Pagsusuri ng antas ng profile ng mga gawain sa pagsusulit. Paghahanda para sa Unified State Exam sa matematika (profile level): mga takdang-aralin, solusyon at mga paliwanag

May-akda Bagmenova T.A. guro sa matematikaMBOU Secondary School No. 14, Novocherkassk, Rostov Region.

Kapag nilulutas ang mga gawain sa paggamit ng mga derivatives bilang paghahanda para sa Unified State Exam, mayroong isang malawak na iba't ibang mga gawain, na nag-uudyok sa pangangailangan na hatiin ang mga gawain sa mga grupo, na sinamahan ng teoretikal na materyal sa paksang "Derivative".

Tingnan natin ang mga halimbawa ng mga gawain No. 7 sa paksang "Derivative" ng isang antas ng profile sa matematika, na hinahati ang mga ito sa mga grupo.

1 . Hayaang maging tuluy-tuloy ang function na f(x) sa pagitan [ a ; b ] at naiba sa pagitan (a;b). Kung ang derivative ng isang function ay mas malaki sa zero para sa lahat ng x na kabilang sa [ a ; b ], pagkatapos ay tataas ang function ng [ a ; b ], at kung ang derivative ng isang function ay mas mababa sa zero, bumababa ito sa segment na ito.

Mga halimbawa:

1)

Solusyon.

Sa mga punto at punto ay bumababa ang function, samakatuwid ang derivative ng function sa mga puntong ito ay negatibo.

Sagot: 2.

2)

Solusyon.

Sa mga pagitan (-2;2), (6;10) ang derivative ng function ay negatibo; samakatuwid, ang function ay bumababa sa mga pagitan na ito. Ang haba ng parehong pagitan ay 4.

Sagot: 4.

3)

Solusyon.

Sa segment, ang derivative ng function ay positibo, samakatuwid ang function ay tumataas sa pagitan na ito, samakatuwid ang function ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga nito sa punto 3.

Sagot: 3.

4)

Solusyon.

Sa interval [-2;3] ang derivative ng function ay negatibo, samakatuwid ang function ay bumababa sa interval na ito, samakatuwid ang function ay tumatagal sa pinakamalaking halaga nito sa punto -2.

Sagot: -2.

2 . Kung sa isang punto ang derivative ng isang function ay nagbabago ng sign mula sa "-" sa "+", kung gayon ito ang pinakamababang punto ng function; kung sa isang punto ang derivative ng isang function ay nagbabago ng sign mula sa "+" hanggang sa "-", kung gayon ito ang punto ng maximum ng function.

Halimbawa:

Solusyon.

Sa puntong x=3; x=13 ang derivative ng function ay nagbabago ng sign mula sa "-" hanggang sa "+", samakatuwid ito ang pinakamababang punto ng function.

Sagot: 2.

3. Kondisyon( x )=0 ay isang kinakailangang kondisyon para sa extremum ng naiba-iba na function f ( x ). Dahil sa mga punto ng intersection ng graph ng derivative ng isang function na may Ox axis, ang derivative ng function ay katumbas ng zero, kung gayon ang mga puntong ito ay extremum point.

Halimbawa:

Solusyon.

Mayroong 4 na punto ng intersection ng graph ng derivative ng isang function na may Ox axis sa isang partikular na segment, samakatuwid mayroong 4 na extremum point.

Sagot: 4.

4 . Ang derivative ng isang function ay katumbas ng zero sa mga extremum point ng function. Sa problemang ito, ito ang mga punto kung saan lumilipat ang function mula sa pagtaas patungo sa pagbaba o vice versa.

Halimbawa:

Solusyon.

Sa mga punto ang derivative ay zero.

Sagot: 4.

5. Hanapin ang halaga ng derivative ng function sa isang punto, nangangahulugan ito ng paghahanap ng tangent ng anggulo ng inclination ng tangent sa Ox axis o sa isang tuwid na linya na kahanay sa Ox axis. Kung ang anggulo ng inclination ng tangent sa Ox axis ay talamak, kung gayon ang tangent ng anggulo ay positibo; kung ang anggulo ng inclination ng tangent sa Ox axis ay obtuse, kung gayon ang tangent ng anggulo ay negatibo.

Halimbawa:

Solusyon.

Bumuo tayo ng isang tamang tatsulok kung saan ang hypotenuse ay nakahiga sa tangent, at ang isa sa mga binti ay nakahiga sa axis ng Ox o sa isang tuwid na linya na kahanay sa axis ng Ox, pagkatapos ay bibilangin natin ang mga haba ng mga binti at kalkulahin ang tangent ng matinding anggulo ng tamang tatsulok. Ang kabaligtaran na bahagi ay katumbas ng 2, ang katabing bahagi ay katumbas ng 8, samakatuwid ang tangent ng matinding anggulo ng isang tamang tatsulok ay katumbas ng 0.25. Ang anggulo ng inclination ng tangent sa Ox axis ay obtuse, samakatuwid ang tangent ng angle of inclination ng tangent ay negatibo, samakatuwid ang halaga ng derivative ng function sa punto ay -0.25.

Sagot: - 0.25.

6. 1) Ang mga angular coefficient ng mga parallel na linya ay pantay.

2) Ang halaga ng derivative ng function f ( x y = f ( x ) sa punto (; f ()).

Halimbawa.

Solusyon.

Ang slope ng tuwid na linya ay 2. Sincehalaga ng derivative ng functionf( x) sa isang punto ay katumbas ng slope ng tangent sa graph ng functiony= f( x) sa punto (;f()), pagkatapos ay makikita natin ang mga punto kung saan ang derivative ng functionf( x) ay katumbas ng 2.Mayroong 4 na ganoong mga punto sa graph na ito. Samakatuwid, ang bilang ng mga punto kung saan ang tangent sa graph ng functionf( x) ay parallel sa isang ibinigay na linya o kasabay nito ay katumbas ng 4.

Sagot: 4.

Mga Ginamit na Aklat:

Kolyagin Yu. M., Tkacheva M. V., Fedorova N. E. et al. Algebra at ang simula ng mathematical analysis (basic at advanced level). 10 grado – Kaliwanagan. 2014

Pinag-isang Pagsusulit ng Estado: 4000 mga problema sa mga sagot sa matematika. Ang lahat ng mga gawain ay "Closed segment". Basic at antas ng profile. Na-edit ni I. V. Yashchenko - M.: Publishing House "Exam", - 2016. - 640 p.

Upang matagumpay na malutas ang mga variant ng profile ng Unified State Examination sa matematika, sulit na iwanan ang gayong algorithm. Kapag naghahanda para sa isang pagsusulit, kailangan mong tumuon hindi sa pagpasa nito bilang isang pagtatapos sa sarili nito, ngunit sa pagtaas ng antas ng kaalaman ng mag-aaral. Upang gawin ito, kailangan mong pag-aralan ang teorya, kasanayan sa pagsasanay, paglutas ng iba't ibang mga opsyon para sa profile ng Unified State Examination sa matematika sa mga hindi karaniwang paraan na may mga detalyadong sagot, at subaybayan ang dinamika ng pag-aaral. At ang proyektong pang-edukasyon ng Shkolkovo ay makakatulong sa iyo sa lahat ng ito.

Bakit dapat mong piliin ang aming mapagkukunan?

Hindi kami nag-aalok sa iyo ng mga tipikal na halimbawa ng mga problema sa profile ng Unified State Exam sa matematika, na gumagala sa Internet mula sa isang site patungo sa isa pa. Ang aming mga eksperto ay nakapag-iisa na bumuo ng isang database ng mga gawain, na binubuo ng mga kawili-wili at natatanging mga pagsasanay at ina-update araw-araw. Lahat ng problema sa PAGGAMIT sa matematika sa antas ng profile ay naglalaman ng mga sagot at detalyadong solusyon. Hinahayaan ka nitong makilala ang mga kalakasan at kahinaan sa paghahanda ng isang mag-aaral at turuan siyang mag-isip nang malaya at sa labas ng kahon.

Upang makumpleto ang mga gawain at tingnan ang mga solusyon sa GAMITIN ang mga gawain sa matematika sa antas ng profile, pumili ng ehersisyo sa "Catalogue". Ito ay medyo madaling gawin dahil mayroon itong malinaw na istraktura na kinabibilangan ng mga paksa at subtopic. Ang lahat ng mga gawain ay inayos sa pataas na pagkakasunud-sunod mula sa simple hanggang sa mas kumplikado at naglalaman ng mga sagot sa profile Unified State Exam sa matematika na may mga solusyon.

Bilang karagdagan, ang mag-aaral ay binibigyan ng pagkakataon na nakapag-iisa na lumikha ng mga variant ng mga problema. Gamit ang "Constructor", maaari niyang piliin ang GAMITIN ang mga gawain sa matematika sa antas ng profile sa anumang paksa na interesado sa kanya at tingnan ang kanilang mga solusyon. Papayagan ka nitong magsanay ng mga kasanayan sa isang partikular na seksyon, halimbawa, geometry o algebra.

Gayundin, maaaring suriin ng isang mag-aaral ang mga gawain ng isang espesyal na Pinag-isang Estado na Pagsusuri sa matematika sa "Personal na Account ng Mag-aaral." Sa seksyong ito, masusubaybayan ng mag-aaral ang kanyang sariling dinamika at makipag-usap sa guro.

Ang lahat ng ito ay makakatulong sa iyo na epektibong maghanda para sa dalubhasang Pinag-isang State Exam sa matematika at madaling makahanap ng mga solusyon sa kahit na ang pinakamasalimuot na problema.

Ipinapakita ng pagsasanay na ang mga problema sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok ay lilitaw sa Unified State Exam bawat taon. Kaya naman, kung nais ng mga mag-aaral na makakuha ng disenteng mga marka sa pagsusulit sa pagtatasa, dapat nilang suriin ang paksang ito at unawaing muli ang materyal.

Paano maghanda para sa pagsusulit?

Ang proyektong pang-edukasyon ng Shkolkovo ay tutulong sa iyo na matutong malutas ang mga problema sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok, katulad ng matatagpuan sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado. Dito makikita mo ang lahat ng kinakailangang materyal upang maghanda para sa pagpasa sa pagsusulit sa sertipikasyon.

Upang matiyak na ang mga pagsasanay sa paksang "Lugar ng isang tatsulok sa mga problema sa Pinag-isang Estado ng Pagsusulit" ay hindi nagdudulot ng mga paghihirap para sa mga nagtapos, inirerekumenda namin na i-refresh mo muna ang iyong memorya ng mga pangunahing konsepto at panuntunan ng trigonometriko. Upang gawin ito, pumunta lamang sa seksyong "Theoretical Information". Naglalahad ito ng mga pangunahing kahulugan at pormula na makakatulong sa paghahanap ng tamang sagot.

Upang pagsamahin ang natutunan na materyal at pagsasanay sa paglutas ng mga problema, iminumungkahi namin ang paggawa ng mga pagsasanay na pinili ng mga espesyalista ng proyektong pang-edukasyon ng Shkolkovo. Ang bawat gawain sa site ay may tamang sagot at isang detalyadong paglalarawan kung paano ito lutasin. Ang mga mag-aaral ay maaaring magsanay sa parehong simple at mas kumplikadong mga problema.

Ang mga mag-aaral ay maaaring "pump up" ang kanilang mga kasanayan sa pagsasagawa ng mga naturang pagsasanay online sa Moscow at sa anumang iba pang lungsod sa Russia. Kung kinakailangan, ang natapos na gawain ay maaaring i-save sa seksyong "Mga Paborito" upang bumalik dito sa ibang pagkakataon at talakayin ang pag-unlad ng solusyon sa guro.

Pangalawang pangkalahatang edukasyon

Linya ng UMK G. K. Muravin. Algebra at mga prinsipyo ng mathematical analysis (10-11) (in-depth)

linya ng UMK Merzlyak. Algebra at simula ng pagsusuri (10-11) (U)

Mathematics

Paghahanda para sa Unified State Exam sa matematika (profile level): mga takdang-aralin, solusyon at mga paliwanag

Ang pagsusuri sa antas ng profile ay tumatagal ng 3 oras 55 minuto (235 minuto).

Minimum na threshold- 27 puntos.

Ang papel ng pagsusulit ay binubuo ng dalawang bahagi, na naiiba sa nilalaman, pagiging kumplikado at bilang ng mga gawain.

Ang tampok na pagtukoy ng bawat bahagi ng gawain ay ang anyo ng mga gawain:

• bahagi 1 ay naglalaman ng 8 mga gawain (mga gawain 1-8) na may maikling sagot sa anyo ng isang buong numero o isang panghuling bahagi ng decimal;
• bahagi 2 ay naglalaman ng 4 na gawain (mga gawain 9-12) na may maikling sagot sa anyo ng isang integer o isang panghuling bahagi ng decimal at 7 mga gawain (mga gawain 13–19) na may isang detalyadong sagot (isang kumpletong talaan ng solusyon na may katwiran para sa mga aksyon na ginawa).

Panova Svetlana Anatolevna, guro sa matematika ng pinakamataas na kategorya ng paaralan, karanasan sa trabaho 20 taon:

"Upang makatanggap ng sertipiko ng paaralan, ang isang nagtapos ay dapat pumasa sa dalawang mandatoryong pagsusulit sa anyo ng Pinag-isang Estado na Pagsusuri, isa na rito ang matematika. Alinsunod sa Konsepto para sa Pag-unlad ng Edukasyong Matematika sa Russian Federation, ang Pinag-isang Estado ng Pagsusuri sa matematika ay nahahati sa dalawang antas: pangunahing at dalubhasa. Ngayon ay titingnan natin ang mga opsyon sa antas ng profile.”

Gawain Blg. 1- sinusubok ang kakayahan ng mga kalahok sa Unified State Exam na gamitin ang mga kasanayang nakuha sa kursong ika-5 hanggang ika-9 na baitang sa elementarya na matematika sa mga praktikal na aktibidad. Ang kalahok ay dapat magkaroon ng mga kasanayan sa pag-compute, marunong gumamit ng mga rational na numero, makapag-round ng mga decimal, at makapag-convert ng isang unit ng pagsukat sa isa pa.

Halimbawa 1. Sa apartment kung saan nakatira si Peter, isang malamig na water flow meter (meter) ang na-install. Noong Mayo 1, ang metro ay nagpakita ng pagkonsumo ng 172 cubic meters. m ng tubig, at sa una ng Hunyo - 177 metro kubiko. m. Anong halaga ang dapat bayaran ni Peter para sa malamig na tubig sa Mayo, kung ang presyo ay 1 metro kubiko? m ng malamig na tubig ay 34 rubles 17 kopecks? Ibigay ang iyong sagot sa rubles.

Solusyon:

1) Hanapin ang dami ng tubig na ginagastos bawat buwan:

177 - 172 = 5 (kubiko m)

2) Alamin natin kung magkano ang babayaran nila para sa nasayang na tubig:

34.17 5 = 170.85 (kuskusin)

Sagot: 170,85.

Gawain Blg. 2- ay isa sa mga pinakasimpleng gawain sa pagsusulit. Ang karamihan ng mga nagtapos ay matagumpay na nakayanan ito, na nagpapahiwatig ng kaalaman sa kahulugan ng konsepto ng pag-andar. Uri ng gawain No. 2 ayon sa mga kinakailangan ang codifier ay isang gawain sa paggamit ng nakuhang kaalaman at kasanayan sa mga praktikal na aktibidad at pang-araw-araw na buhay. Ang Gawain Blg. 2 ay binubuo ng paglalarawan, paggamit ng mga function, iba't ibang tunay na ugnayan sa pagitan ng mga dami at pagbibigay-kahulugan sa kanilang mga graph. Ang Gawain Blg. 2 ay sumusubok sa kakayahang kunin ang impormasyong ipinakita sa mga talahanayan, diagram, at mga graph. Kailangang matukoy ng mga nagtapos ang halaga ng isang function mula sa halaga ng argumento sa iba't ibang paraan ng pagtukoy sa function at ilarawan ang pag-uugali at katangian ng function batay sa graph nito. Kailangan mo ring mahanap ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga mula sa isang function graph at bumuo ng mga graph ng mga pinag-aralan na function. Ang mga error na ginawa ay random sa pagbabasa ng mga kondisyon ng problema, pagbabasa ng diagram.

#ADVERTISING_INSERT#

Halimbawa 2. Ipinapakita ng figure ang pagbabago sa halaga ng palitan ng isang bahagi ng isang kumpanya ng pagmimina sa unang kalahati ng Abril 2017. Noong Abril 7, bumili ang negosyante ng 1,000 shares ng kumpanyang ito. Noong Abril 10, ibinenta niya ang tatlong-kapat ng bahaging binili niya, at noong Abril 13, ibinenta niya ang lahat ng natitirang bahagi. Magkano ang nawala sa negosyante bilang resulta ng mga operasyong ito?

Solusyon:

2) 1000 · 3/4 = 750 (shares) - bumubuo ng 3/4 ng lahat ng share na binili.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rub) - ang negosyante ay nakatanggap ng 1000 na pagbabahagi pagkatapos ibenta.

7) 340,000 – 325,000 = 15,000 (rub) - natalo ang negosyante bilang resulta ng lahat ng operasyon.

Sagot: 15000.

Gawain Blg. 3- ay isang pangunahing antas ng gawain ng unang bahagi, sumusubok sa kakayahang magsagawa ng mga aksyon na may mga geometric na numero ayon sa nilalaman ng kursong Planimetry. Sinusuri ng Gawain 3 ang kakayahang kalkulahin ang lugar ng isang figure sa checkered na papel, ang kakayahang kalkulahin ang mga sukat ng antas ng mga anggulo, kalkulahin ang mga perimeter, atbp.

Halimbawa 3. Hanapin ang lugar ng isang parihaba na iginuhit sa checkered na papel na may sukat ng cell na 1 cm sa 1 cm (tingnan ang figure). Ibigay ang iyong sagot sa square centimeters.

Solusyon: Upang makalkula ang lugar ng isang naibigay na figure, maaari mong gamitin ang Peak formula:

Upang kalkulahin ang lugar ng isang parihaba, ginagamit namin ang formula ng Peak:

Halimbawa 4. May 5 pula at 1 asul na tuldok na minarkahan sa bilog. Tukuyin kung aling mga polygon ang mas malaki: yaong may lahat ng vertices na pula, o yaong may isa sa mga vertices na asul. Sa iyong sagot, ipahiwatig kung ilan ang mas marami kaysa sa iba.

Solusyon: 1) Gamitin natin ang formula para sa bilang ng mga kumbinasyon ng n mga elemento sa pamamagitan ng k:

na ang mga vertex ay pula lahat.

3) Isang pentagon na may pulang lahat ng vertex.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygon na may lahat ng pulang vertices.

na may pulang tuktok o may isang asul na tuktok.

na may pulang tuktok o may isang asul na tuktok.

8) Isang hexagon na may pulang vertex at isang asul na vertex.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygon na may lahat ng pulang vertex o isang asul na vertex.

10) 42 – 16 = 26 polygon gamit ang asul na tuldok.

11) 26 – 16 = 10 polygons – ilang polygons kung saan ang isa sa mga vertices ay isang asul na tuldok ang naroroon kaysa sa mga polygon kung saan ang lahat ng vertices ay pula lamang.

Sagot: 10.

Gawain Blg. 5- ang pangunahing antas ng unang bahagi ay sumusubok sa kakayahang malutas ang mga simpleng equation (hindi makatwiran, exponential, trigonometric, logarithmic).

Halimbawa 5. Lutasin ang equation 2 3 + x= 0.4 5 3 + x .

Solusyon. Hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 5 3 + X≠ 0, nakukuha namin

kung saan ito sumusunod na 3 + x = 1, x = –2.

Sagot: –2.

Gawain Blg. 6 sa planimetry upang makahanap ng mga geometric na dami (mga haba, anggulo, mga lugar), pagmomodelo ng mga totoong sitwasyon sa wika ng geometry. Pag-aaral ng mga itinayong modelo gamit ang mga geometric na konsepto at teorema. Ang pinagmumulan ng mga paghihirap ay, bilang panuntunan, kamangmangan o hindi tamang aplikasyon ng mga kinakailangang theorems ng planimetry.

Lugar ng isang tatsulok ABC katumbas ng 129. DE– midline parallel sa gilid AB. Hanapin ang lugar ng trapezoid ISANG KAMA.

Solusyon. Tatsulok CDE katulad ng isang tatsulok CAB sa dalawang anggulo, dahil ang anggulo sa vertex C pangkalahatan, anggulo СDE katumbas ng anggulo CAB bilang ang mga kaukulang anggulo sa DE || AB secant A.C.. kasi DE ay ang gitnang linya ng isang tatsulok ayon sa kundisyon, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pag-aari ng gitnang linya | DE = (1/2)AB. Nangangahulugan ito na ang koepisyent ng pagkakatulad ay 0.5. Ang mga lugar ng magkatulad na mga numero ay nauugnay bilang parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad, samakatuwid

Kaya naman, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Gawain Blg. 7- sinusuri ang aplikasyon ng derivative sa pag-aaral ng isang function. Ang matagumpay na pagpapatupad ay nangangailangan ng makabuluhan, hindi pormal na kaalaman sa konsepto ng derivative.

Halimbawa 7. Sa graph ng function y = f(x) sa punto ng abscissa x 0 ang isang tangent ay iginuhit na patayo sa linyang dumadaan sa mga puntos (4; 3) at (3; –1) ng graph na ito. Hanapin f′( x 0).

Solusyon. 1) Gamitin natin ang equation ng isang linyang dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos at hanapin ang equation ng isang linyang dumadaan sa mga puntos (4; 3) at (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, kung saan k 1 = 4.

2) Hanapin ang slope ng tangent k 2, na patayo sa linya y = 4x– 13, kung saan k 1 = 4, ayon sa formula:

3) Ang tangent angle ay ang derivative ng function sa punto ng tangency. Ibig sabihin, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Sagot: –0,25.

Gawain Blg. 8- sinusubok ang kaalaman ng mga kalahok sa pagsusulit sa elementarya na stereometry, ang kakayahang mag-apply ng mga formula para sa paghahanap ng mga surface area at volume ng figure, dihedral angles, ihambing ang mga volume ng magkatulad na figure, magagawang magsagawa ng mga aksyon gamit ang geometric figure, coordinate at vectors, atbp.

Ang volume ng isang cube na nakapaligid sa isang sphere ay 216. Hanapin ang radius ng sphere.

Solusyon. 1) V kubo = a 3 (saan A– haba ng gilid ng kubo), samakatuwid

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Dahil ang globo ay nakasulat sa isang kubo, nangangahulugan ito na ang haba ng diameter ng globo ay katumbas ng haba ng gilid ng kubo, samakatuwid d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Gawain Blg. 9- nangangailangan ang nagtapos na magkaroon ng mga kasanayan sa pagbabago at pasimplehin ang mga algebraic na expression. Gawain Blg. 9 ng tumaas na antas ng kahirapan na may maikling sagot. Ang mga gawain mula sa seksyong "Mga Pagkalkula at Pagbabago" sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado ay nahahati sa ilang uri:

pagbabago ng numerical rational expression;

pag-convert ng mga algebraic na expression at fraction;

conversion ng mga numeric/letter na hindi makatwiran na expression;

mga aksyon na may mga degree;

pag-convert ng logarithmic expression;

1. pag-convert ng numeric/letter na trigonometric na expression.

Halimbawa 9. Kalkulahin ang tanα kung alam na cos2α = 0.6 at

Solusyon. 1) Gamitin natin ang double argument formula: cos2α = 2 cos 2 α – 1 at hanapin

Nangangahulugan ito ng tan 2 α = ± 0.5.

3) Ayon sa kondisyon

nangangahulugan ito na ang α ay ang anggulo ng ikalawang quarter at tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Sagot: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Gawain Blg. 10- sinusubok ang kakayahan ng mga mag-aaral na gamitin ang nakuhang maagang kaalaman at kasanayan sa mga praktikal na gawain at pang-araw-araw na buhay. Maaari nating sabihin na ang mga ito ay mga problema sa pisika, at hindi sa matematika, ngunit ang lahat ng kinakailangang mga formula at dami ay ibinibigay sa kondisyon. Ang mga problema ay bumagsak sa paglutas ng isang linear o quadratic equation, o isang linear o quadratic inequality. Samakatuwid, kinakailangan upang malutas ang mga naturang equation at hindi pagkakapantay-pantay at matukoy ang sagot. Ang sagot ay dapat ibigay bilang isang buong numero o isang finite decimal fraction.

Dalawang katawan ng masa m= 2 kg bawat isa, gumagalaw sa parehong bilis v= 10 m/s sa isang anggulo na 2α sa bawat isa. Ang enerhiya (sa joules) na inilabas sa panahon ng kanilang ganap na hindi nababanat na banggaan ay tinutukoy ng expression Q = mv 2 kasalanan 2 α. Sa anong pinakamaliit na anggulo 2α (sa digri) dapat gumalaw ang mga katawan upang hindi bababa sa 50 joules ang mailabas bilang resulta ng banggaan?
Solusyon. Upang malutas ang problema, kailangan nating lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay Q ≥ 50, sa pagitan ng 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Dahil α ∈ (0°; 90°), malulutas lamang natin

Ibigay natin sa graphical na paraan ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay:

Dahil sa pamamagitan ng kundisyon α ∈ (0°; 90°), nangangahulugan ito ng 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Gawain Blg. 11- ay tipikal, ngunit lumalabas na mahirap para sa mga mag-aaral. Ang pangunahing pinagmumulan ng kahirapan ay ang pagbuo ng isang modelo ng matematika (pagguhit ng isang equation). Ang Gawain Blg. 11 ay sumusubok sa kakayahang lutasin ang mga problema sa salita.

Halimbawa 11. Sa panahon ng spring break, ang 11-grader na si Vasya ay kailangang lutasin ang 560 mga problema sa pagsasanay upang maghanda para sa Unified State Exam. Noong Marso 18, sa huling araw ng paaralan, nalutas ni Vasya ang 5 mga problema. Pagkatapos araw-araw ay nalutas niya ang parehong bilang ng mga problema nang higit pa kaysa sa nakaraang araw. Tukuyin kung gaano karaming mga problema ang nalutas ni Vasya noong Abril 2, ang huling araw ng mga pista opisyal.

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Sagot: 65.

Gawain Blg. 12- sinusubok nila ang kakayahan ng mga mag-aaral na magsagawa ng mga operasyon na may mga function, at upang mailapat ang derivative sa pag-aaral ng isang function.

Hanapin ang pinakamataas na punto ng function y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Solusyon: 1) Hanapin ang domain ng kahulugan ng function: x + 9 > 0, x> –9, ibig sabihin, x ∈ (–9; ∞).

2) Hanapin ang derivative ng function:

4) Ang nahanap na punto ay kabilang sa pagitan (–9; ∞). Tukuyin natin ang mga palatandaan ng derivative ng function at ilarawan ang pag-uugali ng function sa figure:

Ang nais na pinakamataas na punto x = –8.

a) Lutasin ang equation na 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa segment.

Solusyon: a) Hayaan ang log 3 (2cos x) = t, pagkatapos 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Hanapin ang mga ugat na nakahiga sa segment .

Ipinapakita ng figure na ang mga ugat ng ibinigay na segment ay nabibilang sa

Ang diameter ng bilog ng base ng cylinder ay 20, ang generatrix ng cylinder ay 28. Ang eroplano ay nag-intersect sa base nito kasama ang mga chord na may haba na 12 at 16. Ang distansya sa pagitan ng mga chords ay 2√197.

a) Patunayan na ang mga sentro ng mga base ng silindro ay nasa isang gilid ng eroplanong ito.

b) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng eroplanong ito at ng eroplano ng base ng silindro.

Solusyon: a) Ang isang chord na may haba na 12 ay nasa layo na = 8 mula sa gitna ng base na bilog, at isang chord na may haba na 16, na katulad nito, ay nasa layo na 6. Samakatuwid, ang distansya sa pagitan ng kanilang mga projection papunta sa isang eroplanong kahanay ng Ang mga base ng mga silindro ay alinman sa 8 + 6 = 14, o 8 − 6 = 2.

Kung gayon ang distansya sa pagitan ng mga chord ay alinman

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ayon sa kondisyon, ang pangalawang kaso ay natanto, kung saan ang mga projection ng chords ay namamalagi sa isang gilid ng cylinder axis. Nangangahulugan ito na ang axis ay hindi bumalandra sa eroplanong ito sa loob ng silindro, iyon ay, ang mga base ay nasa isang gilid nito. Ano ang kailangang patunayan.

b) Tukuyin natin ang mga sentro ng mga base bilang O 1 at O ​​2. Gumuhit tayo mula sa gitna ng base na may chord na may haba na 12 ng isang patayong bisector sa chord na ito (ito ay may haba na 8, gaya ng nabanggit na) at mula sa gitna ng kabilang base hanggang sa kabilang chord. Nakahiga sila sa parehong eroplano β, patayo sa mga chord na ito. Tawagan natin ang midpoint ng mas maliit na chord B, ang mas malaking chord A at ang projection ng A sa pangalawang base - H (H ∈ β). Pagkatapos AB,AH ∈ β at samakatuwid AB,AH ay patayo sa chord, iyon ay, ang tuwid na linya ng intersection ng base sa ibinigay na eroplano.

Nangangahulugan ito na ang kinakailangang anggulo ay katumbas ng

Gawain Blg. 15- nadagdagan ang antas ng pagiging kumplikado na may isang detalyadong sagot, sumusubok sa kakayahang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, na pinakamatagumpay na nalutas sa mga gawain na may isang detalyadong sagot ng isang mas mataas na antas ng pagiging kumplikado.

Halimbawa 15. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay | x 2 – 3x| log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Solusyon: Ang domain ng kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang pagitan (–1; +∞). Isaalang-alang ang tatlong kaso nang hiwalay:

1) Hayaan x 2 – 3x= 0, ibig sabihin. X= 0 o X= 3. Sa kasong ito, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagiging totoo, samakatuwid, ang mga halagang ito ay kasama sa solusyon.

2) Hayaan ngayon x 2 – 3x> 0, ibig sabihin. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Bukod dito, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat bilang ( x 2 – 3x) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 at hatiin sa pamamagitan ng isang positibong expression x 2 – 3x. Nakakuha kami ng log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0.5 –1 o x≤ –0.5. Isinasaalang-alang ang domain ng kahulugan, mayroon kami x ∈ (–1; –0,5].

3) Sa wakas, isaalang-alang x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Sa kasong ito, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat sa anyo (3 x – x 2) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Pagkatapos hatiin sa positibong 3 x – x 2 , nakakakuha tayo ng log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Isinasaalang-alang ang rehiyon, mayroon tayo x ∈ (0; 1].

Ang pagsasama-sama ng mga solusyon na nakuha, nakuha namin x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Sagot: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Gawain Blg. 16- ang advanced na antas ay tumutukoy sa mga gawain sa ikalawang bahagi na may detalyadong sagot. Ang gawain ay sumusubok sa kakayahang magsagawa ng mga aksyon na may mga geometric na hugis, coordinate at vectors. Ang gawain ay naglalaman ng dalawang puntos. Sa unang punto, ang gawain ay dapat na mapatunayan, at sa pangalawang punto, kalkulahin.

Sa isang isosceles triangle ABC na may anggulo na 120°, ang bisector BD ay iginuhit sa vertex A. Ang rectangle DEFH ay nakasulat sa tatsulok na ABC upang ang gilid ng FH ay nasa segment BC, at ang vertex E ay nasa segment AB. a) Patunayan na ang FH = 2DH. b) Hanapin ang lugar ng rectangle DEFH kung AB = 4.

Solusyon: A)

1) ΔBEF – hugis-parihaba, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, pagkatapos ay EF = BE sa pamamagitan ng pag-aari ng binti na nakahiga sa tapat ng anggulo ng 30°.

2) Hayaan ang EF = DH = x, pagkatapos BE = 2 x, BF = x√3 ayon sa Pythagorean theorem.

3) Dahil ang ΔABC ay isosceles, ibig sabihin ay ∠B = ∠C = 30˚.

Ang BD ay ang bisector ng ∠B, na nangangahulugang ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Isaalang-alang ang ΔDBH - hugis-parihaba, dahil DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Sagot: 24 – 12√3.

Halimbawa 17. Ang isang deposito na 20 milyong rubles ay binalak na buksan sa loob ng apat na taon. Sa katapusan ng bawat taon, tinataasan ng bangko ang deposito ng 10% kumpara sa laki nito sa simula ng taon. Bilang karagdagan, sa simula ng ikatlo at ikaapat na taon, taunang pinupunan ng mamumuhunan ang deposito sa pamamagitan ng X milyong rubles, kung saan X - buo numero. Hanapin ang pinakamalaking halaga X, kung saan ang bangko ay makakaipon ng mas mababa sa 17 milyong rubles sa deposito sa loob ng apat na taon.

Solusyon: Sa pagtatapos ng unang taon, ang kontribusyon ay magiging 20 + 20 · 0.1 = 22 milyong rubles, at sa pagtatapos ng pangalawa - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 milyong rubles. Sa simula ng ikatlong taon, ang kontribusyon (sa milyong rubles) ay magiging (24.2 + X), at sa dulo - (24.2 + X) + (24,2 + X)· 0.1 = (26.62 + 1.1 X). Sa simula ng ikaapat na taon ang kontribusyon ay magiging (26.62 + 2.1 X), at sa dulo - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0.1 = (29.282 + 2.31 X). Sa pamamagitan ng kundisyon, kailangan mong hanapin ang pinakamalaking integer x kung saan hawak ang hindi pagkakapantay-pantay

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Ang pinakamalaking integer na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang numero 24.

Sagot: 24.

sa ano a sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

may eksaktong dalawang solusyon?

Solusyon: Ang sistemang ito ay maaaring muling isulat sa anyo

Kung iguguhit natin sa eroplano ang hanay ng mga solusyon sa unang hindi pagkakapantay-pantay, makukuha natin ang loob ng isang bilog (na may hangganan) ng radius 1 na may sentro sa punto (0, A). Ang hanay ng mga solusyon sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay ang bahagi ng eroplano na nasa ilalim ng graph ng function. y = | x| – a, at ang huli ay ang graph ng function
y = | x| , inilipat pababa ng A. Ang solusyon sa sistemang ito ay ang intersection ng mga hanay ng mga solusyon sa bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Dahil dito, ang sistemang ito ay magkakaroon lamang ng dalawang solusyon sa kaso na ipinapakita sa Fig. 1.

Ang mga punto ng contact ng bilog na may mga linya ay ang dalawang solusyon ng system. Ang bawat isa sa mga tuwid na linya ay nakahilig sa mga palakol sa isang anggulo na 45°. Kaya ito ay isang tatsulok PQR– hugis-parihaba isosceles. Dot Q may mga coordinate (0, A), at ang punto R– mga coordinate (0, – A). Bilang karagdagan, ang mga segment PR At PQ katumbas ng radius ng bilog na katumbas ng 1. Ibig sabihin

Hayaan Si Sn kabuuan P mga tuntunin ng pag-unlad ng aritmetika ( isang p). Ito ay kilala na S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Ibigay ang formula P ika-taon ng pag-unlad na ito.

b) Hanapin ang pinakamaliit na ganap na kabuuan S n.

c) Hanapin ang pinakamaliit P, Kung saan S n ay magiging parisukat ng isang integer.

Solusyon: a) Ito ay malinaw na isang n = S n – S n- 1 . Gamit ang formula na ito, nakukuha natin ang:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Ibig sabihin, isang n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Mula noon S n = 2n 2 – 25n, pagkatapos ay isaalang-alang ang function S(x) = | 2x 2 – 25x|. Ang graph nito ay makikita sa figure.

Malinaw, ang pinakamaliit na halaga ay nakakamit sa mga integer point na pinakamalapit sa mga zero ng function. Malinaw na ito ay mga punto X= 1, X= 12 at X= 13. Dahil, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, kung gayon ang pinakamaliit na halaga ay 12.

c) Mula sa nakaraang talata ito ay sumusunod na Si Sn positibo, simula sa n= 13. Dahil S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), kung gayon ang malinaw na kaso, kapag ang ekspresyong ito ay isang perpektong parisukat, ay natanto kung kailan n = 2n– 25, ibig sabihin, sa P= 25.

Ito ay nananatiling suriin ang mga halaga mula 13 hanggang 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Lumalabas na para sa mas maliliit na halaga P isang kumpletong parisukat ay hindi nakakamit.

Sagot: A) isang n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Mula noong Mayo 2017, ang nagkakaisang pangkat ng paglalathala na "DROFA-VENTANA" ay naging bahagi ng korporasyon ng Russian Textbook. Kasama rin sa korporasyon ang Astrel publishing house at ang LECTA digital educational platform. Alexander Brychkin, isang nagtapos ng Financial Academy sa ilalim ng Pamahalaan ng Russian Federation, Kandidato ng Economic Sciences, pinuno ng mga makabagong proyekto ng DROFA publishing house sa larangan ng digital na edukasyon (mga elektronikong anyo ng mga aklat-aralin, Russian Electronic School, digital educational platform LECTA) ay hinirang na Pangkalahatang Direktor. Bago sumali sa DROFA publishing house, hinawakan niya ang posisyon ng vice president para sa strategic development at investments ng publishing na may hawak na EKSMO-AST. Ngayon, ang korporasyon ng pag-publish na "Russian Textbook" ay may pinakamalaking portfolio ng mga aklat-aralin na kasama sa Listahan ng Pederal - 485 na mga pamagat (humigit-kumulang 40%, hindi kasama ang mga aklat-aralin para sa mga espesyal na paaralan). Ang mga bahay sa pag-publish ng korporasyon ay nagmamay-ari ng pinakasikat na hanay ng mga aklat-aralin sa mga paaralang Ruso sa pisika, pagguhit, biology, kimika, teknolohiya, heograpiya, astronomiya - mga lugar ng kaalaman na kinakailangan para sa pagpapaunlad ng produktibong potensyal ng bansa. Kasama sa portfolio ng korporasyon ang mga aklat-aralin at mga pantulong sa pagtuturo para sa mga elementarya, na ginawaran ng Presidential Award sa larangan ng edukasyon. Ang mga ito ay mga aklat-aralin at manwal sa mga paksa na kinakailangan para sa pagbuo ng potensyal na pang-agham, teknikal at produksyon ng Russia.

Ang artikulong ito ay nagpapakita ng pagsusuri ng mga gawain 9-12 ng bahagi 2 ng Pinag-isang Estado na Pagsusulit sa matematika sa isang espesyal na antas mula sa isang tagapagturo sa matematika at pisika. Ang video lesson ng tutor na may pagsusuri sa mga iminungkahing gawain ay naglalaman ng detalyado at mauunawaang komento sa bawat isa sa kanila. Kung nagsimula ka pa lamang maghanda para sa Unified State Exam sa matematika, ang artikulong ito ay maaaring maging lubhang kapaki-pakinabang para sa iyo.

Gamit ang mga katangian ng logarithms, na maaari mong pamilyar sa iyong sarili nang detalyado sa video tutorial sa itaas, binabago namin ang expression:

10. Ang spring pendulum ay umuusad na may period T= 16 s. Nasuspinde ang timbang m= 0.8 kg. Ang bilis ng paggalaw ng load ay nagbabago sa paglipas ng panahon alinsunod sa formula . Sa parehong oras m/s. Ang pagtukoy ng formula para sa kinetic energy (sa joules) ay: , kung saan m kinuha sa kilo, - sa metro bawat segundo. Ano ang kinetic energy ng load sa joules 10 s pagkatapos ng pagsisimula ng oscillatory motion?

Ang bilis ng paggalaw ng load 10 s pagkatapos ng pagsisimula ng oscillatory motion ay magiging katumbas ng:

Kung gayon ang kinetic energy sa sandaling ito sa oras ay magiging katumbas ng:

J.

Hayaan x- ang presyo ng isang kendi, at y- presyo ng tsokolate. Tapos ang 6 na lollipop ay nagkakahalaga ng 6 x, at 2% ng halaga ng isang chocolate bar ay katumbas ng 0.02 y. Dahil alam na ang 6 na lollipop ay nagkakahalaga ng 2% na mas mababa kaysa sa isang chocolate bar, ang unang equation ay mayroong: 6 x + 0,02y = y, kung saan natin makukuha iyon x = 0,98/6 y = 98/600 y = 49/300 y. Sa turn, ang 9 na lollipop ay nagkakahalaga ng 9 x, iyon ay 9·49/300 y = 49/300 y = 1,47 y. Ang gawain ay bumababa sa pagtukoy sa kung anong porsyento ang 1.47 y higit sa y. Kung y ay 100%, pagkatapos ay 1.47 y ay 1.47·100% = 147%. Iyon ay 1.47 y higit sa y ng 47%.

1) Ang DL ay ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="23" width="106" style="vertical-align: -5px;"> (так выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше нуля), откуда получаем, что .!}

2) Hinahanap namin ang derivative ng function. Para sa isang detalyadong paglalarawan kung paano kinakalkula ang derivative ng function na ito, tingnan ang video sa itaas. Ang derivative ng function ay katumbas ng:

3) Naghahanap ng mga halaga x, kung saan ang derivative ay katumbas ng 0 o wala. Hindi ito umiiral para sa , dahil sa kasong ito ang denominator ay napupunta sa zero. Ang derivative ay nakatakda sa zero kapag.