Mga pagpapahayag ng kapangyarihan (mga ekspresyong may kapangyarihan) at ang kanilang pagbabago. Numeric, alphabetic at variable na expression: mga kahulugan, mga halimbawa Proteksyon ng personal na impormasyon

Ang literal na expression (o variable expression) ay isang mathematical expression na binubuo ng mga numero, titik, at mathematical na simbolo. Halimbawa, literal ang sumusunod na expression:

a+b+4

Gamit ang mga alphabetic expression maaari kang sumulat ng mga batas, formula, equation at function. Ang kakayahang manipulahin ang mga expression ng titik ay ang susi sa mabuting kaalaman sa algebra at mas mataas na matematika.

Anumang seryosong problema sa matematika ay bumababa sa paglutas ng mga equation. At upang malutas ang mga equation, kailangan mong makapagtrabaho sa mga literal na expression.

Upang gumana sa mga literal na expression, kailangan mong maging mahusay sa mga pangunahing aritmetika: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, mga pangunahing batas ng matematika, mga fraction, mga operasyon na may mga fraction, mga proporsyon. At hindi lang basta mag-aral, kundi intindihin ng maigi.

Mga variable

Ang mga titik na nakapaloob sa mga literal na pagpapahayag ay tinatawag mga variable. Halimbawa, sa expression a+b+ 4 na variable ay mga titik a At b. Kung papalitan natin ang anumang mga numero sa halip ng mga variable na ito, pagkatapos ay ang literal na expression a+b+ 4 ay magiging isang numerical expression na ang halaga ay makikita.

Tinatawag ang mga numerong pinapalitan ng mga variable mga halaga ng mga variable. Halimbawa, baguhin natin ang mga halaga ng mga variable a At b. Ang equal sign ay ginagamit upang baguhin ang mga halaga

a = 2, b = 3

Binago namin ang mga halaga ng mga variable a At b. Variable a nagtalaga ng halaga 2 , variable b nagtalaga ng halaga 3 . Bilang resulta, ang literal na pagpapahayag a+b+4 nagiging regular na numeric na expression 2+3+4 na ang halaga ay matatagpuan:

Kapag ang mga variable ay pinarami, ang mga ito ay isinusulat nang magkasama. Halimbawa, itala ab pareho ang ibig sabihin ng entry a×b. Kung papalitan natin ang mga variable a At b numero 2 At 3 , pagkatapos ay makakakuha tayo ng 6

Maaari mo ring isulat nang magkasama ang multiplikasyon ng isang numero sa pamamagitan ng isang expression sa panaklong. Halimbawa, sa halip na a×(b + c) maaaring isulat a(b + c). Ang paglalapat ng batas ng pamamahagi ng multiplikasyon, nakukuha natin a(b + c)=ab+ac.

Odds

Sa literal na mga expression madalas kang makakahanap ng notasyon kung saan ang isang numero at isang variable ay nakasulat nang magkasama, halimbawa 3a. Ito ay talagang isang shorthand para sa pagpaparami ng numero 3 sa isang variable. a at mukhang ang entry na ito 3×a .

Sa madaling salita, ang expression 3a ay ang produkto ng bilang 3 at ang variable a. Numero 3 sa gawaing ito ang tawag nila koepisyent. Ipinapakita ng koepisyent na ito kung gaano karaming beses tataas ang variable a. Ang ekspresyong ito ay mababasa bilang " a tatlong beses" o "tatlong beses A", o "pataasin ang halaga ng isang variable a tatlong beses", ngunit kadalasang binabasa bilang "tatlo a«

Halimbawa, kung ang variable a katumbas ng 5 , pagkatapos ay ang halaga ng expression 3a ay magiging katumbas ng 15.

3 × 5 = 15

Sa simpleng mga termino, ang koepisyent ay ang numero na lumilitaw bago ang titik (bago ang variable).

Maaaring may ilang mga titik, halimbawa 5abc. Narito ang koepisyent ay ang numero 5 . Ang koepisyent na ito ay nagpapakita na ang produkto ng mga variable abc tumataas ng limang beses. Ang ekspresyong ito ay mababasa bilang " abc limang beses" o "pataasin ang halaga ng expression abc limang beses" o "lima abc «.

Kung sa halip na mga variable abc palitan ang mga numero 2, 3 at 4, pagkatapos ay ang halaga ng expression 5abc magiging pantay 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Maaari mong isipin kung paano unang pinarami ang mga numero 2, 3 at 4, at ang nagresultang halaga ay tumaas ng limang beses:

Ang tanda ng koepisyent ay tumutukoy lamang sa koepisyent at hindi nalalapat sa mga variable.

Isaalang-alang ang ekspresyon −6b. Minus bago ang koepisyent 6 , nalalapat lamang sa koepisyent 6 , at hindi kabilang sa variable b. Ang pag-unawa sa katotohanang ito ay magpapahintulot sa iyo na huwag magkamali sa hinaharap na may mga palatandaan.

Hanapin natin ang halaga ng expression −6b sa b = 3.

−6b −6×b. Para sa kalinawan, isulat natin ang expression −6b sa pinalawak na anyo at palitan ang halaga ng variable b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression −6b sa b = −5

Isulat natin ang ekspresyon −6b sa pinalawak na anyo

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Halimbawa 3. Hanapin ang halaga ng isang expression −5a+b sa a = 3 At b = 2

−5a+b ito ay isang maikling anyo para sa −5 × a + b, kaya para sa kalinawan isinusulat namin ang expression −5×a+b sa pinalawak na anyo at palitan ang mga halaga ng mga variable a At b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Minsan ang mga titik ay isinusulat nang walang koepisyent, halimbawa a o ab. Sa kasong ito, ang koepisyent ay pagkakaisa:

ngunit tradisyonal na ang yunit ay hindi nakasulat, kaya sila ay sumusulat lamang a o ab

Kung mayroong isang minus bago ang titik, kung gayon ang koepisyent ay isang numero −1 . Halimbawa, ang expression −a actually mukhang −1a. Ito ang produkto ng minus one at ang variable a. Ito ay naging ganito:

−1 × a = −1a

May maliit na catch dito. Sa pagpapahayag −a minus sign sa harap ng variable a aktwal na tumutukoy sa isang "invisible unit" sa halip na isang variable a. Samakatuwid, dapat kang maging maingat sa paglutas ng mga problema.

Halimbawa, kung bibigyan ng expression −a at hinihiling sa amin na hanapin ang halaga nito sa a = 2, pagkatapos ay sa paaralan ay nagpalit kami ng dalawa sa halip na isang variable a at nakatanggap ng sagot −2 , nang hindi masyadong nakatuon sa kung paano ito naging resulta. Sa katunayan, ang minus one ay pinarami ng positibong numero 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Kung bibigyan ng ekspresyon −a at kailangan mong hanapin ang halaga nito sa a = −2, pagkatapos ay pinapalitan namin −2 sa halip na isang variable a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Upang maiwasan ang mga pagkakamali, sa una ang mga hindi nakikitang yunit ay maaaring isulat nang tahasan.

Halimbawa 4. Hanapin ang halaga ng isang expression abc sa a=2 , b=3 At c=4

Pagpapahayag abc 1×a×b×c. Para sa kalinawan, isulat natin ang expression abc a, b At c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Halimbawa 5. Hanapin ang halaga ng isang expression abc sa a=−2 , b=−3 At c=−4

Isulat natin ang ekspresyon abc sa pinalawak na anyo at palitan ang mga halaga ng mga variable a, b At c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Halimbawa 6. Hanapin ang halaga ng isang expression − abc sa a=3 , b=5 at c=7

Pagpapahayag − abc ito ay isang maikling anyo para sa −1×a×b×c. Para sa kalinawan, isulat natin ang expression − abc sa pinalawak na anyo at palitan ang mga halaga ng mga variable a, b At c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Halimbawa 7. Hanapin ang halaga ng isang expression − abc sa a=−2 , b=−4 at c=−3

Isulat natin ang ekspresyon − abc sa pinalawak na anyo:

−abc = −1 × a × b × c

Palitan natin ang mga halaga ng mga variable a , b At c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Paano matukoy ang koepisyent

Minsan kailangan mong lutasin ang isang problema kung saan kailangan mong matukoy ang koepisyent ng isang expression. Sa prinsipyo, ang gawaing ito ay napaka-simple. Ito ay sapat na upang makapag-multiply ng mga numero nang tama.

Upang matukoy ang koepisyent sa isang expression, kailangan mong hiwalay na i-multiply ang mga numero na kasama sa expression na ito at hiwalay na i-multiply ang mga titik. Ang resultang numerical factor ay ang coefficient.

Halimbawa 1. 7m×5a×(−3)×n

Ang expression ay binubuo ng ilang mga kadahilanan. Malinaw itong makikita kung isusulat mo ang expression sa pinalawak na anyo. Ibig sabihin, gumagana 7m At 5a isulat ito sa anyo 7×m At 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Ilapat natin ang nag-uugnay na batas ng multiplikasyon, na nagbibigay-daan sa iyong paramihin ang mga salik sa anumang pagkakasunud-sunod. Ibig sabihin, hiwalay naming i-multiply ang mga numero at hiwalay na i-multiply ang mga titik (mga variable):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Ang koepisyent ay −105 . Matapos makumpleto, ipinapayong ayusin ang bahagi ng titik sa pagkakasunud-sunod ng alpabeto:

−105am

Halimbawa 2. Tukuyin ang coefficient sa expression: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Ang koepisyent ay 6.

Halimbawa 3. Tukuyin ang coefficient sa expression:

I-multiply natin ang mga numero at titik nang hiwalay:

Ang koepisyent ay −1. Pakitandaan na ang yunit ay hindi naisulat, dahil kaugalian na hindi isulat ang koepisyent 1.

Ang mga tila pinakasimpleng gawain ay maaaring gumanap ng isang napakalupit na biro sa atin. Madalas na lumalabas na ang tanda ng koepisyent ay naitakda nang hindi tama: alinman ang minus ay nawawala o, sa kabaligtaran, ito ay itinakda nang walang kabuluhan. Upang maiwasan ang mga nakakainis na pagkakamali, dapat itong pag-aralan sa isang mahusay na antas.

Addends sa literal na mga expression

Kapag nagdadagdag ng ilang mga numero, ang kabuuan ng mga numerong ito ay nakuha. Ang mga numerong nagdaragdag ay tinatawag na mga addend. Maaaring may ilang termino, halimbawa:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Kapag ang isang expression ay binubuo ng mga termino, mas madaling suriin dahil mas madali ang pagdaragdag kaysa pagbabawas. Ngunit ang expression ay maaaring maglaman ng hindi lamang karagdagan, kundi pati na rin ang pagbabawas, halimbawa:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Sa expression na ito, ang mga numero 3 at 5 ay subtrahends, hindi addends. Ngunit walang pumipigil sa amin na palitan ang pagbabawas ng karagdagan. Pagkatapos ay muli tayong nakakakuha ng isang expression na binubuo ng mga termino:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Hindi mahalaga na ang mga numerong −3 at −5 ay mayroon na ngayong minus sign. Ang pangunahing bagay ay ang lahat ng mga numero sa expression na ito ay konektado sa pamamagitan ng isang tanda ng karagdagan, iyon ay, ang expression ay isang kabuuan.

Parehong expression 1 + 2 − 3 + 4 − 5 At 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) katumbas ng parehong halaga - minus one

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Kaya, ang kahulugan ng expression ay hindi magdurusa kung papalitan natin ang pagbabawas ng karagdagan sa isang lugar.

Maaari mo ring palitan ang pagbabawas ng karagdagan sa mga literal na expression. Halimbawa, isaalang-alang ang sumusunod na expression:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Para sa anumang mga halaga ng mga variable a B C D At s mga ekspresyon 7a + 6b − 3c + 2d − 4s At 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) ay magiging katumbas ng parehong halaga.

Dapat kang maging handa sa katotohanan na ang isang guro sa paaralan o isang guro sa isang institute ay maaaring tumawag ng kahit na mga numero (o mga variable) na hindi mga addend.

Halimbawa, kung ang pagkakaiba ay nakasulat sa pisara a−b, tapos hindi sasabihin ng teacher yan a ay isang minuto, at b- mababawas. Tatawagin niya ang parehong mga variable na may isang karaniwang salita - mga tuntunin. At lahat dahil ang pagpapahayag ng anyo a−b nakikita ng mathematician kung paano ang kabuuan a+(−b). Sa kasong ito, ang expression ay nagiging isang kabuuan, at ang mga variable a At (−b) maging terms.

Mga katulad na termino

Mga katulad na termino- ito ay mga termino na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, isaalang-alang ang expression 7a + 6b + 2a. Mga bahagi 7a At 2a magkaroon ng parehong bahagi ng titik - variable a. Kaya ang mga tuntunin 7a At 2a ay parehas.

Karaniwan, ang mga katulad na termino ay idinaragdag upang gawing simple ang isang expression o malutas ang isang equation. Ang operasyong ito ay tinatawag nagdadala ng mga katulad na termino.

Upang magdala ng mga katulad na termino, kailangan mong idagdag ang mga coefficient ng mga terminong ito, at i-multiply ang resultang resulta sa karaniwang bahagi ng titik.

Halimbawa, ipakita natin ang mga katulad na termino sa expression 3a + 4a + 5a. Sa kasong ito, ang lahat ng mga termino ay magkatulad. Pagsamahin natin ang kanilang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik - sa variable a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Ang mga katulad na termino ay kadalasang dinadala sa isip at ang resulta ay isusulat kaagad:

3a + 4a + 5a = 12a

Gayundin, ang isa ay maaaring mangatuwiran tulad ng sumusunod:

Mayroong 3 variable a , 4 pang variable a at 5 pang variable a ang idinagdag sa kanila. Bilang resulta, nakakuha kami ng 12 variable a

Tingnan natin ang ilang halimbawa ng pagdadala ng mga katulad na termino. Isinasaalang-alang na ang paksang ito ay napakahalaga, sa una ay isusulat namin nang detalyado ang bawat maliit na detalye. Kahit na ang lahat ay napaka-simple dito, karamihan sa mga tao ay nagkakamali. Pangunahin dahil sa kawalan ng pansin, hindi kamangmangan.

Halimbawa 1. 3isang + 2isang + 6isang + 8a

Pagsamahin natin ang mga coefficient sa expression na ito at i-multiply ang resultang resulta sa karaniwang bahagi ng titik:

3isang + 2isang + 6isang + 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19a

Konstruksyon (3 + 2 + 6 + 8) ×a Hindi mo kailangang isulat ito, kaya isusulat namin kaagad ang sagot

3 isang + 2 isang + 6 isang + 8 a = 19 a

Halimbawa 2. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 2a+a

Pangalawang termino a nakasulat na walang coefficient, ngunit sa katunayan ay may isang coefficient sa harap nito 1 , na hindi natin nakikita dahil hindi ito naitala. Kaya ang expression ay ganito:

2a + 1a

Ngayon ipakita natin ang mga katulad na termino. Iyon ay, idinaragdag namin ang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Isulat natin nang maikli ang solusyon:

2a + a = 3a

2a+a, maaari kang mag-isip nang iba:

Halimbawa 3. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 2a−a

Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan:

2a + (−a)

Pangalawang termino (−a) nakasulat na walang koepisyent, ngunit sa katunayan ito ay parang (−1a). Coefficient −1 muli invisible dahil sa ang katunayan na ito ay hindi naitala. Kaya ang expression ay ganito:

2a + (−1a)

Ngayon ipakita natin ang mga katulad na termino. Idagdag natin ang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Karaniwang isinusulat nang mas maikli:

2a − a = a

Pagbibigay ng magkatulad na termino sa pagpapahayag 2a−a Maaari kang mag-isip nang iba:

Mayroong 2 variable a, ibawas ang isang variable a, at bilang resulta mayroon na lamang isang variable na natitira

Halimbawa 4. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Ngayon ipakita natin ang mga katulad na termino. Idagdag natin ang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa kabuuang bahagi ng titik

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Isulat natin nang maikli ang solusyon:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

May mga expression na naglalaman ng ilang magkakaibang grupo ng magkatulad na termino. Halimbawa, 3a + 3b + 7a + 2b. Para sa mga naturang expression, ang parehong mga patakaran ay nalalapat tulad ng para sa iba, ibig sabihin, pagdaragdag ng mga coefficient at pagpaparami ng resulta sa karaniwang bahagi ng titik. Ngunit upang maiwasan ang mga pagkakamali, maginhawang i-highlight ang iba't ibang grupo ng mga termino na may iba't ibang linya.

Halimbawa, sa expression 3a + 3b + 7a + 2b yaong mga terminong naglalaman ng variable a, ay maaaring salungguhitan ng isang linya, at ang mga terminong iyon na naglalaman ng variable b, ay maaaring bigyang-diin ng dalawang linya:

Ngayon ay maaari nating ipakita ang mga katulad na termino. Iyon ay, idagdag ang mga coefficient at i-multiply ang resultang resulta sa kabuuang bahagi ng titik. Dapat itong gawin para sa parehong pangkat ng mga termino: para sa mga terminong naglalaman ng variable a at para sa mga terminong naglalaman ng variable b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Muli, inuulit namin, ang expression ay simple, at ang mga katulad na termino ay maaaring ibigay sa isip:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Halimbawa 5. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 5a − 6a −7b + b

Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan kung posible:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Salungguhitan natin ang magkatulad na termino na may magkakaibang linya. Mga tuntunin na naglalaman ng mga variable a sinalungguhitan namin ang isang linya, at ang mga terminong naglalaman ng mga variable b, salungguhitan ng dalawang linya:

Ngayon ay maaari nating ipakita ang mga katulad na termino. Iyon ay, idagdag ang mga coefficient at i-multiply ang resultang resulta sa karaniwang bahagi ng titik:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Kung ang expression ay naglalaman ng mga ordinaryong numero na walang mga kadahilanan ng titik, pagkatapos ay idinagdag ang mga ito nang hiwalay.

Halimbawa 6. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan kung posible:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Ipakita natin ang mga katulad na termino. Numero −5 At 7 walang mga kadahilanan ng titik, ngunit ang mga ito ay magkatulad na mga termino - kailangan lang nilang idagdag. At ang termino 2b ay mananatiling hindi magbabago, dahil ito lamang ang nasa ekspresyong ito na may salik ng titik b, at walang maidaragdag dito:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Isulat natin nang maikli ang solusyon:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Maaaring i-order ang mga termino upang ang mga terminong iyon na may parehong bahagi ng titik ay matatagpuan sa parehong bahagi ng expression.

Halimbawa 7. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 5t+2x+3x+5t+x

Dahil ang expression ay isang kabuuan ng ilang mga termino, ito ay nagbibigay-daan sa amin upang suriin ito sa anumang pagkakasunud-sunod. Samakatuwid, ang mga terminong naglalaman ng variable t, ay maaaring isulat sa simula ng expression, at ang mga terminong naglalaman ng variable x sa dulo ng expression:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Ngayon ay maaari nating ipakita ang mga katulad na termino:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Isulat natin nang maikli ang solusyon:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Ang kabuuan ng magkasalungat na numero ay zero. Gumagana rin ang panuntunang ito para sa mga literal na expression. Kung ang expression ay naglalaman ng magkaparehong mga termino, ngunit may kabaligtaran na mga palatandaan, maaari mong alisin ang mga ito sa yugto ng pagbabawas ng mga katulad na termino. Sa madaling salita, alisin lamang ang mga ito mula sa expression, dahil ang kanilang kabuuan ay zero.

Halimbawa 8. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 3t − 4t − 3t + 2t

Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan kung posible:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Mga bahagi 3t At (−3t) ay kabaligtaran. Ang kabuuan ng magkasalungat na termino ay zero. Kung aalisin natin ang zero na ito sa expression, hindi magbabago ang value ng expression, kaya aalisin natin ito. At aalisin namin ito sa pamamagitan lamang ng pagtawid sa mga tuntunin 3t At (−3t)

Bilang resulta, maiiwan tayo sa expression (−4t) + 2t. Sa expression na ito, maaari kang magdagdag ng mga katulad na termino at makuha ang huling sagot:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Isulat natin nang maikli ang solusyon:

Pinapasimple ang mga Ekspresyon

"pasimplehin ang expression" at sa ibaba ay ang expression na kailangang pasimplehin. Pasimplehin ang isang expression nangangahulugang ginagawa itong mas simple at mas maikli.

Sa katunayan, pinasimple na namin ang mga expression kapag nagbawas kami ng mga fraction. Pagkatapos ng pagbabawas, ang fraction ay naging mas maikli at mas madaling maunawaan.

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa. Pasimplehin ang expression.

Ang gawaing ito ay maaaring literal na maunawaan bilang mga sumusunod: "Ilapat ang anumang wastong pagkilos sa expression na ito, ngunit gawin itong mas simple." .

Sa kasong ito, maaari mong bawasan ang fraction, ibig sabihin, hatiin ang numerator at denominator ng fraction ng 2:

Ano pa ang magagawa mo? Maaari mong kalkulahin ang resultang fraction. Pagkatapos ay makuha namin ang decimal na bahagi na 0.5

Bilang resulta, ang fraction ay pinasimple sa 0.5.

Ang unang tanong na kailangan mong itanong sa iyong sarili kapag nilutas ang mga naturang problema ay dapat “Ano ang maaaring gawin?” . Dahil may mga aksyon na kaya mong gawin, at may mga aksyon na hindi mo magagawa.

Ang isa pang mahalagang punto na dapat tandaan ay ang kahulugan ng expression ay hindi dapat magbago pagkatapos pasimplehin ang expression. Balik tayo sa expression. Ang expression na ito ay kumakatawan sa isang dibisyon na maaaring isagawa. Matapos maisagawa ang dibisyong ito, nakukuha namin ang halaga ng expression na ito, na katumbas ng 0.5

Ngunit pinasimple namin ang expression at nakakuha ng bagong pinasimpleng expression. Ang halaga ng bagong pinasimple na expression ay 0.5 pa rin

Ngunit sinubukan din naming gawing simple ang expression sa pamamagitan ng pagkalkula nito. Bilang resulta, nakatanggap kami ng panghuling sagot na 0.5.

Kaya, gaano man natin gawing simple ang expression, ang halaga ng mga resultang expression ay katumbas pa rin ng 0.5. Nangangahulugan ito na ang pagpapasimple ay naisagawa nang tama sa bawat yugto. Ito mismo ang dapat nating pagsikapan kapag pinasimple ang mga expression - ang kahulugan ng expression ay hindi dapat magdusa mula sa ating mga aksyon.

Kadalasan ay kinakailangan na gawing simple ang mga literal na pagpapahayag. Ang parehong mga panuntunan sa pagpapasimple ay nalalapat sa kanila tulad ng para sa mga numerical na expression. Maaari kang magsagawa ng anumang wastong pagkilos, hangga't hindi nagbabago ang halaga ng expression.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 1. Pasimplehin ang isang expression 5.21s × t × 2.5

Upang gawing simple ang expression na ito, maaari mong i-multiply nang hiwalay ang mga numero at hiwalay na i-multiply ang mga titik. Ang gawaing ito ay halos kapareho sa isang tinitingnan namin noong natutunan naming matukoy ang koepisyent:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

Kaya ang expression 5.21s × t × 2.5 pinasimple sa ika-13,025.

Halimbawa 2. Pasimplehin ang isang expression −0.4 × (−6.3b) × 2

Pangalawang piraso (−6.3b) maaaring isalin sa isang anyo na naiintindihan natin, ibig sabihin ay nakasulat sa anyo ( −6,3)×b , pagkatapos ay i-multiply ang mga numero nang hiwalay at i-multiply ang mga titik nang hiwalay:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

Kaya ang expression −0.4 × (−6.3b) × 2 pinasimple sa 5.04b

Halimbawa 3. Pasimplehin ang isang expression

Isulat natin ang ekspresyong ito nang mas detalyado upang malinaw na makita kung nasaan ang mga numero at kung nasaan ang mga titik:

Ngayon, i-multiply natin ang mga numero nang hiwalay at hiwalay na i-multiply ang mga titik:

Kaya ang expression pinasimple sa −abc. Ang solusyon na ito ay maaaring maisulat nang maikli:

Kapag pinasimple ang mga expression, ang mga fraction ay maaaring bawasan sa panahon ng proseso ng solusyon, at hindi sa pinakadulo, tulad ng ginawa namin sa mga ordinaryong fraction. Halimbawa, kung sa kurso ng paglutas ay nakatagpo tayo ng isang expression ng form , kung gayon hindi kinakailangan na kalkulahin ang numerator at denominator at gumawa ng isang bagay tulad nito:

Ang isang fraction ay maaaring bawasan sa pamamagitan ng pagpili ng isang salik sa parehong numerator at sa denominator at pagbabawas ng mga salik na ito sa pamamagitan ng kanilang pinakamalaking karaniwang salik. Sa madaling salita, gamit kung saan hindi namin inilalarawan nang detalyado kung ano ang hinati ng numerator at denominator.

Halimbawa, sa numerator ang factor ay 12 at sa denominator ang factor 4 ay maaaring bawasan ng 4. Pinananatili natin ang apat sa ating isip, at hinahati ang 12 at 4 sa apat na ito, isusulat natin ang mga sagot sa tabi ng mga numerong ito, na unang natawid ang mga ito

Ngayon ay maaari mong i-multiply ang mga resultang maliliit na salik. Sa kasong ito, kakaunti ang mga ito at maaari mong i-multiply ang mga ito sa iyong isip:

Sa paglipas ng panahon, maaari mong makita na kapag nilutas ang isang partikular na problema, ang mga expression ay nagsisimulang "tumaba," kaya ipinapayong masanay sa mabilis na mga kalkulasyon. Kung ano ang maaaring kalkulahin sa isip ay dapat kalkulahin sa isip. Kung ano ang maaaring mabilis na mabawasan ay dapat mabawasan nang mabilis.

Halimbawa 4. Pasimplehin ang isang expression

Kaya ang expression pinasimple sa

Halimbawa 5. Pasimplehin ang isang expression

I-multiply natin nang hiwalay ang mga numero at hiwalay ang mga titik:

Kaya ang expression pinasimple sa mn.

Halimbawa 6. Pasimplehin ang isang expression

Isulat natin ang ekspresyong ito nang mas detalyado upang malinaw na makita kung nasaan ang mga numero at kung nasaan ang mga titik:

Ngayon, i-multiply natin nang hiwalay ang mga numero at hiwalay ang mga titik. Para sa kadalian ng pagkalkula, ang decimal na fraction −6.4 at isang halo-halong numero ay maaaring i-convert sa mga ordinaryong fraction:

Kaya ang expression pinasimple sa

Ang solusyon para sa halimbawang ito ay maaaring maisulat nang mas maikli. Magiging ganito ang hitsura:

Halimbawa 7. Pasimplehin ang isang expression

Magkahiwalay nating i-multiply ang mga numero at magkahiwalay ang mga letra. Para sa kadalian ng pagkalkula, ang mga magkahalong numero at decimal na fraction 0.1 at 0.6 ay maaaring i-convert sa mga ordinaryong fraction:

Kaya ang expression pinasimple sa a B C D. Kung lalaktawan mo ang mga detalye, ang solusyon na ito ay maaaring maisulat nang mas maikli:

Pansinin kung paano nabawasan ang fraction. Ang mga bagong salik na nakuha bilang resulta ng pagbabawas ng mga nakaraang salik ay pinapayagan ding mabawasan.

Ngayon ay pag-usapan natin kung ano ang hindi dapat gawin. Kapag pinasimple ang mga expression, mahigpit na ipinagbabawal ang pagpaparami ng mga numero at titik kung ang expression ay isang kabuuan at hindi isang produkto.

Halimbawa, kung gusto mong gawing simple ang expression 5a+4b, pagkatapos ay hindi mo ito maisusulat ng ganito:

Ito ay katulad ng kung hiniling sa amin na magdagdag ng dalawang numero at pinarami namin ang mga ito sa halip na idagdag ang mga ito.

Kapag pinapalitan ang anumang mga variable na halaga a At b pagpapahayag 5a +4b nagiging ordinaryong numerical expression. Ipagpalagay natin na ang mga variable a At b may mga sumusunod na kahulugan:

a = 2, b = 3

Kung gayon ang halaga ng expression ay magiging katumbas ng 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Una, ginagawa ang multiplikasyon, at pagkatapos ay idinagdag ang mga resulta. At kung sinubukan nating gawing simple ang expression na ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga numero at titik, makukuha natin ang sumusunod:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Ito ay lumiliko ng isang ganap na naiibang kahulugan ng expression. Sa unang kaso ito ay nagtrabaho 22 , sa pangalawang kaso 120 . Nangangahulugan ito na pinasimple ang expression 5a+4b ginawang mali.

Matapos gawing simple ang expression, ang halaga nito ay hindi dapat magbago sa parehong mga halaga ng mga variable. Kung, kapag pinapalitan ang anumang mga variable na halaga sa orihinal na expression, isang halaga ang nakuha, pagkatapos ay pagkatapos na gawing simple ang expression, ang parehong halaga ay dapat makuha tulad ng bago ang pagpapasimple.

Sa pagpapahayag 5a+4b wala ka talagang magagawa. Hindi nito pinasimple.

Kung ang isang expression ay naglalaman ng mga katulad na termino, maaari silang idagdag kung ang aming layunin ay gawing simple ang expression.

Halimbawa 8. Pasimplehin ang isang expression 0.3a−0.4a+a

0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

o mas maikli: 0.3a − 0.4a + a = 0.9a

Kaya ang expression 0.3a−0.4a+a pinasimple sa 0.9a

Halimbawa 9. Pasimplehin ang isang expression −7.5a − 2.5b + 4a

Upang gawing simple ang expression na ito, maaari tayong magdagdag ng mga katulad na termino:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

o mas maikli −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

Termino (−2.5b) nanatiling hindi nagbabago dahil walang mailalagay dito.

Halimbawa 10. Pasimplehin ang isang expression

Upang gawing simple ang expression na ito, maaari tayong magdagdag ng mga katulad na termino:

Ang koepisyent ay para sa kadalian ng pagkalkula.

Kaya ang expression pinasimple sa

Halimbawa 11. Pasimplehin ang isang expression

Upang gawing simple ang expression na ito, maaari tayong magdagdag ng mga katulad na termino:

Kaya ang expression pinasimple sa .

Sa halimbawang ito, mas angkop na idagdag muna ang una at huling coefficient. Sa kasong ito magkakaroon tayo ng maikling solusyon. Ito ay magiging ganito:

Halimbawa 12. Pasimplehin ang isang expression

Upang gawing simple ang expression na ito, maaari tayong magdagdag ng mga katulad na termino:

Kaya ang expression pinasimple sa .

Ang termino ay nanatiling hindi nabago, dahil walang maidaragdag dito.

Ang solusyon na ito ay maaaring maisulat nang mas maikli. Magiging ganito ang hitsura:

Nilaktawan ng maikling solusyon ang mga hakbang ng pagpapalit ng pagbabawas ng karagdagan at pagdedetalye kung paano binawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang isa pang pagkakaiba ay na sa detalyadong solusyon ang kamukha ng sagot , ngunit sa madaling salita bilang . Sa katunayan, pareho sila ng ekspresyon. Ang pagkakaiba ay sa unang kaso, ang pagbabawas ay pinalitan ng karagdagan, dahil sa simula, nang isulat namin ang solusyon sa detalyadong anyo, pinalitan namin ang pagbabawas ng karagdagan hangga't maaari, at ang kapalit na ito ay napanatili para sa sagot.

Mga pagkakakilanlan. Magkaparehong mga expression

Sa sandaling pinasimple namin ang anumang expression, nagiging mas simple at mas maikli. Upang suriin kung tama ang pinasimple na expression, sapat na upang palitan muna ang anumang mga variable na halaga sa nakaraang expression na kailangang pasimplehin, at pagkatapos ay sa bago na pinasimple. Kung pareho ang value sa parehong expression, totoo ang pinasimpleng expression.

Tingnan natin ang isang simpleng halimbawa. Hayaang kailangang gawing simple ang pagpapahayag 2a×7b. Upang pasimplehin ang expression na ito, maaari mong i-multiply nang hiwalay ang mga numero at titik:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Suriin natin kung pinasimple natin nang tama ang expression. Upang gawin ito, palitan natin ang anumang mga halaga ng mga variable a At b una sa unang expression na kailangang gawing simple, at pagkatapos ay sa pangalawa, na pinasimple.

Hayaan ang mga halaga ng mga variable a , b ay magiging ganito:

a = 4, b = 5

Ipalit natin sila sa unang expression 2a×7b

Ngayon ay palitan natin ang parehong mga variable na halaga sa expression na nagresulta mula sa pagpapasimple 2a×7b, lalo na sa expression 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Nakikita natin na kapag a=4 At b=5 halaga ng unang pagpapahayag 2a×7b at ang kahulugan ng pangalawang pagpapahayag 14ab pantay

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Ang parehong ay mangyayari para sa anumang iba pang mga halaga. Halimbawa, hayaan a=1 At b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Kaya, para sa anumang mga halaga ng mga variable ng expression 2a×7b At 14ab ay katumbas ng parehong halaga. Ang mga ganitong ekspresyon ay tinatawag magkaparehong pantay.

Napagpasyahan namin na sa pagitan ng mga expression 2a×7b At 14ab pwede kang maglagay ng equal sign dahil pareho sila ng value.

2a × 7b = 14ab

Ang pagkakapantay-pantay ay anumang pagpapahayag na konektado sa pamamagitan ng pantay na tanda (=).

At pagkakapantay-pantay ng anyo 2a×7b = 14ab tinawag pagkakakilanlan.

Ang pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na totoo para sa anumang mga halaga ng mga variable.

Iba pang mga halimbawa ng pagkakakilanlan:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Oo, ang mga batas ng matematika na aming pinag-aralan ay mga pagkakakilanlan.

Ang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero ay mga pagkakakilanlan din. Halimbawa:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Kapag nilulutas ang isang kumplikadong problema, upang gawing mas madali ang pagkalkula, ang kumplikadong expression ay pinapalitan ng isang mas simpleng expression na kaparehong katumbas ng nauna. Ang kapalit na ito ay tinatawag na magkaparehong pagbabago ng ekspresyon o simple lang pagbabago ng ekspresyon.

Halimbawa, pinasimple namin ang expression 2a×7b, at nakakuha ng mas simpleng expression 14ab. Ang pagpapasimpleng ito ay maaaring tawaging pagbabago ng pagkakakilanlan.

Madalas mong mahahanap ang isang gawain na nagsasabing "patunayan na ang pagkakapantay-pantay ay isang pagkakakilanlan" at pagkatapos ay ibinigay ang pagkakapantay-pantay na kailangang patunayan. Karaniwan ang pagkakapantay-pantay na ito ay binubuo ng dalawang bahagi: ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay. Ang aming gawain ay magsagawa ng mga pagbabago sa pagkakakilanlan sa isa sa mga bahagi ng pagkakapantay-pantay at makuha ang iba pang bahagi. O magsagawa ng magkaparehong pagbabago sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay at siguraduhing ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng parehong mga expression.

Halimbawa, patunayan natin na ang pagkakapantay-pantay 0.5a × 5b = 2.5ab ay isang pagkakakilanlan.

Pasimplehin natin ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito. Upang gawin ito, i-multiply nang hiwalay ang mga numero at titik:

0.5 × 5 × a × b = 2.5ab

2.5ab = 2.5ab

Bilang resulta ng isang maliit na pagbabago ng pagkakakilanlan, ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay naging pantay sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay. Kaya napatunayan natin na ang pagkakapantay-pantay 0.5a × 5b = 2.5ab ay isang pagkakakilanlan.

Mula sa magkatulad na pagbabagong-anyo, natutunan nating magdagdag, magbawas, magparami at maghati ng mga numero, bawasan ang mga fraction, magdagdag ng magkatulad na termino, at pasimplehin din ang ilang expression.

Ngunit ang mga ito ay hindi lahat ng magkatulad na pagbabagong umiiral sa matematika. Marami pang magkakaparehong pagbabago. Makikita natin ito nang higit sa isang beses sa hinaharap.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Nagustuhan mo ba ang aralin?
Sumali sa aming bagong pangkat ng VKontakte at magsimulang makatanggap ng mga abiso tungkol sa mga bagong aralin

Mga expression, conversion ng expression

Mga pagpapahayag ng kapangyarihan (mga ekspresyong may kapangyarihan) at ang kanilang pagbabago

Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa pag-convert ng mga expression na may mga kapangyarihan. Una, tututuon tayo sa mga pagbabagong ginagawa gamit ang anumang uri ng mga expression, kabilang ang mga power expression, gaya ng pagbubukas ng mga panaklong at pagdadala ng mga katulad na termino. At pagkatapos ay susuriin natin ang mga pagbabagong likas na partikular sa mga expression na may mga degree: nagtatrabaho sa base at exponent, gamit ang mga katangian ng mga degree, atbp.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan?

Ang terminong "mga expression ng kapangyarihan" ay halos hindi lumilitaw sa mga aklat-aralin sa matematika ng paaralan, ngunit ito ay madalas na lumilitaw sa mga koleksyon ng mga problema, lalo na ang mga inilaan para sa paghahanda para sa Pinag-isang Estado na Pagsusulit at ang Pinag-isang Estado na Pagsusulit, halimbawa. Matapos suriin ang mga gawain kung saan kinakailangan na magsagawa ng anumang mga aksyon na may mga pagpapahayag ng kapangyarihan, nagiging malinaw na ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay nauunawaan bilang mga ekspresyong naglalaman ng mga kapangyarihan sa kanilang mga entry. Samakatuwid, maaari mong tanggapin ang sumusunod na kahulugan para sa iyong sarili:

Kahulugan.

Mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay mga expression na naglalaman ng mga degree.

Pagbigyan natin mga halimbawa ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Bukod dito, ipapakita namin ang mga ito ayon sa kung paano nangyayari ang pagbuo ng mga pananaw mula sa isang antas na may natural na exponent hanggang sa isang degree na may totoong exponent.

Tulad ng nalalaman, ang una ay nakikilala ang kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent; sa yugtong ito, ang unang pinakasimpleng pagpapahayag ng kapangyarihan ng uri 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 ay lilitaw −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atbp.

Maya-maya, pinag-aralan ang kapangyarihan ng isang numero na may integer exponent, na humahantong sa paglitaw ng mga power expression na may negatibong integer na kapangyarihan, tulad ng sumusunod: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Sa mataas na paaralan ay bumalik sila sa degree. Mayroong isang degree na may rational exponent ay ipinakilala, na nangangailangan ng hitsura ng kaukulang mga expression ng kapangyarihan: , , at iba pa. Panghuli, ang mga degree na may mga hindi makatwirang exponent at mga expression na naglalaman ng mga ito ay isinasaalang-alang: , .

Ang usapin ay hindi limitado sa mga nakalistang power expression: lalo pang pumapasok ang variable sa exponent, at, halimbawa, ang mga sumusunod na expression ay lumabas: 2 x 2 +1 o . At pagkatapos na makilala ang , ang mga expression na may mga kapangyarihan at logarithms ay nagsisimulang lumitaw, halimbawa, x 2·lgx −5·x lgx.

Kaya, tinalakay natin ang tanong kung ano ang kinakatawan ng mga power expression. Sa susunod ay matututo tayong i-convert ang mga ito.

Ang mga pangunahing uri ng pagbabago ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan

Gamit ang mga power expression, maaari mong gawin ang alinman sa mga pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression. Halimbawa, maaari mong buksan ang mga panaklong, palitan ang mga numerical na expression ng kanilang mga halaga, magdagdag ng mga katulad na termino, atbp. Naturally, sa kasong ito, kinakailangan na sundin ang tinatanggap na pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga aksyon. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng power expression 2 3 ·(4 2 −12) .

Solusyon.

Ayon sa pagkakasunud-sunod ng pagpapatupad ng mga aksyon, gawin muna ang mga aksyon sa mga bracket. Doon, una, pinapalitan namin ang kapangyarihan 4 2 sa halaga nito na 16 (kung kinakailangan, tingnan), at pangalawa, kinakalkula namin ang pagkakaiba 16−12=4. Meron kami 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Sa resultang expression, pinapalitan namin ang power 2 3 ng value nito na 8, pagkatapos ay kalkulahin namin ang produkto 8·4=32. Ito ang nais na halaga.

Kaya, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Sagot:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Halimbawa.

Pasimplehin ang mga expression na may kapangyarihan 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Solusyon.

Malinaw, ang expression na ito ay naglalaman ng magkatulad na mga termino 3·a 4 ·b −7 at 2·a 4 ·b −7 , at maaari nating ipakita ang mga ito: .

Sagot:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Halimbawa.

Ipahayag ang isang pagpapahayag na may mga kapangyarihan bilang isang produkto.

Solusyon.

Maaari mong makayanan ang gawain sa pamamagitan ng pagkatawan sa numero 9 bilang isang kapangyarihan ng 3 2 at pagkatapos ay gamitin ang formula para sa pinaikling multiplikasyon - pagkakaiba ng mga parisukat:

Sagot:

Mayroon ding ilang magkakaparehong pagbabagong likas na partikular sa mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susuriin pa natin ang mga ito.

Paggawa gamit ang base at exponent

May mga degree na ang base at/o exponent ay hindi lamang mga numero o variable, ngunit ilang expression. Bilang halimbawa, binibigyan namin ang mga entry (2+0.3·7) 5−3.7 at (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Kapag nagtatrabaho sa gayong mga expression, maaari mong palitan ang parehong expression sa base ng degree at ang expression sa exponent na may magkaparehong expression sa ODZ ng mga variable nito. Sa madaling salita, ayon sa mga alituntuning kilala sa amin, maaari naming hiwalay na ibahin ang anyo ng base ng degree at hiwalay na exponent. Malinaw na bilang isang resulta ng pagbabagong ito, ang isang expression ay makukuha na kapareho ng orihinal.

Ang ganitong mga pagbabago ay nagpapahintulot sa amin na pasimplehin ang mga expression na may mga kapangyarihan o makamit ang iba pang mga layunin na kailangan namin. Halimbawa, sa power expression na binanggit sa itaas (2+0.3 7) 5−3.7, maaari kang magsagawa ng mga operasyon gamit ang mga numero sa base at exponent, na magbibigay-daan sa iyong lumipat sa power 4.1 1.3. At pagkatapos buksan ang mga bracket at dalhin ang mga katulad na termino sa base ng degree (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), nakakakuha tayo ng power expression ng isang mas simpleng anyo a 2·(x+ 1) .

Paggamit ng Degree Properties

Ang isa sa mga pangunahing tool para sa pagbabago ng mga expression na may kapangyarihan ay ang mga pagkakapantay-pantay na sumasalamin sa . Alalahanin natin ang mga pangunahing. Para sa anumang positibong numero a at b at arbitrary real na numero r at s, ang mga sumusunod na katangian ng mga kapangyarihan ay totoo:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Tandaan na para sa natural, integer, at positibong exponent, maaaring hindi masyadong mahigpit ang mga paghihigpit sa mga numerong a at b. Halimbawa, para sa mga natural na bilang na m at n ang pagkakapantay-pantay a m ·a n =a m+n ay totoo hindi lamang para sa positibong a, kundi pati na rin para sa negatibong a, at para sa a=0.

Sa paaralan, ang pangunahing pokus kapag binabago ang mga expression ng kapangyarihan ay ang kakayahang pumili ng naaangkop na pag-aari at ilapat ito nang tama. Sa kasong ito, ang mga base ng mga degree ay karaniwang positibo, na nagpapahintulot sa mga katangian ng mga degree na magamit nang walang mga paghihigpit. Ang parehong naaangkop sa pagbabagong-anyo ng mga expression na naglalaman ng mga variable sa mga base ng mga kapangyarihan - ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga ng mga variable ay kadalasang tulad na ang mga base ay kumukuha lamang ng mga positibong halaga dito, na nagpapahintulot sa iyo na malayang gamitin ang mga katangian ng mga kapangyarihan . Sa pangkalahatan, kailangan mong patuloy na tanungin ang iyong sarili kung posible na gumamit ng anumang pag-aari ng mga degree sa kasong ito, dahil ang hindi tumpak na paggamit ng mga pag-aari ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng halaga ng edukasyon at iba pang mga problema. Ang mga puntong ito ay tinalakay nang detalyado at may mga halimbawa sa artikulong pagbabago ng mga ekspresyon gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan. Dito ay lilimitahan natin ang ating sarili sa pagsasaalang-alang ng ilang simpleng halimbawa.

Halimbawa.

Ipahayag ang expression na a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 bilang isang kapangyarihan na may base a.

Solusyon.

Una, binabago natin ang pangalawang kadahilanan (a 2) −3 gamit ang pag-aari ng pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Ang orihinal na expression ng kapangyarihan ay kukuha ng anyong 2.5 ·a −6:a −5.5. Malinaw, ito ay nananatiling gamitin ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, mayroon tayo
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Sagot:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

Ang mga katangian ng mga kapangyarihan kapag binabago ang mga expression ng kapangyarihan ay ginagamit pareho mula kaliwa pakanan at mula kanan pakaliwa.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng pagpapahayag ng kapangyarihan.

Solusyon.

Ang pagkakapantay-pantay (a·b) r =a r ·b r, inilapat mula sa kanan papuntang kaliwa, ay nagbibigay-daan sa amin na lumipat mula sa orihinal na expression patungo sa isang produkto ng anyo at higit pa. At kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga exponent ay nagdaragdag: .

Posibleng baguhin ang orihinal na expression sa ibang paraan:

Sagot:

.

Halimbawa.

Dahil sa power expression a 1.5 −a 0.5 −6, magpakilala ng bagong variable t=a 0.5.

Solusyon.

Ang degree a 1.5 ay maaaring katawanin bilang isang 0.5 3 at pagkatapos, batay sa pag-aari ng degree sa degree (a r) s =a r s, inilapat mula kanan pakaliwa, ibahin ito sa anyo (a 0.5) 3. kaya, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Ngayon ay madaling magpakilala ng bagong variable t=a 0.5, nakukuha natin ang t 3 −t−6.

Sagot:

t 3 −t−6 .

Pag-convert ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan

Ang mga power expression ay maaaring maglaman o kumatawan ng mga fraction na may kapangyarihan. Ang alinman sa mga pangunahing pagbabago ng mga fraction na likas sa mga fraction ng anumang uri ay ganap na naaangkop sa mga naturang fraction. Iyon ay, ang mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan ay maaaring bawasan, bawasan sa isang bagong denominator, gumana nang hiwalay sa kanilang numerator at hiwalay sa denominator, atbp. Upang ilarawan ang mga salitang ito, isaalang-alang ang mga solusyon sa ilang halimbawa.

Halimbawa.

Pasimplehin ang pagpapahayag ng kapangyarihan .

Solusyon.

Ang power expression na ito ay isang fraction. Gawin natin ang numerator at denominator nito. Sa numerator binubuksan namin ang mga bracket at pinasimple ang nagresultang expression gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, at sa denominator ay nagpapakita kami ng mga katulad na termino:

At baguhin din natin ang sign ng denominator sa pamamagitan ng paglalagay ng minus sa harap ng fraction: .

Sagot:

.

Ang pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan sa isang bagong denominator ay isinasagawa katulad ng pagbabawas ng mga rational fraction sa isang bagong denominator. Sa kasong ito, ang isang karagdagang kadahilanan ay matatagpuan din at ang numerator at denominator ng fraction ay pinarami nito. Kapag ginagawa ang pagkilos na ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang pagbawas sa isang bagong denominator ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng VA. Upang maiwasang mangyari ito, kinakailangan na ang karagdagang kadahilanan ay hindi pumunta sa zero para sa anumang mga halaga ng mga variable mula sa mga variable ng ODZ para sa orihinal na expression.

Halimbawa.

Bawasan ang mga fraction sa isang bagong denominator: a) sa denominator a, b) sa denominator.

Solusyon.

a) Sa kasong ito, medyo madaling malaman kung aling karagdagang multiplier ang tumutulong upang makamit ang ninanais na resulta. Isa itong multiplier ng isang 0.3, dahil ang isang 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. Tandaan na sa hanay ng mga pinahihintulutang halaga ng variable a (ito ang hanay ng lahat ng positibong tunay na numero), ang kapangyarihan ng isang 0.3 ay hindi naglalaho, samakatuwid, may karapatan tayong i-multiply ang numerator at denominator ng isang naibigay na fraction sa pamamagitan ng karagdagang salik na ito:

b) Kung susuriing mabuti ang denominator, makikita mo iyon

at ang pagpaparami ng expression na ito sa ay magbibigay ng kabuuan ng mga cube at , iyon ay, . At ito ang bagong denominator kung saan kailangan nating bawasan ang orihinal na fraction.

Ito ay kung paano kami nakakita ng karagdagang kadahilanan. Sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable na x at y, ang expression ay hindi nawawala, samakatuwid, maaari nating i-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan nito:

Sagot:

A) , b) .

Wala ring bago sa pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan: ang numerator at denominator ay kinakatawan bilang isang bilang ng mga kadahilanan, at ang parehong mga kadahilanan ng numerator at denominator ay nababawasan.

Halimbawa.

Bawasan ang fraction: a) , b).

Solusyon.

a) Una, ang numerator at denominator ay maaaring bawasan ng mga numerong 30 at 45, na katumbas ng 15. Malinaw ding posible na magsagawa ng pagbawas ng x 0.5 +1 at ng . Narito ang mayroon tayo:

b) Sa kasong ito, ang magkaparehong salik sa numerator at denominator ay hindi agad makikita. Upang makuha ang mga ito, kailangan mong magsagawa ng mga paunang pagbabago. Sa kasong ito, binubuo sila sa pag-factor ng denominator gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Sagot:

A)

b) .

Ang pag-convert ng mga fraction sa isang bagong denominator at pagbabawas ng mga fraction ay pangunahing ginagamit upang gawin ang mga bagay na may mga fraction. Ang mga aksyon ay isinasagawa ayon sa mga kilalang panuntunan. Kapag nagdadagdag (nagbabawas) ng mga fraction, ang mga ito ay binabawasan sa isang karaniwang denominator, pagkatapos ay ang mga numerator ay idinagdag (binawas), ngunit ang denominator ay nananatiling pareho. Ang resulta ay isang fraction na ang numerator ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominador. Ang paghahati sa isang fraction ay multiplikasyon sa kabaligtaran nito.

Halimbawa.

Sundin ang mga hakbang .

Solusyon.

Una, ibawas natin ang mga fraction sa panaklong. Upang gawin ito, dinadala namin ang mga ito sa isang karaniwang denominator, na , pagkatapos nito ay ibawas natin ang mga numerator:

Ngayon pinarami namin ang mga fraction:

Malinaw, ito ay posible na bawasan sa pamamagitan ng isang kapangyarihan ng x 1/2, pagkatapos nito ay mayroon na tayo .

Maaari mo ring gawing simple ang power expression sa denominator sa pamamagitan ng paggamit ng difference ng squares formula: .

Sagot:

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expression .

Solusyon.

Malinaw, ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng (x 2.7 +1) 2, ito ay nagbibigay ng fraction . Malinaw na may ibang kailangang gawin sa mga kapangyarihan ng X. Para magawa ito, ginagawa naming produkto ang resultang fraction. Nagbibigay ito sa amin ng pagkakataong samantalahin ang pag-aari ng paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan: . At sa dulo ng proseso ay lumipat tayo mula sa huling produkto patungo sa fraction.

Sagot:

.

At idagdag din natin na posible, at sa maraming pagkakataon ay kanais-nais, na ilipat ang mga salik na may negatibong exponent mula sa numerator patungo sa denominator o mula sa denominator patungo sa numerator, na binabago ang tanda ng exponent. Ang ganitong mga pagbabago ay kadalasang nagpapasimple ng mga karagdagang aksyon. Halimbawa, ang isang power expression ay maaaring palitan ng .

Pag-convert ng mga expression na may mga ugat at kapangyarihan

Kadalasan, sa mga expression kung saan kinakailangan ang ilang pagbabago, ang mga ugat na may fractional exponents ay naroroon din kasama ng mga kapangyarihan. Upang mabago ang gayong ekspresyon sa nais na anyo, sa karamihan ng mga kaso ito ay sapat na upang pumunta lamang sa mga ugat o lamang sa mga kapangyarihan. Ngunit dahil ito ay mas maginhawa upang gumana sa mga kapangyarihan, sila ay karaniwang lumipat mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan. Gayunpaman, ipinapayong magsagawa ng gayong paglipat kapag ang ODZ ng mga variable para sa orihinal na expression ay nagpapahintulot sa iyo na palitan ang mga ugat ng mga kapangyarihan nang hindi kinakailangang sumangguni sa module o hatiin ang ODZ sa ilang mga pagitan (tinalakay namin ito nang detalyado sa paglipat ng artikulo mula sa mga ugat tungo sa mga kapangyarihan at pabalik Pagkatapos makilala ang antas na may makatwirang exponent isang degree na may hindi makatwiran na exponent ay ipinakilala, na nagpapahintulot sa amin na pag-usapan ang tungkol sa isang degree na may arbitrary na tunay na exponent. Sa yugtong ito, ang paaralan ay nagsisimula sa pag-aaral exponential function, na ayon sa pagsusuri ay ibinigay ng isang kapangyarihan, ang base nito ay isang numero, at ang exponent ay isang variable. Kaya tayo ay nahaharap sa mga expression ng kapangyarihan na naglalaman ng mga numero sa base ng kapangyarihan, at sa exponent - mga expression na may mga variable, at natural na ang pangangailangan ay lumitaw upang maisagawa ang mga pagbabagong-anyo ng naturang mga expression.

Dapat sabihin na ang pagbabagong-anyo ng mga expression ng ipinahiwatig na uri ay karaniwang kailangang isagawa kapag nagresolba mga exponential equation At exponential inequalities, at ang mga conversion na ito ay medyo simple. Sa napakaraming kaso, ang mga ito ay nakabatay sa mga katangian ng antas at nilalayon, sa karamihan, sa pagpapakilala ng bagong variable sa hinaharap. Ang equation ay magpapahintulot sa amin na ipakita ang mga ito 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Una, ang mga kapangyarihan, sa mga exponent kung saan ay ang kabuuan ng isang tiyak na variable (o expression na may mga variable) at isang numero, ay pinapalitan ng mga produkto. Nalalapat ito sa una at huling termino ng expression sa kaliwang bahagi:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Susunod, ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ay nahahati sa expression na 7 2 x, na sa ODZ ng variable x para sa orihinal na equation ay tumatagal lamang ng mga positibong halaga (ito ay isang karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng ganitong uri, hindi kami pinag-uusapan ito ngayon, kaya tumuon sa mga kasunod na pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan ):

Ngayon ay maaari nating kanselahin ang mga fraction na may mga kapangyarihan, na nagbibigay .

Sa wakas, ang ratio ng mga kapangyarihan na may parehong exponents ay pinalitan ng mga kapangyarihan ng mga relasyon, na nagreresulta sa equation , na katumbas . Ang mga pagbabagong ginawa ay nagpapahintulot sa amin na magpakilala ng isang bagong variable, na binabawasan ang solusyon ng orihinal na exponential equation sa solusyon ng isang quadratic equation

Ang pagsulat ng mga kundisyon ng mga problema gamit ang notasyong tinatanggap sa matematika ay humahantong sa paglitaw ng tinatawag na matematikal na mga expression, na kung saan ay tinatawag na mga expression. Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin nang detalyado numeric, alphabetic at variable na mga expression: magbibigay kami ng mga kahulugan at magbibigay ng mga halimbawa ng mga expression ng bawat uri.

Pag-navigate sa pahina.

Numerical expression - ano sila?

Ang pagkilala sa mga numerical expression ay nagsisimula halos mula sa pinakaunang mga aralin sa matematika. Ngunit opisyal nilang nakuha ang kanilang pangalan - mga numerical expression - ilang sandali. Halimbawa, kung susundin mo ang kurso ng M.I. Moro, mangyayari ito sa mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika para sa 2 grado. Doon, ang ideya ng mga numerical na expression ay ibinigay tulad ng sumusunod: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1, atbp. - ito lang mga numeric na expression, at kung gagawin natin ang mga ipinahiwatig na pagkilos sa expression, makikita natin halaga ng pagpapahayag.

Maaari nating tapusin na sa yugtong ito ng pag-aaral ng matematika, ang mga numerical expression ay mga talaan na may kahulugang matematikal na binubuo ng mga numero, panaklong at mga palatandaan ng karagdagan at pagbabawas.

Maya-maya, pagkatapos maging pamilyar sa multiplikasyon at paghahati, ang mga talaan ng mga numerical na expression ay nagsisimulang maglaman ng mga palatandaan na "·" at ":". Magbigay tayo ng ilang halimbawa: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3, atbp.

At sa mataas na paaralan, ang iba't ibang mga pag-record ng mga numerical na expression ay lumalaki tulad ng isang snowball na lumiligid pababa sa isang bundok. Naglalaman ang mga ito ng mga ordinaryo at decimal na fraction, magkahalong numero at negatibong numero, kapangyarihan, ugat, logarithms, sines, cosine, at iba pa.

Ibuod natin ang lahat ng impormasyon sa kahulugan ng isang numerical expression:

Kahulugan.

Numeric na expression ay isang kumbinasyon ng mga numero, mga palatandaan ng mga operasyon ng aritmetika, mga fractional na linya, mga palatandaan ng mga ugat (radicals), logarithms, mga notasyon para sa trigonometriko, kabaligtaran na trigonometriko at iba pang mga pag-andar, pati na rin ang mga bracket at iba pang mga espesyal na simbolo ng matematika, na pinagsama-sama alinsunod sa mga patakarang tinanggap sa matematika.

Ipaliwanag natin ang lahat ng bahagi ng nakasaad na kahulugan.

Ang mga numerical na expression ay maaaring may ganap na anumang numero: mula sa natural hanggang sa tunay, at maging kumplikado. Iyon ay, sa mga numerical expression na mahahanap ng isa

Ang lahat ay malinaw sa mga palatandaan ng mga pagpapatakbo ng aritmetika - ito ang mga palatandaan ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati, ayon sa pagkakabanggit ay mayroong form na "+", "−", "·" at ":". Ang mga numerical na expression ay maaaring maglaman ng isa sa mga palatandaang ito, ilan sa mga ito, o lahat ng mga ito nang sabay-sabay, at higit pa rito, ilang beses. Narito ang mga halimbawa ng mga numerical na expression sa kanila: 3+6, 2.2+3.3+4.4+5.5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.

Tulad ng para sa mga panaklong, mayroong parehong mga numeric na expression na naglalaman ng mga panaklong at mga expression na wala ang mga ito. Kung mayroong mga panaklong sa isang numeric na expression, kung gayon ang mga ito ay karaniwang

At kung minsan ang mga bracket sa mga numerical na expression ay may ilang partikular, hiwalay na ipinahiwatig na espesyal na layunin. Halimbawa, makakahanap ka ng mga square bracket na nagsasaad ng integer na bahagi ng isang numero, kaya ang numerical expression na +2 ay nangangahulugan na ang numero 2 ay idinagdag sa integer na bahagi ng numero 1.75.

Mula sa kahulugan ng isang numerical expression ay malinaw din na ang expression ay maaaring naglalaman ng , , log , ln , lg , mga notasyon o atbp. Narito ang mga halimbawa ng mga numerical expression sa kanila: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 at .

Ang dibisyon sa mga numerical na expression ay maaaring ipahiwatig ng . Sa kasong ito, nagaganap ang mga numerical na expression na may mga fraction. Narito ang mga halimbawa ng gayong mga expression: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 at .

Bilang mga espesyal na simbolo at notasyon sa matematika na makikita sa mga numerical na expression, ipinapakita namin ang . Halimbawa, magpakita tayo ng numerical expression na may modulus .

Ano ang literal na pagpapahayag?

Ang konsepto ng mga expression ng titik ay ibinibigay halos kaagad pagkatapos maging pamilyar sa mga numerical na expression. Ito ay ipinasok humigit-kumulang na ganito. Sa isang tiyak na numerical expression, ang isa sa mga numero ay hindi isinulat, ngunit sa halip ay isang bilog (o parisukat, o katulad na bagay) ang inilalagay, at sinasabing ang isang tiyak na numero ay maaaring palitan para sa bilog. Halimbawa, tingnan natin ang entry. Kung ilalagay mo, halimbawa, ang numero 2 sa halip na isang parisukat, makukuha mo ang numerical na expression na 3+2. Kaya sa halip na mga bilog, parisukat, atbp. sumang-ayon na isulat ang mga liham, at ang gayong mga ekspresyon na may mga titik ay tinawag literal na mga pagpapahayag. Bumalik tayo sa ating halimbawa, kung sa entry na ito ay inilagay natin ang letrang a sa halip na isang parisukat, makakakuha tayo ng literal na pagpapahayag ng form na 3+a.

Kaya, kung pinapayagan namin sa isang numerical expression ang pagkakaroon ng mga titik na nagpapahiwatig ng ilang mga numero, pagkatapos ay makakakuha tayo ng tinatawag na literal na expression. Ibigay natin ang kaukulang kahulugan.

Kahulugan.

Ang isang expression na naglalaman ng mga titik na kumakatawan sa ilang mga numero ay tinatawag literal na pagpapahayag.

Mula sa kahulugang ito, malinaw na ang literal na pagpapahayag ay pangunahing naiiba sa isang numeric na expression dahil maaari itong maglaman ng mga titik. Karaniwan, ang maliliit na titik ng alpabetong Latin (a, b, c, ...) ay ginagamit sa mga ekspresyon ng titik, at ang maliliit na titik ng alpabetong Griyego (α, β, γ, ...) ay ginagamit kapag tumutukoy sa mga anggulo.

Kaya, ang mga literal na expression ay maaaring binubuo ng mga numero, mga titik at naglalaman ng lahat ng mga simbolo ng matematika na maaaring lumitaw sa mga numeric na expression, tulad ng mga panaklong, root sign, logarithms, trigonometriko at iba pang mga function, atbp. Hiwalay naming binibigyang-diin na ang literal na pagpapahayag ay naglalaman ng kahit isang titik. Ngunit maaari rin itong maglaman ng ilang magkapareho o magkaibang mga titik.

Ngayon magbigay tayo ng ilang halimbawa ng literal na mga ekspresyon. Halimbawa, ang a+b ay isang literal na expression na may mga letrang a at b. Narito ang isa pang halimbawa ng literal na expression na 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. At narito ang isang halimbawa ng isang kumplikadong literal na pagpapahayag: .

Mga expression na may mga variable

Kung sa isang literal na pagpapahayag ang isang liham ay tumutukoy sa isang dami na hindi tumatagal sa isang tiyak na halaga, ngunit maaaring tumagal sa iba't ibang mga halaga, kung gayon ang liham na ito ay tinatawag na variable at ang ekspresyon ay tinatawag pagpapahayag na may variable.

Kahulugan.

Pagpapahayag na may mga variable ay isang literal na pagpapahayag kung saan ang mga titik (lahat o ilan) ay tumutukoy sa mga dami na may iba't ibang halaga.

Halimbawa, hayaan ang letrang x sa expression na x 2 −1 na kumuha ng anumang natural na mga halaga mula sa pagitan mula 0 hanggang 10, kung gayon ang x ay isang variable, at ang expression na x 2 −1 ay isang expression na may variable na x.

Ito ay nagkakahalaga ng noting na maaaring mayroong ilang mga variable sa isang expression. Halimbawa, kung isasaalang-alang natin ang x at y na mga variable, kung gayon ang expression ay isang expression na may dalawang variable na x at y.

Sa pangkalahatan, ang paglipat mula sa konsepto ng isang literal na expression sa isang expression na may mga variable ay nangyayari sa ika-7 baitang, kapag nagsimula silang mag-aral ng algebra. Hanggang sa puntong ito, ang mga expression ng liham ay nagmodelo ng ilang partikular na gawain. Sa algebra, sinimulan nilang tingnan ang expression nang mas pangkalahatan, nang walang pagtukoy sa isang partikular na problema, na may pag-unawa na ang expression na ito ay umaangkop sa isang malaking bilang ng mga problema.

Sa pagtatapos ng puntong ito, bigyang-pansin natin ang isa pang punto: sa pamamagitan ng paglitaw ng isang literal na pagpapahayag ay imposibleng malaman kung ang mga titik na kasama dito ay mga variable o hindi. Samakatuwid, walang pumipigil sa amin na isaalang-alang ang mga titik na ito bilang mga variable. Sa kasong ito, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga terminong "literal na pagpapahayag" at "pagpapahayag na may mga variable" ay nawawala.

Bibliograpiya.

• Mathematics. 2 klase Teksbuk para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyong may adj. bawat elektron carrier. Sa 2 p.m. Part 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, atbp.] - 3rd ed. - M.: Edukasyon, 2012. - 96 p.: ill. - (Paaralan ng Russia). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Mathematics: aklat-aralin para sa ika-5 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21st ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: may sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: aklat-aralin para sa ika-7 baitang Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng pamahalaan sa Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Elective course program "Pag-convert ng mga numerical at alphabetic na expression"

Paliwanag na tala

Sa mga nakalipas na taon, ang kontrol sa kalidad ng edukasyon sa matematika ng paaralan ay isinasagawa gamit ang mga CMM, na ang karamihan sa mga gawain ay inaalok sa anyo ng pagsusulit. Ang paraan ng pagsubok na ito ay naiiba sa klasikong papel ng pagsusulit at nangangailangan ng tiyak na paghahanda. Ang isang tampok ng pagsubok sa form na binuo hanggang sa kasalukuyan ay ang pangangailangan na sagutin ang isang malaking bilang ng mga tanong sa isang limitadong panahon, i.e. Kinakailangan hindi lamang na sagutin nang tama ang mga tanong na ibinibigay, ngunit gawin din ito nang mabilis. Samakatuwid, mahalaga para sa mga mag-aaral na makabisado ang iba't ibang mga pamamaraan at pamamaraan na magbibigay-daan sa kanila upang makamit ang ninanais na resulta.

Kapag nilulutas ang halos anumang problema sa matematika ng paaralan, kailangan mong gumawa ng ilang pagbabago. Kadalasan ang pagiging kumplikado nito ay ganap na tinutukoy ng antas ng pagiging kumplikado at ang dami ng pagbabagong kailangang isagawa. Karaniwan na ang isang mag-aaral ay hindi kayang lutasin ang isang problema, hindi dahil hindi niya alam kung paano ito malulutas, ngunit dahil hindi niya magagawa ang lahat ng kinakailangang pagbabago at kalkulasyon sa inilaang oras nang walang pagkakamali.

Ang mga halimbawa ng pag-convert ng mga numerical expression ay mahalaga hindi sa kanilang sarili, ngunit bilang isang paraan ng pagbuo ng mga diskarte sa conversion. Sa bawat taon ng pag-aaral, ang konsepto ng numero ay lumalawak mula sa natural hanggang sa tunay, at sa mataas na paaralan na pagbabago ng kapangyarihan, ang logarithmic at trigonometric na mga expression ay pinag-aaralan. Ang materyal na ito ay medyo mahirap pag-aralan, dahil naglalaman ito ng maraming mga formula at mga panuntunan sa pagbabago.

Upang gawing simple ang isang expression, isagawa ang mga kinakailangang aksyon, o kalkulahin ang halaga ng isang expression, kailangan mong malaman kung saang direksyon ka dapat "lumipat" kasama ang landas ng mga pagbabagong-anyo na humahantong sa tamang sagot kasama ang pinakamaikling "ruta". Ang pagpili ng isang makatwirang landas ay higit sa lahat ay nakasalalay sa pagkakaroon ng buong dami ng impormasyon tungkol sa mga pamamaraan ng pagbabago ng mga expression.

Sa mataas na paaralan, may pangangailangan na sistematisahin at palalimin ang kaalaman at praktikal na mga kasanayan sa pagtatrabaho sa mga numerical expression. Ang mga istatistika ay nagpapakita na ang tungkol sa 30% ng mga pagkakamali na ginawa kapag nag-aaplay sa mga unibersidad ay may likas na computational. Samakatuwid, kapag isinasaalang-alang ang mga nauugnay na paksa sa gitnang paaralan at kapag inuulit ang mga ito sa mataas na paaralan, kinakailangan na bigyang pansin ang pag-unlad ng mga kasanayan sa pag-compute sa mga mag-aaral.

Samakatuwid, upang matulungan ang mga guro na nagtuturo sa ika-11 na baitang ng isang espesyal na paaralan, maaari kaming mag-alok ng isang elektibong kurso na "Pag-convert ng mga numerical at alphabetic na expression sa isang kurso sa matematika ng paaralan."

Mga Marka: == 11

Uri ng elektibong kurso:

sistematisasyon, paglalahat at pagpapalalim ng kurso.

Bilang ng oras:

34 (bawat linggo – 1 oras)

Pang-edukasyon na lugar:

matematika

Mga layunin at layunin ng kurso:

Systematization, generalization at pagpapalawak ng kaalaman ng mga mag-aaral tungkol sa mga numero at operasyon sa kanila; - pagbuo ng interes sa proseso ng pag-compute; - pagbuo ng kalayaan, malikhaing pag-iisip at nagbibigay-malay na interes ng mga mag-aaral; - pagbagay ng mga mag-aaral sa mga bagong tuntunin para sa pagpasok sa mga unibersidad.

Organisasyon ng pag-aaral ng kurso

Ang elective course na “Converting Numerical and Letter Expressions” ay nagpapalawak at nagpapalalim sa basic mathematics curriculum sa high school at idinisenyo para sa pag-aaral sa ika-11 na baitang. Ang iminungkahing kurso ay naglalayong bumuo ng mga kasanayan sa computational at katalinuhan ng pag-iisip. Ang kurso ay nakabalangkas ayon sa isang klasikong plano ng aralin, na may diin sa mga praktikal na pagsasanay. Ito ay idinisenyo para sa mga mag-aaral na may mataas o karaniwang antas ng paghahanda sa matematika at idinisenyo upang tulungan silang maghanda para sa pagpasok sa mga unibersidad at mapadali ang pagpapatuloy ng seryosong edukasyon sa matematika.

Mga nakaplanong resulta:

Kaalaman sa pag-uuri ng numero;

Pagpapabuti ng mabilis na mga kasanayan at kakayahan sa pagbibilang;

Kakayahang gumamit ng mga tool sa matematika kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema;

Pag-unlad ng lohikal na pag-iisip, pinapadali ang pagpapatuloy ng seryosong edukasyon sa matematika.

Mga nilalaman ng elektibong paksa na "Pagbabago ng mga numerical at alphabetic na expression"

Mga Integer (4h): Serye ng numero. Pangunahing teorama ng arithmetic. GCD at NOC. Mga palatandaan ng divisibility. Paraan ng mathematical induction.

Mga rational na numero (2h): Kahulugan ng isang rational na numero. Ang pangunahing katangian ng isang fraction. Mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Kahulugan ng periodic fraction. Ang panuntunan para sa pag-convert mula sa isang decimal periodic fraction sa isang ordinaryong fraction.

Hindi nakapangangatwiran numero. Mga radikal. Degrees. Logarithms (6h): Kahulugan ng isang hindi makatwirang numero. Patunay ng pagiging irrationality ng isang numero. Pag-alis ng irrationality sa denominator. Mga totoong numero. Mga katangian ng degree. Mga katangian ng arithmetic root ng nth degree. Kahulugan ng logarithm. Mga katangian ng logarithms.

Trigonometric function (4h): Bilog ng numero. Mga numerong halaga ng trigonometric function ng mga pangunahing anggulo. Pag-convert ng magnitude ng isang anggulo mula sa isang sukat na antas patungo sa isang sukat na radian at vice versa. Pangunahing mga formula ng trigonometriko. Mga formula ng pagbabawas. Inverse trigonometriko function. Trigonometric na mga operasyon sa arc function. Mga pangunahing ugnayan sa pagitan ng mga function ng arc.

Mga kumplikadong numero (2h): Ang konsepto ng isang kumplikadong numero. Mga pagkilos na may mga kumplikadong numero. Trigonometric at exponential na anyo ng mga kumplikadong numero.

Intermediate na pagsubok (2h)

Paghahambing ng mga numerical na expression (4h): Mga hindi pagkakapantay-pantay sa numero sa hanay ng mga tunay na numero. Mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Suportahan ang hindi pagkakapantay-pantay. Mga pamamaraan para sa pagpapatunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Mga literal na expression (8h): Mga panuntunan para sa pag-convert ng mga expression na may mga variable: polynomials; algebraic fractions; hindi makatwiran na mga ekspresyon; trigonometriko at iba pang mga expression. Mga patunay ng pagkakakilanlan at hindi pagkakapantay-pantay. Pagpapasimple ng mga expression.

Pang-edukasyon at pampakay na plano

Ang plano ay may bisa sa loob ng 34 na oras. Dinisenyo ito na isinasaalang-alang ang paksa ng thesis, kaya dalawang magkahiwalay na bahagi ang isinasaalang-alang: mga numerical at alphabetic na expression. Sa pagpapasya ng guro, ang mga alphabetic na expression ay maaaring isaalang-alang kasama ng mga numeric na expression sa naaangkop na mga paksa.