భిన్నాలకు సంబంధించిన అన్ని నియమాలు. సాధారణ భిన్నాలపై అంకగణిత కార్యకలాపాల కోసం నియమాలు

ఈ వ్యాసం భిన్నాలపై కార్యకలాపాలను పరిశీలిస్తుంది. A B రూపంలోని భిన్నాల కూడిక, తీసివేత, గుణకారం, విభజన లేదా ఘాతాంకానికి సంబంధించిన నియమాలు ఏర్పడతాయి మరియు సమర్థించబడతాయి, ఇక్కడ A మరియు B సంఖ్యలు, సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు లేదా వేరియబుల్‌లతో వ్యక్తీకరణలు కావచ్చు. ముగింపులో, వివరణాత్మక వివరణలతో పరిష్కారాల ఉదాహరణలు పరిగణించబడతాయి.

Yandex.RTB R-A-339285-1

సాధారణ సంఖ్యా భిన్నాలతో కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి నియమాలు

సాధారణ భిన్నాలు సహజ సంఖ్యలు లేదా సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉండే న్యూమరేటర్ మరియు హారం కలిగి ఉంటాయి. మేము 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π వంటి భిన్నాలను పరిశీలిస్తే, 2 0, 5 ln 3, అప్పుడు న్యూమరేటర్ మరియు హారం సంఖ్యలను మాత్రమే కాకుండా, వివిధ రకాల వ్యక్తీకరణలను కూడా కలిగి ఉంటాయని స్పష్టమవుతుంది.

నిర్వచనం 1

సాధారణ భిన్నాలతో కార్యకలాపాలు నిర్వహించబడే నియమాలు ఉన్నాయి. ఇది సాధారణ భిన్నాలకు కూడా అనుకూలంగా ఉంటుంది:

• వంటి హారంతో భిన్నాలను తీసివేసేటప్పుడు, కేవలం న్యూమరేటర్లు జోడించబడతాయి మరియు హారం అలాగే ఉంటుంది, అవి: a d ± c d = a ± c d, విలువలు a, c మరియు d ≠ 0 కొన్ని సంఖ్యలు లేదా సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు.
• విభిన్న హారంలతో భిన్నాన్ని జోడించేటప్పుడు లేదా తీసివేసేటప్పుడు, దానిని సాధారణ హారంకు తగ్గించడం అవసరం, ఆపై ఫలిత భిన్నాలను అదే ఘాతాంకాలతో జోడించడం లేదా తీసివేయడం. సాహిత్యపరంగా ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: a b ± c d = a · p ± c · r s, ఇక్కడ విలువలు a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 వాస్తవ సంఖ్యలు, మరియు b · p = d · r = s . p = d మరియు r = b అయినప్పుడు, అప్పుడు a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• భిన్నాలను గుణించేటప్పుడు, చర్య న్యూమరేటర్‌లతో నిర్వహించబడుతుంది, దాని తర్వాత హారంతో, అప్పుడు మనకు b · c d = a · c b · d, ఇక్కడ a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 వాస్తవ సంఖ్యలుగా పనిచేస్తాయి.
• భిన్నం ద్వారా భిన్నాన్ని విభజించేటప్పుడు, మేము మొదటిదాన్ని రెండవ విలోమంతో గుణిస్తాము, అనగా, మేము లవం మరియు హారంను మార్చుకుంటాము: a b: c d = a b · d c.

నిబంధనలకు హేతుబద్ధత

లెక్కించేటప్పుడు మీరు ఆధారపడవలసిన క్రింది గణిత పాయింట్లు ఉన్నాయి:

• స్లాష్ అంటే విభజన గుర్తు;
• సంఖ్య ద్వారా భాగహారం దాని పరస్పర విలువ ద్వారా గుణకారంగా పరిగణించబడుతుంది;
• వాస్తవ సంఖ్యలతో కార్యకలాపాల ఆస్తి యొక్క అప్లికేషన్;
• భిన్నాలు మరియు సంఖ్యా అసమానతల యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తి యొక్క అప్లికేషన్.

వారి సహాయంతో, మీరు ఫారమ్ యొక్క రూపాంతరాలను చేయవచ్చు:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

ఉదాహరణలు

మునుపటి పేరాలో భిన్నాలతో కార్యకలాపాల గురించి చెప్పబడింది. దీని తరువాత, భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయాలి. భిన్నాలను మార్చడంపై పేరాలో ఈ అంశం వివరంగా చర్చించబడింది.

మొదట, అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం యొక్క ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1

8 2, 7 మరియు 1 2, 7 భిన్నాలు ఇచ్చినప్పుడు, నియమం ప్రకారం న్యూమరేటర్‌ను జోడించి హారం తిరిగి వ్రాయడం అవసరం.

పరిష్కారం

అప్పుడు మనకు 8 + 1 2, 7 రూపంలో కొంత భాగం లభిస్తుంది. అదనంగా చేసిన తర్వాత, మేము 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 రూపంలో కొంత భాగాన్ని పొందుతాము. కాబట్టి, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

సమాధానం: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

మరొక పరిష్కారం ఉంది. ప్రారంభించడానికి, మేము సాధారణ భిన్నం యొక్క రూపానికి మారుస్తాము, దాని తర్వాత మేము సరళీకరణ చేస్తాము. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

ఉదాహరణ 2

2 3 3 · లాగ్ 2 3 · లాగ్ 2 5 + 1 ఫారమ్‌లోని 1 - 2 3 · లాగ్ 2 3 · లాగ్ 2 5 + 1 నుండి వ్యవకలనం చేద్దాం.

సమాన హారం ఇవ్వబడినందున, మనం అదే హారంతో భిన్నాన్ని గణిస్తున్నామని అర్థం. మేము దానిని పొందుతాము

1 - 2 3 లాగ్ 2 3 లాగ్ 2 5 + 1 - 2 3 3 లాగ్ 2 3 లాగ్ 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 లాగ్ 2 3 లాగ్ 2 5 + 1

భిన్నాలను వేర్వేరు హారంతో లెక్కించడానికి ఉదాహరణలు ఉన్నాయి. ఒక ముఖ్యమైన అంశం సాధారణ హారంకు తగ్గించడం. ఇది లేకుండా, మేము భిన్నాలతో తదుపరి కార్యకలాపాలను నిర్వహించలేము.

ప్రక్రియ సాధారణ హారంకు తగ్గింపును అస్పష్టంగా గుర్తు చేస్తుంది. అంటే, హారంలోని అతి తక్కువ సాధారణ విభజన కోసం శోధించబడుతుంది, దాని తర్వాత తప్పిపోయిన కారకాలు భిన్నాలకు జోడించబడతాయి.

జోడించబడే భిన్నాలకు సాధారణ కారకాలు లేకుంటే, వాటి ఉత్పత్తి ఒకటి కావచ్చు.

ఉదాహరణ 3

2 3 5 + 1 మరియు 1 2 భిన్నాలను జోడించే ఉదాహరణను చూద్దాం.

పరిష్కారం

ఈ సందర్భంలో, సాధారణ హారం అనేది హారం యొక్క ఉత్పత్తి. అప్పుడు మనకు 2 · 3 5 + 1 వస్తుంది. అప్పుడు, అదనపు కారకాలను సెట్ చేసేటప్పుడు, మొదటి భిన్నానికి ఇది 2కి సమానం, మరియు రెండవది 3 5 + 1. గుణకారం తర్వాత, భిన్నాలు 4 2 · 3 5 + 1 రూపానికి తగ్గించబడతాయి. 1 2 యొక్క సాధారణ తగ్గింపు 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 అవుతుంది. మేము ఫలిత పాక్షిక వ్యక్తీకరణలను జోడించి దానిని పొందుతాము

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

సమాధానం: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

మేము సాధారణ భిన్నాలతో వ్యవహరిస్తున్నప్పుడు, మేము సాధారణంగా తక్కువ సాధారణ హారం గురించి మాట్లాడము. గణాల ఉత్పత్తిని హారంగా తీసుకోవడం లాభదాయకం కాదు. ముందుగా మీరు వారి ఉత్పత్తి కంటే తక్కువ విలువ ఉన్న సంఖ్య ఉందో లేదో తనిఖీ చేయాలి.

ఉదాహరణ 4

1 6 · 2 1 5 మరియు 1 4 · 2 3 5 యొక్క ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం, వాటి ఉత్పత్తి 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5కి సమానం. అప్పుడు మేము 12 · 2 3 5 ను సాధారణ హారంగా తీసుకుంటాము.

సాధారణ భిన్నాలను గుణించే ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 5

దీన్ని చేయడానికి, మీరు 2 + 1 6 మరియు 2 · 5 3 · 2 + 1 గుణించాలి.

పరిష్కారం

నియమాన్ని అనుసరించి, న్యూమరేటర్ల ఉత్పత్తిని హారంగా తిరిగి వ్రాయడం మరియు వ్రాయడం అవసరం. మనకు 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 వస్తుంది. భిన్నం గుణించబడిన తర్వాత, దాన్ని సరళీకరించడానికి మీరు తగ్గింపులను చేయవచ్చు. అప్పుడు 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

పరస్పర భిన్నం ద్వారా భాగహారం నుండి గుణకారానికి పరివర్తన కోసం నియమాన్ని ఉపయోగించి, మేము ఇచ్చిన దాని యొక్క పరస్పర భిన్నాన్ని పొందుతాము. దీన్ని చేయడానికి, న్యూమరేటర్ మరియు హారం మార్చబడతాయి. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

అప్పుడు వారు ఫలిత భిన్నాన్ని గుణించాలి మరియు సరళీకృతం చేయాలి. అవసరమైతే, హారంలోని అహేతుకతను వదిలించుకోండి. మేము దానిని పొందుతాము

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

సమాధానం: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

1కి సమానమైన హారంతో ఒక సంఖ్య లేదా సంఖ్యా వ్యక్తీకరణను భిన్నం వలె సూచించగలిగినప్పుడు ఈ పేరా వర్తిస్తుంది, అప్పుడు అటువంటి భిన్నంతో చేసే ఆపరేషన్ ప్రత్యేక పేరాగా పరిగణించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 1 6 · 7 4 - 1 · 3 వ్యక్తీకరణ 3 యొక్క మూలాన్ని మరొక 3 1 వ్యక్తీకరణతో భర్తీ చేయవచ్చని చూపిస్తుంది. అప్పుడు ఈ ఎంట్రీ 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 రూపంలోని రెండు భిన్నాలను గుణించినట్లుగా కనిపిస్తుంది.

వేరియబుల్స్ కలిగిన భిన్నాలపై కార్యకలాపాలను నిర్వహించడం

మొదటి ఆర్టికల్‌లో చర్చించిన నియమాలు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన భిన్నాలతో కార్యకలాపాలకు వర్తిస్తాయి. హారం ఒకే విధంగా ఉన్నప్పుడు వ్యవకలన నియమాన్ని పరిగణించండి.

A, C మరియు D (D సున్నాకి సమానం కాదు) ఏవైనా వ్యక్తీకరణలు కావచ్చని నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది మరియు సమానత్వం A D ± C D = A ± C D దాని అనుమతించదగిన విలువల పరిధికి సమానం.

ODZ వేరియబుల్స్ సమితిని తీసుకోవడం అవసరం. అప్పుడు A, C, D తప్పనిసరిగా సంబంధిత విలువలను a 0 , c 0 మరియు తీసుకోవాలి d 0. A D ± C D ఫారమ్‌ను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం వలన ఫారమ్‌లో ఒక 0 d 0 ± c 0 d 0 తేడా వస్తుంది, ఇక్కడ, అదనపు నియమాన్ని ఉపయోగించి, మేము 0 ± c 0 d 0 ఫారమ్ యొక్క సూత్రాన్ని పొందుతాము. మేము A ± C D అనే వ్యక్తీకరణను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, అప్పుడు మనకు a 0 ± c 0 d 0 రూపంలో అదే భిన్నం వస్తుంది. ఇక్కడ నుండి ODZ, A ± C D మరియు A D ± C D లను సంతృప్తిపరిచే ఎంచుకున్న విలువ సమానంగా పరిగణించబడుతుందని మేము నిర్ధారించాము.

వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం, ఈ వ్యక్తీకరణలు సమానంగా ఉంటాయి, అంటే, వాటిని ఒకేలా సమానం అంటారు. దీని అర్థం ఈ వ్యక్తీకరణ A D ± C D = A ± C D రూపంలో నిరూపించదగిన సమానత్వంగా పరిగణించబడుతుంది.

వేరియబుల్స్‌తో భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం ఉదాహరణలు

మీకు ఒకే హారం ఉన్నప్పుడు, మీరు న్యూమరేటర్‌లను మాత్రమే జోడించాలి లేదా తీసివేయాలి. ఈ భిన్నాన్ని సరళీకరించవచ్చు. కొన్నిసార్లు మీరు ఒకేలా సమానంగా ఉండే భిన్నాలతో పని చేయాల్సి ఉంటుంది, కానీ మొదటి చూపులో ఇది గుర్తించదగినది కాదు, ఎందుకంటే కొన్ని పరివర్తనలు తప్పనిసరిగా నిర్వహించబడతాయి. ఉదాహరణకు, x 2 3 x 1 3 + 1 మరియు x 1 3 + 1 2 లేదా 1 2 sin 2 α మరియు sin a cos a. చాలా తరచుగా, అదే హారంలను చూడటానికి అసలు వ్యక్తీకరణ యొక్క సరళీకరణ అవసరం.

ఉదాహరణ 6

లెక్కించు: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

పరిష్కారం

1. గణన చేయడానికి, మీరు ఒకే హారం ఉన్న భిన్నాలను తీసివేయాలి. అప్పుడు మనకు x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 వస్తుంది. ఆ తర్వాత మీరు బ్రాకెట్లను విస్తరించవచ్చు మరియు సారూప్య పదాలను జోడించవచ్చు. మనకు x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. హారం ఒకే విధంగా ఉన్నందున, హారం వదిలి, సంఖ్యలను జోడించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   అదనం పూర్తయింది. భిన్నాన్ని తగ్గించడం సాధ్యమవుతుందని చూడవచ్చు. మొత్తం యొక్క వర్గానికి ఫార్ములా ఉపయోగించి దాని లవం ముడుచుకోవచ్చు, అప్పుడు మనకు (l g x + 2) 2 వస్తుంది సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాల నుండి. అప్పుడు మనకు అది వస్తుంది
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. వివిధ హారంతో x - 1 x - 1 + x x + 1 రూపంలోని భిన్నాలు. పరివర్తన తర్వాత, మీరు అదనంగా కొనసాగవచ్చు.

రెండు రెట్లు పరిష్కారాన్ని పరిశీలిద్దాం.

మొదటి పద్ధతి ఏమిటంటే, మొదటి భిన్నం యొక్క హారం దాని తదుపరి తగ్గింపుతో చతురస్రాలను ఉపయోగించి కారకం చేయబడుతుంది. మేము రూపంలో కొంత భాగాన్ని పొందుతాము

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

కాబట్టి x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

ఈ సందర్భంలో, హారంలో అహేతుకతను వదిలించుకోవడం అవసరం.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

రెండవ పద్ధతి x - 1 వ్యక్తీకరణ ద్వారా రెండవ భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను గుణించడం. అందువలన, మేము అహేతుకతను వదిలించుకుంటాము మరియు అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించడం కొనసాగిస్తాము. అప్పుడు

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

సమాధానం: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

చివరి ఉదాహరణలో సాధారణ హారంకు తగ్గింపు అనివార్యమని మేము కనుగొన్నాము. దీన్ని చేయడానికి, మీరు భిన్నాలను సరళీకృతం చేయాలి. జోడించేటప్పుడు లేదా తీసివేసేటప్పుడు, మీరు ఎల్లప్పుడూ సాధారణ హారం కోసం వెతకాలి, ఇది న్యూమరేటర్‌లకు జోడించిన అదనపు కారకాలతో హారం యొక్క ఉత్పత్తి వలె కనిపిస్తుంది.

ఉదాహరణ 7

భిన్నాల విలువలను లెక్కించండి: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

పరిష్కారం

1. హారం ఎటువంటి సంక్లిష్ట గణనలు అవసరం లేదు, కాబట్టి మీరు ఫారమ్ 3 x 7 + 2 · 2 యొక్క వారి ఉత్పత్తిని ఎంచుకోవాలి, ఆపై మొదటి భిన్నం కోసం x 7 + 2 · 2 ను అదనపు కారకంగా మరియు 3 కోసం 3 ఎంచుకోండి. గుణించేటప్పుడు, x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 రూపంలో కొంత భాగాన్ని పొందుతాము. x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. డినామినేటర్లు ఉత్పత్తి రూపంలో ప్రదర్శించబడటం చూడవచ్చు, అంటే అదనపు పరివర్తనలు అనవసరం. సాధారణ హారం x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 రూపంలోని ఉత్పత్తిగా పరిగణించబడుతుంది. అందువల్ల x 4 మొదటి భిన్నానికి అదనపు కారకం, మరియు ln(x + 1) రెండవదానికి. అప్పుడు మేము తీసివేసి పొందుతాము:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. భిన్న హారంతో పని చేస్తున్నప్పుడు ఈ ఉదాహరణ అర్ధమే. 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x +) రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణకు వెళ్లడం సాధ్యమవుతుంది కాబట్టి, చతురస్రాల వ్యత్యాసం మరియు మొత్తం యొక్క వర్గానికి సూత్రాలను వర్తింపజేయడం అవసరం. x) 2. భిన్నాలు సాధారణ హారంకు తగ్గించబడినట్లు చూడవచ్చు. మేము cos x - x · cos x + x 2ని పొందుతాము.

అప్పుడు మనకు అది వస్తుంది

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

సమాధానం:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) 1 కాస్ 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

భిన్నాలను వేరియబుల్స్‌తో గుణించే ఉదాహరణలు

భిన్నాలను గుణించేటప్పుడు, న్యూమరేటర్‌ను న్యూమరేటర్‌తో మరియు హారం హారం ద్వారా గుణించబడుతుంది. అప్పుడు మీరు తగ్గింపు ఆస్తిని దరఖాస్తు చేసుకోవచ్చు.

ఉదాహరణ 8

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 మరియు 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x భిన్నాలను గుణించండి.

పరిష్కారం

గుణకారం చేయాలి. మేము దానిని పొందుతాము

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 పాపం (2 x - x)

లెక్కల సౌలభ్యం కోసం సంఖ్య 3 మొదటి స్థానానికి తరలించబడింది మరియు మీరు భిన్నాన్ని x 2 ద్వారా తగ్గించవచ్చు, అప్పుడు మేము ఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణను పొందుతాము

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 పాపం (2 x - x)

సమాధానం: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 పాపం (2 · x - x) .

విభజన

భిన్నాల విభజన గుణకారంతో సమానంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మొదటి భిన్నం రెండవ పరస్పరం ద్వారా గుణించబడుతుంది. ఉదాహరణకు మనం భిన్నం x + 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 తీసుకొని 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - xతో భాగిస్తే, దానిని ఇలా వ్రాయవచ్చు.

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , ఆపై x + 2 · x x రూపంలోని ఉత్పత్తితో భర్తీ చేయండి 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 పాపం (2 x - x)

ఎక్స్పోనెన్షియేషన్

ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్‌తో సాధారణ భిన్నాలతో కార్యకలాపాలను పరిగణలోకి తీసుకుంటాము. సహజ ఘాతాంకంతో శక్తి ఉంటే, ఆ చర్య సమాన భిన్నాల గుణకారంగా పరిగణించబడుతుంది. కానీ డిగ్రీల లక్షణాల ఆధారంగా సాధారణ విధానాన్ని ఉపయోగించమని సిఫార్సు చేయబడింది. ఏదైనా వ్యక్తీకరణలు A మరియు C, ఇక్కడ C సున్నాకి సమానంగా ఉండదు మరియు A C r రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణ కోసం ODZలో ఏదైనా నిజమైన r సమానత్వం A C r = A r C r చెల్లుతుంది. ఫలితంగా ఒక భిన్నం శక్తికి పెరిగింది. ఉదాహరణకు, పరిగణించండి:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

భిన్నాలతో కార్యకలాపాలను నిర్వహించే విధానం

భిన్నాలపై కార్యకలాపాలు కొన్ని నియమాల ప్రకారం నిర్వహించబడతాయి. ఆచరణలో, ఒక వ్యక్తీకరణ అనేక భిన్నాలు లేదా పాక్షిక వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉండవచ్చని మేము గమనించాము. అప్పుడు అన్ని చర్యలను కఠినమైన క్రమంలో నిర్వహించడం అవసరం: శక్తికి పెంచండి, గుణించడం, విభజించడం, ఆపై జోడించడం మరియు తీసివేయడం. కుండలీకరణాలు ఉంటే, మొదటి చర్య వాటిలో నిర్వహించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 9

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 xని లెక్కించండి.

పరిష్కారం

మనకు ఒకే హారం ఉన్నందున, అప్పుడు 1 - x cos x మరియు 1 c o s x, కానీ వ్యవకలనాలు నియమం ప్రకారం నిర్వహించబడవు; మొదట, కుండలీకరణాల్లోని చర్యలు నిర్వహించబడతాయి, తరువాత గుణకారం, ఆపై కూడిక. అప్పుడు లెక్కించేటప్పుడు మనకు అది వస్తుంది

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను అసలైన దానిలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు, మనకు 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x వస్తుంది. భిన్నాలను గుణించేటప్పుడు మనకు ఇవి ఉంటాయి: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. అన్ని ప్రత్యామ్నాయాలను చేసిన తర్వాత, మనకు 1 - x cos x - x + 1 cos x · x లభిస్తుంది. ఇప్పుడు మీరు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉన్న భిన్నాలతో పని చేయాలి. మాకు దొరికింది:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

సమాధానం: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

సాధారణ భిన్నాలతో అంకగణిత కార్యకలాపాలు

1. అదనంగా.

ఒకే హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలను జోడించి, హారంను అలాగే ఉంచాలి.

ఉదాహరణ. .

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, మీరు వాటిని అత్యల్ప సాధారణ హారంకు తగ్గించాలి, ఆపై ఫలిత సంఖ్యలను జోడించి, మొత్తం కింద సాధారణ హారం రాయాలి.

ఉదాహరణ.

సంక్షిప్తంగా ఇది ఇలా వ్రాయబడింది:

మిశ్రమ సంఖ్యలను జోడించడానికి, మీరు పూర్ణాంకాల మొత్తాన్ని మరియు భిన్నాల మొత్తాన్ని విడిగా కనుగొనాలి. చర్య ఇలా వ్రాయబడింది:

2. తీసివేత.

వంటి హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడానికి, మీరు మైన్యూఎండ్ యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి సబ్‌ట్రాహెండ్ యొక్క లవంను తీసివేయాలి మరియు అదే హారం వదిలివేయాలి. చర్య ఇలా వ్రాయబడింది:

విభిన్న హారంలతో భిన్నాలను తీసివేయడానికి, మీరు ముందుగా వాటిని అతి తక్కువ సాధారణ హారంకు తగ్గించాలి, ఆపై మైన్యూఎండ్ యొక్క లవం నుండి మైన్యూఎండ్ యొక్క లవంను తీసివేసి, వాటి వ్యత్యాసం కింద సాధారణ హారంపై సంతకం చేయాలి. చర్య ఇలా వ్రాయబడింది:

మీరు ఒక మిశ్రమ సంఖ్యను మరొక మిశ్రమ సంఖ్య నుండి తీసివేయవలసి వస్తే, వీలైతే, ఒక భిన్నం నుండి భిన్నాన్ని మరియు మొత్తం నుండి మొత్తాన్ని తీసివేయండి. చర్య ఇలా వ్రాయబడింది:

వ్యవకలనం యొక్క భిన్నం మైనుఎండ్ యొక్క భిన్నం కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, మైన్యూఎండ్ యొక్క మొత్తం సంఖ్య నుండి ఒక యూనిట్‌ని తీసుకుని, దానిని తగిన షేర్‌లుగా విభజించి, దానిని మినుఎండ్ యొక్క భిన్నానికి జోడించండి, ఆ తర్వాత అవి పైన వివరించిన విధంగా కొనసాగుతాయి. . చర్య ఇలా వ్రాయబడింది:

మీరు పూర్తి సంఖ్య నుండి భిన్నాన్ని తీసివేయవలసి వచ్చినప్పుడు అదే పని చేయండి.

ఉదాహరణ. .

3. కూడిక మరియు వ్యవకలనం యొక్క లక్షణాలను భిన్నాలకు పొడిగించడం.సహజ సంఖ్యల కూడిక మరియు వ్యవకలనం యొక్క అన్ని చట్టాలు మరియు లక్షణాలు పాక్షిక సంఖ్యలకు కూడా చెల్లుతాయి. అనేక సందర్భాల్లో వాటి ఉపయోగం గణన ప్రక్రియను చాలా సులభతరం చేస్తుంది.

4. గుణకారం.

భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించడానికి, మీరు న్యూమరేటర్‌ను న్యూమరేటర్‌తో గుణించాలి, మరియు హారంను హారం ద్వారా గుణించాలి మరియు మొదటి ఉత్పత్తిని న్యూమరేటర్ మరియు రెండవ ఉత్పత్తిని హారం చేయాలి.

గుణించేటప్పుడు, మీరు (వీలైతే) తగ్గింపు చేయాలి.

ఉదాహరణ. .

పూర్ణాంకం అనేది 1 యొక్క హారంతో కూడిన భిన్నం అని మనం పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంతో మరియు పూర్ణాంకాన్ని భిన్నంతో గుణిస్తే అదే నియమం అనుసరించబడుతుంది.

ఉదాహరణలు.

5. మిశ్రమ సంఖ్యల గుణకారం.

మిశ్రమ సంఖ్యలను గుణించడానికి, మీరు ముందుగా వాటిని సరికాని భిన్నాలుగా మార్చాలి మరియు భిన్నాలను గుణించే నియమం ప్రకారం గుణించాలి.

ఉదాహరణ. .

6. భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా విభజించడం.

భిన్నాన్ని భిన్నంగా విభజించడానికి, మీరు మొదటి భిన్నం యొక్క లవణాన్ని రెండవ హారంతో గుణించాలి మరియు మొదటి దాని హారం రెండవ దాని లవణంతో గుణించాలి మరియు మొదటి ఉత్పత్తిని లవంగా మరియు రెండవదిగా వ్రాయాలి. హారం గా.

ఉదాహరణ. .

అదే నియమాన్ని ఉపయోగించి, మీరు 1 యొక్క హారంతో మొత్తం సంఖ్యను భిన్నం వలె సూచిస్తే, మీరు భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో మరియు పూర్తి సంఖ్యను భిన్నం ద్వారా విభజించవచ్చు.

ఉదాహరణలు.

7. మిశ్రమ సంఖ్యల విభజన.

మిశ్రమ సంఖ్యలను విభజించడానికి, అవి మొదట సరికాని భిన్నాలుగా మార్చబడతాయి మరియు భిన్నాలను విభజించే నియమం ప్రకారం విభజించబడతాయి.

ఉదాహరణ. .

8. విభజనను గుణకారంతో భర్తీ చేయడం.

మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారంను భిన్నంలో ఇచ్చిపుచ్చుకుంటే, మీరు కొత్త భిన్నాన్ని పొందుతారు, ఇచ్చిన దానికి విలోమం. ఉదాహరణకు, ఒక భిన్నం కోసంపరస్పర భిన్నం ఉంటుంది.

సహజంగానే, రెండు పరస్పర విలోమ భిన్నాల ఉత్పత్తి 1కి సమానం.

1. సంఖ్య నుండి భిన్నాన్ని కనుగొనడం.

మీరు ఇచ్చిన సంఖ్యలో కొంత భాగాన్ని లేదా భిన్నాన్ని కనుగొనాల్సిన అనేక సమస్యలు ఉన్నాయి. ఇటువంటి సమస్యలు గుణకారం ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి.

టాస్క్. హోస్టెస్ 20 రూబిళ్లు కలిగి ఉంది;ఆమె వాటిని షాపింగ్‌కు ఖర్చు చేసింది. కొనుగోళ్లకు ఎంత ఖర్చు అవుతుంది?

ఇక్కడ మీరు కనుగొనవలసి ఉంటుందిసంఖ్య 20. మీరు దీన్ని ఇలా చేయవచ్చు:

సమాధానం. హోస్టెస్ 8 రూబిళ్లు ఖర్చు చేసింది.

ఉదాహరణలు. 30 నుండి కనుగొనండి. పరిష్కారం. .

నుండి కనుగొనండి. పరిష్కారం. .

1. దాని భిన్నం యొక్క తెలిసిన పరిమాణం నుండి సంఖ్యను కనుగొనడం.

కొన్నిసార్లు సంఖ్య యొక్క తెలిసిన భాగాన్ని మరియు ఈ భాగాన్ని వ్యక్తీకరించే భిన్నాన్ని ఉపయోగించి మొత్తం సంఖ్యను నిర్ణయించడం అవసరం. విభజన ద్వారా ఇటువంటి సమస్యలు పరిష్కరించబడతాయి.

టాస్క్. తరగతిలో 12 కొమ్సోమోల్ సభ్యులు ఉన్నారు, అంటేతరగతిలోని విద్యార్థులందరి భాగాలు. తరగతిలో ఎంత మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు?

పరిష్కారం. .

సమాధానం. 20 మంది విద్యార్థులు.

ఉదాహరణ. సంఖ్యను కనుగొనండిఅంటే 34.

పరిష్కారం. .

సమాధానం. అవసరమైన సంఖ్య.

1. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తిని కనుగొనడం.

సమస్యను పరిగణించండి: ఒక కార్మికుడు ఒక రోజులో 40 భాగాలను ఉత్పత్తి చేస్తాడు. నెలవారీ ప్లాన్ 400 భాగాలుగా ఉంటే, కార్మికుడు నెలవారీ పనిలో ఏ భాగాన్ని పూర్తి చేశాడు?

పరిష్కారం. .

సమాధానం. కార్మికుడు పూర్తి చేశాడునెలవారీ ప్రణాళికలో భాగం.

ఈ సందర్భంలో, ఒక భాగం (40 భాగాలు) మొత్తం (400 భాగాలు) యొక్క భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించబడుతుంది. నెలవారీ ప్లాన్‌కు రోజుకు తయారు చేయబడిన భాగాల సంఖ్య నిష్పత్తిని కూడా వారు కనుగొన్నారు.

1. దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా మార్చడం.

దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నానికి మార్చడానికి, దానిని హారంతో వ్రాయండి మరియు వీలైతే, దానిని సంక్షిప్తీకరించండి:

ఉదాహరణలు.

1. భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడం.

భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి.

మొదటి మార్గం. భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడానికి, మీరు లవంను హారంతో భాగిస్తారు.

ఉదాహరణలు. .

రెండవ మార్గం. భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చడానికి, మీరు భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను అటువంటి సంఖ్యతో గుణించాలి, హారం సున్నాలతో ఒకటిగా ముగుస్తుంది (వీలైతే).

ఉదాహరణ.

1. మాగ్నిట్యూడ్ ద్వారా దశాంశాలను పోల్చడం. రెండు దశాంశ భిన్నాలలో ఏది పెద్దదో తెలుసుకోవడానికి, మీరు వాటి మొత్తం భాగాలు, పదవ వంతు, వందవ వంతు మొదలైనవాటిని సరిపోల్చాలి. మొత్తం భాగాలు సమానంగా ఉన్నప్పుడు, ఎక్కువ పదవ భాగాలను కలిగి ఉన్న భిన్నం ఎక్కువగా ఉంటుంది; పూర్ణాంకాలు మరియు దశాంశాలు సమానంగా ఉంటే, వందవ వంతు ఎక్కువ ఉన్నది ఎక్కువ, మొదలైనవి.

ఉదాహరణ. మూడు భిన్నాలలో 2.432; 2.41 మరియు 2.4098 అతిపెద్ద మొదటిది, ఎందుకంటే ఇది అత్యధిక వందల వంతులను కలిగి ఉంది మరియు మొత్తం మరియు పదవ వంతులు అన్ని భిన్నాలలో ఒకే విధంగా ఉంటాయి.

దశాంశాలతో కార్యకలాపాలు

1. దశాంశాలను 10, 100, 1000 మొదలైన వాటితో గుణించడం మరియు భాగించడం.

దశాంశాన్ని 10, 100, 1000 మొదలైన వాటితో గుణించడం. మీరు కామాను వరుసగా ఒకటి, రెండు, మూడు మొదలైన వాటికి తరలించాలి. కుడివైపున సంతకం చేయండి. సంఖ్యలో తగినంత సంకేతాలు లేకుంటే, సున్నాలు కేటాయించబడతాయి.

ఉదాహరణ. 15.45 10 = 154.5; 32.3 · 100 = 3230.

దశాంశ భిన్నాన్ని 10, 100, 1000, మొదలైన వాటితో విభజించడానికి, మీరు దశాంశ బిందువును వరుసగా ఒకటి, రెండు, మూడు మొదలైన వాటికి తరలించాలి. ఎడమవైపు సైన్. కామాను తరలించడానికి తగినంత అక్షరాలు లేకుంటే, వాటి సంఖ్య ఎడమ వైపున ఉన్న సున్నాల సంఖ్యతో భర్తీ చేయబడుతుంది.

ఉదాహరణలు. 184.35: 100 = 1.8435; 3.5: 100 = 0.035.

1. దశాంశాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం.

సహజ సంఖ్యలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం వంటి దశాంశాలు జోడించబడతాయి మరియు తీసివేయబడతాయి. అంకె అంకె క్రింద వ్రాయబడింది, కామా కామా క్రింద వ్రాయబడుతుంది.

ఉదాహరణలు.

1. దశాంశాలను గుణించడం.

రెండు దశాంశ భిన్నాలను గుణించడానికి, కామాలపై శ్రద్ధ చూపకుండా, వాటిని పూర్ణ సంఖ్యలుగా గుణించడం మరియు ఉత్పత్తిలో గుణకారం మరియు గుణకం కలిసి ఉన్నంతవరకు కుడి వైపున కామాతో అనేక దశాంశ స్థానాలను వేరు చేయడం సరిపోతుంది.

ఉదాహరణ 1. 2.064 · 0.05.

మేము పూర్ణాంకాలను 2064 · 5 = 10320 గుణిస్తాము. మొదటి కారకం మూడు దశాంశ స్థానాలను కలిగి ఉంది, రెండవది రెండు. ఉత్పత్తి తప్పనిసరిగా ఐదు దశాంశ స్థానాలను కలిగి ఉండాలి. మేము వాటిని కుడి వైపున వేరు చేసి 0.10320 పొందుతాము. చివర సున్నాను విస్మరించవచ్చు: 2.064 · 0.05 = 0.1032.

ఉదాహరణ 2. 1.125 · 0.08; 1125 · 8 = 9000.

దశాంశ స్థానాల సంఖ్య 3 + 2 = 5 అయి ఉండాలి. మేము ఎడమవైపు (009000) 9000కి సున్నాలను జోడిస్తాము మరియు కుడివైపున ఐదు దశాంశ స్థానాలను వేరు చేస్తాము. మనకు 1.125 · 0.08 = 0.09000 = 0.09 లభిస్తుంది.

1. దశాంశాలను విభజించడం.

శేషం లేకుండా దశాంశ భిన్నాలను విభజించే రెండు సందర్భాలు పరిగణించబడతాయి: 1) దశాంశ భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంతో విభజించడం; 2) దశాంశ భిన్నం ద్వారా సంఖ్యను (పూర్ణాంకం లేదా భిన్నం) విభజించడం.

పూర్ణాంకాలను విభజించే విధంగానే దశాంశాన్ని పూర్ణ సంఖ్యతో భాగించడం జరుగుతుంది; ఫలితంగా అవశేషాలు చిన్న దశాంశ భాగాలుగా వరుసగా విభజించబడతాయి మరియు మిగిలినవి సున్నా అయ్యే వరకు విభజన కొనసాగుతుంది.

ఉదాహరణలు.

ఒక సంఖ్యను (పూర్ణాంకం లేదా భిన్నం) దశాంశ భిన్నంతో అన్ని సందర్భాలలో భాగిస్తే పూర్ణ సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, డివైజర్‌ను 10, 100, 1000, మొదలైన వాటి ద్వారా పెంచండి. సార్లు, మరియు గుణకం మారదు కాబట్టి, డివిడెండ్ అదే సంఖ్యలో పెంచబడుతుంది, ఆపై మొత్తం సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది (మొదటి సందర్భంలో వలె).

ఉదాహరణ. 47.04: 0.0084 = 470400: 84 = 5600;

1. సాధారణ మరియు దశాంశ భిన్నాలతో ఉమ్మడి చర్యల ఉదాహరణలు.

దశాంశ భిన్నాలతో అన్ని ఆపరేషన్ల ఉదాహరణను మొదట పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1. లెక్కించు:

ఇక్కడ వారు డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ యొక్క తగ్గింపును పూర్ణాంకానికి ఉపయోగిస్తారు, గుణకం మారదు అనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటారు. అప్పుడు మనకు ఉన్నాయి:

సాధారణ మరియు దశాంశ భిన్నాలతో ఉమ్మడి చర్యల ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు, కొన్ని చర్యలు దశాంశ భిన్నాలలో మరియు కొన్ని సాధారణమైన వాటిలో చేయవచ్చు. ఒక సాధారణ భిన్నం ఎల్లప్పుడూ తుది దశాంశ భిన్నంగా మార్చబడదని గుర్తుంచుకోవాలి. అందువల్ల, అటువంటి మార్పిడి సాధ్యమేనని ధృవీకరించబడినప్పుడు మాత్రమే దశాంశ భిన్నం వలె వ్రాయడం సాధ్యమవుతుంది.

ఉదాహరణ 2. లెక్కించు:

ఆసక్తి

శాతం భావన.ఒక సంఖ్య యొక్క శాతం ఆ సంఖ్యలో వందవ వంతు. ఉదాహరణకు, "మన దేశంలోని మొత్తం జనాభాలో 54 వందల వంతు మంది మహిళలు" అని చెప్పడానికి బదులుగా, "మన దేశంలోని మొత్తం జనాభాలో 54 శాతం మంది మహిళలు" అని చెప్పవచ్చు. "శాతం" అనే పదానికి బదులుగా వారు % గుర్తును కూడా వ్రాస్తారు, ఉదాహరణకు 35% అంటే 35 శాతం.

శాతం అనేది నూరవ భాగం కాబట్టి, అది శాతాన్ని 100 హారంతో కూడిన భిన్నం అని అనుసరిస్తుంది. కాబట్టి, భిన్నం 0.49, లేదా, 49 శాతంగా చదవవచ్చు మరియు హారం లేకుండా 49%గా వ్రాయవచ్చు. సాధారణంగా, ఇచ్చిన దశాంశ భిన్నంలో ఎన్ని వందల వంతులు ఉన్నాయో నిర్ణయించిన తర్వాత, దానిని శాతంగా వ్రాయడం సులభం. దీన్ని చేయడానికి, నియమాన్ని ఉపయోగించండి: దశాంశ భిన్నాన్ని శాతంగా వ్రాయడానికి, మీరు ఈ భిన్నంలోని దశాంశ బిందువును రెండు ప్రదేశాలలో కుడి వైపుకు తరలించాలి.

ఉదాహరణలు. 0.33 = 33%; 1.25 = 125%; 0.002 = 0.2%; 21 = 2100%.

మరియు వైస్ వెర్సా: 7% = 0.07; 24.5% = 0.245; 0.1% = 0.001; 200% = 2.

1. ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క శాతాన్ని కనుగొనడం

టాస్క్. ప్రణాళిక ప్రకారం, ట్రాక్టర్ డ్రైవర్ల బృందం తప్పనిసరిగా 9 టన్నుల ఇంధనాన్ని వినియోగించాలి. ట్రాక్టర్ డ్రైవర్లు 20% ఇంధనాన్ని ఆదా చేసేందుకు సామాజిక నిబద్ధతతో ఉన్నారు. టన్నులలో ఇంధన పొదుపును నిర్ణయించండి.

ఈ సమస్యలో, 20%కి బదులుగా, దానికి సమానమైన 0.2 సంఖ్యను వ్రాస్తే, ఒక సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడంలో మనకు సమస్య వస్తుంది. మరియు అటువంటి సమస్యలు గుణకారం ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి. ఇది పరిష్కారం:

20% = 0.2; 9 · 0.2 = 1.8 (మీ).

లెక్కలు ఇలా వ్రాయవచ్చు:

(మీ)

ఇచ్చిన సంఖ్యలోని కొన్ని శాతాన్ని కనుగొనడానికి, ఇచ్చిన సంఖ్యను 100తో విభజించి, ఫలితాన్ని శాతం సంఖ్యతో గుణిస్తే సరిపోతుంది.

టాస్క్. 1963లో ఒక కార్మికుడు నెలకు 90 రూబిళ్లు అందుకున్నాడు మరియు 1964లో అతను 30% ఎక్కువ పొందడం ప్రారంభించాడు. అతను 1964లో ఎంత సంపాదించాడు?

పరిష్కారం (మొదటి పద్ధతి).

1) కార్మికుడు ఇంకా ఎన్ని రూబిళ్లు అందుకున్నాడు?

(రబ్.)

90 + 27 = 117 (రబ్).

రెండవ మార్గం.

1) 1964లో కార్మికుడు మునుపటి సంపాదనలో ఎంత శాతాన్ని పొందడం ప్రారంభించాడు?

100% + 30% = 130%.

2) 1964లో ఒక కార్మికుని నెలవారీ జీతం ఎంత?

(రబ్.)

2. దాని శాతం ఇచ్చిన విలువ నుండి సంఖ్యను కనుగొనడం.

టాస్క్. సామూహిక పొలం 280 హెక్టార్ల విస్తీర్ణంలో మొక్కజొన్నను పండించింది, ఇది మొత్తం విత్తిన విస్తీర్ణంలో 14%. సామూహిక పొలం యొక్క విత్తిన ప్రాంతాన్ని నిర్ణయించండి.

ఈ సమస్యలో 14%కి బదులుగా మనం 0.14 అని వ్రాస్తాము లేదా, అప్పుడు మేము దాని భిన్నం యొక్క తెలిసిన విలువ నుండి సంఖ్యను కనుగొనే పనిని పొందుతాము. మరియు అటువంటి సమస్యలు విభజన ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి.

పరిష్కారం. 14% = 0.14; 280: 0.14 = 2000 (హె). ఈ పరిష్కారాన్ని ఇలా కూడా రూపొందించవచ్చు:

(హా)

అనేక శాతం ఇచ్చిన విలువ ఆధారంగా సంఖ్యను కనుగొనడానికి, ఈ విలువను శాతం సంఖ్యతో విభజించి, ఫలితాన్ని 100 ద్వారా గుణిస్తే సరిపోతుంది.

టాస్క్. మార్చిలో మొక్క 125.4 కరిగిపోయిందిటి మెటల్, ప్రణాళికను 4.5% మించిపోయింది. ప్లాంట్ ప్లాన్ ప్రకారం మార్చిలో ఎన్ని టన్నుల లోహాన్ని కరిగించాల్సి ఉంది?

పరిష్కారం.

1) మార్చిలో ప్లాంట్ ఎంత శాతం ప్రణాళికను పూర్తి చేసింది?

100% + 4,5% = 104,5%.

2) మొక్క ఎన్ని టన్నుల లోహాన్ని కరిగించాలి?

(హా)

1. రెండు సంఖ్యల మధ్య శాతం సంబంధాన్ని కనుగొనడం.

టాస్క్. 300 హెక్టార్ల భూమిని దున్నాలి. తొలిరోజు 120 హెక్టార్లలో దున్నేశారు. మొదటి రోజు ఎంత శాతం పనిని దున్నేశారు?

పరిష్కారం.

మొదటి మార్గం. 300 హెక్టార్లు 100%, అంటే 1% 3 హెక్టార్లు. 120 హెక్టార్లలో 1% ఉన్న 3 హెక్టార్లు ఎన్నిసార్లు ఉన్నాయో నిర్ణయించడం ద్వారా, మొదటి రోజు భూమి దున్నిన పనిలో ఎంత శాతం ఉందో మనం కనుగొంటాము.

120: 3 = 40(%).

రెండవ మార్గం. మొదటి రోజు భూమిలో ఏ భాగాన్ని దున్నబడిందో నిర్ణయించిన తర్వాత, మేము ఈ భిన్నాన్ని శాతంగా వ్యక్తపరుస్తాము.

గణనను వ్రాస్దాం:

సంఖ్య శాతాన్ని లెక్కించడానికి a నుండి సంఖ్య b , మీరు సంబంధాన్ని కనుగొనాలి a నుండి b మరియు దానిని 100తో గుణించండి.

భిన్నాలతో చర్యలు.

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)

కాబట్టి, భిన్నాలు ఏమిటి, భిన్నాల రకాలు, రూపాంతరాలు - మేము గుర్తుంచుకున్నాము. ప్రధాన అంశానికి వద్దాం.

మీరు భిన్నాలతో ఏమి చేయవచ్చు?అవును, ప్రతిదీ సాధారణ సంఖ్యలతో సమానంగా ఉంటుంది. కలపండి, తీసివేయండి, గుణించండి, విభజించండి.

ఈ చర్యలన్నీ దశాంశభిన్నాలతో పని చేయడం పూర్ణ సంఖ్యలతో పనిచేయడం కంటే భిన్నంగా లేదు. అసలైన, దశాంశ వాటిని గురించి మంచి ఏమిటి. ఒకే విషయం ఏమిటంటే మీరు కామాను సరిగ్గా ఉంచాలి.

మిశ్రమ సంఖ్యలు, నేను ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, చాలా చర్యలకు తక్కువ ఉపయోగం. వాటిని ఇంకా సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చాలి.

కానీ చర్యలు సాధారణ భిన్నాలువారు మరింత చాకచక్యంగా ఉంటారు. మరియు చాలా ముఖ్యమైనది! నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: అక్షరాలు, సైన్స్, తెలియనివి మరియు మొదలైన వాటితో పాక్షిక వ్యక్తీకరణలతో కూడిన అన్ని చర్యలు సాధారణ భిన్నాలతో కూడిన చర్యల నుండి భిన్నంగా లేవు! సాధారణ భిన్నాలతో కూడిన కార్యకలాపాలు అన్ని బీజగణితాలకు ఆధారం. ఈ కారణంగానే ఈ అంకగణితాన్ని మనం ఇక్కడ చాలా వివరంగా విశ్లేషిస్తాము.

భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం.

ప్రతి ఒక్కరూ ఒకే హారంతో భిన్నాలను జోడించవచ్చు (తీసివేయవచ్చు) (నేను నిజంగా ఆశిస్తున్నాను!). సరే, పూర్తిగా మతిమరుపు ఉన్నవారికి నేను గుర్తు చేస్తాను: జోడించేటప్పుడు (తీసివేసేటప్పుడు), హారం మారదు. ఫలితం యొక్క న్యూమరేటర్‌ను ఇవ్వడానికి న్యూమరేటర్‌లు జోడించబడతాయి (తీసివేయబడతాయి). రకం:

సంక్షిప్తంగా, సాధారణ పరంగా:

హారం భిన్నంగా ఉంటే? అప్పుడు, ఒక భిన్నం యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తిని ఉపయోగించి (ఇక్కడ అది మళ్లీ ఉపయోగపడుతుంది!), మేము హారంలను ఒకే విధంగా చేస్తాము! ఉదాహరణకి:

ఇక్కడ మనం భిన్నం 2/5 నుండి భిన్నం 4/10 చేయవలసి వచ్చింది. హారం ఒకే విధంగా ఉండేలా ఏకైక ప్రయోజనం కోసం. 2/5 మరియు 4/10 అని నేను గమనించాలి అదే భిన్నం! 2/5 మాత్రమే మాకు అసౌకర్యంగా ఉన్నాయి మరియు 4/10 నిజంగా ఓకే.

మార్గం ద్వారా, ఏదైనా గణిత సమస్యలను పరిష్కరించే సారాంశం ఇది. మేము నుండి ఉన్నప్పుడు అసౌకర్యంగామేము వ్యక్తీకరణలు చేస్తాము అదే విషయం, కానీ పరిష్కరించడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

మరొక ఉదాహరణ:

పరిస్థితి ఇలాగే ఉంది. ఇక్కడ మనం 16 నుండి 48ని చేస్తాము. సాధారణ గుణకారం 3 ద్వారా. ఇది స్పష్టంగా ఉంది. కానీ మేము ఇలాంటివి చూశాము:

ఎలా ఉండాలి?! ఏడింటికి తొమ్మిదో వంతు చేయడం కష్టమే! కానీ మేము తెలివైనవాళ్ళం, మాకు నియమాలు తెలుసు! రూపాంతరం చెందుదాం ప్రతిభిన్నం కాబట్టి హారం ఒకేలా ఉంటుంది. దీనిని "సాధారణ హారంకి తగ్గించండి" అని పిలుస్తారు:

వావ్! 63 గురించి నాకు ఎలా తెలుసు? చాలా సింపుల్! 63 అనేది ఒకే సమయంలో 7 మరియు 9తో భాగించబడే సంఖ్య. హారంలను గుణించడం ద్వారా అటువంటి సంఖ్యను ఎల్లప్పుడూ పొందవచ్చు. ఉదాహరణకు, మనం ఒక సంఖ్యను 7తో గుణిస్తే, ఫలితం ఖచ్చితంగా 7తో భాగించబడుతుంది!

మీరు అనేక భిన్నాలను జోడించడం (తీసివేయడం) అవసరమైతే, దశల వారీగా జంటగా చేయవలసిన అవసరం లేదు. మీరు అన్ని భిన్నాలకు సాధారణమైన హారంని కనుగొని, ప్రతి భిన్నాన్ని ఇదే హారంకి తగ్గించాలి. ఉదాహరణకి:

మరియు ఉమ్మడి హారం ఏమిటి? మీరు, వాస్తవానికి, 2, 4, 8 మరియు 16ని గుణించవచ్చు. మేము 1024ని పొందుతాము. పీడకల. 16 సంఖ్యను 2, 4 మరియు 8తో సంపూర్ణంగా భాగించవచ్చని అంచనా వేయడం సులభం. కాబట్టి, ఈ సంఖ్యల నుండి 16ని పొందడం సులభం. ఈ సంఖ్య సాధారణ హారం అవుతుంది. 1/2ని 8/16గా, 3/4ని 12/16గా మారుద్దాం.

మార్గం ద్వారా, మీరు 1024 ను సాధారణ హారంగా తీసుకుంటే, ప్రతిదీ పని చేస్తుంది, చివరికి ప్రతిదీ తగ్గించబడుతుంది. కానీ ప్రతి ఒక్కరూ ఈ ముగింపుకు రాలేరు, ఎందుకంటే లెక్కలు ...

ఉదాహరణను మీరే పూర్తి చేయండి. సంవర్గమానం కాదు... 29/16 ఉండాలి.

కాబట్టి, భిన్నాల కూడిక (వ్యవకలనం) స్పష్టంగా ఉంది, నేను ఆశిస్తున్నాను? వాస్తవానికి, అదనపు మల్టిప్లైయర్‌లతో సంక్షిప్త సంస్కరణలో పని చేయడం సులభం. కానీ ఈ ఆనందం తక్కువ తరగతుల్లో నిజాయితీగా పనిచేసిన వారికి అందుబాటులో ఉంది. మరియు ఏదీ మర్చిపోలేదు.

ఇప్పుడు మేము అదే చర్యలను చేస్తాము, కానీ భిన్నాలతో కాదు, కానీ పాక్షిక వ్యక్తీకరణలు. కొత్త రేక్ ఇక్కడ బహిర్గతం చేయబడుతుంది, అవును...

కాబట్టి, మనం రెండు పాక్షిక వ్యక్తీకరణలను జోడించాలి:

మేము హారం అదే చేయాలి. మరియు సహాయంతో మాత్రమే గుణకారం! భిన్నం యొక్క ప్రధాన ఆస్తి నిర్దేశిస్తుంది. కాబట్టి, నేను హారంలో మొదటి భిన్నంలో Xకి ఒకదాన్ని జోడించలేను. (అది బాగుంటుంది!). కానీ మీరు హారంలను గుణిస్తే, మీరు చూస్తారు, ప్రతిదీ కలిసి పెరుగుతుంది! కాబట్టి మేము భిన్నం యొక్క రేఖను వ్రాస్తాము, ఎగువన ఖాళీ స్థలాన్ని వదిలివేస్తాము, ఆపై దానిని జోడించి, మర్చిపోకుండా ఉండటానికి క్రింద ఉన్న హారం యొక్క ఉత్పత్తిని వ్రాస్తాము:

మరియు, వాస్తవానికి, మేము కుడి వైపున ఏదైనా గుణించము, మేము కుండలీకరణాలను తెరవము! మరియు ఇప్పుడు, కుడి వైపున ఉన్న సాధారణ హారంను చూస్తే, మేము గ్రహించాము: మొదటి భిన్నంలో x(x+1) హారం పొందడానికి, మీరు ఈ భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం (x+1) ద్వారా గుణించాలి. . మరియు రెండవ భిన్నంలో - x వరకు. మీరు పొందేది ఇదే:

గమనిక! ఇక్కడ కుండలీకరణాలు ఉన్నాయి! చాలామంది అడుగులు వేసే రేక్ ఇది. అయితే కుండలీకరణాలు కాదు, కానీ వారి లేకపోవడం. మనం గుణించడం వల్ల కుండలీకరణాలు కనిపిస్తాయి అన్నిన్యూమరేటర్ మరియు అన్నిహారం! మరియు వారి వ్యక్తిగత ముక్కలు కాదు ...

కుడి వైపున ఉన్న న్యూమరేటర్‌లో మేము న్యూమరేటర్ల మొత్తాన్ని వ్రాస్తాము, ప్రతిదీ సంఖ్యా భిన్నాలలో వలె ఉంటుంది, ఆపై మేము కుడి వైపున ఉన్న లవంలోని బ్రాకెట్‌లను తెరుస్తాము, అనగా. మేము అన్నింటినీ గుణిస్తాము మరియు ఇలాంటి వాటిని ఇస్తాము. హారంలోని కుండలీకరణాలను తెరవడం లేదా ఏదైనా గుణించడం అవసరం లేదు! సాధారణంగా, హారంలో (ఏదైనా) ఉత్పత్తి ఎల్లప్పుడూ మరింత ఆహ్లాదకరంగా ఉంటుంది! మాకు దొరికింది:

కాబట్టి మాకు సమాధానం వచ్చింది. ప్రక్రియ పొడవుగా మరియు కష్టంగా అనిపిస్తుంది, కానీ ఇది అభ్యాసంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించిన తర్వాత, దాన్ని అలవాటు చేసుకోండి, ప్రతిదీ సులభం అవుతుంది. నిర్ణీత సమయంలో భిన్నాలపై పట్టు సాధించిన వారు ఈ ఆపరేషన్లన్నీ ఒక ఎడమ చేతితో స్వయంచాలకంగా చేస్తారు!

మరియు మరొక గమనిక. చాలా మంది భిన్నాలతో తెలివిగా వ్యవహరిస్తారు, కానీ ఉదాహరణలతో చిక్కుకుపోతారు మొత్తంసంఖ్యలు. ఇలా: 2 + 1/2 + 3/4= ? రెండు ముక్కలను ఎక్కడ కట్టుకోవాలి? మీరు దీన్ని ఎక్కడైనా కట్టుకోవలసిన అవసరం లేదు, మీరు రెండింటిలో ఒక భాగాన్ని తయారు చేయాలి. ఇది సులభం కాదు, కానీ చాలా సులభం! 2=2/1. ఇలా. ఏదైనా పూర్తి సంఖ్యను భిన్నం వలె వ్రాయవచ్చు. న్యూమరేటర్ అనేది సంఖ్య, హారం ఒకటి. 7 7/1, 3 3/1 మరియు మొదలైనవి. అక్షరాల విషయంలోనూ అంతే. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, మొదలైనవి. ఆపై మేము అన్ని నిబంధనల ప్రకారం ఈ భిన్నాలతో పని చేస్తాము.

బాగా, భిన్నాల కూడిక మరియు వ్యవకలనం యొక్క జ్ఞానం రిఫ్రెష్ చేయబడింది. భిన్నాలను ఒక రకం నుండి మరొక రకంకి మార్చడం పునరావృతమైంది. మీరు కూడా తనిఖీ చేయవచ్చు. మనం కొంచెం పరిష్కరించుకుందాం?)

లెక్కించు:

సమాధానాలు (అస్తవ్యస్తంగా ఉన్నాయి):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

భిన్నాల గుణకారం/విభజన - తదుపరి పాఠంలో. భిన్నాలతో అన్ని కార్యకలాపాలకు టాస్క్‌లు కూడా ఉన్నాయి.

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.

ఇప్పుడు మనం వ్యక్తిగత భిన్నాలను ఎలా జోడించాలో మరియు గుణించాలో నేర్చుకున్నాము, మనం మరింత క్లిష్టమైన నిర్మాణాలను చూడవచ్చు. ఉదాహరణకు, అదే సమస్య భిన్నాలను జోడించడం, తీసివేయడం మరియు గుణించడం వంటివి కలిగి ఉంటే ఏమి చేయాలి?

అన్నింటిలో మొదటిది, మీరు అన్ని భిన్నాలను సరికాని వాటికి మార్చాలి. అప్పుడు మేము అవసరమైన చర్యలను వరుసగా చేస్తాము - సాధారణ సంఖ్యల కోసం అదే క్రమంలో. అవి:

1. ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ మొదట చేయబడుతుంది - ఘాతాంకాలను కలిగి ఉన్న అన్ని వ్యక్తీకరణలను వదిలించుకోండి;
2. అప్పుడు - విభజన మరియు గుణకారం;
3. చివరి దశ కూడిక మరియు తీసివేత.

వాస్తవానికి, వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలు ఉంటే, ఆపరేషన్ల క్రమం మారుతుంది - కుండలీకరణాల లోపల ఉన్న ప్రతిదీ ముందుగా లెక్కించబడాలి. మరియు సరికాని భిన్నాల గురించి గుర్తుంచుకోండి: అన్ని ఇతర చర్యలు ఇప్పటికే పూర్తయినప్పుడు మాత్రమే మీరు మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయాలి.

మొదటి వ్యక్తీకరణ నుండి అన్ని భిన్నాలను సరికాని వాటికి మారుద్దాం, ఆపై క్రింది దశలను చేయండి:

ఇప్పుడు రెండవ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి. పూర్ణాంక భాగంతో భిన్నాలు లేవు, కానీ కుండలీకరణాలు ఉన్నాయి, కాబట్టి మొదట మేము అదనంగా చేస్తాము, ఆపై మాత్రమే విభజన చేస్తాము. 14 = 7 · 2 అని గమనించండి. అప్పుడు:

చివరగా, మూడవ ఉదాహరణను పరిగణించండి. ఇక్కడ బ్రాకెట్లు మరియు డిగ్రీ ఉన్నాయి - వాటిని విడిగా లెక్కించడం మంచిది. 9 = 3 3ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

చివరి ఉదాహరణకి శ్రద్ధ వహించండి. ఒక భిన్నాన్ని శక్తికి పెంచడానికి, మీరు విడిగా ఈ శక్తికి న్యూమరేటర్‌ను మరియు విడిగా, హారంను పెంచాలి.

మీరు భిన్నంగా నిర్ణయించుకోవచ్చు. మేము డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనాన్ని గుర్తుచేసుకుంటే, సమస్య భిన్నాల సాధారణ గుణకారానికి తగ్గించబడుతుంది:

బహుళస్థాయి భిన్నాలు

ఇప్పటి వరకు, న్యూమరేటర్ మరియు హారం సాధారణ సంఖ్యలు అయినప్పుడు మేము "స్వచ్ఛమైన" భిన్నాలను మాత్రమే పరిగణించాము. ఇది మొదటి పాఠంలో ఇవ్వబడిన సంఖ్య భిన్నం యొక్క నిర్వచనంతో చాలా స్థిరంగా ఉంటుంది.

కానీ మీరు న్యూమరేటర్ లేదా హారంలో మరింత క్లిష్టమైన వస్తువును ఉంచినట్లయితే? ఉదాహరణకు, మరొక సంఖ్యా భిన్నం? ఇటువంటి నిర్మాణాలు చాలా తరచుగా తలెత్తుతాయి, ప్రత్యేకించి పొడవైన వ్యక్తీకరణలతో పని చేస్తున్నప్పుడు. ఇక్కడ కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:

బహుళ-స్థాయి భిన్నాలతో పనిచేయడానికి ఒకే ఒక నియమం ఉంది: మీరు వెంటనే వాటిని వదిలించుకోవాలి. "అదనపు" అంతస్తులను తొలగించడం చాలా సులభం, స్లాష్ అంటే ప్రామాణిక విభజన ఆపరేషన్ అని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి. అందువల్ల, ఏదైనా భిన్నాన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

ఈ వాస్తవాన్ని ఉపయోగించి మరియు విధానాన్ని అనుసరించడం ద్వారా, మనం ఏదైనా బహుళ-అంతస్తుల భిన్నాన్ని సాధారణమైన దానికి సులభంగా తగ్గించవచ్చు. ఉదాహరణలను పరిశీలించండి:

టాస్క్. బహుళ అంతస్థుల భిన్నాలను సాధారణ వాటికి మార్చండి:

ప్రతి సందర్భంలో, మేము ప్రధాన భిన్నాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము, విభజన రేఖను విభజన గుర్తుతో భర్తీ చేస్తాము. ఏదైనా పూర్ణాంకం 1 యొక్క హారంతో భిన్నం వలె సూచించబడుతుందని గుర్తుంచుకోండి. అంటే 12 = 12/1; 3 = 3/1. మాకు దొరికింది:

చివరి ఉదాహరణలో, చివరి గుణకారానికి ముందు భిన్నాలు రద్దు చేయబడ్డాయి.

బహుళ-స్థాయి భిన్నాలతో పని చేసే ప్రత్యేకతలు

బహుళ-స్థాయి భిన్నాలలో ఒక సూక్ష్మభేదం ఉంది, అది ఎల్లప్పుడూ గుర్తుంచుకోవాలి, లేకుంటే మీరు అన్ని లెక్కలు సరిగ్గా ఉన్నప్పటికీ, తప్పు సమాధానం పొందవచ్చు. ఒకసారి చూడు:

1. న్యూమరేటర్ ఒకే సంఖ్య 7ని కలిగి ఉంటుంది మరియు హారం 12/5 భిన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది;
2. న్యూమరేటర్ 7/12 భిన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు హారం ప్రత్యేక సంఖ్య 5ని కలిగి ఉంటుంది.

కాబట్టి, ఒక రికార్డింగ్ కోసం మాకు రెండు పూర్తిగా భిన్నమైన వివరణలు వచ్చాయి. మీరు లెక్కించినట్లయితే, సమాధానాలు కూడా భిన్నంగా ఉంటాయి:

రికార్డు ఎల్లప్పుడూ నిస్సందేహంగా చదవబడుతుందని నిర్ధారించుకోవడానికి, ఒక సాధారణ నియమాన్ని ఉపయోగించండి: ప్రధాన భిన్నం యొక్క విభజన రేఖ తప్పనిసరిగా సమూహ భిన్నం యొక్క రేఖ కంటే పొడవుగా ఉండాలి. ప్రాధాన్యంగా అనేక సార్లు.

మీరు ఈ నియమాన్ని అనుసరిస్తే, పై భిన్నాలు ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయాలి:

అవును, ఇది బహుశా వికారమైనది మరియు ఎక్కువ స్థలాన్ని తీసుకుంటుంది. కానీ మీరు సరిగ్గా లెక్కిస్తారు. చివరగా, బహుళ-అంతస్తుల భిన్నాలు వాస్తవానికి ఉత్పన్నమయ్యే కొన్ని ఉదాహరణలు:

టాస్క్. వ్యక్తీకరణల అర్ధాలను కనుగొనండి:

కాబట్టి, మొదటి ఉదాహరణతో పని చేద్దాం. అన్ని భిన్నాలను సరికాని వాటికి మారుద్దాం, ఆపై అదనంగా మరియు విభజన కార్యకలాపాలను నిర్వహిస్తాము:

రెండవ ఉదాహరణతో కూడా అదే చేద్దాం. అన్ని భిన్నాలను సరికాని వాటికి మార్చండి మరియు అవసరమైన కార్యకలాపాలను నిర్వహిస్తాము. పాఠకుడికి విసుగు చెందకుండా ఉండటానికి, నేను కొన్ని స్పష్టమైన లెక్కలను వదిలివేస్తాను. మాకు ఉన్నాయి:

ప్రాథమిక భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం మొత్తాలను కలిగి ఉన్నందున, బహుళ-అంతస్తుల భిన్నాలను వ్రాయడానికి నియమం స్వయంచాలకంగా గమనించబడుతుంది. అలాగే, చివరి ఉదాహరణలో, విభజనను నిర్వహించడానికి మేము ఉద్దేశపూర్వకంగా 46/1ని భిన్నం రూపంలో ఉంచాము.

రెండు ఉదాహరణలలో భిన్నం పట్టీ వాస్తవానికి కుండలీకరణాలను భర్తీ చేస్తుందని కూడా నేను గమనించాను: మొదటగా, మేము మొత్తాన్ని కనుగొన్నాము మరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే గుణకం.

రెండవ ఉదాహరణలో సరికాని భిన్నాలకు మారడం స్పష్టంగా అనవసరమని కొందరు చెబుతారు. బహుశా ఇది నిజం. కానీ ఇలా చేయడం ద్వారా మనం పొరపాట్లకు వ్యతిరేకంగా బీమా చేసుకుంటాము, ఎందుకంటే తదుపరిసారి ఉదాహరణ చాలా క్లిష్టంగా మారవచ్చు. మీ కోసం మరింత ముఖ్యమైనది ఎంచుకోండి: వేగం లేదా విశ్వసనీయత.

వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో అనుకూలమైన మరియు సరళమైన ఆన్‌లైన్ భిన్నం కాలిక్యులేటర్బహుశా:

• ఆన్‌లైన్‌లో భిన్నాలను జోడించండి, తీసివేయండి, గుణించండి మరియు విభజించండి,
• చిత్రంతో భిన్నాల యొక్క రెడీమేడ్ పరిష్కారాన్ని పొందండి మరియు దానిని సౌకర్యవంతంగా బదిలీ చేయండి.

భిన్నాలను పరిష్కరించే ఫలితం ఇక్కడ ఉంటుంది...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
భిన్నం గుర్తు "/" + - * :
_erase Clear
మా ఆన్‌లైన్ భిన్నం కాలిక్యులేటర్ శీఘ్ర ఇన్‌పుట్‌ను కలిగి ఉంది. భిన్నాలను పరిష్కరించడానికి, ఉదాహరణకు, కేవలం వ్రాయండి 1/2+2/7 కాలిక్యులేటర్‌లోకి వెళ్లి "ని నొక్కండి భిన్నాలను పరిష్కరించండి". కాలిక్యులేటర్ మీకు వ్రాస్తుంది భిన్నాల వివరణాత్మక పరిష్కారంమరియు జారీ చేస్తుంది సులభంగా కాపీ చేయగల చిత్రం.

కాలిక్యులేటర్‌లో వ్రాయడానికి ఉపయోగించే సంకేతాలు

ఆన్‌లైన్ భిన్నం కాలిక్యులేటర్ యొక్క లక్షణాలు

మీరు ప్రతికూల భిన్నాలను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంటే, మైనస్ లక్షణాలను ఉపయోగించండి. ప్రతికూల భిన్నాలను గుణించేటప్పుడు మరియు విభజించేటప్పుడు, మైనస్ ద్వారా మైనస్ ప్లస్ ఇస్తుంది. అంటే, ప్రతికూల భిన్నాల ఉత్పత్తి మరియు విభజన అదే సానుకూల వాటి యొక్క ఉత్పత్తి మరియు విభజనకు సమానం. గుణించేటప్పుడు లేదా విభజించేటప్పుడు ఒక భిన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటే, మైనస్‌ను తీసివేసి, ఆపై దాన్ని సమాధానానికి జోడించండి. ప్రతికూల భిన్నాలను జోడించినప్పుడు, మీరు అదే సానుకూల భిన్నాలను జోడిస్తే ఫలితం అదే విధంగా ఉంటుంది. మీరు ఒక ప్రతికూల భిన్నాన్ని జోడిస్తే, అదే సానుకూల భాగాన్ని తీసివేసేందుకు ఇది సమానం.
ప్రతికూల భిన్నాలను తీసివేసేటప్పుడు, వాటిని మార్చుకుని సానుకూలంగా చేసినట్లయితే ఫలితం అదే విధంగా ఉంటుంది. అంటే, ఈ సందర్భంలో మైనస్ బై మైనస్ ప్లస్‌ని ఇస్తుంది, కానీ నిబంధనలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం వల్ల మొత్తం మారదు. భిన్నాలను తీసివేసేటప్పుడు మేము అదే నియమాలను ఉపయోగిస్తాము, వాటిలో ఒకటి ప్రతికూలమైనది.

మిశ్రమ భిన్నాలను (మొత్తం భాగం వేరుచేయబడిన భిన్నాలు) పరిష్కరించడానికి, మొత్తం భాగాన్ని భిన్నంలోకి సరిపోల్చండి. దీన్ని చేయడానికి, మొత్తం భాగాన్ని హారం ద్వారా గుణించి, లవంకు జోడించండి.

మీరు ఆన్‌లైన్‌లో 3 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ భిన్నాలను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంటే, మీరు వాటిని ఒక్కొక్కటిగా పరిష్కరించాలి. మొదట, మొదటి 2 భిన్నాలను లెక్కించండి, ఆపై మీకు లభించే సమాధానంతో తదుపరి భిన్నాన్ని పరిష్కరించండి మరియు మొదలైనవి. ఆపరేషన్‌లను ఒక్కొక్కటిగా చేయండి, ఒకేసారి 2 భిన్నాలు చేయండి మరియు చివరికి మీరు సరైన సమాధానం పొందుతారు.