Lahat ng mga tuntunin na may kaugnayan sa mga fraction. Mga panuntunan para sa mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga ordinaryong fraction

Ang artikulong ito ay tumatalakay sa mga operasyon sa mga fraction. Ang mga panuntunan para sa pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati o pagpapalawak ng mga fraction ng anyong A B ay mabubuo at mabibigyang-katwiran, kung saan ang A at B ay maaaring mga numero, numeric na expression o mga expression na may mga variable. Sa konklusyon, isasaalang-alang ang mga halimbawa ng mga solusyon na may detalyadong paglalarawan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mga panuntunan para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga numerical na fraction ng isang pangkalahatang anyo

Ang mga numerical fraction ng isang pangkalahatang anyo ay may numerator at denominator, kung saan mayroong mga natural na numero o numerical expression. Kung isasaalang-alang natin ang mga praksiyon gaya ng 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5-2) , 3 4 + 7 8 2 , 3-0 , 8 , 1 2 2 , π 1-2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , pagkatapos ay malinaw na ang numerator at denominator ay maaaring magkaroon ng hindi lamang mga numero, kundi pati na rin ang mga expression ng ibang plano.

Kahulugan 1

May mga panuntunan kung saan ang mga aksyon ay ginagampanan gamit ang mga ordinaryong fraction. Ito ay angkop din para sa mga fraction ng isang pangkalahatang anyo:

• Kapag ang pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator, ang mga numerator lamang ang idinagdag, at ang denominator ay nananatiling pareho, ibig sabihin: a d ± c d \u003d a ± c d, ang mga halaga a, c at d ≠ 0 ay ilang mga numero o numerical expression.
• Kapag nagdaragdag o nagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangang bawasan sa karaniwan, at pagkatapos ay idagdag o ibawas ang mga resultang fraction na may parehong mga tagapagpahiwatig. Sa literal, ganito ang hitsura nito a b ± c d = a p ± c r s , kung saan ang mga value a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 ay mga tunay na numero, at b p = d r = s. Kapag p = d at r = b, pagkatapos ay a b ± c d = a d ± c d b d.
• Kapag nagpaparami ng mga fraction, ang isang aksyon ay ginaganap sa mga numerator, pagkatapos nito kasama ang mga denominador, pagkatapos ay makakakuha tayo ng b c d \u003d a c b d, kung saan ang a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 ay kumikilos bilang mga tunay na numero.
• Kapag hinahati ang isang fraction sa isang fraction, pinarami namin ang una sa pangalawang reciprocal, iyon ay, pinapalitan namin ang numerator at denominator: a b: c d \u003d a b d c.

Rationale para sa mga patakaran

Mayroong mga sumusunod na mathematical point na dapat mong umasa kapag nagkalkula:

• ang isang fractional bar ay nangangahulugang isang tanda ng paghahati;
• ang paghahati sa isang numero ay itinuturing bilang isang multiplikasyon sa pamamagitan ng katumbas nito;
• aplikasyon ng pag-aari ng mga aksyon na may mga tunay na numero;
• aplikasyon ng pangunahing pag-aari ng isang fraction at mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Sa kanilang tulong, maaari kang gumawa ng mga pagbabago sa form:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Mga halimbawa

Sa nakaraang talata, sinabi tungkol sa mga aksyon na may mga fraction. Ito ay pagkatapos nito na ang fraction ay kailangang gawing simple. Ang paksang ito ay tinalakay nang detalyado sa seksyon sa pag-convert ng mga fraction.

Una, isaalang-alang ang halimbawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.

Halimbawa 1

Ibinigay ang mga praksiyon 8 2 , 7 at 1 2 , 7 , pagkatapos ay ayon sa tuntunin ay kinakailangang idagdag ang numerator at muling isulat ang denamineytor.

Solusyon

Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang fraction ng form 8 + 1 2 , 7 . Pagkatapos isagawa ang karagdagan, nakakakuha tayo ng fraction ng form 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Kaya 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Sagot: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

May isa pang paraan upang malutas. Upang magsimula, ang isang paglipat ay ginawa sa anyo ng isang ordinaryong fraction, pagkatapos nito ay nagsasagawa kami ng isang pagpapasimple. Mukhang ganito:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Halimbawa 2

Ibawas natin sa 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 fractions ng form 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Dahil ibinibigay ang pantay na denominador, nangangahulugan ito na kinakalkula natin ang isang fraction na may parehong denominator. Nakukuha namin iyon

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

May mga halimbawa ng pagkalkula ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Ang isang mahalagang punto ay ang pagbawas sa isang karaniwang denominator. Kung wala ito, hindi namin magagawa ang mga karagdagang pagkilos na may mga fraction.

Ang proseso ay malayuang nagpapaalala ng pagbawas sa isang karaniwang denominator. Iyon ay, ang isang paghahanap ay ginawa para sa hindi bababa sa karaniwang divisor sa denominator, pagkatapos kung saan ang nawawalang mga kadahilanan ay idinagdag sa mga fraction.

Kung ang mga idinagdag na fraction ay walang karaniwang mga kadahilanan, kung gayon ang kanilang produkto ay maaaring maging isa.

Halimbawa 3

Isaalang-alang ang halimbawa ng pagdaragdag ng mga praksiyon 2 3 5 + 1 at 1 2 .

Solusyon

Sa kasong ito, ang karaniwang denominador ay ang produkto ng mga denominador. Pagkatapos makuha namin iyon 2 · 3 5 + 1 . Pagkatapos, kapag nagtatakda ng mga karagdagang salik, mayroon tayo na sa unang bahagi ito ay katumbas ng 2, at sa pangalawang 3 5 + 1. Pagkatapos ng multiplikasyon, ang mga fraction ay binabawasan sa anyo 4 2 3 5 + 1. Ang pangkalahatang cast 1 2 ay magiging 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Idinaragdag namin ang mga resultang fractional expression at makuha iyon

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Sagot: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Kapag tayo ay nakikitungo sa mga fraction ng isang pangkalahatang anyo, kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang denominator ay karaniwang hindi ang kaso. Hindi kapaki-pakinabang na kunin ang produkto ng mga numerator bilang denominator. Una kailangan mong suriin kung mayroong isang numero na mas mababa ang halaga kaysa sa kanilang produkto.

Halimbawa 4

Isaalang-alang ang halimbawa 1 6 2 1 5 at 1 4 2 3 5 kapag ang kanilang produkto ay katumbas ng 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Pagkatapos ay kunin natin ang 12 · 2 3 5 bilang isang karaniwang denominador.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagpaparami ng mga fraction ng isang pangkalahatang anyo.

Halimbawa 5

Upang gawin ito, kinakailangan upang i-multiply ang 2 + 1 6 at 2 · 5 3 · 2 + 1.

Solusyon

Ang pagsunod sa tuntunin, kinakailangang muling isulat at isulat ang produkto ng mga numerator bilang denominator. Nakukuha natin na 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Kapag ang fraction ay pinarami, ang mga pagbawas ay maaaring gawin upang pasimplehin ito. Pagkatapos 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Gamit ang panuntunan ng paglipat mula sa dibisyon hanggang sa multiplikasyon sa pamamagitan ng isang katumbasan, nakukuha natin ang kapalit ng ibinigay. Upang gawin ito, ang numerator at denominator ay baligtad. Tingnan natin ang isang halimbawa:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Pagkatapos nito, dapat silang magsagawa ng multiplikasyon at gawing simple ang resultang fraction. Kung kinakailangan, alisin ang irrationality sa denominator. Nakukuha namin iyon

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Sagot: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Naaangkop ang talatang ito kapag ang isang numero o numerical na expression ay maaaring katawanin bilang isang fraction na may denominator na katumbas ng 1, kung gayon ang operasyon na may ganoong fraction ay itinuturing na isang hiwalay na talata. Halimbawa, ang expression na 1 6 7 4 - 1 3 ay nagpapakita na ang ugat ng 3 ay maaaring palitan ng isa pang 3 1 expression. Kung gayon ang talaang ito ay magmumukhang isang multiplikasyon ng dalawang praksyon ng anyong 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Pagsasagawa ng isang aksyon na may mga fraction na naglalaman ng mga variable

Ang mga tuntuning tinalakay sa unang artikulo ay naaangkop sa mga operasyong may mga fraction na naglalaman ng mga variable. Isaalang-alang ang panuntunan ng pagbabawas kapag ang mga denominator ay pareho.

Kinakailangang patunayan na ang A , C at D (D hindi katumbas ng zero) ay maaaring maging anumang mga expression, at ang pagkakapantay-pantay A D ± C D = A ± C D ay katumbas ng saklaw ng mga wastong halaga nito.

Kinakailangang kumuha ng isang hanay ng mga variable ng ODZ. Pagkatapos ay dapat kunin ng A, C, D ang kaukulang mga halaga a 0 , c 0 at d0. Ang pagpapalit ng anyo A D ± C D ay nagreresulta sa pagkakaiba ng anyo a 0 d 0 ± c 0 d 0 , kung saan, ayon sa tuntunin sa karagdagan, nakakakuha tayo ng formula ng form na a 0 ± c 0 d 0 . Kung papalitan natin ang expression A ± C D , pagkatapos ay makukuha natin ang parehong fraction ng form a 0 ± c 0 d 0 . Mula dito napagpasyahan namin na ang napiling halaga na nakakatugon sa ODZ, A ± C D at A D ± C D ay itinuturing na pantay.

Para sa anumang halaga ng mga variable, ang mga expression na ito ay magiging pantay, iyon ay, sila ay tinatawag na magkaparehong pantay. Nangangahulugan ito na ang expression na ito ay itinuturing na isang mapapatunayang pagkakapantay-pantay ng anyo A D ± C D = A ± C D .

Mga halimbawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may mga variable

Kapag may parehong denominator, kailangan lamang magdagdag o magbawas ng mga numerator. Ang fraction na ito ay maaaring gawing simple. Minsan kailangan mong magtrabaho sa mga fraction na magkapareho, ngunit sa unang tingin ay hindi ito kapansin-pansin, dahil ang ilang mga pagbabago ay dapat gawin. Halimbawa, x 2 3 x 1 3 + 1 at x 1 3 + 1 2 o 1 2 sin 2 α at sin a cos a. Kadalasan, kinakailangan ang pagpapasimple ng orihinal na expression upang makita ang parehong mga denominator.

Halimbawa 6

Kalkulahin: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Solusyon

1. Upang makagawa ng kalkulasyon, kailangan mong ibawas ang mga fraction na may parehong denominator. Pagkatapos ay makukuha natin na x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Pagkatapos nito, maaari mong buksan ang mga bracket na may pagbabawas ng mga katulad na termino. Nakukuha natin na x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Dahil ang mga denominator ay pareho, nananatili lamang ang pagdaragdag ng mga numerator, na iniiwan ang denominator: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Ang karagdagan ay natapos na. Ito ay makikita na ang fraction ay maaaring mabawasan. Ang numerator nito ay maaaring itiklop gamit ang sum square formula, pagkatapos ay makukuha natin ang (l g x + 2) 2 mula sa mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Pagkatapos makuha namin iyon
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Ibinigay ang mga praksyon ng anyong x - 1 x - 1 + x x + 1 na may magkakaibang denominador. Pagkatapos ng pagbabago, maaari kang magpatuloy sa pagdaragdag.

Isaalang-alang natin ang isang dalawang paraan na solusyon.

Ang unang paraan ay ang denominator ng unang fraction ay napapailalim sa factorization gamit ang mga parisukat, at kasama ang kasunod na pagbabawas nito. Nakukuha namin ang isang fraction ng form

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Kaya x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Sa kasong ito, kinakailangan upang mapupuksa ang hindi makatwiran sa denominator.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Ang pangalawang paraan ay paramihin ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa x - 1 . Kaya, inaalis natin ang irrationality at magpatuloy sa pagdaragdag ng fraction na may parehong denominator. Pagkatapos

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Sagot: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Sa huling halimbawa, nalaman namin na ang pagbabawas sa isang karaniwang denominator ay hindi maiiwasan. Upang gawin ito, kailangan mong gawing simple ang mga fraction. Upang magdagdag o magbawas, kailangan mong laging maghanap ng isang karaniwang denominator, na mukhang produkto ng mga denominador na may pagdaragdag ng mga karagdagang kadahilanan sa mga numerator.

Halimbawa 7

Kalkulahin ang mga halaga ng mga fraction: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Solusyon

1. Ang denominator ay hindi nangangailangan ng anumang kumplikadong mga kalkulasyon, kaya kailangan mong piliin ang kanilang produkto ng form na 3 x 7 + 2 2, pagkatapos ay sa unang bahagi x 7 + 2 2 ay pinili bilang isang karagdagang kadahilanan, at 3 sa pangalawa. Kapag nagpaparami, nakakakuha tayo ng fraction ng anyong x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Makikita na ang mga denominador ay ipinakita bilang isang produkto, na nangangahulugan na ang mga karagdagang pagbabago ay hindi kailangan. Ang karaniwang denominator ay magiging produkto ng anyong x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Mula dito x 4 ay isang karagdagang salik sa unang bahagi, at ln (x + 1) sa pangalawa. Pagkatapos ay ibawas namin at makuha:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Makatuwiran ang halimbawang ito kapag nagtatrabaho sa mga denominador ng mga fraction. Kinakailangang ilapat ang mga pormula ng pagkakaiba ng mga parisukat at ang parisukat ng kabuuan, dahil gagawin nilang posible na maipasa sa isang expression ng anyo 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Makikita na ang mga fraction ay nababawasan sa isang karaniwang denominator. Nakukuha namin na cos x - x cos x + x 2 .

Pagkatapos makuha namin iyon

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Sagot:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Mga halimbawa ng pagpaparami ng mga fraction na may mga variable

Kapag nagpaparami ng mga fraction, ang numerator ay pinarami ng numerator at ang denominator sa denominator. Pagkatapos ay maaari mong ilapat ang pag-aari ng pagbabawas.

Halimbawa 8

Multiply fractions x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 at 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Solusyon

Kailangan mong gawin ang pagpaparami. Nakukuha namin iyon

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Ang numero 3 ay inilipat sa unang lugar para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, at maaari mong bawasan ang fraction sa pamamagitan ng x 2, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang expression ng form

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Sagot: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

Dibisyon

Ang dibisyon ng mga fraction ay katulad ng multiplication, dahil ang unang fraction ay pinarami ng pangalawang reciprocal. Kung kukunin natin, halimbawa, ang fraction x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 at hatiin sa 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, kung gayon maaari itong isulat bilang

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , pagkatapos ay palitan ng produkto ng anyong x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 kasalanan (2 x - x)

Exponentiation

Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang aksyon na may mga fraction ng isang pangkalahatang anyo na may exponentiation. Kung mayroong isang degree na may natural na exponent, kung gayon ang aksyon ay itinuturing bilang isang multiplikasyon ng magkatulad na mga fraction. Ngunit inirerekumenda na gumamit ng isang pangkalahatang diskarte batay sa mga katangian ng mga kapangyarihan. Anumang mga expression na A at C, kung saan ang C ay hindi magkaparehong katumbas ng zero, at anumang real r sa ODZ para sa isang expression ng form A C r, ang pagkakapantay-pantay A C r = A r C r ay totoo. Ang resulta ay isang fraction na itinaas sa isang kapangyarihan. Halimbawa, isaalang-alang:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2-5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon na may mga fraction

Ang mga aksyon sa mga fraction ay isinasagawa ayon sa ilang mga patakaran. Sa pagsasagawa, napansin namin na ang isang expression ay maaaring maglaman ng ilang mga fraction o fractional na mga expression. Pagkatapos ito ay kinakailangan upang isagawa ang lahat ng mga aksyon sa isang mahigpit na pagkakasunud-sunod: itaas sa isang kapangyarihan, multiply, hatiin, pagkatapos ay idagdag at ibawas. Kung mayroong mga bracket, ang unang aksyon ay isinasagawa sa kanila.

Halimbawa 9

Kalkulahin ang 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Solusyon

Dahil pareho tayo ng denominator, pagkatapos ay 1 - x cos x at 1 c o s x , ngunit imposibleng ibawas ayon sa panuntunan, una ang mga aksyon sa mga bracket ay ginanap, pagkatapos ay ang multiplikasyon, at pagkatapos ay ang karagdagan. Pagkatapos, kapag nagkalkula, nakuha namin iyon

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Kapag pinapalitan ang expression sa orihinal, nakukuha natin na 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Kapag nagpaparami ng mga fraction, mayroon tayong: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Nang magawa ang lahat ng mga pagpapalit, makakakuha tayo ng 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Ngayon ay kailangan mong magtrabaho sa mga fraction na may iba't ibang denominator. Nakukuha namin:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Sagot: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Mga operasyon sa aritmetika na may mga ordinaryong fraction

1. Dagdag.

Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang denominator na pareho.

Halimbawa. .

Upang magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangan mong dalhin ang mga ito sa pinakamababang common denominator, at pagkatapos ay idagdag ang mga resultang numerator at lagdaan ang common denominator sa ilalim ng kabuuan.

Halimbawa.

Maikling isinulat tulad nito:

Upang magdagdag ng mga magkahalong numero, kailangan mong hiwalay na hanapin ang kabuuan ng mga integer at ang kabuuan ng mga bahaging fractional. Ang aksyon ay nakasulat tulad nito:

2. Pagbabawas.

Upang ibawas ang mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong ibawas ang numerator ng ibinawas mula sa numerator ng minuend at iwanan ang parehong denominator. Ang aksyon ay nakasulat tulad nito:

Upang ibawas ang mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa pinakamaliit na common denominator, pagkatapos ay ibawas ang numerator ng subtrahend mula sa numerator ng minuend at lagdaan ang common denominator sa ilalim ng kanilang pagkakaiba. Ang aksyon ay nakasulat tulad nito:

Kung kailangan mong ibawas ang isang halo-halong numero mula sa isa pang halo-halong numero, pagkatapos, kung maaari, ibawas ang isang fraction mula sa isang fraction, at isang buo mula sa isang kabuuan. Ang aksyon ay nakasulat tulad nito:

Kung ang fraction ng subtrahend ay mas malaki kaysa sa fraction ng minuend, kung gayon ang isang yunit ay kukunin mula sa buong bilang ng minuend, ito ay nahahati sa naaangkop na mga bahagi at idinagdag sa fraction ng minuend, pagkatapos ay magpapatuloy sila tulad ng inilarawan sa itaas. Ang aksyon ay nakasulat tulad nito:

Gawin ang parehong kapag kailangan mong ibawas ang isang fractional na numero mula sa isang buong numero.

Halimbawa. .

3. Extension ng mga katangian ng karagdagan at pagbabawas sa mga fractional na numero.Ang lahat ng mga batas at katangian ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga natural na numero ay may bisa din para sa mga fractional na numero. Ang kanilang paggamit sa maraming mga kaso ay lubos na nagpapadali sa proseso ng pagkalkula.

4. Pagpaparami.

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator sa numerator, at ang denominator sa denominator at gawin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawang produkto ang denominator.

Kapag nagpaparami, dapat gumawa (kung maaari) ng pagbawas.

Halimbawa. .

Kung isasaalang-alang natin na ang isang integer ay isang fraction na may denominator na 1, kung gayon ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer at isang integer sa isang fraction ay maaaring isagawa ayon sa parehong panuntunan.

Mga halimbawa.

5. Pagpaparami ng magkahalong numero.

Upang i-multiply ang mga pinaghalong numero, kailangan mo munang i-convert ang mga ito sa mga hindi wastong fraction at pagkatapos ay i-multiply ayon sa panuntunan ng pag-multiply ng mga fraction.

Halimbawa. .

6. Dibisyon ng isang fraction sa isang fraction.

Upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at ang denominator ng una sa numerator ng pangalawa at isulat ang unang produkto bilang numerator, at ang pangalawa bilang ang denominator.

Halimbawa. .

Sa parehong panuntunan, maaari mong hatiin ang isang fraction sa isang integer at isang integer sa isang fraction, kung kinakatawan mo ang isang integer bilang isang fraction na may denominator na 1.

Mga halimbawa.

7. Dibisyon ng mga pinaghalong numero.

Upang maisagawa ang paghahati ng mga pinaghalong numero, kino-convert muna ang mga ito sa mga hindi wastong fraction at pagkatapos ay hinati ayon sa panuntunan para sa paghahati ng mga fraction.

Halimbawa. .

8. Pagpapalit ng dibisyon sa pamamagitan ng multiplikasyon.

Kung ipagpalit mo ang numerator at denominator sa anumang fraction, makakakuha ka ng bagong fraction, ang kapalit ng ibinigay. Halimbawa, para sa isang fractionang magiging kapalit.

Malinaw, ang produkto ng dalawang reciprocals ay 1.

1. Paghahanap ng fraction ng isang numero.

Maraming mga problema kung saan kailangan mong maghanap ng isang bahagi o bahagi ng isang naibigay na numero. Ang ganitong mga problema ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpaparami.

Isang gawain. Ang babaing punong-abala ay may 20 rubles;ginamit niya ang mga ito sa pamimili. Magkano ang halaga ng mga pagbili?

Dito kailangan mong hanapinnumero 20. Magagawa mo ito ng ganito:

Sagot. Ang babaing punong-abala ay gumugol ng 8 rubles.

Mga halimbawa. Hanapin mula sa 30. Solusyon. .

Hanapin mula sa . Solusyon. .

1. Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng kilalang halaga ng fraction nito.

Minsan kinakailangan upang matukoy ang buong numero mula sa kilalang bahagi ng numero at ang fraction na nagpapahayag ng bahaging ito. Ang ganitong mga gawain ay nalulutas sa pamamagitan ng paghahati.

Isang gawain. Mayroong 12 miyembro ng Komsomol sa klase, which isbahagi ng lahat ng mag-aaral sa klase. Ilang estudyante ang nasa klase?

Solusyon. .

Sagot. 20 mag-aaral.

Halimbawa. Maghanap ng numerona 34.

Solusyon. .

Sagot. Ang gustong numero ay.

1. Paghahanap ng ratio ng dalawang numero.

Isaalang-alang natin ang problema: Isang manggagawa ang gumawa ng 40 bahagi sa isang araw. Anong bahagi ng buwanang gawain ang natapos ng manggagawa kung ang buwanang plano ay 400 bahagi?

Solusyon. .

Sagot. Nakumpleto ng manggagawabahagi ng buwanang plano.

Sa kasong ito, ang bahagi (40 bahagi) ay ipinahayag bilang mga fraction ng kabuuan (400 bahagi). Sinasabi rin nila na ang ratio ng bilang ng mga bahagi na ginawa bawat araw sa buwanang plano ay natagpuan.

1. Pag-convert ng decimal sa isang karaniwang fraction.

Upang i-convert ang isang decimal sa isang karaniwang fraction, ito ay nakasulat sa isang denominator at, kung maaari, dinaglat:

Mga halimbawa.

1. Pag-convert ng isang fraction sa isang decimal.

Mayroong ilang mga paraan upang i-convert ang isang karaniwang fraction sa isang decimal.

Unang paraan. Upang i-convert ang isang fraction sa isang decimal, kailangan mong hatiin ang numerator sa denominator.

Mga halimbawa. .

Ang pangalawang paraan. Upang gawing decimal ang ordinaryong fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator ng fraction na ito sa isang numero na ang denominator ay isa na may mga zero (kung maaari).

Halimbawa.

1. Paghambingin ang mga decimal ayon sa magnitude. Upang malaman kung alin sa dalawang decimal fraction ang mas malaki, kailangan mong ikumpara ang kanilang buong bahagi, tenths, hundredths, atbp. Kung ang buong bahagi ay pantay, ang fraction na may higit pang ikasampu ay mas malaki; kung ang mga integer at decimal ay pantay, mas malaki ang may higit na daan, atbp.

Halimbawa. Mula sa tatlong fraction 2.432; Ang 2.41 at 2.4098 ang pinakamalaki sa una, dahil ito ang may pinakamaraming hundredth, at ang buo at ikasampu ay pareho sa lahat ng fraction.

Mga operasyon na may mga decimal

1. Pag-multiply at paghahati ng decimal sa 10, 100, 1000, atbp.

Upang i-multiply ang isang decimal sa 10, 100, 1000, atbp. kailangan mong ilipat ang kuwit, ayon sa pagkakabanggit, sa isa, dalawa, tatlo, atbp. mag-sign sa kanan. Kung sa parehong oras ay walang sapat na mga palatandaan para sa numero, pagkatapos ay itinalaga ang mga zero.

Halimbawa. 15.45 10 = 154.5; 32.3 100 = 3230.

Upang hatiin ang isang decimal sa 10, 100, 1000, atbp., kailangan mong ilipat ang kuwit sa isa, dalawa, tatlo, atbp., ayon sa pagkakabanggit. mag-sign sa kaliwa. Kung walang sapat na mga palatandaan upang ilipat ang kuwit, ang kanilang numero ay pupunan ng katumbas na bilang ng mga zero sa kaliwa.

Mga halimbawa. 184.35: 100 = 1.8435; 3.5: 100 = 0.035.

1. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga decimal fraction.

Ang mga desimal ay idinaragdag at ibinabawas sa halos parehong paraan tulad ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga natural na numero. Ang digit ay nakasulat sa ilalim ng digit, ang kuwit ay nakasulat sa ilalim ng kuwit

Mga halimbawa.

1. Pagpaparami ng mga decimal.

Upang i-multiply ang dalawang decimal fraction, sapat na, nang hindi binibigyang pansin ang mga kuwit, na i-multiply ang mga ito bilang mga integer at sa produkto upang paghiwalayin gamit ang kuwit sa kanan ng kasing dami ng mga decimal na lugar na mayroon sa multiplicand at factor na magkasama.

Halimbawa 1. 2.064 0.05.

Pina-multiply namin ang mga integer 2064 5 = 10320. Ang unang salik ay may tatlong decimal na lugar, ang pangalawa - dalawa. Ang produkto ay dapat mayroong limang decimal na lugar. Pinaghihiwalay namin ang mga ito sa kanan at makakuha ng 0.10320. Ang zero sa dulo ay maaaring itapon: 2.064 0.05 = 0.1032.

Halimbawa 2. 1.125 0.08; 1125 8 = 9000.

Ang bilang ng mga decimal na lugar ay dapat na 3 + 2 = 5. Nagtatalaga kami ng mga zero sa kaliwa ng 9000 (009000) at pinaghihiwalay ang limang character mula sa kanan. Nakukuha namin ang 1.125 0.08 = 0.09000 = 0.09.

1. Dibisyon ng mga decimal.

Dalawang kaso ng paghahati ng decimal fraction na walang natitira ay isinasaalang-alang: 1) paghahati ng decimal fraction sa pamamagitan ng integer; 2) paghahati ng isang numero (buo o fractional) sa isang decimal fraction.

Ang paghahati ng decimal sa isang integer ay kapareho ng paghahati ng mga integer; ang mga resultang natitira ay nahahati nang sunud-sunod sa mas maliliit na bahagi ng decimal at nagpapatuloy ang paghahati hanggang sa ang natitira ay zero.

Mga halimbawa.

Ang paghahati ng isang numero (integer o fractional) sa pamamagitan ng isang decimal sa lahat ng mga kaso ay humahantong sa paghahati ng isang integer. Upang gawin ito, dagdagan ang divisor ng 10, 100, 1000, atbp. beses, at upang hindi magbago ang quotient, ang dibidendo ay tataas ng parehong bilang ng beses, pagkatapos nito ay hinati ito ng isang integer (tulad ng sa unang kaso).

Halimbawa. 47.04: 0.0084 = 470400: 84 = 5600;

1. Mga halimbawa para sa magkasanib na pagkilos na may mga ordinaryong at decimal na fraction.

Isaalang-alang muna ang isang halimbawa para sa lahat ng mga aksyon na may mga decimal fraction.

Halimbawa 1 Kalkulahin:

Dito ginagamit nila ang pagbawas ng dibidendo at ang divisor sa isang integer, na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang quotient ay hindi nagbabago. Pagkatapos mayroon kaming:

Kapag nilulutas ang mga halimbawa para sa magkasanib na pagkilos na may mga ordinaryo at decimal na mga praksyon, ang ilan sa mga aksyon ay maaaring isagawa sa mga decimal fraction, at ang ilan sa mga ordinaryong. Dapat tandaan na hindi palaging ang ordinaryong fraction ay maaaring gawing pangwakas na decimal fraction. Samakatuwid, ang pagsulat bilang isang decimal fraction ay posible lamang kapag napatunayang posible ang naturang conversion.

Halimbawa 2 Kalkulahin:

interes

Ang konsepto ng interes.Ang porsyento ng isang numero ay isang daan ng bilang na iyon. Halimbawa, sa halip na sabihin na "54 porsyento ng lahat ng naninirahan sa ating bansa ay kababaihan", maaari mong sabihin na "54 porsyento ng lahat ng naninirahan sa ating bansa ay kababaihan". Sa halip na ang salitang "porsiyento" ay isinusulat din nila ang% sign, halimbawa, 35% ay nangangahulugang 35 porsyento.

Dahil ang porsyento ay isang daan, sumusunod na ang porsyento ay isang fraction na may denominator na 100. Samakatuwid, ang fraction ay 0.49, o, ay maaaring basahin bilang 49 porsiyento at nakasulat nang walang denominator bilang 49%. Sa pangkalahatan, nang matukoy kung ilang hundredth ang nasa isang partikular na bahagi ng decimal, madali itong isulat bilang isang porsyento. Upang gawin ito, gamitin ang panuntunan: upang magsulat ng decimal na fraction bilang isang porsyento, kailangan mong ilipat ang kuwit sa fraction na ito ng dalawang decimal na lugar sa kanan.

Mga halimbawa. 0.33 = 33%; 1.25 = 125%; 0.002 = 0.2%; 21 = 2100%.

At kabaliktaran: 7% = 0.07; 24.5% = 0.245; 0.1% = 0.001; 200% = 2.

1. Paghahanap ng mga porsyento ng isang naibigay na numero

Isang gawain. Ayon sa plano, ang pangkat ng mga tsuper ng traktor ay dapat gumamit ng 9 toneladang gasolina. Ang mga tsuper ng traktora ay kumuha ng panlipunang obligasyon na makatipid ng 20% ​​ng gasolina. Tukuyin ang pagtitipid ng gasolina sa tonelada.

Kung sa problemang ito sa halip na 20% isulat natin ang numerong 0.2 na katumbas nito, makakakuha tayo ng problema upang mahanap ang bahagi ng isang numero. At ang gayong mga problema ay nalutas sa pamamagitan ng pagpaparami. Dito nanggagaling ang solusyon:

20% = 0.2; 9 0.2 = 1.8(m).

Ang mga kalkulasyon ay maaari ding isulat tulad nito:

(m)

Upang makahanap ng ilang porsyento ng isang naibigay na numero, sapat na upang hatiin ang ibinigay na numero sa pamamagitan ng 100 at i-multiply ang resulta sa bilang ng porsyento.

Isang gawain. Ang isang manggagawa noong 1963 ay nakatanggap ng 90 rubles bawat buwan, at noong 1964 nagsimula siyang tumanggap ng 30% na higit pa. Magkano ang kinita niya noong 1964?

Solusyon (unang pamamaraan).

1) Ilang rubles pa ang nakuha ng manggagawa?

(kuskusin.)

90 + 27 = 117 (kuskusin).

Ang pangalawang paraan.

1) Ilang porsyento ng mga nakaraang kita ang natanggap ng manggagawa noong 1964?

100% + 30% = 130%.

2) Ano ang buwanang suweldo ng isang manggagawa noong 1964?

(kuskusin.)

2. Paghahanap ng numero mula sa ibinigay na halaga ng porsyento nito.

Isang gawain. Sa kolektibong sakahan, ang mais ay inihasik sa isang lugar na 280 ektarya, na 14% ng kabuuang lugar na inihasik. Tukuyin ang nahasik na lugar ng kolektibong sakahan.

Kung sa problemang ito sa halip na 14% sumulat kami ng 0.14 o, pagkatapos ay makukuha natin ang problema sa paghahanap ng isang numero sa pamamagitan ng kilalang halaga ng fraction nito. At ang gayong mga problema ay nalutas sa pamamagitan ng paghahati.

Solusyon. 14% = 0.14; 280: 0.14 = 2000 (ha). Maaari mong gawin ang desisyong ito tulad nito:

(ha)

Upang makahanap ng isang numero para sa isang naibigay na halaga ng ilang porsyento nito, sapat na upang hatiin ang halagang ito sa bilang ng porsyento at i-multiply ang resulta sa 100.

Isang gawain. Noong Marso, ang halaman ay natunaw ng 125.4 t metal, overfulfilling ang plano ng 4.5%. Ilang toneladang metal ang dapat matunaw ng halaman noong Marso ayon sa plano?

Solusyon.

1) Sa anong porsyento natupad ng halaman ang plano noong Marso?

100% + 4,5% = 104,5%.

2) Ilang toneladang metal ang kinailangang matunaw ng halaman?

(ha)

1. Paghahanap ng porsyento ng dalawang numero.

Isang gawain. Kinakailangang mag-araro ng 300 ektarya ng lupa. Sa unang araw, 120 ektarya ang naararo. Ilang porsyento ng gawain ang naararo sa unang araw?

Solusyon.

Unang paraan. Ang 300 ha ay 100%, ibig sabihin, ang 1% ay nagkakahalaga ng 3 ha. Nang matukoy kung gaano karaming beses ang 3 ektarya, na 1%, ay nakapaloob sa 120 ektarya, malalaman natin kung gaano karaming porsyento ng gawain ang naararo sa lupa sa unang araw

120: 3 = 40(%).

Ang pangalawang paraan. Nang matukoy kung anong bahagi ng lupa ang naararo sa unang araw, ipinapahayag namin ang bahaging ito bilang isang porsyento.

Isulat natin ang pagkalkula:

Upang kalkulahin ang porsyento ng isang numero a sa numero b , kailangan mong hanapin ang ratio a hanggang b at i-multiply ito ng 100.

Mga aksyon na may mga fraction.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Kaya, ano ang mga praksyon, mga uri ng mga praksyon, mga pagbabagong-anyo - naalala namin. Pag-usapan natin ang pangunahing tanong.

Ano ang maaari mong gawin sa mga fraction? Oo, ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numero. Magdagdag, magbawas, magparami, hatiin.

Ang lahat ng mga pagkilos na ito ay may decimal ang mga operasyong may mga fraction ay hindi naiiba sa mga operasyong may mga integer. Sa totoo lang, ito ay kung ano ang mga ito ay mabuti para sa, decimal. Ang tanging bagay ay kailangan mong ilagay nang tama ang kuwit.

magkahalong numero, tulad ng sinabi ko, ay walang gaanong pakinabang para sa karamihan ng mga aksyon. Kailangan pa rin nilang i-convert sa mga ordinaryong fraction.

At narito ang mga aksyon na may ordinaryong fraction magiging mas matalino. At mas mahalaga! Hayaan mong ipaalala ko sa iyo: lahat ng mga aksyon na may mga fractional na expression na may mga titik, sine, hindi alam, at iba pa at iba pa ay hindi naiiba sa mga aksyon na may mga ordinaryong fraction! Ang mga operasyong may ordinaryong fraction ay ang batayan para sa lahat ng algebra. Ito ay para sa kadahilanang ito na susuriin natin ang lahat ng aritmetika na ito nang detalyado dito.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction.

Ang bawat tao'y maaaring magdagdag (magbawas) ng mga praksyon na may parehong denominador (sana talaga!). Well, hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ako ay ganap na nakalilimutin: kapag nagdadagdag (nagbabawas), ang denominator ay hindi nagbabago. Ang mga numerator ay idinaragdag (binawas) upang ibigay ang numerator ng resulta. Uri:

Sa madaling salita, sa mga pangkalahatang tuntunin:

Paano kung magkaiba ang mga denominador? Pagkatapos, gamit ang pangunahing pag-aari ng fraction (narito ito ay madaling gamitin muli!), Ginagawa naming pareho ang mga denominador! Halimbawa:

Dito kailangan nating gawin ang fraction na 4/10 mula sa fraction na 2/5. Para lamang sa layunin na gawing pareho ang mga denominador. Pansin ko, kung sakali, na 2/5 at 4/10 ay ang parehong fraction! 2/5 lang ang hindi komportable para sa amin, at ang 4/10 ay wala.

Sa pamamagitan ng paraan, ito ang kakanyahan ng paglutas ng anumang mga gawain sa matematika. Pag labas namin hindi komportable ginagawa ng mga ekspresyon pareho, ngunit mas maginhawa upang malutas.

Isa pang halimbawa:

Pareho ang sitwasyon. Dito ay gagawa tayo ng 48 sa 16. Sa simpleng multiplikasyon sa 3. Malinaw ang lahat ng ito. Ngunit narito kami ay nakatagpo ng isang bagay tulad ng:

Paano maging?! Mahirap gumawa ng siyam sa pito! Pero matalino kami, alam namin ang rules! Magtransform tayo bawat fraction upang ang mga denominator ay pareho. Ito ay tinatawag na "reduce to a common denominator":

Paano! Paano ko nalaman ang tungkol sa 63? Napakasimple! Ang 63 ay isang numero na pantay na nahahati ng 7 at 9 sa parehong oras. Ang ganitong numero ay palaging makukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga denominador. Kung i-multiply natin ang ilang numero sa 7, halimbawa, kung gayon ang resulta ay tiyak na mahahati sa 7!

Kung kailangan mong magdagdag (magbawas) ng ilang mga fraction, hindi na kailangang gawin ito nang pares, hakbang-hakbang. Kailangan mo lang hanapin ang denominator na karaniwan sa lahat ng fraction, at dalhin ang bawat fraction sa parehong denominator na ito. Halimbawa:

At ano ang magiging common denominator? Siyempre, maaari mong i-multiply ang 2, 4, 8, at 16. Nakakakuha tayo ng 1024. Bangungot. Mas madaling matantya na ang numerong 16 ay ganap na nahahati ng 2, 4, at 8. Samakatuwid, madaling makakuha ng 16 mula sa mga numerong ito. Ang numerong ito ang magiging common denominator. Gawin natin ang 1/2 sa 8/16, 3/4 sa 12/16, at iba pa.

By the way, if we take 1024 as a common denominator, everything will work out din, in the end lahat mababawasan. Tanging hindi lahat ay makakarating sa layuning ito, dahil sa mga kalkulasyon ...

Lutasin ang halimbawa sa iyong sarili. Hindi logarithm... Dapat 29/16.

Kaya, sa karagdagan (pagbabawas) ng mga fraction ay malinaw, umaasa ako? Siyempre, mas madaling magtrabaho sa isang pinaikling bersyon, na may karagdagang mga multiplier. Ngunit ang kasiyahang ito ay magagamit sa mga taong matapat na nagtrabaho sa mas mababang mga grado ... At hindi nakalimutan ang anuman.

At ngayon ay gagawin namin ang parehong mga aksyon, ngunit hindi sa mga fraction, ngunit sa mga fractional na expression. Matatagpuan dito ang mga bagong rake, oo ...

Kaya, kailangan nating magdagdag ng dalawang fractional expression:

Kailangan nating gawing pareho ang mga denominador. At sa tulong lamang pagpaparami! Kaya ang pangunahing pag-aari ng fraction ay nagsasabi. Samakatuwid, hindi ako maaaring magdagdag ng isa sa x sa unang bahagi ng denominator. (Ngunit iyon ay magiging maganda!). Ngunit kung paparamihin mo ang mga denominador, makikita mo, lalago ang lahat nang sama-sama! Kaya isulat namin, ang linya ng fraction, mag-iwan ng walang laman na espasyo sa itaas, pagkatapos ay idagdag ito, at isulat ang produkto ng mga denominator sa ibaba, upang hindi makalimutan:

At, siyempre, hindi kami nagpaparami ng anuman sa kanang bahagi, hindi kami nagbubukas ng mga bracket! At ngayon, sa pagtingin sa karaniwang denominator ng kanang bahagi, iniisip natin: upang makuha ang denominator x (x + 1) sa unang bahagi, kailangan nating i-multiply ang numerator at denominator ng bahaging ito sa (x + 1) . At sa pangalawang bahagi - x. Makukuha mo ito:

Tandaan! Narito ang mga panaklong! Ito ang kalaykay na tinatapakan ng marami. Hindi mga bracket, siyempre, ngunit ang kanilang kawalan. Lumilitaw ang mga panaklong dahil tayo ay dumarami ang kabuuan numerator at ang kabuuan denominador! At hindi ang kanilang mga indibidwal na piraso ...

Sa numerator ng kanang bahagi, isinulat namin ang kabuuan ng mga numerator, ang lahat ay tulad ng sa mga numerical fraction, pagkatapos ay binuksan namin ang mga bracket sa numerator ng kanang bahagi, i.e. paramihin ang lahat at bigyan ng katulad. Hindi mo kailangang buksan ang mga bracket sa mga denominator, hindi mo kailangang magparami ng isang bagay! Sa pangkalahatan, sa mga denominador (anumang) ang produkto ay palaging mas kaaya-aya! Nakukuha namin:

Dito nakuha namin ang sagot. Mukhang mahaba at mahirap ang proseso, ngunit depende ito sa pagsasanay. Lutasin ang mga halimbawa, masanay, ang lahat ay magiging simple. Yaong mga nakabisado ang mga fraction sa inilaang oras, gawin ang lahat ng mga operasyong ito sa isang kamay, sa makina!

At isa pang tala. Maraming sikat na nakikitungo sa mga praksyon, ngunit nananatili sa mga halimbawa sa buo numero. Uri: 2 + 1/2 + 3/4= ? Saan i-fasten ang isang deuce? Hindi na kailangang mag-fasten kahit saan, kailangan mong gumawa ng isang fraction mula sa isang deuce. Ito ay hindi madali, ito ay napaka-simple! 2=2/1. Ganito. Anumang buong numero ay maaaring isulat bilang isang fraction. Ang numerator ay ang numero mismo, ang denominator ay isa. Ang 7 ay 7/1, ang 3 ay 3/1 at iba pa. Ganun din sa mga letra. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, atbp. At pagkatapos ay nagtatrabaho kami sa mga fraction na ito ayon sa lahat ng mga patakaran.

Well, sa karagdagan - pagbabawas ng mga fraction, ang kaalaman ay na-refresh. Mga pagbabagong-anyo ng mga fraction mula sa isang uri patungo sa isa pa - paulit-ulit. Maaari mo ring suriin. Magkaayos na ba tayo ng konti?)

Kalkulahin:

Mga sagot (magulo):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Multiplikasyon / paghahati ng mga fraction - sa susunod na aralin. Mayroon ding mga gawain para sa lahat ng aksyon na may mga fraction.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ngayon na natutunan na natin kung paano magdagdag at magparami ng mga indibidwal na fraction, maaari nating isaalang-alang ang mas kumplikadong mga istruktura. Halimbawa, paano kung ang pagdaragdag, pagbabawas, at pagpaparami ng mga fraction ay nangyari sa isang problema?

Una sa lahat, kailangan mong i-convert ang lahat ng mga fraction sa hindi wasto. Pagkatapos ay sunud-sunod naming ginagawa ang mga kinakailangang aksyon - sa parehong pagkakasunud-sunod tulad ng para sa mga ordinaryong numero. Namely:

1. Una, isinasagawa ang exponentiation - alisin ang lahat ng expression na naglalaman ng mga exponent;
2. Pagkatapos - dibisyon at pagpaparami;
3. Ang huling hakbang ay ang pagdaragdag at pagbabawas.

Siyempre, kung may mga bracket sa expression, nagbabago ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon - lahat ng nasa loob ng mga bracket ay dapat munang isaalang-alang. At tandaan ang tungkol sa mga hindi wastong fraction: kailangan mong piliin ang buong bahagi lamang kapag ang lahat ng iba pang mga aksyon ay nakumpleto na.

Isalin natin ang lahat ng mga fraction mula sa unang expression sa mga hindi wasto, at pagkatapos ay gawin ang mga sumusunod na aksyon:

Ngayon hanapin natin ang halaga ng pangalawang expression. Walang mga fraction na may integer na bahagi, ngunit may mga bracket, kaya nagsasagawa muna kami ng karagdagan, at pagkatapos lamang ng paghahati. Tandaan na 14 = 7 2 . Pagkatapos:

Panghuli, isaalang-alang ang ikatlong halimbawa. Mayroong mga bracket at isang degree dito - mas mahusay na bilangin ang mga ito nang hiwalay. Given na 9 = 3 3 , mayroon tayong:

Bigyang-pansin ang huling halimbawa. Upang itaas ang isang fraction sa isang kapangyarihan, dapat mong hiwalay na itaas ang numerator sa kapangyarihang ito, at hiwalay ang denominator.

Maaari kang magdesisyon nang iba. Kung aalalahanin natin ang kahulugan ng antas, ang problema ay mababawasan sa karaniwang pagpaparami ng mga fraction:

Mga multistoried fraction

Sa ngayon, isinasaalang-alang lamang natin ang mga "purong" fraction, kapag ang numerator at denominator ay mga ordinaryong numero. Ito ay naaayon sa kahulugan ng isang numerical fraction na ibinigay sa pinakaunang aralin.

Ngunit paano kung ang isang mas kumplikadong bagay ay inilagay sa numerator o denominator? Halimbawa, isa pang numerical fraction? Ang ganitong mga konstruksyon ay madalas na nangyayari, lalo na kapag nagtatrabaho sa mahabang expression. Ito ang ilang mga halimbawa:

Mayroon lamang isang panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga multi-storey fraction: dapat mong agad na alisin ang mga ito. Ang pag-alis ng "dagdag" na mga sahig ay medyo simple, kung naaalala mo na ang fractional bar ay nangangahulugang ang karaniwang operasyon ng dibisyon. Samakatuwid, ang anumang fraction ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

Gamit ang katotohanang ito at pagsunod sa pamamaraan, madali nating mababawasan ang anumang multi-storey fraction sa isang regular. Tingnan ang mga halimbawa:

Isang gawain. I-convert ang mga multistory fraction sa mga karaniwang:

Sa bawat kaso, muling isinulat namin ang pangunahing bahagi, pinapalitan ang linya ng paghahati ng isang tanda ng dibisyon. Tandaan din na ang anumang integer ay maaaring katawanin bilang isang fraction na may denominator na 1. Ibig sabihin, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Nakukuha namin:

Sa huling halimbawa, ang mga fraction ay nabawasan bago ang huling multiplikasyon.

Ang mga detalye ng pagtatrabaho sa mga multi-storey fraction

Mayroong isang subtlety sa mga multi-storey fraction na dapat laging tandaan, kung hindi, makakakuha ka ng maling sagot, kahit na tama ang lahat ng mga kalkulasyon. Tingnan mo:

1. Sa numerator mayroong isang hiwalay na numero 7, at sa denominator - ang bahagi na 12/5;
2. Ang numerator ay ang fraction na 7/12, at ang denominator ay ang solong numero 5.

Kaya, para sa isang talaan, nakakuha kami ng dalawang ganap na magkaibang interpretasyon. Kung magbibilang ka, iba rin ang mga sagot:

Upang matiyak na ang talaan ay palaging binabasa nang hindi malabo, gumamit ng isang simpleng panuntunan: ang linya ng paghahati ng pangunahing fraction ay dapat na mas mahaba kaysa sa nested na linya. Mas mabuti ng ilang beses.

Kung susundin mo ang panuntunang ito, ang mga fraction sa itaas ay dapat na isulat bilang mga sumusunod:

Oo, ito ay malamang na pangit at tumatagal ng masyadong maraming espasyo. Pero magbibilang ka ng tama. Sa wakas, ilang mga halimbawa kung saan talagang nangyayari ang mga multi-level na fraction:

Isang gawain. Maghanap ng mga halaga ng expression:

Kaya, magtrabaho tayo sa unang halimbawa. I-convert natin ang lahat ng mga fraction sa mga hindi wasto, at pagkatapos ay isagawa ang mga operasyon ng karagdagan at paghahati:

Gawin din natin ang pangalawang halimbawa. I-convert ang lahat ng fraction sa hindi wasto at gawin ang mga kinakailangang operasyon. Upang hindi mainip ang mambabasa, aalisin ko ang ilang malinaw na mga kalkulasyon. Meron kami:

Dahil sa katotohanan na ang numerator at denominator ng mga pangunahing fraction ay naglalaman ng mga kabuuan, ang panuntunan para sa pagsulat ng mga multi-storey na fraction ay awtomatikong sinusunod. Gayundin, sa huling halimbawa, sadyang iniwan namin ang numerong 46/1 sa anyo ng isang fraction upang maisagawa ang paghahati.

Napansin ko rin na sa parehong mga halimbawa, ang fractional bar ay talagang pinapalitan ang mga bracket: una sa lahat, nakita namin ang kabuuan, at pagkatapos lamang - ang quotient.

May magsasabi na ang paglipat sa mga hindi wastong fraction sa pangalawang halimbawa ay malinaw na kalabisan. Marahil ay ganoon nga. Ngunit sa ganitong paraan sinisiguro natin ang ating mga sarili laban sa mga pagkakamali, dahil sa susunod na pagkakataon ang halimbawa ay maaaring maging mas kumplikado. Piliin para sa iyong sarili kung ano ang mas mahalaga: bilis o pagiging maaasahan.

Maginhawa at simpleng online fraction calculator na may detalyadong solusyon siguro:

• Magdagdag, magbawas, magparami at hatiin ang mga fraction online,
• Kumuha ng isang handa na solusyon ng mga fraction bilang isang larawan at maginhawang ilipat ito.

Ang resulta ng paglutas ng mga fraction ay narito ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Fraction sign "/" + - * :
_wipe Clear
Ang aming online na fraction calculator ay may mabilis na input. Upang makuha ang solusyon ng mga fraction, halimbawa, isulat lamang 1/2+2/7 sa calculator at pindutin ang " lutasin ang mga fraction". Isusulat ka ng calculator detalyadong solusyon ng mga fraction at isyu copy-friendly na imahe.

Ang mga character na ginamit para sa pagsusulat sa calculator

Mga tampok ng online fraction calculator

Kung kailangan mong lutasin ang mga negatibong praksyon, gamitin lamang ang mga minus na katangian. Kapag nagpaparami at naghahati ng mga negatibong praksiyon, ang minus sa pamamagitan ng minus ay nagbibigay ng plus. Iyon ay, ang produkto at paghahati ng mga negatibong praksiyon ay katumbas ng produkto at paghahati ng parehong positibo. Kung ang isang fraction ay negatibo kapag pinarami o hinati, pagkatapos ay alisin lamang ang minus, at pagkatapos ay idagdag ito sa sagot. Kapag nagdaragdag ng mga negatibong praksiyon, ang resulta ay magiging kapareho ng kung idinagdag mo ang parehong positibong mga praksiyon. Kung nagdagdag ka ng isang negatibong bahagi, ito ay kapareho ng pagbabawas ng parehong positibong bahagi.
Kapag binabawasan ang mga negatibong praksyon, ang resulta ay magiging katulad ng kung sila ay binaligtad at ginawang positibo. Iyon ay, ang isang minus ng isang minus sa kasong ito ay nagbibigay ng isang plus, at ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa isang muling pagsasaayos ng mga termino. Gumagamit kami ng parehong mga patakaran kapag binabawasan ang mga fraction, isa sa mga ito ay negatibo.

Upang malutas ang mga pinaghalong fraction (mga fraction kung saan naka-highlight ang buong bahagi), i-drive lang ang buong bahagi sa isang fraction. Upang gawin ito, i-multiply ang integer na bahagi ng denominator at idagdag sa numerator.

Kung kailangan mong lutasin ang 3 o higit pang mga fraction online, dapat mong lutasin ang mga ito nang paisa-isa. Una, bilangin ang unang 2 fraction, pagkatapos ay lutasin ang susunod na fraction sa sagot na natanggap, at iba pa. Magsagawa ng mga operasyon sa turn para sa 2 fraction, at sa huli ay makukuha mo ang tamang sagot.