Dahil sa distribution function, hanapin ang probabilidad. Pag-asa ng tuluy-tuloy na random variable

4. Probability density ng tuluy-tuloy na random variable

Maaaring tukuyin ang tuluy-tuloy na random variable gamit ang distribution function F(x) . Ang pamamaraang ito ng pagtatalaga ay hindi lamang isa. Ang tuluy-tuloy na random na variable ay maaari ding tukuyin gamit ang isa pang function na tinatawag na distribution density o probability density (minsan tinatawag na differential function).

Kahulugan4.1: Distribution density ng tuluy-tuloy na random variable X tawagan ang function f (x) - ang unang derivative ng distribution function F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Mula sa kahulugang ito, sumusunod na ang function ng pamamahagi ay isang antiderivative ng density ng pamamahagi. Tandaan na ang density ng pamamahagi ay hindi naaangkop upang ilarawan ang probability distribution ng isang discrete random variable.

Probability ng isang tuluy-tuloy na random variable na bumabagsak sa isang naibigay na agwat

Alam ang density ng pamamahagi, maaari mong kalkulahin ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng isang halaga na kabilang sa isang naibigay na agwat.

Teorama: Ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random na variable X ay kukuha ng mga halaga na kabilang sa pagitan (a, b), ay katumbas ng isang tiyak na integral ng density ng pamamahagi, na kinuha sa hanay mula saadatib :

Patunay: Ginagamit namin ang ratio

P(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

Ayon sa formula ng Newton-Leibniz,

kaya,

.

kasi P(a ≤ X b)= P(a X b) , pagkatapos ay nakuha namin sa wakas

.

Sa geometriko, ang nakuha na resulta ay maaaring bigyang-kahulugan bilang mga sumusunod: ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng isang halaga na kabilang sa pagitan (a, b), katumbas ng lugar ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng axisbaka, kurba ng pamamahagif(x) at tuwidx = aAtx = b.

Komento: Sa partikular, kung f(x) – ang function ay pantay at ang mga dulo ng agwat ay simetriko na may kaugnayan sa pinagmulan, pagkatapos

.

Halimbawa. Ang probability density ng isang random variable ay ibinigay X

Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit X kukuha ng mga halagang kabilang sa pagitan (0.5, 1).

Solusyon: Kinakailangang posibilidad

.

Ang paghahanap ng function ng pamamahagi mula sa isang kilalang density ng pamamahagi

Pag-alam sa density ng pamamahagi f(x) , mahahanap natin ang function ng pamamahagi F(x) ayon sa pormula

.

Talaga, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

Kaya naman,

.

kaya, Alam ang density ng pamamahagi, mahahanap mo ang function ng pamamahagi. Siyempre, mula sa isang kilalang function ng pamamahagi ay mahahanap ng isa ang density ng pamamahagi, ibig sabihin:

f(x) = F"(x).

Halimbawa. Hanapin ang function ng pamamahagi para sa ibinigay na density ng pamamahagi:

Solusyon: Gamitin natin ang formula

Kung x ≤ a, Iyon f(x) = 0 , samakatuwid, F(x) = 0 . Kung a , pagkatapos f(x) = 1/(b-a),

kaya naman,

.

Kung x > b, Iyon

.

Kaya, ang kinakailangang function ng pamamahagi

Komento: Nakuha namin ang function ng pamamahagi ng isang pantay na ipinamamahagi na random na variable (tingnan ang pare-parehong pamamahagi).

Mga katangian ng density ng pamamahagi

Ari-arian 1: Ang density ng pamamahagi ay isang hindi negatibong function:

f ( x ) ≥ 0 .

Ari-arian 2: Ang hindi wastong integral ng density ng pamamahagi sa hanay mula -∞ hanggang ∞ ay katumbas ng pagkakaisa:

.

Komento: Tinatawag ang distribution density graph kurba ng pamamahagi.

Komento: Ang density ng pamamahagi ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay tinatawag ding batas sa pamamahagi.

Halimbawa. Ang density ng pamamahagi ng random variable ay may sumusunod na anyo:

Maghanap ng pare-parehong parameter a.

Solusyon: Ang densidad ng pamamahagi ay dapat matugunan ang kundisyon , kaya hihilingin namin na masiyahan ang pagkakapantay-pantay

.

Mula rito
. Hanapin natin ang hindi tiyak na integral:

.

Kalkulahin natin ang hindi wastong integral:

Kaya, ang kinakailangang parameter

.

Malamang na kahulugan ng density ng pamamahagi

Hayaan F(x) – distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable X. Sa pamamagitan ng kahulugan ng density ng pamamahagi, f(x) = F"(x) , o

Pagkakaiba F(x+∆x) -F(x) tinutukoy ang posibilidad na X kukuha ng halaga na kabilang sa pagitan (x, x+∆х). Kaya, ang limitasyon ng ratio ng posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng isang halaga na kabilang sa pagitan (x, x+∆х), hanggang sa haba ng agwat na ito (sa ∆х→0) ay katumbas ng halaga ng density ng pamamahagi sa punto X.

Kaya ang function f(x) tinutukoy ang probability distribution density para sa bawat punto X. Mula sa differential calculus ay nalalaman na ang pagtaas ng isang function ay humigit-kumulang katumbas ng differential ng function, i.e.

kasi F"(x) = f(x) At dx = ∆ x, Iyon F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

Ang probabilistikong kahulugan ng pagkakapantay-pantay na ito ay: ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga na kabilang sa pagitan (x, x+∆ x) ay humigit-kumulang katumbas ng produkto ng probability density sa punto x at ang haba ng interval ∆x.

Sa geometriko, ang resultang ito ay maaaring bigyang-kahulugan bilang mga sumusunod: ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga na kabilang sa pagitan (x, x+∆ x) ay humigit-kumulang katumbas ng lugar ng isang parihaba na may base ∆х at taasf(x).

5. Karaniwang distribusyon ng mga discrete random variable

5.1. Pamamahagi ng Bernoulli

Depinisyon5.1: Random na halaga X, pagkuha ng dalawang halaga 1 At 0 may mga probabilidad ("tagumpay") p at (“kabiguan”) q, tinawag Bernoullievskaya:

, saan k=0,1.

5.2. Binomial na pamamahagi

Hayaan itong mabuo n mga independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan ang kaganapan A maaaring lumitaw o hindi. Ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap sa lahat ng mga pagsubok ay pare-pareho at pantay p(kaya ang posibilidad na hindi mangyari q = 1 - p).

Isaalang-alang ang random variable X– bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa mga pagsubok na ito. Random na halaga X tumatagal ng mga halaga 0,1,2,… n na may mga probabilidad na kinakalkula gamit ang Bernoulli formula: , Saan k = 0,1,2,… n.

Kahulugan5.2: Binomial ay tinatawag na probability distribution na tinutukoy ng formula ni Bernoulli.

Halimbawa. Tatlong putok ang ipinutok sa target, at ang posibilidad na matamaan ang bawat putok ay 0.8. Isaalang-alang ang isang random na variable X– bilang ng mga hit sa target. Hanapin ang serye ng pamamahagi nito.

Solusyon: Random na halaga X tumatagal ng mga halaga 0,1,2,3 na may mga probabilidad na kinakalkula gamit ang Bernoulli formula, kung saan n = 3, p = 0,8 (posibilidad ng tama), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (probability ng nawawala).

Kaya, ang serye ng pamamahagi ay may sumusunod na anyo:

Gamitin ang formula ni Bernoulli para sa malalaking halaga n medyo mahirap, samakatuwid, upang kalkulahin ang kaukulang mga probabilidad, gamitin ang lokal na Laplace theorem, na nagbibigay-daan sa iyo upang humigit-kumulang na mahanap ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan nang eksakto. k isang beses bawat n mga pagsusulit, kung ang bilang ng mga pagsubok ay sapat na malaki.

Lokal na Laplace theorem: Kung ang posibilidad p paglitaw ng isang pangyayari A
na ang kaganapan A lalabas sa n eksaktong pagsusulit k beses, humigit-kumulang pantay (mas tumpak, mas n) halaga ng function
, saan
, .

Tandaan1: Mga talahanayan na naglalaman ng mga halaga ng function
, ay ibinigay sa Appendix 1, at
. Function ay ang density ng karaniwang normal na distribusyon (tingnan ang normal na distribusyon).

Halimbawa: Hanapin ang posibilidad na ang kaganapan A eksaktong darating 80 isang beses bawat 400 mga pagsubok kung ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapang ito sa bawat pagsubok ay katumbas ng 0,2.

Solusyon: Sa pamamagitan ng kondisyon n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Kalkulahin natin ang halaga na tinutukoy ng data ng gawain x:
. Mula sa talahanayan sa Appendix 1 makikita natin
. Kung gayon ang kinakailangang probabilidad ay magiging:

Kung kailangan mong kalkulahin ang posibilidad na ang isang kaganapan A lalabas sa n hindi bababa sa mga pagsubok k 1 minsan at hindi na k 2 beses, pagkatapos ay kailangan mong gamitin ang integral theorem ng Laplace:

integral theorem ni Laplace: Kung ang posibilidad p paglitaw ng isang pangyayari A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at naiiba mula sa zero at isa, pagkatapos ay ang posibilidad na ang kaganapan A lalabas sa n mga pagsubok mula sa k 1 dati k 2 beses, humigit-kumulang katumbas ng isang tiyak na integral

, saan
At
.

Sa madaling salita, ang posibilidad na ang isang kaganapan A lalabas sa n mga pagsubok mula sa k 1 dati k 2 beses, humigit-kumulang katumbas

saan
, At .

Tandaan 2: Function
tinatawag na Laplace function (tingnan ang normal na distribusyon). Mga talahanayan na naglalaman ng mga halaga ng function , ay ibinigay sa Appendix 2, at
.

Halimbawa: Hanapin ang posibilidad na kabilang sa 400 Ang mga random na napiling bahagi ay lalabas na hindi pa nasusubok mula 70 hanggang 100 bahagi, kung ang posibilidad na ang bahagi ay hindi pumasa sa inspeksyon ng kontrol sa kalidad ay katumbas ng 0,2.

Solusyon: Sa pamamagitan ng kondisyon n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Kalkulahin natin ang mas mababa at itaas na mga limitasyon ng pagsasama:

;
.

Kaya mayroon kaming:

Mula sa talahanayan sa Appendix 2 makikita natin iyon
At
. Kung gayon ang kinakailangang probabilidad ay:

Tandaan3: Sa isang serye ng mga independiyenteng pagsubok (kapag n ay malaki, p ay maliit), ang Poisson formula ay ginagamit upang kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap nang eksakto k beses (tingnan ang Poisson distribution).

5.3. Pamamahagi ng Poisson

Depinisyon5.3: Tinatawag ang isang discrete random variable Poisson, kung ang batas sa pamamahagi nito ay may sumusunod na anyo:

, saan
At
(patuloy na halaga).

Mga halimbawa ng Poisson random variable:

Bilang ng mga tawag sa isang awtomatikong istasyon sa loob ng isang yugto ng panahon T.

Ang bilang ng mga nabubulok na particle ng ilang radioactive substance sa loob ng isang yugto ng panahon T.

Bilang ng mga TV na dumarating sa workshop sa loob ng isang yugto ng panahon T sa malaking lungsod .

Bilang ng mga sasakyan na darating sa stop line ng isang intersection sa isang malaking lungsod .

Tandaan1: Ang mga espesyal na talahanayan para sa pagkalkula ng mga probabilidad na ito ay ibinibigay sa Appendix 3.

Tandaan 2: Sa isang serye ng mga independiyenteng pagsusulit (kung kailan n malaki, p ay hindi sapat) upang kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap nang eksakto k beses gamit ang formula ni Poisson:
, saan
, ibig sabihin, ang average na bilang ng mga paglitaw ng mga kaganapan ay nananatiling pare-pareho.

Tandaan3: Kung mayroong isang random na variable na ibinahagi ayon sa Poisson law, kung gayon mayroong isang random na variable na ipinamamahagi ayon sa exponential law at, vice versa (tingnan ang Exponential distribution).

Halimbawa. Ang halaman ay ipinadala sa base 5000 magandang kalidad ng mga produkto. Ang posibilidad na masira ang produkto sa pagpapadala ay katumbas ng 0,0002 . Hanapin ang posibilidad na eksaktong tatlong hindi magagamit na produkto ang darating sa base.

Solusyon: Sa pamamagitan ng kondisyon n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Hahanapin natin λ: λ = n.p.= 5000·0.0002 = 1.

Ayon sa Poisson formula, ang nais na posibilidad ay katumbas ng:

, nasaan ang random variable X– bilang ng mga hindi nagagamit na produkto.

5.4. Geometric na pamamahagi

Hayaang magsagawa ng mga independiyenteng pagsubok, kung saan ang posibilidad ng kaganapan ay maganap A katumbas ng p(0 p

q = 1 - p. Nagtatapos ang mga hamon sa sandaling lumitaw ang kaganapan A. Kaya, kung ang isang kaganapan A lumabas sa k-ika pagsubok, pagkatapos ay sa nakaraang k – 1 hindi ito lumitaw sa mga pagsubok.

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng X discrete random variable - ang bilang ng mga pagsubok na kailangang isagawa bago ang unang paglitaw ng kaganapan A. Malinaw, ang mga posibleng halaga X ay mga natural na numero x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Hayaan muna k-1 kaganapan sa pagsubok A hindi dumating, ngunit pumasok k- lumitaw ang ika-na pagsubok. Ang posibilidad ng "kumplikadong kaganapan" na ito, ayon sa teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan, P (X = k) = q k -1 p.

Depinisyon5.4: Ang isang discrete random variable ay may geometric na pamamahagi, kung ang batas sa pamamahagi nito ay may sumusunod na anyo:

P ( X = k ) = q k -1 p , saan
.

Tandaan1: Naniniwala k = 1,2,… , nakakakuha tayo ng geometric na pag-unlad sa unang termino p at denominador q (0q. Para sa kadahilanang ito, ang pamamahagi ay tinatawag na geometric.

Tandaan 2: hilera
nagtatagpo at ang kabuuan nito ay katumbas ng isa. Sa katunayan, ang kabuuan ng serye ay katumbas ng
.

Halimbawa. Ang baril ay pinaputok sa target hanggang sa gawin ang unang tama. Ang posibilidad ng pagtama ng target p = 0,6 . Hanapin ang posibilidad na magkaroon ng hit sa ikatlong shot.

Solusyon: Sa pamamagitan ng kondisyon p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Ang kinakailangang probabilidad ay:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0.6 = 0.096.

5.5. Hypergeometric distribution

Isaalang-alang natin ang sumusunod na problema. Ilabas ang party N magagamit ang mga produkto M pamantayan (MN). Random na kinuha mula sa batch n mga produkto (maaaring makuha ang bawat produkto na may parehong posibilidad), at ang napiling produkto ay hindi ibabalik sa batch bago piliin ang susunod (samakatuwid, ang Bernoulli formula ay hindi naaangkop dito).

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng X random variable - numero m karaniwang mga produkto sa n pinili. Pagkatapos ay ang mga posibleng halaga X ay magiging 0, 1, 2,…, min; Lagyan natin sila ng label at... Sa pamamagitan ng ang mga halaga ng independiyenteng variable (Fonds) ay gumagamit ng pindutan ( kabanata ...

Mga de-numerong katangian ng tuluy-tuloy na random na variable. Hayaang tukuyin ang tuluy-tuloy na random variable X ng distribution function f(x)

Hayaang ang isang tuluy-tuloy na random variable X ay matukoy ng distribution function f(x). Ipagpalagay natin na ang lahat ng posibleng halaga ng random variable ay kabilang sa segment [ a,b].

Kahulugan. Pag-asa sa matematika isang tuluy-tuloy na random na variable X, ang mga posibleng halaga na nabibilang sa segment , ay tinatawag na isang tiyak na integral

Kung ang mga posibleng halaga ng isang random na variable ay isinasaalang-alang sa buong numerical axis, kung gayon ang pag-asa sa matematika ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Sa kasong ito, siyempre, ipinapalagay na ang hindi wastong integral ay nagtatagpo.

Kahulugan. Pagkakaiba ng isang tuluy-tuloy na random variable ay ang matematikal na inaasahan ng parisukat ng paglihis nito.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa pagkakaiba-iba ng isang discrete random variable, upang praktikal na kalkulahin ang pagkakaiba, ang formula ay ginagamit:

Kahulugan. Karaniwang lihis tinatawag na square root ng variance.

Kahulugan. Fashion Ang M 0 ng isang discrete random variable ay tinatawag na pinakamalamang na halaga nito. Para sa tuluy-tuloy na random variable, ang mode ay ang halaga ng random variable kung saan ang density ng distribution ay may maximum.

Kung ang distribution polygon para sa isang discrete random variable o ang distribution curve para sa isang tuluy-tuloy na random variable ay may dalawa o higit pang maxima, kung gayon ang naturang distribution ay tinatawag na bimodal o multimodal. Kung ang isang pamamahagi ay may pinakamababa ngunit walang pinakamataas, kung gayon ito ay tinatawag antimodal.

Kahulugan. Median Ang M D ng isang random na variable na X ay ang halaga nito na may kaugnayan kung saan ito ay pantay na posibilidad na ang isang mas malaki o mas maliit na halaga ng random na variable ay makukuha.

Sa geometriko, ang median ay ang abscissa ng punto kung saan ang lugar na nililimitahan ng curve ng pamamahagi ay nahahati sa kalahati. Tandaan na kung unimodal ang pamamahagi, ang mode at median ay tumutugma sa inaasahan sa matematika.

Kahulugan. Ang panimulang sandali utos k Ang random variable X ay ang mathematical na inaasahan ng value X k.

Para sa isang discrete random variable: .

.

Ang paunang sandali ng unang pagkakasunud-sunod ay katumbas ng inaasahan sa matematika.

Kahulugan. Gitnang sandali utos k random variable X ay ang matematikal na inaasahan ng halaga

Para sa isang discrete random variable: .

Para sa tuluy-tuloy na random na variable: .

Ang unang pagkakasunud-sunod na gitnang sandali ay palaging zero, at ang pangalawang pagkakasunud-sunod na gitnang sandali ay katumbas ng pagpapakalat. Ang ikatlong-order na gitnang sandali ay nagpapakilala sa kawalaan ng simetrya ng pamamahagi.

Kahulugan. Ang ratio ng gitnang sandali ng ikatlong pagkakasunud-sunod sa karaniwang paglihis sa ikatlong kapangyarihan ay tinatawag koepisyent ng kawalaan ng simetrya.

Kahulugan. Upang makilala ang peakedness at flatness ng distribution, tinatawag ang isang quantity sobra.

Bilang karagdagan sa mga dami na isinasaalang-alang, ang tinatawag na ganap na mga sandali ay ginagamit din:

Ganap na panimulang sandali: . Ganap na gitnang punto: . Ang ganap na sentral na sandali ng unang pagkakasunud-sunod ay tinatawag arithmetic mean deviation.

Halimbawa. Para sa halimbawang tinalakay sa itaas, tukuyin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng random variable X.

Halimbawa. Mayroong 6 na puti at 4 na itim na bola sa isang urn. Ang isang bola ay tinanggal mula dito ng limang beses na sunud-sunod, at sa bawat oras na ang tinanggal na bola ay ibabalik at ang mga bola ay halo-halong. Isinasaalang-alang ang bilang ng mga nakuhang puting bola bilang random na variable X, gumawa ng batas sa pamamahagi para sa halagang ito, tukuyin ang mathematical na inaasahan at dispersion nito.

kasi ang mga bola sa bawat eksperimento ay ibinalik at pinaghalo, pagkatapos ay ang mga pagsusulit ay maaaring ituring na independyente (ang resulta ng nakaraang eksperimento ay hindi nakakaapekto sa posibilidad ng paglitaw o hindi paglitaw ng isang kaganapan sa isa pang eksperimento).

Kaya, ang posibilidad ng isang puting bola na lumitaw sa bawat eksperimento ay pare-pareho at katumbas ng

Kaya, bilang isang resulta ng limang magkakasunod na pagsubok, ang puting bola ay maaaring hindi lumitaw sa lahat, o lumitaw nang isang beses, dalawang beses, tatlo, apat o limang beses. Upang makabuo ng isang batas sa pamamahagi, kailangan mong hanapin ang mga probabilidad ng bawat isa sa mga kaganapang ito.

1) Ang puting bola ay hindi lumitaw sa lahat:

2) Isang beses na lumitaw ang puting bola:

3) Ang puting bola ay lilitaw nang dalawang beses: .

MGA RANDOM NA VARIABLE

Halimbawa 2.1. Random na halaga X ibinigay ng function ng pamamahagi

Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit X kukuha ng mga halagang nasa pagitan (2.5; 3.6).

Solusyon: X sa pagitan (2.5; 3.6) ay maaaring matukoy sa dalawang paraan:

Halimbawa 2.2. Sa anong mga halaga ng parameter A At SA function F(x) = A + Be - x ay maaaring maging function ng pamamahagi para sa mga di-negatibong halaga ng isang random na variable X.

Solusyon: Dahil ang lahat ng posibleng mga halaga ng random variable X nabibilang sa interval , pagkatapos ay upang ang function ay maging isang distribution function para sa X, dapat masiyahan ang ari-arian:

.

Sagot: .

Halimbawa 2.3. Ang random variable X ay tinukoy ng distribution function

Hanapin ang posibilidad na, bilang resulta ng apat na independiyenteng mga pagsubok, ang halaga X eksaktong 3 beses ang kukuha ng halagang kabilang sa pagitan (0.25;0.75).

Solusyon: Posibilidad ng pagtama ng isang halaga X sa pagitan (0.25; 0.75) nakita namin ang paggamit ng formula:

Halimbawa 2.4. Ang posibilidad na tumama ang bola sa basket ng isang shot ay 0.3. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga hit na may tatlong throw.

Solusyon: Random na halaga X– ang bilang ng mga hit sa basket na may tatlong shot – maaaring kunin ang mga sumusunod na halaga: 0, 1, 2, 3. Mga probabilidad na X

X:

Halimbawa 2.5. Dalawang tagabaril bawat isa ay nagpaputok ng isang putok sa isang target. Ang posibilidad na matamaan ito ng unang tagabaril ay 0.5, ang pangalawa - 0.4. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga hit sa isang target.

Solusyon: Hanapin natin ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X– bilang ng mga hit sa target. Hayaang ang kaganapan ay ang unang tagabaril na tumama sa target, at hayaan ang pangalawang tagabaril na tumama sa target, at maging kanilang mga miss, ayon sa pagkakabanggit.

Buuin natin ang batas ng probability distribution ng SV X:

Halimbawa 2.6. Tatlong elemento ang nasubok, na gumagana nang nakapag-iisa sa isa't isa. Ang tagal ng oras (sa mga oras) ng walang kabiguan na operasyon ng mga elemento ay may function ng density ng pamamahagi: para sa una: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, para sa pangalawa: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, para sa pangatlo: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Hanapin ang posibilidad na sa pagitan ng oras mula 0 hanggang 5 oras: isang elemento lamang ang mabibigo; dalawang elemento lamang ang mabibigo; lahat ng tatlong elemento ay mabibigo.

Solusyon: Gamitin natin ang kahulugan ng probability generating function:

Ang posibilidad na sa mga independiyenteng pagsubok, sa una kung saan ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap A katumbas ng , sa pangalawa, atbp., kaganapan A lilitaw nang eksaktong isang beses, katumbas ng koepisyent sa pagpapalawak ng pagbuo ng function sa mga kapangyarihan ng . Hanapin natin ang mga probabilidad ng pagkabigo at hindi pagkabigo, ayon sa pagkakabanggit, ng una, pangalawa at pangatlong elemento sa pagitan ng oras mula 0 hanggang 5 oras:

Gumawa tayo ng generating function:

Ang coefficient at ay katumbas ng posibilidad na ang kaganapan A lilitaw nang eksaktong tatlong beses, iyon ay, ang posibilidad ng pagkabigo ng lahat ng tatlong elemento; ang koepisyent sa ay katumbas ng posibilidad na eksaktong dalawang elemento ang mabibigo; ang coefficient at ay katumbas ng posibilidad na isang elemento lamang ang mabibigo.

Halimbawa 2.7. Dahil sa probability density f(x)random variable X:

Hanapin ang distribution function na F(x).

Solusyon: Ginagamit namin ang formula:

.

Kaya, ang pag-andar ng pamamahagi ay mukhang:

Halimbawa 2.8. Ang aparato ay binubuo ng tatlong independiyenteng mga elemento ng operating. Ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento sa isang eksperimento ay 0.1. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento.

Solusyon: Random na halaga X– ang bilang ng mga elementong nabigo sa isang eksperimento – ay maaaring kunin ang mga sumusunod na halaga: 0, 1, 2, 3. Mga probabilidad na X kinukuha ang mga halagang ito, nakita namin ang paggamit ng formula ni Bernoulli:

Kaya, nakukuha natin ang sumusunod na batas ng probability distribution ng isang random variable X:

Halimbawa 2.9. Sa isang batch ng 6 na bahagi mayroong 4 na karaniwang mga. 3 bahagi ang napili nang random. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga karaniwang bahagi sa mga napili.

Solusyon: Random na halaga X– ang bilang ng mga karaniwang bahagi sa mga napili – maaaring kunin ang mga sumusunod na halaga: 1, 2, 3 at mayroong hypergeometric distribution. Mga probabilidad na X

saan -- bilang ng mga bahagi sa batch;

-- bilang ng mga karaniwang bahagi sa isang batch;

– bilang ng mga napiling bahagi;

-- bilang ng mga karaniwang bahagi sa mga napili.

.

.

.

Halimbawa 2.10. Ang random na variable ay may density ng pamamahagi

at hindi kilala, ngunit , a at . Hanapin at.

Solusyon: Sa kasong ito, ang random variable X ay may tatsulok na distribusyon (Simpson distribution) sa pagitan [ a, b]. Mga katangiang pang-numero X:

Kaya naman, . Sa paglutas ng sistemang ito, nakakakuha tayo ng dalawang pares ng mga halaga: . Dahil, ayon sa mga kondisyon ng problema, sa wakas ay mayroon tayong: .

Sagot: .

Halimbawa 2.11. Sa karaniwan, sa ilalim ng 10% ng mga kontrata, ang kompanya ng seguro ay nagbabayad ng mga halaga ng seguro na may kaugnayan sa paglitaw ng isang nakasegurong kaganapan. Kalkulahin ang mathematical na inaasahan at pagpapakalat ng bilang ng naturang mga kontrata sa apat na random na pinili.

Solusyon: Ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ay matatagpuan gamit ang mga formula:

.

Mga posibleng halaga ng SV (bilang ng mga kontrata (sa apat) na may paglitaw ng isang nakaseguro na kaganapan): 0, 1, 2, 3, 4.

Ginagamit namin ang formula ni Bernoulli upang kalkulahin ang mga probabilidad ng iba't ibang bilang ng mga kontrata (sa apat) kung saan binayaran ang mga halaga ng insurance:

.

Ang serye ng pamamahagi ng IC (ang bilang ng mga kontrata na may kaganapan ng isang nakasegurong kaganapan) ay may anyo:

Sagot: , .

Halimbawa 2.12. Sa limang rosas, dalawa ang puti. Gumuhit ng batas ng pamamahagi ng isang random na variable na nagpapahayag ng bilang ng mga puting rosas sa dalawang sabay na kinuha.

Solusyon: Sa isang seleksyon ng dalawang rosas, maaaring walang puting rosas, o maaaring may isa o dalawang puting rosas. Samakatuwid, ang random variable X maaaring kumuha ng mga halaga: 0, 1, 2. Mga probabilidad na X kinukuha ang mga halagang ito, nahanap namin ito gamit ang formula:

saan -- bilang ng mga rosas;

-- bilang ng mga puting rosas;

– bilang ng mga rosas na kinuha sa parehong oras;

-- ang bilang ng mga puting rosas sa mga kinuha.

.

.

.

Kung gayon ang batas ng pamamahagi ng random variable ay ang mga sumusunod:

Halimbawa 2.13. Kabilang sa 15 na pinagsama-samang mga yunit, 6 ang nangangailangan ng karagdagang pagpapadulas. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga yunit na nangangailangan ng karagdagang pagpapadulas sa limang random na pinili mula sa kabuuang bilang.

Solusyon: Random na halaga X– ang bilang ng mga yunit na nangangailangan ng karagdagang pagpapadulas sa limang napili – maaaring kunin ang mga sumusunod na halaga: 0, 1, 2, 3, 4, 5 at may hypergeometric distribution. Mga probabilidad na X kinukuha ang mga halagang ito, nahanap namin ito gamit ang formula:

saan -- bilang ng mga naka-assemble na yunit;

-- ang bilang ng mga yunit na nangangailangan ng karagdagang pagpapadulas;

– bilang ng mga napiling yunit;

-- ang bilang ng mga yunit na nangangailangan ng karagdagang pagpapadulas sa mga napili.

.

.

.

.

.

.

Kung gayon ang batas ng pamamahagi ng random variable ay ang mga sumusunod:

Halimbawa 2.14. Sa 10 relo na natanggap para sa pagkumpuni, 7 ang nangangailangan ng pangkalahatang paglilinis ng mekanismo. Ang mga relo ay hindi pinagsunod-sunod ayon sa uri ng pagkukumpuni. Ang master, na nagnanais na makahanap ng mga relo na nangangailangan ng paglilinis, ay sinusuri ang mga ito nang isa-isa at, nang natagpuan ang gayong mga relo, huminto sa karagdagang pagtingin. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba-iba ng bilang ng mga oras na pinanood.

Solusyon: Random na halaga X– ang bilang ng mga yunit na nangangailangan ng karagdagang pagpapadulas sa limang napili – maaaring kunin ang mga sumusunod na halaga: 1, 2, 3, 4. Mga probabilidad na X kinukuha ang mga halagang ito, nahanap namin ito gamit ang formula:

.

.

.

.

Kung gayon ang batas ng pamamahagi ng random variable ay ang mga sumusunod:

Ngayon kalkulahin natin ang mga numerical na katangian ng dami:

Sagot: , .

Halimbawa 2.15. Nakalimutan ng subscriber ang huling digit ng numero ng telepono na kailangan niya, ngunit naaalala niyang kakaiba ito. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba-iba ng dami ng beses na nag-dial siya ng numero ng telepono bago maabot ang gustong numero, kung random niyang ida-dial ang huling digit at pagkatapos ay hindi niya ida-dial ang na-dial na digit.

Solusyon: Maaaring kunin ng random na variable ang mga sumusunod na halaga: . Dahil ang subscriber ay hindi nag-dial ng na-dial na digit sa hinaharap, ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay pantay.

Bumuo tayo ng isang serye ng pamamahagi ng isang random na variable:

Kalkulahin natin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba-iba ng bilang ng mga pagtatangka sa pag-dial:

Sagot: , .

Halimbawa 2.16. Ang posibilidad ng pagkabigo sa panahon ng pagsubok sa pagiging maaasahan para sa bawat aparato sa serye ay katumbas ng p. Tukuyin ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga device na nabigo kung sinubukan ang mga ito N mga device.

Solusyon: Ang discrete random variable X ay ang bilang ng mga nabigong device N mga independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng pagkabigo ay pantay p, ipinamahagi ayon sa binomial na batas. Ang mathematical na inaasahan ng isang binomial distribution ay katumbas ng bilang ng mga pagsubok na pinarami ng posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa isang pagsubok:

Halimbawa 2.17. Discrete random variable X tumatagal ng 3 posibleng halaga: may posibilidad ; may posibilidad at may posibilidad. Hanapin at , alam na M( X) = 8.

Solusyon: Ginagamit namin ang mga kahulugan ng mathematical expectation at ang distribution law ng isang discrete random variable:

Nakikita namin ang: .

Halimbawa 2.18. Sinusuri ng departamento ng teknikal na kontrol ang mga produkto para sa pagiging pamantayan. Ang posibilidad na ang produkto ay pamantayan ay 0.9. Ang bawat batch ay naglalaman ng 5 produkto. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable X– ang bilang ng mga batch, ang bawat isa ay naglalaman ng eksaktong 4 na karaniwang produkto, kung 50 batch ang sasailalim sa inspeksyon.

Solusyon: Sa kasong ito, ang lahat ng mga eksperimento na isinagawa ay independyente, at ang mga probabilidad na ang bawat batch ay naglalaman ng eksaktong 4 na karaniwang mga produkto ay pareho, samakatuwid, ang matematikal na inaasahan ay maaaring matukoy ng formula:

,

saan ang bilang ng mga partido;

Ang posibilidad na ang isang batch ay naglalaman ng eksaktong 4 na karaniwang produkto.

Nahanap namin ang posibilidad gamit ang formula ni Bernoulli:

Sagot: .

Halimbawa 2.19. Hanapin ang pagkakaiba ng isang random na variable X– bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa dalawang independyenteng pagsubok, kung ang mga probabilidad ng paglitaw ng isang kaganapan sa mga pagsubok na ito ay pareho at alam na M(X) = 0,9.

Solusyon: Ang problema ay maaaring malutas sa dalawang paraan.

1) Mga posibleng halaga ng SV X: 0, 1, 2. Gamit ang Bernoulli formula, tinutukoy namin ang mga probabilidad ng mga kaganapang ito:

, , .

Tapos yung distribution law X ay may anyo:

Mula sa kahulugan ng inaasahan sa matematika, tinutukoy namin ang posibilidad:

Hanapin natin ang dispersion ng SV X:

.

2) Maaari mong gamitin ang formula:

.

Sagot: .

Halimbawa 2.20. Pag-asa at karaniwang paglihis ng isang karaniwang ibinahagi na random na variable X ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng 20 at 5. Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsubok X kukunin ang halagang nakapaloob sa pagitan (15; 25).

Solusyon: Probability ng pagpindot sa isang normal na random variable X sa seksyon mula hanggang ay ipinahayag sa pamamagitan ng Laplace function:

Halimbawa 2.21. Ibinigay na function:

Sa anong halaga ng parameter C ang function na ito ay ang distribution density ng ilang tuluy-tuloy na random variable X? Hanapin ang mathematical expectation at variance ng isang random variable X.

Solusyon: Upang ang isang function ay maging densidad ng pamamahagi ng ilang random na variable, dapat itong hindi negatibo, at dapat itong matugunan ang katangian:

.

Kaya naman:

Kalkulahin natin ang inaasahan sa matematika gamit ang formula:

.

Kalkulahin natin ang pagkakaiba-iba gamit ang formula:

T ay pantay p. Kinakailangang hanapin ang mathematical expectation at variance ng random variable na ito.

Solusyon: Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X - ang bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa mga independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng kaganapan na naganap ay katumbas ng , ay tinatawag na binomial. Ang mathematical na inaasahan ng binomial distribution ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok at ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa isang pagsubok:

.

Halimbawa 2.25. Tatlong independyenteng putok ang pinaputok sa target. Ang posibilidad na matamaan ang bawat shot ay 0.25. Tukuyin ang standard deviation ng bilang ng mga hit na may tatlong shot.

Solusyon: Dahil ang tatlong independiyenteng pagsubok ay isinasagawa, at ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A (isang hit) sa bawat pagsubok ay pareho, ipagpalagay namin na ang discrete random variable X - ang bilang ng mga hit sa target - ay ibinahagi ayon sa batas binomial.

Ang pagkakaiba ng binomial distribution ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok at ang posibilidad ng paglitaw at hindi paglitaw ng isang kaganapan sa isang pagsubok:

Halimbawa 2.26. Ang karaniwang bilang ng mga kliyenteng bumibisita sa isang kompanya ng seguro sa loob ng 10 minuto ay tatlo. Hanapin ang posibilidad na may dumating man lang na isang kliyente sa susunod na 5 minuto.

Average na bilang ng mga kliyenteng darating sa loob ng 5 minuto: . .

Halimbawa 2.29. Ang oras ng paghihintay para sa isang application sa processor queue ay sumusunod sa exponential distribution law na may average na halaga na 20 segundo. Hanapin ang posibilidad na ang susunod na (random) na kahilingan ay maghintay sa processor nang higit sa 35 segundo.

Solusyon: Sa halimbawang ito, ang pag-asa sa matematika , at ang rate ng pagkabigo ay katumbas ng .

Pagkatapos ang nais na posibilidad:

Halimbawa 2.30. Isang grupo ng 15 mag-aaral ang nagdaraos ng pulong sa isang bulwagan na may 20 hilera ng 10 upuan bawat isa. Ang bawat mag-aaral ay pumupunta sa bulwagan nang random. Ano ang posibilidad na hindi hihigit sa tatlong tao ang nasa ikapitong lugar ng row?

Solusyon:

Halimbawa 2.31.

Pagkatapos, ayon sa klasikal na kahulugan ng posibilidad:

saan -- bilang ng mga bahagi sa batch;

-- bilang ng mga hindi karaniwang bahagi sa batch;

– bilang ng mga napiling bahagi;

-- bilang ng mga hindi karaniwang bahagi sa mga napili.

Kung gayon ang batas ng pamamahagi ng random variable ay ang mga sumusunod.

Hindi tulad ng isang discrete random variable, ang tuluy-tuloy na random variable ay hindi maaaring tukuyin sa anyo ng isang talahanayan ng batas ng pamamahagi nito dahil imposibleng ilista at isulat ang lahat ng mga halaga nito sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ang isang posibleng paraan upang tukuyin ang tuluy-tuloy na random na variable ay ang paggamit ng distribution function.

DEPINISYON. Ang distribution function ay isang function na tumutukoy sa posibilidad na ang isang random variable ay kukuha ng value na kinakatawan sa number axis sa pamamagitan ng isang point na nakahiga sa kaliwa ng point x, i.e.

Minsan sa halip na ang terminong "Distribution function" ang terminong "Integral function" ang ginagamit.

Mga katangian ng function ng pamamahagi:

1. Ang mga value ng distribution function ay nabibilang sa segment: 0F(x)1
2. Ang F(x) ay isang hindi bumababa na function, i.e. F(x 2)F(x 1), kung x 2 >x 1

Corollary 1. Ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga na nasa pagitan (a,b) ay katumbas ng pagtaas ng function ng pamamahagi sa pagitan na ito:

P(aX

Halimbawa 9. Ang random na variable X ay ibinibigay ng distribution function:

Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit ay kukuha ng halaga ang X na kabilang sa pagitan (0;2): P(0

Solusyon: Dahil sa pagitan (0;2) ayon sa kundisyon, F(x)=x/4+1/4, pagkatapos ay F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Kaya P(0

Corollary 2. Ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random variable X ay kukuha ng isang partikular na halaga ay zero.

Corollary 3. Kung ang mga posibleng halaga ng isang random na variable ay nabibilang sa pagitan (a;b), kung gayon: 1) F(x)=0 para sa xa; 2) F(x)=1 sa xb.
Ang mga sumusunod na ugnayan sa limitasyon ay wasto:

Ang graph ng distribution function ay matatagpuan sa band na limitado ng mga tuwid na linya y=0, y=1 (unang property). Habang tumataas ang x sa pagitan (a;b), na naglalaman ng lahat ng posibleng halaga ng random variable, ang graph ay "tumataas". Sa xa, ang mga ordinate ng graph ay katumbas ng zero; sa xb ang mga ordinate ng graph ay katumbas ng isa:

Larawan 1

Halimbawa 10. Ang isang discrete random variable X ay ibinibigay ng isang talahanayan ng pamamahagi:

Hanapin ang function ng pamamahagi at i-plot ito.
Solusyon: Ang function ng pamamahagi ay maaaring isulat nang analytical tulad ng sumusunod:

Figure 2

DEFINISYON: Ang probability distribution density ng tuluy-tuloy na random variable X ay ang function f(x) - ang unang derivative ng distribution function F(x): f(x)=F"(x)

Mula sa kahulugang ito, sumusunod na ang function ng pamamahagi ay isang antiderivative ng density ng pamamahagi.

Teorama. Ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random na variable X ay kukuha ng isang halaga na kabilang sa pagitan (a;b) ay katumbas ng isang tiyak na integral ng density ng pamamahagi, na kinuha sa hanay mula a hanggang b:

(8)

Mga katangian ng probability density distribution:

1. Ang probability density ay isang non-negative na function: f(x)0.
2. Ang tiyak na integral mula -∞ hanggang +∞ ng probability density ng tuluy-tuloy na random variable ay katumbas ng 1: f(x)dx=1.
3. Ang tiyak na integral mula -∞ hanggang x ng probability density ng isang tuluy-tuloy na random variable ay katumbas ng distribution function ng variable na ito: f(x)dx=F(x)

Halimbawa 11. Ang probability distribution density ng isang random variable X ay ibinigay

Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit ay kukuha ng halaga ang X na kabilang sa pagitan (0.5;1).

Solusyon: Kinakailangang posibilidad:

Palawakin natin ang kahulugan ng mga numerical na katangian ng mga discrete quantity sa tuluy-tuloy na dami. Hayaang ang isang tuluy-tuloy na random na variable X ay matukoy ng density ng pamamahagi f(x).

DEPINISYON. Ang pag-asa sa matematika ng isang tuluy-tuloy na random na variable X, ang mga posibleng halaga na nabibilang sa segment , ay tinatawag na isang tiyak na integral:

M(x)=xf(x)dx (9)

Kung ang mga posibleng halaga ay kabilang sa buong axis ng Ox, kung gayon:

M(x)=xf(x)dx (10)

Ang mode M 0 (X) ng isang tuluy-tuloy na random na variable X ay ang posibleng halaga nito kung saan tumutugma ang lokal na maximum ng density ng pamamahagi.

Ang median M e (X) ng isang tuluy-tuloy na random na variable X ay ang posibleng halaga nito, na tinutukoy ng pagkakapantay-pantay:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

DEPINISYON. Ang pagkakaiba ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay ang matematikal na inaasahan ng parisukat ng paglihis nito. Kung ang mga posibleng halaga ng X ay nabibilang sa segment , kung gayon:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
o
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Kung ang mga posibleng halaga ay kabilang sa buong x-axis, kung gayon.

Pagpapakalat tuluy-tuloy na random na variable X, ang mga posibleng halaga na nabibilang sa buong axis ng Ox, ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay:

Layunin ng serbisyo. Ang online na calculator ay idinisenyo upang malutas ang mga problema kung saan ang alinman density ng pamamahagi f(x) o distribution function F(x) (tingnan ang halimbawa). Kadalasan sa mga ganitong gawain kailangan mong hanapin mathematical expectation, standard deviation, plot graphs ng mga function f(x) at F(x).

Mga tagubilin. Piliin ang uri ng source data: distribution density f(x) o distribution function F(x).

Ang density ng pamamahagi f(x) ay ibinibigay:

Ang distribution function na F(x) ay ibinigay:

Ang tuluy-tuloy na random na variable ay tinukoy ng probability density
(Batas sa pamamahagi ng Rayleigh - ginagamit sa engineering ng radyo). Hanapin ang M(x) , D(x) .

Ang random variable X ay tinatawag tuloy-tuloy , kung ang function ng pamamahagi nito F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Ang distribution function ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay ginagamit upang kalkulahin ang posibilidad ng isang random na variable na bumabagsak sa isang ibinigay na pagitan:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Bukod dito, para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, hindi mahalaga kung ang mga hangganan nito ay kasama sa agwat na ito o hindi:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densidad ng pamamahagi Ang tuluy-tuloy na random variable ay tinatawag na function
f(x)=F’(x) , derivative ng distribution function.

Mga katangian ng density ng pamamahagi