Giới hạn tuyệt vời 1 và 2 là ví dụ về giải pháp. Giới hạn đáng chú ý thứ nhất: lý thuyết và ví dụ

Có một số giới hạn đáng chú ý, nhưng nổi tiếng nhất là giới hạn đáng chú ý thứ nhất và thứ hai. Điều đáng chú ý về những giới hạn này là chúng được sử dụng rộng rãi và với sự trợ giúp của chúng người ta có thể tìm ra những giới hạn khác gặp phải trong nhiều bài toán. Đây là những gì chúng ta sẽ làm trong phần thực hành của bài học này. Để giải quyết vấn đề bằng cách giảm chúng đến giới hạn đáng chú ý thứ nhất hoặc thứ hai, không cần phải tiết lộ độ không đảm bảo chứa trong chúng, vì giá trị của các giới hạn này đã được các nhà toán học vĩ đại suy ra từ lâu.

Giới hạn tuyệt vời đầu tiênđược gọi là giới hạn của tỉ số sin của một cung vô cùng nhỏ với cùng một cung, biểu thị bằng đơn vị radian:

Hãy chuyển sang giải các bài toán ở giới hạn đáng chú ý đầu tiên. Lưu ý: nếu có hàm lượng giác dưới dấu giới hạn thì đây là dấu hiệu gần như chắc chắn rằng biểu thức này có thể rút gọn về giới hạn đáng chú ý đầu tiên.

Ví dụ 1. Tìm giới hạn.

Giải pháp. Thay thế thay thế x số 0 dẫn đến sự không chắc chắn:

.

Mẫu số là sin, do đó, biểu thức có thể đạt tới giới hạn đáng chú ý đầu tiên. Hãy bắt đầu chuyển đổi:

.

Mẫu số là sin của ba X, nhưng tử số chỉ có một X, nghĩa là bạn cần lấy ba X ở tử số. Để làm gì? Để giới thiệu 3 x = Một và nhận được biểu thức .

Và chúng ta đi đến một biến thể của giới hạn đáng chú ý đầu tiên:

bởi vì việc chữ cái (biến) nào trong công thức này thay vì X không quan trọng.

Chúng tôi nhân X với ba và chia ngay:

.

Theo giới hạn đáng chú ý đầu tiên nhận thấy, chúng tôi thay thế biểu thức phân số:

Bây giờ cuối cùng chúng ta có thể giải quyết giới hạn này:

.

Ví dụ 2. Tìm giới hạn.

Giải pháp. Sự thay thế trực tiếp một lần nữa dẫn đến độ không chắc chắn “số 0 chia cho số 0”:

.

Để có được giới hạn đáng chú ý đầu tiên, điều cần thiết là x dưới dấu sin ở tử số và chỉ x ở mẫu số phải có cùng hệ số. Giả sử hệ số này bằng 2. Để làm điều này, hãy tưởng tượng hệ số hiện tại của x như dưới đây, thực hiện các phép tính với phân số, ta thu được:

.

Ví dụ 3. Tìm giới hạn.

Giải pháp. Khi thay thế, chúng ta lại nhận được độ bất định “số 0 chia cho số 0”:

.

Có thể bạn đã hiểu rằng từ biểu thức ban đầu bạn có thể nhận được giới hạn tuyệt vời đầu tiên nhân với giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Để làm điều này, chúng ta phân tách bình phương của x ở tử số và sin ở mẫu số thành các thừa số giống hệt nhau, và để có cùng hệ số cho x và sin, chúng ta chia x ở tử số cho 3 rồi nhân ngay bằng 3. Chúng tôi nhận được:

.

Ví dụ 4. Tìm giới hạn.

Giải pháp. Một lần nữa chúng ta nhận được độ bất định “số 0 chia cho số 0”:

.

Chúng ta có thể thu được tỉ số của hai giới hạn đáng chú ý đầu tiên. Ta chia cả tử số và mẫu số cho x. Sau đó, để các hệ số của sin và xes trùng nhau, chúng ta nhân x trên với 2 rồi chia ngay cho 2, nhân x dưới với 3 rồi chia ngay cho 3. Ta được:

Ví dụ 5. Tìm giới hạn.

Giải pháp. Và một lần nữa sự không chắc chắn của “số 0 chia cho số 0”:

Chúng ta nhớ từ lượng giác rằng tiếp tuyến là tỉ số của sin với cosin, và cosin của 0 bằng một. Chúng tôi thực hiện các phép biến đổi và nhận được:

.

Ví dụ 6. Tìm giới hạn.

Giải pháp. Hàm lượng giác dưới dấu của giới hạn một lần nữa gợi ý việc sử dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên. Chúng tôi biểu thị nó dưới dạng tỷ lệ của sin và cos.

Từ bài viết trên, bạn có thể tìm ra giới hạn là gì và nó được ăn với gì - điều này RẤT quan trọng. Tại sao? Bạn có thể không hiểu định thức là gì và giải chúng thành công; bạn có thể không hiểu đạo hàm là gì và tìm thấy chúng với chữ “A”. Nhưng nếu bạn không hiểu giới hạn là gì thì việc giải quyết các nhiệm vụ thực tế sẽ khó khăn. Bạn cũng nên tự làm quen với các giải pháp mẫu và đề xuất thiết kế của tôi. Tất cả thông tin được trình bày dưới dạng đơn giản và dễ tiếp cận.

Và với mục đích của bài học này, chúng ta sẽ cần những tài liệu giảng dạy sau: Giới hạn tuyệt vời Và Công thức lượng giác. Họ có thể được tìm thấy trên trang. Tốt nhất bạn nên in sách hướng dẫn ra - sẽ tiện lợi hơn rất nhiều, hơn nữa, bạn sẽ thường xuyên phải tham khảo ngoại tuyến.

Những giới hạn đáng chú ý có gì đặc biệt? Điều đáng chú ý về những giới hạn này là chúng đã được chứng minh bởi bộ óc vĩ đại nhất của các nhà toán học nổi tiếng, và con cháu biết ơn không phải chịu những giới hạn khủng khiếp với hàng đống hàm lượng giác, logarit, lũy thừa. Nghĩa là khi tìm giới hạn, chúng ta sẽ sử dụng những kết quả có sẵn đã được chứng minh về mặt lý thuyết.

Có một số giới hạn tuyệt vời, nhưng trên thực tế, trong 95% trường hợp, sinh viên bán thời gian có hai giới hạn tuyệt vời: Giới hạn tuyệt vời đầu tiên, Giới hạn tuyệt vời thứ hai. Cần lưu ý rằng đây là những cái tên đã được thiết lập trong lịch sử, và chẳng hạn, khi họ nói về “giới hạn đáng chú ý đầu tiên”, họ có ý nói đây là một điều rất cụ thể chứ không phải một giới hạn ngẫu nhiên nào đó được lấy từ trần nhà.

Giới hạn tuyệt vời đầu tiên

Hãy xem xét giới hạn sau: (thay vì chữ cái gốc “anh ấy”, tôi sẽ sử dụng chữ cái Hy Lạp “alpha”, điều này thuận tiện hơn từ quan điểm trình bày tài liệu).

Theo quy tắc tìm giới hạn của chúng tôi (xem bài viết Hạn mức. Ví dụ về giải pháp) chúng ta cố gắng thay thế số 0 vào hàm: ở tử số, chúng ta nhận được số 0 (sin của 0 bằng 0), và ở mẫu số, rõ ràng, cũng có số 0. Vì vậy, chúng ta phải đối mặt với sự không chắc chắn về hình thức, may mắn thay, điều này không cần phải tiết lộ. Trong quá trình phân tích toán học, người ta đã chứng minh rằng:

Thực tế toán học này được gọi là Giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Tôi sẽ không đưa ra bằng chứng phân tích về giới hạn, nhưng chúng ta sẽ xem xét ý nghĩa hình học của nó trong bài học về hàm số vô cùng nhỏ.

Thông thường trong các nhiệm vụ thực tế, các chức năng có thể được sắp xếp khác nhau, điều này không thay đổi gì cả:

- cùng một giới hạn tuyệt vời đầu tiên.

Nhưng bạn không thể tự mình sắp xếp lại tử số và mẫu số! Nếu một giới hạn được cho dưới dạng , thì nó phải được giải theo cùng một dạng, không cần sắp xếp lại bất cứ thứ gì.

Trong thực tế, không chỉ một biến mà cả hàm cơ bản hoặc hàm phức tạp đều có thể đóng vai trò là tham số. Điều quan trọng duy nhất là nó có xu hướng về 0.

Ví dụ:
, , ,

Đây , , , , và mọi thứ đều tốt - giới hạn tuyệt vời đầu tiên được áp dụng.

Nhưng mục sau đây là dị giáo:

Tại sao? Bởi vì đa thức không có xu hướng về 0 nên nó có xu hướng về 5.

Nhân tiện, một câu hỏi nhanh: giới hạn là bao nhiêu? ? Câu trả lời có thể được tìm thấy ở cuối bài học.

Trong thực tế, không phải mọi thứ đều suôn sẻ như vậy; hầu như không bao giờ học sinh được đề nghị giải một giới hạn miễn phí và vượt qua dễ dàng. Hmmm... Tôi đang viết những dòng này và một ý nghĩ rất quan trọng chợt đến trong đầu - xét cho cùng, tốt hơn hết bạn nên nhớ thuộc lòng các định nghĩa và công thức toán học “miễn phí”, điều này có thể mang lại sự trợ giúp vô giá trong bài kiểm tra, khi câu hỏi sẽ được quyết định giữa “hai” và “ba”, và giáo viên quyết định hỏi học sinh một số câu hỏi đơn giản hoặc đề nghị giải một ví dụ đơn giản (“có thể học sinh vẫn biết gì?!”).

Hãy chuyển sang xem xét các ví dụ thực tế:

ví dụ 1

Tìm giới hạn

Nếu chúng ta nhận thấy có một sin trong giới hạn, thì điều này ngay lập tức khiến chúng ta nghĩ đến khả năng áp dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên.

Đầu tiên, chúng tôi cố gắng thay thế 0 vào biểu thức dưới dấu giới hạn (chúng tôi thực hiện việc này trong đầu hoặc trong bản nháp):

Vì vậy, chúng tôi có sự không chắc chắn về hình thức hãy chắc chắn để chỉ ra trong việc đưa ra quyết định. Biểu thức dưới dấu giới hạn tương tự như giới hạn tuyệt vời đầu tiên, nhưng đây không hẳn là nó, nó nằm dưới sin, mà ở mẫu số.

Trong những trường hợp như vậy, chúng ta cần tự mình tổ chức giới hạn đáng chú ý đầu tiên bằng cách sử dụng kỹ thuật nhân tạo. Dòng lý luận có thể như sau: “dưới sin chúng ta có , có nghĩa là chúng ta cũng cần lấy mẫu số.”
Và việc này được thực hiện rất đơn giản:

Nghĩa là, mẫu số được nhân một cách giả tạo trong trường hợp này với 7 và chia cho bảy. Bây giờ bản ghi của chúng tôi đã có hình dạng quen thuộc.
Khi nhiệm vụ được vẽ bằng tay, nên đánh dấu giới hạn đáng chú ý đầu tiên bằng bút chì đơn giản:

Chuyện gì đã xảy ra thế? Trên thực tế, biểu thức khoanh tròn của chúng tôi đã biến thành một đơn vị và biến mất trong tác phẩm:

Bây giờ tất cả những gì còn lại là loại bỏ phần ba câu chuyện:

Ai quên rút gọn phân số nhiều cấp hãy làm mới tài liệu trong sách tham khảo Những công thức hot cho môn toán học đường .

Sẵn sàng. Câu trả lời cuối cùng:

Nếu bạn không muốn sử dụng dấu bút chì thì lời giải có thể được viết như sau:

“

Hãy sử dụng giới hạn tuyệt vời đầu tiên

“

Ví dụ 2

Tìm giới hạn

Một lần nữa chúng ta thấy một phân số và một sin ở giới hạn. Hãy thử thay số 0 vào tử số và mẫu số:

Thật vậy, chúng ta có sự không chắc chắn và do đó, chúng ta cần cố gắng sắp xếp giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Tại bài học Hạn mức. Ví dụ về giải pháp chúng ta đã xem xét quy tắc rằng khi chúng ta có sự không chắc chắn, chúng ta cần phân tích tử số và mẫu số. Điều tương tự cũng xảy ra ở đây, chúng ta sẽ biểu diễn các độ dưới dạng tích số (số nhân):

Tương tự như ví dụ trước, chúng ta vẽ bút chì xung quanh các giới hạn đáng chú ý (ở đây có hai giới hạn trong số đó) và chỉ ra rằng chúng có xu hướng thống nhất:

Trên thực tế, câu trả lời đã sẵn sàng:

Trong các ví dụ sau, tôi sẽ không vẽ nghệ thuật trong Paint, tôi nghĩ cách vẽ một giải pháp vào sổ một cách chính xác - bạn đã hiểu rồi.

Ví dụ 3

Tìm giới hạn

Chúng ta thay số 0 vào biểu thức dưới dấu giới hạn:

Một điều không chắc chắn đã đạt được cần phải được tiết lộ. Nếu có một tiếp tuyến trong giới hạn, thì nó hầu như luôn được chuyển đổi thành sin và cosin bằng cách sử dụng công thức lượng giác nổi tiếng (nhân tiện, họ thực hiện điều tương tự với cotang, xem tài liệu phương pháp luận Công thức lượng giác nóng Trên trang Công thức toán học, bảng biểu và tài liệu tham khảo).

Trong trường hợp này:

Cosin của 0 bằng 1 và rất dễ loại bỏ nó (đừng quên đánh dấu rằng nó có xu hướng bằng 1):

Do đó, nếu trong giới hạn, cosine là SỐ NHÂN, thì nói một cách đại khái, nó cần phải được biến thành một đơn vị, đơn vị này sẽ biến mất trong tích.

Ở đây mọi thứ trở nên đơn giản hơn, không có bất kỳ phép nhân và phép chia nào. Giới hạn đáng chú ý đầu tiên cũng biến thành một và biến mất trong tích:

Kết quả là đạt được vô cực và điều này xảy ra.

Ví dụ 4

Tìm giới hạn

Hãy thử thay số 0 vào tử số và mẫu số:

Độ không đảm bảo thu được (cos của 0, như chúng ta nhớ, bằng một)

Chúng tôi sử dụng công thức lượng giác. Hãy lưu ý! Vì lý do nào đó, các giới hạn sử dụng công thức này rất phổ biến.

Chúng ta hãy di chuyển các hệ số không đổi ra ngoài biểu tượng giới hạn:

Hãy tổ chức giới hạn tuyệt vời đầu tiên:

Ở đây chúng ta chỉ có một giới hạn đáng chú ý, giới hạn này biến thành một và biến mất trong tích:

Hãy thoát khỏi cấu trúc ba tầng:

Giới hạn thực sự đã được giải quyết, chúng tôi chỉ ra rằng sin còn lại có xu hướng bằng 0:

Ví dụ 5

Tìm giới hạn

Ví dụ này phức tạp hơn, hãy thử tự mình tìm ra:

Một số giới hạn có thể được giảm xuống giới hạn đáng chú ý thứ nhất bằng cách thay đổi một biến, bạn có thể đọc về điều này ở phần sau của bài viết Các phương pháp giải giới hạn.

Giới hạn tuyệt vời thứ hai

Lý thuyết phân tích toán học đã chứng minh rằng:

Thực tế này được gọi là giới hạn tuyệt vời thứ hai.

Thẩm quyền giải quyết: là một số vô tỷ.

Tham số có thể không chỉ là một biến mà còn là một hàm phức tạp. Điều quan trọng duy nhất là nó phấn đấu đến vô cùng.

Ví dụ 6

Tìm giới hạn

Khi biểu thức dưới dấu giới hạn là một độ thì đây là dấu hiệu đầu tiên cho thấy bạn cần thử áp dụng giới hạn tuyệt vời thứ hai.

Nhưng trước tiên, như mọi khi, chúng ta cố gắng thay thế một số lượng lớn vô hạn vào biểu thức, nguyên tắc thực hiện điều này đã được thảo luận trong bài học. Hạn mức. Ví dụ về giải pháp.

Dễ dàng nhận thấy rằng khi cơ số của bậc là , và số mũ là , nghĩa là có sự không chắc chắn về dạng:

Sự không chắc chắn này được tiết lộ một cách chính xác nhờ sự trợ giúp của giới hạn đáng chú ý thứ hai. Tuy nhiên, như thường lệ, giới hạn tuyệt vời thứ hai không nằm trên một chiếc đĩa bạc, và nó cần được tổ chức một cách giả tạo. Bạn có thể lý do như sau: trong ví dụ này tham số là , có nghĩa là chúng ta cũng cần sắp xếp trong chỉ báo. Để làm điều này, chúng ta nâng cơ số lên lũy thừa và để biểu thức không thay đổi, chúng ta nâng nó lên lũy thừa:

Khi nhiệm vụ được hoàn thành bằng tay, chúng tôi đánh dấu bằng bút chì:

Hầu như mọi thứ đã sẵn sàng, mức độ khủng khiếp đã biến thành một bức thư hay:

Trong trường hợp này, chúng tôi di chuyển biểu tượng giới hạn sang chỉ báo:

Ví dụ 7

Tìm giới hạn

Chú ý! Loại giới hạn này xảy ra rất thường xuyên, hãy nghiên cứu thật kỹ ví dụ này.

Hãy thử thay một số vô cùng lớn vào biểu thức dưới dấu giới hạn:

Kết quả là sự không chắc chắn. Nhưng giới hạn đáng chú ý thứ hai áp dụng cho tính không chắc chắn của hình thức. Phải làm gì? Chúng ta cần chuyển đổi cơ số của độ. Chúng ta lý luận như sau: ở mẫu số chúng ta có , nghĩa là ở tử số chúng ta cũng cần tổ chức .

Bây giờ, với tâm hồn bình tĩnh, chúng ta hãy chuyển sang xem xét giới hạn tuyệt vời.
giống như .

Thay vì biến x, có thể có nhiều hàm khác nhau, điều chính là chúng có xu hướng về 0.

Cần tính giới hạn

Như bạn có thể thấy, giới hạn này rất giống với giới hạn tuyệt vời đầu tiên, nhưng điều này không hoàn toàn đúng. Nói chung, nếu bạn nhận thấy tội lỗi trong giới hạn, thì bạn nên nghĩ ngay đến việc liệu có thể sử dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên hay không.

Theo quy tắc số 1 của chúng tôi, chúng tôi thay thế số 0 thay vì x:

Chúng tôi nhận được sự không chắc chắn.

Bây giờ chúng ta hãy cố gắng tự mình sắp xếp giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Để làm điều này, hãy thực hiện một sự kết hợp đơn giản:

Vậy ta sắp xếp tử số và mẫu số để làm nổi bật 7x. Bây giờ giới hạn đáng chú ý quen thuộc đã xuất hiện. Nên làm nổi bật nó khi quyết định:

Hãy thay thế giải pháp cho ví dụ đáng chú ý đầu tiên và nhận được:

Rút gọn phân số:

Đáp án: 7/3.

Như bạn có thể thấy, mọi thứ đều rất đơn giản.

Giống như , trong đó e = 2,718281828... là số vô tỷ.

Nhiều hàm khác nhau có thể xuất hiện thay vì biến x, vấn đề chính là chúng có xu hướng .

Cần tính giới hạn

Ở đây chúng ta thấy sự hiện diện của một bậc dưới dấu của giới hạn, nghĩa là có thể sử dụng giới hạn đáng chú ý thứ hai.

Như thường lệ, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc số 1 - thay thế x thay vì:

Có thể thấy rằng tại x cơ số của bậc là , và số mũ là 4x > , tức là chúng ta thu được độ không đảm bảo có dạng:

Hãy sử dụng giới hạn tuyệt vời thứ hai để bộc lộ sự không chắc chắn của chúng ta, nhưng trước tiên chúng ta cần sắp xếp nó. Như bạn có thể thấy, chúng ta cần đạt được sự hiện diện trong chỉ báo, nhờ đó chúng ta nâng cơ số lên lũy thừa 3x, đồng thời lên lũy thừa 1/3x, để biểu thức không thay đổi:

Đừng quên nêu bật giới hạn tuyệt vời của chúng tôi:

Họ thực sự là như vậy giới hạn tuyệt vời!
Nếu bạn vẫn còn thắc mắc về giới hạn tuyệt vời thứ nhất và thứ hai, thì hãy thoải mái hỏi họ trong phần bình luận.
Chúng tôi sẽ trả lời mọi người nhiều nhất có thể.

Bạn cũng có thể làm việc với giáo viên về chủ đề này.
Chúng tôi rất hân hạnh được cung cấp cho bạn dịch vụ lựa chọn gia sư có năng lực tại thành phố của bạn. Các đối tác của chúng tôi sẽ nhanh chóng lựa chọn một giáo viên giỏi cho bạn với những điều kiện có lợi.

Không đủ thông tin? - Bạn có thể !

Bạn có thể viết các phép tính toán vào sổ ghi chú. Sẽ dễ chịu hơn nhiều khi viết riêng lẻ vào sổ tay có logo (http://www.blocnot.ru).

Giới hạn đáng chú ý đầu tiên là đẳng thức sau:

\begin(phương trình)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(phương trình)

Vì với $\alpha\to(0)$ chúng ta có $\sin\alpha\to(0)$, họ nói rằng giới hạn đáng chú ý đầu tiên cho thấy sự không chắc chắn có dạng $\frac(0)(0)$. Nói chung, trong công thức (1), thay vì biến $\alpha$, bất kỳ biểu thức nào cũng có thể được đặt dưới dấu sin và trong mẫu số, miễn là đáp ứng được hai điều kiện:

1. Các biểu thức dưới dấu sin và trong mẫu số đồng thời có xu hướng bằng 0, tức là có sự không chắc chắn ở dạng $\frac(0)(0)$.
2. Các biểu thức dưới dấu sin và ở mẫu số đều giống nhau.

Hệ quả từ giới hạn đáng chú ý đầu tiên cũng thường được sử dụng:

\begin(phương trình) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(phương trình)

Mười một ví dụ được giải quyết trên trang này. Ví dụ số 1 được dành cho việc chứng minh công thức (2)-(4). Ví dụ số 2, số 3, số 4 và số 5 có lời giải kèm theo nhận xét chi tiết. Các ví dụ số 6-10 bao gồm các giải pháp hầu như không có nhận xét nào vì các giải thích chi tiết đã được đưa ra trong các ví dụ trước. Giải pháp sử dụng một số công thức lượng giác có thể tìm thấy.

Hãy để tôi lưu ý rằng sự hiện diện của các hàm lượng giác cùng với độ bất định $\frac (0) (0)$ không nhất thiết có nghĩa là áp dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên. Đôi khi các phép biến đổi lượng giác đơn giản là đủ - ví dụ, xem.

Ví dụ số 1

Chứng minh rằng $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Vì $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, nên:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Vì $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ và $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Cái đó:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Hãy thực hiện thay đổi $\alpha=\sin(y)$. Vì $\sin(0)=0$, nên từ điều kiện $\alpha\to(0)$ chúng ta có $y\to(0)$. Ngoài ra, còn có một lân cận của số 0 trong đó $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, vì vậy:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Đẳng thức $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ đã được chứng minh.

c) Hãy thay thế $\alpha=\tg(y)$. Vì $\tg(0)=0$, nên các điều kiện $\alpha\to(0)$ và $y\to(0)$ là tương đương. Ngoài ra, còn tồn tại một lân cận của số 0 trong đó $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, do đó, dựa vào kết quả của điểm a), ta sẽ có:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Đẳng thức $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ đã được chứng minh.

Các đẳng thức a), b), c) thường được sử dụng cùng với giới hạn đáng chú ý thứ nhất.

Ví dụ số 2

Tính giới hạn $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

Vì $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ và $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, tức là. và tử số và mẫu số của phân số đồng thời có xu hướng bằng 0, thì ở đây chúng ta đang xử lý độ bất định có dạng $\frac(0)(0)$, tức là xong. Ngoài ra, rõ ràng là các biểu thức dưới dấu sin và ở mẫu số trùng nhau (tức là và thỏa mãn):

Vì vậy, cả hai điều kiện được liệt kê ở đầu trang đều được đáp ứng. Từ đó công thức có thể áp dụng được, tức là $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Trả lời: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Ví dụ số 3

Tìm $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Vì $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ và $\lim_(x\to(0))x=0$, nên chúng ta đang xử lý độ bất định có dạng $\frac (0 )(0)$, tức là xong. Tuy nhiên, các biểu thức dưới dấu sin và ở mẫu số không trùng nhau. Ở đây bạn cần điều chỉnh biểu thức ở mẫu số về dạng mong muốn. Chúng ta cần biểu thức $9x$ ở mẫu số thì nó sẽ trở thành đúng. Về cơ bản, chúng ta thiếu hệ số $9$ trong mẫu số, hệ số này không khó để nhập—chỉ cần nhân biểu thức ở mẫu số với $9$. Đương nhiên, để bù cho phép nhân với $9$, bạn sẽ phải chia ngay cho $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Bây giờ các biểu thức ở mẫu số và dưới dấu sin trùng nhau. Cả hai điều kiện cho giới hạn $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ đều được thỏa mãn. Do đó, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Và điều này có nghĩa là:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Trả lời: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Ví dụ số 4

Tìm $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Vì $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ và $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, ở đây chúng ta đang xử lý sự không chắc chắn của dạng $\frac(0)(0)$. Tuy nhiên, dạng của giới hạn đáng chú ý đầu tiên bị vi phạm. Tử số chứa $\sin(5x)$ yêu cầu mẫu số là $5x$. Trong tình huống này, cách dễ nhất là chia tử số cho $5x$ và nhân ngay với $5x$. Ngoài ra, chúng ta sẽ thực hiện thao tác tương tự với mẫu số, nhân và chia $\tg(8x)$ cho $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Giảm $x$ và lấy hằng số $\frac(5)(8)$ bên ngoài dấu giới hạn, chúng ta nhận được:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Lưu ý rằng $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ đáp ứng đầy đủ các yêu cầu về giới hạn đáng chú ý đầu tiên. Để tìm $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, công thức sau có thể áp dụng:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Trả lời: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Ví dụ số 5

Tìm $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Vì $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (hãy nhớ rằng $\cos(0)=1$) và $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, thì chúng ta đang xử lý sự bất định của dạng $\frac(0)(0)$. Tuy nhiên, để áp dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên, bạn nên loại bỏ cosin trong tử số, chuyển sang sin (để áp dụng công thức) hoặc tiếp tuyến (để áp dụng công thức). Điều này có thể được thực hiện bằng phép biến đổi sau:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Hãy quay trở lại giới hạn:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Phân số $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ đã gần với dạng cần thiết cho giới hạn đáng chú ý đầu tiên. Chúng ta hãy làm việc một chút với phân số $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, điều chỉnh nó về giới hạn đáng chú ý đầu tiên (lưu ý rằng các biểu thức trong tử số và dưới sin phải khớp nhau):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Hãy quay trở lại giới hạn trong câu hỏi:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25. $$

Trả lời: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Ví dụ số 6

Tìm giới hạn $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Vì $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ và $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, nên chúng ta đang đối mặt với sự không chắc chắn $\frac(0)(0)$. Hãy để chúng tôi tiết lộ nó với sự trợ giúp của giới hạn đáng chú ý đầu tiên. Để làm điều này, hãy chuyển từ cosin sang sin. Vì $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, nên:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Chuyển sang hàm sin trong giới hạn đã cho, ta sẽ có:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Trả lời: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Ví dụ số 7

Tính giới hạn $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ tùy thuộc vào $\alpha\neq \ beta$.

Những giải thích chi tiết đã được đưa ra trước đó, nhưng ở đây chúng tôi chỉ lưu ý rằng một lần nữa có sự không chắc chắn $\frac(0)(0)$. Hãy chuyển từ cosin sang sin bằng công thức

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Sử dụng công thức này, chúng tôi nhận được:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\phải| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Trả lời: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2)(2)$.

Ví dụ số 8

Tìm giới hạn $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Vì $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (hãy nhớ rằng $\sin(0)=\tg(0)=0$) và $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, thì ở đây chúng ta đang xử lý sự bất định của dạng $\frac(0)(0)$. Hãy chia nhỏ nó như sau:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Trả lời: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Ví dụ số 9

Tìm giới hạn $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Vì $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ và $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, thì có sự bất định ở dạng $\frac(0)(0)$. Trước khi tiếp tục mở rộng, sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện thay đổi biến sao cho biến mới có xu hướng về 0 (lưu ý rằng trong các công thức, biến $\alpha \to 0$). Cách dễ nhất là giới thiệu biến $t=x-3$. Tuy nhiên, để thuận tiện cho các phép biến đổi tiếp theo (có thể thấy lợi ích này trong quá trình thực hiện giải pháp bên dưới), nên thực hiện thay thế sau: $t=\frac(x-3)(2)$. Tôi lưu ý rằng cả hai phép thay thế đều có thể áp dụng trong trường hợp này, chỉ là phép thay thế thứ hai sẽ cho phép bạn làm việc ít hơn với phân số. Vì $x\to(3)$, nên $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Trả lời: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Ví dụ số 10

Tìm giới hạn $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Một lần nữa chúng ta lại phải đối mặt với sự không chắc chắn $\frac(0)(0)$. Trước khi tiếp tục mở rộng, sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện thay đổi biến theo cách mà biến mới có xu hướng về 0 (lưu ý rằng trong các công thức, biến là $\alpha\to(0)$). Cách dễ nhất là giới thiệu biến $t=\frac(\pi)(2)-x$. Vì $x\to\frac(\pi)(2)$, nên $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Trả lời: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Ví dụ số 11

Tìm các giới hạn $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Trong trường hợp này chúng ta không phải sử dụng giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Xin lưu ý rằng cả giới hạn thứ nhất và giới hạn thứ hai chỉ chứa các hàm và số lượng giác. Thông thường trong các ví dụ thuộc loại này, có thể đơn giản hóa biểu thức nằm dưới dấu giới hạn. Hơn nữa, sau khi đơn giản hóa và giảm bớt một số yếu tố nói trên, sự không chắc chắn sẽ biến mất. Tôi đưa ra ví dụ này chỉ nhằm mục đích duy nhất: để chỉ ra rằng sự có mặt của các hàm lượng giác dưới dấu giới hạn không nhất thiết có nghĩa là việc sử dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên.

Vì $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (hãy nhớ rằng $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) và $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (để tôi nhắc bạn rằng $\cos\frac(\pi)(2)=0$), thì ta có xử lý sự không chắc chắn có dạng $\frac(0)(0)$. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là chúng ta sẽ cần sử dụng giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Để phát hiện độ không đảm bảo, chỉ cần xét đến $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Có một cách giải tương tự trong sách giải của Demidovich (số 475). Đối với giới hạn thứ hai, như trong các ví dụ trước trong phần này, chúng ta có độ bất định có dạng $\frac(0)(0)$. Tại sao nó lại phát sinh? Nó phát sinh vì $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ và $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Chúng ta sử dụng các giá trị này để biến đổi các biểu thức ở tử số và mẫu số. Mục tiêu hành động của chúng ta là viết tổng ở tử số và mẫu số dưới dạng tích. Nhân tiện, thường trong cùng một loại, việc thay đổi một biến sẽ rất thuận tiện, được thực hiện sao cho biến mới có xu hướng về 0 (ví dụ: xem ví dụ số 9 hoặc số 10 trên trang này). Tuy nhiên, trong ví dụ này không có ích gì khi thay thế, mặc dù nếu muốn, việc thay thế biến $t=x-\frac(2\pi)(3)$ không khó thực hiện.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Như bạn có thể thấy, chúng ta không cần phải áp dụng giới hạn tuyệt vời đầu tiên. Tất nhiên, bạn có thể làm điều này nếu muốn (xem ghi chú bên dưới), nhưng điều đó là không cần thiết.

Giải pháp sử dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên là gì? hiện an

Sử dụng giới hạn đáng chú ý đầu tiên, chúng tôi nhận được:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ phải))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Trả lời: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Bằng chứng:

Trước hết ta chứng minh định lý cho trường hợp dãy

Theo công thức nhị thức Newton:

Giả sử chúng ta nhận được

Từ đẳng thức (1) này, suy ra rằng khi n tăng thì số số hạng dương ở vế phải cũng tăng. Ngoài ra, khi n tăng thì số lượng giảm nên giá trị Đang tăng lên. Do đó trình tự tăng và (2)*Ta chứng minh nó bị chặn. Thay mỗi dấu ngoặc đơn ở vế phải của đẳng thức bằng một, vế phải sẽ tăng lên, ta được bất đẳng thức

Hãy củng cố bất đẳng thức thu được, thay 3,4,5, ..., đứng trong mẫu số của các phân số, bằng số 2: Chúng ta tìm tổng trong ngoặc bằng công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân: Vì thế (3)*

Vì vậy, dãy bị chặn từ trên và các bất đẳng thức (2) và (3) được thỏa mãn: Do đó, dựa trên định lý Weierstrass (tiêu chuẩn cho sự hội tụ của một chuỗi), dãy tăng đơn điệu và bị giới hạn, nghĩa là nó có một giới hạn, ký hiệu là chữ e. Những thứ kia.

Biết giới hạn đáng chú ý thứ hai đúng với các giá trị tự nhiên của x, ta chứng minh giới hạn đáng chú ý thứ hai đối với x thực, tức là ta chứng minh rằng . Hãy xem xét hai trường hợp:

1. Cho mỗi giá trị của x được đặt giữa hai số nguyên dương: ,trong đó là phần nguyên của x. => =>

Nếu , thì Do đó, theo giới hạn Chúng ta có

Dựa vào tiêu chí (về giới hạn của hàm trung gian) về sự tồn tại của giới hạn

2. Hãy để . Hãy thay thế − x = t, sau đó

Từ hai trường hợp này suy ra rằng cho x thực sự.

Hậu quả:

9 .) So sánh các số vô cùng nhỏ. Định lý về việc thay vô số vi phân bằng vi phân tương đương trong giới hạn và định lý về phần chính của vi phân.

Đặt các hàm a( x) và B( x) – b.m. Tại x ® x 0 .

CÁC ĐỊNH NGHĨA.

1)a( x) gọi điện bậc cao hơn vô hạn so với b (x) Nếu như

Viết: a( x) = o(b( x)) .

2) một( x) Và b( x)được gọi là vô cùng nhỏ cùng thứ tự, Nếu như

ở đâu CÎℝ và C¹ 0 .

Viết: a( x) = ồ(b( x)) .

3)a( x) Và b( x) được gọi là tương đương , Nếu như

Viết: a( x) ~ b( x).

4) một ( x) được gọi là vô cùng nhỏ cấp k tương đối
hoàn toàn vô cùng nhỏ b( x), nếu vô cùng nhỏ Một( x)Và(b( x))k có cùng thứ tự, tức là Nếu như

ở đâu CÎℝ và C¹ 0 .

Định lý 6 (về việc thay thế các số vô cùng nhỏ bằng các số tương đương).

Cho phép Một( x), b( x), một 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. tại x ® x 0 . Nếu như Một( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

Cái đó

Chứng minh: Cho a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Sau đó

Định lý 7 (về phần chính của vi phân).

Cho phép Một( x)Và b( x)– b.m. tại x ® x 0 , Và b( x)– b.m. thứ tự cao hơn Một( x).

= , a vì b( x) – bậc cao hơn a( x), sau đó, tức là từ rõ ràng là a( x) + b( x) ~ một( x)

10) Tính liên tục của hàm số tại một điểm (theo ngôn ngữ epsilon-delta, giới hạn hình học) Tính liên tục một phía. Tính liên tục trên một khoảng, trên một đoạn. Tính chất của hàm liên tục.

1. Các định nghĩa cơ bản

Cho phép f(x) được xác định trong một lân cận nào đó của điểm x 0 .

ĐỊNH NGHĨA 1. hàm f(x) gọi điện liên tục tại một điểm x 0 nếu đẳng thức là đúng

Ghi chú.

1) Theo Định lý 5 §3, đẳng thức (1) có thể được viết dưới dạng

Điều kiện (2) – định nghĩa tính liên tục của hàm số tại một điểm bằng ngôn ngữ giới hạn một phía.

2) Đẳng thức (1) cũng có thể được viết là:

Người ta nói: “Nếu hàm số liên tục tại một điểm x 0 thì dấu của giới hạn và hàm số có thể hoán đổi cho nhau."

ĐỊNH NGHĨA 2 (trong ngôn ngữ điện tử).

hàm f(x) gọi điện liên tục tại một điểm x 0 Nếu như"e>0 $d>0 như là, Cái gì

nếu xОU( x 0 , d) (tức là | x – x 0 | < d),

sau đó f(x)ÎU( f(x 0), e) (tức là | f(x) – f(x 0) | < e).

Cho phép x, x 0 Î D(f) (x 0 – cố định, x – Bất kỳ)

Hãy ký hiệu :D x= x – x 0 – tăng đối số

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – tăng hàm tại điểmx 0

ĐỊNH NGHĨA 3 (hình học).

hàm f(x) TRÊN gọi điện liên tục tại một điểm x 0 nếu tại thời điểm này mức tăng vô cùng nhỏ trong đối số tương ứng với mức tăng vô cùng nhỏ trong hàm, I E.

Hãy để chức năng f(x) được xác định trên khoảng [ x 0 ; x 0 + d) (trên khoảng ( x 0 – d; x 0 ]).

SỰ ĐỊNH NGHĨA. hàm f(x) gọi điện liên tục tại một điểm x 0 bên phải (bên trái ), nếu đẳng thức là đúng

Hiển nhiên là f(x) liên tục tại điểm x 0 Û f(x) liên tục tại điểm x 0 phải và trái.

SỰ ĐỊNH NGHĨA. hàm f(x) gọi điện liên tục trong một khoảng thời gian e ( Một; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng này.

hàm f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [Một; b] nếu nó liên tục trên khoảng (Một; b) và có tính liên tục một chiều tại các điểm biên(tức là liên tục tại điểm Mộtở bên phải, tại điểm b- bên trái).

11) Điểm dừng, phân loại của họ

SỰ ĐỊNH NGHĨA. Nếu hàm f(x) được xác định trong một lân cận nào đó của điểm x 0 , nhưng không liên tục tại điểm này thì f(x) gọi là gián đoạn tại điểm x 0 , và bản thân điểm đó x 0 gọi là điểm dừng chức năng f(x) .

Ghi chú.

1) f(x) có thể được xác định trong lân cận không đầy đủ của điểm x 0 .

Sau đó xét tính liên tục một phía tương ứng của hàm số.

2) Từ định nghĩa điểm Þ x 0 là điểm dừng của hàm f(x) trong hai trường hợp:

a) Bạn( x 0 , d)О D(f) , nếu không có f(x) đẳng thức không tồn tại

b) U * ( x 0 , d)О D(f) .

Đối với các hàm cơ bản, chỉ có thể xảy ra trường hợp b).

Cho phép x 0 – điểm ngắt chức năng f(x) .

SỰ ĐỊNH NGHĨA. điểm x 0 gọi điện điểm dừng TÔI đại loại nếu hàm f(x)có giới hạn hữu hạn ở bên trái và bên phải tại thời điểm này.

Nếu các giới hạn này bằng nhau thì điểm x 0 gọi điện điểm dừng có thể tháo rời , nếu không thì - điểm nhảy .

SỰ ĐỊNH NGHĨA. điểm x 0 gọi điện điểm dừng II đại loại nếu ít nhất một trong các giới hạn một phía của hàm f(x)tại thời điểm này là bằng nhau¥ hoặc không tồn tại.

12) Tính chất của hàm số liên tục trên một khoảng (định lý Weierstrass (không chứng minh) và Cauchy

Định lý Weierstrass

Giả sử hàm f(x) liên tục trên khoảng thì

1)f(x) được giới hạn ở

2) f(x) lấy giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên khoảng

Sự định nghĩa: Giá trị của hàm m=f được gọi là nhỏ nhất nếu m≤f(x) với mọi x€ D(f).

Giá trị của hàm m=f được gọi là lớn nhất nếu m ≥f(x) với mọi x € D(f).

Hàm có thể nhận giá trị nhỏ nhất/lớn nhất tại một số điểm của đoạn.

f(x 3)=f(x 4)=max

Định lý Cauchy.

Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn và x là số nằm giữa f(a) và f(b), khi đó tồn tại ít nhất một điểm x 0 € sao cho f(x 0)= g