota argumentu 4 a nové 4,01 .

Riešenie.

Nová hodnota argumentu x \u003d x 0 + Δx. Dosaďte údaje: 4,01=4+Δx, teda prírastok argumentu Δх= 4,01-4 = 0,01. Prírastok funkcie sa podľa definície rovná rozdielu medzi novou a predchádzajúcou hodnotou funkcie, t.j. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Keďže máme funkciu y=x2, potom Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

odpoveď: prírastok argumentov Δх=0,01; prírastok funkcie Δу=0,0801.

Prírastok funkcie bolo možné nájsť iným spôsobom: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.

2. Nájdite uhol sklonu dotyčnice ku grafu funkcie y=f(x) v bode x 0, ak f "(x 0) \u003d 1.

Riešenie.

Hodnota derivátu v bode kontaktu x 0 a je hodnotou dotyčnice sklonu dotyčnice (geometrický význam derivácie). Máme: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45°, pretože tg45°=1.

odpoveď: dotyčnica ku grafu tejto funkcie zviera s kladným smerom osi Ox uhol rovný 45°.

3. Odvoďte vzorec pre deriváciu funkcie y=xn.

Diferenciácia je akt nájdenia derivácie funkcie.

Pri hľadaní derivátov sa používajú vzorce, ktoré boli odvodené na základe definície derivátu, rovnako ako sme odvodili vzorec pre stupeň derivátu: (x n)" = nx n-1.

Tu sú vzorce.

Tabuľka derivátovľahšie sa zapamätá vyslovením verbálnych formulácií:

1. Derivácia konštantnej hodnoty je nula.

2. X zdvih sa rovná jednej.

3. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie.

4. Derivácia stupňa sa rovná súčinu exponentu tohto stupňa podľa stupňa s rovnakým základom, ale exponent je o jeden menší.

5. Derivácia koreňa sa rovná jednej delenej dvoma rovnakými koreňmi.

6. Derivácia jednoty delená x je mínus jedna delená x na druhú.

7. Derivácia sínusu sa rovná kosínusu.

8. Derivácia kosínusu sa rovná mínus sínusu.

9. Derivácia dotyčnice sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu.

10. Derivácia kotangensu je mínus jedna delená druhou mocninou sínusu.

učíme pravidlá diferenciácie.

1. Derivácia algebraického súčtu sa rovná algebraickému súčtu derivačných členov.

2. Derivát súčinu sa rovná súčinu derivácie prvého faktora druhým plus súčinu prvého faktora derivácie druhého.

3. Derivácia „y“ delená „ve“ sa rovná zlomku, v čitateli ktorého „y je ťah vynásobený „ve“ mínus „y, vynásobený ťahom“ a v menovateli – „ve na druhú “.

4. Špeciálny prípad vzorca 3.

Poďme sa spolu učiť!

Strana 1 z 1 1

Výpočet derivácie sa často nachádza v úlohách USE. Táto stránka obsahuje zoznam vzorcov na hľadanie derivátov.

Pravidlá diferenciácie

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).
4. Derivácia komplexnej funkcie. Ak y=F(u) a u=u(x), potom funkcia y=f(x)=F(u(x)) sa nazýva komplexná funkcia x. Rovná sa y′(x)=Fu′⋅ux′.
5. Derivácia implicitnej funkcie. Funkcia y=f(x) sa nazýva implicitná funkcia daná vzťahom F(x,y)=0, ak F(x,f(x))≡0.
6. Derivácia inverznej funkcie. Ak g(f(x))=x, potom funkcia g(x) sa nazýva inverzná funkcia pre funkciu y=f(x).
7. Derivácia parametricky danej funkcie. Nech x a y sú dané ako funkcie premennej t: x=x(t), y=y(t). Hovorí sa, že y=y(x) je parametricky definovaná funkcia na intervale x∈ (a;b), ak na tomto intervale možno rovnicu x=x(t) vyjadriť ako t=t(x) a funkciu y=y(t(x))=y(x).
8. Derivácia exponenciálnej funkcie. Nájde sa tak, že sa logaritmus prenesie na základňu prirodzeného logaritmu.

Čo je derivát?

Tabuľka derivátov.

Derivát je jedným z hlavných pojmov vyššej matematiky. V tejto lekcii predstavíme tento pojem. Poďme sa zoznámiť, bez striktných matematických formulácií a dôkazov.

Tento úvod vám umožní:

Pochopiť podstatu jednoduchých úloh s odvodením;

Úspešne vyriešte tieto veľmi jednoduché úlohy;

Pripravte sa na vážnejšie odvodené lekcie.

Po prvé, príjemné prekvapenie.

Striktná definícia derivátu je založená na teórii limitov a vec je pomerne komplikovaná. Je to znepokojujúce. Praktická aplikácia derivátu však spravidla nevyžaduje také rozsiahle a hlboké znalosti!

Na úspešné splnenie väčšiny úloh v škole a na univerzite stačí vedieť len pár termínov- porozumieť úlohe a len pár pravidiel- vyriešiť to. A to je všetko. Toto ma robí šťastným.

Spoznáme sa?)

Termíny a označenia.

V elementárnej matematike je veľa matematických operácií. Sčítanie, odčítanie, násobenie, umocňovanie, logaritmus atď. Ak sa k týmto operáciám pridá ešte jedna operácia, základná matematika bude vyššia. Táto nová operácia sa nazýva diferenciácia. Definíciu a význam tejto operácie budeme diskutovať v samostatných lekciách.

Tu je dôležité pochopiť, že diferenciácia je len matematická operácia funkciu. Zoberieme akúkoľvek funkciu a podľa určitých pravidiel ju transformujeme. Výsledkom je nová funkcia. Táto nová funkcia sa nazýva: derivát.

Diferenciácia- pôsobenie na funkciu.

Derivát je výsledkom tohto konania.

Tak ako napr. súčet je výsledkom sčítania. Alebo súkromné je výsledkom rozdelenia.

Keď poznáte pojmy, môžete aspoň porozumieť úlohám.) Znenie je nasledovné: nájsť deriváciu funkcie; vziať derivát; rozlíšiť funkciu; vypočítať deriváciu atď. To je všetko rovnaký. Samozrejme, existujú zložitejšie úlohy, kde nájdenie derivácie (diferenciácie) bude len jedným z krokov pri riešení úlohy.

Derivát je označený pomlčkou vpravo hore nad funkciou. Páči sa ti to: y" alebo f"(x) alebo S"(t) a tak ďalej.

čítať y zdvih, ef zdvih od x, es zdvih od te, no chápeš...)

Prvočíslo môže tiež označovať deriváciu konkrétnej funkcie, napríklad: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" atď. Derivácia sa často označuje pomocou diferenciálov, ale v tejto lekcii nebudeme uvažovať o takomto označení.

Predpokladajme, že sme sa naučili chápať úlohy. Nezostáva nič iné - naučiť sa ich riešiť.) Opäť pripomínam: nájsť deriváciu je transformácia funkcie podľa určitých pravidiel. Týchto pravidiel je prekvapivo málo.

Ak chcete nájsť deriváciu funkcie, potrebujete vedieť iba tri veci. Tri piliere, na ktorých spočíva všetka diferenciácia. Tu sú tri veľryby:

1. Tabuľka derivátov (diferenciačné vzorce).

3. Derivácia komplexnej funkcie.

Začnime po poriadku. V tejto lekcii budeme uvažovať o tabuľke derivátov.

Tabuľka derivátov.

Svet má nekonečné množstvo funkcií. Medzi touto sadou sú funkcie, ktoré sú najdôležitejšie pre praktickú aplikáciu. Tieto funkcie sú v súlade so všetkými prírodnými zákonmi. Z týchto funkcií, ako z tehál, môžete postaviť všetky ostatné. Táto trieda funkcií sa nazýva elementárne funkcie. Práve tieto funkcie sa študujú v škole - lineárne, kvadratické, hyperbola atď.

Diferenciácia funkcií „od nuly“, t.j. na základe definície derivácie a teórie limitov - dosť časovo náročná vec. A matematici sú tiež ľudia, áno, áno!) Zjednodušili si teda život (aj nám). Pred nami vypočítali derivácie elementárnych funkcií. Výsledkom je tabuľka derivátov, kde je všetko pripravené.)

Tu je táto doska pre najobľúbenejšie funkcie. Vľavo - elementárna funkcia, vpravo - jej derivácia.

	Funkcia r	Derivácia funkcie y y"
1	C (konštantný)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n je ľubovoľné číslo)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	hriech x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - hriech x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a X
	e X
5	log a X
	ln x ( a = e)

Odporúčam venovať pozornosť tretej skupine funkcií v tejto tabuľke derivácií. Derivácia mocninnej funkcie je jedným z najbežnejších vzorcov, ak nie najbežnejším! Je náznak jasný?) Áno, je žiaduce poznať tabuľku derivátov naspamäť. Mimochodom, nie je to také ťažké, ako by sa mohlo zdať. Skúste vyriešiť viac príkladov, samotná tabuľka sa zapamätá!)

Ako viete, nájsť tabuľkovú hodnotu derivátu nie je najťažšia úloha. Preto veľmi často v takýchto úlohách existujú ďalšie čipy. Buď vo formulácii úlohy, alebo v pôvodnej funkcii, ktorá v tabuľke akoby nebola...

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

1. Nájdite deriváciu funkcie y = x 3

Takáto funkcia v tabuľke nie je. Existuje však všeobecná derivácia mocninnej funkcie (tretia skupina). V našom prípade n=3. Namiesto n teda dosadíme trojku a pozorne zapíšeme výsledok:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

To je všetko.

odpoveď: y" = 3x 2

2. Nájdite hodnotu derivácie funkcie y = sinx v bode x = 0.

Táto úloha znamená, že najprv musíte nájsť deriváciu sínusu a potom nahradiť hodnotu x = 0 na ten istý derivát. Je to v tomto poradí! V opačnom prípade sa stane, že do pôvodnej funkcie okamžite dosadia nulu ... Sme požiadaní, aby sme našli nie hodnotu pôvodnej funkcie, ale hodnotu jeho derivát. Pripomínam vám, že derivácia je už nová funkcia.

Na platni nájdeme sínus a zodpovedajúcu deriváciu:

y" = (sinx)" = cosx

Dosaďte nulu do derivácie:

y"(0) = cos 0 = 1

Toto bude odpoveď.

3. Diferencujte funkciu:

Čo inšpiruje?) Takáto funkcia nie je v tabuľke derivátov ani zďaleka.

Dovoľte mi pripomenúť, že diferencovať funkciu znamená jednoducho nájsť deriváciu tejto funkcie. Ak zabudnete na elementárnu trigonometriu, nájdenie derivácie našej funkcie je dosť problematické. Tabuľka nepomôže...

Ale ak vidíme, že naša funkcia je kosínus dvojitého uhla, potom sa všetko hneď zlepší!

Áno áno! Pamätajte, že transformácia pôvodnej funkcie pred diferenciáciou celkom prijateľné! A stáva sa, že to značne uľahčuje život. Podľa vzorca pre kosínus dvojitého uhla:

Tie. našou zložitou funkciou nie je nič iné y = kormidelník. A toto je tabuľková funkcia. Okamžite dostaneme:

odpoveď: y" = - hriech x.

Príklad pre pokročilých absolventov a študentov:

4. Nájdite deriváciu funkcie:

V tabuľke derivátov, samozrejme, takáto funkcia neexistuje. Ale ak si pamätáte elementárnu matematiku, akcie s mocnosťami... Potom je celkom možné túto funkciu zjednodušiť. Páči sa ti to:

A x v mocnine jednej desatiny je už tabuľková funkcia! Tretia skupina, n=1/10. Priamo podľa vzorca a napíšte:

To je všetko. Toto bude odpoveď.

Dúfam, že s prvou veľrybou diferenciácie - tabuľkou derivátov - je všetko jasné. Zostáva sa vysporiadať s dvoma zostávajúcimi veľrybami. AT ďalšia lekcia naučiť sa pravidlá rozlišovania.