İki rakam küçükse fonksiyon artar. Fonksiyon özellikleri
Monoton
Çok önemli özellik işlevi onun monotonluğudur. Çeşitli özel fonksiyonların bu özelliğini bilerek, çeşitli fiziksel, ekonomik, sosyal ve diğer birçok sürecin davranışını belirlemek mümkündür.
Vurgulamak aşağıdaki türler fonksiyonların monotonluğu:
1) işlev artışlar, eğer belirli bir aralıkta ise, herhangi iki nokta için ise ve bu aralık öyle ki . Onlar. daha büyük bir bağımsız değişken değeri daha büyük bir işlev değerine karşılık gelir;
2) işlev azalır, eğer belirli bir aralıkta ise, herhangi iki nokta için ise ve bu aralık öyle ki . Onlar. daha büyük bir bağımsız değişken değeri daha küçük bir işlev değerine karşılık gelir;
3) işlev azalmayan, belli bir aralıkta ise, herhangi iki nokta için ise ve bu aralık öyle ki;
4) işlev artmaz, eğer belirli bir aralıkta ise, herhangi iki nokta için ise ve bu aralık öyle ki .
2. İlk iki durum için “katı monotonluk” terimi de kullanılmıştır.
3. Son iki durum spesifiktir ve genellikle çeşitli işlevlerin bileşimi olarak belirtilir.
4. Ayrı olarak, bir fonksiyonun grafiğindeki artış ve azalmanın soldan sağa doğru dikkate alınması gerektiğini ve başka hiçbir şeyin dikkate alınmaması gerektiğini not ediyoruz.
2. Tek çift.
Fonksiyona tek denir, eğer argümanın işareti değiştiğinde değeri tersine değişirse. Bunun formülü şuna benziyor. Bu, tüm x'lerin yerine "eksi x" değerlerini fonksiyona yerleştirdikten sonra fonksiyonun işaretini değiştireceği anlamına gelir. Böyle bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.
Tek fonksiyon örnekleri vb.
Örneğin, grafiğin aslında orijine göre simetrisi vardır:
Fonksiyon eşit olarak çağrılır, eğer argümanın işareti değiştiğinde değeri değişmez. Bunun formülü şuna benziyor. Bu, tüm x'lerin yerine "eksi x" değerlerini fonksiyona yerleştirdikten sonra, sonuç olarak fonksiyonun değişmeyeceği anlamına gelir. Böyle bir fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir.
Eşit fonksiyonların örnekleri vb.
Örneğin grafiğin eksene göre simetrisini gösterelim:
Bir işlev belirtilen türlerden herhangi birine ait değilse, o zaman ne çift ne de tek olarak adlandırılır. işlev Genel görünüm . Bu tür fonksiyonların simetrisi yoktur.
Örneğin böyle bir işlev, yakın zamanda incelediğimiz işlevdir. doğrusal fonksiyon programla:
3. Fonksiyonların özel bir özelliği periyodiklik.
Gerçek şu ki, standartta dikkate alınan periyodik fonksiyonlar Okul müfredatı, yalnızca trigonometrik fonksiyonlardır. İlgili konuyu incelerken bunlardan detaylı olarak bahsetmiştik.
Periyodik fonksiyon argümana sıfır olmayan belirli bir sabit sayı eklendiğinde değerlerini değiştirmeyen bir fonksiyondur.
Bu minimum sayıya denir fonksiyonun süresi ve harfle belirtilir.
Bunun formülü şuna benzer: 
.
Sinüs grafiği örneğini kullanarak bu özelliğe bakalım:
Fonksiyonların periyodunu ve is ile periyodunu ve is olduğunu hatırlayalım.
Zaten bildiğimiz gibi, çünkü trigonometrik fonksiyonlar karmaşık bir argümanla standart olmayan bir dönem olabilir. Hakkında formun işlevleri hakkında:
Periyotları eşittir. Ve işlevler hakkında:
Periyotları eşittir.
Gördüğünüz gibi, yeni bir dönemi hesaplamak için standart süre basitçe argümandaki faktöre bölünür. İşlevdeki diğer değişikliklere bağlı değildir.
Sınırlama.
İşlev y=f(x) Herhangi bir xϵX için f(x) eşitsizliğinin sağlandığı bir a sayısı varsa, X⊂D(f) kümesinde alttan sınırlı olarak adlandırılır.< a.
İşlev y=f(x) Herhangi bir хϵХ için f(x) eşitsizliğinin sağlandığı bir a sayısı varsa, X⊂D(f) kümesinde yukarıdan sınırlı olarak adlandırılır.< a.
X aralığı belirtilmezse, fonksiyonun tüm tanım alanı boyunca sınırlı olduğu kabul edilir. Hem üstten hem de alttan sınırlı olan fonksiyona sınırlı denir.
Fonksiyonun sınırlamasını grafikten okumak kolaydır. Bir y=a çizgisi çizebilirsiniz ve eğer fonksiyon bu çizgiden yüksekse, o zaman alttan sınırlanmıştır.
Aşağıdaysa, buna göre yukarıda. Aşağıda sınırlı bir fonksiyonun grafiği verilmiştir. Arkadaşlar, sınırlı bir fonksiyonun grafiğini kendiniz çizmeye çalışın.
Konu: Fonksiyonların özellikleri: artan ve azalan aralıklar; en yüksek ve en düşük değerler; ekstrem noktalar (yerel maksimum ve minimum), fonksiyonun dışbükeyliği.
Artan ve azalan aralıklar.
Bir fonksiyonun artması ve azalması için yeterli koşullar (işaretler) esas alınarak fonksiyonun artış ve azalış aralıkları bulunur.
Bir aralıkta artan ve azalan fonksiyonların işaretlerinin formülasyonları şunlardır:
· fonksiyonun türevi ise y=f(x) herkes için olumlu X aralıktan X, o zaman fonksiyon artar X;
· fonksiyonun türevi ise y=f(x) herkes için olumsuz X aralıktan X, o zaman fonksiyon azalır X.
Dolayısıyla bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için şunlar gereklidir:
· fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun;
· fonksiyonun türevini bulun;
· tanım alanındaki eşitsizlikleri çözmek;
Fonksiyonun ekstremum değerleri
Tanım 2
Bir $x_0$ noktasına, eğer bu noktanın bir komşuluğu varsa, bu komşuluktaki tüm $x$ için $f(x)\le f(x_0) eşitsizliği varsa, $f(x)$ fonksiyonunun maksimum noktası denir. $ tutar.
Tanım 3
Bir $x_0$ noktasına, eğer bu noktanın bir komşuluğu varsa, bu komşuluktaki tüm $x$ için $f(x)\ge f(x_0) eşitsizliği varsa, $f(x)$ fonksiyonunun maksimum noktası denir. $ tutar.
Bir fonksiyonun ekstremum kavramı, bir fonksiyonun kritik noktası kavramıyla yakından ilişkilidir. Tanımını tanıtalım.
Tanım 4
$x_0$ çağrıldı kritik nokta fonksiyon $f(x)$ eğer:
1) $x_0$ - iç nokta tanım alanları;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ veya mevcut değil.
Ekstremum kavramı için yeterli ve gerekli koşullar Onun varlığı.
Teorem 2
Bir ekstremum için yeterli koşul
$x_0$ noktası $y=f(x)$ fonksiyonu için kritik olsun ve $(a,b)$ aralığında olsun. $f"(x)$ türevinin her $\left(a,x_0\right)\ ve\ (x_0,b)$ aralığında mevcut olmasına izin verin ve koruyun kalıcı işaret. Daha sonra:
1) $(a,x_0)$ aralığında türev $f"\left(x\right)>0$ ise ve $(x_0,b)$ aralığında türev $f"\left( ise x\sağ)
2) $(a,x_0)$ aralığında $f"\left(x\right)0$ türevi varsa, o zaman $x_0$ noktası bu fonksiyon için minimum noktadır.
3) Hem $(a,x_0)$ aralığında hem de $(x_0,b)$ aralığındaysa $f"\left(x\right) >0$ türevi veya $f"\left(x türevi \Sağ)
Bu teorem Şekil 1'de gösterilmektedir.
Şekil 1. Ekstremin varlığı için yeterli koşul
Aşırılık örnekleri (Şekil 2).
Şekil 2. Ekstrem noktalara örnekler
Bir fonksiyonu ekstremum için inceleme kuralı
2) $f"(x)$ türevini bulun;
7) Teorem 2'yi kullanarak her aralıkta maksimum ve minimumların varlığı hakkında sonuçlar çıkarın.
Artan ve azalan fonksiyonlar
Önce artan ve azalan fonksiyonların tanımlarını verelim.
Tanım 5
$X$ aralığında tanımlanan bir $y=f(x)$ fonksiyonunun, $x_1 noktasındaki herhangi bir $x_1,x_2\in X$ noktası için artan olduğu söylenir.
Tanım 6
$X$ aralığında tanımlanan bir $y=f(x)$ fonksiyonunun, $x_1f(x_2)$ için herhangi bir $x_1,x_2\in X$ noktası için azalan olduğu söylenir.
Artan ve azalan bir fonksiyonun incelenmesi
Türevi kullanarak artan ve azalan fonksiyonları inceleyebilirsiniz.
Bir fonksiyonu artan ve azalan aralıklara göre incelemek için aşağıdakileri yapmanız gerekir:
1) $f(x)$ fonksiyonunun tanım tanım kümesini bulun;
2) $f"(x)$ türevini bulun;
3) $f"\left(x\right)=0$ eşitliğinin sağlandığı noktaları bulun;
4) $f"(x)$'ın bulunmadığı noktaları bulun;
5) Bulunan tüm noktaları ve bu fonksiyonun tanım alanını koordinat çizgisi üzerinde işaretleyin;
6) Ortaya çıkan her aralıkta $f"(x)$ türevinin işaretini belirleyin;
7) Bir sonuca varın: $f"\left(x\right)0$ aralığında fonksiyon artar.
Artan, azalan fonksiyonları ve ekstremum noktaların varlığını incelemek için problem örnekleri
örnek 1
Arttırma ve azaltma fonksiyonunu ve maksimum ve minimum noktaların varlığını inceleyin: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
İlk 6 nokta aynı olduğundan önce bunları gerçekleştirelim.
1) Tanım alanı - tüm gerçek sayılar;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ tanım alanının tüm noktalarında mevcuttur;
5) Koordinat çizgisi:
Figür 3.
6) Her aralıkta $f"(x)$ türevinin işaretini belirleyin:
\ \ . Maksimum noktalar kullanılarak bulunur ve fonksiyonun maksimum değerine eşittir, ikinci rakam ise daha çok x = b'de maksimum noktayı bulmaya benzer.
Bir fonksiyonun artması ve azalması için yeterli koşullar
Bir fonksiyonun maksimum ve minimumlarını bulmak için, fonksiyonun bu koşulları sağlaması durumunda ekstremum işaretlerini uygulamak gerekir. İlk işaret en sık kullanılan olarak kabul edilir.
Bir ekstremum için ilk yeterli koşul
Tanım 4x 0 noktasının ε komşuluğunda türevlenebilir olan ve verilen x 0 noktasında sürekliliğe sahip bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. Buradan şunu anlıyoruz
- x ∈ (x 0 - ε ; x 0) ve f " (x) ile f " (x) > 0 olduğunda< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
- ne zaman f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) için 0 ise, x 0 minimum noktadır.
Başka bir deyişle, işareti koyma koşullarını elde ediyoruz:
- fonksiyon x 0 noktasında sürekli olduğunda, işareti değişen, yani +'dan -'ye kadar bir türevi vardır, bu da noktaya maksimum adı verildiği anlamına gelir;
- Fonksiyon x 0 noktasında sürekli olduğunda, işareti -'den +'ya değişen bir türevi vardır, bu da noktaya minimum adı verildiği anlamına gelir.
Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarını doğru bir şekilde belirlemek için bunları bulma algoritmasını izlemelisiniz:
- tanım alanını bulun;
- fonksiyonun bu alandaki türevini bulun;
- fonksiyonun mevcut olmadığı sıfırları ve noktaları tanımlayın;
- aralıklarda türevin işaretinin belirlenmesi;
- fonksiyonun işaret değiştirdiği noktaları seçin.
Bir fonksiyonun ekstremumlarını bulmayla ilgili birkaç örneği çözerek algoritmayı ele alalım.
örnek 1
Maksimum ve minimum noktaları bulun verilen fonksiyon y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .
Çözüm
Bu fonksiyonun tanım alanı x = 2 dışındaki tüm gerçek sayılardır. İlk önce fonksiyonun türevini bulalım ve şunu elde edelim:
y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2
Buradan fonksiyonun sıfırlarının x = - 1, x = 5, x = 2 olduğunu yani her parantezin sıfıra eşitlenmesi gerektiğini görüyoruz. Bunu sayı ekseninde işaretleyelim ve şunu elde edelim:
Şimdi her aralığın türevinin işaretlerini belirliyoruz. Aralığa dahil olan bir noktayı seçip onu ifadede değiştirmek gerekir. Örneğin x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6 noktaları.
Bunu anlıyoruz
y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, bu da - ∞ ; - 1 aralığının pozitif bir türevi olduğu anlamına gelir.Benzer şekilde şunu buluruz:
y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0
İkinci aralığın sıfırdan küçük çıkması, aralığın türevinin negatif olacağı anlamına gelir. Üçüncüsü eksi, dördüncüsü artı. Sürekliliği belirlemek için türevin işaretine dikkat etmeniz gerekir, eğer değişirse bu bir ekstrem noktadır.
x = - 1 noktasında fonksiyonun sürekli olacağını, yani türevin işaretinin +'dan -'ye değişeceğini buluyoruz. İlk işarete göre, x = - 1 maksimum noktadır, yani şunu elde ederiz:
y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0
X = 5 noktası fonksiyonun sürekli olduğunu ve türevinin işaretinin -'den +'ya değişeceğini gösterir. Bu, x = -1'in minimum nokta olduğu ve belirlenmesinin şu şekilde olduğu anlamına gelir:
y m ben n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24
Grafik resmi
Cevap: y m a x = y (- 1) = 0, y m ben n = y (5) = 24.
Bir ekstremum için ilk yeterli kriterin kullanılmasının, fonksiyonun x 0 noktasında türevlenebilirliğini gerektirmediği gerçeğine dikkat etmek önemlidir, bu, hesaplamayı basitleştirir.
Örnek 2
y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 fonksiyonunun maksimum ve minimum noktalarını bulun.
Çözüm.
Bir fonksiyonun tanım kümesinin tamamı gerçek sayılardır. Bu, aşağıdaki formdaki bir denklem sistemi olarak yazılabilir:
1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0
O zaman türevi bulmanız gerekir:
y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y" = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0
Tek taraflı limitlerin değerleri farklı olduğundan x = 0 noktasının türevi yoktur. Bunu anlıyoruz:
lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3
Fonksiyonun x = 0 noktasında sürekli olduğu sonucu çıkar, sonra hesaplarız
lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8
Türev şu hale geldiğinde argümanın değerini bulmak için hesaplamalar yapmak gerekir: sıfıra eşit:
1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0
1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0
Her aralığın işaretini belirlemek için elde edilen tüm noktalar düz bir çizgi üzerinde işaretlenmelidir. Bu nedenle her aralık için keyfi noktalardaki türevi hesaplamak gerekir. Örneğin x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 değerlerine sahip noktaları alabiliriz. Bunu anlıyoruz
y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0
Düz çizgideki görüntü şuna benzer:
Bu, bir ekstremun ilk işaretine başvurmanın gerekli olduğu sonucuna vardığımız anlamına gelir. Bunu hesaplayıp bulalım
x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , buradan itibaren maksimum noktalar x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3 değerlerine sahip olur
Minimumları hesaplamaya geçelim:
y m ben n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m ben n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m ben n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3
Fonksiyonun maksimumunu hesaplayalım. Bunu anlıyoruz
y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Grafik resmi
Cevap:
y m ben n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m ben n = y (0) = - 8 y m ben n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Bir f " (x 0) = 0 fonksiyonu verilirse, o zaman f "" (x 0) > 0 ise, f "" (x 0) ise x 0'ın minimum nokta olduğunu elde ederiz.< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .
Örnek 3
y = 8 x x + 1 fonksiyonunun maksimum ve minimumlarını bulun.
Çözüm
İlk olarak tanım alanını buluyoruz. Bunu anlıyoruz
D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0
Fonksiyonu farklılaştırmak gerekir, bundan sonra şunu elde ederiz:
y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x
X = 1'de türev sıfır olur, bu da noktanın olası bir ekstremum olduğu anlamına gelir. Açıklığa kavuşturmak için ikinci türevi bulmak ve x = 1'deki değeri hesaplamak gerekir. Şunu elde ederiz:
y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0
Bu, bir ekstremum için 2 yeterli koşulunu kullanarak x = 1'in maksimum nokta olduğunu elde ettiğimiz anlamına gelir. Aksi takdirde giriş y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 gibi görünür.
Grafik resmi
Cevap: y m a x = y (1) = 4 ..
Tanım 5y = f(x) fonksiyonunun ε komşuluğunda n'inci dereceye kadar türevi vardır verilen nokta x 0 ve x 0 noktasında n + 1. dereceye kadar türev. O halde f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .
Buradan, n bir çift sayı olduğunda x 0'ın bir bükülme noktası olduğu, n bir tek sayı olduğunda x 0'ın bir uç nokta olduğu ve f (n + 1) (x 0) > 0 olduğu sonucu çıkar. 0 minimum noktadır, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.
Örnek 4
y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 fonksiyonunun maksimum ve minimum noktalarını bulun.
Çözüm
Orijinal fonksiyon rasyonel bir tam fonksiyondur; bu, tanım alanının tamamen gerçek sayılar olduğu anlamına gelir. Fonksiyonu ayırt etmek gerekiyor. Bunu anlıyoruz
y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7x-5)
Bu türev x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3'te sıfıra gidecektir. Yani noktalar olası ekstrem noktalar olabilir. Ekstremum için üçüncü yeterli koşulun uygulanması gerekmektedir. İkinci türevi bulmak, bir fonksiyonun maksimum ve minimum varlığını doğru bir şekilde belirlemenizi sağlar. İkinci türev olası ekstremum noktalarında hesaplanır. Bunu anlıyoruz
y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0
Bu, x 2 = 5 7'nin maksimum nokta olduğu anlamına gelir. 3. yeterli kriteri uygulayarak n = 1 ve f (n + 1) 5 7 için şunu elde ederiz:< 0 .
x 1 = - 1, x 3 = 3 noktalarının niteliğini belirlemek gerekir. Bunu yapmak için üçüncü türevi bulmanız ve bu noktalardaki değerleri hesaplamanız gerekir. Bunu anlıyoruz
y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0
Bu, x 1 = - 1'in fonksiyonun dönüm noktası olduğu anlamına gelir, çünkü n = 2 ve f (n + 1) (- 1) ≠ 0 için. x 3 = 3 noktasını araştırmak gerekir. Bunun için 4. türevi buluyoruz ve bu noktada hesaplamalar yapıyoruz:
y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0
Yukarıda kararlaştırılanlardan x 3 = 3'ün fonksiyonun minimum noktası olduğu sonucunu çıkarıyoruz.
Grafik resmi
Cevap: x 2 = 5 7 verilen fonksiyonun maksimum noktası, x 3 = 3 minimum noktasıdır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Fonksiyonun ekstremum değerleri
Tanım 2
Bir $x_0$ noktasına, eğer bu noktanın bir komşuluğu varsa, bu komşuluktaki tüm $x$ için $f(x)\le f(x_0) eşitsizliği varsa, $f(x)$ fonksiyonunun maksimum noktası denir. $ tutar.
Tanım 3
Bir $x_0$ noktasına, eğer bu noktanın bir komşuluğu varsa, bu komşuluktaki tüm $x$ için $f(x)\ge f(x_0) eşitsizliği varsa, $f(x)$ fonksiyonunun maksimum noktası denir. $ tutar.
Bir fonksiyonun ekstremum kavramı, bir fonksiyonun kritik noktası kavramıyla yakından ilişkilidir. Tanımını tanıtalım.
Tanım 4
Aşağıdaki durumlarda $x_0$, $f(x)$ fonksiyonunun kritik noktası olarak adlandırılır:
1) $x_0$ - tanım alanının iç noktası;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ veya mevcut değil.
Ekstremum kavramı için onun varlığı için yeterli ve gerekli koşullar üzerine teoremler formüle edebiliriz.
Teorem 2
Bir ekstremum için yeterli koşul
$x_0$ noktası $y=f(x)$ fonksiyonu için kritik olsun ve $(a,b)$ aralığında olsun. Her $\left(a,x_0\right)\ ve\ (x_0,b)$ aralığında $f"(x)$ türevinin mevcut olduğunu ve sabit bir işareti koruduğunu varsayalım. Sonra:
1) $(a,x_0)$ aralığında türev $f"\left(x\right)>0$ ise ve $(x_0,b)$ aralığında türev $f"\left( ise x\sağ)
2) $(a,x_0)$ aralığında $f"\left(x\right)0$ türevi varsa, o zaman $x_0$ noktası bu fonksiyon için minimum noktadır.
3) Hem $(a,x_0)$ aralığında hem de $(x_0,b)$ aralığındaysa $f"\left(x\right) >0$ türevi veya $f"\left(x türevi \Sağ)
Bu teorem Şekil 1'de gösterilmektedir.
Şekil 1. Ekstremin varlığı için yeterli koşul
Aşırılık örnekleri (Şekil 2).
Şekil 2. Ekstrem noktalara örnekler
Bir fonksiyonu ekstremum için inceleme kuralı
2) $f"(x)$ türevini bulun;
7) Teorem 2'yi kullanarak her aralıkta maksimum ve minimumların varlığı hakkında sonuçlar çıkarın.
Artan ve azalan fonksiyonlar
Önce artan ve azalan fonksiyonların tanımlarını verelim.
Tanım 5
$X$ aralığında tanımlanan bir $y=f(x)$ fonksiyonunun, $x_1 noktasındaki herhangi bir $x_1,x_2\in X$ noktası için artan olduğu söylenir.
Tanım 6
$X$ aralığında tanımlanan bir $y=f(x)$ fonksiyonunun, $x_1f(x_2)$ için herhangi bir $x_1,x_2\in X$ noktası için azalan olduğu söylenir.
Artan ve azalan bir fonksiyonun incelenmesi
Türevi kullanarak artan ve azalan fonksiyonları inceleyebilirsiniz.
Bir fonksiyonu artan ve azalan aralıklara göre incelemek için aşağıdakileri yapmanız gerekir:
1) $f(x)$ fonksiyonunun tanım tanım kümesini bulun;
2) $f"(x)$ türevini bulun;
3) $f"\left(x\right)=0$ eşitliğinin sağlandığı noktaları bulun;
4) $f"(x)$'ın bulunmadığı noktaları bulun;
5) Bulunan tüm noktaları ve bu fonksiyonun tanım alanını koordinat çizgisi üzerinde işaretleyin;
6) Ortaya çıkan her aralıkta $f"(x)$ türevinin işaretini belirleyin;
7) Bir sonuca varın: $f"\left(x\right)0$ aralığında fonksiyon artar.
Artan, azalan fonksiyonları ve ekstremum noktaların varlığını incelemek için problem örnekleri
örnek 1
Arttırma ve azaltma fonksiyonunu ve maksimum ve minimum noktaların varlığını inceleyin: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
İlk 6 nokta aynı olduğundan önce bunları gerçekleştirelim.
1) Tanım alanı - tüm gerçek sayılar;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ tanım alanının tüm noktalarında mevcuttur;
5) Koordinat çizgisi:
Figür 3.
6) Her aralıkta $f"(x)$ türevinin işaretini belirleyin:
\ \}