Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğu nasıl bulunur? Hipotenüs biliniyorsa bacaklar nasıl bulunur?

Şuradan çevrildi: Yunan, hipotenüs "gerilmiş" anlamına gelir. Doğru bir anlayış için, esnek bir çubuğun iki ucunu birbirine bağlayan bir yay ipi hayal edin. burada da sağ üçgen, en uzun kenar, dik açının karşısında yer alan hipotenüstür. Bacaklar adı verilen diğer iki tarafın birleştiricisi olarak işlev görür. Bu "dizinin" ne kadar uzun olduğunu bulmak için, bacakların uzunluklarına veya iki keskin açının değerine sahip olmanız gerekir. Bu verilerin birleştirilmesi formüller kullanılarak hesaplanabilir. istenen değer.

Bacaklarla hipotenüs nasıl bulunur

İki bacağın değerini biliyorsanız hesaplamanın en kolay yolu (birini A, ikincisini B olarak gösterelim). Pisagor'un kendisi kurtarmaya gelir ve dünyası ünlü teorem. Bacakların uzunluğunun karesini alırsak ve hesaplanan değerleri toplarsak, sonuç olarak hipotenüsün uzunluğunun karesinin değerini bulacağımızı söyler. Yukarıdakilerden şu sonuca varıyoruz: hipotenüsün değerini bulmak için, C \u003d √ (A² + B²) bacaklarının karelerinin toplam toplamının karekökünü çıkarmak gerekir. Örnek: bacak A \u003d 10 cm, bacak B \u003d 20 cm Hipotenüs 22,36 cm Hesaplama şu şekildedir: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d √500≈22,36.

Bir açıdan hipotenüs nasıl bulunur

Belirli bir açıdan hipotenüsün uzunluğunu hesaplamak biraz daha zordur. İki ayaktan birinin boyutunu (A ile gösterelim) ve karşısındaki açının boyutunu (α ile gösterelim) biliyorsanız, o zaman hipotenüsün boyutu trigonometri ve özellikle sinüs kullanılarak bulunur. Tek yapmanız gereken bilinen bacağın değerini açının sinüsüne bölmek. C=A/sin(α). Örnek: bacak uzunluğu A=30 cm, karşısındaki açı 45°, hipotenüs 42,25 cm olur Hesaplama şu şekildedir: 30/sin (45°)=30/0,71=42,25.

Başka bir yol da kosinüsü kullanarak hipotenüsün boyutunu bulmaktır. Bacağın boyutunu (B ile gösterelim) ve ona bitişik dar açıyı (α ile gösterelim) biliyorsanız kullanılır. Tek yapmanız gereken bacak değerini açının sinüsüne bölmek. С=В/cos(α). Örnek: Bacağın uzunluğu B=30 cm, karşısındaki açı 45°, hipotenüs 42,25 cm olur Hesaplama şu şekilde: 30/cos (45°)=30/0,71=42,25.

Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü nasıl bulunur?

Kendine saygısı olan her öğrenci, üç kenardan ikisinin birbirine eşit olması koşuluyla, bir üçgenin ikizkenar olduğunu bilir. Bu taraflara yanal denir ve kalan tabandır. Açılardan biri 90 ° ise, o zaman bir ikizkenar dik üçgeniniz olur.

Böyle bir üçgende hipotenüsü bulmak basittir, çünkü yardımcı olacak birkaç özelliği vardır. Tabana bitişik açıların değeri aynıdır, açıların toplamı 180°'dir. Bu, dik açının tabanın karşısında olduğu anlamına gelir, yani taban hipotenüs, bacaklar yanlardır.

Talimat

İlgili videolar

Not

Bir dik üçgenin kenarlarını hesaplarken, özellikleri hakkında bilgi sahibi olmak şunları sağlayabilir:
1) Bir dik açının bacağı 30 derecelik bir açının karşısında yer alıyorsa, o zaman hipotenüsün yarısına eşittir;
2) Hipotenüs her zaman bacaklardan daha uzundur;
3) Bir dik üçgenin etrafında bir daire çiziliyorsa, merkezi hipotenüsün ortasında olmalıdır.

Hipotenüs, bir dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. Uzunluğunu hesaplamak için, bacaklardan birinin uzunluğunu ve üçgenin dar açılarından birinin değerini bilmek yeterlidir.

Talimat

Bacaklardan birini ve yanındaki açıyı bize bildirin. Kesinlik için, bacak |AB| ve açı α. O zaman bitişik bacağın trigonometrik kosinüs - kosinüs oranı için formülü kullanabiliriz. Onlar. gösterimimizde cos α = |AB| / |AC|. Buradan |AC| hipotenüsün uzunluğunu buluruz. = |AB| / çünkü.
Bacağını bilirsek |BC| ve α açısı, sonra açının sinüsünü hesaplamak için formülü kullanırız - açının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranına eşittir: sin α = |BC| / |AC|. Hipotenüsün uzunluğunun |AC| = |MÖ| / çünkü.

Açıklık için bir örnek düşünün. Bacağın uzunluğu |AB| = 15. Ve α = 60° açısı. |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Pisagor teoremini kullanarak sonucunuzu nasıl kontrol edebileceğinizi düşünün. Bunun için ikinci ayağın |BC| uzunluğunu hesaplamamız gerekiyor. tg açısının teğet formülü kullanılarak α = |BC| / |AC|, |BC| elde ederiz = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Ardından, Pisagor teoremini uygularız, 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 elde ederiz. Doğrulama yapılır.

Yararlı tavsiye

Hipotenüsü hesapladıktan sonra, elde edilen değerin Pisagor teoremini karşılayıp karşılamadığını kontrol edin.

kaynaklar:

bacaklar değeri 90 ° olan bir dik üçgenin köşesini oluşturan iki kısa kenarını adlandırın. Böyle bir üçgende üçüncü kenara hipotenüs denir. Üçgenin tüm bu kenarları ve açıları, birkaç başka parametre biliniyorsa bacağın uzunluğunu hesaplamanıza izin veren belirli ilişkilerle birbirine bağlanır.

Talimat

Dik üçgenin diğer iki kenarının (B ve C) uzunluğunu biliyorsanız, bacak (A) için Pisagor teoremini kullanın. Bu teorem, bacakların uzunluklarının karesinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir. Bundan, bacakların her birinin uzunluğunun eşit olduğu sonucu çıkar. kare kök hipotenüs ve ikinci bacak uzunluklarından: A=√(C²-B²).

Hesaplanan bacağın karşısındaki açının (α) değerini ve hipotenüsün (C) uzunluğunu biliyorsanız, dar açı için doğrudan trigonometrik fonksiyon "sinüs" tanımını kullanın. Bu, bilinenin sinüsünün, istenen bacağın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranı olduğunu belirtir. Bu, istenen bacağın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğu ile bilinen açının sinüsünün çarpımına eşit olmasıdır: A=C∗sin(α). Bilinen aynı değerler için kosekant kullanabilir ve hipotenüsün uzunluğunu bilinen A=C/cosec(α) açısının kosekantına bölerek istenen uzunluğu hesaplayabilirsiniz.

Hipotenüsün (C) uzunluğuna ek olarak, gerekli olana bitişik akut açının (β) değeri de biliniyorsa, doğrudan trigonometrik kosinüs fonksiyonunun tanımını kullanın. Bu açının kosinüsü, istenen bacağın uzunluklarının hipotenüse oranıdır ve bundan, bacağın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğu ile bilinen açının kosinüsüne eşit olduğu sonucuna varabiliriz: A=C∗cos(β). Sekant fonksiyonunun tanımını kullanabilir ve hipotenüsün uzunluğunu bilinen A=C/sn(β) açısının sekantına bölerek istenen değeri hesaplayabilirsiniz.

dışarı çıkarmak istenen formül istenen bacağın (A) karşısında uzanan dar açının (α) değerine ek olarak, ikinci bacağın (B) uzunluğu biliniyorsa, trigonometrik teğet fonksiyonun türevi için benzer bir tanımdan. İstenilen bacağın karşısındaki açının tanjantı, bu bacağın uzunluğunun ikinci bacağın uzunluğuna oranıdır. Bu, istenen değerin bilinen bacağın uzunluğu ile bilinen açının tanjantının çarpımına eşit olacağı anlamına gelir: A=B∗tg(α). Bu aynı bilinen niceliklerden, kotanjant fonksiyonunun tanımı kullanılarak başka bir formül türetilebilir. Bu durumda, bacağın uzunluğunu hesaplamak için, bilinen bacağın uzunluğunun bilinen açının kotanjantına oranını bulmak gerekecektir: A=B/ctg(α).

İlgili videolar

"Katet" kelimesi Rusçaya Yunancadan geldi. İÇİNDE tam çeviriçekül, yani yeryüzüne dik anlamına gelir. Matematikte, bacaklara bir dik üçgenin dik açısını oluşturan kenarlar denir. Bu açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. "Bacak" terimi mimaride ve kaynak teknolojisinde de kullanılmaktadır.

Bir ACB dik üçgeni çizin. Bacaklarını a ve b olarak etiketleyin ve hipotenüsünü c olarak etiketleyin. Bir dik üçgenin tüm kenarları ve açıları birbirine göre tanımlanmıştır. Dar açılardan birinin karşısındaki bacağın hipotenüse oranına bu açının sinüsü denir. Bu üçgende sinCAB=a/c. Kosinüs bitişik bacağın hipotenüsüne orandır, yani cosCAB=b/c. Ters ilişkilere sekant ve kosekant denir.

Bu açının sekant değeri, hipotenüsün komşu bacağa bölünmesiyle elde edilir, yani secCAB=c/b. Kosinüsün tersi çıkıyor yani secCAB=1/cosSAB formülü ile ifade edilebiliyor.
Kosekant, hipotenüsü karşı bacak ile bölmenin bölümüne eşittir ve sinüsün tersidir. cosecCAB=1/sinCAB formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Her iki bacak birbirine bağlıdır ve kotanjanttır. Bu durumda teğet, a tarafının b tarafına, yani karşı bacağın bitişik olana oranı olacaktır. Bu oran tgCAB=a/b formülü ile ifade edilebilir. Buna göre, ters oran kotanjant olacaktır: ctgCAB=b/a.

Hipotenüsün ve her iki bacağın boyutları arasındaki oran antik Yunan Pisagor tarafından belirlendi. Teoremi, onun adını, insanlar hala kullanıyor. Hipotenüsün karesi diyor toplama eşittir bacakların kareleri, yani c2=a2+b2. Buna göre her bacak, hipotenüs ile diğer bacağın kareleri arasındaki farkın kareköküne eşit olacaktır. Bu formül b=√(c2-a2) şeklinde yazılabilir.

Bacak uzunluğu bildiğiniz ilişkiler üzerinden de ifade edilebilir. Sinüs ve kosinüs teoremlerine göre, bacak hipotenüs ve bu fonksiyonlardan birinin çarpımına eşittir. Bunu ve veya kotanjantı ifade edebilirsiniz. a ayağı, örneğin a \u003d b * tan CAB formülü ile bulunabilir. Aynı şekilde verilen teğete bağlı olarak veya , ikinci bacak belirlenir.

Mimaride "bacak" terimi de kullanılır. İon başlığına ve sırtının ortasından çeküle uygulanır. Yani, bu durumda, bu terime göre, verilen çizgiye dik.

Kaynak teknolojisinde bir "döşeme kaynağı ayağı" vardır. Diğer durumlarda olduğu gibi, bu en kısa mesafedir. Burada Konuşuyoruz diğer parçanın yüzeyinde bulunan dikişin sınırına kaynak yapılacak parçalardan birinin arasındaki boşluk hakkında.

İlgili videolar

kaynaklar:

  • 2019'da bacak ve hipotenüs nedir

Bu sorunu çözmek için üç seçenek vardır. İlki, problemin koşullarında bacakların eşit olduğu verilirse (aslında dik açılı bir ikizkenar üçgenimiz var). İkincisi - başka bir açı verilirse (% 45'lik açı hariç, o zaman aynı ikizkenar üçgene sahibiz ve ilk seçeneğe geri dönüyoruz). Ve üçüncüsü - bacaklardan biri bilindiğinde. Bu seçenekleri daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Bilinen bir hipotenüs ile eşit bacaklar nasıl bulunur

  • birinci bacak ("a" harfi ile gösterelim) ikinci ayağa eşittir ("b" harfi ile gösterelim): a=b;
  • bacakların boyutu;

Bu versiyonda, problemin çözümü Pisagor teoreminin kullanımına dayanmaktadır. Dik üçgenlere uygulanır ve temel versiyonu şöyle görünür: "Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir." Bacaklarımız eşit olduğundan, her iki bacağı da aynı karakterle belirtebiliriz: a=b, yani - a=a.

  1. bizim yerine sözleşmeler teorem içine (yukarıdakileri dikkate alarak):
    c^2=a^2+a^2,
  2. Ardından, formülü olabildiğince basitleştirelim:
    с^2=2*(a^2) - grup,
    c \u003d √ 2 * a - denklemin her iki kısmını da karekök haline getiriyoruz,
    a=c/√2 - isteneni çıkarın.
  3. Yerine geçmek verilen değer hipotenüs ve çözümü elde ederiz:
    a=x/√2

Bilinen bir hipotenüs ve açı ile bacaklar nasıl bulunur

  • hipotenüs ("c" harfi ile gösterilir) x cm'ye eşittir: c=x;
  • β açısı q'ya eşittir: β=q;
  • bacakların boyutu;

Bu sorunu çözmek için trigonometrik fonksiyonları kullanmak gerekir. Bunlardan en popüler ikisi:

  • sinüs işlevi - istenen açının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranına eşittir;
  • kosinüs fonksiyonu - istenen açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranına eşittir;

Herhangi birini kullanabilirsiniz. İlkini kullanarak bir örnek vereceğim. Bacaklar "a" (köşeye bitişik) ve "b" (köşenin karşısında) sembolleriyle gösterilsin. Buna göre açımız "a" bacağı ile hipotenüs arasındadır.

  1. Seçilen sembolleri formülde değiştiririz:
    sinβ = b/c
  2. Kateti türetiyoruz:
    b=c*sinβ
  3. Verilerimizi değiştiriyoruz ve tek ayağımız var.
    b=c*sinq

İkinci bacak, ikinci kullanılarak bulunabilir. trigonometrik fonksiyon veya üçüncü seçeneğe gidin.

Hipotenüs ve diğer bacak biliniyorsa bir bacak nasıl bulunur?

  • hipotenüs ("c" harfi ile gösterilir) x cm'ye eşittir: c=x;
  • bacak ("b" harfi ile gösterelim) y cm'ye eşittir: b=y;
  • diğer bacağın boyutu ("a" harfi ile gösterelim);

Bu varyantta, problemin çözümü, ilkinde olduğu gibi, Pisagor teoreminin kullanılmasıdır.

  1. Sözleşmelerimizi teoremde ikame etmek:
    c^2=a^2+b^2,
  2. Gerekli ayağı çıkarıyoruz:
    a^2=c^2-b^2
  3. Denklemin her iki tarafını da karekök haline getiriyoruz:
    a=√(c^2-b^2)
  4. Bu değerleri yerine koyuyoruz ve çözüme sahibiz:
    a=√(x^2-y^2)

“Ve bize bacağın hipotenüsten daha kısa olduğunu söylüyorlar…” “The Adventures of Electronics” adlı uzun metrajlı filmde seslendirilen ünlü şarkının bu satırları gerçekten Öklid'in geometrisi açısından doğrudur. Ne de olsa bacaklar, derece ölçüsü 90 derece olan bir açı oluşturan iki kenardır. Ve hipotenüs, iki bacağı birbirine dik olarak bağlayan ve zıt yönde uzanan en uzun "gerilmiş" taraftır. sağ açı. Bu nedenle, bacaklar boyunca hipotenüsü yalnızca bir dik üçgende bulmak mümkündür ve bacak hipotenüsten daha uzun olsaydı, o zaman böyle bir üçgen olmazdı.

Her iki bacak da biliniyorsa, Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs nasıl bulunur?

Teorem, hipotenüsün karesinin, bacakların karelerinin toplamından başka bir şey olmadığını söyler: x^2+y^2=z^2, burada:

  • x - ilk ayak;
  • y - ikinci ayak;
  • z hipotenüstür.

Ama sadece hipotenüsü bulmalısın, karesini değil. Bunu yapmak için kökü çıkarın.

Hipotenüsü iki ile bulmak için algoritma ünlü bacaklar:

  • Bacakların nerede olduğunu ve hipotenüsün nerede olduğunu kendiniz belirleyin.
  • İlk bacağın karesini alın.
  • İkinci bacağın karesini alın.
  • Ortaya çıkan değerleri toplayın.
  • 4. adımda elde edilen sayının kökünü alın.

Bacak ve ona karşı uzanan akut açı biliniyorsa, sinüs boyunca hipotenüs nasıl bulunur?

Bilinen bacağın karşısındaki dar açıya oranı hipotenüsün değerine eşittir: a/sin A = c. Bu sinüs tanımının bir sonucudur:

Karşı bacağın hipotenüse oranı: sin A \u003d a / c, burada:

  • a - ilk ayak;
  • A, bacağın karşısındaki dar açıdır;
  • c hipotenüs.

Sinüs teoremini kullanarak hipotenüsü bulma algoritması:

  • Bilinen bacağı ve onun karşısındaki açıyı kendiniz belirleyin.
  • Bacağını karşı köşeye bölün.
  • Hipotenüsü alın.

Bacak ve ona bitişik akut açı biliniyorsa, kosinüs yoluyla hipotenüs nasıl bulunur?

Bilinen bacağın dar iç açıya oranı hipotenüs a/cos B = c değerine eşittir. Bu, kosinüs tanımının bir sonucudur: bitişik bacağın hipotenüse oranı: cos B \u003d a / s, burada:

  • a - ikinci ayak;
  • B, ikinci bacağa bitişik bir dar açıdır;
  • c hipotenüs.

Kosinüs teoremini kullanarak hipotenüsü bulma algoritması:

  • Bilinen bacağı ve ona bitişik açıyı kendiniz belirleyin.
  • Bacağını bitişik bir açıya bölün.
  • Hipotenüsü alın.

"Mısır üçgeni" kullanılarak hipotenüs nasıl bulunur?

"Mısır üçgeni", hipotenüsü veya hatta başka bir bilinmeyen ayağı bulmak için zaman kazanabileceğinizi bilen bir üçlü sayıdır. Üçgenin böyle bir adı var, çünkü Mısır'da bazı sayılar Tanrıları simgeliyordu ve piramitlerin ve diğer çeşitli yapıların inşasının temelini oluşturuyordu.

  • İlk üçlü sayı: 3-4-5. Buradaki bacaklar 3 ve 4'e eşittir. O zaman hipotenüs mutlaka 5'e eşit olacaktır. Kontrol edin: (9 + 16 = 25).
  • Sayıların ikinci üçlüsü: 5-12-13. Burada da bacaklar 5 ve 12'dir. Dolayısıyla hipotenüs 13 olacaktır. Kontrol edin: (25+144=169).

Bu tür sayılar, tek bir sayıya bölündüklerinde veya çarpıldıklarında bile yardımcı olurlar. Bacaklar 3 ve 4 ise hipotenüs 5 olur. Bu sayıları 2 ile çarparsanız hipotenüs de 2 ile çarpılır. Örneğin 6-8-10 sayılarının üçlüsü de Pisagor teoremine uyacaktır ve bu tür üçlü sayıları hatırlarsanız hipotenüsü hesaplayamazsınız.



Böylece, bilinen bacakları kullanarak hipotenüsü bulmanın 4 yolu vardır. en çok en iyi seçenek Pisagor teoremi, ancak “Mısır üçgeni”ni oluşturan sayıların üçlülerini de hatırlamaktan zarar gelmez, çünkü bu tür değerlerle karşılaşırsanız çok zaman kazanabilirsiniz.