Paghahanap ng ranggo ng isang matrix gamit ang paraan ng elementarya na pagbabago. Kinakalkula ang ranggo ng isang matrix gamit ang elementarya na pagbabago

Kahulugan. Ranggo ng matrix ay ang maximum na bilang ng mga linearly independent na row na itinuturing bilang mga vector.

Theorem 1 sa ranggo ng matrix. Ranggo ng matrix ay tinatawag na pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng isang nonzero minor ng isang matrix.

Napag-usapan na natin ang konsepto ng isang menor de edad sa aralin sa mga determinant, at ngayon ay gagawin natin itong pangkalahatan. Kumuha tayo ng isang tiyak na bilang ng mga hilera at isang tiyak na bilang ng mga hanay sa matrix, at ito "magkano" ay dapat na mas mababa kaysa sa bilang ng mga hilera at mga haligi ng matrix, at para sa mga hilera at haligi na ito ay "ilang" ay dapat na ang parehong numero. Pagkatapos sa intersection ng kung gaano karaming mga hilera at kung gaano karaming mga haligi magkakaroon ng isang matrix ng mas mababang pagkakasunud-sunod kaysa sa aming orihinal na matrix. Ang determinant ay isang matrix at magiging minor ng kth order kung ang nabanggit na “some” (ang bilang ng mga row at column) ay denoted ng k.

Kahulugan. menor de edad ( r+1)th order, kung saan namamalagi ang napiling menor de edad r-th order ay tinatawag na hangganan para sa isang naibigay na menor de edad.

Ang dalawang pinakakaraniwang ginagamit na pamamaraan ay paghahanap ng ranggo ng matrix. Ito paraan ng hangganan ng mga menor de edad At paraan ng elementarya na pagbabago(Paraan ng Gauss).

Kapag gumagamit ng bordering minors method, ang sumusunod na theorem ay ginagamit.

Theorem 2 sa ranggo ng matrix. Kung ang isang menor de edad ay maaaring binubuo mula sa mga elemento ng matrix r ika-utos, hindi katumbas ng zero, kung gayon ang ranggo ng matrix ay katumbas ng r.

Kapag ginagamit ang paraan ng pagbabagong elementarya, ginagamit ang sumusunod na katangian:

Kung, sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago, ang isang trapezoidal matrix ay nakuha na katumbas ng orihinal, kung gayon ranggo ng matrix na ito ay ang bilang ng mga linya sa loob nito maliban sa mga linya na ganap na binubuo ng mga zero.

Paghahanap ng ranggo ng isang matrix gamit ang paraan ng bordering menor de edad

Ang isang nakapaloob na menor de edad ay isang menor de edad ng isang mas mataas na utos na may kaugnayan sa ibinigay na isa kung ang menor de edad na ito ng isang mas mataas na utos ay naglalaman ng ibinigay na menor de edad.

Halimbawa, ibinigay ang matrix

Kumuha tayo ng menor de edad

Ang mga kalapit na menor de edad ay:

Algorithm para sa paghahanap ng ranggo ng isang matrix susunod.

1. Maghanap ng mga menor de edad ng pangalawang order na hindi katumbas ng zero. Kung ang lahat ng pangalawang-order na menor de edad ay katumbas ng zero, kung gayon ang ranggo ng matrix ay magiging katumbas ng isa ( r =1 ).

2. Kung mayroong hindi bababa sa isang menor de edad sa pangalawang pagkakasunud-sunod na hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay binubuo namin ang karatig na mga menor de edad ng ikatlong order. Kung ang lahat ng karatig na menor de edad ng ikatlong order ay katumbas ng zero, kung gayon ang ranggo ng matrix ay katumbas ng dalawa ( r =2 ).

3. Kung hindi bababa sa isa sa mga kalapit na menor de edad ng ikatlong pagkakasunud-sunod ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay binubuo namin ang mga kalapit na menor de edad. Kung ang lahat ng mga karatig na menor de edad ng ikaapat na order ay katumbas ng zero, kung gayon ang ranggo ng matrix ay katumbas ng tatlo ( r =2 ).

4. Magpatuloy sa ganitong paraan hangga't pinapayagan ang laki ng matrix.

Halimbawa 1. Hanapin ang ranggo ng isang matrix

Solusyon. Minor ng pangalawang order .

I-border natin ito. Magkakaroon ng apat na karatig na menor de edad:

Kaya, ang lahat ng mga karatig na menor de edad ng ikatlong order ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang ranggo ng matrix na ito ay katumbas ng dalawa ( r =2 ).

Halimbawa 2. Hanapin ang ranggo ng isang matrix

Solusyon. Ang ranggo ng matrix na ito ay katumbas ng 1, dahil ang lahat ng pangalawang-order na mga menor de edad ng matrix na ito ay katumbas ng zero (sa mga ito, tulad ng sa mga kaso ng karatig na mga menor de edad sa dalawang sumusunod na mga halimbawa, mahal na mga mag-aaral ay iniimbitahan na i-verify para sa kanilang sarili, marahil ay gumagamit ng mga patakaran para sa pagkalkula ng mga determinant), at kabilang sa mga first-order na menor de edad , iyon ay, kabilang sa mga elemento ng matrix, mayroong mga hindi zero.

Halimbawa 3. Hanapin ang ranggo ng isang matrix

Solusyon. Ang pangalawang order minor ng matrix na ito ay, at lahat ng ikatlong order na minor ng matrix na ito ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang ranggo ng matrix na ito ay dalawa.

Halimbawa 4. Hanapin ang ranggo ng isang matrix

Solusyon. Ang ranggo ng matrix na ito ay 3, dahil ang tanging third-order minor ng matrix na ito ay 3.

Paghahanap ng ranggo ng isang matrix gamit ang paraan ng elementarya na pagbabago (pamamaraang Gauss)

Nasa halimbawa 1 ito ay malinaw na ang gawain ng pagtukoy ng ranggo ng isang matrix gamit ang paraan ng hangganan ng mga menor de edad ay nangangailangan ng pagkalkula ng isang malaking bilang ng mga determinant. Gayunpaman, mayroong isang paraan upang bawasan ang dami ng pagtutuos sa pinakamababa. Ang pamamaraang ito ay batay sa paggamit ng mga pagbabagong elementarya ng matrix at tinatawag ding pamamaraang Gauss.

Ang mga sumusunod na operasyon ay nauunawaan bilang elementary matrix transformations:

1) pagpaparami ng anumang row o column ng isang matrix sa isang numero maliban sa zero;

2) pagdaragdag sa mga elemento ng anumang row o column ng matrix ng mga kaukulang elemento ng isa pang row o column, na pinarami ng parehong numero;

3) pagpapalit ng dalawang row o column ng matrix;

4) pag-alis ng "null" na mga hilera, iyon ay, ang mga elemento na lahat ay katumbas ng zero;

5) pagtanggal ng lahat ng proporsyonal na linya maliban sa isa.

Teorama. Sa panahon ng pagbabagong elementarya, hindi nagbabago ang ranggo ng matrix. Sa madaling salita, kung gagamit tayo ng mga elementarya na pagbabago mula sa matrix A napunta sa matrix B, Yung .

Hayaang magbigay ng ilang matrix:

Pumili tayo sa matrix na ito arbitrary string at arbitrary na mga hanay
. Pagkatapos ang determinant ika-order, na binubuo ng mga elemento ng matrix
, na matatagpuan sa intersection ng mga napiling row at column, ay tinatawag na minor ika-order matrix
.

Kahulugan 1.13. Ranggo ng matrix
ay ang pinakamalaking pagkakasunod-sunod ng non-zero minor ng matrix na ito.

Upang makalkula ang ranggo ng isang matrix, dapat isaalang-alang ng isa ang lahat ng mga menor de edad nito sa pinakamababang pagkakasunud-sunod at, kung hindi bababa sa isa sa mga ito ay naiiba sa zero, magpatuloy sa pagsasaalang-alang sa mga menor de edad ng pinakamataas na pagkakasunud-sunod. Ang pamamaraang ito sa pagtukoy ng ranggo ng isang matrix ay tinatawag na pamamaraan ng hangganan (o ang paraan ng hangganan ng mga menor de edad).

Suliranin 1.4. Gamit ang paraan ng hangganan ng mga menor de edad, tukuyin ang ranggo ng matrix
.

Isaalang-alang ang first-order edging, halimbawa,
. Pagkatapos ay lumipat kami upang isaalang-alang ang ilang pangalawang-order na edging.

Halimbawa,
.

Panghuli, pag-aralan natin ang third-order bordering.

Kaya ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng isang di-zero na menor de edad ay 2, samakatuwid
.

Kapag nilulutas ang Problema 1.4, mapapansin mo na ang isang bilang ng mga second-order na karatig na menor de edad ay nonzero. Kaugnay nito, naaangkop ang sumusunod na konsepto.

Kahulugan 1.14. Ang isang batayang minor ng isang matrix ay anumang hindi zero na menor na ang pagkakasunud-sunod ay katumbas ng ranggo ng matrix.

Teorama 1.2.(Batayan minor theorem). Ang mga hilera ng batayan (mga hanay ng batayan) ay linearly independent.

Tandaan na ang mga row (column) ng isang matrix ay linearly dependent kung at kung kahit isa sa mga ito ay maaaring katawanin bilang linear na kumbinasyon ng iba.

Teorama 1.3. Ang bilang ng mga linearly independent na matrix row ay katumbas ng bilang ng mga linearly independent na matrix column at katumbas ng rank ng matrix.

Teorama 1.4.(Kinakailangan at sapat na kondisyon para ang determinant ay katumbas ng zero). Upang ang determinant -ika-utos ay katumbas ng zero, ito ay kinakailangan at sapat na ang mga hilera nito (mga haligi) ay linearly na umaasa.

Ang pagkalkula ng ranggo ng isang matrix batay sa kahulugan nito ay masyadong mahirap. Lalo itong nagiging mahalaga para sa mga matrice na may mataas na pagkakasunud-sunod. Sa pagsasaalang-alang na ito, sa pagsasagawa, ang ranggo ng isang matrix ay kinakalkula batay sa aplikasyon ng Theorems 10.2 - 10.4, pati na rin ang paggamit ng mga konsepto ng pagkakapareho ng matrix at elementarya na pagbabago.

Kahulugan 1.15. Dalawang matrice
At ay tinatawag na katumbas kung ang kanilang mga ranggo ay pantay, i.e.
.

Kung matrices
At ay katumbas, pagkatapos ay tandaan
 .

Teorama 1.5. Ang ranggo ng matrix ay hindi nagbabago dahil sa elementarya na pagbabago.

Tatawagin natin ang elementary matrix transformations
alinman sa mga sumusunod na operasyon sa isang matrix:

Pagpapalit ng mga hilera ng mga hanay at mga hanay ng kaukulang mga hilera;

Muling pag-aayos ng mga hilera ng matrix;

Pagtawid sa isang linya na ang mga elemento ay zero;

Pagpaparami ng string sa isang numero maliban sa zero;

Pagdaragdag sa mga elemento ng isang linya ng mga kaukulang elemento ng isa pang linya na pinarami ng parehong numero
.

Corollary ng Theorem 1.5. Kung matrix
nakuha mula sa matrix gamit ang isang may hangganang bilang ng mga elementarya na pagbabago, pagkatapos ay ang matrix
At ay katumbas.

Kapag kinakalkula ang ranggo ng isang matrix, dapat itong bawasan sa isang trapezoidal form gamit ang isang may hangganan na bilang ng mga elementarya na pagbabago.

Kahulugan 1.16. Tatawagin natin ang trapezoidal na isang anyo ng representasyon ng matrix kapag sa hangganang menor ng pinakamataas na pagkakasunud-sunod na hindi zero, lahat ng elemento sa ibaba ng dayagonal ay naglaho. Halimbawa:

Dito
, mga elemento ng matrix
pumunta sa zero. Pagkatapos ang anyo ng representasyon ng naturang matrix ay magiging trapezoidal.

Bilang isang patakaran, ang mga matrice ay nabawasan sa isang trapezoidal na hugis gamit ang Gaussian algorithm. Ang ideya ng algorithm ng Gauss ay, sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga elemento ng unang hilera ng matrix sa pamamagitan ng kaukulang mga kadahilanan, nakamit na ang lahat ng mga elemento ng unang haligi ay matatagpuan sa ibaba ng elemento.
, magiging zero. Pagkatapos, ang pagpaparami ng mga elemento ng pangalawang hanay sa pamamagitan ng kaukulang mga kadahilanan, tinitiyak namin na ang lahat ng mga elemento ng pangalawang haligi ay matatagpuan sa ibaba ng elemento.
, magiging zero. Pagkatapos ay magpatuloy sa parehong paraan.

Suliranin 1.5. Tukuyin ang ranggo ng isang matrix sa pamamagitan ng pagbabawas nito sa isang hugis na trapezoidal.

Upang gawing mas madaling gamitin ang Gaussian algorithm, maaari mong palitan ang una at ikatlong linya.








.

Obvious naman dito
. Gayunpaman, upang dalhin ang resulta sa isang mas eleganteng anyo, maaari mong ipagpatuloy ang pagbabago ng mga column.










.

>>Ranggo ng matrix

Ranggo ng matrix

Pagtukoy sa ranggo ng isang matrix

Isaalang-alang ang isang hugis-parihaba na matrix. Kung sa matrix na ito ay pipiliin natin nang arbitraryo k mga linya at k mga column, pagkatapos ay ang mga elemento sa intersection ng mga napiling row at column ay bumubuo ng square matrix ng kth order. Ang determinant ng matrix na ito ay tinatawag minor ng kth order matrix A. Malinaw, ang matrix A ay may mga menor de edad ng anumang pagkakasunud-sunod mula 1 hanggang sa pinakamaliit sa mga numerong m at n. Sa lahat ng hindi zero na menor de edad ng matrix A, mayroong kahit isang menor de edad na ang pagkakasunud-sunod ay ang pinakamalaki. Ang pinakamalaki sa mga non-zero minor na order ng isang ibinigay na matrix ay tinatawag ranggo matrice. Kung ang ranggo ng matrix A ay r, nangangahulugan ito na ang matrix A ay may non-zero minor ng order r, ngunit bawat menor de edad ng pagkakasunud-sunod na mas malaki kaysa sa r, ay katumbas ng zero. Ang ranggo ng matrix A ay tinutukoy ng r(A). Malinaw, ang relasyon ay humahawak

Pagkalkula ng ranggo ng isang matrix gamit ang mga menor de edad

Ang ranggo ng matrix ay matatagpuan alinman sa pamamagitan ng paraan ng hangganan ng mga menor de edad o sa pamamagitan ng paraan ng elementarya na pagbabago. Kapag kinakalkula ang ranggo ng isang matrix gamit ang unang paraan, dapat kang lumipat mula sa mga menor de edad na may mababang pagkakasunud-sunod patungo sa mga menor de edad na may mataas na pagkakasunud-sunod. Kung ang isang menor de edad D ng kth na pagkakasunud-sunod ng matrix A, na naiiba sa zero, ay natagpuan na, ang (k+1) na order na mga menor de edad na nasa hangganan ng menor de edad D ay nangangailangan ng pagkalkula, i.e. naglalaman nito bilang isang menor de edad. Kung lahat sila ay katumbas ng zero, kung gayon ang ranggo ng matrix ay katumbas ng k.

Halimbawa 1.Hanapin ang ranggo ng matrix gamit ang paraan ng bordering minors

Solusyon.Nagsisimula kami sa 1st order minors, i.e. mula sa mga elemento ng matrix A. Pumili tayo, halimbawa, isang menor de edad (elemento) M 1 = 1, na matatagpuan sa unang hilera at unang hanay. Bordering sa tulong ng pangalawang hilera at ikatlong hanay, nakakakuha kami ng isang menor de edad M 2 = naiiba mula sa zero. Bumaling tayo ngayon sa 3rd order na mga menor de edad na nasa hangganan ng M2. Dalawa lang sila (maaari kang magdagdag ng pangalawa o ikaapat na column). Kalkulahin natin ang mga ito: = 0. Kaya, ang lahat ng karatig na menor de edad ng ikatlong order ay naging katumbas ng zero. Ang ranggo ng matrix A ay dalawa.

Kinakalkula ang ranggo ng isang matrix gamit ang elementarya na pagbabago

elementaryaAng mga sumusunod na pagbabagong-anyo ng matrix ay tinatawag na:

1) permutasyon ng alinmang dalawang row (o column),

2) pagpaparami ng row (o column) sa isang non-zero na numero,

3) pagdaragdag sa isang row (o column) ng isa pang row (o column), na pinarami ng isang tiyak na numero.

Ang dalawang matrice ay tinatawag katumbas, kung ang isa sa mga ito ay nakuha mula sa isa gamit ang isang may hangganan na hanay ng mga elementarya na pagbabago.

Ang mga katumbas na matrice ay hindi, sa pangkalahatan, pantay, ngunit ang kanilang mga ranggo ay pantay. Kung ang mga matrice A at B ay katumbas, ito ay nakasulat bilang mga sumusunod: A~B.

CanonicalAng isang matrix ay isang matrix kung saan sa simula ng pangunahing dayagonal mayroong ilang mga sa isang hilera (ang bilang nito ay maaaring zero), at lahat ng iba pang mga elemento ay katumbas ng zero, halimbawa,

Gamit ang mga elementarya na pagbabago ng mga row at column, ang anumang matrix ay maaaring gawing kanonikal. Ang ranggo ng isang canonical matrix ay katumbas ng bilang ng mga nasa pangunahing dayagonal nito.

Halimbawa 2Hanapin ang ranggo ng isang matrix

at dalhin ito sa canonical form.

Solusyon. Mula sa pangalawang linya, ibawas ang una at muling ayusin ang mga linyang ito:

Ngayon mula sa pangalawa at pangatlong linya ay ibawas namin ang una, pinarami ng 2 at 5, ayon sa pagkakabanggit:

;

ibawas ang una sa ikatlong linya; nakakakuha kami ng matrix

B = ,

na katumbas ng matrix A, dahil ito ay nakuha mula dito gamit ang isang may hangganan na hanay ng mga elementarya na pagbabago. Malinaw, ang ranggo ng matrix B ay 2, at samakatuwid r(A)=2. Ang Matrix B ay madaling maibaba sa canonical. Sa pamamagitan ng pagbabawas ng unang hanay, na pinarami ng angkop na mga numero, mula sa lahat ng mga kasunod, binabaling namin sa zero ang lahat ng mga elemento ng unang hilera, maliban sa una, at ang mga elemento ng natitirang mga hilera ay hindi nagbabago. Pagkatapos, ang pagbabawas ng pangalawang hanay, na pinarami ng angkop na mga numero, mula sa lahat ng mga kasunod, binabaling namin sa zero ang lahat ng mga elemento ng pangalawang hilera, maliban sa pangalawa, at makuha ang canonical matrix:

elementarya Ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo ng matrix ay tinatawag na:

1) permutasyon ng alinmang dalawang row (o column),

2) pagpaparami ng row (o column) sa isang non-zero na numero,

3) pagdaragdag sa isang row (o column) ng isa pang row (o column), na pinarami ng isang tiyak na numero.

Ang dalawang matrice ay tinatawag katumbas, kung ang isa sa mga ito ay nakuha mula sa isa gamit ang isang may hangganan na hanay ng mga elementarya na pagbabago.

Ang mga katumbas na matrice ay hindi, sa pangkalahatan, pantay, ngunit ang kanilang mga ranggo ay pantay. Kung ang mga matrice A at B ay katumbas, kung gayon ito ay nakasulat bilang mga sumusunod: A ~ B.

Canonical Ang isang matrix ay isang matrix kung saan sa simula ng pangunahing dayagonal mayroong ilang mga sa isang hilera (ang bilang nito ay maaaring zero), at lahat ng iba pang mga elemento ay katumbas ng zero, halimbawa,

Halimbawa 2 Hanapin ang ranggo ng isang matrix

at dalhin ito sa canonical form.

Solusyon. Mula sa pangalawang linya, ibawas ang una at muling ayusin ang mga linyang ito:

Ngayon mula sa pangalawa at pangatlong linya ay ibawas namin ang una, pinarami ng 2 at 5, ayon sa pagkakabanggit:

;

ibawas ang una sa ikatlong linya; nakakakuha kami ng matrix

B = ,

Kronecker - teorama ng Capelli- pamantayan sa pagiging tugma para sa isang sistema ng mga linear algebraic equation:

Upang maging pare-pareho ang isang linear na sistema, kinakailangan at sapat na ang ranggo ng pinalawig na matrix ng sistemang ito ay katumbas ng ranggo ng pangunahing matrix nito.

Patunay (mga kundisyon ng compatibility ng system)

Pangangailangan

Hayaan sistema magkadugtong Pagkatapos ay may mga numero tulad na. Samakatuwid, ang column ay isang linear na kumbinasyon ng mga column ng matrix. Mula sa katotohanan na ang ranggo ng isang matrix ay hindi magbabago kung ang isang hilera (column) ay tatanggalin o idinagdag mula sa sistema ng mga hilera nito (columns), na isang linear na kumbinasyon ng iba pang mga hilera (column), ito ay sumusunod na .

Kasapatan

Hayaan . Kumuha tayo ng ilang pangunahing menor de edad sa matrix. Dahil, kung gayon ito rin ang magiging batayan ng minor ng matrix. Pagkatapos, ayon sa batayan ng teorama menor de edad, ang huling column ng matrix ay magiging isang linear na kumbinasyon ng mga base column, iyon ay, ang mga column ng matrix. Samakatuwid, ang column ng mga libreng termino ng system ay isang linear na kumbinasyon ng mga column ng matrix.

Mga kahihinatnan

Bilang ng mga pangunahing variable mga sistema katumbas ng ranggo ng sistema.

Pinagsama sistema ay tutukuyin (ang solusyon nito ay natatangi) kung ang ranggo ng system ay katumbas ng bilang ng lahat ng mga variable nito.

Homogeneous na sistema ng mga equation

Alok15 . 2 Homogeneous na sistema ng mga equation

ay laging magkadugtong.

Patunay. Para sa sistemang ito, ang hanay ng mga numero , , , ay isang solusyon.

Sa seksyong ito gagamitin namin ang matrix notation ng system: .

Alok15 . 3 Ang kabuuan ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay isang solusyon sa sistemang ito. Ang solusyon na pinarami ng numero ay isa ring solusyon.

Patunay. Hayaan silang magsilbing solusyon sa sistema. Pagkatapos at. Hayaan . Pagkatapos

Dahil, pagkatapos - ang solusyon.

Hayaan ay isang arbitrary na numero, . Pagkatapos

Dahil, pagkatapos - ang solusyon.

Bunga15 . 1 Kung ang isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay may isang nonzero na solusyon, kung gayon ito ay may walang katapusang maraming iba't ibang mga solusyon.

Sa katunayan, ang pagpaparami ng isang non-zero na solusyon sa iba't ibang numero, makakakuha tayo ng iba't ibang mga solusyon.

Kahulugan15 . 5 Sasabihin namin na ang mga solusyon anyo ng mga sistema pangunahing sistema ng mga solusyon, kung mga column bumuo ng isang linearly independent system at anumang solusyon sa system ay isang linear na kumbinasyon ng mga column na ito.