İkinci dereceden bir denklemi basitleştirme formülü. İkinci dereceden denklemler

", yani birinci dereceden denklemler. Bu derste bakacağız ikinci dereceden denklem denir ve nasıl çözüleceği.

İkinci dereceden denklem nedir?

Önemli!

Bir denklemin derecesi bilinmeyenin bulunduğu en yüksek dereceye göre belirlenir.

Bilinmeyenlerin maksimum gücü “2” ise ikinci dereceden bir denkleminiz olur.

İkinci dereceden denklem örnekleri

• 5x2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Önemli! İkinci dereceden bir denklemin genel formu şöyle görünür:

bir x 2 + b x + c = 0

• “a” birinci veya en yüksek katsayıdır;
• “b” ikinci katsayıdır;
• “c” ücretsiz bir üyedir.

“a”, “b” ve “c”yi bulmak için denkleminizi “ax 2 + bx + c = 0” ikinci dereceden denklemin genel formuyla karşılaştırmanız gerekir.

İkinci dereceden denklemlerde "a", "b" ve "c" katsayılarını belirlemeye çalışalım.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• bir = 1
• b = 0,25
• c = 0

• bir = 1
• b = 0
• c = −8

İkinci Dereceden Denklemler Nasıl Çözülür?

İkinci dereceden denklemlerin çözümünde doğrusal denklemlerden farklı olarak özel bir yöntem kullanılır. kökleri bulma formülü.

Hatırlamak!

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için ihtiyacınız olan:

• İkinci dereceden denklemi “ax 2 + bx + c = 0” genel formuna getirin. Yani sağ tarafta sadece “0” kalmalı;
• kökler için formülü kullanın:

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için formülün nasıl kullanılacağına ilişkin bir örneğe bakalım. İkinci dereceden bir denklem çözelim.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 − 3x − 4 = 0" denklemi zaten "ax 2 + bx + c = 0" genel formuna indirgenmiştir ve ek basitleştirme gerektirmez. Bunu çözmek için uygulamamız yeterli İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü.

Bu denklem için “a”, “b” ve “c” katsayılarını belirleyelim.

Herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için kullanılabilir.

“x 1;2 =” formülünde radikal ifade sıklıkla değiştirilir
“D” harfine “b 2 − 4ac” denir ve diskriminant olarak adlandırılır. Diskriminant kavramı “Discriminant nedir” dersinde daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

İkinci dereceden denklemin başka bir örneğine bakalım.

x 2 + 9 + x = 7x

Bu formda “a”, “b” ve “c” katsayılarını belirlemek oldukça zordur. Öncelikle denklemi “ax 2 + bx + c = 0” genel formuna indirgeyelim.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Artık kökler için formülü kullanabilirsiniz.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

İkinci dereceden denklemlerin köklerinin olmadığı zamanlar vardır. Bu durum, formülün kök altında negatif bir sayı içerdiğinde ortaya çıkar.

Konuyu incelemeye devam ediyoruz” denklem çözme" Doğrusal denklemlerle zaten tanıştık ve onları tanımaya devam ediyoruz ikinci dereceden denklemler.

Öncelikle ikinci dereceden denklemin ne olduğuna, genel şekliyle nasıl yazıldığına bakacağız ve ilgili tanımları vereceğiz. Bundan sonra eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü detaylı olarak incelemek için örnekler kullanacağız. Daha sonra tam denklemleri çözmeye geçeceğiz, kök formülü elde edeceğiz, ikinci dereceden bir denklemin diskriminantını öğreneceğiz ve tipik örneklerin çözümlerini ele alacağız. Son olarak kökler ve katsayılar arasındaki bağlantıları izleyelim.

Sayfada gezinme.

İkinci dereceden denklem nedir? Türleri

Öncelikle ikinci dereceden denklemin ne olduğunu açıkça anlamanız gerekir. Bu nedenle, ikinci dereceden denklemler hakkında bir konuşmaya ikinci dereceden bir denklemin tanımı ve ilgili tanımlarla başlamak mantıklıdır. Bundan sonra, ikinci dereceden denklemlerin ana türlerini göz önünde bulundurabilirsiniz: azaltılmış ve azaltılmamış, ayrıca tam ve eksik denklemler.

İkinci dereceden denklemlerin tanımı ve örnekleri

Tanım.

İkinci dereceden denklem formun bir denklemidir a x 2 +b x+c=0 burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve a sıfır değildir.

Hemen ikinci dereceden denklemlere genellikle ikinci dereceden denklemler denildiğini söyleyelim. Bunun nedeni ikinci dereceden denklemin cebirsel denklem ikinci derece.

Belirtilen tanım ikinci dereceden denklem örnekleri vermemizi sağlar. Yani 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, vb. Bunlar ikinci dereceden denklemlerdir.

Tanım.

Sayılar a, b ve c denir ikinci dereceden denklemin katsayıları a·x 2 +b·x+c=0 ve a katsayısına birinci veya en yüksek denir veya x 2'nin katsayısı, b ikinci katsayı veya x'in katsayısıdır ve c serbest terimdir .

Örneğin, 5 x 2 −2 x −3=0 formundaki ikinci dereceden bir denklemi ele alalım, burada baş katsayı 5, ikinci katsayı −2 ve serbest terim −3'e eşittir. Lütfen b ve/veya c katsayıları negatif olduğunda, az önce verilen örnekte olduğu gibi, ikinci dereceden denklemin kısa formunun 5 x 2 +(−2 ) yerine 5 x 2 −2 x−3=0 olduğunu unutmayın. ·x+(−3)=0 .

a ve/veya b katsayıları 1 veya −1'e eşit olduğunda, ikinci dereceden denklemde genellikle açıkça mevcut olmadıklarını belirtmekte fayda var; bu da böyle yazmanın özelliklerinden kaynaklanmaktadır. Örneğin, ikinci dereceden y 2 −y+3=0 denkleminde baş katsayı birdir ve y'nin katsayısı −1'e eşittir.

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

Baş katsayının değerine bağlı olarak indirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler ayırt edilir. İlgili tanımları verelim.

Tanım.

Baş katsayısının 1 olduğu ikinci dereceden denklem denir verilen ikinci dereceden denklem. Aksi takdirde ikinci dereceden denklem el değmemiş.

Bu tanıma göre, ikinci dereceden denklemler x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, vb. – verildiğinde, her birinde birinci katsayı bire eşittir. A 5 x 2 −x−1=0 vb. - indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler, baş katsayıları 1'den farklıdır.

İndirgenmemiş herhangi bir ikinci dereceden denklemden, her iki tarafı da baş katsayıya bölerek azaltılmış olana gidebilirsiniz. Bu eylem eşdeğer bir dönüşümdür, yani bu şekilde elde edilen indirgenmiş ikinci dereceden denklem, orijinal indirgenmemiş ikinci dereceden denklemle aynı köklere sahiptir veya onun gibi kökleri yoktur.

İndirgenmemiş ikinci dereceden denklemden indirgenmiş denkleme geçişin nasıl gerçekleştirildiğine dair bir örneğe bakalım.

Örnek.

3 x 2 +12 x−7=0 denkleminden karşılık gelen indirgenmiş ikinci dereceden denkleme gidin.

Çözüm.

Orijinal denklemin her iki tarafını da baş katsayı 3'e bölmemiz yeterli, sıfır değil, böylece bu işlemi gerçekleştirebiliriz. Elimizde (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 var, bu da aynı, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ve sonra (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, buradan . Orijinaline eşdeğer olan indirgenmiş ikinci dereceden denklemi bu şekilde elde ettik.

Cevap:

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımı a≠0 koşulunu içerir. Bu koşul, a x 2 + b x + c = 0 denkleminin ikinci dereceden olması için gereklidir, çünkü a = 0 olduğunda aslında b x + c = 0 formunda doğrusal bir denklem haline gelir.

B ve c katsayılarına gelince, bunlar hem ayrı ayrı hem de birlikte sıfıra eşit olabilir. Bu durumlarda ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım.

İkinci dereceden denklem a x 2 +b x+c=0 denir tamamlanmamış, eğer b, c katsayılarından en az biri sıfıra eşitse.

Sırasıyla

Tanım.

Tam ikinci dereceden denklem tüm katsayıların sıfırdan farklı olduğu bir denklemdir.

Bu tür isimler tesadüfen verilmemiştir. Aşağıdaki tartışmalardan bu açıkça anlaşılacaktır.

b katsayısı sıfırsa ikinci dereceden denklem a·x 2 +0·x+c=0 formunu alır ve a·x 2 +c=0 denklemine eşdeğerdir. Eğer c=0 ise, yani ikinci dereceden denklem a·x 2 +b·x+0=0 biçimindeyse, o zaman a·x 2 +b·x=0 olarak yeniden yazılabilir. Ve b=0 ve c=0 ile ikinci dereceden a·x 2 =0 denklemini elde ederiz. Ortaya çıkan denklemler, sol taraflarında x değişkenli bir terim veya serbest bir terim veya her ikisini birden içermemesi nedeniyle ikinci dereceden denklemin tamamından farklıdır. Dolayısıyla onların adı - tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler.

Dolayısıyla x 2 +x+1=0 ve −2 x 2 −5 x+0,2=0 denklemleri ikinci dereceden tam denklem örnekleridir ve x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Önceki paragrafta yer alan bilgilerden şu anlaşılmaktadır: üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem:

• a·x 2 =0, b=0 ve c=0 katsayıları buna karşılık gelir;
• a x 2 +c=0 olduğunda b=0 ;
• ve c=0 olduğunda a·x 2 +b·x=0.

Bu türlerin her birinin tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerinin nasıl çözüldüğünü sırasıyla inceleyelim.

a x 2 =0

b ve c katsayılarının sıfıra eşit olduğu, yani a x 2 =0 formundaki denklemlerle tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmeye başlayalım. a·x 2 =0 denklemi, her iki parçanın da sıfır olmayan bir a sayısına bölünmesiyle orijinalinden elde edilen x 2 =0 denklemine eşdeğerdir. Açıkçası, x 2 =0 denkleminin kökü sıfırdır, çünkü 0 2 =0'dır. Bu denklemin başka kökleri yoktur; bu, sıfırdan farklı herhangi bir p sayısı için p 2 >0 eşitsizliğinin geçerli olduğu gerçeğiyle açıklanır, bu da p≠0 için p 2 =0 eşitliğine asla ulaşılamayacağı anlamına gelir.

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a·x 2 =0'ın tek bir kökü x=0'dır.

Örnek olarak, ikinci dereceden tamamlanmamış −4 x 2 =0 denkleminin çözümünü veriyoruz. x 2 =0 denklemine eşdeğerdir, tek kökü x=0'dır, dolayısıyla orijinal denklemin tek kökü sıfır vardır.

Bu durumda kısa çözüm şu şekilde yazılabilir:
−4 x 2 =0 ,
x2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Şimdi b katsayısının sıfır ve c≠0 olduğu, yani a x 2 +c=0 formundaki denklemlerin tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım. Bir terimi denklemin bir tarafından ters işaretle diğer tarafa taşımanın ve denklemin her iki tarafını da sıfır olmayan bir sayıya bölmenin eşdeğer bir denklem verdiğini biliyoruz. Bu nedenle, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 +c=0 için aşağıdaki eşdeğer dönüşümleri gerçekleştirebiliriz:

• c'yi sağ tarafa hareket ettirin, bu da a x 2 =−c denklemini verir,
• ve her iki tarafı da a'ya bölersek elde ederiz.

Ortaya çıkan denklem, kökleri hakkında sonuçlar çıkarmamızı sağlar. a ve c değerlerine bağlı olarak ifadenin değeri negatif (örneğin a=1 ve c=2 ise o zaman ) veya pozitif (örneğin a=−2 ve c=6 ise, o zaman ), c≠0 koşuluna göre sıfır değildir. Durumlara ayrı ayrı bakalım.

Eğer ise denklemin kökleri yoktur. Bu ifade, herhangi bir sayının karesinin negatif olmayan bir sayı olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bundan, herhangi bir p sayısı için eşitliğin doğru olamayacağı sonucu çıkar.

Eğer öyleyse denklemin kökleriyle ilgili durum farklıdır. Bu durumda, eğer hatırlarsak, o zaman denklemin kökü hemen belli olur; sayıdır, çünkü . Aslında sayının aynı zamanda denklemin kökü olduğunu tahmin etmek kolaydır. Bu denklemin örneğin çelişkiyle gösterilebilecek başka kökleri yoktur. Hadi yapalım.

Az önce açıklanan denklemin köklerini x 1 ve -x 1 olarak gösterelim. Denklemin belirtilen x 1 ve −x 1 köklerinden farklı bir kök x 2 daha olduğunu varsayalım. Köklerini x yerine bir denklem haline getirmenin denklemi doğru bir sayısal eşitliğe dönüştürdüğü bilinmektedir. x 1 ve −x 1 için elimizde ve x 2 için elimizde . Sayısal eşitliklerin özellikleri, doğru sayısal eşitliklerin terim terim çıkarma işlemini gerçekleştirmemize olanak tanır, böylece eşitliklerin karşılık gelen kısımlarının çıkarılması x 1 2 −x 2 2 =0 sonucunu verir. Sayılarla yapılan işlemlerin özellikleri, elde edilen eşitliği (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 olarak yeniden yazmamıza olanak tanır. İki sayının çarpımının sıfıra eşit olduğunu ancak ve ancak bunlardan en az birinin sıfıra eşit olması durumunda biliyoruz. Dolayısıyla, elde edilen eşitlikten x 1 −x 2 =0 ve/veya x 1 +x 2 =0, ki bu aynıdır, x 2 =x 1 ve/veya x 2 =−x 1 olur. Yani bir çelişkiye geldik, çünkü başlangıçta x 2 denkleminin kökünün x 1 ve −x 1'den farklı olduğunu söylemiştik. Bu da denklemin ve dışında kökü olmadığını kanıtlar.

Bu paragraftaki bilgileri özetleyelim. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 +c=0 aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:

• kökleri yok ise
• iki kökü vardır ve , if .

a·x 2 +c=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekleri ele alalım.

İkinci dereceden denklem 9 x 2 +7=0 ile başlayalım. Serbest terim denklemin sağ tarafına taşındığında 9 x 2 =−7 formunu alacaktır. Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da 9'a bölerek elde ederiz. Sağ taraf negatif bir sayıya sahip olduğundan, bu denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9 x 2 +7 = 0'ın da kökleri yoktur.

Başka bir tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi -x 2 +9=0 çözelim. Dokuzunu sağa kaydırıyoruz: −x 2 =−9. Şimdi her iki tarafı da -1'e bölersek x 2 =9 elde ederiz. Sağ tarafta pozitif bir sayı var ve bundan veya sonucunu çıkarıyoruz. Sonra son cevabı yazıyoruz: tamamlanmamış ikinci dereceden denklem −x 2 +9=0'ın iki kökü x=3 veya x=−3'tür.

a x 2 +b x=0

Geriye c=0 için tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin son tipinin çözümüyle uğraşmak kalıyor. a x 2 + b x = 0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmenize olanak sağlar çarpanlara ayırma yöntemi. Açıkçası, denklemin sol tarafında, ortak x faktörünü parantezlerden çıkarmanın yeterli olduğu bir yerde bulunabiliriz. Bu, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemden x·(a·x+b)=0 formundaki eşdeğer bir denkleme geçmemizi sağlar. Ve bu denklem, x=0 ve a·x+b=0 olmak üzere iki denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir; bunlardan ikincisi doğrusaldır ve kökü x=−b/a'dır.

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden a·x 2 +b·x=0 denkleminin iki kökü x=0 ve x=−b/a'dır.

Materyali pekiştirmek için çözümü belirli bir örneğe göre analiz edeceğiz.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

X'i parantezden çıkarmak denklemi verir. x=0 ve iki denkleme eşdeğerdir. Ortaya çıkan doğrusal denklemi çözüyoruz: ve karışık sayıyı sıradan bir kesire bölerek buluyoruz. Bu nedenle orijinal denklemin kökleri x=0 ve .

Gerekli pratiği kazandıktan sonra bu tür denklemlerin çözümleri kısaca yazılabilir:

Cevap:

x=0 , .

Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

İkinci dereceden denklemleri çözmek için bir kök formül vardır. Haydi yazalım İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formül: , Nerede D=b 2 −4 a c- Lafta ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı. Giriş aslında şu anlama gelir.

Kök formülün nasıl elde edildiğini ve ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulmada nasıl kullanıldığını bilmek faydalıdır. Bunu çözelim.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

İkinci dereceden a·x 2 +b·x+c=0 denklemini çözmemiz gerekiyor. Bazı eşdeğer dönüşümler gerçekleştirelim:

• Bu denklemin her iki tarafını da sıfırdan farklı bir a sayısına bölerek aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde edebiliriz.
• Şimdi tam bir kare seç sol tarafında: . Bundan sonra denklem şu şekli alacaktır.
• Bu aşamada son iki terimi ters işaretle sağ tarafa aktarmamız mümkün.
• Ve sağ taraftaki ifadeyi de dönüştürelim: .

Sonuç olarak, orijinal ikinci dereceden denklem a·x 2 +b·x+c=0'ya eşdeğer bir denkleme ulaşıyoruz.

Önceki paragraflarda benzer formdaki denklemleri incelediğimizde çözmüştük. Bu, denklemin köklerine ilişkin aşağıdaki sonuçları çıkarmamızı sağlar:

• eğer ise denklemin gerçek çözümü yoktur;
• eğer ise denklem, tek kökünün görülebildiği formdadır;
• if , Then or , or ile aynıdır, yani denklemin iki kökü vardır.

Dolayısıyla denklemin köklerinin ve dolayısıyla orijinal ikinci dereceden denklemin varlığı veya yokluğu, sağ taraftaki ifadenin işaretine bağlıdır. Bu ifadenin işareti de payın işaretiyle belirlenir, çünkü 4·a 2 paydası her zaman pozitiftir, yani b 2 −4·a·c ifadesinin işaretiyle. Bu ifadeye b 2 −4 a c adı verildi ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı ve mektupla belirlenmiş D. Buradan, diskriminantın özü açıktır - değerine ve işaretine dayanarak, ikinci dereceden denklemin gerçek köklerinin olup olmadığı ve eğer öyleyse, sayıları nedir - bir veya iki olduğu sonucuna varırlar.

Denkleme dönelim ve onu diskriminant gösterimini kullanarak yeniden yazalım: . Ve şu sonuçları çıkarıyoruz:

• eğer D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 ise bu denklemin tek kökü vardır;
• son olarak, eğer D>0 ise denklemin iki kökü vardır veya şeklinde yeniden yazılabilir ve kesirleri genişletip ortak bir paydaya getirdikten sonra elde ederiz.

Böylece, ikinci dereceden denklemin köklerine ilişkin formülleri türettik; bunlar, diskriminant D'nin D=b 2 −4·a·c formülüyle hesaplandığı şekilde görünür.

Onların yardımıyla, pozitif bir ayrımcıyla ikinci dereceden bir denklemin her iki gerçek kökünü de hesaplayabilirsiniz. Diskriminant sıfıra eşit olduğunda, her iki formül de ikinci dereceden denklemin benzersiz çözümüne karşılık gelen aynı kök değerini verir. Ve negatif diskriminantla, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülü kullanmaya çalışırken, negatif bir sayının karekökünü çıkarmakla karşı karşıya kalırız, bu da bizi okul müfredatının kapsamının dışına çıkarır. Negatif bir diskriminantla, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur, ancak bir çifti vardır. karmaşık eşlenik elde ettiğimiz aynı kök formülleri kullanılarak bulunabilen kökler.

Kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

Pratikte ikinci dereceden denklemleri çözerken değerlerini hesaplamak için hemen kök formülü kullanabilirsiniz. Ancak bu daha çok karmaşık kökleri bulmakla ilgilidir.

Bununla birlikte, bir okul cebir dersinde genellikle karmaşık hakkında değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri hakkında konuşuruz. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce, ilk önce diskriminantın bulunması, negatif olmadığından emin olunması tavsiye edilir (aksi takdirde denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varabiliriz), ve ancak o zaman köklerin değerlerini hesaplayın.

Yukarıdaki mantık yazmamıza izin veriyor İkinci dereceden bir denklemi çözmek için algoritma. İkinci dereceden a x 2 +b x+c=0 denklemini çözmek için şunları yapmanız gerekir:

• D=b 2 −4·a·c diskriminant formülünü kullanarak değerini hesaplayın;
• diskriminant negatifse ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varır;
• D=0 ise formülü kullanarak denklemin tek kökünü hesaplayın;
• Diskriminant pozitifse kök formülünü kullanarak ikinci dereceden bir denklemin iki gerçek kökünü bulun.

Burada, eğer diskriminant sıfıra eşitse formülü de kullanabileceğinizi not ediyoruz; ile aynı değeri verecektir.

İkinci dereceden denklemleri çözmek için algoritmayı kullanma örneklerine geçebilirsiniz.

İkinci dereceden denklemleri çözme örnekleri

Pozitif, negatif ve sıfır diskriminantlı ikinci dereceden üç denklemin çözümlerini ele alalım. Çözümlerini ele aldıktan sonra, benzetme yoluyla başka herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek mümkün olacaktır. Hadi başlayalım.

Örnek.

x 2 +2·x−6=0 denkleminin köklerini bulun.

Çözüm.

Bu durumda ikinci dereceden denklemin şu katsayılarına sahibiz: a=1, b=2 ve c=−6. Algoritmaya göre, öncelikle diskriminant hesaplamanız gerekir; bunu yapmak için belirtilen a, b ve c'yi diskriminant formülünde yerine koyarız, D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 yani diskriminant sıfırdan büyük olduğundan ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları kök formülü kullanarak bulalım, şunu elde ederiz, burada aşağıdaki işlemleri yaparak elde edilen ifadeleri basitleştirebilirsiniz. çarpanı kök işaretinin ötesine taşıma ardından fraksiyonun azaltılması gelir:

Cevap:

Bir sonraki tipik örneğe geçelim.

Örnek.

−4 x 2 +28 x−49=0 ikinci dereceden denklemi çözün.

Çözüm.

Diskriminantı bularak başlıyoruz: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin tek bir kökü vardır ve bunu şöyle buluruz:

Cevap:

x=3,5.

Geriye ikinci dereceden denklemleri negatif bir diskriminantla çözmeyi düşünmek kalıyor.

Örnek.

5·y 2 +6·y+2=0 denklemini çözün.

Çözüm.

İkinci dereceden denklemin katsayıları şunlardır: a=5, b=6 ve c=2. Bu değerleri diskriminant formülüne koyarsak, D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant negatiftir, dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

Karmaşık kökleri belirtmeniz gerekiyorsa, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için iyi bilinen formülü uygularız ve gerçekleştiririz. karmaşık sayılarla işlemler:

Cevap:

gerçek kökler yoktur, karmaşık kökler şunlardır: .

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantının negatif olması durumunda, okulda genellikle gerçek köklerin olmadığını ve karmaşık köklerin bulunmadığını belirten bir cevabı hemen yazdıklarını bir kez daha belirtelim.

Çift ikinci katsayılar için kök formül

D=b 2 −4·a·c olan ikinci dereceden bir denklemin köklerine ilişkin formül, x için çift katsayılı (veya sadece bir katsayı örneğin 2·n veya 14·ln5=2·7·ln5 şeklindedir. Hadi onu dışarı çıkaralım.

Diyelim ki a x 2 +2 n x+c=0 formundaki ikinci dereceden bir denklemi çözmemiz gerekiyor. Bildiğimiz formülü kullanarak köklerini bulalım. Bunu yapmak için diskriminantı hesaplıyoruz D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c) ve sonra kök formülü kullanırız:

n 2 −a c ifadesini D 1 olarak gösterelim (bazen D "olarak gösterilir). Daha sonra ikinci katsayı 2 n ile ele alınan ikinci dereceden denklemin kökleri için formül şu şekli alacaktır: , burada D 1 =n 2 −a·c.

D=4·D 1 veya D 1 =D/4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle D 1 diskriminantın dördüncü kısmıdır. D 1'in işaretinin D'nin işaretiyle aynı olduğu açıktır. Yani D 1 işareti aynı zamanda ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesidir.

Yani, ikinci katsayısı 2·n olan ikinci dereceden bir denklemi çözmek için şunu yapmanız gerekir:

• D 1 =n 2 −a·c'yi hesaplayın;
• Eğer D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 ise aşağıdaki formülü kullanarak denklemin tek kökünü hesaplayın;
• D 1 >0 ise formülü kullanarak iki gerçek kökü bulun.

Bu paragrafta elde edilen kök formülü kullanarak örneği çözmeyi düşünelim.

Örnek.

5 x 2 −6 x −32=0 ikinci dereceden denklemi çözün.

Çözüm.

Bu denklemin ikinci katsayısı 2·(−3) olarak gösterilebilir. Yani, orijinal ikinci dereceden denklemi 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, burada a=5, n=−3 ve c=−32 biçiminde yeniden yazabilir ve denklemin dördüncü kısmını hesaplayabilirsiniz. ayrımcı: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Değeri pozitif olduğundan denklemin iki reel kökü vardır. Bunları uygun kök formülünü kullanarak bulalım:

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için olağan formülü kullanmanın mümkün olduğunu ancak bu durumda daha fazla hesaplama işinin yapılması gerekeceğini unutmayın.

Cevap:

İkinci dereceden denklemlerin formunun basitleştirilmesi

Bazen ikinci dereceden bir denklemin köklerini formüller kullanarak hesaplamaya başlamadan önce şu soruyu sormaktan zarar gelmez: "Bu denklemin biçimini basitleştirmek mümkün mü?" Hesaplamalar açısından ikinci dereceden 11 x 2 −4 x−6=0 denklemini çözmenin 1100 x 2 −400 x−600=0 yerine daha kolay olacağı konusunda hemfikir olun.

Tipik olarak ikinci dereceden bir denklemin biçimini basitleştirmek, her iki tarafın belirli bir sayıyla çarpılması veya bölünmesiyle elde edilir. Örneğin önceki paragrafta 1100 x 2 −400 x −600=0 denklemini her iki tarafı da 100'e bölerek basitleştirmek mümkündü.

Benzer bir dönüşüm, katsayıları olmayan ikinci dereceden denklemlerle gerçekleştirilir. Bu durumda denklemin her iki tarafı genellikle katsayılarının mutlak değerlerine bölünür. Örneğin ikinci dereceden 12 x 2 −42 x+48=0 denklemini ele alalım. katsayılarının mutlak değerleri: OBEB(12, 42, 48)= OBEB(12, 42), 48)= OBEB(6, 48)=6. Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da 6'ya bölerek eşdeğer ikinci dereceden denklem 2 x 2 −7 x+8=0'a ulaşırız.

İkinci dereceden bir denklemin her iki tarafının çarpılması genellikle kesirli katsayılardan kurtulmak için yapılır. Bu durumda çarpma, katsayılarının paydaları tarafından gerçekleştirilir. Örneğin, ikinci dereceden denklemin her iki tarafı da LCM(6, 3, 1)=6 ile çarpılırsa, daha basit olan x 2 +4·x−18=0 formunu alacaktır.

Bu noktanın sonucunda, ikinci dereceden bir denklemin en yüksek katsayısındaki eksiden neredeyse her zaman tüm terimlerin işaretlerini değiştirerek kurtulduklarını görüyoruz; bu, her iki tarafı da -1 ile çarpmaya (veya bölmeye) karşılık gelir. Örneğin, genellikle −2 x 2 −3 x+7=0 ikinci dereceden denklemden 2 x 2 +3 x−7=0 çözümüne geçilir.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki

İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülü, denklemin köklerini katsayıları aracılığıyla ifade eder. Kök formülüne dayanarak kökler ve katsayılar arasındaki diğer ilişkileri elde edebilirsiniz.

Vieta teoreminin en iyi bilinen ve uygulanabilir formülleri ve şeklindedir. Özellikle verilen ikinci dereceden denklem için köklerin toplamı ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir. Örneğin ikinci dereceden 3 x 2 −7 x + 22 = 0 denkleminin formuna bakarak köklerinin toplamının 7/3, köklerin çarpımının ise 22 olduğunu hemen söyleyebiliriz. /3.

Önceden yazılmış formülleri kullanarak, ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka bağlantı elde edebilirsiniz. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamını katsayıları aracılığıyla ifade edebilirsiniz: .

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.

İkinci dereceden denklem problemleri hem okul müfredatında hem de üniversitelerde incelenmektedir. a*x^2 + b*x + c = 0 formundaki denklemleri kastediyorlar; X- değişken, a, b, c – sabitler; A<>0. Görev denklemin köklerini bulmaktır.

İkinci dereceden denklemin geometrik anlamı

İkinci dereceden bir denklemle temsil edilen bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. İkinci dereceden bir denklemin çözümleri (kökleri), parabolün apsis (x) ekseni ile kesişme noktalarıdır. Buradan üç olası durumun olduğu anlaşılmaktadır:
1) parabolün apsis ekseni ile kesişme noktası yoktur. Bu, dalları yukarı bakacak şekilde üst düzlemde veya dalları aşağı bakacak şekilde altta olduğu anlamına gelir. Bu gibi durumlarda, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur (iki karmaşık kökü vardır).

2) parabolün Ox ekseni ile bir kesişme noktası vardır. Böyle bir noktaya parabolün tepe noktası denir ve buradaki ikinci dereceden denklem minimum veya maksimum değerini alır. Bu durumda, ikinci dereceden denklemin bir gerçek kökü (veya iki özdeş kökü) vardır.

3) Son durum pratikte daha ilginçtir - parabolün apsis ekseni ile kesiştiği iki nokta vardır. Bu, denklemin iki gerçek kökü olduğu anlamına gelir.

Değişkenlerin kuvvetlerinin katsayılarının analizine dayanarak parabolün yerleşimi hakkında ilginç sonuçlar çıkarılabilir.

1) a katsayısı sıfırdan büyükse parabolün dalları yukarı doğru, negatifse parabolün dalları aşağı doğru yönlendirilir.

2) B katsayısı sıfırdan büyükse, parabolün tepe noktası sol yarı düzlemde bulunur, negatif bir değer alırsa sağdadır.

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için formülün türetilmesi

Sabiti ikinci dereceden denklemden aktaralım

eşittir işareti için ifadeyi elde ederiz

Her iki tarafı da 4a ile çarpın

Solda tam bir kare elde etmek için her iki tarafa da b^2 ekleyin ve dönüşümü gerçekleştirin

Buradan buluyoruz

İkinci dereceden bir denklemin diskriminant formülü ve kökleri

Diskriminant radikal ifadenin değeridir.Pozitif ise denklemin formülle hesaplanan iki gerçek kökü vardır. Diskriminant sıfır olduğunda, ikinci dereceden denklemin bir çözümü vardır (iki çakışan kök), bu da yukarıdaki D=0 formülünden kolayca elde edilebilir. Diskriminant negatif olduğunda, denklemin gerçek kökleri yoktur. Ancak ikinci dereceden denklemin çözümleri karmaşık düzlemde bulunur ve değerleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır.

Vieta'nın teoremi

İkinci dereceden bir denklemin iki kökünü ele alalım ve bunlara dayanarak ikinci dereceden bir denklem oluşturalım.Vieta teoreminin kendisi gösterimden kolayca çıkar: eğer elimizde ikinci dereceden bir denklem varsa o zaman köklerinin toplamı ters işaretle alınan p katsayısına eşittir ve denklemin köklerinin çarpımı serbest terim q'ya eşittir. Yukarıdakilerin formülsel gösterimi şuna benzeyecektir: Klasik bir denklemde a sabiti sıfırdan farklıysa, o zaman denklemin tamamını buna bölmeniz ve ardından Vieta teoremini uygulamanız gerekir.

İkinci dereceden denklem programını çarpanlara ayırma

Görev belirlensin: İkinci dereceden bir denklemi çarpanlarına ayırın. Bunu yapmak için önce denklemi çözeriz (kökleri buluruz). Daha sonra, bulunan kökleri ikinci dereceden denklemin açılım formülüne koyarız, bu sorunu çözecektir.

İkinci dereceden denklem problemleri

Görev 1. İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun

x^2-26x+120=0 .

Çözüm: Katsayıları yazın ve bunları diskriminant formülünde değiştirin.

Bu değerin kökü 14'tür, hesap makinesiyle bulmak kolaydır veya sık kullanımla hatırlanır, ancak kolaylık sağlamak için makalenin sonunda size sıklıkla karşılaşabileceğiniz sayıların karelerinin bir listesini vereceğim. bu tür sorunlar.
Bulunan değeri kök formülde değiştiririz

ve alıyoruz

Görev 2. Denklemi çözün

2x2 +x-3=0.

Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var, katsayıları yazıyoruz ve diskriminantı buluyoruz


Bilinen formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerini buluyoruz

Görev 3. Denklemi çözün

9x2 -12x+4=0.

Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var. Diskriminantın belirlenmesi

Köklerin çakıştığı bir durumla karşı karşıyayız. Formülü kullanarak köklerin değerlerini bulun

Görev 4. Denklemi çözün

x^2+x-6=0 .

Çözüm: X'in katsayılarının küçük olduğu durumlarda Vieta teoreminin uygulanması tavsiye edilir. Durumuna göre iki denklem elde ederiz

İkinci koşuldan çarpımın -6'ya eşit olması gerektiğini buluyoruz. Bu, köklerden birinin negatif olduğu anlamına gelir. Aşağıdaki olası çözüm çiftine sahibiz (-3;2), (3;-2) . İlk koşulu dikkate alarak ikinci çözüm çiftini reddediyoruz.
Denklemin kökleri eşittir

Problem 5. Çevresi 18 cm ve alanı 77 cm2 olan bir dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulun.

Çözüm: Dikdörtgenin çevresinin yarısı komşu kenarlarının toplamına eşittir. Büyük kenar olarak x'i gösterelim, o zaman 18-x küçük kenar olsun. Dikdörtgenin alanı bu uzunlukların çarpımına eşittir:
x(18-x)=77;
veya
x 2 -18x+77=0.
Denklemin diskriminantını bulalım

Denklemin köklerinin hesaplanması

Eğer x=11, O 18'ler=7 , bunun tersi de doğrudur (eğer x=7 ise 21's=9).

Problem 6. İkinci dereceden denklemi 10x 2 -11x+3=0 çarpanlarına ayırın.

Çözüm: Denklemin köklerini hesaplayalım, bunun için diskriminantı bulacağız.

Bulunan değeri kök formülde yerine koyarız ve hesaplarız

İkinci dereceden bir denklemi köklere göre ayrıştırmak için formülü uyguluyoruz

Parantezleri açarak bir kimlik elde ederiz.

Parametreli ikinci dereceden denklem

Örnek 1. Hangi parametre değerlerinde A ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 denkleminin tek kökü var mı?

Çözüm: a=3 değerini doğrudan yerine koyarsak çözümü olmadığını görürüz. Daha sonra, sıfır diskriminantlı denklemin çokluk 2'nin bir köküne sahip olduğu gerçeğini kullanacağız. Diskriminantını yazalım

Sadeleştirip sıfıra eşitleyelim

a parametresine göre çözümü Vieta teoremi kullanılarak kolaylıkla elde edilebilen ikinci dereceden bir denklem elde ettik. Köklerin toplamı 7, çarpımı 12'dir. Basit bir aramayla 3,4 sayılarının denklemin kökleri olacağını tespit ederiz. Hesaplamaların başında a=3 çözümünü zaten reddettiğimiz için tek doğru çözüm şu olacaktır: a=4. Dolayısıyla a=4 için denklemin bir kökü vardır.

Örnek 2. Hangi parametre değerlerinde A , denklem a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 birden fazla kökü var mı?

Çözüm: Öncelikle tekil noktaları ele alalım, bunlar a=0 ve a=-3 değerleri olacaktır. a=0 olduğunda denklem 6x-9=0 şeklinde basitleştirilecektir; x=3/2 ve bir kök olacak. a= -3 için 0=0 kimliğini elde ederiz.
Diskriminantı hesaplayalım

ve a'nın pozitif olduğu değerini bulun

İlk koşuldan a>3 elde ederiz. İkinci olarak denklemin diskriminantını ve köklerini buluyoruz.


Fonksiyonun pozitif değer aldığı aralıkları belirleyelim. a=0 noktasını değiştirerek şunu elde ederiz: 3>0 . Yani (-3;1/3) aralığının dışında fonksiyon negatiftir. Asıl noktayı unutma a=0, orijinal denklemin içinde bir kökü olduğundan bu hariç tutulmalıdır.
Sonuç olarak problemin koşullarını sağlayan iki aralık elde ederiz.

Uygulamada pek çok benzer görev olacak, görevleri kendiniz çözmeye çalışın ve birbirini dışlayan koşulları hesaba katmayı unutmayın. İkinci dereceden denklemleri çözmek için formülleri iyi inceleyin; bunlara genellikle çeşitli problemler ve bilimlerdeki hesaplamalarda ihtiyaç duyulur.

Umarım bu makaleyi inceledikten sonra ikinci dereceden tam bir denklemin köklerini nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz.

Diskriminant kullanılarak yalnızca tam ikinci dereceden denklemler çözülür; tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için, "Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme" makalesinde bulacağınız diğer yöntemler kullanılır.

Hangi ikinci dereceden denklemlere tam denir? Bu ax 2 + b x + c = 0 formundaki denklemler a, b ve c katsayılarının sıfıra eşit olmadığı durumda. Dolayısıyla ikinci dereceden bir denklemi tam olarak çözmek için diskriminant D'yi hesaplamamız gerekir.

D = b 2 – 4ac.

Diskriminantın değerine bağlı olarak cevabı yazacağız.

Diskriminant negatif bir sayı ise (D< 0),то корней нет.

Diskriminant sıfır ise x = (-b)/2a olur. Diskriminant pozitif bir sayı olduğunda (D > 0),

bu durumda x 1 = (-b - √D)/2a ve x 2 = (-b + √D)/2a olur.

Örneğin. Denklemi çözün x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Cevap: 2.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Cevap: Kök yok.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Cevap: – 3.5; 1.

Şimdi Şekil 1'deki diyagramı kullanarak tam ikinci dereceden denklemlerin çözümünü hayal edelim.

Bu formülleri kullanarak herhangi bir tam ikinci dereceden denklemi çözebilirsiniz. Sadece dikkatli olman gerekiyor denklem standart formun bir polinomu olarak yazılmıştır

A x 2 + bx + c, aksi halde hata yapabilirsiniz. Örneğin, x + 3 + 2x 2 = 0 denklemini yazarken yanlışlıkla şuna karar verebilirsiniz:

a = 1, b = 3 ve c = 2. O halde

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ve bu durumda denklemin iki kökü vardır. Ve bu doğru değil. (Yukarıdaki örnek 2'nin çözümüne bakın).

Bu nedenle, eğer denklem standart formda bir polinom olarak yazılmamışsa, öncelikle ikinci dereceden denklemin tamamı standart formda bir polinom olarak yazılmalıdır (en büyük üssü olan monom ilk önce gelmelidir, yani A x 2 , daha azıyla – bx ve sonra ücretsiz bir üye İle.

İkinci dereceden ikinci dereceden denklemi ve çift katsayılı ikinci dereceden denklemi çözerken, diğer formülleri kullanabilirsiniz. Gelin bu formülleri tanıyalım. Tam ikinci dereceden bir denklemde ikinci terimin çift katsayısı varsa (b = 2k), o zaman denklemi Şekil 2'deki şemada gösterilen formülleri kullanarak çözebilirsiniz.

Tam bir ikinci dereceden denklem, eğer katsayı x 2 bire eşittir ve denklem şu şekli alır: x 2 + piksel + q = 0. Böyle bir denklem çözüm için verilebileceği gibi denklemin tüm katsayılarının katsayıya bölünmesiyle de elde edilebilir. A, ayakta x 2 .

Şekil 3, indirgenmiş kareyi çözmek için bir diyagramı göstermektedir
denklemler. Bu makalede tartışılan formüllerin uygulanmasına bir örnek verelim.

Örnek. Denklemi çözün

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Bu denklemi Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözelim.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))))/6 = –1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3

Bu denklemde x'in katsayısının çift sayı olduğunu fark edebilirsiniz, yani b = 6 veya b = 2k, dolayısıyla k = 3. O halde denklemi, şekil D'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözmeye çalışalım. 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3. Bu ikinci dereceden denklemdeki tüm katsayıların 3'e bölünebilir olduğunu fark edip bölme işlemini gerçekleştirerek indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz x 2 + 2x – 2 = 0 Bu denklemi indirgenmiş ikinci dereceden denklem formüllerini kullanarak çözün
denklemler şekil 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3.

Gördüğünüz gibi bu denklemi farklı formüller kullanarak çözdüğümüzde aynı cevabı aldık. Bu nedenle, Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formüllere tamamen hakim olduğunuzda, her zaman herhangi bir ikinci dereceden denklemi tam olarak çözebileceksiniz.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Belediye bütçe eğitim kurumu 11 numaralı orta öğretim okulu

Eserin metni görseller ve formüller olmadan yayınlanmaktadır.
Çalışmanın tam versiyonuna PDF formatında "Çalışma Dosyaları" sekmesinden ulaşılabilir.

İkinci dereceden denklemlerin tarihi

Babil

Antik çağda sadece birinci dereceden değil, ikinci dereceden denklemleri çözme ihtiyacı, astronomi ve matematiğin gelişmesiyle birlikte arsa alanlarının bulunmasıyla ilgili problemleri çözme ihtiyacından kaynaklanıyordu. İkinci dereceden denklemler MÖ 2000 civarında çözülebildi. e. Babilliler. Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralları esasen modern olanlarla aynıdır, ancak bu metinler negatif sayı kavramından ve ikinci dereceden denklemleri çözmek için genel yöntemlerden yoksundur.

Antik Yunan

Antik Yunan'da Diophantus, Euclid ve Heron gibi bilim adamları da ikinci dereceden denklemlerin çözümü üzerinde çalıştılar. İskenderiyeli Diophantus Diophantus, muhtemelen MS 3. yüzyılda yaşamış eski bir Yunan matematikçisidir. Diophantus'un ana eseri 13 kitaptan oluşan “Aritmetik”tir. Öklid. Öklid, antik bir Yunan matematikçisidir ve matematik üzerine bize ulaşan ilk teorik inceleme olan Heron'un yazarıdır. Heron - MS 1. yüzyılda Yunanistan'da ilk kez Yunan matematikçi ve mühendis. İkinci dereceden bir denklemi çözmek için tamamen cebirsel bir yol sunar

Hindistan

İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından 499 yılında derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemesinde zaten bulunmaktadır. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (VII. yüzyıl), tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin genel kuralı özetledi: ax2 + bx = c, a> 0. (1) Denklem (1)'de katsayılar negatif olabilir. Brahmagupta'nın kuralı aslında bizimkiyle aynı. Hindistan'da zor sorunların çözümüne yönelik halka açık yarışmalar yaygındı. Eski Hint kitaplarından biri bu tür yarışmalar hakkında şunları söylüyor: "Güneşin parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakması gibi, bilgili bir adam da halka açık toplantılarda cebirsel problemler önererek ve çözerek ihtişamını gölgede bırakacaktır." Sorunlar genellikle şiirsel biçimde sunuldu.

Bu, 12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisinin problemlerinden biridir. Bhaskarlar.

“Bir sürü oynak maymun

Ve asmalar boyunca on iki kişi, doyasıya yemek yiyerek eğlendiler

Asılı zıplamaya başladılar

Sekizinci bölümün karesi

Kaç tane maymun vardı?

Açıklıkta eğleniyordum

Söyle bana, bu pakette mi?

Bhaskara'nın çözümü, yazarın ikinci dereceden denklemlerin köklerinin iki değerli olduğunu bildiğini gösteriyor. Bhaskar probleme karşılık gelen denklemi x2 - 64x = - 768 olarak yazar ve bu denklemin sol tarafını kareye tamamlamak için her iki tarafa da 322 ekler ve şunu elde eder: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

17. yüzyıl Avrupa'sında ikinci dereceden denklemler

Avrupa'da El-Khorezmi'ye göre modellenen ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formüller, ilk olarak 1202 yılında İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci tarafından yazılan Abaküs Kitabı'nda ortaya konmuştur. Hem İslam ülkelerinden hem de antik Yunan'dan matematik etkisini yansıtan bu hacimli eser, sunumunun bütünlüğü ve netliği ile öne çıkıyor. Yazar bağımsız olarak problem çözme konusunda bazı yeni cebirsel örnekler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıların tanıtılmasına yaklaşan ilk kişi oldu. Kitabı cebirsel bilginin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulundu. Abaküs Kitabı'ndaki pek çok problem, 16. - 17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında kullanıldı. ve kısmen XVIII. İkinci dereceden bir denklemin çözümü için formülün genel formda türetilmesi Viète'den elde edilebilir, ancak Viète yalnızca pozitif kökleri tanıdı. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli 16. yüzyılın ilkleri arasındaydı. Olumlu olanların yanı sıra olumsuz kökler de dikkate alınır. Sadece 17. yüzyılda. Girard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının çalışmaları sayesinde ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemi modern bir biçim alıyor.

İkinci dereceden denklemin tanımı

a, b, c'nin sayı olduğu ax 2 + bx + c = 0 formundaki bir denkleme ikinci dereceden denklem denir.

İkinci dereceden denklem katsayıları

a, b, c sayıları ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır: a birinci katsayıdır (x²'den önce), a ≠ 0; b ikinci katsayıdır (x'ten önce); c serbest terimdir (x'siz).

Bu denklemlerden hangisi ikinci dereceden değildir??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

İkinci dereceden denklem türleri

İndirgenmiş, baş katsayının bire eşit olduğu ikinci dereceden bir denklemdir. Böyle bir denklem, ifadenin tamamının baş katsayıya bölünmesiyle elde edilebilir. A:

X 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

İkinci dereceden bir denklemin tüm katsayıları sıfırdan farklıysa tam denklem denir.

İkinci dereceden denklem, baştaki katsayı (ikinci katsayı veya serbest terim) dışındaki katsayılardan en az birinin sıfıra eşit olduğu eksik olarak adlandırılır.

İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri

Yöntem I Kökleri hesaplamak için genel formül

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için balta 2 + b + c = 0 Genel olarak aşağıdaki algoritmayı kullanmalısınız:

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantının değerini hesaplayın: bu onun ifadesidir d= B 2 - 4ac

Formülün türetilmesi:

Not:Çokluğun 2 kökü formülünün, D=0 eşitliğinin yerine konulmasıyla elde edilen genel formülün özel bir durumu olduğu ve D0'da gerçek köklerin bulunmadığı sonucunun olduğu açıktır ve (displaystyle (sqrt () -1))=i) = i.

Sunulan yöntem evrenseldir, ancak tek yöntem olmaktan uzaktır. Tek bir denklemin çözümüne çeşitli şekillerde yaklaşılabilir; tercihler genellikle çözücüye bağlıdır. Ek olarak, çoğu zaman bu amaç için bazı yöntemlerin standart olandan çok daha zarif, basit ve daha az emek yoğun olduğu ortaya çıkıyor.

II yöntemi. Çift katsayılı ikinci dereceden denklemin kökleri B III yöntemi. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

IV yöntemi. Katsayıların kısmi oranlarını kullanma

Katsayıların birbiriyle ilişki içinde olduğu ikinci dereceden denklemlerin özel durumları vardır, bu da onların çözülmesini çok daha kolaylaştırır.

Baş katsayı ile serbest terimin toplamının ikinci katsayıya eşit olduğu ikinci dereceden bir denklemin kökleri

İkinci dereceden bir denklemde ise balta 2 + bx + c = 0 birinci katsayı ile serbest terimin toplamı ikinci katsayıya eşittir: a+b=c, kökleri -1'dir ve serbest terimin baş katsayıya oranının karşısındaki sayı ( -CA).

Bu nedenle, herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmeden önce, bu teoremi ona uygulama olasılığını kontrol etmelisiniz: baş katsayı ile serbest terimin toplamını ikinci katsayı ile karşılaştırın.

Tüm katsayıların toplamı sıfır olan ikinci dereceden bir denklemin kökleri

İkinci dereceden bir denklemde tüm katsayılarının toplamı sıfırsa, böyle bir denklemin kökleri 1'dir ve serbest terimin baş katsayıya oranı ( CA).

Bu nedenle, standart yöntemleri kullanarak bir denklemi çözmeden önce, bu teoremin ona uygulanabilirliğini kontrol etmelisiniz: bu denklemin tüm katsayılarını toplayın ve bu toplamın sıfıra eşit olup olmadığına bakın.

V yöntemi. İkinci dereceden bir üç terimliyi doğrusal faktörlere ayırma

Üç terimli formda ise (görüntüleme stili ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) bir şekilde doğrusal faktörlerin bir ürünü olarak temsil edilebilirse (görüntü stili (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), o zaman denklemin köklerini bulabiliriz balta 2 + bx + c = 0- sonuçta -m/k ve n/l olacaklar (ekran stili (kx+m)(lx+n)=0Uzunsolsağ ok kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n ve belirtilen doğrusal denklemleri çözdükten sonra yukarıdakileri elde ederiz. İkinci dereceden üç terimlinin her zaman gerçek katsayılı doğrusal faktörlere ayrışmadığına dikkat edin: karşılık gelen denklemin gerçek kökleri varsa bu mümkündür.

Bazı özel durumları ele alalım

Kare toplamı (fark) formülünü kullanma

İkinci dereceden üç terimli (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 biçimine sahipse, yukarıdaki formülü buna uygulayarak onu doğrusal faktörlere ayırabiliriz ve bu nedenle kökleri bulun:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Toplamın tam karesini ayırma (fark)

Yukarıdaki formül aynı zamanda “toplamın (farkın) tam karesinin seçilmesi” adı verilen bir yöntem kullanılarak da kullanılır. Daha önce tanıtılan gösterimle yukarıdaki ikinci dereceden denklemle ilgili olarak bu şu anlama gelir:

Not: Dikkat ederseniz, bu formül “İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin kökleri” bölümünde önerilen formülle örtüşmektedir; bu formül de a=1 eşitliğini değiştirerek genel formül (1)'den elde edilebilir. Bu gerçek sadece bir tesadüf değildir: açıklanan yöntemi kullanarak, bazı ek akıl yürütmelerle de olsa, genel bir formül elde edilebilir ve ayrıca diskriminantın özellikleri kanıtlanabilir.

VI yöntemi. Doğrudan ve ters Vieta teoremini kullanma

Vieta'nın doğrudan teoremi (aşağıdaki aynı adlı bölüme bakın) ve onun ters teoremi, yukarıdaki ikinci dereceden denklemleri, formül (1)'i kullanarak oldukça hantal hesaplamalara başvurmadan sözlü olarak çözmenize olanak tanır.

Ters teoreme göre, aşağıdaki denklem sisteminin çözümü olan her sayı (sayı) (görüntü stili x_(1),x_(2))x 1, x 2 çifti denklemin kökleridir

Genel durumda, indirgenmemiş ikinci dereceden bir denklem için ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Doğrudan teorem, bu denklemleri sözlü olarak karşılayan sayıları bulmanıza yardımcı olacaktır. Onun yardımıyla kökleri bilmeden köklerin işaretlerini belirleyebilirsiniz. Bunu yapmak için kurala uymalısınız:

1) serbest terim negatifse, kökler farklı işaretlere sahiptir ve köklerin mutlak değerindeki en büyüğü, denklemin ikinci katsayısının işaretinin tersi bir işarete sahiptir;

2) Serbest terim pozitifse, her iki kök de aynı işarete sahiptir ve bu, ikinci katsayının işaretinin karşısındaki işarettir.

VII yöntemi. Aktarım yöntemi

Sözde "transfer" yöntemi, indirgenmemiş ve indirgenemez denklemlerin çözümünü, tamsayı katsayılı azaltılmış denklemler biçimine indirgemenizi, bunları tamsayı katsayılı azaltılmış denklemlerin çözümüne baş katsayıya bölerek azaltmanıza olanak tanır. Aşağıdaki gibidir:

Daha sonra denklem yukarıda anlatıldığı şekilde sözlü olarak çözülür, ardından orijinal değişkene geri dönerler ve denklemlerin köklerini bulurlar (görüntü stili y_(1)=ax_(1)) sen 1 =balta 1 Ve sen 2 =balta 2 .(görüntü stili y_(2)=ax_(2))

Geometrik anlam

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. İkinci dereceden bir denklemin çözümleri (kökleri), parabolün apsis ekseni ile kesişme noktalarının apsisidir. İkinci dereceden bir fonksiyonla tanımlanan parabol x eksenini kesmiyorsa denklemin gerçek kökleri yoktur. Bir parabol x eksenini bir noktada (parabolün tepe noktasında) kesiyorsa, denklemin bir gerçek kökü vardır (denklemin aynı zamanda iki çakışan kökü olduğu da söylenir). Parabol x eksenini iki noktada kesiyorsa denklemin iki gerçek kökü vardır (sağdaki resme bakın).

If katsayısı (görüntü stili a) A pozitif, parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir ve bunun tersi de geçerlidir. Eğer katsayı (görüntü stili b) bpozitif (eğer pozitifse (görüntü stili a) A, eğer negatifse, tam tersi), o zaman parabolün tepe noktası sol yarı düzlemde yer alır ve bunun tersi de geçerlidir.

İkinci dereceden denklemlerin hayata uygulanması

İkinci dereceden denklem yaygın olarak kullanılmaktadır. Birçok hesaplamada, yapıda, sporda ve çevremizde de kullanılmaktadır.

İkinci dereceden denklemin uygulanmasına ilişkin bazı örnekleri ele alalım ve verelim.

Spor. Yüksek atlamalar: Atlayıcının koşusu sırasında, kalkış çubuğu ve yüksek uçuş üzerinde mümkün olan en net etkiyi elde etmek için parabolle ilgili hesaplamalar kullanılır.

Ayrıca fırlatmada da benzer hesaplamalara ihtiyaç vardır. Bir nesnenin uçuş menzili ikinci dereceden denkleme bağlıdır.

Astronomi. Gezegenlerin yörüngesi ikinci dereceden bir denklem kullanılarak bulunabilir.

Uçak uçuşu. Uçağın kalkışı uçuşun ana bileşenidir. Burada düşük direnç ve kalkış ivmesi hesaplamasını yapıyoruz.

İkinci dereceden denklemler aynı zamanda çeşitli ekonomik disiplinlerde, ses, video, vektör ve raster grafiklerin işlenmesine yönelik programlarda da kullanılır.

Çözüm

Yapılan çalışma sonucunda ikinci dereceden denklemlerin çok eski çağlarda bilim adamlarının ilgisini çektiği, bazı problemleri çözerken zaten bunlarla karşılaştıkları ve çözmeye çalıştıkları ortaya çıktı. İkinci dereceden denklemleri çözmenin farklı yollarını inceleyerek hepsinin basit olmadığı sonucuna vardım. Bana göre ikinci dereceden denklemleri çözmenin en iyi yolu onları formül kullanarak çözmektir. Formüllerin hatırlanması kolaydır, bu yöntem evrenseldir. Denklemlerin yaşamda ve matematikte yaygın olarak kullanıldığı hipotezi doğrulandı. Konuyu inceledikten sonra ikinci dereceden denklemler, bunların kullanımı, uygulaması, türleri ve çözümleri hakkında birçok ilginç gerçeği öğrendim. Ve onları incelemeye devam etmekten mutluluk duyacağım. Umarım bu, sınavlarımda başarılı olmama yardımcı olur.

Kullanılmış literatür listesi

Site malzemeleri:

Vikipedi

Ders.rf'yi aç

İlköğretim Matematik El Kitabı Vygodsky M. Ya.