Cramer matris teoremi. Cramer kuralı

Matrisin ana determinantı sıfıra eşit olmayan bilinmeyenlerin sayısıyla aynı sayıda denklem ile sistemin katsayıları (bu tür denklemler için bir çözüm vardır ve yalnızca bir tane vardır).

Cramer teoremi.

Bir kare sistemin matrisinin determinantının sıfırdan farklı olması, sistemin tutarlı olduğu ve tek çözümü olduğu ve şu şekilde bulunabileceği anlamına gelir: Cramer'in formülleri:

burada Δ - sistem matrisinin determinantı,

Δ Ben sistem matrisinin determinantıdır, bunun yerine BenÜçüncü sütun sağ tarafların sütununu içerir.

Bir sistemin determinantının sıfır olması, sistemin işbirlikçi veya uyumsuz olabileceği anlamına gelir.

Bu yöntem genellikle kapsamlı hesaplamaların yapıldığı küçük sistemlerde ve bilinmeyenlerden birinin belirlenmesi gerektiğinde kullanılır. Yöntemin karmaşıklığı birçok belirleyicinin hesaplanması gerekmesidir.

Cramer yönteminin açıklaması.

Bir denklem sistemi vardır:

3 denklemli bir sistem, yukarıda 2 denklemli bir sistem için tartışılan Cramer yöntemi kullanılarak çözülebilir.

Bilinmeyenlerin katsayılarından bir determinant oluşturuyoruz:

Olacak sistem belirleyicisi. Ne zaman D≠0 Bu da sistemin tutarlı olduğu anlamına gelir. Şimdi 3 ek belirleyici oluşturalım:

,,

Sistemi şu şekilde çözüyoruz Cramer'in formülleri:

Cramer yöntemini kullanarak denklem sistemlerinin çözümüne örnekler.

örnek 1.

Verilen sistem:

Cramer yöntemini kullanarak çözelim.

Öncelikle sistem matrisinin determinantını hesaplamanız gerekir:

Çünkü Δ≠0, Cramer teoremine göre sistemin tutarlı olduğu ve tek çözümü olduğu anlamına gelir. Ek belirleyicileri hesaplıyoruz. Belirleyici Δ 1, ilk sütununun bir serbest katsayılar sütunu ile değiştirilmesiyle determinant Δ'dan elde edilir. Şunu elde ederiz:

Aynı şekilde, ikinci sütunu serbest katsayılardan oluşan bir sütunla değiştirerek sistem matrisinin determinantından Δ 2'nin determinantını elde ederiz:

Yöntemler Kramer Ve Gauss- en popüler çözüm yöntemlerinden biri SLAU. Ayrıca bazı durumlarda spesifik yöntemlerin kullanılması tavsiye edilir. Oturum yaklaştı ve şimdi bunları tekrarlamanın veya sıfırdan uzmanlaşmanın zamanı geldi. Bugün Cramer yöntemini kullanarak çözüme bakacağız. Sonuçta Cramer yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözmek çok faydalı bir beceridir.

Doğrusal cebirsel denklem sistemleri

Doğrusal cebirsel denklemler sistemi, aşağıdaki formdaki bir denklem sistemidir:

Değer kümesi X Sistem denklemlerinin özdeşliğe dönüştüğü çözüme sistemin çözümü denir, A Ve B gerçek katsayılardır. İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan basit bir sistemi kafanızda çözebilir veya bir değişkeni diğerine göre ifade edebilirsiniz. Ancak bir SLAE'de ikiden fazla değişken (x'ler) olabilir ve burada basit okul manipülasyonları yeterli değildir. Ne yapalım? Örneğin, SLAE'leri Cramer'in yöntemini kullanarak çözün!

Yani, sistemin aşağıdakilerden oluşmasına izin verin N ile denklemler N Bilinmeyen.

Böyle bir sistem matris formunda yeniden yazılabilir.

Burada A – sistemin ana matrisi, X Ve B sırasıyla bilinmeyen değişkenlerin ve serbest terimlerin sütun matrisleri.

Cramer yöntemini kullanarak SLAE'leri çözme

Ana matrisin determinantı sıfıra eşit değilse (matris tekil değilse), sistem Cramer yöntemi kullanılarak çözülebilir.

Cramer'in yöntemine göre çözüm aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur:

Burada delta ana matrisin determinantıdır ve delta x n'inci – n'inci sütunun serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle ana matrisin determinantından elde edilen determinant.

Cramer yönteminin özü budur. Yukarıdaki formüller kullanılarak bulunan değerlerin değiştirilmesi X İstenilen sisteme girdiğimizde çözümümüzün doğruluğuna (ya da tam tersi) ikna oluyoruz. İşin özünü hızlı bir şekilde kavramanıza yardımcı olmak için aşağıda Cramer yöntemini kullanan ayrıntılı bir SLAE çözümünün örneğini veriyoruz:

İlk seferde başaramasanız bile cesaretiniz kırılmasın! Biraz pratik yaparak SLAU'ları fındık gibi kırmaya başlayacaksınız. Üstelik artık bir not defterini incelemenize, hantal hesaplamaları çözmenize ve çekirdeği yazmanıza kesinlikle gerek yok. SLAE'leri Cramer'in yöntemini çevrimiçi olarak kullanarak, yalnızca katsayıları bitmiş forma koyarak kolayca çözebilirsiniz. Örneğin bu web sitesinde Cramer'in yöntemini kullanarak çevrimiçi bir çözüm hesaplayıcıyı deneyebilirsiniz.

Ve eğer sistem inatçı çıkarsa ve pes etmezse, yardım için her zaman yazarlarımıza başvurabilirsiniz, örneğin. Sistemde en az 100 bilinmeyen varsa mutlaka doğru ve zamanında çözeceğiz!

Doğrusal denklem sisteminin bağımsız değişken sayısı kadar denklem içermesine izin verin, yani. benziyor

Bu tür doğrusal denklem sistemlerine ikinci dereceden denir. Sistemin bağımsız değişkenlerine ait katsayılardan (1.5) oluşan determinant, sistemin ana determinantı olarak adlandırılır. Bunu Yunanca D harfiyle göstereceğiz.

. (1.6)

Ana belirleyici keyfi bir ( J th) sütununu, sistemin serbest koşulları (1.5) sütunuyla değiştirin, ardından şunu alabilirsiniz: N yardımcı niteleyiciler:

(J = 1, 2, …, N). (1.7)

Cramer kuralıİkinci dereceden doğrusal denklem sistemlerinin çözümü aşağıdaki gibidir. Sistemin (1.5) ana determinantı D sıfırdan farklıysa, sistemin benzersiz bir çözümü vardır ve bu çözüm aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

(1.8)

Örnek 1.5. Denklem sistemini Cramer yöntemini kullanarak çözme

.

Sistemin ana belirleyicisini hesaplayalım:

D¹0'dan beri sistemin benzersiz bir çözümü vardır ve bu çözüm (1.8) formülleri kullanılarak bulunabilir:

Böylece,

Matrisler üzerindeki eylemler

1. Bir matrisi bir sayıyla çarpmak. Bir matrisi bir sayıyla çarpma işlemi aşağıdaki gibi tanımlanır.

2. Bir matrisi bir sayıyla çarpmak için tüm elemanlarını bu sayıyla çarpmanız gerekir. Yani

. (1.9)

Örnek 1.6. .

Matris eklenmesi.

Bu işlem yalnızca aynı mertebeden matrisler için uygulanır.

İki matrisi toplamak için, başka bir matrisin karşılık gelen elemanlarını bir matrisin elemanlarına eklemek gerekir:

(1.10)
Matris toplama işlemi, birleşme ve değişme özelliği özelliklerine sahiptir.

Örnek 1.7. .

Matris çarpımı.

Matris sütunlarının sayısı ise A matris satırlarının sayısıyla çakışır İÇİNDE, bu tür matrisler için çarpma işlemi uygulanır:

2

Böylece, bir matris çarpılırken A boyutlar M´ N matrise İÇİNDE boyutlar N´ k bir matris elde ederiz İLE boyutlar M´ k. Bu durumda matris elemanları İLE aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

Sorun 1.8. Mümkünse matrislerin çarpımını bulun AB Ve B.A.:

Çözüm. 1) Bir iş bulmak için AB, matris satırlarına ihtiyacınız var A matris sütunlarıyla çarpma B:

2) Çalışmak B.A. mevcut değil çünkü matris sütunlarının sayısı B matris satırlarının sayısıyla eşleşmiyor A.

Ters matris. Matris yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme

Matris A- 1'e kare matrisin tersi denir A eşitlik sağlanırsa:

nereden geçiyor BEN matris ile aynı mertebedeki birim matrisi belirtir A:

.

Bir kare matrisin tersinin olabilmesi için determinantının sıfırdan farklı olması gerekli ve yeterlidir. Ters matris aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

, (1.13)

Nerede bir ben- elementlere cebirsel eklemeler bir ben matrisler A(matris satırlarına cebirsel eklemelerin yapıldığına dikkat edin A ters matriste karşılık gelen sütunlar şeklinde bulunur).

Örnek 1.9. Ters matrisi bulun A- 1'den matrise

.

Ters matrisi (1.13) formülünü kullanarak buluyoruz; N= 3 şu şekle sahiptir:

.

Haydi bulalım A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Orijinal matrisin determinantı sıfırdan farklı olduğundan ters matris mevcuttur.

1) Cebirsel tamamlayıcıları bulun bir ben:

Ters matrisi bulmanın kolaylığı için, orijinal matrisin satırlarına cebirsel toplamaları karşılık gelen sütunlara yerleştirdik.

Elde edilen cebirsel toplamalardan yeni bir matris oluşturuyoruz ve onu determinant det'ye bölüyoruz A. Böylece ters matrisi elde ederiz:

Temel determinantı sıfır olmayan ikinci dereceden doğrusal denklem sistemleri, ters matris kullanılarak çözülebilir. Bunu yapmak için sistem (1.5) matris formunda yazılır:

Nerede

Eşitliğin her iki tarafının (1.14) soldan çarpılması A- 1, sistemin çözümünü buluyoruz:

, Neresi

Dolayısıyla kare sisteme çözüm bulmak için sistemin ana matrisinin ters matrisini bulup sağdaki serbest terimlerin sütun matrisiyle çarpmanız gerekir.

Sorun 1.10. Doğrusal denklem sistemini çözme

ters matrisi kullanarak.

Çözüm. Sistemi matris formunda yazalım: ,

Nerede - sistemin ana matrisi, - bilinmeyenler sütunu ve - serbest terimler sütunu. Sistemin temel belirleyicisi olduğundan , daha sonra sistemin ana matrisi A ters bir matrisi vardır A-1 . Ters matrisi bulmak için A-1 , matrisin tüm elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını hesaplıyoruz A:

Elde edilen sayılardan bir matris oluşturacağız (ve matrisin satırlarına cebirsel eklemeler yapacağız) A uygun sütunlara yazın) ve determinant D'ye bölün. Böylece ters matrisi bulduk:

Sistemin çözümünü formül (1.15) kullanarak buluyoruz:

Böylece,

Sıradan Jordan eleme yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme

Keyfi (mutlaka ikinci dereceden olması gerekmeyen) bir doğrusal denklem sistemi verilsin:

(1.16)

Sisteme bir çözüm bulmak gerekiyor yani. sistemin (1.16) tüm eşitliklerini karşılayan bir dizi değişken. Genel durumda (1.16) sisteminin tek bir çözümü olabileceği gibi sayısız çözümü de olabilir. Ayrıca hiçbir çözümü de olmayabilir.

Bu tür problemleri çözerken, sıradan Jordan eleme yöntemi olarak da adlandırılan, bilinmeyenleri ortadan kaldırmak için iyi bilinen okul kursu yöntemi kullanılır. Bu yöntemin özü, sistem (1.16) denklemlerinden birinde değişkenlerden birinin diğer değişkenler cinsinden ifade edilmesidir. Bu değişken daha sonra sistemdeki diğer denklemlerin yerine kullanılır. Sonuç, orijinal sistemden bir denklem ve bir eksik değişken içeren bir sistemdir. Değişkenin ifade edildiği denklem hatırlanır.

Bu işlem sistemde son bir denklem kalana kadar tekrarlanır. Bilinmeyenlerin ortadan kaldırılması süreci sayesinde bazı denklemler gerçek kimliklere dönüşebilir; Bu tür denklemler, değişkenlerin herhangi bir değeri için sağlandığı ve dolayısıyla sistemin çözümünü etkilemediği için sistemin dışında bırakılır. Bilinmeyenleri eleme sürecinde en az bir denklem, değişkenlerin herhangi bir değeri için sağlanamayan bir eşitlik haline gelirse (örneğin), o zaman sistemin bir çözümü olmadığı sonucuna varırız.

Çözüm sırasında çelişkili denklemler ortaya çıkmazsa, son denklemden içinde kalan değişkenlerden biri bulunur. Son denklemde yalnızca bir değişken kaldıysa bu sayı olarak ifade edilir. Son denklemde başka değişkenler kalırsa bunlar parametre olarak kabul edilir ve bunlar aracılığıyla ifade edilen değişken bu parametrelerin bir fonksiyonu olacaktır. Daha sonra sözde "geri hareket" gerçekleşir. Bulunan değişken son hatırlanan denklemde yerine konulur ve ikinci değişken bulunur. Daha sonra bulunan iki değişken sondan bir önceki ezberlenmiş denklemde yerine konulur ve üçüncü değişken bulunur ve bu şekilde ilk ezberlenen denkleme kadar devam eder.

Sonuç olarak sistemin çözümünü elde ederiz. Bulunan değişkenler sayı ise bu çözüm benzersiz olacaktır. Eğer bulunan ilk değişken ve ardından tüm diğerleri parametrelere bağlıysa, o zaman sistemin sonsuz sayıda çözümü olacaktır (her parametre seti yeni bir çözüme karşılık gelir). Belirli bir parametre kümesine bağlı olarak bir sisteme çözüm bulmanızı sağlayan formüllere sistemin genel çözümü denir.

Örnek 1.11.

X

İlk denklemi ezberledikten sonra ve benzer terimleri ikinci ve üçüncü denklemlerde de getirerek sisteme ulaşıyoruz:

Hadi ifade edelim sen ikinci denklemden alıp birinci denklemde yerine koyalım:

İkinci denklemi hatırlayalım ve ilkinden bulduğumuz z:

Geriye doğru çalışarak sürekli olarak şunu buluyoruz: sen Ve z. Bunu yapmak için, önce bulduğumuz yerden hatırladığımız son denklemi yerine koyarız. sen:

.

Sonra onu ilk ezberlediğimiz denklemin yerine koyacağız onu nerede bulabiliriz X:

Sorun 1.12. Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

. (1.17)

Çözüm. Değişkeni ilk denklemden ifade edelim X ve onu ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyalım:

.

İlk denklemi hatırlayalım

Bu sistemde birinci ve ikinci denklem birbiriyle çelişmektedir. Gerçekten de ifade etmek sen 14 = 17 elde ederiz. Bu eşitlik değişkenlerin hiçbir değeri için geçerli değildir. X, sen, Ve z. Sonuç olarak sistem (1.17) tutarsızdır, yani. çözümü yok.

Okuyucuları, orijinal sistemin (1.17) ana determinantının sıfıra eşit olduğunu kendileri kontrol etmeye davet ediyoruz.

Sistemden (1.17) yalnızca bir serbest terimle farklı olan bir sistemi ele alalım.

Sorun 1.13. Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

. (1.18)

Çözüm. Daha önce olduğu gibi, değişkeni ilk denklemden ifade ediyoruz X ve onu ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyalım:

.

İlk denklemi hatırlayalım ve ikinci ve üçüncü denklemlerde benzer terimleri gösterin. Sisteme geliyoruz:

İfade etme sen birinci denklemden alıp ikinci denklemde yerine koyarsak , sistemin çözümünü etkilemeyen 14 = 14 özdeşliğini elde ederiz ve bu nedenle sistemden çıkarılabilir.

Hatırlanan son eşitlikte değişken z bunu bir parametre olarak değerlendireceğiz. İnanıyoruz. Daha sonra

Hadi değiştirelim sen Ve z hatırlanan ilk eşitliğe girin ve bulun X:

.

Böylece, sistem (1.18) sonsuz sayıda çözüme sahiptir ve herhangi bir çözüm, parametrenin keyfi bir değerini seçerek formüller (1.19) kullanılarak bulunabilir. T:

(1.19)
Dolayısıyla sistemin çözümleri, örneğin aşağıdaki değişken kümeleridir (1; 2; 0), (2; 26; 14), vb. Formüller (1.19), sistemin (1.18) genel (herhangi) çözümünü ifade eder. ).

Orijinal sistemin (1.16) yeterince fazla sayıda denklem ve bilinmeyene sahip olması durumunda, belirtilen sıradan Jordan eleme yöntemi hantal görünmektedir. Ancak öyle değil. Sistem katsayılarını tek adımda yeniden hesaplamak için algoritmayı genel formda türetmek ve sorunun çözümünü özel Jordan tabloları şeklinde resmileştirmek yeterlidir.

Doğrusal formlardan (denklemlerden) oluşan bir sistem verilsin:

, (1.20)
Nerede xj- bağımsız (aranan) değişkenler, bir ben- sabit katsayılar
(ben = 1, 2,…, M; J = 1, 2,…, N). Sistemin doğru kısımları sen ben (ben = 1, 2,…, M) değişken (bağımlı) veya sabit olabilir. Bu sisteme bilinmeyenleri ortadan kaldırarak çözüm bulmak gerekiyor.

Bundan sonra “sıradan Ürdün elemelerinin bir adımı” olarak anılacak olan aşağıdaki operasyonu ele alalım. Keyfi olarak ( R th) eşitlik keyfi bir değişkeni ifade ediyoruz ( xs) ve diğer tüm eşitliklerin yerine koyun. Tabii ki, bu ancak şu şekilde mümkündür: bir rs¹ 0. Katsayı bir rsçözümleyici (bazen yol gösterici veya ana) unsur olarak adlandırılır.

Aşağıdaki sistemi alacağız:

. (1.21)

İtibaren S- sistemin eşitliği (1.21), daha sonra değişkeni buluyoruz xs(kalan değişkenler bulunduktan sonra). S-'inci satır hatırlanır ve daha sonra sistemden çıkarılır. Geriye kalan sistem bir denklem ve orijinal sistemden bir eksik bağımsız değişken içerecektir.

Ortaya çıkan sistemin katsayılarını (1.21) orijinal sistemin katsayıları (1.20) üzerinden hesaplayalım. İle başlayalım R değişkeni ifade ettikten sonra denklem xs kalan değişkenler aracılığıyla şöyle görünecektir:

Böylece yeni katsayılar R denklemler aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

(1.23)
Şimdi yeni katsayıları hesaplayalım b ij(Ben¹ R) keyfi bir denklemin. Bunu yapmak için (1.22)'de ifade edilen değişkeni yerine koyalım. xs V Ben sistemin denklemi (1.20):

Benzer terimleri getirdikten sonra şunu elde ederiz:

(1.24)
Eşitlikten (1.24), sistemin geri kalan katsayılarının (1.21) hesaplandığı formüller elde ederiz (istisna hariç) R denklem):

(1.25)
Doğrusal denklem sistemlerinin sıradan Jordan eliminasyon yöntemiyle dönüştürülmesi tablolar (matrisler) şeklinde sunulmaktadır. Bu tablolara “Ürdün tabloları” adı verilmektedir.

Dolayısıyla problem (1.20) aşağıdaki Jordan tablosuyla ilişkilidir:

Tablo 1.1

Jordan tablosu 1.1, sistemin (1.20) sağ kısımlarının yazıldığı bir sol başlık sütunu ve bağımsız değişkenlerin yazıldığı bir üst başlık satırı içerir.

Tablonun geri kalan elemanları sistemin (1.20) katsayılarının ana matrisini oluşturur. Eğer matrisi çarparsanız Aüst başlık satırının elemanlarından oluşan matrise sol başlık sütununun elemanlarından oluşan bir matris elde edersiniz. Yani, esasen Jordan tablosu, bir doğrusal denklem sistemi yazmanın matris biçimidir: . Sistem (1.21) aşağıdaki Jordan tablosuna karşılık gelir:

Tablo 1.2

İzin verici unsur bir rs Bunları kalın harflerle vurgulayacağız. Jordan eliminasyonunun bir adımını uygulamak için çözümleme elemanının sıfırdan farklı olması gerektiğini hatırlayın. Etkinleştirme öğesini içeren tablo satırına etkinleştirme satırı denir. Etkinleştirme öğesini içeren sütuna etkinleştirme sütunu denir. Belirli bir tablodan sonraki tabloya geçerken bir değişken ( xs) tablonun üst başlık satırından sol başlık sütununa taşınır ve bunun tersine sistemin serbest üyelerinden biri ( sen) tablonun sol başlık sütunundan üst başlık satırına taşınır.

Jordan tablosundan (1.1) tabloya (1.2) geçerken katsayıların yeniden hesaplanmasına yönelik algoritmayı, formüller (1.23) ve (1.25)'ten takip ederek açıklayalım.

1. Çözümleme elemanının yerini ters sayı alır:

2. Çözümleme dizisinin geri kalan elemanları, çözümleme elemanına bölünür ve işareti tersine değiştirir:

3. Çözünürlük sütununun geri kalan öğeleri çözünürlük öğesine bölünmüştür:

4. İzin verilen satıra ve izin verilen sütuna dahil olmayan öğeler, aşağıdaki formüller kullanılarak yeniden hesaplanır:

Kesri oluşturan elemanların aynı olduğunu fark ederseniz son formülü hatırlamanız kolaydır. , kavşaktalar Ben-Oh ve R satırlar ve J inci ve S sütunları (çözen satır, çözümleyen sütun ve yeniden hesaplanan öğenin bulunduğu kesişim noktasındaki satır ve sütun). Daha doğrusu formülü ezberlerken aşağıdaki diyagramı kullanabilirsiniz:

Jordan istisnalarının ilk adımını gerçekleştirirken, sütunlarda bulunan Tablo 1.3'ün herhangi bir öğesini çözümleme öğesi olarak seçebilirsiniz. X 1 ,…, X 5 (belirtilen tüm öğeler sıfır değildir). Son sütundaki etkinleştirme öğesini seçmeyin çünkü bağımsız değişkenler bulmanız gerekir X 1 ,…, X 5. Örneğin, katsayıyı seçiyoruz 1 değişkenli X Tablo 1.3'ün üçüncü satırında 3 (etkinleştirici öğe koyu renkle gösterilmiştir). Tablo 1.4'e geçerken değişken XÜst başlık satırındaki 3, sol başlık sütunundaki (üçüncü satır) sabit 0 ile değiştirilir. Bu durumda değişken X 3 kalan değişkenler aracılığıyla ifade edilir.

Sicim X 3 (Tablo 1.4), önceden hatırladıktan sonra Tablo 1.4'ün dışında tutulabilir. Üst başlık satırında sıfır bulunan üçüncü sütun da Tablo 1.4'ün dışında tutulmuştur. Mesele şu ki, belirli bir sütunun katsayılarından bağımsız olarak ben 3 her denklemin karşılık gelen terimleri 0 ben 3 sistem sıfıra eşit olacaktır. Bu nedenle bu katsayıların hesaplanmasına gerek yoktur. Bir değişkeni ortadan kaldırmak X 3 ve denklemlerden birini hatırlayarak Tablo 1.4'e karşılık gelen bir sisteme ulaşırız (çizginin üzeri çizili olarak) X 3). Tablo 1.4'te çözümleme öğesi olarak seçim B 14 = -5, tablo 1.5'e gidin. Tablo 1.5'te ilk satırı hatırlayın ve dördüncü sütunla (üstte sıfır olacak şekilde) birlikte tablodan çıkarın.

Tablo 1.5 Tablo 1.6

Son tablo 1.7'den şunları buluyoruz: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Zaten bulunan değişkenleri tutarlı bir şekilde hatırlanan satırlara yerleştirerek geri kalan değişkenleri buluruz:

Yani sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Değişken X 5, isteğe bağlı değerler atanabilir. Bu değişken parametre görevi görür X 5 = t. Sistemin uyumluluğunu kanıtladık ve genel çözümünü bulduk:

X 1 = - 3 + 2T

X 2 = - 1 - 3T

X 3 = - 2 + 4T . (1.27)
X 4 = 4 + 5T

X 5 = T

Parametre verilmesi T farklı değerler alırsak orijinal sisteme sonsuz sayıda çözüm elde edeceğiz. Yani örneğin sistemin çözümü aşağıdaki değişkenler kümesidir (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Bu paragrafta ustalaşmak için “ikiye iki” ve “üçe üç” belirleyicilerini ortaya çıkarabilmelisiniz. Elemelerde başarısızsanız lütfen derse çalışın Determinant nasıl hesaplanır?

İlk olarak, iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi için Cramer kuralına daha yakından bakacağız. Ne için? – Sonuçta en basit sistem okul yöntemiyle, dönem dönem toplama yöntemiyle çözülebilir!

Gerçek şu ki, bazen de olsa böyle bir görev ortaya çıkıyor - iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemini Cramer formüllerini kullanarak çözmek. İkinci olarak, daha basit bir örnek, Cramer kuralını daha karmaşık bir durum için (üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem) nasıl kullanacağınızı anlamanıza yardımcı olacaktır.

Ek olarak, Cramer kuralı kullanılarak çözülmesi tavsiye edilen iki değişkenli doğrusal denklem sistemleri de vardır!

Denklem sistemini düşünün

İlk adımda determinantı hesaplıyoruz, buna denir sistemin ana belirleyicisi.

Gauss yöntemi.

Eğer ise sistemin tek bir çözümü vardır ve kökleri bulmak için iki determinantı daha hesaplamamız gerekir:
Ve

Uygulamada yukarıdaki niteleyiciler Latin harfleriyle de gösterilebilir.

Denklemin köklerini aşağıdaki formülleri kullanarak buluruz:
,

Örnek 7

Doğrusal denklem sistemini çözme

Çözüm: Denklemin katsayılarının oldukça büyük olduğunu görüyoruz, sağ tarafta virgüllü ondalık kesirler var. Virgül matematikteki pratik görevlerde oldukça nadir bir misafirdir; bu sistemi ekonometrik bir problemden aldım.

Böyle bir sistem nasıl çözülür? Bir değişkeni diğerine göre ifade etmeye çalışabilirsiniz, ancak bu durumda muhtemelen üzerinde çalışılması son derece elverişsiz olan berbat süslü kesirlerle karşılaşacaksınız ve çözümün tasarımı tek kelimeyle berbat görünecektir. İkinci denklemi 6 ile çarpıp terim terim çıkarabilirsiniz ama burada da aynı kesirler ortaya çıkacaktır.

Ne yapalım? Böyle durumlarda Cramer'in formülleri imdada yetişiyor.

;

;

Cevap: ,

Her iki kökün de sonsuz kuyruğu vardır ve yaklaşık olarak bulunurlar; bu, ekonometri problemleri için oldukça kabul edilebilir (ve hatta sıradandır).

Görev hazır formüller kullanılarak çözüldüğü için burada yorumlara gerek yok, ancak bir uyarı var. Bu yöntemi kullanırken, zorunlu Görev tasarımının bir parçası aşağıdaki parçadır: “Bu, sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına geliyor”. Aksi takdirde, incelemeyi yapan kişi sizi Cramer teoremine saygısızlıktan dolayı cezalandırabilir.

Bir hesap makinesinde rahatlıkla yapılabilen kontrol etmek gereksiz olmayacaktır: yaklaşık değerleri sistemin her denkleminin sol tarafına koyarız. Sonuç olarak, küçük bir hatayla sağ taraftaki sayıları almalısınız.

Örnek 8

Cevabı sıradan uygunsuz kesirlerle sunun. Bir kontrol yapın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (son tasarım örneği ve dersin sonundaki cevap).

Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem için Cramer kuralını ele alalım:

Sistemin ana belirleyicisini buluyoruz:

Eğer ise, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır veya tutarsızdır (çözümleri yoktur). Bu durumda Cramer kuralı yardımcı olmayacaktır; Gauss yöntemini kullanmanız gerekir.

Eğer ise sistemin tek bir çözümü vardır ve kökleri bulmak için üç belirleyiciyi daha hesaplamamız gerekir:
, ,

Ve son olarak cevap şu formüller kullanılarak hesaplanır:

Gördüğünüz gibi, "üçe üç" durumu temelde "ikiye iki" durumundan farklı değildir; serbest terimler sütunu, ana belirleyicinin sütunları boyunca sırayla soldan sağa "yürür".

Örnek 9

Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözün.

Çözüm: Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözelim.

Bu, sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına gelir.

Cevap: .

Aslında burada da yine yorumlanacak özel bir şey yok, çünkü çözüm hazır formüllere dayanıyor. Ama birkaç yorum var.

Hesaplamalar sonucunda "kötü" indirgenemez kesirler elde edilir, örneğin: .
Aşağıdaki “tedavi” algoritmasını öneriyorum. Elinizde bir bilgisayar yoksa şunu yapın:

1) Hesaplamalarda hata olabilir. “Kötü” bir kesirle karşılaştığınızda hemen kontrol etmeniz gerekir. Koşul doğru şekilde yeniden yazıldı mı?. Koşul hatasız olarak yeniden yazılırsa, başka bir satırdaki (sütun) genişletmeyi kullanarak belirleyicileri yeniden hesaplamanız gerekir.

2) Kontrol sonucunda herhangi bir hata tespit edilmezse, büyük olasılıkla görev koşullarında bir yazım hatası olmuştur. Bu durumda, görevin sonuna kadar sakin ve DİKKATLİ bir şekilde çalışın ve ardından kontrol ettiğinizden emin olun karar verdikten sonra temiz bir sayfaya çiziyoruz. Elbette kesirli bir cevabı kontrol etmek hoş olmayan bir iştir, ancak bu, gibi saçmalıklara eksi vermeyi gerçekten seven öğretmen için silahsızlandırıcı bir argüman olacaktır. Kesirlerin nasıl ele alınacağı Örnek 8'in yanıtında ayrıntılı olarak anlatılmıştır.

Elinizde bir bilgisayarınız varsa, dersin başında ücretsiz olarak indirebileceğiniz otomatik bir kontrol programı kullanın. Bu arada, programı hemen kullanmak en karlısıdır (hatta çözüme başlamadan önce); hata yaptığınız ara adımı hemen göreceksiniz! Aynı hesap makinesi matris yöntemini kullanarak sistemin çözümünü otomatik olarak hesaplar.

İkinci açıklama. Zaman zaman denklemlerde bazı değişkenlerin eksik olduğu sistemler de olabiliyor, örneğin:

Burada ilk denklemde değişken yok, ikincisinde ise değişken yok. Bu gibi durumlarda ana belirleyiciyi doğru ve DİKKATLİ bir şekilde yazmak çok önemlidir:
– eksik değişkenlerin yerine sıfırlar konur.
Bu arada, gözle görülür derecede daha az hesaplama olduğundan, sıfırın bulunduğu satıra (sütun) göre determinantları sıfırlarla açmak mantıklıdır.

Örnek 10

Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözün.

Bu, bağımsız bir çözüm örneğidir (son tasarımın bir örneği ve dersin sonundaki cevap).

4 bilinmeyenli 4 denklemden oluşan bir sistem için Cramer formülleri benzer prensiplere göre yazılır. Determinantların Özellikleri dersinde canlı bir örnek görebilirsiniz. Determinantın sırasını azaltmak - 4. dereceden beş determinant oldukça çözülebilir. Her ne kadar görev zaten şanslı bir öğrencinin göğsündeki profesör ayakkabısını andırıyor olsa da.

Ters matris kullanarak sistemi çözme

Ters matris yöntemi aslında özel bir durumdur matris denklemi(Belirtilen dersin 3 numaralı örneğine bakınız).

Bu bölümü incelemek için determinantları genişletebilmeniz, bir matrisin tersini bulabilmeniz ve matris çarpımını yapabilmeniz gerekir. Açıklamalar ilerledikçe ilgili bağlantılar verilecektir.

Örnek 11

Sistemi matris yöntemini kullanarak çözün

Çözüm: Sistemi matris formunda yazalım:
, Nerede

Lütfen denklem ve matris sistemine bakın. Öğeleri matrislere yazma prensibimizi herkesin anladığını düşünüyorum. Tek yorum: Denklemlerde bazı değişkenler eksik olsaydı, matriste karşılık gelen yerlere sıfırların yerleştirilmesi gerekirdi.

Ters matrisi aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:
matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının aktarılmış matrisi nerede.

Öncelikle determinantı inceleyelim:

Burada determinant ilk satırda genişletilir.

Dikkat! Eğer öyleyse, ters matris mevcut değildir ve sistemi matris yöntemini kullanarak çözmek imkansızdır. Bu durumda sistem bilinmeyenlerin ortadan kaldırılması yöntemi (Gauss yöntemi) ile çözülür.

Şimdi 9 minör hesaplayıp bunları minör matrisine yazmamız gerekiyor

Referans: Doğrusal cebirde çift indislerin anlamını bilmek faydalıdır. İlk hane, elemanın bulunduğu satırın numarasıdır. İkinci rakam, elemanın bulunduğu sütunun numarasıdır:

Yani, çift alt simge, öğenin birinci satırda, üçüncü sütunda olduğunu ve örneğin öğenin 3 satır, 2 sütunda olduğunu gösterir.

Çözüm sırasında reşit olmayanların hesaplanmasını ayrıntılı olarak açıklamak daha iyidir, ancak bazı deneyimlerle bunları sözlü olarak hatalarla hesaplamaya alışabilirsiniz.